Kvadrātvienādojuma reālās saknes. Kvadrātvienādojumu risināšana: saknes formula, piemēri
Vienkārši. Pēc formulām un skaidri vienkārši noteikumi. Pirmajā posmā
nepieciešams dots vienādojums noved pie standarta veidlapas, t.i. uz formu:
Ja vienādojums jums jau ir dots šajā formā, jums nav jāveic pirmais posms. Vissvarīgākais ir darīt to pareizi
noteikt visus koeficientus, A, b Un c.
Formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai.
Izteicienu zem saknes zīmes sauc diskriminējošs . Kā redzat, lai atrastu X, mēs
mēs izmantojam tikai a, b un c. Tie. koeficienti no kvadrātvienādojums. Vienkārši uzmanīgi ievietojiet to
vērtības a, b un c Mēs aprēķinām pēc šīs formulas. Mēs aizstājam ar viņu zīmes!
Piemēram, vienādojumā:
A =1; b = 3; c = -4.
Mēs aizstājam vērtības un rakstām:
Piemērs ir gandrīz atrisināts:
Šī ir atbilde.
Biežākās kļūdas ir sajaukšana ar zīmju vērtībām a, b Un Ar. Pareizāk sakot, ar aizstāšanu
negatīvas vērtības sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit palīgā nāk detalizēts formulas ieraksts
ar konkrētiem cipariem. Ja jums ir problēmas ar aprēķiniem, dariet to!
Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds piemērs:
Šeit a = -6; b = -5; c = -1
Mēs visu aprakstām detalizēti, rūpīgi, neko nepalaižot garām ar visām zīmēm un iekavām:
Kvadrātvienādojumi bieži izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:
Tagad ņemiet vērā praktiskās tehnikas, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu.
Pirmā tikšanās. Pirms tam neesiet slinks kvadrātvienādojuma atrisināšana izveidojiet to standarta formā.
Ko tas nozīmē?
Pieņemsim, ka pēc visām transformācijām jūs saņemat šādu vienādojumu:
Nesteidzieties rakstīt saknes formulu! Jūs gandrīz noteikti sajauksit izredzes a, b un c.
Pareizi izveidojiet piemēru. Vispirms X kvadrātā, pēc tam bez kvadrāta, tad brīvais termiņš. Kā šis:
Atbrīvojieties no mīnusa. Kā? Mums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:
Bet tagad var droši pierakstīt formulu saknēm, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru risināt.
Izlemiet paši. Tagad jums vajadzētu būt saknēm 2 un -1.
Uzņemšana otrā. Pārbaudiet saknes! Autors Vietas teorēma.
Lai atrisinātu doto kvadrātvienādojumi, t.i. ja koeficients
x 2 +bx+c=0,
Tadx 1 x 2 =c
x 1 +x 2 =−b
Pilnīgam kvadrātvienādojumam, kurā a≠1:
x 2+bx+c=0,
dala visu vienādojumu ar A:
→ 
→
Kur x 1 Un x 2 - vienādojuma saknes.
Uzņemšana trešā. Ja jūsu vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Pavairot
vienādojums ar kopsaucēju.
Secinājums. Praktiski padomi:
1. Pirms risināšanas kvadrātvienādojumu izveidojam standarta formā un izveidojam Pa labi.
2. Ja X kvadrātā priekšā ir negatīvs koeficients, mēs to izslēdzam, visu reizinot
vienādojumi ar -1.
3. Ja koeficienti ir daļskaitļi, mēs izslēdzam daļas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo
faktors.
4. Ja x kvadrātā ir tīrs, tā koeficients vienāds ar vienu, risinājumu var viegli pārbaudīt, izmantojot
Pirmais līmenis
Kvadrātvienādojumi. Visaptveroša rokasgrāmata (2019)
Terminā “kvadrātvienādojums” atslēgas vārds ir “kvadrātvienādojums”. Tas nozīmē, ka vienādojumā obligāti jāietver mainīgais (tas pats x) kvadrātā, un tajā nedrīkst būt x līdz trešajai (vai lielākai) pakāpei.
Daudzu vienādojumu risinājums ir kvadrātvienādojumu atrisināšana.
Mācīsimies noteikt, ka šis ir kvadrātvienādojums, nevis kāds cits vienādojums.
1. piemērs.
Atbrīvosimies no saucēja un reiziināsim katru vienādojuma biedru ar
Pārcelsim visu uz kreisā puse un sakārtojiet terminus dilstošā x pakāpju secībā
Tagad mēs varam ar pārliecību teikt, ka šis vienādojums ir kvadrātisks!
2. piemērs.
Reiziniet kreiso un labo pusi ar:
Šis vienādojums, lai gan sākotnēji tajā bija, nav kvadrātisks!
3. piemērs.
Sareizināsim visu ar:
Baisi? Ceturtā un otrā pakāpe... Tomēr, ja mēs veiksim nomaiņu, mēs redzēsim, ka mums ir vienkāršs kvadrātvienādojums:
4. piemērs.
Šķiet, ka tas ir, bet paskatīsimies tuvāk. Pārvietosim visu uz kreiso pusi:
Redziet, tas ir samazināts – un tagad tas ir vienkāršs lineārs vienādojums!
Tagad mēģiniet pats noteikt, kuri no šiem vienādojumiem ir kvadrātvienādojumi un kuri nav:
Piemēri:
Atbildes:
- kvadrāts;
- kvadrāts;
- nav kvadrātveida;
- nav kvadrātveida;
- nav kvadrātveida;
- kvadrāts;
- nav kvadrātveida;
- kvadrāts.
Matemātiķi visus kvadrātvienādojumus parasti iedala šādos veidos:
- Pilnīgi kvadrātvienādojumi- vienādojumi, kuros koeficienti un, kā arī brīvais termins c nav vienādi ar nulli (kā piemērā). Turklāt starp pilnīgiem kvadrātvienādojumiem ir dots- tie ir vienādojumi, kuros koeficients (vienādojums no pirmā piemēra ir ne tikai pilnīgs, bet arī samazināts!)
- Nepilnīgi kvadrātvienādojumi- vienādojumi, kuros koeficients un/vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:
Tie ir nepilnīgi, jo tiem trūkst kāda elementa. Bet vienādojumā vienmēr jābūt x kvadrātā!!! Pretējā gadījumā tas vairs nebūs kvadrātvienādojums, bet gan kāds cits vienādojums.
Kāpēc viņi izdomāja šādu sadalījumu? Šķiet, ka ir X kvadrātā, un labi. Šo iedalījumu nosaka risināšanas metodes. Apskatīsim katru no tiem sīkāk.
Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana
Pirmkārt, pievērsīsimies nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai – tie ir daudz vienkāršāki!
Pastāv nepilnu kvadrātvienādojumu veidi:
- , šajā vienādojumā koeficients ir vienāds.
- , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.
- , šajā vienādojumā koeficients un brīvais termins ir vienādi.
1. i. Tā kā mēs zinām, kā ņemt kvadrātsakni, izmantosim šo vienādojumu, lai izteiktu
Izteiciens var būt gan negatīvs, gan pozitīvs. Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis, tātad: ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu.
Un ja, tad mēs iegūstam divas saknes. Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais ir zināt un vienmēr atcerēties, ka mazāk nevar būt.
Mēģināsim atrisināt dažus piemērus.
5. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Tagad atliek tikai izvilkt sakni no kreisās un labās puses. Galu galā, jūs atceraties, kā iegūt saknes?
Atbilde:
Nekad neaizmirstiet par saknēm ar negatīvu zīmi!!!
6. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Atbilde:
7. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Ak! Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums
nav sakņu!
Šādiem vienādojumiem, kuriem nav sakņu, matemātiķi izdomāja īpašu ikonu - (tukšs komplekts). Un atbildi var uzrakstīt šādi:
Atbilde:
Tādējādi šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Šeit nav nekādu ierobežojumu, jo mēs neizņēmām sakni.
8. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:
Tādējādi
Šim vienādojumam ir divas saknes.
Atbilde:
Vienkāršākais nepilnīgo kvadrātvienādojumu veids (lai gan tie visi ir vienkārši, vai ne?). Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:
Šeit mēs iztiksim no piemēriem.
Pilnu kvadrātvienādojumu risināšana
Atgādinām, ka pilns kvadrātvienādojums ir formas vienādojuma vienādojums, kur
Pilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana ir nedaudz grūtāka (tikai nedaudz) nekā šie.
Atcerieties, Jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.
Citas metodes palīdzēs to izdarīt ātrāk, bet, ja jums ir problēmas ar kvadrātvienādojumiem, vispirms apgūstiet risinājumu, izmantojot diskriminantu.
1. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot diskriminantu.
Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot šo metodi, ir ļoti vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas.
Ja, tad vienādojumam ir sakne. Īpaša uzmanība sper soli. Diskriminants () norāda vienādojuma sakņu skaitu.
- Ja, tad solī esošā formula tiks samazināta līdz. Tādējādi vienādojumam būs tikai sakne.
- Ja, tad mēs nevarēsim izdalīt diskriminanta sakni solī. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.
Atgriezīsimies pie mūsu vienādojumiem un apskatīsim dažus piemērus.
9. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
1. darbība mēs izlaižam.
2. darbība.
Mēs atrodam diskriminantu:
Tas nozīmē, ka vienādojumam ir divas saknes.
3. darbība.
Atbilde:
10. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Vienādojums ir uzrādīts standarta formā, tātad 1. darbība mēs izlaižam.
2. darbība.
Mēs atrodam diskriminantu:
Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne.
Atbilde:
11. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Vienādojums ir uzrādīts standarta formā, tātad 1. darbība mēs izlaižam.
2. darbība.
Mēs atrodam diskriminantu:
Tas nozīmē, ka mēs nevarēsim iegūt diskriminanta sakni. Vienādojumam nav sakņu.
Tagad mēs zinām, kā pareizi pierakstīt šādas atbildes.
Atbilde: nav sakņu
2. Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.
Ja atceraties, ir vienādojuma veids, ko sauc par samazinātu (kad koeficients a ir vienāds ar):
Šādus vienādojumus ir ļoti viegli atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu:
Sakņu summa dots kvadrātvienādojums ir vienāds, un sakņu reizinājums ir vienāds.
12. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu, jo .
Vienādojuma sakņu summa ir vienāda, t.i. mēs iegūstam pirmo vienādojumu:
Un produkts ir vienāds ar:
Sastādīsim un atrisināsim sistēmu:
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda.
un ir sistēmas risinājums:
Atbilde: ; .
13. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Atbilde:
14. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Ir dots vienādojums, kas nozīmē:
Atbilde:
Kvadrātvienādojumi. VIDĒJAIS LĪMENIS
Kas ir kvadrātvienādojums?
Citiem vārdiem sakot, kvadrātvienādojums ir formas vienādojums, kur - nezināmais, - daži skaitļi un.
Skaitli sauc par lielāko vai pirmais koeficients kvadrātvienādojums, - otrais koeficients, A - bezmaksas dalībnieks.
Kāpēc? Jo, ja vienādojums uzreiz kļūst lineārs, jo pazudīs.
Šajā gadījumā un var būt vienāds ar nulli. Šajā krēslā vienādojumu sauc par nepilnīgu. Ja visi termini ir vietā, tas ir, vienādojums ir pabeigts.
Dažādu veidu kvadrātvienādojumu risinājumi
Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:
Vispirms apskatīsim nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes – tās ir vienkāršākas.
Mēs varam atšķirt šādus vienādojumu veidus:
I., šajā vienādojumā koeficients un brīvais loceklis ir vienādi.
II. , šajā vienādojumā koeficients ir vienāds.
III. , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.
Tagad apskatīsim risinājumu katram no šiem apakštipiem.
Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:
Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis. Tāpēc:
ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu;
ja mums ir divas saknes
Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka tas nevar būt mazāks.
Piemēri:
Risinājumi:
Atbilde:
Nekad neaizmirstiet par saknēm ar negatīvu zīmi!
Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums
nav sakņu.
Lai īsi pierakstītu, ka problēmai nav risinājumu, mēs izmantojam tukšas kopas ikonu.
Atbilde:
Tātad šim vienādojumam ir divas saknes: un.
Atbilde:
Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:
Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir risinājums, ja:
Tātad šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes: un.
Piemērs:
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Aprēķināsim vienādojuma kreiso pusi un atradīsim saknes:
Atbilde:
Pilnu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:
1. Diskriminants
Kvadrātvienādojumu risināšana šādā veidā ir vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas. Atcerieties, ka jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.
Vai sakņu formulā pamanījāt sakni no diskriminanta? Bet diskriminants var būt negatīvs. Ko darīt? Īpaša uzmanība jāpievērš 2. solim. Diskriminants norāda vienādojuma sakņu skaitu.
- Ja, tad vienādojumam ir saknes:
- Ja, tad vienādojumam ir vienādas saknes un faktiski viena sakne:
Šādas saknes sauc par dubultsaknēm.
- Ja, tad diskriminanta sakne netiek izvilkta. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.
Kāpēc tas ir iespējams dažādi daudzumi saknes? Pievērsīsimies kvadrātvienādojuma ģeometriskajai nozīmei. Funkcijas grafiks ir parabola:
Īpašā gadījumā, kas ir kvadrātvienādojums, . Tas nozīmē, ka kvadrātvienādojuma saknes ir krustošanās punkti ar abscisu asi (asi). Parabola var nekrustoties ar asi vispār vai var šķērsot to vienā (ja parabolas virsotne atrodas uz ass) vai divos punktos.
Turklāt koeficients ir atbildīgs par parabolas zaru virzienu. Ja, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, un ja, tad uz leju.
Piemēri:
Risinājumi:
Atbilde:
Atbilde:.
Atbilde:
Tas nozīmē, ka risinājumu nav.
Atbilde:.
2. Vietas teorēma
Vietas teorēmas izmantošana ir ļoti vienkārša: jums vienkārši jāizvēlas skaitļu pāris, kuru reizinājums ir vienāds ar vienādojuma brīvo biedru, un summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi.
Ir svarīgi atcerēties, ka Vietas teorēmu var izmantot tikai reducēti kvadrātvienādojumi ().
Apskatīsim dažus piemērus:
1. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu, jo . Citi koeficienti: ; .
Vienādojuma sakņu summa ir:
Un produkts ir vienāds ar:
Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda.
un ir sistēmas risinājums:
Tādējādi un ir mūsu vienādojuma saknes.
Atbilde: ; .
2. piemērs:
Risinājums:
Atlasīsim skaitļu pārus, kas dod reizinājumu, un pēc tam pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:
un: viņi dod kopā.
un: viņi dod kopā. Lai iegūtu, pietiek vienkārši nomainīt domājamo sakņu pazīmes: un galu galā produktu.
Atbilde:
3. piemērs:
Risinājums:
Vienādojuma brīvais termins ir negatīvs, un tāpēc sakņu reizinājums ir negatīvs skaitlis. Tas ir iespējams tikai tad, ja viena no saknēm ir negatīva, bet otra ir pozitīva. Tāpēc sakņu summa ir vienāda ar to moduļu atšķirības.
Atlasīsim tādus skaitļu pārus, kas dod reizinājumu un kuru starpība ir vienāda ar:
un: to atšķirība ir vienāda - neder;
un: - nav piemērots;
un: - nav piemērots;
un: - piemērots. Atliek tikai atcerēties, ka viena no saknēm ir negatīva. Tā kā to summai jābūt vienādai, saknei ar mazāko moduli jābūt negatīvai: . Mēs pārbaudām:
Atbilde:
4. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Ir dots vienādojums, kas nozīmē:
Brīvais termins ir negatīvs, un tāpēc sakņu reizinājums ir negatīvs. Un tas ir iespējams tikai tad, ja viena vienādojuma sakne ir negatīva, bet otra ir pozitīva.
Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pēc tam noteiksim, kurām saknēm jābūt ar negatīvu zīmi:
Acīmredzot tikai saknes un ir piemērotas pirmajam nosacījumam:
Atbilde:
5. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Ir dots vienādojums, kas nozīmē:
Sakņu summa ir negatīva, kas nozīmē, ka vismaz viena no saknēm ir negatīva. Bet, tā kā viņu produkts ir pozitīvs, tas nozīmē, ka abām saknēm ir mīnusa zīme.
Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds ar:
Acīmredzot saknes ir skaitļi un.
Atbilde:
Piekrītu, ir ļoti ērti izdomāt saknes mutiski, nevis skaitīt šo šķebinošo diskriminantu. Centieties pēc iespējas biežāk izmantot Vietas teorēmu.
Bet Vietas teorēma ir nepieciešama, lai atvieglotu un paātrinātu sakņu atrašanu. Lai jūs gūtu labumu no tā izmantošanas, jums ir jāaktivizē darbības. Un šim nolūkam atrisiniet vēl piecus piemērus. Bet nekrāpieties: jūs nevarat izmantot diskriminantu! Tikai Vietas teorēma:
Patstāvīga darba uzdevumu risinājumi:
Uzdevums 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Saskaņā ar Vietas teorēmu:
Kā parasti, atlasi sākam ar gabalu:
Nav piemērots, jo daudzums;
: summa ir tieši tāda, kāda jums nepieciešama.
Atbilde: ; .
2. uzdevums.
Un atkal mūsu iecienītākā Vieta teorēma: summai jābūt vienādai, un reizinājumam jābūt vienādam.
Bet tā kā tam jābūt nevis, bet, mēs mainām sakņu zīmes: un (kopā).
Atbilde: ; .
3. uzdevums.
Hmm... Kur tas ir?
Visi termini ir jāpārvieto vienā daļā:
Sakņu summa ir vienāda ar produktu.
Labi, beidz! Vienādojums nav dots. Bet Vietas teorēma ir piemērojama tikai dotajos vienādojumos. Tātad vispirms jums ir jāsniedz vienādojums. Ja nevarat vadīt, atsakieties no šīs idejas un atrisiniet to citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu). Atgādināšu, ka dot kvadrātvienādojumu nozīmē padarīt vadošo koeficientu vienādu:
Lieliski. Tad sakņu summa ir vienāda ar un reizinājumu.
Šeit izvēlēties ir tikpat vienkārši kā pīrāgu: galu galā tas ir pirmskaitlis (atvainojiet par tautoloģiju).
Atbilde: ; .
4. uzdevums.
Bezmaksas dalībnieks ir negatīvs. Kas šajā ir īpašs? Un fakts ir tāds, ka saknēm būs dažādas zīmes. Un tagad atlases laikā mēs pārbaudām nevis sakņu summu, bet gan to moduļu atšķirību: šī atšķirība ir vienāda, bet produkts.
Tātad, saknes ir vienādas ar un, bet viena no tām ir mīnus. Vietas teorēma saka, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, tas ir. Tas nozīmē, ka mazākajai saknei būs mīnuss: un kopš.
Atbilde: ; .
5. uzdevums.
Kas jums jādara vispirms? Tieši tā, sniedziet vienādojumu:
Atkal: mēs izvēlamies skaitļa faktorus, un to starpībai jābūt vienādai ar:
Saknes ir vienādas ar un, bet viena no tām ir mīnus. Kuru? To summai jābūt vienādai, kas nozīmē, ka mīnusam būs lielāka sakne.
Atbilde: ; .
Ļaujiet man apkopot:
- Vietas teorēma tiek izmantota tikai dotajos kvadrātvienādojumos.
- Izmantojot Vietas teorēmu, jūs varat atrast saknes pēc atlases, mutiski.
- Ja vienādojums nav dots vai nav atrasts piemērots brīvā termina faktoru pāris, tad nav veselu sakņu, un tas ir jāatrisina citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu).
3. Pilna kvadrāta izvēles metode
Ja visi termini, kas satur nezināmo, ir attēloti terminu veidā no saīsinātām reizināšanas formulām - summas vai starpības kvadrātā -, tad pēc mainīgo lielumu aizstāšanas vienādojumu var uzrādīt nepilnīga veida kvadrātvienādojuma veidā.
Piemēram:
1. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu:.
Risinājums:
Atbilde:
2. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu:.
Risinājums:
Atbilde:
IN vispārējs skats transformācija izskatīsies šādi:
Tas nozīmē:.
Tev neko neatgādina? Tā ir diskriminējoša lieta! Tieši tā mēs ieguvām diskriminējošās formulas.
Kvadrātvienādojumi. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM
Kvadrātvienādojums ir formas vienādojums, kur ir nezināmais, ir kvadrātvienādojuma koeficienti un ir brīvais termins.
Pilnīgs kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficienti nav vienādi ar nulli.
Samazināts kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients, tas ir: .
Nepilns kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients un/vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:
- ja koeficients, vienādojums izskatās šādi: ,
- ja ir brīvs termins, vienādojumam ir šāda forma: ,
- ja un, vienādojums izskatās šādi: .
1. Algoritms nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai
1.1. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:
1) Izteiksim nezināmo: ,
2) Pārbaudiet izteiksmes zīmi:
- ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu,
- ja, tad vienādojumam ir divas saknes.
1.2. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:
1) Izņemsim no iekavām kopējo faktoru: ,
2) reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tāpēc vienādojumam ir divas saknes:
1.3. Nepilns formas kvadrātvienādojums, kur:
Šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne: .
2. Algoritms pilnu kvadrātvienādojumu atrisināšanai ar formu kur
2.1. Risinājums, izmantojot diskriminantu
1) Sakārtosim vienādojumu standarta formā: ,
2) Aprēķināsim diskriminantu, izmantojot formulu: , kas norāda vienādojuma sakņu skaitu:
3) Atrodiet vienādojuma saknes:
- ja, tad vienādojumam ir saknes, kuras atrod pēc formulas:
- ja, tad vienādojumam ir sakne, ko atrod pēc formulas:
- ja, tad vienādojumam nav sakņu.
2.2. Risinājums, izmantojot Vietas teorēmu
Reducētā kvadrātvienādojuma (formas vienādojums kur) sakņu summa ir vienāda, un sakņu reizinājums ir vienāds, t.i. , A.
2.3. Risinājums ar pilna kvadrāta izvēles metodi
5x (x - 4) = 0
5 x = 0 vai x - 4 = 0
x = ± √ 25/4
Iemācījies atrisināt pirmās pakāpes vienādojumus, protams, jūs vēlaties strādāt ar citiem, jo īpaši ar otrās pakāpes vienādojumiem, kurus citādi sauc par kvadrātvienādojumu.
Kvadrātvienādojumi ir vienādojumi, piemēram, ax² + bx + c = 0, kur mainīgais ir x, skaitļi ir a, b, c, kur a nav vienāds ar nulli.
Ja kvadrātvienādojumā viens vai otrs koeficients (c vai b) ir vienāds ar nulli, tad šis vienādojums tiks klasificēts kā nepilnīgs kvadrātvienādojums.
Kā atrisināt nepilnu kvadrātvienādojumu, ja studenti līdz šim ir spējuši atrisināt tikai pirmās pakāpes vienādojumus? Apsveriet nepilnīgus kvadrātvienādojumus dažādi veidi Un vienkāršus veidus savus lēmumus.
a) Ja koeficients c ir vienāds ar 0 un koeficients b nav vienāds ar nulli, tad ax ² + bx + 0 = 0 tiek reducēts uz vienādojumu formā ax ² + bx = 0.
Lai atrisinātu šādu vienādojumu, ir jāzina nepilna kvadrātvienādojuma risināšanas formula, kas sastāv no tā kreisās puses faktorēšanas un vēlāk nosacījuma, ka reizinājums ir vienāds ar nulli, izmantošana.
Piemēram, 5x² - 20x = 0. Mēs faktorējam vienādojuma kreiso pusi, veicot parasto matemātisko darbību: kopējo koeficientu izņemam no iekavām
5x (x - 4) = 0
Mēs izmantojam nosacījumu, ka produkti ir vienādi ar nulli.
5 x = 0 vai x - 4 = 0
Atbilde būs: pirmā sakne ir 0; otrā sakne ir 4.
b) Ja b = 0 un brīvais loceklis nav vienāds ar nulli, tad vienādojums ax ² + 0x + c = 0 tiek reducēts uz vienādojumu formā ax ² + c = 0. Vienādojumus risina divos veidos. : a) faktorējot vienādojuma polinomu kreisajā pusē ; b) izmantojot aritmētikas īpašības kvadrātsakne. Šādu vienādojumu var atrisināt, izmantojot vienu no metodēm, piemēram:
x = ± √ 25/4
x = ± 5/2. Atbilde būs: pirmā sakne ir 5/2; otrā sakne ir vienāda ar - 5/2.
c) Ja b ir vienāds ar 0 un c ir vienāds ar 0, tad ax ² + 0 + 0 = 0 tiek reducēts uz vienādojumu formā ax ² = 0. Šādā vienādojumā x būs vienāds ar 0.
Kā redzat, nepilnīgiem kvadrātvienādojumiem var būt ne vairāk kā divas saknes.
Es ceru, ka pēc šī raksta izpētes jūs uzzināsit, kā atrast pilnīga kvadrātvienādojuma saknes.
Izmantojot diskriminantu, tiek atrisināti tikai pilnie kvadrātvienādojumi, lai atrisinātu nepilnus kvadrātvienādojumus, tiek izmantotas citas metodes, kuras atradīsit rakstā “Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšana”.
Kādus kvadrātvienādojumus sauc par pabeigtiem? Šis vienādojumi formā ax 2 + b x + c = 0, kur koeficienti a, b un c nav vienādi ar nulli. Tātad, lai atrisinātu pilnīgu kvadrātvienādojumu, mums jāaprēķina diskriminants D.
D = b 2 – 4ac.
Atkarībā no diskriminanta vērtības mēs pierakstīsim atbildi.
Ja diskriminants ir negatīvs skaitlis (D< 0),то корней нет.
Ja diskriminants ir nulle, tad x = (-b)/2a. Ja diskriminants ir pozitīvs skaitlis (D > 0),
tad x 1 = (-b - √D)/2a un x 2 = (-b + √D)/2a.
Piemēram. Atrisiniet vienādojumu x 2– 4x + 4 = 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Atbilde: 2.
Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Atbilde: nav sakņu.
Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2–4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2) = (-5 - 9)/4 = - 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4 = 1
Atbilde: – 3,5; 1.
Tāpēc iedomāsimies pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu, izmantojot diagrammu 1. attēlā.
Izmantojot šīs formulas, jūs varat atrisināt jebkuru pilnu kvadrātvienādojumu. Jums vienkārši jābūt uzmanīgiem, lai vienādojums tika uzrakstīts kā polinoms standarta skats
A x 2 + bx + c, pretējā gadījumā jūs varat kļūdīties. Piemēram, rakstot vienādojumu x + 3 + 2x 2 = 0, jūs varat kļūdaini izlemt, ka
a = 1, b = 3 un c = 2. Tad
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 un tad vienādojumam ir divas saknes. Un tā nav taisnība. (Skatiet iepriekš 2. piemēra risinājumu).
Tāpēc, ja vienādojums nav uzrakstīts kā standarta formas polinoms, vispirms ir jāuzraksta pilns kvadrātvienādojums kā standarta formas polinoms (vienādojums ar lielāko eksponentu ir jābūt pirmajā vietā, tas ir A x 2 , tad ar mazāku – bx un tad bezmaksas biedrs Ar.
Atrisinot reducēto kvadrātvienādojumu un kvadrātvienādojumu ar pāra koeficientu otrajā termiņā, var izmantot citas formulas. Iepazīsimies ar šīm formulām. Ja pilnā kvadrātvienādojumā koeficients pie otrā vārda ir pāra (b = 2k), tad vienādojumu var atrisināt, izmantojot formulas, kas norādītas diagrammā 2. attēlā.
Pilnu kvadrātvienādojumu sauc par samazinātu, ja koeficients pie x 2 ir vienāds ar vienu, un vienādojums iegūst formu x 2 + pikseļi + q = 0. Šādu vienādojumu var dot, lai atrisinātu, vai arī to var iegūt, dalot visus vienādojuma koeficientus ar koeficientu A, stāvot plkst x 2 .
3. attēlā parādīta diagramma samazinātā kvadrāta risināšanai 
vienādojumi. Apskatīsim šajā rakstā aplūkoto formulu pielietojuma piemēru.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Atrisināsim šo vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas diagrammā 1. attēlā.
D = 6 2–4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3
Var pamanīt, ka x koeficients šajā vienādojumā ir pāra skaitlis, tas ir, b = 6 vai b = 2k, no kurienes k = 3. Pēc tam mēģināsim atrisināt vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas attēla D diagrammā. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = - 1 - √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3. Ievērojot, ka šajā kvadrātvienādojumā visi koeficienti dalās ar 3 un veicot dalīšanu, iegūstam reducēto kvadrātvienādojumu x 2 + 2x – 2 = 0 Atrisiniet šo vienādojumu, izmantojot reducētā kvadrātvienādojuma formulas 
vienādojumi 3. attēls.
D 2 = 2 2–4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = - 1 - √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3.
Kā redzam, risinot šo vienādojumu ar dažādas formulas mēs saņēmām tādu pašu atbildi. Tāpēc, rūpīgi apguvis 1. attēla diagrammā redzamās formulas, jūs vienmēr varēsiet atrisināt jebkuru pilnu kvadrātvienādojumu.
tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.
Kvadrātvienādojuma sakņu formulas. Tiek aplūkoti reālu, daudzkārtēju un sarežģītu sakņu gadījumi. Faktorizācija kvadrātveida trinomāls. Ģeometriskā interpretācija. Sakņu noteikšanas un faktoringa piemēri.
Pamatformulas
Apsveriet kvadrātvienādojumu:
(1)
.
Kvadrātvienādojuma saknes(1) nosaka pēc formulām:
;
.
Šīs formulas var apvienot šādi:
.
Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma saknes, tad otrās pakāpes polinomu var attēlot kā faktoru reizinājumu (faktorizēts):
.
Tālāk mēs pieņemam, ka tie ir reāli skaitļi.
Apsvērsim kvadrātvienādojuma diskriminants:
.
Ja diskriminants ir pozitīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas dažādas reālās saknes:
;
.
Tad kvadrātiskā trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Ja diskriminants ir vienāds ar nulli, tad kvadrātvienādojumam (1) ir divas vairākas (vienādas) reālās saknes:
.
Faktorizācija:
.
Ja diskriminants ir negatīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas sarežģītas konjugāta saknes:
;
.
Šeit ir iedomātā vienība, ;
un ir sakņu reālās un iedomātās daļas:
;
.
Tad
.
Grafiskā interpretācija
Ja jūs veidojat funkcijas grafiks
,
kas ir parabola, tad grafika krustošanās punkti ar asi būs vienādojuma saknes
.
Pie , grafiks krustojas ar x asi (asi) divos punktos.
Kad , grafiks pieskaras x asij vienā punktā.
Kad , grafiks nešķērso x asi.
Zemāk ir šādu grafiku piemēri.
Noderīgas formulas, kas saistītas ar kvadrātvienādojumu
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana
Veicam transformācijas un pielietojam formulas (f.1) un (f.3):
,
Kur
;
.
Tātad otrās pakāpes polinoma formulu ieguvām šādā formā:
.
Tas parāda, ka vienādojums
veikta plkst
Un .
Tas ir, un ir kvadrātvienādojuma saknes
.
Kvadrātvienādojuma sakņu noteikšanas piemēri
1. piemērs
(1.1)
.
Risinājums
.
Salīdzinot ar mūsu vienādojumu (1.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Tā kā diskriminants ir pozitīvs, vienādojumam ir divas reālas saknes:
;
;
.
No šejienes mēs iegūstam kvadrātiskā trinoma faktorizāciju:
.
Funkcijas y = grafiks 2 x 2 + 7 x + 3 krusto x asi divos punktos.
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas šķērso abscisu asi (asi) divos punktos:
Un .
Šie punkti ir sākotnējā vienādojuma (1.1) saknes.
Atbilde
;
;
.
2. piemērs
Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(2.1)
.
Risinājums
Uzrakstīsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā:
.
Salīdzinot ar sākotnējo vienādojumu (2.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Tā kā diskriminants ir nulle, vienādojumam ir divas vairākas (vienādas) saknes:
;
.
Tad trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Funkcijas y = x grafiks 2–4 x + 4 vienā punktā pieskaras x asij.
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas pieskaras x asij (asij) vienā punktā:
.
Šis punkts ir sākotnējā vienādojuma (2.1) sakne. Tā kā šī sakne tiek aprēķināta divreiz:
,
tad šādu sakni parasti sauc par daudzkārtni. Tas ir, viņi uzskata, ka ir divas vienādas saknes:
.
Atbilde
;
.
3. piemērs
Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(3.1)
.
Risinājums
Uzrakstīsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā:
(1)
.
Pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu (3.1):
.
Salīdzinot ar (1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Diskriminants ir negatīvs, . Tāpēc nav īstu sakņu.
Jūs varat atrast sarežģītas saknes:
;
;
.
Tad
.
Funkcijas grafiks nešķērso x asi. Īstu sakņu nav.
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas nekrustojas ar x asi (asi). Tāpēc nav īstu sakņu.
Atbilde
Īstu sakņu nav. Sarežģītas saknes:
;
;
.
