≡× IZVĒLNE

• Remonts
• Remonts 
• Interjera dizains
• Par visu
• Par santehniku

Risinājums: atrodiet funkcijas lielāko vērtību. Kā atrast funkcijas lielākās un mazākās vērtības ierobežotā slēgtā reģionā

Praksē ir diezgan bieži izmantot atvasinājumu, lai aprēķinātu funkcijas lielāko un mazāko vērtību. Šo darbību veicam tad, kad izdomājam, kā minimizēt izmaksas, palielināt peļņu, aprēķināt optimālo ražošanas slodzi utt., tas ir, gadījumos, kad ir jānosaka kāda parametra optimālā vērtība. Lai pareizi atrisinātu šādas problēmas, jums ir labi jāsaprot, kādas ir funkcijas lielākās un mazākās vērtības.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Parasti mēs definējam šīs vērtības noteiktā intervālā x, kas savukārt var atbilst visam funkcijas domēnam vai tās daļai. Tas var būt kā segments [a; b ] , un atvērts intervāls (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), bezgalīgs intervāls (a ; b), (a ; b ], [a ; b) vai bezgalīgs intervāls - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Šajā materiālā mēs jums pateiksim, kā aprēķināt skaidri definētas funkcijas lielākās un mazākās vērtības ar vienu mainīgo y=f(x) y = f (x) .

Pamatdefinīcijas

Sāksim, kā vienmēr, ar pamata definīciju formulēšanu.

1. definīcija

Funkcijas y = f (x) lielākā vērtība noteiktā intervālā x ir vērtība m a x y = f (x 0) x ∈ X, kas jebkurai vērtībai x x ∈ X, x ≠ x 0 veido nevienādību f (x) ≤ f (x) derīgs 0) .

2. definīcija

Funkcijas y = f (x) mazākā vērtība noteiktā intervālā x ir vērtība m i n x ∈ X y = f (x 0) , kas jebkurai vērtībai x ∈ X, x ≠ x 0 veido nevienādību f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Šīs definīcijas ir diezgan acīmredzamas. Vēl vienkāršāk varat teikt: augstākā vērtība funkcija ir tās lielākā vērtība zināmā intervālā pie abscisu x 0, un mazākā ir mazākā pieņemtā vērtība tajā pašā intervālā pie x 0.

3. definīcija

Stacionārie punkti ir tās funkcijas argumenta vērtības, pie kurām tās atvasinājums kļūst par 0.

Kāpēc mums jāzina, kas ir stacionārie punkti? Lai atbildētu uz šo jautājumu, jāatceras Fermā teorēma. No tā izriet, ka stacionārs punkts ir punkts, kurā atrodas diferencējamās funkcijas galējais punkts (t.i., tās lokālais minimums vai maksimums). Līdz ar to funkcija noteiktā intervālā ieņems mazāko vai lielāko vērtību tieši vienā no stacionārajiem punktiem.

Funkcija var arī iegūt lielāko vai mazāko vērtību tajos punktos, kuros pati funkcija ir definēta un tās pirmais atvasinājums neeksistē.

Pirmais jautājums, kas rodas, pētot šo tēmu: vai visos gadījumos mēs varam noteikt lielāko vai mazāko funkcijas vērtību noteiktā intervālā? Nē, mēs to nevaram izdarīt, ja noteiktā intervāla robežas sakrīt ar definīcijas apgabala robežām vai ja mums ir darīšana ar bezgalīgu intervālu. Gadās arī, ka funkcijai noteiktā segmentā vai bezgalībā būs bezgalīgi mazas vai bezgala lielas vērtības. Šajos gadījumos nav iespējams noteikt lielāko un/vai mazāko vērtību.

Šie punkti kļūs skaidrāki pēc to attēlošanas grafikos:

Pirmajā attēlā redzama funkcija, kas aizņem lielāko un mazākā vērtība(m a x y un m i n y) stacionārajos punktos, kas atrodas uz nogriežņa [ - 6 ; 6].

Sīkāk apskatīsim otrajā grafikā norādīto gadījumu. Mainīsim segmenta vērtību uz [ 1 ; 6 ] un mēs atklājam, ka lielākā funkcijas vērtība tiks sasniegta punktā ar abscisu intervāla labajā malā, bet mazāko - stacionārajā punktā.

Trešajā attēlā punktu abscises attēlo nogriežņa robežpunktus [ - 3 ; 2]. Tie atbilst lielākajai un mazākajai dotās funkcijas vērtībai.

Tagad apskatīsim ceturto attēlu. Tajā funkcija ņem m a x y (lielākā vērtība) un m i n y (mazākā vērtība) atvērtā intervāla stacionārajos punktos (- 6 ; 6).

Ja ņemam intervālu [ 1 ; 6), tad varam teikt, ka tajā esošās funkcijas mazākā vērtība tiks sasniegta stacionārā punktā. Lielākā vērtība mums būs nezināma. Funkcija varētu iegūt maksimālo vērtību pie x, kas vienāda ar 6, ja x = 6 piederētu intervālam. Tieši šāds gadījums ir parādīts 5. grafikā.

6. grafikā šī funkcija iegūst mazāko vērtību pie intervāla labās robežas (- 3; 2 ], un mēs nevaram izdarīt konkrētus secinājumus par lielāko vērtību.

7. attēlā redzams, ka funkcijai būs m a x y stacionārā punktā, kura abscisa ir vienāda ar 1. Funkcija sasniegs savu minimālo vērtību pie intervāla c robežas labā puse. Pie mīnus bezgalības funkciju vērtības asimptotiski tuvosies y = 3.

Ja ņemam intervālu x ∈ 2 ; + ∞ , tad redzēsim, ka dotā funkcija neuzņems ne mazāko, ne lielāko vērtību. Ja x tiecas uz 2, tad funkcijas vērtībām ir tendence mīnus bezgalība, jo taisne x = 2 ir vertikāla asimptote. Ja abscisai ir tendence palielināties ar bezgalību, tad funkcijas vērtības asimptotiski tuvosies y = 3. Tieši šāds gadījums ir parādīts 8. attēlā.

Šajā rindkopā mēs parādīsim darbību secību, kas jāveic, lai noteiktā segmentā atrastu funkcijas lielāko vai mazāko vērtību.

1. Pirmkārt, atradīsim funkcijas definīcijas domēnu. Pārbaudīsim, vai nosacījumā norādītais segments tajā ir iekļauts.
2. Tagad aprēķināsim šajā segmentā ietvertos punktus, kuros pirmais atvasinājums nepastāv. Visbiežāk tos var atrast funkcijās, kuru arguments ir rakstīts zem moduļa zīmes, vai pakāpju funkcijās, kuru eksponents ir daļēji racionāls skaitlis.
3. Tālāk noskaidrosim, kuri stacionārie punkti iekritīs dotajā segmentā. Lai to izdarītu, jums jāaprēķina funkcijas atvasinājums, pēc tam jāpielīdzina 0 un jāatrisina iegūtais vienādojums un pēc tam jāizvēlas atbilstošās saknes. Ja mēs nesaņemam nevienu stacionāru punktu vai tie neietilpst dotajā segmentā, mēs pārejam pie nākamās darbības.
4. Mēs nosakām, kādas vērtības funkcija iegūs dotajos stacionārajos punktos (ja tādi ir), vai tajos punktos, kuros pirmā atvasinājuma nav (ja tādi ir), vai arī aprēķinām vērtības x = a un x = b.
5. 5. Mums ir vairākas funkciju vērtības, no kurām tagad ir jāizvēlas lielākā un mazākā. Tās būs lielākās un mazākās funkcijas vērtības, kas mums jāatrod.

Apskatīsim, kā pareizi pielietot šo algoritmu, risinot problēmas.

1. piemērs

Stāvoklis: ir dota funkcija y = x 3 + 4 x 2. Nosakiet tā lielākās un mazākās vērtības segmentos [1; 4 ] un [ - 4 ; - 1 ] .

Risinājums:

Sāksim ar dotās funkcijas definīcijas domēna atrašanu. Šajā gadījumā tā būs visu reālo skaitļu kopa, izņemot 0. Citiem vārdiem sakot, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Abi nosacījumā norādītie segmenti atradīsies definīcijas apgabalā.

Tagad mēs aprēķinām funkcijas atvasinājumu saskaņā ar frakciju diferenciācijas likumu:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Mēs uzzinājām, ka funkcijas atvasinājums pastāvēs visos segmentu punktos [1; 4 ] un [ - 4 ; - 1 ] .

Tagad mums ir jānosaka funkcijas stacionārie punkti. Darīsim to, izmantojot vienādojumu x 3 - 8 x 3 = 0. Viņam ir tikai viens īsta sakne, vienāds ar 2. Tas būs stacionārs funkcijas punkts un iekritīs pirmajā segmentā [1; 4 ] .

Aprēķināsim funkcijas vērtības pirmā segmenta galos un šajā punktā, t.i. ja x = 1, x = 2 un x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 g (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Mēs noskaidrojām, ka lielākā funkcijas m a x y x ∈ vērtība [1; 4 ] = y (2) = 3 tiks sasniegts pie x = 1, un mazākais m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pie x = 2.

Otrajā segmentā nav neviena stacionāra punkta, tāpēc mums ir jāaprēķina funkciju vērtības tikai konkrētā segmenta galos:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Tas nozīmē m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Atbilde: Segmentam [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 segmentam [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Skatīt attēlu:

Pirms šīs metodes izpētes iesakām pārskatīt, kā pareizi aprēķināt vienpusējo robežu un robežu bezgalībā, kā arī apgūt pamatmetodes to atrašanai. Lai atklātā vai bezgalīgā intervālā atrastu funkcijas lielāko un/vai mazāko vērtību, secīgi veiciet šādas darbības.

1. Vispirms jums jāpārbauda, ​​vai dotais intervāls ir šīs funkcijas definīcijas domēna apakškopa.
2. Noteiksim visus punktus, kas ir ietverti vajadzīgajā intervālā un kuros pirmais atvasinājums nepastāv. Tie parasti rodas funkcijās, kur arguments ir ietverts moduļa zīmē, un jaudas funkcijās ar daļskaitli racionāls rādītājs. Ja šo punktu trūkst, varat pāriet uz nākamo darbību.
3. Tagad noteiksim, kuri stacionārie punkti ietilps dotajā intervālā. Pirmkārt, mēs pielīdzinām atvasinājumu 0, atrisinām vienādojumu un atlasām piemērotas saknes. Ja mums nav neviena stacionāra punkta vai tie neietilpst dotajā intervālā, tad uzreiz ejam uz turpmākās darbības. Tos nosaka intervāla veids.

• Ja intervālam ir forma [ a ; b) , tad jāaprēķina funkcijas vērtība punktā x = a un vienpusējā robeža lim x → b - 0 f (x) .
• Ja intervālam ir forma (a; b ], tad jāaprēķina funkcijas vērtība punktā x = b un vienpusējā robeža lim x → a + 0 f (x).
• Ja intervālam ir forma (a; b), tad jāaprēķina vienpusējās robežas lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Ja intervālam ir forma [ a ; + ∞), tad mums jāaprēķina vērtība punktā x = a un robeža pie plus bezgalības lim x → + ∞ f (x) .
• Ja intervāls izskatās kā (- ∞ ; b ] , mēs aprēķinām vērtību punktā x = b un robežu mīnus bezgalībā lim x → - ∞ f (x) .
• Ja - ∞ ; b , tad mēs uzskatām vienpusējo robežu lim x → b - 0 f (x) un robežu pie mīnus bezgalības lim x → - ∞ f (x)
• Ja - ∞; + ∞ , tad ņemam vērā mīnus un plus bezgalības robežas lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Beigās ir jāizdara secinājums, pamatojoties uz iegūtajām funkciju vērtībām un ierobežojumiem. Šeit ir pieejamas daudzas iespējas. Tātad, ja vienpusējā robeža ir vienāda ar mīnus bezgalību vai plus bezgalību, tad uzreiz ir skaidrs, ka neko nevar teikt par funkcijas mazākajām un lielākajām vērtībām. Tālāk mēs apskatīsim vienu tipisku piemēru. Detalizēti apraksti palīdzēs jums saprast, kas ir kas. Ja nepieciešams, varat atgriezties pie 4. - 8. attēla materiāla pirmajā daļā.

2. piemērs

Nosacījums: dotā funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Aprēķināt tā lielāko un mazāko vērtību intervālos - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ), 2 ; +∞, [4; + ∞) .

Risinājums

Pirmkārt, mēs atrodam funkcijas definīcijas domēnu. Daļas saucējs satur kvadrātveida trinomāls, kam nevajadzētu būt līdz 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Mēs esam ieguvuši funkcijas definīcijas domēnu, kurai pieder visi nosacījumā norādītie intervāli.

Tagad atšķirsim funkciju un iegūsim:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Līdz ar to funkcijas atvasinājumi pastāv visā tās definīcijas jomā.

Pāriesim pie stacionāro punktu atrašanas. Funkcijas atvasinājums kļūst par 0 pie x = - 1 2 . Šis ir stacionārs punkts, kas atrodas intervālos (- 3 ; 1 ] un (- 3 ; 2) ).

Aprēķināsim funkcijas vērtību pie x = - 4 intervālam (- ∞ ; - 4 ], kā arī robežu pie mīnus bezgalības:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tā kā 3 e 1 6 - 4 > - 1, tas nozīmē, ka m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Tas neļauj mums unikāli noteikt mazāko vērtību Mēs varam tikai secināt, ka ir ierobežojums zem - 1, jo tieši šai vērtībai funkcija tuvojas asimptotiski pie mīnus bezgalības.

Otrā intervāla īpatnība ir tāda, ka tajā nav neviena stacionāra punkta un nevienas stingras robežas. Līdz ar to nevarēsim aprēķināt ne lielāko, ne mazāko funkcijas vērtību. Nosakot robežu mīnus bezgalībā un kā argumentam ir tendence uz -3 kreisajā pusē, mēs iegūstam tikai vērtību intervālu:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tas nozīmē, ka funkciju vērtības atradīsies intervālā - 1; +∞

Lai atrastu funkcijas lielāko vērtību trešajā intervālā, mēs nosakām tās vērtību stacionārajā punktā x = - 1 2, ja x = 1. Mums būs jāzina arī vienpusēja robeža gadījumam, kad arguments tiecas uz - 3 labajā pusē:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 g (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Izrādījās, ka funkcijai būs vislielākā vērtība stacionārā punktā m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Kas attiecas uz mazāko vērtību, tad to nevaram noteikt. Viss, ko mēs zinām , ir zemākās robežas klātbūtne līdz - 4 .

Intervālam (- 3 ; 2) ņemiet iepriekšējā aprēķina rezultātus un vēlreiz aprēķiniet, ar kādu vienpusēja robeža ir vienāda ar 2 kreisajā pusē:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Tas nozīmē, ka m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, un mazāko vērtību nevar noteikt, un funkcijas vērtības no apakšas ierobežo skaitlis - 4 .

Pamatojoties uz to, ko ieguvām divos iepriekšējos aprēķinos, varam teikt, ka uz intervāla [1; 2) funkcijai būs vislielākā vērtība pie x = 1, bet mazāko nav iespējams atrast.

Intervālā (2 ; + ∞) funkcija nesasniegs ne lielāko, ne mazāko vērtību, t.i. tas ņems vērtības no intervāla - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aprēķinot, ar ko būs vienāda funkcijas vērtība pie x = 4, uzzinām, ka m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , un dotā funkcija plus bezgalībā asimptotiski tuvosies taisnei y = - 1 .

Salīdzināsim katrā aprēķinā iegūto ar dotās funkcijas grafiku. Attēlā asimptoti ir parādīti ar punktētām līnijām.

Tas ir viss, ko mēs vēlējāmies jums pastāstīt par funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanu. Mūsu sniegtās darbību secības palīdzēs jums veikt nepieciešamos aprēķinus pēc iespējas ātrāk un vienkāršāk. Taču atcerieties, ka bieži vien ir lietderīgi vispirms noskaidrot, ar kādiem intervāliem funkcija samazināsies un kādos palielināsies, pēc tam var izdarīt tālākus secinājumus. Tādā veidā jūs varat precīzāk noteikt funkcijas lielāko un mazāko vērtību un pamatot iegūtos rezultātus.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Funkcijas lielākā un mazākā vērtība

Funkcijas lielākā vērtība ir lielākā, mazākā vērtība ir mazākā no visām tās vērtībām.

Funkcijai var būt tikai viena lielākā un tikai viena mazākā vērtība, vai arī tai var nebūt nevienas. Nepārtraukto funkciju lielāko un mazāko vērtību atrašana balstās uz šādām šo funkciju īpašībām:

1) Ja noteiktā intervālā (galīgā vai bezgalīgā) funkcija y=f(x) ir nepārtraukta un tai ir tikai viens galējais un ja tas ir maksimums (minimums), tad tā būs lielākā (mazākā) funkcijas vērtība šajā intervālā.

2) Ja funkcija f(x) ir nepārtraukta noteiktā segmentā, tad tai noteikti ir lielākā un mazākā vērtība šajā segmentā. Šīs vērtības tiek sasniegtas vai nu galējos punktos, kas atrodas segmenta iekšpusē, vai arī šī segmenta robežās.

Lai segmentā atrastu lielākās un mazākās vērtības, ieteicams izmantot šādu shēmu:

1. Atrodiet atvasinājumu.

2. Atrodiet funkcijas kritiskos punktus, kuros =0 vai neeksistē.

3. Atrodiet funkcijas vērtības kritiskajos punktos un segmenta galos un izvēlieties no tiem lielāko f max un mazāko f max.

Risinot lietišķās problēmas, jo īpaši optimizācijas, svarīgas ir funkcijas lielāko un mazāko vērtību (globālā maksimuma un globālā minimuma) atrašana intervālā X. Lai atrisinātu šādas problēmas, ir jābalstās uz nosacījumu , atlasiet neatkarīgu mainīgo un izsakiet pētāmo vērtību, izmantojot šo mainīgo. Pēc tam atrodiet iegūtās funkcijas vēlamo lielāko vai mazāko vērtību. Šajā gadījumā no uzdevuma nosacījumiem nosaka arī neatkarīgā mainīgā izmaiņu intervālu, kas var būt gan galīgs, gan bezgalīgs.

Piemērs. Rezervuārs veidots kā atvērta augšdaļa taisnstūra paralēlskaldnis ar kvadrātveida dibenu, vajag skārdināt iekšpusi. Kādiem jābūt tvertnes izmēriem, ja tās tilpums ir 108 litri? ūdens, lai tā alvošanas izmaksas būtu minimālas?

Risinājums. Tvertnes pārklāšanas ar alvu izmaksas būs minimālas, ja noteiktai jaudai tās virsmas laukums ir minimāls. Apzīmēsim ar a dm pamatnes malu, ar b dm – tvertnes augstumu. Tad tā virsmas laukums S ir vienāds ar

UN

Iegūtā sakarība nosaka saistību starp rezervuāra S virsmas laukumu (funkcija) un pamatnes malu a (arguments). Apskatīsim funkciju S ekstrēmumam. Atradīsim pirmo atvasinājumu, pielīdzināsim to nullei un atrisināsim iegūto vienādojumu:

Tādējādi a = 6. (a) > 0, ja a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Piemērs. Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību uz intervālu.

Risinājums: Norādītā funkcija nepārtraukts visā skaitļu rindā. Funkcijas atvasinājums

Atvasinājums priekš un priekš . Aprēķināsim funkciju vērtības šādos punktos:

.

Funkcijas vērtības dotā intervāla beigās ir vienādas. Tāpēc funkcijas lielākā vērtība ir vienāda ar at , mazākā funkcijas vērtība ir vienāda ar at .

Pašpārbaudes jautājumi

1. Formulējiet L'Hopital noteikumu formas nenoteiktību atklāšanai. Saraksts Dažādi veidi nenoteiktības, kurām var izmantot L'Hopital noteikumu.

2. Formulējiet funkciju palielināšanas un samazināšanās pazīmes.

3. Definējiet funkcijas maksimumu un minimumu.

4. Formulējiet nepieciešamais nosacījums ekstrēma esamība.

5. Kādas argumenta vērtības (kurus punktus) sauc par kritiskām? Kā atrast šos punktus?

6. Kādas ir pietiekamas funkcijas ekstrēma esamības pazīmes? Ieskicējiet shēmu funkcijas izpētei ekstrēmā, izmantojot pirmo atvasinājumu.

7. Ieskicējiet shēmu ekstrēmā esošās funkcijas izpētei, izmantojot otro atvasinājumu.

8. Definējiet līknes izliekumu un ieliekumu.

9. Ko sauc par funkcijas grafika lēciena punktu? Norādiet šo punktu atrašanas metodi.

10. Formulējiet vajadzīgās un pietiekamās līknes izliekuma un ieliekuma pazīmes noteiktā segmentā.

11. Definējiet līknes asimptotu. Kā atrast funkcijas grafika vertikālās, horizontālās un slīpās asimptotes?

12.Kontūra vispārējā shēma funkcijas izpēte un tās grafika konstruēšana.

13. Formulējiet noteikumu, lai atrastu funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā intervālā.

Apskatīsim, kā pārbaudīt funkciju, izmantojot grafiku. Izrādās, ka, aplūkojot grafiku, mēs varam uzzināt visu, kas mūs interesē, proti:

• funkcijas domēns
• funkciju diapazons
• funkciju nulles
• pieauguma un samazināšanās intervāli
• maksimālie un minimālie punkti
• segmenta funkcijas lielākā un mazākā vērtība.

Precizēsim terminoloģiju:

Abscisa ir punkta horizontālā koordināta.
Ordināta- vertikālā koordināte.
Abscisu ass- horizontālā ass, ko visbiežāk sauc par asi.
Y ass- vertikālā ass vai ass.

Arguments- neatkarīgs mainīgais, no kura ir atkarīgas funkciju vērtības. Visbiežāk norādīts.
Citiem vārdiem sakot, mēs izvēlamies , aizstājam funkcijas formulā un iegūstam .

Domēns funkcijas - to (un tikai to) argumentu vērtību kopa, kurām funkcija pastāv.
Apzīmēts ar: vai .

Mūsu attēlā funkcijas definīcijas domēns ir segments. Tieši šajā segmentā tiek uzzīmēts funkcijas grafiks. Šī ir vienīgā vieta, kur šī funkcija pastāv.

Funkciju diapazons ir vērtību kopa, ko iegūst mainīgais. Mūsu attēlā tas ir segments - no zemākās līdz augstākajai vērtībai.

Funkcijas nulles- punkti, kur funkcijas vērtība ir nulle, tas ir. Mūsu attēlā tie ir punkti un .

Funkcijas vērtības ir pozitīvas kur . Mūsu attēlā tie ir intervāli un .
Funkciju vērtības ir negatīvas kur . Mums tas ir intervāls (vai intervāls) no līdz .

Vissvarīgākie jēdzieni - palielinot un samazinot funkciju kādā komplektā. Kā kopu varat ņemt segmentu, intervālu, intervālu savienību vai visu skaitļu līniju.

Funkcija palielinās

Citiem vārdiem sakot, jo vairāk , jo vairāk, tas ir, grafiks iet pa labi un uz augšu.

Funkcija samazinās uz kopas, ja kādam un kas pieder pie kopas, nevienlīdzība nozīmē nevienlīdzību .

Samazinošai funkcijai lielāka vērtība atbilst mazākai vērtībai. Diagramma iet pa labi un uz leju.

Mūsu attēlā funkcija palielinās uz intervālu un samazinās uz intervāliem un .

Definēsim, kas tas ir funkcijas maksimālie un minimālie punkti.

Maksimālais punkts- šis ir definīcijas apgabala iekšējais punkts, kurā funkcijas vērtība ir lielāka nekā visos punktos, kas tam ir pietiekami tuvu.
Citiem vārdiem sakot, maksimālais punkts ir punkts, kurā funkcijas vērtība vairāk nekā kaimiņos. Šis diagrammā ir vietējais "kalns".

Mūsu attēlā ir maksimālais punkts.

Minimālais punkts- definīcijas apgabala iekšējais punkts, kurā funkcijas vērtība ir mazāka nekā visos punktos, kas tam ir pietiekami tuvu.
Tas ir, minimālais punkts ir tāds, ka funkcijas vērtība tajā ir mazāka nekā tās kaimiņos. Šis ir lokāls "caurums" grafikā.

Mūsu attēlā ir minimālais punkts.

Punkts ir robeža. Tas nav definīcijas jomas iekšējais punkts un tāpēc neatbilst maksimālā punkta definīcijai. Galu galā viņai nav kaimiņu kreisajā pusē. Tādā pašā veidā mūsu diagrammā nevar būt minimālais punkts.

Maksimālo un minimālo punktu kopā sauc funkcijas galējie punkti. Mūsu gadījumā tas ir un .

Ko darīt, ja jāatrod piem. minimālā funkcija segmentā? IN šajā gadījumā atbilde:. Jo minimālā funkcija ir tā vērtība minimālajā punktā.

Tāpat mūsu funkcijas maksimums ir . Tas tiek sasniegts punktā.

Var teikt, ka funkcijas galējības ir vienādas ar un .

Dažreiz problēmas ir jāatrod funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā segmentā. Tie ne vienmēr sakrīt ar galējībām.

Mūsu gadījumā mazākā funkcijas vērtība segmentā ir vienāds ar funkcijas minimumu un sakrīt ar to. Bet tā lielākā vērtība šajā segmentā ir vienāda ar . Tas tiek sasniegts segmenta kreisajā galā.

Jebkurā gadījumā lielākās un mazākās nepārtrauktās funkcijas vērtības segmentā tiek sasniegtas vai nu galējos punktos, vai segmenta galos.

Šāda matemātiskās analīzes objekta kā funkcijas izpētei ir liela nozīme nozīmē un citās zinātnes jomās. Piemēram, iekšā ekonomiskā analīze uzvedība ir pastāvīgi jānovērtē funkcijas peļņu, proti, noteikt tās lielāko nozīmē un izstrādāt stratēģiju tā sasniegšanai.

Instrukcijas

Jebkuras uzvedības izpēte vienmēr jāsāk ar definīcijas domēna meklēšanu. Parasti atbilstoši konkrētas problēmas nosacījumiem ir jānosaka lielākā nozīmē funkcijas vai nu visā šajā apgabalā, vai noteiktā tā intervālā ar atvērtām vai slēgtām robežām.

Pamatojoties uz , lielākais ir nozīmē funkcijas y(x0), kurā jebkuram definīcijas apgabala punktam ir spēkā nevienādība y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Grafiski šis punkts būs augstākais, ja argumentu vērtības ir novietotas pa abscisu asi, bet pati funkcija - pa ordinātu asi.

Lai noteiktu lielāko nozīmē funkcijas, izpildiet trīs soļu algoritmu. Ņemiet vērā, ka jāprot strādāt ar vienpusējiem un , kā arī aprēķināt atvasinājumu. Tātad, dodiet kādu funkciju y(x), un jums jāatrod tās lielākā nozīmē noteiktā intervālā ar robežvērtībām A un B.

Uzziniet, vai šis intervāls ietilpst definīcijas darbības jomā funkcijas. Lai to izdarītu, jums tas ir jāatrod, ņemot vērā visus iespējamos ierobežojumus: daļskaitļa klātbūtni izteiksmē, kvadrātsakne utt. Definīcijas domēns ir argumentu vērtību kopa, kurai funkcijai ir jēga. Nosakiet, vai dotais intervāls ir tā apakškopa. Ja jā, pārejiet pie nākamās darbības.

Atrodiet atvasinājumu funkcijas un atrisiniet iegūto vienādojumu, pielīdzinot atvasinājumu nullei. Tādā veidā jūs iegūsit tā saukto stacionāro punktu vērtības. Novērtējiet, vai vismaz viens no tiem pieder intervālam A, B.

Trešajā posmā apsveriet šos punktus un aizstājiet to vērtības funkcijā. Atkarībā no intervāla veida veiciet šādas papildu darbības. Ja ir formas [A, B] segments, robežpunkti tiek iekļauti intervālā, to norāda iekavās. Aprēķināt vērtības funkcijas ja x = A un x = B. Ja intervāls ir atvērts (A, B), robežvērtības tiek pārdurtas, t.i. tajā nav iekļauti. Atrisiniet vienpusējas robežas x→A un x→B. Formas [A, B) vai (A, B) kombinētais intervāls, kura viena robeža tai pieder, otra neatrod vienpusējo robežu, jo x tiecas uz caurdurto vērtību, un aizstāj ar otru bezgalīgs divpusējs intervāls (-∞, +∞) vai vienpusēji bezgalīgie intervāli formā: , (-∞, B), rīkojieties saskaņā ar jau aprakstītajiem principiem bezgalīgie, meklējiet ierobežojumus attiecīgi x→-∞ un x→+∞.

Uzdevums šajā posmā

Šajā rakstā es runāšu par algoritms lielākās un mazākās vērtības atrašanai funkcijas, minimālie un maksimālie punkti.

No teorijas tas mums noteikti noderēs atvasinājumu tabula Un diferenciācijas noteikumi. Tas viss ir uz šīs plāksnes:

Algoritms lielāko un mazāko vērtību atrašanai.

Man ir ērtāk paskaidrot konkrēts piemērs. Apsveriet:

Piemērs: Atrodiet funkcijas y=x^5+20x^3–65x lielāko vērtību segmentā [–4;0].

1. darbība. Mēs ņemam atvasinājumu.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2. darbība. Ekstrēmu punktu atrašana.

Ekstrēma punkts mēs saucam tos punktus, kuros funkcija sasniedz savu lielāko vai minimālo vērtību.

Lai atrastu galējos punktus, funkcijas atvasinājums ir jāpielīdzina nullei (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Tagad mēs atrisinām šo bikvadrātisko vienādojumu, un atrastās saknes ir mūsu galējie punkti.

Es atrisinu šādus vienādojumus, aizstājot t = x^2, tad 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Samazināsim vienādojumu par 5, iegūstam: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 — 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kvadrāts (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kvadrāts(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Mēs veicam apgrieztās izmaiņas x^2 = t:

X_(1 un 2) = ± kvadrāts (1) = ±1
x_(3 un 4) = ±sqrt(-13) (izslēdzam, zem saknes nevar būt negatīvi skaitļi, ja vien mēs, protams, nerunājam par kompleksajiem skaitļiem)

Kopā: x_(1) = 1 un x_(2) = -1 - tie ir mūsu galējie punkti.

3. darbība. Nosakiet lielāko un mazāko vērtību.

Aizvietošanas metode.

Stāvoklī mums tika dots segments [b][–4;0]. Punkts x=1 nav iekļauts šajā segmentā. Tāpēc mēs to neapsveram. Bet papildus punktam x=-1 mums jāņem vērā arī mūsu segmenta kreisā un labā robeža, tas ir, punkti -4 un 0. Lai to izdarītu, mēs visus šos trīs punktus aizstājam ar sākotnējo funkciju. Ņemiet vērā, ka sākotnējais ir tas, kas dots nosacījumā (y=x^5+20x^3–65x), daži cilvēki sāk to aizstāt ar atvasinājumu...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Tas nozīmē, ka funkcijas lielākā vērtība ir [b]44, un tā tiek sasniegta punktā [b]-1, ko sauc par funkcijas maksimālo punktu segmentā [-4; 0].

Nolēmām un saņēmām atbildi, esam lieliski, varat atpūsties. Bet stop! Vai jums nešķiet, ka aprēķināt y(-4) ir pārāk grūti? Ierobežota laika apstākļos labāk ir izmantot citu metodi, es to saucu šādi:

Caur zīmju noturības intervāliem.

Šie intervāli tiek atrasti funkcijas atvasinājumam, tas ir, mūsu bikvadrātiskajam vienādojumam.

Es to daru šādi. Es zīmēju virzītu segmentu. Es ievietoju punktus: -4, -1, 0, 1. Neskatoties uz to, ka 1 nav iekļauts dotajā segmentā, tas tomēr ir jāņem vērā, lai pareizi noteiktu zīmes noturības intervālus. Ņemsim kādu skaitli, kas daudzkārt lielāks par 1, teiksim 100, un prātīgi aizstājam to mūsu bikvadrātiskajā vienādojumā 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Pat neskaitot neko, kļūst skaidrs, ka 100. punktā funkcijai ir pluszīme. Tas nozīmē, ka intervāliem no 1 līdz 100 tam ir plus zīme. Pārejot cauri 1 (ejam no labās puses uz kreiso), funkcija mainīs zīmi uz mīnusu. Pārejot caur punktu 0, funkcija saglabās savu zīmi, jo tā ir tikai segmenta robeža, nevis vienādojuma sakne. Pārejot cauri -1, funkcija atkal mainīs zīmi uz plusu.

No teorijas mēs zinām, kur atrodas funkcijas atvasinājums (un mēs to uzzīmējām tieši tai) maina zīmi no plusa uz mīnusu (mūsu gadījumā punkts -1) funkcija sasniedz tā vietējais maksimums (y(-1)=44, kā aprēķināts iepriekš)šajā segmentā (tas ir loģiski ļoti saprotams, funkcija pārstāja palielināties, jo sasniedza maksimumu un sāka samazināties).

Attiecīgi, kur funkcijas atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, tiek sasniegts funkcijas lokālais minimums. Jā, jā, mēs arī atklājām, ka vietējais minimālais punkts ir 1, un y(1) ir segmenta funkcijas minimālā vērtība, piemēram, no -1 līdz +∞. Lūdzu, ņemiet vērā, ka tas ir tikai LOKĀLAIS MINIMUMS, tas ir, minimums noteiktā segmentā. Tā kā funkcijas reālais (globālais) minimums sasniegs kaut kur tur, pie -∞.

Manuprāt, pirmā metode ir teorētiski vienkāršāka, bet otrā ir vienkāršāka no aritmētisko darbību viedokļa, bet daudz sarežģītāka no teorijas viedokļa. Galu galā dažreiz ir gadījumi, kad funkcija nemaina zīmi, izejot cauri vienādojuma saknei, un kopumā jūs varat sajaukt ar šiem lokālajiem, globālajiem maksimumiem un minimumiem, lai gan jums tas tik un tā būs labi jāapgūst, ja plāno iestāties tehniskajā universitātē (un kāpēc gan vēl kārto profila vienoto valsts eksāmenu un risina šo uzdevumu). Bet prakse un tikai prakse iemācīs šādas problēmas atrisināt vienreiz un uz visiem laikiem. Un jūs varat trenēties mūsu vietnē. Šeit .

Ja jums ir kādi jautājumi vai kaut kas nav skaidrs, noteikti jautājiet. Ar prieku jums atbildēšu un veiksim izmaiņas un papildinājumus rakstā. Atcerieties, ka šo vietni veidojam kopā!