Najprostsze nierówności trygonometryczne. Algorytm rozwiązywania prostych nierówności trygonometrycznych i rozpoznawanie metod rozwiązywania nierówności trygonometrycznych
Najprostsze nierówności trygonometryczne postaci sin x>a są podstawą do rozwiązywania bardziej złożonych nierówności trygonometrycznych.
Rozważmy rozwiązanie najprostszych nierówności trygonometrycznych postaci sin x>a na okręgu jednostkowym.
1) o godzinie 0
Używając skojarzenia cosinus-bun (oba zaczynają się od co-, oba są „okrągłe”), pamiętamy, że cosinus to odpowiednio x, a sinus to y. Stąd budujemy wykres y=a - linia prosta równoległa do osi wołu. Jeśli nierówność jest ścisła, przebija się punkty przecięcia okręgu jednostkowego z prostą y=a, jeśli nierówność nie jest ścisła, zamalowujemy punkty (jak łatwo zapamiętać, kiedy punkt został przebity, a kiedy jest zacieniony, patrz). Największą trudność w rozwiązaniu najprostszych nierówności trygonometrycznych sprawia prawidłowe znalezienie punktów przecięcia okręgu jednostkowego i prostej y=a.
Pierwszy punkt jest łatwy do znalezienia - jest to arcsin a. Wyznaczamy ścieżkę, którą przejdziemy od pierwszego punktu do drugiego. Na linii y=a sinx=a, powyżej, nad linią sin x>a, a poniżej pod linią sin x
2) a=0, czyli grzech x>0
W tym przypadku pierwszym punktem przedziału jest 0, drugim jest n. Do obu końców przedziału, biorąc pod uwagę okres sinusa, dodajemy 2n.
3) dla a=-1, czyli sinx>-1
W tym przypadku pierwszym punktem jest p/2 i aby dostać się do drugiego, okrążamy cały okrąg w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Dochodzimy do punktu -p/2+2p=3p/2. Aby uwzględnić wszystkie przedziały będące rozwiązaniami tej nierówności, do obu końców dodajemy 2n.
4) sinx>-a, przy 0
Pierwszym punktem jest jak zwykle arcsin(-a)=-arcsina. Aby dostać się do drugiego punktu, idziemy górną drogą, czyli w kierunku zwiększania kąta.
Tym razem wykraczamy poza n. Jak długo będziemy? Na Arcsinie X. Oznacza to, że drugi punkt to n+arcsin x. Dlaczego nie ma minusa? Ponieważ minus w zapisie -arcsin a oznacza ruch zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a my poszliśmy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Na koniec dodaj 2 pn na każdym końcu przedziału.
5) sinx>a, jeśli a>1.
Okrąg jednostkowy leży całkowicie pod prostą y=a. Nie ma ani jednego punktu powyżej linii prostej. Zatem nie ma rozwiązań.
6) sinx>-a, gdzie a>1.
W tym przypadku cały okrąg jednostkowy leży całkowicie nad prostą y=a. Zatem dowolny punkt spełnia warunek sinx>a. Oznacza to, że x jest dowolną liczbą.
I tutaj x jest dowolną liczbą, ponieważ w rozwiązaniu uwzględnione są punkty -n/2+2nn, w przeciwieństwie do ścisłej nierówności sinx>-1. Nie ma potrzeby niczego wykluczać.
Jedynym punktem na okręgu spełniającym ten warunek jest n/2. Uwzględniając okres sinusa, rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór punktów x=n/2+2n.
Na przykład rozwiąż nierówność sinx>-1/2:
Podczas lekcji praktycznej powtórzymy główne typy zadań z tematu „Trygonometria”, dodatkowo przeanalizujemy problemy o zwiększonej złożoności i rozważymy przykłady rozwiązywania różnych nierówności trygonometrycznych i ich układów.
Ta lekcja pomoże Ci przygotować się do jednego z typów zadań B5, B7, C1 i C3.
Zacznijmy od przejrzenia głównych typów zadań, które omówiliśmy w temacie „Trygonometria” i rozwiążmy kilka niestandardowych problemów.
Zadanie nr 1. Konwersja kątów na radiany i stopnie: a) ; B) .
a) Skorzystajmy ze wzoru na przeliczenie stopni na radiany
Podstawmy do niego określoną wartość.
b) Zastosuj wzór na przeliczenie radianów na stopnie
Dokonajmy podstawienia 
.
Odpowiedź. A) ; B) .
Zadanie nr 2. Oblicz: a) ; B) .
a) Ponieważ kąt wykracza daleko poza tabelę, zmniejszymy go, odejmując okres sinusoidalny. Ponieważ Kąt jest podawany w radianach, wówczas okres będziemy rozpatrywać jako .
b) B w tym przypadku sytuacja jest podobna. Ponieważ kąt jest podawany w stopniach, okres stycznej będziemy rozważać jako .
Powstały kąt, choć mniejszy od kropki, jest większy, co oznacza, że nie odnosi się już do głównej, ale do przedłużonej części stołu. Aby po raz kolejny nie ćwiczyć pamięci zapamiętywaniem rozszerzonej tabeli wartości funkcji trygony, odejmiemy jeszcze raz okres styczny:
Wykorzystaliśmy dziwność funkcji stycznej.
Odpowiedź. a) 1; B) .
Zadanie nr 3. Oblicz 
, Jeśli .
Sprowadźmy całe wyrażenie do tangensów, dzieląc licznik i mianownik ułamka przez . Jednocześnie nie możemy się tego bać, bo w tym przypadku wartość tangensa nie istniałaby.
Zadanie nr 4. Uprość wyrażenie.
Określone wyrażenia są konwertowane przy użyciu formuł redukcyjnych. Są po prostu niezwykle napisane przy użyciu stopni. Pierwsze wyrażenie zazwyczaj reprezentuje liczbę. Uprośćmy wszystkie funkcje trygologiczne jeden po drugim:
Ponieważ , wówczas funkcja zmienia się na kofunkcję, tj. do cotangensu, a kąt przypada na drugą ćwiartkę, w której pierwotna styczna ma znak ujemny.
Z tych samych powodów, co w poprzednim wyrażeniu, funkcja zmienia się na kofunkcję, tj. do cotangensu, a kąt przypada na pierwszą ćwiartkę, w której pierwotna styczna ma znak dodatni.
Zastąpmy wszystko uproszczonym wyrażeniem:
Problem nr 5. Uprość wyrażenie.
Zapiszmy tangens podwójny kąt korzystając z odpowiedniego wzoru i upraszczając wyrażenie:
Ostatnia tożsamość jest jednym z uniwersalnych wzorów zastępczych dla cosinusa.
Problem nr 6. Oblicz.
Najważniejsze, aby nie popełnić standardowego błędu i nie udzielić odpowiedzi, że wyrażenie jest równe . Nie możesz użyć podstawowej właściwości arcus tangens, jeśli obok niego znajduje się czynnik w postaci dwójki. Aby się tego pozbyć napiszemy wyrażenie według wzoru na tangens kąta podwójnego, traktując , jako zwykły argument.
Teraz możemy zastosować podstawową właściwość arcustangens; pamiętajmy, że nie ma ograniczeń co do jego wyniku numerycznego.
Problem nr 7. Rozwiązać równanie.
Decydując równanie ułamkowe, która jest równa zeru, zawsze wskazuje się, że licznik równy zeru, ale mianownik nie jest, ponieważ Nie można dzielić przez zero.
Pierwsze równanie to szczególny przypadek najprostsze równanie, które można rozwiązać za pomocą koła trygonometrycznego. Zapamiętaj sobie to rozwiązanie. Drugą nierówność rozwiązuje się najprościej, korzystając ze wzoru ogólnego na pierwiastki stycznej, ale tylko ze znakiem nierównym.
Jak widzimy, jedna rodzina pierwiastków wyklucza inną rodzinę dokładnie tego samego typu pierwiastków, która nie spełnia równania. Te. nie ma korzeni.
Odpowiedź. Nie ma korzeni.
Problem nr 8. Rozwiązać równanie.
Zauważmy od razu, że możemy wyciągnąć wspólny czynnik i zróbmy to:
Równanie zostało sprowadzone do jednej ze standardowych postaci, gdy iloczyn kilku czynników jest równy zero. Wiemy już, że w tym przypadku albo jedna z nich jest równa zeru, albo druga, albo trzecia. Zapiszmy to w postaci układu równań:
Pierwsze dwa równania są szczególnymi przypadkami najprostszych; z podobnymi równaniami spotykaliśmy się już wielokrotnie, dlatego od razu wskażemy ich rozwiązania. Trzecie równanie redukujemy do jednej funkcji, korzystając ze wzoru na sinus podwójnego kąta.
Rozwiążmy ostatnie równanie osobno:
To równanie nie ma pierwiastków, ponieważ wartość sinusoidalna nie może przekroczyć 
.
Zatem rozwiązaniem są tylko dwie pierwsze rodziny pierwiastków; można je połączyć w jedną, co łatwo pokazać na okręgu trygonometrycznym:
 |
Jest to rodzina wszystkich połówek, tj.
Przejdźmy do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych. Najpierw przeanalizujemy podejście do rozwiązania przykładu bez stosowania wzorów na rozwiązania ogólne, ale z wykorzystaniem koła trygonometrycznego.
Problem nr 9. Rozwiąż nierówność.
Narysujmy na okręgu trygonometrycznym linię pomocniczą odpowiadającą wartości sinusoidalnej równej , i pokażmy zakres kątów spełniających nierówność.
 |
Bardzo ważne jest, aby dokładnie zrozumieć, jak wskazać wynikowy odstęp kątów, tj. jaki jest jego początek i jaki jest jego koniec. Początkiem interwału będzie kąt odpowiadający punktowi, w który wejdziemy na samym początku interwału, jeśli będziemy poruszać się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. W naszym przypadku jest to punkt po lewej stronie, ponieważ poruszając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i mijając właściwy punkt, wręcz przeciwnie, pozostawiamy wymagany zakres kątów. Właściwy punkt będzie zatem odpowiadał końcowi luki.
Teraz musimy zrozumieć kąty początku i końca naszego przedziału rozwiązań nierówności. Częsty błąd- ma to na celu od razu wskazać, że prawy punkt odpowiada kątowi, lewy i podać odpowiedź. To nie jest prawda! Proszę zwrócić uwagę, że właśnie wskazaliśmy przedział odpowiadający górnej części okręgu, chociaż interesuje nas dolna część, innymi słowy, pomyliliśmy początek i koniec potrzebnego nam przedziału rozwiązania.
Aby odstęp zaczynał się od narożnika prawego punktu i kończył się narożnikiem lewego punktu, konieczne jest, aby pierwszy określony kąt był mniejszy od drugiego. Aby to zrobić, będziemy musieli zmierzyć kąt prawego punktu w ujemnym kierunku odniesienia, tj. zgodnie z ruchem wskazówek zegara i będzie równa . Następnie zaczynając od niego poruszać się w kierunku dodatnim zgodnie z ruchem wskazówek zegara, dotrzemy do prawego punktu po lewym punkcie i otrzymamy dla niego wartość kąta. Teraz początek przedziału kątów jest mniejszy niż koniec i możemy zapisać przedział rozwiązań bez uwzględnienia okresu:
Biorąc pod uwagę, że takie przedziały będą powtarzane nieskończoną liczbę razy po dowolnej całkowitej liczbie obrotów, otrzymujemy rozwiązanie ogólne uwzględniające okres sinusoidalny:
Umieszczamy nawiasy, ponieważ nierówność jest ścisła i wybieramy punkty na okręgu, które odpowiadają końcom przedziału.
Porównaj otrzymaną odpowiedź ze wzorem na rozwiązanie ogólne, który podaliśmy na wykładzie.
Odpowiedź. 
.
Metoda ta jest dobra do zrozumienia, skąd pochodzą wzory na ogólne rozwiązania najprostszych nierówności trygonalnych. Ponadto jest to przydatne dla tych, którzy są zbyt leniwi, aby nauczyć się tych wszystkich uciążliwych formuł. Jednak sama metoda również nie jest łatwa; wybierz, które podejście do rozwiązania jest dla Ciebie najwygodniejsze.
Do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych można także wykorzystać wykresy funkcji, na których zbudowana jest linia pomocnicza, podobnie jak w przypadku metody pokazanej przy użyciu okręgu jednostkowego. Jeśli jesteś zainteresowany, spróbuj sam znaleźć takie podejście do rozwiązania. W przyszłości skorzystamy ogólne formuły do rozwiązywania prostych nierówności trygonometrycznych.
Problem nr 10. Rozwiąż nierówność.
Skorzystajmy ze wzoru na rozwiązanie ogólne, biorąc pod uwagę fakt, że nierówność nie jest ścisła:
W naszym przypadku otrzymujemy:
Odpowiedź. 
Zadanie nr 11. Rozwiąż nierówność.
Skorzystajmy ze wzoru ogólnego na rozwiązanie odpowiadającej mu ściśle nierówności:
Odpowiedź. 
.
Zadanie nr 12. Rozwiązuj nierówności: a) ; B) .
W tych nierównościach nie ma potrzeby spieszyć się z użyciem wzorów na rozwiązania ogólne lub okrąg trygonometryczny, wystarczy po prostu zapamiętać zakres wartości sinusa i cosinusa.
a) Od 
, to nierówność nie ma sensu. Dlatego nie ma rozwiązań.
b) Ponieważ podobnie sinus dowolnego argumentu zawsze spełnia nierówność określoną w warunku. Dlatego wszystkie rzeczywiste wartości argumentu spełniają nierówność.
Odpowiedź. a) nie ma rozwiązań; B) .
Problem 13. Rozwiąż nierówność 
.
1. Jeśli argument jest złożony (inny niż X), a następnie zastąp go T.
2. Budujemy w jednej płaszczyźnie współrzędnych zabawka wykresy funkcji y=koszt I y=a.
3. Znajdujemy takie dwa sąsiednie punkty przecięcia wykresów, pomiędzy którymi się znajduje nad prostą y=a. Znajdujemy odcięte tych punktów.
4. Napisz podwójną nierówność dla argumentu T, biorąc pod uwagę okres cosinusa ( T będzie pomiędzy znalezionymi odciętymi).
5. Dokonaj odwrotnego podstawienia (powróć do pierwotnego argumentu) i wyraź wartość X z podwójnej nierówności zapisujemy odpowiedź w postaci przedziału liczbowego.
Przykład 1.
Następnie zgodnie z algorytmem określamy te wartości argumentu T, w którym znajduje się sinusoida wyższy prosty. Zapiszmy te wartości jako podwójną nierówność, biorąc pod uwagę okresowość funkcji cosinus, a następnie wróćmy do pierwotnego argumentu X.
Przykład 2.
Wybór zakresu wartości T, w którym sinusoida znajduje się nad linią prostą.
Wartości zapisujemy w postaci podwójnej nierówności T, spełniający warunek. Nie zapominaj, że najmniejszy okres funkcji y=koszt równa się 2π. Wracając do zmiennej X, stopniowo upraszczając wszystkie części podwójnej nierówności.
Odpowiedź piszemy w postaci zamkniętego przedziału liczbowego, ponieważ nierówność nie była ścisła.
Przykład 3.
Nas będzie interesował zakres wartości T, w którym punkty sinusoidy będą leżeć nad linią prostą.
Wartości T zapisz to w postaci podwójnej nierówności, przepisz te same wartości dla 2x i ekspresowe X. Zapiszmy odpowiedź w postaci przedziału liczbowego.
I jeszcze raz formuła koszt>a.
Jeśli koszt>a, (-1≤A≤1), wówczas - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
Zastosuj wzory do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych, a zaoszczędzisz czas na testowaniu egzaminów.
I teraz formuła
, którego powinieneś użyć na egzaminie UNT lub Unified State Examination przy rozwiązywaniu nierówności trygonometrycznej postaci koszt
Jeśli koszt , (-1≤A≤1), wówczas arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
Zastosuj tę formułę do rozwiązania nierówności omawianych w tym artykule, a otrzymasz odpowiedź znacznie szybciej i bez żadnych wykresów!
Biorąc pod uwagę okresowość funkcji sinus, piszemy podwójną nierówność dla wartości argumentu T, spełniając ostatnią nierówność. Wróćmy do pierwotnej zmiennej. Przekształćmy wynikową podwójną nierówność i wyrażmy zmienną X. Zapiszmy odpowiedź w formie przedziału.
Rozwiążmy drugą nierówność:
Rozwiązując drugą nierówność, musieliśmy przekształcić lewą stronę tej nierówności za pomocą wzoru na sinus z podwójnym argumentem, aby otrzymać nierówność postaci: sint≥a. Następnie postępowaliśmy zgodnie z algorytmem.
Rozwiązujemy trzecią nierówność:
Drodzy absolwenci i kandydaci! Należy pamiętać, że metody rozwiązywania nierówności trygonometrycznych, takie jak podana powyżej metoda graficzna i prawdopodobnie znana Ci metoda rozwiązywania za pomocą jednostkowego okręgu trygonometrycznego (okręgu trygonometrycznego) mają zastosowanie tylko w pierwszych etapach studiowania działu trygonometrii „Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych.” Myślę, że pamiętasz, że najpierw rozwiązałeś najprostsze równania trygonometryczne za pomocą wykresów lub koła. Jednak teraz nie pomyślałbyś o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych w ten sposób. Jak je rozwiązać? Zgadza się, zgodnie ze wzorami. Zatem nierówności trygonometryczne należy rozwiązywać za pomocą wzorów, zwłaszcza podczas testowania, kiedy każda minuta jest cenna. Rozwiąż więc trzy nierówności z tej lekcji, korzystając z odpowiedniego wzoru.
Jeśli sin>a, gdzie -1≤ A≤1, zatem arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
Naucz się formuł!
I na koniec: czy wiesz, że matematyka to definicje, reguły i WZORY?!
Oczywiście, że tak! A najbardziej zaciekawieni, po przestudiowaniu tego artykułu i obejrzeniu wideo, wykrzyknęli: „Jak długo i trudno! Czy istnieje wzór, który pozwala rozwiązać takie nierówności bez użycia wykresów i okręgów?” Tak, oczywiście, że istnieje!
DO ROZWIĄZANIA NIERÓWNOŚCI FORMY: grzech (-1≤A≤1) obowiązuje wzór:
— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
Zastosuj to do omawianych przykładów, a odpowiedź otrzymasz znacznie szybciej!
Wniosek: UCZ SIĘ FORMUŁ, Przyjaciele!
Strona 1 z 1 1
Większość uczniów nie lubi nierówności trygonometrycznych. Ale na próżno. Jak mawiał jeden z bohaterów,
„Po prostu nie wiesz, jak je ugotować”
Jak więc „gotować” i jak zgłosić nierówność z sinusem, dowiemy się w tym artykule. Rozwiążemy to najprościej - wykorzystując okrąg jednostkowy.
Przede wszystkim potrzebujemy następującego algorytmu.
Algorytm rozwiązywania nierówności z sinusem:
- na osi sinusa wykreślamy liczbę $a$ i rysujemy linię prostą równoległą do osi cosinusa aż do przecięcia się z okręgiem;
- punkty przecięcia tej linii z okręgiem zostaną zacienione, jeśli nierówność nie jest ścisła, i nie zacienione, jeśli nierówność jest ścisła;
- obszar rozwiązania nierówności będzie znajdował się powyżej linii i do okręgu, jeśli nierówność zawiera znak „$>$”, oraz poniżej linii i do okręgu, jeśli nierówność zawiera znak „$<$”;
- aby znaleźć punkty przecięcia, rozwiązujemy równanie trygonometryczne $\sin(x)=a$, otrzymujemy $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
- ustawiając $n=0$, znajdujemy pierwszy punkt przecięcia (znajduje się on w pierwszej lub czwartej ćwiartce);
- aby znaleźć drugi punkt, patrzymy, w którym kierunku przechodzimy przez obszar do drugiego punktu przecięcia: jeśli w kierunku dodatnim, to powinniśmy przyjąć $n=1$, a jeśli w kierunku ujemnym, to $n=- 1 $;
- w odpowiedzi zapisuje się odstęp od mniejszego punktu przecięcia $+ 2\pi n$ do większego $+ 2\pi n$.
Ograniczenie algorytmu
Ważne: D dany algorytm nie działa dla nierówności postaci $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
Szczególne przypadki rozwiązywania nierówności z sinusem
Warto również zwrócić uwagę na następujące przypadki, które znacznie wygodniej jest rozwiązać logicznie bez użycia powyższego algorytmu.
Przypadek specjalny 1. Rozwiąż nierówność:
$\sin(x)\równ. 1.$
Z uwagi na to, że zakres wartości funkcji trygonometrycznej $y=\sin(x)$ nie jest większy niż modulo $1$, to lewa strona nierówności w ogóle$x$ z dziedziny definicji (a dziedziną sinusa są wszystkie liczby rzeczywiste) wynosi nie więcej niż 1$. I dlatego w odpowiedzi piszemy: $x \in R$.
Konsekwencja:
$\sin(x)\geq -1.$
Przypadek specjalny 2. Rozwiąż nierówność:
$\grzech(x)< 1.$
Stosując argumenty podobne do przypadku specjalnego 1, stwierdzamy, że lewa strona nierówności jest mniejsza niż 1 $ dla wszystkich $x \in R$, z wyjątkiem punktów, które są rozwiązaniami równania $\sin(x) = 1$. Rozwiązując to równanie będziemy mieli:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
I dlatego w odpowiedzi piszemy: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.
Konsekwencja: nierówność rozwiązuje się w podobny sposób
$\sin(x) > -1.$
Przykłady rozwiązywania nierówności za pomocą algorytmu.
Przykład 1: Rozwiąż nierówność:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- Zaznaczmy współrzędną $\frac(1)(2)$ na osi sinusa.
- Narysujmy prostą równoległą do osi cosinus i przechodzącą przez ten punkt.
- Zaznaczmy punkty przecięcia. Zostaną zacienione, ponieważ nierówność nie jest ścisła.
- Znak nierówności to $\geq$, co oznacza, że malujemy pole nad linią, czyli np. mniejsze półkole.
- Znajdujemy pierwszy punkt przecięcia. Aby to zrobić, zamieniamy nierówność na równość i rozwiązujemy ją: $\sin(x)=\frac(1)(2) \\Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Następnie ustalamy $n=0$ i znajdujemy pierwszy punkt przecięcia: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
- Znajdujemy drugi punkt. Nasz obszar idzie w kierunku dodatnim od pierwszego punktu, co oznacza, że ustawiamy $n$ równe $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.
Zatem rozwiązanie będzie miało postać:
$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$
Przykład 2: Rozwiąż nierówność:
$\grzech(x)< -\frac{1}{2}$
Zaznaczmy współrzędną $-\frac(1)(2)$ na osi sinusoidy i narysujmy prostą równoległą do osi cosinus i przechodzącą przez ten punkt. Zaznaczmy punkty przecięcia. Nie będą zacienione, ponieważ nierówność jest ścisła. Znak nierówności $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.
Zakładając dalej, że $n=0$, znajdujemy pierwszy punkt przecięcia: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Nasz obszar idzie w kierunku ujemnym od pierwszego punktu, co oznacza, że ustawiamy $n$ równe $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.
Zatem rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$
Przykład 3: Rozwiąż nierówność:
$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \równ. 0.$
Tego przykładu nie można rozwiązać natychmiast za pomocą algorytmu. Najpierw musisz go przekształcić. Robimy dokładnie to samo, co zrobilibyśmy z równaniem, ale nie zapominamy o znaku. Dzielenie lub mnożenie przez liczbę ujemną odwraca tę sytuację!
Przesuńmy więc wszystko, co nie zawiera funkcji trygonometrycznej, na prawą stronę. Otrzymujemy:
$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$
Podzielmy lewą i prawą stronę przez $-2$ (nie zapomnij o znaku!). Będzie miał:
$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$
Znów mamy nierówność, której nie możemy rozwiązać za pomocą algorytmu. Ale tutaj wystarczy zmienić zmienną:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
Otrzymujemy nierówność trygonometryczną, którą można rozwiązać za pomocą algorytmu:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
Nierówność ta została rozwiązana w przykładzie 1, więc zapożyczmy stamtąd odpowiedź:
$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
Jednak decyzja jeszcze się nie zakończyła. Musimy wrócić do oryginalnej zmiennej.
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
Wyobraźmy sobie przedział jako system:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(array) \right.$
Po lewej stronie układu znajduje się wyrażenie ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), które należy do przedziału. Za pierwszą nierówność odpowiada lewa granica przedziału, a prawa za drugą. Ponadto ważną rolę odgrywają nawiasy: jeśli nawias jest kwadratowy, to nierówność zostanie złagodzona, a jeśli jest okrągły, to będzie ścisła. naszym zadaniem jest zdobycie $x$ po lewej stronie w obu nierównościach.
Przesuńmy $\frac(\pi)(6)$ z lewej strony na prawą, otrzymamy:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.
Upraszczając, będziemy mieli:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(tablica) \right.$
Mnożąc lewą i prawą stronę przez 4 $, otrzymujemy:
$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $
Składając układ w interwał otrzymujemy odpowiedź:
$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$
1.5 Nierówności trygonometryczne i metody ich rozwiązywania
1.5.1 Rozwiązywanie prostych nierówności trygonometrycznych
Większość autorów współczesnych podręczników matematyki sugeruje rozpoczęcie rozważań na ten temat od rozwiązania najprostszych nierówności trygonometrycznych. Zasada rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych opiera się na wiedzy i umiejętnościach wyznaczania na okręgu trygonometrycznym wartości nie tylko głównych kątów trygonometrycznych, ale także innych wartości.
Tymczasem rozwiązanie nierówności postaci , , , można przeprowadzić w następujący sposób: najpierw znajdujemy jakiś przedział (), na którym ta nierówność jest spełniona, a następnie zapisujemy ostateczną odpowiedź, dodając na końcach znalezionego przedziału a liczba będąca wielokrotnością okresu sinusa lub cosinusa: ( 
). W tym przypadku wartość jest łatwa do znalezienia, ponieważ Lub . Poszukiwanie sensu opiera się na intuicji uczniów, ich umiejętności dostrzegania równości łuków lub odcinków, wykorzystywaniu symetrii poszczególnych części wykresu sinus lub cosinus. A to czasami przekracza możliwości dość dużej liczby uczniów. Aby przezwyciężyć zauważone trudności, w podręcznikach w ostatnich latach stosowano różne podejścia do rozwiązywania prostych nierówności trygonometrycznych, ale nie przekładało się to na poprawę efektów uczenia się.
Od kilku lat z powodzeniem stosujemy wzory na pierwiastki odpowiednich równań do znajdowania rozwiązań nierówności trygonometrycznych.
Badamy ten temat w następujący sposób:
1. Budujemy wykresy i y = a, zakładając, że .
Następnie zapisujemy równanie i jego rozwiązanie. Podawanie n 0; 1; 2, znajdujemy trzy pierwiastki skompilowanego równania: . Wartości to odcięta trzech kolejnych punktów przecięcia wykresów i y = a. Jest oczywiste, że nierówność zawsze zachodzi na przedziale (), a nierówność zawsze zachodzi na przedziale ().
Dodając na końcach tych przedziałów liczbę będącą wielokrotnością okresu sinusa, w pierwszym przypadku otrzymujemy rozwiązanie nierówności w postaci: ; a w drugim przypadku rozwiązanie nierówności w postaci:
Tylko w przeciwieństwie do sinusa ze wzoru, który jest rozwiązaniem równania, dla n = 0 otrzymujemy dwa pierwiastki, a trzeci pierwiastek dla n = 1 w postaci 
. I znowu są to trzy kolejne odcięte punktów przecięcia wykresów i . W przedziale () zachodzi nierówność, w przedziale () nierówność
Teraz nie jest trudno zapisać rozwiązania nierówności i . W pierwszym przypadku otrzymujemy: ;
i w drugim: .
Podsumować. Aby rozwiązać nierówność lub, musisz utworzyć odpowiednie równanie i je rozwiązać. Z otrzymanego wzoru znajdź pierwiastki i , a odpowiedź na nierówność zapisz w postaci: .
Rozwiązując nierówności , ze wzoru na pierwiastki odpowiedniego równania znajdujemy pierwiastki i , i zapisujemy odpowiedź na nierówność w postaci: .
Technika ta pozwala uczyć rozwiązywania nierówności trygonometrycznych wszystkich uczniów, ponieważ Technika ta opiera się całkowicie na umiejętnościach, którymi uczniowie dysponują dużą wiedzą. Są to umiejętności rozwiązywania prostych problemów i znajdowania wartości zmiennej za pomocą wzoru. Ponadto zupełnie niepotrzebne staje się dokładne rozwiązywanie dużej liczby ćwiczeń pod okiem nauczyciela, aby zademonstrować wszelkiego rodzaju techniki rozumowania w zależności od znaku nierówności, wartości modułu liczby a i jej znaku . A sam proces rozwiązywania nierówności staje się krótki i, co bardzo ważne, jednolity.
Kolejną zaletą tej metody jest to, że pozwala ona łatwo rozwiązywać nierówności nawet wtedy, gdy prawa strona nie jest tabelaryczną wartością sinusa lub cosinusa.
Pokażmy to na konkretnym przykładzie. Załóżmy, że musimy rozwiązać nierówność. Utwórzmy odpowiednie równanie i rozwiążmy je:
Znajdźmy wartości i .
Gdy n = 1 
Gdy n = 2 
Zapisujemy ostateczną odpowiedź na tę nierówność:
W rozważanym przykładzie rozwiązania najprostszych nierówności trygonometrycznych może być tylko jedna wada - obecność pewnej dozy formalizmu. Ale jeśli wszystko zostanie ocenione tylko z tych pozycji, wówczas będzie można oskarżyć formuły pierwiastków równania kwadratowego, wszystkie formuły rozwiązywania równań trygonometrycznych i wiele więcej o formalizm.
Chociaż proponowana metoda zajmuje godne miejsce w kształtowaniu umiejętności rozwiązywania nierówności trygonometrycznych, nie można lekceważyć znaczenia i cech innych metod rozwiązywania nierówności trygonometrycznych. Należą do nich metoda interwałowa.
Zastanówmy się nad jego istotą.
Zestaw pod redakcją A.G. Mordkovicha, choć nie należy też ignorować pozostałych podręczników. § 3. Metodyka nauczania tematu „Funkcje trygonometryczne” w toku algebry i analizy podstawowej W nauce funkcji trygonometrycznych w szkole można wyróżnić dwa główne etapy: ü Wstępna znajomość funkcji trygonometrycznych...
W trakcie badań rozwiązano następujące zadania: 1) Przeanalizowano aktualne podręczniki algebry i początki analizy matematycznej w celu zidentyfikowania przedstawionych w nich metod rozwiązywania równań i nierówności niewymiernych. Z przeprowadzonej analizy wynika, że: ·w szkole średniej nie zwraca się wystarczającej uwagi na metody rozwiązywania różnych równań niewymiernych, głównie...
