Definirea conului a elementelor de suprafață. Con și elementele sale. Prelucrarea suprafețelor conice folosind metoda deplasării transversale a carcasei contrapunctului
Care emană dintr-un punct (vârful conului) și care trec printr-o suprafață plană.
Se întâmplă ca un con să fie o parte a unui corp care are un volum limitat și se obține prin combinarea fiecărui segment care leagă vârful și punctele unei suprafețe plane. Acesta din urmă, în acest caz, este baza conului, iar conul se spune că se sprijină pe această bază.
Când baza unui con este un poligon, este deja piramidă .
|
Con circular- acesta este un corp format dintr-un cerc (baza conului), un punct care nu se află în planul acestui cerc (partea superioară a conului și toate segmentele care leagă vârful conului cu punctele baza). Se numesc segmentele care leagă vârful conului și punctele cercului de bază formând un con. Suprafața conului este formată dintr-o bază și o suprafață laterală. |
Suprafața laterală este corectă n-o piramidă de carbon înscrisă într-un con:
S n =½P n l n,
Unde Pn- perimetrul bazei piramidei, și l n- apotema.
După același principiu: pentru suprafața laterală a unui trunchi de con cu raze de bază R 1, R 2și formând l obținem următoarea formulă:
S=(R1 +R2)1.
Conuri circulare drepte și oblice cu bază și înălțime egale. Aceste corpuri au același volum:
Proprietățile unui con.
- Când aria bazei are o limită, înseamnă că și volumul conului are o limită și este egal cu a treia parte din produsul înălțimii și aria bazei.
Unde S- suprafata de baza, H- înălțime.
Astfel, fiecare con care se sprijină pe această bază și are un vârf care este situat pe un plan paralel cu baza are volum egal, deoarece înălțimile lor sunt aceleași.
- Centrul de greutate al fiecărui con cu un volum având limită este situat la un sfert din înălțimea de la bază.
- Unghiul solid la vârful unui con circular drept poate fi exprimat prin următoarea formulă:
Unde α - unghi de deschidere a conului.
- Suprafața laterală a unui astfel de con, formula:
și suprafața totală (adică suma suprafețelor laterale și bazei), formula:
S=πR(l+R),
Unde R- raza bazei, l— lungimea generatricei.
- Volumul unui con circular, formula:
- Pentru un trunchi de con (nu doar drept sau circular), volum, formulă:
Unde S 1Și S 2- zona bazelor superioare și inferioare,
hȘi H- distante de la planul bazei superioare si inferioare pana la varf.
- Intersecția unui plan cu un con circular drept este una dintre secțiunile conice.
Con (din greacă "konos")- Con de brad. Conul este cunoscut oamenilor din cele mai vechi timpuri. În 1906, a fost descoperită cartea „Despre metodă”, scrisă de Arhimede (287-212 î.Hr.), această carte oferă o soluție la problema volumului părții comune a cilindrilor care se intersectează. Arhimede spune că această descoperire aparține vechiului filozof grec Democrit (470-380 î.Hr.), care, folosind acest principiu, a obținut formule de calcul al volumului unei piramide și al unui con.
Un con (con circular) este un corp care constă dintr-un cerc - baza conului, un punct care nu aparține planului acestui cerc - vârful conului și toate segmentele care leagă vârful conului și punctele cercul de bază. Segmentele care leagă vârful conului cu punctele cercului de bază se numesc generatoare de con. Suprafața conului este formată dintr-o bază și o suprafață laterală.
Un con se numește drept dacă linia dreaptă care leagă vârful conului de centrul bazei este perpendiculară pe planul bazei. Un con circular drept poate fi considerat ca un corp obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul piciorului său ca axă.
Înălțimea unui con este perpendiculara coborâtă din vârful său până în planul bazei. Pentru un con drept, baza înălțimii coincide cu centrul bazei. Axa unui con drept este linia dreaptă care conține înălțimea acestuia.
Secțiunea unui con cu un plan care trece prin generatria conului și perpendiculară pe secțiunea axială trasată prin această generatrică se numește plan tangent al conului.
Un plan perpendicular pe axa conului intersectează conul într-un cerc, iar suprafața laterală intersectează un cerc centrat pe axa conului.
Un plan perpendicular pe axa conului decupează un con mai mic din acesta. Partea rămasă se numește trunchi de con.
Volumul unui con este egal cu o treime din produsul înălțimii și ariei bazei. Astfel, toate conurile care se sprijină pe o bază dată și care au un vârf situat pe un plan dat paralel cu baza au volum egal, deoarece înălțimile lor sunt egale.
Suprafața laterală a conului poate fi găsită folosind formula:
Latura S = πRl,
Suprafața totală a conului se găsește prin formula:
S con = πRl + πR 2,
unde R este raza bazei, l este lungimea generatricei.
Volumul unui con circular este egal cu
V = 1/3 πR 2 H,
unde R este raza bazei, H este înălțimea conului
Suprafața laterală a unui trunchi de con poate fi găsită folosind formula:
Latura S = π(R + r)l,
Suprafața totală a unui trunchi de con poate fi găsită folosind formula:
S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,
unde R este raza bazei inferioare, r este raza bazei superioare, l este lungimea generatricei.
Volumul unui trunchi de con poate fi găsit după cum urmează:
V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),
unde R este raza bazei inferioare, r este raza bazei superioare, H este înălțimea conului.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Un con (mai precis, un con circular) este un corp care constă dintr-un cerc - baza conului, un punct care nu se află în planul acestui cerc - partea superioară a conului și toate segmentele care leagă partea superioară a conului cu punctele bazei (Fig. 1) Segmentele de linie care leagă vârful conului cu punctele cercului de bază se numesc generatoare ale conului. Toți generatorii conului sunt egali între ei. Suprafața conului este formată dintr-o bază și o suprafață laterală.
Orez. 1
Un con se numește drept dacă linia dreaptă care leagă vârful conului de centrul bazei este perpendiculară pe planul bazei. Vizual, un con circular drept poate fi imaginat ca un corp obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul piciorului său ca axă (Fig. 2).
Orez. 2
Înălțimea unui con este perpendiculara coborâtă din vârful său până în planul bazei. Pentru un con drept, baza înălțimii coincide cu centrul bazei. Axa unui con circular drept este linia dreaptă care conține înălțimea acestuia.
Secțiunea unui con de către un plan care trece prin vârful său este un triunghi isoscel, ale cărui laturi formează conul (Fig. 3). În special, un triunghi isoscel este secțiunea axială a unui con. Aceasta este o secțiune care trece prin axa conului (Fig. 4).
Orez. 3 Fig. 4
Suprafața conului
Suprafața laterală a conului, ca și suprafața laterală a cilindrului, poate fi transformată pe un plan prin tăierea acesteia de-a lungul uneia dintre generatrice (Fig. 2, a, b). Dezvoltarea suprafeței laterale a conului este un sector circular (Fig. 2.6), a cărui rază este egală cu generatricea conului, iar lungimea arcului sectorului este circumferința bazei conului.
Zona suprafeței laterale a conului este considerată zona de dezvoltare a acestuia. Să exprimăm aria S a suprafeței laterale a conului în termenii generatricei sale l și razei bazei r.
Aria sectorului circular - dezvoltarea suprafeței laterale a conului (Fig. 2) - este egală cu (Pl2a)/360, unde a este măsura gradului arcului ABA", prin urmare
Sside = (Pl2a)/360. (*)
Să exprimăm a în termeni de l și r. Deoarece lungimea arcului ABA" este egală cu 2Pr (circumferința bazei conului), atunci 2Pr = Pla/180, de unde a=360r/l. Înlocuind această expresie în formula (*), obținem:
Sside = Prl. (**)
Astfel, aria suprafeței laterale a conului este egală cu produsul dintre jumătate din circumferința bazei și generatrice.
Suprafața totală a unui con este suma suprafețelor laterale și ale bazei. Pentru a calcula aria Scon a suprafeței totale a conului se obține formula: Scon = Pr (l + r). (***)
Frustum
Să luăm un con arbitrar și să desenăm un plan de tăiere perpendicular pe axa lui. Acest plan se intersectează cu conul într-un cerc și împarte conul în două părți. Una dintre părți este un con, iar cealaltă se numește trunchi de con. Baza conului original și cercul obținut prin tăierea acestui con cu un plan se numesc bazele trunchiului de con, iar segmentul care leagă centrele se numește înălțimea trunchiului de con.
Partea suprafeței conice care delimitează trunchiul de con se numește suprafața sa laterală, iar segmentele generatoarelor suprafeței conice închise între baze se numesc generatoare ale trunchiului de con. Toți generatorii unui trunchi de con sunt egali între ei (demonstrați singuri acest lucru).
Aria suprafeței laterale a unui trunchi de con este egală cu produsul dintre jumătate din suma lungimilor cercurilor bazelor și generatorul: Sside = П (r + r1) l.
Informații suplimentare despre con
1. În geologie, există conceptul de „ventilator”. Acesta este un relief format din acumularea de roci clastice (pietricele, pietriș, nisip) transportate de râurile de munte pe o câmpie de la poalele dealului sau într-o vale mai plată și mai largă.
2. În biologie există conceptul de „con de creștere”. Acesta este vârful lăstarului și al rădăcinii plantelor, constând din celule de țesut educațional.
3. „Conurile” este o familie de moluște marine din subclasa prosobranchiului. Cochilia este conică (2–16 cm), viu colorată. Există peste 500 de tipuri de conuri. Ei trăiesc la tropice și subtropice, sunt prădători și au o glandă otrăvitoare. Mușcătura conurilor este foarte dureroasă. Decesele sunt cunoscute. Cochiliile sunt folosite ca decoratiuni si suveniruri.
4. Conform statisticilor, 6 persoane la 1 milion de locuitori mor din cauza fulgerelor pe Pământ în fiecare an (mai des în țările din sud). Acest lucru nu s-ar întâmpla dacă ar exista paratrăsnet peste tot, deoarece se formează un con de siguranță. Cu cât paratrăsnetul este mai mare, cu atât volumul unui astfel de con este mai mare. Unii oameni încearcă să se ascundă de descărcări sub un copac, dar un copac nu este un conductor, sarcinile se acumulează pe el și un copac poate fi o sursă de tensiune.
5. În fizică, se întâlnește conceptul de „unghi solid”. Acesta este un unghi în formă de con tăiat într-o minge. Unitatea de măsură a unghiului solid este 1 steradian. 1 steradian este un unghi solid a cărui rază pătrată este egală cu aria părții sferei pe care o decupează. Daca asezam o sursa de lumina de 1 candela (1 lumanare) in acest colt, vom obtine un flux luminos de 1 lumen. Lumina de la o cameră de film sau un reflector se răspândește sub forma unui con.
Astăzi vă vom spune cum să găsiți generatoarea unui con, care este adesea solicitată în problemele de geometrie școlare.
Conceptul de generator de con
Un con drept este o figură care se obține prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unuia dintre picioarele sale. Baza conului formează un cerc. Secțiunea verticală a conului este un triunghi, secțiunea orizontală este un cerc. Înălțimea unui con este segmentul care leagă partea superioară a conului de centrul bazei. Generatoarea unui con este un segment care leagă vârful conului cu orice punct de pe linia cercului de bază.
Deoarece un con este format prin rotirea unui triunghi dreptunghic, se dovedește că primul catet al unui astfel de triunghi este înălțimea, al doilea este raza cercului aflat la bază, iar ipotenuza este generatoarea conului. Nu este greu de ghicit că teorema lui Pitagora este utilă pentru calcularea lungimii generatorului. Și acum mai multe despre cum să găsiți lungimea generatricei conului.
Găsirea generatorului
Cel mai simplu mod de a înțelege cum să găsiți un generator este cu un exemplu specific. Să presupunem că sunt date următoarele condiții ale problemei: înălțimea este de 9 cm, diametrul cercului de bază este de 18 cm. Este necesar să găsiți o generatoare.
Deci, înălțimea conului (9 cm) este unul dintre picioarele triunghiului dreptunghic cu ajutorul căruia s-a format acest con. Al doilea picior va fi raza cercului de bază. Raza este jumătate din diametru. Astfel, împărțim diametrul care ni s-a dat la jumătate și obținem lungimea razei: 18:2 = 9. Raza este 9.
Acum este foarte ușor să găsiți generatoarea conului. Deoarece este o ipotenuză, pătratul lungimii sale va fi egal cu suma pătratelor catetelor, adică suma pătratelor razei și înălțimii. Deci, pătratul lungimii generatorului = 64 (pătratul lungimii razei) + 64 (pătratul lungimii înălțimii) = 64x2 = 128. Acum luăm rădăcina pătrată a lui 128. rezultat, obținem opt rădăcini din două. Aceasta va fi generatoarea conului.
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în acest sens. De exemplu, am luat condiții simple ale problemei, dar într-un curs școlar pot fi mai complexe. Amintiți-vă că pentru a calcula lungimea generatricei trebuie să aflați raza cercului și înălțimea conului. Cunoscând aceste date, este ușor de găsit lungimea generatricei.
În această lecție ne vom familiariza cu o astfel de figură precum un con. Să studiem elementele unui con și tipurile de secțiuni ale acestuia. Și vom afla cu ce figură conul are multe proprietăți în comun.
Fig.1. Obiecte în formă de con
În lume, un număr imens de lucruri au forma unui con. De multe ori nici nu le observăm. Conuri rutiere de avertizare asupra lucrărilor rutiere, acoperișuri de castele și case, conuri de înghețată - toate aceste obiecte au formă de con (vezi Fig. 1).
Orez. 2. Triunghi dreptunghic
Luați în considerare un triunghi dreptunghic arbitrar cu catete și (vezi Fig. 2).
Orez. 3. Con circular drept
Prin rotirea unui triunghi dat în jurul unuia dintre catete (fără pierderea generalității, să fie un catet), ipotenuza va descrie suprafața, iar catetul va descrie cercul. Astfel, se va obține un corp care se numește con circular drept (vezi Fig. 3).
Orez. 4. Tipuri de conuri
Din moment ce vorbim despre un con circular drept, se pare că există atât unul indirect, cât și unul necircular? Dacă baza unui con este un cerc, dar vârful nu este proiectat în centrul acestui cerc, atunci un astfel de con se numește înclinat. Dacă baza nu este un cerc, ci o figură arbitrară, atunci un astfel de corp este uneori numit și con, dar, desigur, nu circular (vezi Fig. 4).
Astfel, ajungem din nou la analogia deja familiară pentru a lucra cu cilindri. De fapt, un con este ceva ca o piramidă, doar că piramida are un poligon la bază, iar conul (pe care îl vom lua în considerare) are un cerc (vezi Fig. 5).
Segmentul axei de rotație (în cazul nostru acesta este piciorul) închis în interiorul conului se numește axa conului (vezi Fig. 6).
Orez. 5. Con și piramidă
Orez. 6. - axul conului
Orez. 7. Baza conului
Cercul format prin rotirea celui de-al doilea picior () se numește baza conului (vezi Fig. 7).
Și lungimea acestui picior este raza bazei conului (sau, mai simplu, raza conului) (vezi Fig. 8).
Orez. 8. - raza conului
Orez. 9. - vârful conului
Vârful unui unghi ascuțit al unui triunghi rotativ situat pe axa de rotație se numește vârful unui con (vezi Fig. 9).
Orez. 10. - înălțimea conului
Înălțimea unui con este un segment desenat din vârful conului perpendicular pe baza acestuia (vezi Fig. 10).
Aici s-ar putea să aveți o întrebare: atunci, cum diferă segmentul axei de rotație de înălțimea conului? De fapt, ele coincid doar în cazul unui con drept dacă te uiți la un con înclinat, vei observa că acestea sunt două segmente complet diferite (vezi Fig. 11).
Orez. 11. Înălțimea într-un con înclinat
Să revenim la conul drept.
Orez. 12. Generatoare ale conului
Segmentele care leagă vârful conului cu punctele cercului bazei sale se numesc generatoare de con. Apropo, toate generatricele unui con drept sunt egale între ele (vezi Fig. 12).
Orez. 13. Obiecte naturale asemănătoare conurilor
Tradus din greacă, konos înseamnă „con de pin”. În natură există suficiente obiecte care au formă de con: molid, munte, furnicar etc. (vezi Fig. 13).
Dar suntem obișnuiți cu faptul că conul este drept. Are generatrice egale, iar înălțimea sa coincide cu axa. Am numit un astfel de con un con drept. Într-un curs de geometrie școlar, de obicei sunt luate în considerare conurile drepte și, implicit, orice con este considerat drept circular. Dar am spus deja că nu există doar conuri drepte, ci și înclinate.
Orez. 14. Secțiune perpendiculară
Să revenim la conuri drepte. Să „tăiem” conul cu un plan perpendicular pe axă (vezi Fig. 14).
Ce cifră va fi pe tăietură? Desigur, este un cerc! Să ne amintim că planul merge perpendicular pe axă și, prin urmare, paralel cu baza, care este un cerc.
Orez. 15. Secțiune înclinată
Acum să înclinăm treptat planul de secțiune. Apoi cercul nostru va începe să se transforme treptat într-un oval din ce în ce mai alungit. Dar numai până când planul de secțiune se ciocnește cu cercul de bază (vezi Fig. 15).
Orez. 16. Tipuri de secțiuni folosind exemplul unui morcov
Cei cărora le place să exploreze lumea experimental pot verifica acest lucru cu ajutorul unui morcov și a unui cuțit (încercați să tăiați felii dintr-un morcov în diferite unghiuri) (vezi Fig. 16).
Orez. 17. Secțiunea axială a conului
Secțiunea unui con de către un plan care trece prin axa lui se numește secțiunea axială a conului (vezi Fig. 17).
Orez. 18. Triunghi isoscel - figură în secțiune
Aici obținem o figură secțională complet diferită: un triunghi. Acest triunghi este isoscel (vezi Fig. 18).
În această lecție am învățat despre suprafața cilindrică, tipurile de cilindru, elementele unui cilindru și asemănarea unui cilindru cu o prismă.
Generatoarea conului este de 12 cm și este înclinată față de planul bazei la un unghi de 30 de grade. Găsiți aria secțiunii transversale axiale a conului.
Soluţie
Să luăm în considerare secțiunea axială necesară. Acesta este un triunghi isoscel în care laturile sunt de 12 grade și unghiul de bază este de 30 de grade. Atunci poți acționa în moduri diferite. Sau puteți desena înălțimea, găsiți-o (jumătate din ipotenuză, 6), apoi baza (folosind teorema lui Pitagora) și apoi aria.
Orez. 19. Ilustrație pentru problema
Sau găsiți imediat unghiul la vârf - 120 de grade - și calculați aria ca jumătate produs al laturilor și sinusul unghiului dintre ele (răspunsul va fi același).
- Geometrie. Manual pentru clasele 10-11. Atanasyan L.S. şi alţii ed. a XVIII-a. - M.: Educație, 2009. - 255 p.
- Geometrie clasa a XI-a, A.V. Pogorelov, M.: Educație, 2002
- Caiet de lucru geometrie clasa a XI-a, V.F. Butozov, Yu.A. Glazkov
- Yaklass.ru ().
- Uztest.ru ().
- Bitclass.ru ().
Teme pentru acasă
