مجموع اللوغاريتمات والفرق بينها أمثلة. اللوغاريتم الطبيعي، الدالة ln x
يتم إعطاء الخصائص الأساسية للوغاريتم الطبيعي، الرسم البياني، مجال التعريف، مجموعة القيم، الصيغ الأساسية، المشتق، التكامل، توسيع سلسلة القوى وتمثيل الدالة ln x باستخدام الأعداد المركبة.
تعريف
اللوغاريتم الطبيعيهي الدالة ص = لن س، معكوس الأسي، x = e y، وهو اللوغاريتم لأساس الرقم e: ln x = سجل e x.
يستخدم اللوغاريتم الطبيعي على نطاق واسع في الرياضيات لأن مشتقه له أبسط شكل: (ln x)′ = 1/ س.
قائم على تعريفات، أساس اللوغاريتم الطبيعي هو الرقم ه:
ه ≅ 2.718281828459045...;
.
رسم بياني للدالة y = لن س.
رسم بياني للوغاريتم الطبيعي (الدوال y = لن س) يتم الحصول عليها من الرسم البياني الأسي عن طريق انعكاس المرآة بالنسبة للخط المستقيم y = x.
يتم تعريف اللوغاريتم الطبيعي في القيم الإيجابيةالمتغير س. ويزداد رتابة في مجال تعريفه.
في س → 0 نهاية اللوغاريتم الطبيعي هو ناقص اللانهاية (-∞).
مثل x → + ∞، نهاية اللوغاريتم الطبيعي هي زائد ما لا نهاية (+ ∞). بالنسبة لـ x الكبيرة، يزداد اللوغاريتم ببطء شديد. أي دالة قوة x a ذات أس موجب a تنمو بشكل أسرع من اللوغاريتم.
خصائص اللوغاريتم الطبيعي
مجال التعريف، مجموعة القيم، القيم القصوى، الزيادة، النقصان
اللوغاريتم الطبيعي هو دالة متزايدة بشكل رتيب، لذلك ليس لها نقاط متطرفة. يتم عرض الخصائص الرئيسية للوغاريتم الطبيعي في الجدول.
قيم lnx
قانون الجنسية 1 = 0
الصيغ الأساسية للوغاريتمات الطبيعية
الصيغ التالية من تعريف الدالة العكسية:
الخاصية الرئيسية للوغاريتمات وعواقبها
صيغة استبدال القاعدة
يمكن التعبير عن أي لوغاريتم بدلالة اللوغاريتمات الطبيعية باستخدام صيغة الاستبدال الأساسية:
يتم عرض أدلة هذه الصيغ في قسم "اللوغاريتم".
وظيفة عكسية
معكوس اللوغاريتم الطبيعي هو الأس.
اذا ثم
اذا ثم.
مشتق ln x
مشتق من اللوغاريتم الطبيعي:
.
مشتق من اللوغاريتم الطبيعي للمعامل x:
.
مشتق من الترتيب ن:
.
اشتقاق الصيغ > > >
أساسي
يتم حساب التكامل عن طريق التكامل بالأجزاء:
.
لذا،
التعبيرات باستخدام الأعداد المركبة
النظر في وظيفة المتغير المركب z :
.
دعونا نعبر عن المتغير المعقد ضعبر الوحدة النمطية صوالحجة φ
:
.
وباستخدام خصائص اللوغاريتم نجد:
.
أو
.
لم يتم تعريف الوسيطة φ بشكل فريد. إذا وضعت
، حيث n عدد صحيح،
سيكون نفس الرقم لمختلف n.
ولذلك، فإن اللوغاريتم الطبيعي، كدالة لمتغير معقد، ليس دالة ذات قيمة واحدة.
توسيع سلسلة الطاقة
عندما يحدث التوسع:
مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.
نحن جميعا على دراية بالمعادلات الطبقات الابتدائية. هناك تعلمنا أيضًا حل أبسط الأمثلة، وعلينا أن نعترف بأنها تجد تطبيقها حتى في الرياضيات العليا. كل شيء بسيط مع المعادلات، بما في ذلك المعادلات التربيعية. إذا كنت تواجه مشكلة مع هذا الموضوع، فننصحك بشدة بمراجعته.
ربما تكون قد مررت بالفعل باللوغاريتمات أيضًا. ومع ذلك، فإننا نعتبر أنه من المهم أن نقول ما هو عليه بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون بعد. اللوغاريتم يساوي القوة التي يجب رفع القاعدة إليها للحصول على الرقم الموجود على يمين علامة اللوغاريتم. دعنا نعطي مثالاً بناءً عليه سيتضح لك كل شيء.
إذا قمت برفع 3 إلى القوة الرابعة، فستحصل على 81. الآن استبدل الأرقام بالقياس، وسوف تفهم أخيرًا كيفية حل اللوغاريتمات. الآن كل ما تبقى هو الجمع بين المفهومين اللذين تمت مناقشتهما. في البداية، يبدو الوضع معقدًا للغاية، ولكن عند الفحص الدقيق يصبح الوزن في مكانه الصحيح. نحن على يقين من أنه بعد هذه المقالة القصيرة لن تواجه مشاكل في هذا الجزء من امتحان الدولة الموحدة.
اليوم هناك طرق عديدة لحل مثل هذه الهياكل. سنخبرك بالأبسط والأكثر فعالية والأكثر قابلية للتطبيق في حالة مهام امتحان الدولة الموحدة. حل المعادلات اللوغاريتمية يجب أن يبدأ من البداية. مثال بسيط. الكائنات الاوليه المعادلات اللوغاريتميةتتكون من دالة ومتغير واحد فيها.
من المهم ملاحظة أن x موجود داخل الوسيطة. يجب أن يكون A وb أرقامًا. في هذه الحالة، يمكنك ببساطة التعبير عن الدالة من حيث رقم إلى قوة. تبدو هكذا.
وبالطبع فإن حل معادلة لوغاريتمية بهذه الطريقة سيقودك إلى الإجابة الصحيحة. المشكلة بالنسبة للغالبية العظمى من الطلاب في هذه الحالة هي أنهم لا يفهمون ما يأتي ومن أين يأتي. ونتيجة لذلك، عليك أن تتحمل الأخطاء ولا تحصل على النقاط المطلوبة. الخطأ الأكثر هجومًا سيكون إذا قمت بخلط الحروف. لحل معادلة بهذه الطريقة، تحتاج إلى حفظ هذا المعيار صيغة المدرسةلأنه من الصعب أن نفهم.
لتسهيل الأمر، يمكنك اللجوء إلى طريقة أخرى - النموذج الكنسي. الفكرة بسيطة للغاية. حوّل انتباهك مرة أخرى إلى المشكلة. تذكر أن الحرف a هو رقم، وليس دالة أو متغيرًا. أ لا يساوي واحد و فوق الصفر. لا توجد قيود على ب. الآن، من بين جميع الصيغ، دعونا نتذكر واحدة. يمكن التعبير عن B على النحو التالي.
ويترتب على ذلك أنه يمكن تمثيل جميع المعادلات الأصلية ذات اللوغاريتمات بالشكل:
الآن يمكننا إسقاط اللوغاريتمات. سوف تنجح تصميم بسيط، وهو ما رأيناه سابقًا.
تكمن راحة هذه الصيغة في حقيقة أنه يمكن استخدامها في أغلب الأحيان حالات مختلفة، وليس فقط لأبسط التصاميم.
لا تقلق بشأن OOF!
سوف يلاحظ العديد من علماء الرياضيات ذوي الخبرة أننا لم ننتبه إلى مجال التعريف. تتلخص القاعدة في حقيقة أن F(x) أكبر بالضرورة من 0. لا، لم نغفل هذه النقطة. الآن نحن نتحدث عن ميزة جدية أخرى للشكل القانوني.
لن تكون هناك جذور إضافية هنا. إذا كان المتغير سيظهر في مكان واحد فقط، فلن يكون هناك حاجة إلى النطاق. يتم ذلك تلقائيا. للتحقق من هذا الحكم، حاول حل عدة أمثلة بسيطة.
كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة
هذه معادلات لوغاريتمية معقدة بالفعل، ويجب أن يكون نهج حلها خاصا. نادرًا ما يكون من الممكن هنا أن نقتصر على الشكل القانوني سيئ السمعة. لنبدأ قصتنا التفصيلية. لدينا البناء التالي.
انتبه إلى الكسر. أنه يحتوي على اللوغاريتم. إذا رأيت هذا في إحدى المهام، فمن المفيد أن تتذكر خدعة واحدة مثيرة للاهتمام.
ماذا يعني ذلك؟ يمكن تمثيل كل لوغاريتم كحاصل لوغاريتمين بقاعدة مناسبة. وهذه الصيغة لديها حالة خاصة، وهو ما ينطبق على هذا المثال (بمعنى إذا كان c=b).
وهذا هو بالضبط الكسر الذي نراه في مثالنا. هكذا.
في الأساس، قلبنا الكسر وحصلنا على تعبير أكثر ملاءمة. تذكر هذه الخوارزمية!
الآن نحن بحاجة إلى أن لا تحتوي على المعادلة اللوغاريتمية أسباب مختلفة. دعونا نمثل القاعدة ككسر.
في الرياضيات هناك قاعدة يمكنك من خلالها استخلاص الدرجة من القاعدة. نتائج البناء التالية
يبدو أن ما الذي يمنعنا الآن من تحويل تعبيرنا إلى الشكل القانوني وحله بطريقة أولية؟ ليس بسيط جدا. يجب ألا يكون هناك كسور قبل اللوغاريتم. دعونا نصلح هذا الوضع! يُسمح باستخدام الكسر كدرجة.
على التوالى.
إذا كانت الأساسات هي نفسها، فيمكننا إزالة اللوغاريتمات ومساواة التعبيرات نفسها. بهذه الطريقة سيصبح الوضع أبسط بكثير مما كان عليه. سيبقى معادلة أولية عرف كل واحد منا كيفية حلها في الصف الثامن أو حتى السابع. يمكنك إجراء الحسابات بنفسك.
لقد حصلنا على الجذر الحقيقي الوحيد لهذه المعادلة اللوغاريتمية. أمثلة حل المعادلة اللوغاريتمية بسيطة للغاية، أليس كذلك؟ الآن سوف تكون قادرًا على التعامل حتى مع أصعب المشكلات بنفسك. المهام المعقدةللتحضير واجتياز امتحان الدولة الموحدة.
ما هي النتيجة؟
في حالة أي معادلات لوغاريتمية، نبدأ من واحدة جدًا قاعدة مهمة. من الضروري التصرف بطريقة تصل بالتعبير إلى الحد الأقصى عرض بسيط. في هذه الحالة، سيكون لديك فرصة أفضل ليس فقط لحل المهمة بشكل صحيح، ولكن أيضًا للقيام بها بأبسط الطرق وأكثرها منطقية. هذه هي بالضبط الطريقة التي يعمل بها علماء الرياضيات دائمًا.
لا ننصحك بشدة بالبحث عن الطرق الصعبة، خاصة في هذه الحالة. تذكر القليل قواعد بسيطة، والذي سيسمح لك بتحويل أي تعبير. على سبيل المثال، اختزل لوغاريتمين أو ثلاثة إلى نفس الأساس أو اشتق قوة من القاعدة واربح على هذا.
ومن الجدير بالذكر أيضًا أن حل المعادلات اللوغاريتمية يتطلب ممارسة مستمرة. تدريجيا سوف تنتقل إلى المزيد والمزيد الهياكل المعقدة، وهذا سيقودك إلى حل جميع أنواع المشكلات بثقة في امتحان الدولة الموحدة. استعد جيدًا لامتحاناتك مقدمًا، ونتمنى لك حظًا سعيدًا!
لذلك، لدينا قوى اثنين. إذا أخذت الرقم من السطر السفلي، فيمكنك بسهولة العثور على القوة التي سيتعين عليك رفع اثنين إليها للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال، للحصول على 16، عليك رفع اثنين إلى القوة الرابعة. وللحصول على 64، عليك رفع اثنين إلى القوة السادسة. ويمكن ملاحظة ذلك من الجدول.
والآن - في الواقع، تعريف اللوغاريتم:
لوغاريتم x الأساسي هو القوة التي يجب رفع a إليها للحصول على x.
التعيين: log a x = b، حيث a هي القاعدة، x هي الوسيطة، b هو ما يساوي اللوغاريتم فعليًا.
على سبيل المثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (اللوغاريتم ذو الأساس 2 للرقم 8 هو ثلاثة لأن 2 3 = 8). بنفس سجل النجاح 2 64 = 6، حيث أن 2 6 = 64.
تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم لقاعدة معينة باللوغاريتم. لذا، دعونا نضيف سطرًا جديدًا إلى جدولنا:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| سجل 2 2 = 1 | سجل 2 4 = 2 | سجل 2 8 = 3 | سجل 2 16 = 4 | سجل 2 32 = 5 | سجل 2 64 = 6 |
لسوء الحظ، لا يتم حساب جميع اللوغاريتمات بهذه السهولة. على سبيل المثال، حاول العثور على السجل 2 5 . الرقم 5 غير موجود في الجدول، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سيكون موجودًا في مكان ما على القطعة. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
تسمى هذه الأرقام غير عقلانية: يمكن كتابة الأرقام بعد العلامة العشرية إلى ما لا نهاية، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فمن الأفضل ترك الأمر على هذا النحو: سجل 2 5، سجل 3 8، سجل 5 100.
من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم هو تعبير ذو متغيرين (الأساس والوسيطة). في البداية، يخلط الكثير من الناس بين مكان الأساس وأين الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج، مجرد إلقاء نظرة على الصورة:
أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. يتذكر: اللوغاريتم هو القوة، والتي يجب بناء القاعدة فيها من أجل الحصول على وسيطة. هي القاعدة المرفوعة إلى قوة - وهي مظللة باللون الأحمر في الصورة. اتضح أن القاعدة تكون دائمًا في الأسفل! أخبر طلابي بهذه القاعدة الرائعة في الدرس الأول - ولا ينشأ أي ارتباك.
لقد توصلنا إلى التعريف - كل ما تبقى هو معرفة كيفية حساب اللوغاريتمات، أي. تخلص من علامة "السجل". في البداية، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين تنبثق من التعريف:
- يجب أن تكون الحجة والقاعدة دائمًا أكبر من الصفر. وهذا يتبع من تعريف الدرجة مؤشر عقلاني، والذي يأتي تعريف اللوغاريتم.
- يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن الواحد، حيث أن الواحد يظل واحدًا بأي درجة. ولهذا السبب، فإن السؤال "إلى أي قوة يجب أن يرتفع الإنسان للحصول على اثنين" لا معنى له. لا يوجد مثل هذه الدرجة!
تسمى هذه القيود منطقة القيم المقبولة (ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كما يلي: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم). على سبيل المثال، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1، لأن 0.5 = 2 −1.
ومع ذلك، نحن الآن نفكر فقط في التعبيرات الرقمية، حيث ليس من الضروري معرفة قيمة VA للوغاريتم. لقد تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مؤلفي المشاكل. ولكن عندما تدخل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات حيز التنفيذ، ستصبح متطلبات DL إلزامية. بعد كل شيء، قد يحتوي الأساس والحجة على إنشاءات قوية جدًا لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.
الآن دعونا نفكر المخطط العامحساب اللوغاريتمات. يتكون من ثلاث خطوات:
- عبر عن الأساس a والوسيطة x كقوة بأقل قاعدة ممكنة أكبر من الواحد. على طول الطريق، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية؛
- حل معادلة المتغير b: x = a b ;
- سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.
هذا كل شئ! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فسيكون هذا مرئيًا بالفعل في الخطوة الأولى. يعد شرط أن يكون الأساس أكبر من واحد أمرًا مهمًا للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط الحسابات إلى حد كبير. نفس الشيء مع الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى أخطاء عادية، فسيكون هناك عدد أقل من الأخطاء.
دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط باستخدام أمثلة محددة:
مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 5 25
- دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 5 2 ;
- تلقينا الجواب: 2.
لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 5 25 = ب ⇒ (5 1) ب = 5 2 ⇒ 5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2 ;
مهمة. احسب اللوغاريتم:
مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 4 64
- دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة اثنين: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 4 64 = ب ⇒ (2 2) ب = 2 6 ⇒ 2 2ب = 2 6 ⇒ 2ب = 6 ⇒ ب = 3 ; - تلقينا الجواب: 3.
مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 16 1
- لنتخيل القاعدة والوسيطة كقوة لاثنين: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 16 1 = ب ⇒ (2 4) ب = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ ب = 0 ; - لقد تلقينا الجواب: 0.
مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 7 14
- لنتخيل القاعدة والحجة كقوة لسبعة: 7 = 7 1 ؛ لا يمكن تمثيل 14 كقوة لسبعة، لأن 7 1< 14 < 7 2 ;
- ويترتب على الفقرة السابقة أن اللوغاريتم لا يحسب؛
- الجواب هو لا تغيير: سجل 7 14.
ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف يمكنك التأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ الأمر بسيط جدًا، ما عليك سوى تحليله إلى عوامل أولية. إذا كان للتمدد عاملين مختلفين على الأقل، فإن الرقم ليس قوة محددة.
مهمة. معرفة ما إذا كانت الأرقام هي القوى الدقيقة: 8؛ 48؛ 81؛ 35؛ 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - الدرجة الدقيقة، لأن هناك مضاعف واحد فقط؛
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ليست قوة دقيقة، حيث أن هناك عاملين: 3 و 2؛
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة؛
35 = 7 · 5 - مرة أخرى ليست قوة محددة؛
14 = 7 · 2 - مرة أخرى ليست درجة محددة؛
ونلاحظ أيضًا أننا أنفسنا الأعداد الأوليةهي دائما درجات دقيقة لأنفسهم.
اللوغاريتم العشري
بعض اللوغاريتمات شائعة جدًا بحيث يكون لها اسم ورمز خاصان.
اللوغاريتم العشري لـ x هو اللوغاريتم للأساس 10، أي. القوة التي يجب رفع الرقم 10 إليها للحصول على الرقم x. التسمية: إل جي إكس.
على سبيل المثال، سجل 10 = 1؛ سجل 100 = 2؛ إل جي 1000 = 3 - إلخ.
من الآن فصاعدًا، عندما تظهر عبارة مثل "Find lg 0.01" في كتاب مدرسي، فاعلم أن هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك، إذا لم تكن على دراية بهذا الترميز، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س
كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق أيضًا على اللوغاريتمات العشرية.
اللوغاريتم الطبيعي
هناك لوغاريتم آخر له تسمية خاصة به. في بعض النواحي، يكون أكثر أهمية من العلامة العشرية. إنه على وشكحول اللوغاريتم الطبيعي.
اللوغاريتم الطبيعي لـ x هو اللوغاريتم للأساس e، أي. القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: ln x .
سيسأل الكثير: ما هو الرقم ه؟ هذا رقم غير عقلاني، إنه القيمة الدقيقةمن المستحيل العثور عليها وتسجيلها. سأقدم الأرقام الأولى فقط:
ه = 2.718281828459...
لن نخوض في التفاصيل حول ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = سجل e x
وبالتالي ln e = 1 ; لن ه 2 = 2؛ لن ه 16 = 16 - الخ ومن ناحية أخرى، ln 2 هو عدد غير نسبي. بشكل عام، اللوغاريتم الطبيعي لأي رقم نسبي هو غير منطقي. باستثناء واحد بالطبع: ln 1 = 0.
ل اللوغاريتمات الطبيعيةجميع القواعد الصحيحة للوغاريتمات العادية صالحة.
دعنا نبدء ب خصائص لوغاريتم واحد. وصياغتها هي كما يلي: لوغاريتم الوحدة يساوي الصفر، إنه، سجل 1=0لأي> 0، أ≠1. الإثبات ليس صعبًا: نظرًا لأن 0 =1 لأي a يفي بالشروط المذكورة أعلاه a>0 وa≠1، فإن سجل المساواة a 1=0 الذي سيتم إثباته يتبع مباشرة تعريف اللوغاريتم.
دعونا نعطي أمثلة لتطبيق الخاصية المدروسة: log 3 1=0, log1=0 و .
دعنا ننتقل إلى الخاصية التالية: لوغاريتم رقم يساوي الأساس يساوي واحد ، إنه، سجل أ = 1لـ >0، أ≠1. في الواقع، نظرًا لأن 1 =a لأي a، فمن خلال تعريف سجل اللوغاريتم a a=1.
من أمثلة استخدام خاصية اللوغاريتمات هذه سجل المساواة 5 5=1، سجل 5.6 5.6 وlne=1.
على سبيل المثال، سجل 2 2 7 =7، سجل 10 -4 = -4 و 
.
لوغاريتم منتج رقمين موجبينس و ص يساوي المنتجلوغاريتمات هذه الأرقام: سجل أ (س ص) = سجل س + سجل ص, أ>0 , أ≠1 . دعونا نثبت خاصية لوغاريتم المنتج. بسبب خصائص الدرجة سجل a x+log a y =a سجل a x ·a سجل a y، وبما أنه من خلال الهوية اللوغاريتمية الرئيسية سجل a x =x وlog a y =y، ثم سجل a x ·a log a y =x·y. وهكذا، سجل a x+log a y =x·y، ومنه، حسب تعريف اللوغاريتم، يتبع ذلك المساواة التي تم إثباتها.
لنعرض أمثلة على استخدام خاصية لوغاريتم المنتج: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 و 
.
يمكن تعميم خاصية لوغاريتم المنتج على منتج عدد محدود n من الأعداد الموجبة x 1 , x 2 , …, x n كـ سجل أ (x 1 ·x 2 ·…·x n)= سجل أ × 1 +سجل أ × 2 +…+سجل أ × ن . ويمكن إثبات هذه المساواة دون مشاكل.
على سبيل المثال، يمكن استبدال اللوغاريتم الطبيعي للمنتج بمجموع ثلاثة لوغاريتمات طبيعية للأرقام 4 وe و.
لوغاريتم حاصل ضرب رقمين موجبين x و y يساوي الفرق بين لوغاريتمات هذه الأرقام. تتوافق خاصية لوغاريتم حاصل القسمة مع صيغة النموذج، حيث a>0 وa≠1 وx وy هي بعض الأرقام الموجبة. تم إثبات صحة هذه الصيغة وكذلك صيغة لوغاريتم حاصل الضرب: منذ 
، ثم حسب تعريف اللوغاريتم.
فيما يلي مثال على استخدام خاصية اللوغاريتم: 
.
دعنا ننتقل إلى خاصية لوغاريتم القوة. لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم معامل قاعدة هذه الدرجة. دعونا نكتب خاصية لوغاريتم القوة كصيغة: سجل أ ب ع =p·سجل أ |ب|، حيث a>0 وa≠1 وb وp هي أرقام بحيث تكون الدرجة b p منطقية وb p >0.
أولا نثبت هذه الخاصية لإيجابية ب. تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم b في صورة a log a b ، ثم b p =(a log a b) p ، والتعبير الناتج، بسبب خاصية القوة، يساوي a p·log a b . لذلك نصل إلى المساواة b p =a p·log a b، والتي منها، من خلال تعريف اللوغاريتم، نستنتج أن log a b p =p·log a b.
يبقى إثبات هذه الخاصية لسلبية b. نلاحظ هنا أن التعبير log a b p للسالب b منطقي فقط بالنسبة للأسس الزوجية p (نظرًا لأن قيمة الدرجة b p يجب أن تكون أكبر من الصفر، وإلا فلن يكون اللوغاريتم منطقيًا)، وفي هذه الحالة b p =|b| ص. ثم ب ع =|ب| p =(سجل a |b|) p =a p·log a |b|، من حيث سجل a b p =p·log a |b| .
على سبيل المثال، 
و ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
يتبع من الخاصية السابقة خاصية اللوغاريتم من الجذر: لوغاريتم الجذر n يساوي حاصل ضرب الكسر 1/n في لوغاريتم التعبير الجذري، أي 
، حيث ا>0، أ≠1، ن - عدد طبيعي، أكبر من واحد، ب> 0.
والبرهان مبني على المساواة (انظر) التي تصح لأي موجب ب، وخاصية لوغاريتم القوة: 
.
فيما يلي مثال لاستخدام هذه الخاصية: 
.
الآن دعونا نثبت صيغة للانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدةعطوف 
. للقيام بذلك، يكفي إثبات صحة سجل المساواة c b=log a b·log c a. تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم b كسجل a b ، ثم log c b=log c a log a b . يبقى استخدام خاصية لوغاريتم الدرجة: سجل ج سجل أ ب = سجل أ ب سجل ج أ. وهذا يثبت سجل المساواة c b=log a b ·log c a، وهو ما يعني أن صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم قد تم إثباتها أيضًا.
دعونا نعرض بعض الأمثلة لاستخدام خاصية اللوغاريتمات هذه: و 
.
تتيح لك صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة الانتقال إلى العمل باستخدام اللوغاريتمات التي لها قاعدة "ملائمة". على سبيل المثال، يمكن استخدامه للانتقال إلى اللوغاريتمات الطبيعية أو العشرية بحيث يمكنك حساب قيمة اللوغاريتم من جدول اللوغاريتمات. تسمح صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة أيضًا، في بعض الحالات، بإيجاد قيمة لوغاريتم معين عندما تكون قيم بعض اللوغاريتمات ذات أسس أخرى معروفة.
غالبًا ما يتم استخدام حالة خاصة من صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة لـ c=b للنموذج 
. يوضح هذا أن السجل a b و السجل b a - . على سبيل المثال، 
.
يتم استخدام الصيغة أيضًا في كثير من الأحيان 
، وهو مناسب للعثور على قيم اللوغاريتمات. ولتأكيد كلامنا، سنبين كيف يمكن استخدامه لحساب قيمة لوغاريتم النموذج. لدينا 
. لإثبات الصيغة 
يكفي استخدام صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم a: 
.
يبقى إثبات خصائص مقارنة اللوغاريتمات.
دعونا نثبت أنه لأي أرقام موجبة ب 1 و ب 2، ب 1 log a b 2 و لـ a>1 - سجل عدم المساواة a b 1 أخيرًا، يبقى إثبات آخر خصائص اللوغاريتمات المذكورة. دعونا نقتصر على إثبات الجزء الأول منه، أي أننا سنثبت أنه إذا كان 1 > 1 و 2 > 1 و 1 1 صحيح سجل أ 1 ب>سجل أ 2 ب . تم إثبات العبارات المتبقية لخاصية اللوغاريتمات هذه وفقًا لمبدأ مماثل. دعونا نستخدم الطريقة المعاكسة. لنفترض أنه بالنسبة لـ 1>1، و2>1، و1 1 صحيح سجل a 1 b≥log a 2 b . واستنادا إلى خصائص اللوغاريتمات، يمكن إعادة كتابة هذه المتباينات على النحو التالي: 
و 
على التوالي، ومنهم يتبع ذلك سجل ب أ 1 ≥ سجل ب أ 2 و سجل ب أ 1 ≥ سجل ب أ 2، على التوالي. بعد ذلك، وفقًا لخصائص الدرجات ذات الأساس نفسه، يجب أن تكون المعادلتان b log b a 1 ≥b log b a 2 و b log b a 1 ≥b log b a 2، أي a 1 ≥a 2 . لذلك وصلنا إلى تناقض الشرط أ 1
فهرس.
- Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 من مؤسسات التعليم العام.
- جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية).
(من اليونانية ἀριθμός - "كلمة"، "علاقة" و ἀριθμός - "رقم") الأرقام بمرتكز على أ(سجل α ب) يسمى هذا الرقم ج، و ب= ج، أي سجل السجلات α ب=جو ب=أجمتكافئة. يكون اللوغاريتم منطقيًا إذا كان a > 0، a ≠ 1، b > 0.
بعبارة أخرى اللوغاريتمأعداد بمرتكز على أتمت صياغته كأس يجب رفع الرقم إليه أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط للأرقام الموجبة).
ويترتب على هذه الصيغة أن الحساب x= log α ب، يعادل حل المعادلة a x =b.
على سبيل المثال:
سجل 2 8 = 3 لأن 8 = 2 3 .
دعونا نؤكد أن صياغة اللوغاريتم المشار إليها تجعل من الممكن تحديدها على الفور قيمة اللوغاريتم، عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بمثابة قوة معينة للقاعدة. في الواقع، صياغة اللوغاريتم تجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب=أ ج، ثم لوغاريتم الرقم بمرتكز على أيساوي مع. ومن الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتمات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالموضوع صلاحيات عدد.
يسمى حساب اللوغاريتم اللوغاريتم. اللوغاريتم هو العملية الرياضية لأخذ اللوغاريتم. عند أخذ اللوغاريتمات، يتم تحويل منتجات العوامل إلى مجموع المصطلحات.
التقويةهي عملية رياضية عكسية للوغاريتم. أثناء التقوية، يتم رفع قاعدة معينة إلى درجة التعبير التي يتم تنفيذ التقوية عليها. في هذه الحالة، يتم تحويل مجموع المصطلحات إلى منتج العوامل.
في كثير من الأحيان، يتم استخدام اللوغاريتمات الحقيقية مع القواعد 2 (ثنائية)، ورقم أويلر e ≈ 2.718 (اللوغاريتم الطبيعي) و10 (عشري).
في هذه المرحلة فمن المستحسن أن تأخذ في الاعتبار عينات اللوغاريتمسجل 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
والإدخالات lg(-3)، log -3 3.2، log -1 -4.3 لا معنى لها، لأنه في الأول منها يتم وضع رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم، وفي الثانية يوجد رقم سالب وفي القاعدة الثالثة يوجد رقم سالب تحت علامة اللوغاريتم والوحدة في القاعدة.
شروط تحديد اللوغاريتم.
يجدر النظر بشكل منفصل في الشروط a > 0، a ≠ 1، b > 0. والتي نحصل بموجبها على تعريف اللوغاريتم.دعونا نفكر في سبب اتخاذ هذه القيود. إن المساواة في النموذج x = log α ستساعدنا في ذلك ب، تسمى الهوية اللوغاريتمية الأساسية، والتي تنبع مباشرة من تعريف اللوغاريتم المذكور أعلاه.
لنأخذ الشرط أ≠1. بما أن واحد إلى أي قوة يساوي واحدًا، فإن المساواة x=log α بلا يمكن أن توجد إلا عندما ب = 1، لكن السجل 1 1 سيكون أي رقم حقيقي. للقضاء على هذا الغموض، نأخذ أ≠1.
دعونا نثبت ضرورة الشرط أ>0. في أ = 0وفقا لصياغة اللوغاريتم يمكن أن توجد إلا عندما ب=0. وبناء على ذلك الحين سجل 0 0يمكن أن يكون أي عدد حقيقي غير الصفر، حيث أن صفر مرفوعًا لأي قوة غير صفرية يساوي صفرًا. يمكن القضاء على هذا الغموض عن طريق الشرط أ≠0. وعندما أ<0 سيتعين علينا رفض تحليل القيم العقلانية وغير العقلانية للوغاريتم، حيث يتم تعريف الدرجة ذات الأس العقلاني وغير العقلاني فقط للقواعد غير السلبية. ولهذا السبب تم اشتراط الشرط أ>0.
والشرط الأخير ب>0ينبع من عدم المساواة أ>0، بما أن x=log α بوقيمة الدرجة ذات القاعدة الموجبة أدائما إيجابية.
ميزات اللوغاريتمات.
اللوغاريتماتتتميز بالمميزة سماتمما أدى إلى استخدامها على نطاق واسع لتسهيل العمليات الحسابية المضنية بشكل كبير. عند الانتقال "إلى عالم اللوغاريتمات"، يتحول الضرب إلى عملية جمع أسهل بكثير، ويتحول القسمة إلى طرح، ويتحول الأس واستخراج الجذر، على التوالي، إلى الضرب والقسمة بواسطة الأس.
تم نشر صياغة اللوغاريتمات وجدول قيمها (للدوال المثلثية) لأول مرة في عام 1614 من قبل عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير. تم استخدام الجداول اللوغاريتمية، التي تم توسيعها وتفصيلها من قبل علماء آخرين، على نطاق واسع في الحسابات العلمية والهندسية، وظلت ذات صلة حتى استخدام الآلات الحاسبة الإلكترونية وأجهزة الكمبيوتر.
