عدد عشري. الكسور العشرية ، التعريفات ، التسجيل ، الأمثلة ، الإجراءات ذات الكسور العشرية
لقد قلنا بالفعل أن الكسور هي عاديو عدد عشري. في الوقت الحالي ، درسنا الكسور العادية قليلاً. علمنا أن هناك كسورًا منتظمة وكسورًا غير فعلية. تعلمنا أيضًا أنه يمكن اختزال الكسور العادية وإضافتها وطرحها وضربها وتقسيمها. وتعلمنا أيضًا أن هناك ما يسمى بالأرقام الكسرية ، والتي تتكون من عدد صحيح وجزء كسري.
لم ندرس الكسور العادية بالكامل بعد. هناك العديد من التفاصيل الدقيقة التي يجب مناقشتها ، لكننا سنبدأ اليوم في الدراسة عدد عشريالكسور ، لأن الكسور العادية والعشرية غالبًا ما يجب دمجها. أي عند حل المشكلات ، يجب عليك استخدام كلا النوعين من الكسور.
قد يبدو هذا الدرس معقدًا وغير مفهوم. إنه أمر طبيعي تمامًا. تتطلب هذه الأنواع من الدروس أن يتم دراستها وعدم تجاوزها.
محتوى الدرسالتعبير عن الكميات بصيغة كسرية
في بعض الأحيان يكون من الملائم إظهار شيء ما فيه شكل كسري. على سبيل المثال ، يُكتب عُشر الديسيمتر على النحو التالي:
هذا التعبير يعني أن الديسيمتر واحد تم تقسيمه إلى عشرة أجزاء ، وجزء واحد مأخوذ من هذه الأجزاء العشرة:
كما ترى في الشكل ، فإن عُشر الديسيمتر يساوي سنتيمترًا واحدًا.
يعتبر المثال التالي. أظهر 6 سم و 3 مم أخرى بالسنتيمتر في شكل كسور.
لذلك ، يجب التعبير عن 6 سم و 3 مم بالسنتيمتر ، ولكن في صورة كسرية. لدينا بالفعل 6 سنتيمترات كاملة:
ولكن لا يزال هناك 3 ملليمترات متبقية. كيف تظهر هذه 3 ميليمترات ، بينما في السنتيمتر؟ تأتي الكسور للإنقاذ. 3 ملليمترات تساوي ثلث سنتيمتر. والجزء الثالث من السنتيمتر مكتوب في صورة سم
الكسر يعني أن سنتيمترًا واحدًا تم تقسيمه إلى عشرة أجزاء متساوية ، وتم أخذ ثلاثة أجزاء من هذه الأجزاء العشرة (ثلاثة على عشرة).
نتيجة لذلك ، لدينا ستة سنتيمترات كاملة وثلاثة أعشار سنتيمتر:
في هذه الحالة ، 6 يوضح عدد السنتيمترات الكاملة ، والكسر يوضح عدد كسور السنتيمتر. تتم قراءة هذا الكسر على شكل "ستة أعشار وثلاثة أعشار السنتيمتر".
يمكن كتابة الكسور ، التي يوجد في مقامها أعداد 10 ، 100 ، 1000 بدون مقام. اكتب أولاً الجزء الصحيح ، ثم بسط الجزء الكسري. يتم فصل الجزء الصحيح عن بسط الجزء الكسري بفاصلة.
على سبيل المثال ، دعنا نكتب بدون مقام. للقيام بذلك ، نكتب الجزء بالكامل أولاً. الجزء الصحيح هو الرقم 6. نكتب هذا الرقم أولاً:
تم تسجيل الجزء كله. مباشرة بعد كتابة الجزء بالكامل ، ضع فاصلة:
والآن نكتب بسط الجزء الكسري. في العدد الكسري ، يكون بسط الجزء الكسري هو الرقم 3. نكتب الثلاثة بعد الفاصلة العشرية:
يتم استدعاء أي رقم يتم تمثيله في هذا النموذج عدد عشري.
لذلك ، يمكنك إظهار 6 سم و 3 مم أخرى بالسنتيمتر باستخدام كسر عشري:
6.3 سم
سيبدو مثل هذا:
في الواقع ، الكسور العشرية هي نفس الكسور الشائعة والأرقام الكسرية. خصوصية هذه الكسور هي أن مقام الجزء الكسري يحتوي على الأرقام 10 أو 100 أو 1000 أو 10000.
مثل العدد الكسري ، يحتوي الكسر العشري على جزء صحيح وجزء كسري. على سبيل المثال ، في العدد الكسري ، الجزء الصحيح هو 6 والجزء الكسري هو.
في الكسر العشري 6.3 ، الجزء الصحيح هو الرقم 6 ، والجزء الكسري هو بسط الكسر ، أي الرقم 3.
يحدث أيضًا أن الكسور العادية في المقام والتي يتم إعطاء الأعداد 10 و 100 و 1000 بدون جزء صحيح. على سبيل المثال ، يتم إعطاء كسر بدون جزء صحيح. لكتابة مثل هذا الكسر في صورة عدد عشري ، اكتب 0 أولاً ، ثم ضع فاصلة واكتب بسط الجزء الكسري. يُكتب كسر بدون مقام على النحو التالي:
يقرأ مثل "صفر فاصلة خمسة أعشار".
تحويل الأعداد الكسرية إلى الكسور العشرية
عندما نكتب أعدادًا كسرية بدون مقام ، فإننا نحولها إلى أعداد عشرية. عند تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية ، هناك بعض الأشياء التي تحتاج إلى معرفتها ، والتي سنتحدث عنها الآن.
بعد كتابة الجزء الصحيح ، من الضروري حساب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري ، لأن عدد الأصفار في الجزء الكسري وعدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية في الكسر العشري يجب أن يكون هو نفسه . ماذا يعني ذلك؟ ضع في اعتبارك المثال التالي:
في البدايه
ويمكنك على الفور كتابة بسط الجزء الكسري ويكون الكسر العشري جاهزًا ، لكن يجب عليك بالتأكيد حساب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري.
لذلك ، نحسب عدد الأصفار في الجزء الكسري من العدد الكسري. مقام الجزء الكسري يساوي صفرًا واحدًا. لذلك في الكسر العشري بعد الفاصلة العشرية ، سيكون هناك رقم واحد وسيكون هذا الرقم هو بسط الجزء الكسري للعدد الكسري ، أي الرقم 2
وهكذا ، يصبح الرقم المختلط ، عند ترجمته إلى كسر عشري ، 3.2.
تتم قراءة هذا الرقم العشري على النحو التالي:
"ثلاثة عشر كامل اثنين"
"أعشار" لأن الجزء الكسري من العدد الكسري يحتوي على الرقم 10.
مثال 2تحويل عدد كسري إلى عدد عشري.
نكتب الجزء بالكامل ونضع فاصلة:
ويمكنك على الفور كتابة بسط الجزء الكسري والحصول على الكسر العشري 5.3 ، لكن القاعدة تنص على أنه بعد الفاصلة العشرية يجب أن يكون هناك عدد من الأرقام يساوي عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري من العدد الكسري. ونلاحظ وجود صفرين في مقام الجزء الكسري. لذلك في الكسر العشري بعد الفاصلة العشرية ، يجب أن يكون هناك رقمان ، وليس واحدًا.
في مثل هذه الحالات ، يحتاج بسط الجزء الكسري إلى تعديل طفيف: أضف صفرًا قبل البسط ، أي قبل الرقم 3
الآن يمكنك تحويل هذا العدد الكسري إلى رقم عشري. نكتب الجزء بالكامل ونضع فاصلة:
واكتب بسط الجزء الكسري:
يقرأ الكسر العشري 5.03 كما يلي:
"خمسة فاصل ثلاث مائة"
"المئات" لأن مقام الجزء الكسري من العدد الكسري هو الرقم 100.
مثال 3تحويل عدد كسري إلى عدد عشري.
من الأمثلة السابقة ، تعلمنا أنه من أجل تحويل رقم مختلط إلى رقم عشري بنجاح ، يجب أن يكون عدد الأرقام في بسط الجزء الكسري وعدد الأصفار في مقام الجزء الكسري هو نفسه.
قبل تحويل رقم كسري إلى كسر عشري ، يجب تعديل الجزء الكسري قليلاً ، أي للتأكد من أن عدد الأرقام في بسط الجزء الكسري وعدد الأصفار في مقام الجزء الكسري هي نفس.
أولًا ، ننظر إلى عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري. نرى أن هناك ثلاثة أصفار:
مهمتنا هي تنظيم ثلاثة أرقام في بسط الجزء الكسري. لدينا بالفعل رقم واحد - هذا هو الرقم 2. ويبقى إضافة رقمين إضافيين. سيكونان صفرين. أضفهم قبل الرقم 2. نتيجة لذلك ، سيصبح عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط كما هو:
يمكننا الآن تحويل هذا العدد الكسري إلى عدد عشري. نكتب الجزء بالكامل أولاً ونضع فاصلة:
واكتب على الفور بسط الجزء الكسري
3,002
نرى أن عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية وعدد الأصفار في مقام الجزء الكسري من العدد الكسري متماثلان.
يقرأ الرقم العشري 3.002 كالتالي:
"ثلاثة أجزاء كاملة ، اثنان من الألف"
"الألف" لأن مقام الجزء الكسري من العدد الكسري هو الرقم 1000.
تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية
يمكن أيضًا تحويل الكسور العادية ، حيث المقام فيها 10 أو 100 أو 1000 أو 10000 ، إلى كسور عشرية. بما أن الكسر العادي لا يحتوي على عدد صحيح ، اكتب 0 أولاً ، ثم ضع فاصلة واكتب بسط الجزء الكسري.
هنا أيضًا ، يجب أن يكون عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط هو نفسه. لذلك ، يجب أن تكون حذرا.
مثال 1
الجزء الصحيح مفقود ، لذلك نكتب 0 أولاً ونضع فاصلة:
انظر الآن إلى عدد الأصفار في المقام. نرى أن هناك صفرًا واحدًا. والبسط يتكون من رقم واحد. لذا يمكنك متابعة الكسر العشري بأمان عن طريق كتابة الرقم 5 بعد الفاصلة العشرية
في الكسر العشري الناتج 0.5 ، يكون عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر متماثلين. إذن الكسر صحيح.
يقرأ الكسر العشري 0.5 كما يلي:
"نقطة الصفر ، خمسة أعشار"
مثال 2تحويل الكسر المشترك إلى كسر عشري.
الجزء كله مفقود. نكتب 0 أولاً ونضع فاصلة:
انظر الآن إلى عدد الأصفار في المقام. نرى أن هناك صفرين. والبسط يحتوي على رقم واحد فقط. لجعل عدد الأرقام وعدد الأصفار متماثلًا ، أضف صفرًا واحدًا في البسط قبل الرقم 2. ثم يأخذ الكسر الشكل. الآن عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط هو نفسه. حتى تتمكن من متابعة العلامة العشرية:
في الكسر العشري الناتج 0.02 ، يكون عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر متماثلين. إذن الكسر صحيح.
يقرأ الكسر العشري 0.02 كما يلي:
"نقطة الصفر ، مائتان."
مثال 3تحويل الكسر المشترك إلى كسر عشري.
نكتب 0 ونضع فاصلة:
الآن نحسب عدد الأصفار في مقام الكسر. نرى أن هناك خمسة أصفار ، وهناك رقم واحد فقط في البسط. لجعل عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط متماثلين ، تحتاج إلى إضافة أربعة أصفار في البسط قبل الرقم 5:
الآن عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط هو نفسه. حتى تتمكن من متابعة العلامة العشرية. نكتب بسط الكسر بعد الفاصلة العشرية
في الكسر العشري الناتج 0.00005 ، يكون عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر هو نفسه. إذن الكسر صحيح.
يقرأ الكسر العشري 0.00005 كما يلي:
"نقطة الصفر ، خمسمائة من الألف."
تحويل الكسور غير الفعلية إلى الكسور العشرية
الكسر غير الفعلي هو الكسر الذي بسطه أكبر من المقام. هناك كسور غير فعلية بها الأرقام 10 أو 100 أو 1000 أو 10000 في المقام. يمكن تحويل هذه الكسور إلى كسور عشرية. ولكن قبل التحويل إلى كسر عشري ، يجب أن تحتوي هذه الكسور على عدد صحيح.
مثال 1
الكسر هو كسر غير فعلي. لتحويل مثل هذا الكسر إلى كسر عشري ، يجب عليك أولاً تحديد جزء العدد الصحيح الخاص به. نتذكر كيفية تحديد الجزء الكامل من الكسور غير الفعلية. إذا نسيت ، فننصحك بالعودة إليها ودراستها.
لذلك ، لنحدد الجزء الصحيح في الكسر غير الفعلي. تذكر أن الكسر يعني القسمة على هذه القضيةقسمة الرقم 112 على العدد 10
لنلقِ نظرة على هذه الصورة ونجمع عدد كسري جديد ، مثل مصمم أطفال. سيكون الرقم 11 هو الجزء الصحيح ، والرقم 2 سيكون بسط الجزء الكسري ، والرقم 10 سيكون مقام الجزء الكسري.
لدينا عدد كسري. فلنحولها إلى رقم عشري. ونحن نعلم بالفعل كيفية ترجمة هذه الأرقام إلى كسور عشرية. أولاً نكتب الجزء بالكامل ونضع فاصلة:
الآن نحسب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري. نرى أن هناك صفرًا واحدًا. وبسط الجزء الكسري يحتوي على رقم واحد. هذا يعني أن عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري وعدد الأرقام في بسط الجزء الكسري متماثلان. يمنحنا هذا الفرصة لكتابة بسط الجزء الكسري على الفور بعد الفاصلة العشرية:
في الكسر العشري الناتج 11.2 ، يكون عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر متماثلين. إذن الكسر صحيح.
هذا يعني أن الكسر غير الفعلي ، عند تحويله إلى كسر عشري ، يتحول إلى 11.2
يقرأ العشري 11.2 كالتالي:
"أحد عشر صحيحًا ، عشران".
مثال 2تحويل الكسر غير الفعلي إلى عدد عشري.
هذا كسر غير فعلي لأن البسط أكبر من المقام. لكن يمكن تحويله إلى كسر عشري ، لأن المقام هو الرقم 100.
بادئ ذي بدء ، نختار الجزء الصحيح من هذا الكسر. للقيام بذلك ، قسّم 450 على 100 بزاوية:
دعونا نجمع عدد كسري جديد - نحصل عليه. ونحن نعلم بالفعل كيفية ترجمة الأعداد الكسرية إلى كسور عشرية.
نكتب الجزء بالكامل ونضع فاصلة:
الآن نحسب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري وعدد الأرقام في بسط الجزء الكسري. نلاحظ أن عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط متماثلان. يمنحنا هذا الفرصة لكتابة بسط الجزء الكسري على الفور بعد الفاصلة العشرية:
في الكسر العشري الناتج 4.50 ، يكون عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر متماثلين. لذلك تمت ترجمة الكسر بشكل صحيح.
إذن ، الكسر غير الفعلي ، عند ترجمته إلى كسر عشري ، يتحول إلى 4.50
عند حل المشكلات ، إذا كانت هناك أصفار في نهاية الكسر العشري ، فيمكن التخلص منها. دعونا نحذف الصفر في إجابتنا. ثم نحصل على 4.5
هذا هو واحد من ميزات مثيرة للاهتمامالكسور العشرية. تكمن في حقيقة أن الأصفار الموجودة في نهاية الكسر لا تعطي أي وزن لهذا الكسر. بمعنى آخر ، الكسور العشرية 4.50 و 4.5 متساوية. دعنا نضع علامة المساواة بينهما:
4,50 = 4,5
السؤال الذي يطرح نفسه: لماذا يحدث هذا؟ بعد كل شيء ، يبدو 4.50 و 4.5 كسور مختلفة. يكمن السر كله في الخاصية الأساسية للكسر ، والتي درسناها سابقًا. سنحاول إثبات سبب تساوي الكسور العشرية 4.50 و 4.5 ، ولكن بعد دراسة الموضوع التالي ، والذي يسمى "تحويل كسر عشري إلى رقم كسري".
عشري لتحويل رقم مختلط
يمكن تحويل أي كسر عشري إلى عدد كسري. للقيام بذلك ، يكفي أن تكون قادرًا على قراءة الكسور العشرية. على سبيل المثال ، لنحول 6.3 إلى عدد كسري. 6.3 هو ستة نقاط كاملة وثلاثة أعشار. نكتب ستة أعداد صحيحة أولاً:
وثلاثة أعشار التالية:
مثال 2تحويل عشري 3.002 إلى عدد كسري
3.002 عبارة عن ثلاثة أعداد صحيحة وألفين. اكتب ثلاثة أعداد صحيحة أولاً.
وبعد ذلك نكتب ألفين:
مثال 3تحويل عشري 4.50 إلى عدد كسري
4.50 هي أربع نقاط وخمسون جزءًا من مائة. اكتب أربعة أعداد صحيحة
وخمسون من المائة التالية:
بالمناسبة ، دعنا نتذكر المثال الأخير من الموضوع السابق. قلنا أن الكسور العشرية 4.50 و 4.5 متساوية. قلنا أيضًا أنه يمكن استبعاد الصفر. دعنا نحاول إثبات أن الكسر العشري 4.50 و 4.5 متساويان. للقيام بذلك ، نقوم بتحويل كلا الكسور العشرية إلى أعداد كسرية.
بعد التحويل إلى رقم كسري ، يصبح الرقم العشري 4.50 ، ويصبح الرقم العشري 4.5
لدينا عددين كسريين و. حول هذه الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية:
الآن لدينا كسرين و. حان الوقت لتذكر الخاصية الأساسية للكسر ، والتي تنص على أنه عند ضرب (أو قسمة) البسط والمقام في نفس العدد ، فإن قيمة الكسر لا تتغير.
دعنا نقسم الكسر الأول على 10
تم استلامه ، وهذا هو الكسر الثاني. إذن و متساويان و متساويان بنفس القيمة:
جرب قسمة 450 على 100 أولاً على الآلة الحاسبة ، ثم 45 على 10. سينجح الأمر المضحك.
تحويل عشري إلى كسر مشترك
يمكن تحويل أي كسر عشري مرة أخرى إلى كسر مشترك. للقيام بذلك ، مرة أخرى ، يكفي أن تكون قادرًا على قراءة الكسور العشرية. على سبيل المثال ، لنحول 0.3 إلى كسر عادي. 0.3 يساوي صفرًا وثلاثة أعشار. نكتب صفر أعداد صحيحة أولاً:
وبجوار ثلاثة أعشار 0. لا يتم عادةً تدوين الصفر ، لذا لن تكون الإجابة النهائية 0 ، ولكن ببساطة.
مثال 2حوّل عشري 0.02 إلى كسر عادي.
0.02 هي صفر ومئتان. نحن لا نكتب صفرًا ، لذلك نكتب على الفور جزء من مائة
مثال 3حوّل 0.00005 إلى كسر
0.00005 يساوي صفرًا وخمسمائة من الألف. الصفر غير مكتوب ، لذلك نكتب على الفور خمسمائة جزء من الألف
هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات الدروس الجديدة
الكسور
انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")
الكسور في المدرسة الثانوية ليست مزعجة للغاية. في الوقت الحاضر. حتى تصل إلى درجات مع مؤشرات عقلانيةنعم اللوغاريتمات. و هناك…. تضغط ، تضغط على الآلة الحاسبة ، وتعرض جميع لوحة النتائج الكاملة لبعض الأرقام. عليك التفكير برأسك ، كما في الصف الثالث.
دعونا نتعامل مع الكسور ، أخيرًا! حسنًا ، إلى أي مدى يمكن أن تتشوش فيهم !؟ علاوة على ذلك ، كل شيء بسيط ومنطقي. لذا، ما هي الكسور؟
أنواع الكسور. التحولات.
الكسور تحدث ثلاثة أنواع.
1. الكسور المشتركة ، على سبيل المثال:
في بعض الأحيان ، بدلاً من الخط الأفقي ، يضعون شرطة مائلة: 1/2 ، 3/4 ، 19/5 ، حسنًا ، وهكذا. هنا سنستخدم هذا التهجئة غالبًا. أعلى رقم يسمى البسط، أدنى - المقام - صفة مشتركة - حالة.إذا كنت تخلط بين هذه الأسماء باستمرار (يحدث ...) ، أخبر نفسك العبارة بالتعبير: " ززززيتذكر! ززززالمقام - خارج zzzz u! "انظر ، كل شيء سوف يتم تذكره.)
الشرطة الأفقية المائلة تعني قسمالرقم العلوي (البسط) إلى الرقم السفلي (المقام). وهذا كل شيء! بدلاً من الشرطة ، من الممكن تمامًا وضع علامة قسمة - نقطتان.
عندما يكون الانقسام ممكنًا تمامًا ، يجب أن يتم ذلك. لذلك ، بدلاً من الكسر "32/8" ، من الأفضل كتابة الرقم "4". أولئك. 32 تقسم ببساطة على 8.
32/8 = 32: 8 = 4
أنا لا أتحدث عن الكسر "4/1". وهو أيضًا "4" فقط. وإذا لم تنقسم بشكل كامل ، نتركها على شكل كسر. في بعض الأحيان عليك أن تفعل العكس. اصنع كسرًا من عدد صحيح. ولكن أكثر عن ذلك لاحقا.
2. الكسور العشرية ، على سبيل المثال:
في هذا الشكل سيكون من الضروري تدوين الإجابات على المهام "ب".
3. أعداد مختلطة ، على سبيل المثال:
لا يتم استخدام الأرقام المختلطة عمليًا في المدرسة الثانوية. من أجل العمل معهم ، يجب تحويلهم إلى كسور عادية. لكنك بالتأكيد بحاجة إلى معرفة كيفية القيام بذلك! وبعد ذلك سيظهر هذا الرقم في اللغز ويتدلى ... من الصفر. لكننا نتذكر هذا الإجراء! أقل قليلا.
أكثر تنوعا الكسور المشتركة. لنبدأ معهم. بالمناسبة ، إذا كان هناك كل أنواع اللوغاريتمات والجيب والحروف الأخرى في الكسر ، فهذا لا يغير شيئًا. بمعنى أن كل شيء لا تختلف الإجراءات ذات التعبيرات الكسرية عن الإجراءات ذات الكسور العادية!
الخاصية الأساسية لكسر.
إذا هيا بنا! بادئ ذي بدء ، سأفاجئك. يتم توفير مجموعة كاملة من تحويلات الكسور من خلال خاصية واحدة! هذا ما يسمى الخاصية الأساسية لكسر. يتذكر: إذا تم ضرب (قسمة) بسط الكسر في نفس العدد ، فلن يتغير الكسر.أولئك:
من الواضح أنه يمكنك الكتابة أكثر حتى يصبح وجهك أزرق. لا تدع الجيوب واللوغاريتمات تربكك ، وسنتعامل معها بشكل أكبر. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه هو أن كل هذه التعبيرات المختلفة نفس الكسر . 2/3.
ونحن بحاجة إليها ، كل هذه التحولات؟ وكيف! الآن سترى بنفسك. أولًا ، دعنا نستخدم الخاصية الأساسية لكسر من أجل اختصارات الكسر. يبدو أن الشيء بدائي. نقسم البسط والمقام على نفس العدد وهذا كل شيء! من المستحيل أن تخطئ! لكن ... الإنسان كائن مبدع. يمكنك ارتكاب الأخطاء في كل مكان! خاصة إذا كان عليك تقليل ليس كسرًا مثل 5/10 ، ولكن تعبير كسريبكل أنواع الحروف.
يمكن العثور على كيفية تقليل الكسور بشكل صحيح وسريع دون القيام بعمل غير ضروري في القسم الخاص 555.
الطالب العادي لا يكلف نفسه عناء قسمة البسط والمقام على نفس الرقم (أو التعبير)! إنه يشطب كل شيء كما هو من أعلى وأسفل! هذا هو المكان الذي يختبئ فيه خطأ نموذجي، زلة إذا كنت تريد.
على سبيل المثال ، تحتاج إلى تبسيط التعبير:
لا يوجد شيء للتفكير فيه ، نقوم بشطب الحرف "أ" من الأعلى والشيطان من الأسفل! نحن نحصل:
كل شيء صحيح. لكن في الحقيقة أنت تشارك الكل البسط و الكل المقام "أ". إذا كنت معتادًا على الشطب ، فعندئذٍ ، على عجل ، يمكنك شطب "أ" في التعبير
واحصل مرة أخرى
الذي سيكون خاطئًا بشكل قاطع. لأن هنا الكلبسط على "أ" بالفعل غير مشارك! لا يمكن اختزال هذا الكسر. بالمناسبة ، هذا الاختصار يمثل تحديًا خطيرًا للمعلم. هذا لا يغفر! يتذكر؟ عند التقليل ، من الضروري الانقسام الكل البسط و الكل المقام - صفة مشتركة - حالة!
اختزال الكسور يجعل الحياة أسهل كثيرًا. ستحصل على كسر في مكان ما ، على سبيل المثال 375/1000. وكيف تعمل معها الآن؟ بدون آلة حاسبة؟ اضرب ، قل ، أضف ، تربيع !؟ وإذا لم تكن كسولًا جدًا ، فعليك التقليل بعناية بمقدار خمسة ، وحتى خمسة ، وحتى ... أثناء تقليله ، باختصار. نحصل على 3/8! أجمل بكثير ، أليس كذلك؟
تسمح لك الخاصية الأساسية للكسر بتحويل الكسور العادية إلى الكسور العشرية والعكس صحيح بدون آلة حاسبة! هذا مهم للامتحان ، صحيح؟
كيفية تحويل الكسور من شكل إلى آخر.
إنه سهل مع الكسور العشرية. كما يسمع هكذا هو مكتوب! لنفترض 0.25. إنها نقطة الصفر ، خمسة وعشرون جزءًا من مائة. لذلك نكتب: 25/100. نخفض (نقسم البسط والمقام على 25) ، نحصل على الكسر المعتاد: 1/4. الجميع. يحدث ذلك ، ولا يتم تقليل أي شيء. مثل 0.3. هذه ثلاثة أعشار أي. 3/10.
ماذا لو كانت الأعداد الصحيحة ليست صفرية؟ لا بأس. اكتب الكسر كله بدون أي فواصلفي البسط وفي المقام - ما يسمع. على سبيل المثال: 3.17. هذا هو ثلاثة أجزاء كاملة ، وسبعة عشر جزء من مائة. نكتب 317 في البسط و 100 في المقام ، ونحصل على 317/100. لا شيء يتم اختزاله ، هذا يعني كل شيء. هذا هو الجواب. الابتدائية واتسون! من كل ما سبق ، استنتاج مفيد: يمكن تحويل أي كسر عشري إلى كسر مشترك .
لكن التحويل العكسي ، العادي إلى العشري ، لا يستطيع البعض الاستغناء عن الآلة الحاسبة. وهذا ضروري! كيف ستكتب الإجابة في الامتحان !؟ نقرأ بعناية ونتقن هذه العملية.
ما هو الكسر العشري؟ لديها في المقام دائماًتساوي 10 أو 100 أو 1000 أو 10000 وما إلى ذلك. إذا كان للكسر المعتاد مثل هذا المقام ، فلا توجد مشكلة. على سبيل المثال ، 4/10 = 0.4. أو 7/100 = 0.07. أو 12/10 = 1.2. وإذا كان في الإجابة على مهمة القسم "ب" اتضح 1/2؟ ماذا نكتب ردا على ذلك؟ الكسور العشرية مطلوبة ...
نحن نتذكر الخاصية الأساسية لكسر ! تسمح لك الرياضيات بشكل إيجابي بضرب البسط والمقام في نفس الرقم. بالمناسبة لأي شخص! ماعدا صفر بالطبع. دعونا نستخدم هذه الميزة لصالحنا! بماذا يضرب المقام أي. 2 بحيث تصبح 10 أو 100 أو 1000 (الأصغر أفضل بالطبع ...)؟ 5 ، من الواضح. لا تتردد في ضرب المقام (هذا نحنضروري) في 5. ولكن ، يجب أيضًا ضرب البسط في 5. هذا بالفعل الرياضياتحفز! نحصل على 1/2 \ u003d 1x5 / 2x5 \ u003d 5/10 \ u003d 0.5. هذا كل شئ.
ومع ذلك ، تأتي جميع أنواع القواسم. على سبيل المثال ، يقع الكسر 3/16. جربها ، واكتشف ما الذي ستضربه في 16 لتحصل على 100 ، أو 1000 ... لا تعمل؟ ثم يمكنك ببساطة قسمة 3 على 16. في حالة عدم وجود آلة حاسبة ، سيتعين عليك التقسيم في زاوية ، على قطعة من الورق ، كما درسوا في الصفوف الابتدائية. حصلنا على 0.1875.
وهناك بعض القواسم السيئة للغاية. على سبيل المثال ، لا يمكن تحويل الكسر 1/3 إلى رقم عشري جيد. نحصل على 0.3333333 على الآلة الحاسبة وعلى قطعة من الورق ... وهذا يعني أن 1/3 في كسر عشري دقيق لا يترجم. تمامًا مثل 1/7 و 5/6 وما إلى ذلك. كثير منها غير قابل للترجمة. ومن ثم استنتاج آخر مفيد. ليس كل جزء مشتركتم تحويله إلى رقم عشري !
بالمناسبة ، هذا معلومات مفيدةللاختبار الذاتي. في القسم "ب" ردًا على ذلك ، تحتاج إلى كتابة كسر عشري. وحصلت ، على سبيل المثال ، على 4/3. لم يتم تحويل هذا الكسر إلى رقم عشري. هذا يعني أنك ارتكبت خطأ في مكان ما على طول الطريق! تعال ، تحقق من الحل.
لذلك ، مع الكسور العادية والعشرية مرتبة. يبقى التعامل مع الأرقام المختلطة. للعمل معهم ، يجب تحويلهم جميعًا إلى كسور عادية. كيف افعلها؟ يمكنك أن تلحق بطالب في الصف السادس وتسأله. ولكن لن يكون هناك دائمًا طالب بالصف السادس في متناول اليد ... سيتعين علينا القيام بذلك بأنفسنا. ليست صعبة. اضرب مقام الجزء الكسري في الجزء الصحيح وأضف بسط الجزء الكسري. سيكون هذا هو بسط الكسر المشترك. ماذا عن المقام؟ سيبقى المقام كما هو. يبدو الأمر معقدًا ، لكنه في الواقع بسيط للغاية. دعونا نرى مثالا.
دع المشكلة التي رأيتها برعب الرقم:
بهدوء ، دون ذعر ، نحن نفهم. الجزء الكامل هو 1. واحد. الجزء الكسري 3/7. إذن ، مقام الجزء الكسري هو 7. هذا المقام سيكون مقام الكسر العادي. نحسب البسط. نضرب 7 في 1 (الجزء الصحيح) ونضيف 3 (بسط الجزء الكسري). نحصل على 10. سيكون هذا هو بسط الكسر العادي. هذا كل شئ. يبدو أسهل في تدوين رياضي:
بوضوح؟ ثم اضمن نجاحك! حوّل إلى كسور مشتركة. يجب أن تحصل على 10/7 و 7/2 و 23/10 و 21/4.
نادراً ما تكون العملية العكسية - تحويل جزء غير لائق إلى رقم مختلط - مطلوبة في المدرسة الثانوية. حسنًا ، إذا ... وإذا كنت - لست في المدرسة الثانوية - يمكنك النظر في القسم 555 الخاص. بالمناسبة ، في نفس المكان ، ستتعرف على الكسور غير الصحيحة.
حسنًا ، كل شيء تقريبًا. لقد تذكرت أنواع الكسور وفهمت كيف تحويلها من نوع إلى آخر. يبقى السؤال: لماذا افعلها؟ أين ومتى تطبق هذه المعرفة العميقة؟
أجيب. أي مثال في حد ذاته يقترح الإجراءات اللازمة. إذا تم خلط الكسور العادية والأعداد العشرية وحتى الأعداد المختلطة في المثال في مجموعة ، فإننا نترجم كل شيء إلى كسور عادية. يمكن دائما القيام به. حسنًا ، إذا تمت كتابة شيء مثل 0.8 + 0.3 ، فإننا نعتقد ذلك ، بدون أي ترجمة. لماذا نحتاج إلى عمل إضافي؟ نختار الحل المناسب نحن !
إذا كانت المهمة مليئة بالكسور العشرية ، لكن ... نوعًا من الأشرار ، انتقل إلى الكسور العادية ، جربها! انظر ، كل شيء سيكون على ما يرام. على سبيل المثال ، عليك تربيع الرقم 0.125. ليس بهذه السهولة إذا لم تفقد عادة الآلة الحاسبة! لا تحتاج فقط إلى مضاعفة الأرقام في عمود ، ولكن عليك أيضًا التفكير في مكان إدراج الفاصلة! بالتأكيد لا يعمل في ذهني! وإذا ذهبت إلى كسر عادي؟
0.125 = 125/1000. نخفض بمقدار 5 (هذا بالنسبة للمبتدئين). نحصل على 25/200. مرة أخرى في 5. نحصل على 5/40. أوه ، إنه يتقلص! العودة إلى 5! نحصل على 1/8. تربيع بسهولة (في عقلك!) واحصل على 1/64. الجميع!
دعونا نلخص هذا الدرس.
1. هناك ثلاثة أنواع من الكسور. الأعداد العادية والعشرية والمختلطة.
2. الكسور العشرية والأعداد الكسرية دائماًيمكن تحويلها إلى كسور مشتركة. الترجمة العكسية ليس دائمامتاح.
3. اختيار نوع الكسور للعمل مع المهمة يعتمد على هذه المهمة بالذات. في حضور أنواع مختلفةالكسور في مهمة واحدة ، الشيء الأكثر موثوقية هو التبديل إلى الكسور العادية.
الآن يمكنك التدرب. أولاً ، قم بتحويل هذه الكسور العشرية إلى كسور عادية:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
يجب أن تحصل على إجابات مثل هذه (في حالة فوضى!):
على هذا سننتهي. في هذا الدرس قمنا بتحديث ذاكرتنا النقاط الرئيسيةبالكسور. يحدث ، مع ذلك ، أنه لا يوجد شيء خاص للتحديث ...) إذا نسي شخص ما ذلك تمامًا ، أو لم يتقن ذلك بعد ... يمكن أن يذهب هؤلاء إلى القسم 555 الخاص. يتم تفصيل جميع الأساسيات هناك. فجأة الكثير يفهم كل شئتبدأ. ويحلون الكسور على الطاير).
إذا أعجبك هذا الموقع ...
بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
في هذه المقالة ، سوف نحلل كيف تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية، وكذلك النظر في العملية العكسية - تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية. هنا سنقوم بالتعبير عن قواعد عكس الكسور ونعطيها حلول مفصلةأمثلة نموذجية.
التنقل في الصفحة.
تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية
دعونا نشير إلى التسلسل الذي سنتعامل معه تحويل الكسور المشتركة إلى كسور عشرية.
أولاً ، سننظر في كيفية تمثيل الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... ككسور عشرية. هذا لأن الكسور العشرية هي أساسًا شكل مضغوط من الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، ...
بعد ذلك ، سوف نذهب إلى أبعد من ذلك ونبين كيف يمكن كتابة أي كسر عادي (ليس فقط مع القواسم 10 ، 100 ، ...) ككسر عشري. مع هذا التحويل للكسور العادية ، يتم الحصول على كل من الكسور العشرية المحدودة والكسور العشرية الدورية اللانهائية.
الآن عن كل شيء بالترتيب.
تحويل الكسور العادية ذات المقامات 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية
تحتاج بعض الكسور المنتظمة إلى "إعداد أولي" قبل تحويلها إلى كسور عشرية. ينطبق هذا على الكسور العادية ، حيث يكون عدد الأرقام في البسط أقل من عدد الأصفار في المقام. على سبيل المثال ، يجب تحضير الكسر الشائع 2/100 أولاً للتحويل إلى كسر عشري ، ولكن لا يلزم تحضير الكسر 9/10.
يتكون "الإعداد الأولي" للكسور العادية الصحيحة للتحويل إلى كسور عشرية من إضافة العديد من الأصفار إلى اليسار في البسط بحيث يصبح العدد الإجمالي للأرقام هناك مساويًا لعدد الأصفار في المقام. على سبيل المثال ، سيبدو الكسر بعد إضافة الأصفار.
بعد تحضير الكسر العادي الصحيح ، يمكنك البدء في تحويله إلى كسر عشري.
هيا نعطي قاعدة لتحويل كسر مشترك سليم مقامه 10 أو 100 أو 1000 ... إلى كسر عشري. يتكون من ثلاث خطوات:
- اكتب 0 ؛
- ضع علامة عشرية بعدها ؛
- اكتب الرقم من البسط (مع الأصفار المضافة ، إذا أضفناها).
ضع في اعتبارك تطبيق هذه القاعدة في حل الأمثلة.
مثال.
حوّل الكسر الصحيح 37/100 إلى عدد عشري.
حل.
يحتوي المقام على الرقم 100 ، الذي يحتوي على صفرين في مدخله. يحتوي البسط على الرقم 37 ، وهناك رقمان في سجله ، لذلك لا يحتاج هذا الكسر إلى التحضير للتحويل إلى كسر عشري.
نكتب الآن 0 ، ونضع علامة عشرية ، ونكتب الرقم 37 من البسط ، بينما نحصل على الكسر العشري 0.37.
إجابة:
0,37 .
لتعزيز مهارات ترجمة الكسور العادية العادية مع البسط 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية ، سنحلل حل مثال آخر.
مثال.
اكتب الكسر الصحيح 107 / 10،000،000 في صورة عدد عشري.
حل.
عدد الأرقام في البسط هو 3 ، وعدد الأصفار في المقام هو 7 ، لذلك يجب تحضير هذا الكسر العادي للتحويل إلى رقم عشري. نحتاج إلى إضافة 7-3 = 4 أصفار إلى اليسار في البسط بحيث يصبح إجمالي عدد الأرقام هناك مساويًا لعدد الأصفار في المقام. نحن نحصل .
يبقى لتشكيل الكسر العشري المطلوب. للقيام بذلك ، أولاً ، نكتب 0 ، ثانيًا ، نضع فاصلة ، ثالثًا ، نكتب الرقم من البسط مع الأصفار 0000107 ، ونتيجة لذلك لدينا كسر عشري 0.0000107.
إجابة:
0,0000107 .
لا تحتاج الكسور الشائعة غير الصحيحة إلى تحضير عند التحويل إلى كسور عشرية. يجب الالتزام بما يلي قواعد تحويل الكسور الشائعة غير الصحيحة ذات المقامات 10 ، 100 ، ... إلى كسور عشرية:
- اكتب الرقم من البسط ؛
- نفصل بفاصلة عشرية عددًا من الأرقام على اليمين حيث يوجد أصفار في مقام الكسر الأصلي.
دعنا نحلل تطبيق هذه القاعدة عند حل مثال.
مثال.
تحويل الكسر المشترك غير الفعلي 56888038009/100000 إلى عدد عشري.
حل.
أولاً ، نكتب الرقم من البسط 56888038009 ، وثانيًا ، نفصل 5 أرقام على اليمين بعلامة عشرية ، حيث يوجد 5 أصفار في مقام الكسر الأصلي. نتيجة لذلك ، لدينا كسر عشري 568 880.38009.
إجابة:
568 880,38009 .
لتحويل رقم كسري إلى كسر عشري ، يكون مقام الجزء الكسري هو الرقم 10 ، أو 100 ، أو 1000 ، ... ، يمكنك تحويل الرقم الكسري إلى كسر عادي غير فعلي ، وبعد ذلك يكون الكسر الناتج يمكن تحويلها إلى كسر عشري. ولكن يمكنك أيضًا استخدام ما يلي قاعدة تحويل الأعداد الكسرية ذات مقام الجزء الكسري 10 أو 100 أو 1000 ... إلى كسور عشرية:
- إذا لزم الأمر ، قم بتنفيذها تدريب أولي»الجزء الكسري للعدد الكسري الأصلي بإضافة العدد المطلوب من الأصفار على اليسار في البسط ؛
- اكتب الجزء الصحيح من العدد الكسري الأصلي ؛
- ضع علامة عشرية
- نكتب الرقم من البسط مع الأصفار المضافة.
دعنا نفكر في مثال ، عند الحل سنقوم بتنفيذ جميع الخطوات اللازمة لتمثيل رقم كسري ككسر عشري.
مثال.
تحويل عدد كسري إلى عدد عشري.
حل.
يوجد 4 أصفار في مقام الجزء الكسري ، والرقم 17 في البسط ، ويتكون من رقمين ، لذلك نحتاج إلى إضافة صفرين إلى اليسار في البسط بحيث يصبح عدد الأحرف هناك مساويًا لـ عدد الأصفار في المقام. بعمل هذا ، سيكون البسط هو 0017.
نكتب الآن الجزء الصحيح من الرقم الأصلي ، أي الرقم 23 ، ونضع علامة عشرية ، وبعد ذلك نكتب الرقم من البسط مع الأصفار المضافة ، أي 0017 ، بينما نحصل على الرقم العشري المطلوب كسر 23.0017.
دعنا نكتب الحل الكامل باختصار: 
.
مما لا شك فيه أنه كان من الممكن أولاً تمثيل الرقم المختلط ككسر غير فعلي ، ثم تحويله إلى كسر عشري. مع هذا النهج ، يبدو الحل كما يلي:
إجابة:
23,0017 .
تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية دورية محدودة ولانهائية
ليس فقط الكسور العادية ذات القواسم 10 ، 100 ، ... يمكن تحويلها إلى كسر عشري ، ولكن الكسور العادية ذات القواسم الأخرى. الآن سنكتشف كيف يتم ذلك.
في بعض الحالات ، يتم اختزال الكسر العادي الأصلي بسهولة إلى أحد القواسم 10 ، أو 100 ، أو 1000 ، ... (انظر اختزال الكسر العادي إلى مقام جديد) ، وبعد ذلك ليس من الصعب تقديم الناتج ككسر عشري. على سبيل المثال ، من الواضح أن الكسر 2/5 يمكن اختزاله إلى كسر مقامه 10 ، لذلك تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في 2 ، وهو ما سيعطي كسرًا 4/10 ، والذي وفقًا لـ القواعد التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة ، يمكن تحويلها بسهولة إلى كسر عشري 0 ، 4.
في حالات أخرى ، عليك استخدام طريقة مختلفة لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، وهو ما سننظر فيه الآن.
لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، يتم تقسيم بسط الكسر على المقام ، ويتم استبدال البسط أولاً بكسر عشري متساوٍ مع أي عدد من الأصفار بعد الفاصلة العشرية (تحدثنا عن هذا في القسم يساوي و الكسور العشرية غير المتساوية). في هذه الحالة ، يتم إجراء القسمة بنفس طريقة القسمة على عمود من الأعداد الطبيعية ، ويتم وضع الفاصلة العشرية في حاصل القسمة عندما ينتهي تقسيم الجزء الصحيح من المقسوم. كل هذا سيتضح من حلول الأمثلة الواردة أدناه.
مثال.
حوّل الكسر المشترك 621/4 إلى كسر عشري.
حل.
نمثل الرقم في البسط 621 في صورة كسر عشري بإضافة فاصلة عشرية وبضعة أصفار بعدها. بادئ ذي بدء ، سنضيف رقمين 0 ، لاحقًا ، إذا لزم الأمر ، يمكننا دائمًا إضافة المزيد من الأصفار. إذن ، لدينا 621.00.
الآن دعونا نقسم الرقم 621000 على 4 على عمود. لا تختلف الخطوات الثلاث الأولى عن القسمة على عمود من الأعداد الطبيعية ، وبعد ذلك نصل إلى الصورة التالية: 
إذن ، وصلنا إلى النقطة العشرية في المقسوم ، والباقي يختلف عن الصفر. في هذه الحالة ، نضع فاصلة عشرية في حاصل القسمة ، ونواصل القسمة على عمود ، متجاهلين الفواصل: 
اكتملت هذه القسمة ، ونتيجة لذلك حصلنا على الكسر العشري 155.25 ، والذي يتوافق مع الكسر العادي الأصلي.
إجابة:
155,25 .
لدمج المادة ، ضع في اعتبارك حل مثال آخر.
مثال.
حوّل الكسر المشترك 21/800 إلى عدد عشري.
حل.
لتحويل هذا الكسر المشترك إلى عدد عشري ، دعنا نقسم الكسر العشري 21000 ... على 800 على عمود. بعد الخطوة الأولى ، يجب أن نضع فاصلة عشرية في حاصل القسمة ، ثم نواصل القسمة: 
أخيرًا ، حصلنا على الباقي 0 ، وبذلك اكتمل تحويل الكسر العادي 21/400 إلى كسر عشري ، ووصلنا إلى الكسر العشري 0.02625.
إجابة:
0,02625 .
قد يحدث أنه عند قسمة البسط على مقام كسر عادي ، لا نحصل أبدًا على باقي 0. في هذه الحالات ، يمكن أن يستمر التقسيم طالما رغب في ذلك. ومع ذلك ، بدءًا من خطوة معينة ، تبدأ الباقي في التكرار بشكل دوري ، بينما تتكرر الأرقام الموجودة في حاصل القسمة أيضًا. هذا يعني أن الكسر المشترك الأصلي يُترجم إلى عدد عشري دوري لا نهائي. دعنا نظهر هذا بمثال.
مثال.
اكتب الكسر المشترك 19/44 في صورة عدد عشري.
حل.
لتحويل كسر عادي إلى رقم عشري ، نقوم بالقسمة على عمود: 
من الواضح بالفعل أنه عند القسمة ، بدأ الباقيان 8 و 36 في التكرار ، بينما يتكرر الرقمان 1 و 8 في حاصل القسمة. وهكذا ، يتم ترجمة الكسر العادي الأصلي 19/44 إلى كسر عشري دوري 0.43181818 ... = 0.43 (18).
إجابة:
0,43(18) .
في ختام هذه الفقرة ، سنكتشف الكسور العادية التي يمكن تحويلها إلى كسور عشرية نهائية ، وأيها يمكن تحويلها إلى كسور دورية فقط.
دعونا نحصل على كسر عادي غير قابل للاختزال أمامنا (إذا كان الكسر قابلاً للاختزال ، فسنقوم أولاً باختزال الكسر) ، ونحتاج إلى معرفة الكسر العشري الذي يمكن تحويله إليه - محدود أو دوري.
من الواضح أنه إذا كان من الممكن اختزال كسر عادي إلى أحد المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... ، فيمكن تحويل الكسر الناتج بسهولة إلى كسر عشري نهائي وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة. لكن بالنسبة إلى القواسم 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. لم يتم إعطاء جميع الكسور العادية. يمكن اختزال الكسور فقط إلى مثل هذه القواسم ، والتي تكون مقاماتها واحدة على الأقل من الأعداد 10 ، 100 ، ... وما هي الأرقام التي يمكن أن تكون قواسم على 10 ، 100 ، ...؟ ستسمح لنا الأرقام 10 ، 100 ، ... بالإجابة على هذا السؤال ، وهي كالتالي: 10 = 2 5 ، 100 = 2 2 5 5 ، 1000 = 2 2 2 5 5 5 ، .... ويترتب على ذلك أن القواسم على 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. يمكن أن يكون هناك فقط أرقام تحتوي تحليلاتها إلى عوامل أولية على الأرقام 2 و (أو) 5 فقط.
يمكننا الآن التوصل إلى استنتاج عام حول تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية:
- إذا كان الرقمان 2 و (أو) 5 موجودين فقط في تحلل المقام إلى عوامل أولية ، فيمكن تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري نهائي ؛
- إذا ، بالإضافة إلى اثنين وخمسة ، هناك آخرون في توسيع المقام الأعداد الأولية، ثم يتم ترجمة هذا الكسر إلى كسر دوري عشري لانهائي.
مثال.
بدون تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية ، أخبرني أي من الكسور 47/20 ، 7/12 ، 21/56 ، 31/17 يمكن تحويلها إلى كسر عشري نهائي ، والتي لا يمكن تحويلها إلا إلى كسر دوري.
حل.
التحليل الأولي لمقام الكسر 47/20 له الصيغة 20 = 2 2 5. لا يوجد سوى اثنين وخمسة في هذا التوسع ، لذلك يمكن اختزال هذا الكسر إلى أحد المقامات 10 ، 100 ، 1000 ، ... (في هذا المثال ، إلى المقام 100) ، لذلك يمكن تحويله إلى رقم عشري نهائي جزء.
التحليل الأولي لمقام الكسر 7/12 له الصيغة 12 = 2 2 3. نظرًا لأنه يحتوي على عامل بسيط 3 يختلف عن 2 و 5 ، لا يمكن تمثيل هذا الكسر ككسر عشري محدد ، ولكن يمكن تحويله إلى كسر عشري دوري.
جزء 21/56 - قابل للتقلص ، بعد التخفيض يأخذ الشكل 3/8. يحتوي تحلل المقام إلى عوامل أولية على ثلاثة عوامل تساوي 2 ، لذلك يمكن ترجمة الكسر العادي 3/8 ، وبالتالي الكسر الذي يساوي 21/56 ، إلى كسر عشري نهائي.
أخيرًا ، توسيع مقام الكسر 31/17 هو نفسه 17 ، لذلك لا يمكن تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري محدد ، ولكن يمكن تحويله إلى كسر دوري لا نهائي.
إجابة:
يمكن تحويل 47/20 و 21/56 إلى رقم عشري نهائي ، بينما لا يمكن تحويل 7/12 و 31/17 إلا إلى رقم عشري دوري.
الكسور الشائعة لا تتحول إلى كسور عشرية لا نهائية غير متكررة
تثير المعلومات الواردة في الفقرة السابقة السؤال التالي: "هل يمكن الحصول على كسر غير دوري لا نهائي عند قسمة بسط الكسر على المقام"؟
الجواب: لا. عند ترجمة كسر عادي ، يمكن الحصول على كسر عشري محدد أو كسر عشري دوري لانهائي. دعونا نشرح سبب ذلك.
من نظرية القسمة مع الباقي يتضح أن الباقي دائمًا أقل قسمة، أي ، إذا قسمنا بعض الأعداد الصحيحة على عدد صحيح q ، فإن الباقي يمكن أن يكون واحدًا فقط من الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، ... ، q − 1. ويترتب على ذلك أنه بعد اكتمال قسمة الجزء الصحيح من بسط الكسر العادي على المقام q ، بعد ما لا يزيد عن q من الخطوات ، ستظهر إحدى الحالتين التاليتين:
- إما أن نحصل على الباقي 0 ، فهذا سينهي القسمة ، ونحصل على الكسر العشري الأخير ؛
- أو سنحصل على الباقي الذي ظهر بالفعل من قبل ، وبعد ذلك ستبدأ الباقي في التكرار كما في المثال السابق (لأنه عند قسمة الأرقام المتساوية على q ، يتم الحصول على الباقي المتساوي ، والذي يتبع نظرية القسمة المذكورة سابقًا) ، لذلك سيتم الحصول على كسر عشري دوري لانهائي.
لا يمكن أن تكون هناك خيارات أخرى ، لذلك ، عند تحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، لا يمكن الحصول على كسر عشري لا نهائي غير دوري.
ويترتب على المنطق المعطى في هذه الفقرة أن طول فترة الكسر العشري دائمًا ما يكون أقل من قيمة مقام الكسر العادي المقابل.
حول الكسور العشرية إلى كسور مشتركة
لنكتشف الآن كيفية تحويل كسر عشري إلى كسر عادي. لنبدأ بتحويل الكسور العشرية الأخيرة إلى كسور مشتركة. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك طريقة عكس الكسور العشرية الدورية اللانهائية. في الختام ، دعنا نقول عن استحالة تحويل الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية إلى كسور عادية.
تحويل الكسور العشرية النهائية إلى كسور مشتركة
الحصول على كسر عادي مكتوب في صورة كسر عشري نهائي بسيط للغاية. قاعدة تحويل كسر عشري نهائي إلى كسر عادييتكون من ثلاث خطوات:
- أولاً ، اكتب الكسر العشري المعطى في البسط ، بعد تجاهل الفاصلة العشرية وجميع الأصفار الموجودة على اليسار ، إن وجدت ؛
- ثانيًا ، اكتب واحدًا في المقام وأضف إليه عددًا من الأصفار حيث توجد أرقام بعد الفاصلة العشرية في الكسر العشري الأصلي ؛
- ثالثًا ، إذا لزم الأمر ، قم بتقليل الكسر الناتج.
دعونا ننظر في الأمثلة.
مثال.
حوّل العدد العشري 3.025 إلى كسر مشترك.
حل.
إذا أزلنا العلامة العشرية من الكسر العشري الأصلي ، فسنحصل على الرقم 3025. ليس لديه أصفار على اليسار يمكننا تجاهلها. إذن ، في بسط الكسر المطلوب نكتب 3025.
نكتب الرقم 1 في المقام ونضيف 3 أصفار إلى يمينه ، نظرًا لوجود 3 أرقام في الكسر العشري الأصلي بعد الفاصلة العشرية.
إذن ، حصلنا على كسر عادي 3025/1000. يمكن اختزال هذا الكسر بمقدار 25 ، نحصل على 
.
إجابة:
.
مثال.
حوّل عشري 0.0017 إلى كسر عادي.
حل.
بدون علامة عشرية ، يبدو الكسر العشري الأصلي مثل 00017 ، وبغض النظر عن الأصفار على اليسار ، نحصل على الرقم 17 ، وهو بسط الكسر العادي المطلوب.
نكتب في المقام وحدة بها أربعة أصفار ، حيث يوجد في الكسر العشري الأصلي 4 أرقام بعد العلامة العشرية.
نتيجة لذلك ، لدينا كسر عادي 17/10000. هذا الكسر غير قابل للاختزال ، وتم الانتهاء من تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي.
إجابة:
.
عندما يكون الجزء الصحيح من الكسر العشري النهائي الأصلي مختلفًا عن الصفر ، فيمكن تحويله على الفور إلى رقم مختلط ، متجاوزًا الكسر العادي. هيا نعطي قاعدة لتحويل عدد عشري نهائي إلى عدد كسري:
- يجب كتابة الرقم قبل العلامة العشرية كجزء صحيح من الرقم المختلط المطلوب ؛
- في بسط الجزء الكسري ، تحتاج إلى كتابة الرقم الذي تم الحصول عليه من الجزء الكسري من الكسر العشري الأصلي بعد التخلص من جميع الأصفار الموجودة على اليسار فيه ؛
- في مقام الجزء الكسري ، تحتاج إلى كتابة الرقم 1 ، والذي ، على اليمين ، أضف عددًا من الأصفار حيث توجد أرقام في إدخال الكسر العشري الأصلي بعد الفاصلة العشرية ؛
- إذا لزم الأمر ، قم بتقليل الجزء الكسري للعدد المختلط الناتج.
ضع في اعتبارك مثالاً لتحويل كسر عشري إلى رقم كسري.
مثال.
عبر عن العلامة العشرية 152.06005 كرقم كسري
سنخصص هذه المادة لموضوع مهم مثل الكسور العشرية. أولاً ، دعنا نحدد التعريفات الأساسية ، ونعطي أمثلة ونتوقف على قواعد التدوين العشري ، بالإضافة إلى ماهية أرقام الكسور العشرية. بعد ذلك ، نسلط الضوء على الأنواع الرئيسية: كسور محدودة ولانهائية ، دورية وغير دورية. في الجزء الأخير ، سنوضح كيف توجد النقاط المقابلة للأرقام الكسرية على محور الإحداثيات.
Yandex.RTB R-A-339285-1
ما هو التدوين العشري للأعداد الكسرية
يمكن استخدام ما يسمى بالتدوين العشري للأعداد الكسرية لكل من الأعداد الطبيعية والكسرية. يبدو كمجموعة من رقمين أو أكثر مع وجود فاصلة بينهما.
يتم استخدام الفاصلة العشرية لفصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري. كقاعدة عامة ، لا يكون الرقم الأخير في الكسر العشري صفرًا أبدًا ، إلا إذا كانت الفاصلة العشرية بعد الصفر الأول مباشرةً.
ما هي بعض الأمثلة على الأعداد الكسرية في التدوين العشري؟ يمكن أن يكون 34 ، 21 ، 0 ، 35035044 ، 0 ، 0001 ، 11231552 ، 9 إلخ.
في بعض الكتب المدرسية ، يمكنك العثور على استخدام نقطة بدلاً من الفاصلة (5. 67 ، 6789. 1011 ، إلخ.) يعتبر هذا الخيار مكافئًا ، ولكنه أكثر شيوعًا لمصادر اللغة الإنجليزية.
تعريف الكسور العشرية
استنادًا إلى المفهوم أعلاه للتدوين العشري ، يمكننا صياغة التعريف التالي للكسور العشرية:
التعريف 1
الكسور العشرية هي أعداد كسرية بالتدوين العشري.
لماذا نحتاج إلى كتابة الكسور بهذه الصورة؟ إنه يمنحنا بعض المزايا مقارنة بالمزايا العادية ، على سبيل المثال ، تدوين أكثر إحكاما ، خاصة في الحالات التي يكون فيها المقام 1000 ، 100 ، 10 ، إلخ أو رقم مختلط. على سبيل المثال ، بدلاً من 6 10 ، يمكننا تحديد 0 ، 6 ، بدلاً من 25 10000-0 ، 0023 ، بدلاً من 512 3100-512 ، 03.
سيتم وصف كيفية تمثيل الكسور العادية بشكل صحيح مع عشرات ومئات وآلاف في المقام في شكل عشري في مادة منفصلة.
كيف تقرأ الكسور العشرية بشكل صحيح
هناك بعض القواعد لقراءة سجلات الكسور العشرية. لذلك ، فإن تلك الكسور العشرية التي تتوافق مع مكافئاتها العادية الصحيحة تُقرأ تقريبًا بنفس الطريقة ، ولكن مع إضافة الكلمات "صفر من عشرة" في البداية. إذن ، الإدخال 0 ، 14 ، الذي يقابل 14 100 ، يُقرأ على أنه "نقطة الصفر أربعة عشر جزءًا من مائة".
إذا كان من الممكن ربط الكسر العشري برقم مختلط ، فسيتم قراءته بنفس طريقة قراءة هذا الرقم. لذلك ، إذا كان لدينا كسر 56 ، 002 ، والذي يتوافق مع 56 2 1000 ، نقرأ المدخل على أنه "ستة وخمسون نقطة على اثنين من الألف".
تعتمد قيمة الرقم في التدوين العشري على مكانه (تمامًا كما في حالة الأعداد الطبيعية). إذن ، في الكسر العشري 0 ، 7 ، سبعة هو أعشار ، وفي 0 ، 0007 يساوي عشرة آلاف ، وفي الكسر 70.000 ، 345 يعني سبع عشرات الآلاف من الوحدات الكاملة. وبالتالي ، في الكسور العشرية ، يوجد أيضًا مفهوم رقم الرقم.
تتشابه أسماء الأرقام الموجودة قبل الفاصلة مع تلك الموجودة في الأعداد الطبيعية. يتم عرض أسماء تلك الموجودة بعد بوضوح في الجدول:
لنأخذ مثالا.
مثال 1
لدينا الرقم العشري 43 ، 098. لديها أربعة في خانة العشرات ، وثلاثة في خانة الوحدات ، وصفر في خانة العاشرة ، و 9 في خانة المائة ، و 8 في خانة ألف.
من المعتاد التمييز بين أرقام الكسور العشرية حسب الأقدمية. إذا انتقلنا من خلال الأرقام من اليسار إلى اليمين ، فسننتقل من أرقام عالية إلى منخفضة. اتضح أن المئات أكبر من العشرات ، وأن المليون هم أصغر من المئات. إذا أخذنا هذا الكسر العشري الأخير ، الذي ذكرناه كمثال أعلاه ، فسيكون الأكبر ، أو الأعلى ، هو رقم المئات ، والأدنى ، أو الأدنى ، سيكون الرقم المكون من 10 آلاف.
يمكن أن يتحلل أي كسر عشري إلى أرقام منفصلة ، أي يتم تمثيلها كمجموع. يتم تنفيذ هذه العملية بنفس طريقة تنفيذ الأعداد الطبيعية.
مثال 2
دعنا نحاول فك الكسر 56 ، 0455 إلى أرقام.
سنكون قادرين على:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
إذا تذكرنا خصائص الجمع ، فيمكننا تمثيل هذا الكسر في أشكال أخرى ، على سبيل المثال ، كمجموع 56 + 0 ، 0455 ، أو 56 ، 0055 + 0 ، 4 ، إلخ.
ما هي الكسور العشرية اللاحقة
جميع الكسور التي تحدثنا عنها أعلاه هي كسور عشرية لاحقة. هذا يعني أن عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية محدود. دعنا نحصل على التعريف:
التعريف 1
الكسور العشرية اللاحقة هي نوع من الفواصل العشرية التي تحتوي على عدد محدد من الأرقام بعد الفاصلة.
يمكن أن تكون أمثلة هذه الكسور 0 ، 367 ، 3 ، 7 ، 55 ، 102567958 ، 231032 ، 49 ، إلخ.
يمكن تحويل أي من هذه الكسور إما إلى عدد مختلط (إذا كانت قيمة الجزء الكسري تختلف عن الصفر) ، أو إلى كسر عادي (إذا كان الجزء الصحيح هو صفر). لقد خصصنا مادة منفصلة لكيفية القيام بذلك. دعنا نشير إلى مثالين فقط هنا: على سبيل المثال ، يمكننا إحضار الكسر العشري الأخير 5 ، 63 إلى الصورة 5 63 100 ، و 0 ، 2 يتوافق مع 2 10 (أو أي كسر آخر مساوٍ له ، على سبيل المثال ، 4 20 أو 1 5.)
لكن العملية العكسية ، أي قد لا يتم دائمًا كتابة كسر عادي في شكل عشري. لذلك ، لا يمكن استبدال 13 5 بكسر متساوٍ مقامه 100 ، 10 ، وما إلى ذلك ، مما يعني أن الكسر العشري الأخير لن ينجح في حله.
الأنواع الرئيسية للكسور العشرية اللانهائية: الكسور الدورية وغير الدورية
أشرنا أعلاه إلى أن الكسور المنتهية تسمى كذلك لأنها تحتوي على عدد محدود من الأرقام بعد الفاصلة العشرية. ومع ذلك ، قد يكون لانهائيًا ، وفي هذه الحالة سيتم أيضًا تسمية الكسور نفسها بلا حدود.
التعريف 2
الكسور العشرية اللانهائية هي تلك التي تحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام بعد الفاصلة العشرية.
من الواضح أن مثل هذه الأرقام لا يمكن كتابتها بالكامل ، لذلك نشير فقط إلى جزء منها ثم نضع علامات الحذف. تشير هذه العلامة إلى استمرار لانهائي لتسلسل المنازل العشرية. ستكون أمثلة الكسور العشرية اللانهائية 0 ، 143346732 ... ، 3 ، 1415989032 ... ، 153 ، 0245005 ... ، 2 ، 66666666666 ... ، 69 ، 748768152 .... إلخ.
في "ذيل" هذا الكسر ، لا يمكن أن يكون هناك تسلسلات عشوائية ظاهرية للأرقام فحسب ، بل يمكن أن يكون هناك تكرار ثابت لنفس الحرف أو مجموعة الأحرف. تسمى الكسور بالتناوب بعد العلامة العشرية الدوري.
التعريف 3
الكسور العشرية الدورية هي كسور عشرية لا نهائية يتكرر فيها رقم واحد أو مجموعة من عدة أرقام بعد الفاصلة العشرية. يسمى الجزء المكرر فترة الكسر.
على سبيل المثال ، للكسر 3 ، 444444 .... الفترة ستكون الرقم 4 ولعدد 76 ، 134134134134 ... - المجموعة 134.
ما هو الحد الأدنى لعدد الأحرف المسموح به في الكسر الدوري؟ بالنسبة للكسور الدورية ، يكفي كتابة الفترة بأكملها مرة واحدة بين قوسين. إذن ، الكسر هو 3 ، 444444 .... سيكون من الصحيح كتابة 3 ، (4) ، 76 ، 134134134134 ... - كـ 76 ، (134).
بشكل عام ، سيكون للإدخالات ذات الفترات المتعددة بين قوسين نفس المعنى تمامًا: على سبيل المثال ، الكسر الدوري 0.677777 هو نفسه 0.6 (7) و 0.6 (77) ، إلخ. يُسمح أيضًا بإدخالات مثل 0 و 67777 (7) و 0 و 67 (7777) وغيرها.
من أجل تجنب الأخطاء ، نقدم توحيد الترميز. دعنا نتفق على كتابة فترة واحدة فقط (أقصر سلسلة أرقام ممكنة) ، وهي الأقرب للفاصلة العشرية ، ونضعها بين قوسين.
أي ، بالنسبة للكسر أعلاه ، سننظر في الإدخال 0 ، 6 (7) باعتباره العنصر الرئيسي ، وعلى سبيل المثال ، في حالة الكسر 8 ، 9134343434 ، سنكتب 8 ، 91 (34).
إذا كان مقام الكسر العادي يحتوي على عوامل أولية لا تساوي 5 و 2 ، فعند التحويل إلى رمز عشري ، سيتم الحصول على الكسور اللانهائية منها.
من حيث المبدأ ، يمكننا كتابة أي كسر محدود ككسر دوري. للقيام بذلك ، نحتاج فقط إلى إضافة عدد لا نهائي من الأصفار إلى اليمين. كيف تبدو في السجل؟ لنفترض أن لدينا كسرًا أخيرًا 45 ، 32. في الشكل الدوري ، سيبدو 45 ، 32 (0). هذا الإجراء ممكن لأن إضافة الأصفار إلى يمين أي كسر عشري يعطينا كسرًا مساويًا له كنتيجة لذلك.
بشكل منفصل ، يجب أن يركز المرء على الكسور الدورية بفترة 9 ، على سبيل المثال ، 4 ، 89 (9) ، 31 ، 6 (9). إنها تدوين بديل للكسور المتشابهة مع النقطة 0 ، لذلك غالبًا ما يتم استبدالها عند الكتابة بكسور ذات نقطة صفرية. في نفس الوقت ، يتم إضافة واحد إلى قيمة الرقم التالي ، ويشار إلى (0) بين قوسين. من السهل التحقق من تساوي الأرقام الناتجة عن طريق تقديمها ككسور عادية.
على سبيل المثال ، يمكن استبدال الكسر 8 ، 31 (9) بالكسر المقابل 8 ، 32 (0). أو 4 ، (9) = 5 ، (0) = 5.
الكسور الدورية العشرية اللانهائية هي أعداد منطقية. بمعنى آخر ، يمكن تمثيل أي كسر دوري ككسر عادي ، والعكس صحيح.
هناك أيضًا كسور لا يوجد فيها تسلسل متكرر لانهائي بعد الفاصلة العشرية. في هذه الحالة ، يطلق عليهم كسور غير دورية.
التعريف 4
تتضمن الكسور العشرية غير الدورية تلك الكسور العشرية اللانهائية التي لا تحتوي على فترة بعد العلامة العشرية ، أي تكرار مجموعة الأرقام.
تبدو الكسور غير الدورية أحيانًا مشابهة جدًا للكسور الدورية. على سبيل المثال ، 9 ، 03003000300003 ... للوهلة الأولى يبدو أن هناك فترة ، لكن التحليل التفصيلي للأماكن العشرية يؤكد أن هذا لا يزال كسرًا غير دوري. عليك أن تكون حذرًا جدًا مع مثل هذه الأرقام.
الكسور غير الدورية هي أعداد غير منطقية. لا يتم تحويلها إلى كسور عادية.
العمليات الأساسية ذات الكسور العشرية
يمكن إجراء العمليات التالية باستخدام الكسور العشرية: المقارنة والطرح والجمع والقسمة والضرب. دعونا نحلل كل منهم على حدة.
يمكن اختزال مقارنة الكسور العشرية بمقارنة الكسور العادية التي تتوافق مع الكسور العشرية الأصلية. لكن الكسور غير الدورية اللانهائية لا يمكن اختزالها إلى هذا الشكل ، وغالبًا ما يكون تحويل الكسور العشرية إلى الكسور العادية مهمة شاقة. كيف ننفذ إجراء مقارنة بسرعة إذا احتجنا إلى القيام بذلك أثناء حل المشكلة؟ من المناسب مقارنة الكسور العشرية بالأرقام بنفس الطريقة التي نقارن بها الأعداد الطبيعية. سنخصص مقالة منفصلة لهذه الطريقة.
لإضافة كسر عشري إلى آخر ، من الملائم استخدام طريقة إضافة العمود ، كما هو الحال مع الأرقام الطبيعية. لإضافة كسور عشرية دورية ، يجب عليك أولاً استبدالها بأخرى عادية والعد وفقًا للنظام القياسي. إذا احتجنا ، وفقًا لظروف المشكلة ، إلى إضافة كسور غير دورية لا نهائية ، فيجب علينا أولاً تقريبها إلى رقم معين ، ثم جمعها. كلما كان الرقم الذي نقربه أصغر ، زادت دقة الحساب. بالنسبة للطرح والضرب والقسمة للكسور اللانهائية ، فإن التقريب الأولي ضروري أيضًا.
إيجاد فرق الكسور العشرية هو عكس الجمع. في الواقع ، بمساعدة الطرح ، يمكننا إيجاد رقم سيعطينا مجموعه مع الكسر المطروح الناتج المختزل. سنتحدث عن هذا بمزيد من التفصيل في مقال منفصل.
يتم ضرب الكسور العشرية بنفس طريقة ضرب الأعداد الطبيعية. طريقة الحساب بواسطة العمود مناسبة أيضًا لهذا الغرض. نقوم مرة أخرى بتقليل هذا الإجراء بالكسور الدورية إلى مضاعفة الكسور العادية وفقًا للقواعد التي تمت دراستها بالفعل. يجب تقريب الكسور اللانهائية ، كما نتذكر ، قبل العد.
عملية قسمة الكسور العشرية هي عكس عملية الضرب. عند حل المشكلات ، نستخدم أيضًا عدد الأعمدة.
يمكنك تعيين تطابق دقيق بين نهاية العلامة العشرية ونقطة على محور الإحداثيات. دعنا نتعرف على كيفية تحديد نقطة على المحور تتوافق تمامًا مع الكسر العشري المطلوب.
لقد درسنا بالفعل كيفية بناء النقاط المقابلة للكسور العادية ، ويمكن اختزال الكسور العشرية إلى هذا الشكل. على سبيل المثال ، الكسر العادي 14 10 هو نفسه 1 ، 4 ، لذلك ستتم إزالة النقطة المقابلة له من الأصل في الاتجاه الموجب بنفس المسافة تمامًا:
يمكنك الاستغناء عن استبدال الكسر العشري بآخر عادي ، واتخاذ طريقة توسيع الرقم كأساس. لذا ، إذا احتجنا إلى تحديد نقطة سيكون إحداثيها مساويًا لـ 15 ، 4008 ، فسنمثل هذا الرقم أولاً كمجموع 15 + 0 ، 4 + ، 0008. بادئ ذي بدء ، وضعنا جانبًا 15 قطعة وحدة كاملة في الاتجاه الموجب من الأصل ، ثم 4 أعشار قطعة واحدة ، ثم 8 على عشرة آلاف جزء من قطعة واحدة. نتيجة لذلك ، نحصل على نقطة إحداثية تقابل الكسر 15 ، 4008.
بالنسبة للكسر العشري اللانهائي ، من الأفضل استخدام هذه الطريقة المعينة ، لأنها تتيح لك الاقتراب من النقطة المرغوبة في أقرب وقت تريده. في بعض الحالات ، من الممكن بناء تطابق دقيق لكسر لا نهائي على محور الإحداثيات: على سبيل المثال ، 2 = 1 ، 41421. . . ، ويمكن أن يقترن هذا الكسر بنقطة على شعاع الإحداثيات ، بعيدة عن الصفر بطول قطر المربع ، وسيكون جانبها مساويًا لقطعة وحدة واحدة.
إذا لم نجد نقطة على المحور ، بل كسرًا عشريًا يقابلها ، فإن هذا الإجراء يسمى القياس العشري للمقطع. دعونا نرى كيف نفعل ذلك بشكل صحيح.
افترض أننا بحاجة إلى الانتقال من الصفر إلى نقطة معينة على محور الإحداثيات (أو الاقتراب قدر الإمكان في حالة وجود كسر غير محدود). للقيام بذلك ، نضع جانباً أجزاء الوحدة تدريجياً من أصل الإحداثيات حتى نصل إلى النقطة المطلوبة. بعد المقاطع الكاملة ، إذا لزم الأمر ، نقيس الأعشار والمئات والأجزاء الأصغر بحيث تكون المراسلات دقيقة قدر الإمكان. نتيجة لذلك ، حصلنا على كسر عشري يتوافق مع نقطة معينةعلى محور الإحداثيات.
أعلاه قدمنا صورة بنقطة M. انظر إليها مرة أخرى: للوصول إلى هذه النقطة ، تحتاج إلى قياس جزء وحدة واحد من صفر وأربعة أعشار منها ، لأن هذه النقطة تقابل الكسر العشري 1 ، 4.
إذا لم نتمكن من الوصول إلى نقطة في عملية القياس العشري ، فهذا يعني أن الكسر العشري اللانهائي يتوافق معها.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter
موجودة مسبقا مدرسة إبتدائيةيتعامل الطلاب مع الكسور. وبعد ذلك تظهر في كل موضوع. من المستحيل نسيان الإجراءات بهذه الأرقام. لذلك ، تحتاج إلى معرفة جميع المعلومات حول الكسور العادية والعشرية. هذه المفاهيم بسيطة ، الشيء الرئيسي هو فهم كل شيء بالترتيب.
لماذا نحتاج الكسور؟
يتكون العالم من حولنا من أشياء كاملة. لذلك ، ليست هناك حاجة للأسهم. لكن الحياة اليوميةيدفع الناس باستمرار للعمل مع أجزاء من الأشياء والأشياء.
على سبيل المثال ، تتكون الشوكولاتة من عدة شرائح. ضع في اعتبارك الموقف الذي يتكون فيه البلاط من اثني عشر مستطيلاً. إذا قسمته إلى قسمين ، تحصل على 6 أجزاء. سيتم تقسيمها جيدًا إلى ثلاثة. لكن الخمسة لن يكونوا قادرين على إعطاء عدد كامل من شرائح الشوكولاتة.
بالمناسبة ، هذه الشرائح هي بالفعل كسور. ويؤدي تقسيمهم الإضافي إلى ظهور أعداد أكثر تعقيدًا.
ما هو "الكسر"؟
هذا رقم يتكون من أجزاء من واحد. ظاهريًا ، يبدو وكأنه رقمان مفصول بينهما أفقيًا أو شرطة مائلة. هذه الميزة تسمى كسور. الرقم المكتوب في الأعلى (على اليسار) يسمى البسط. واحد في الأسفل (على اليمين) هو المقام.
في الواقع ، تبين أن الشريط الكسري هو علامة قسمة. أي أن البسط يمكن أن يسمى مقسومًا ، والمقام يمكن أن يسمى مقسومًا عليه.
ما هي الكسور؟
في الرياضيات ، هناك نوعان فقط منهم: الكسور العادية والعشرية. يتم تقديم أطفال المدارس لأول مرة إلى مدرسة إبتدائية، واصفا إياهم ببساطة "الكسور". الثاني يتعلم في الصف الخامس. هذا عندما تظهر هذه الأسماء.
الكسور الشائعة هي كل تلك المكتوبة كرقمين مفصولين بشريط. على سبيل المثال ، 4/7. العشري هو الرقم الذي يحتوي فيه الجزء الكسري على تدوين موضعي ويتم فصله عن العدد الصحيح بفاصلة. على سبيل المثال ، 4.7. يجب أن يكون الطلاب واضحين في أن المثالين المذكورين هما رقمان مختلفان تمامًا.
يمكن كتابة كل كسر بسيط في صورة عدد عشري. هذه العبارة صحيحة دائمًا في الاتجاه المعاكس أيضًا. هناك قواعد تسمح لك بكتابة كسر عشري على هيئة كسر عادي.
ما هي الأنواع الفرعية التي تمتلكها هذه الأنواع من الكسور؟
من الأفضل البدء في ترتيب زمنيأثناء دراستهم. الكسور المشتركة تأتي أولاً. من بينها ، يمكن تمييز 5 أنواع فرعية.
صحيح. البسط دائمًا أقل من المقام.
خطأ. بسطه أكبر من أو يساوي المقام.
قابل للاختزال / غير قابل للاختزال. يمكن أن تكون إما صحيحة أو خاطئة. هناك شيء آخر مهم ، وهو ما إذا كان البسط والمقام لهما عوامل مشتركة. إذا كان هناك ، فمن المفترض أن يقسموا كلا الجزأين من الكسر ، أي لتقليله.
مختلط. يتم تعيين عدد صحيح إلى الجزء الكسري الصحيح (غير صحيح) المعتاد. ودائما يقف على اليسار.
مركب. يتكون من كسرين مقسومين على بعضهما البعض. أي أنه يحتوي على ثلاث سمات كسرية في وقت واحد.
تحتوي الكسور العشرية على نوعين فرعيين فقط:
أخيرًا ، أي الجزء الذي يكون فيه الجزء الكسري محدودًا (له نهاية) ؛
لانهائي - رقم لا تنتهي أرقامه بعد الفاصلة العشرية (يمكن كتابتها إلى ما لا نهاية).
كيفية تحويل عشري إلى عادي؟
إذا كان هذا رقمًا محدودًا ، فسيتم تطبيق ارتباط قائم على القاعدة - كما أسمع ، لذلك أكتب. أي أنك تحتاج إلى قراءتها بشكل صحيح وكتابتها ، ولكن بدون فاصلة ، ولكن بخط كسور.
كتلميح حول المقام المطلوب ، تذكر أنه دائمًا واحد وبضعة أصفار. يجب كتابة الأخير بقدر الأرقام الموجودة في الجزء الكسري من الرقم المعني.
كيف يتم تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية إذا كان الجزء كله مفقودًا ، أي يساوي صفرًا؟ على سبيل المثال ، 0.9 أو 0.05. بعد تطبيق القاعدة المحددة ، اتضح أنك بحاجة إلى كتابة صفر أعداد صحيحة. لكن لم يتم الإشارة إليه. يبقى لكتابة الأجزاء الكسرية فقط. بالنسبة للرقم الأول ، سيكون المقام 10 ، وللثاني - 100. أي أن الأمثلة المشار إليها سيكون لها أرقام كإجابات: 9/10 ، 5/100. علاوة على ذلك ، فقد تبين أن الأخير يمكن تقليله بمقدار 5. لذلك ، يجب كتابة النتيجة 1/20.
كيف تصنع كسرًا عاديًا من عدد عشري إذا كان الجزء الصحيح مختلفًا عن الصفر؟ على سبيل المثال ، 5.23 أو 13.00108. كلا المثالين يقرأان الجزء الصحيح ويكتبان قيمته. في الحالة الأولى ، هذا هو 5 ، في الحالة الثانية - 13. ثم تحتاج إلى الانتقال إلى الجزء الكسري. معهم من الضروري إجراء نفس العملية. الرقم الأول 23/100 ، والثاني 108/100000. يجب تخفيض القيمة الثانية مرة أخرى. الإجابة هي كسور مختلطة: 5 23/100 و 13 27/25000.
كيفية تحويل عدد عشري لا نهائي إلى كسر مشترك؟
إذا كانت غير دورية ، فلا يمكن تنفيذ مثل هذه العملية. ترجع هذه الحقيقة إلى حقيقة أن كل كسر عشري يتم تحويله دائمًا إلى نهائي أو دوري.
الشيء الوحيد المسموح به مع مثل هذا الكسر هو تقريبه. ولكن بعد ذلك ستكون العلامة العشرية مساوية تقريبًا لذلك اللانهائي. يمكن بالفعل تحويلها إلى واحدة عادية. لكن العملية العكسية: التحويل إلى عشري - لن تعطي القيمة الأولية أبدًا. أي أن الكسور اللانهائية غير الدورية لا يتم تحويلها إلى كسور عادية. يجب تذكر هذا.
كيف تكتب كسر دوري لانهائي في شكل عادي؟
في هذه الأرقام ، يظهر رقم واحد أو أكثر دائمًا بعد الفاصلة العشرية ، والتي تتكرر. يطلق عليهم فترات. على سبيل المثال ، 0.3 (3). هنا "3" في تلك الفترة. يتم تصنيفها على أنها عقلانية ، حيث يمكن تحويلها إلى كسور عادية.
يعرف أولئك الذين واجهوا كسورًا دورية أنها يمكن أن تكون نقية أو مختلطة. في الحالة الأولى ، تبدأ الفترة على الفور من الفاصلة. في الجزء الثاني ، يبدأ الجزء الكسري بأي أرقام ، ثم يبدأ التكرار.
القاعدة التي يجب أن تكتب بها عددًا عشريًا لا نهائيًا في شكل كسر عادي ستكون مختلفة لهذين النوعين من الأرقام. من السهل جدًا كتابة كسور دورية نقية ككسور عادية. كما هو الحال مع الأخيرة ، يجب تحويلها: اكتب الفترة في البسط ، وسيكون الرقم 9 هو المقام ، مع تكرار عدد المرات التي توجد فيها أرقام في الفترة.
على سبيل المثال ، 0 ، (5). لا يحتوي الرقم على جزء صحيح ، لذلك عليك المتابعة فورًا إلى الجزء الكسري. اكتب 5 في البسط واكتب 9 في المقام ، أي أن الإجابة ستكون الكسر 5/9.
قاعدة حول كيفية كتابة كسر عشري مشترك يكون كسرًا مختلطًا.
انظر إلى طول الفترة. 9 سيكون له المقام.
اكتب المقام: أول تسعة ، ثم أصفار.
لتحديد البسط ، عليك كتابة الفرق بين عددين. سيتم تقليل جميع الأرقام بعد الفاصلة العشرية جنبًا إلى جنب مع الفترة. قابل للطرح - بدون فترة.
على سبيل المثال ، 0.5 (8) - اكتب الكسر العشري الدوري ككسر مشترك. الجزء الكسري قبل الفترة هو رقم واحد. لذا فإن الصفر سيكون واحدًا. يوجد أيضًا رقم واحد فقط في الفترة - 8. أي تسعة واحد فقط. أي أنك تحتاج إلى كتابة 90 في المقام.
لتحديد البسط من 58 ، عليك أن تطرح 5. اتضح أن 53. على سبيل المثال ، سيكون عليك كتابة 53/90 كإجابة.
كيف يتم تحويل الكسور الشائعة إلى كسور عشرية؟
على الأكثر خيار بسيطاتضح أن الرقم في المقام هو 10 و 100 وما إلى ذلك. ثم يتم تجاهل المقام ببساطة ، ويتم وضع فاصلة بين الأجزاء الكسرية والأجزاء الصحيحة.
هناك حالات يتحول فيها المقام بسهولة إلى 10 ، 100 ، إلخ. على سبيل المثال ، الأرقام 5 ، 20 ، 25. يكفي ضربهم في 2 و 5 و 4 على التوالي. فقط من الضروري الضرب ليس فقط في المقام ، ولكن أيضًا في البسط بنفس الرقم.
في جميع الحالات الأخرى ، ستكون هناك قاعدة بسيطة مفيدة: اقسم البسط على المقام. في هذه الحالة ، قد تحصل على إجابتين: كسر عشري نهائي أو دوري.
العمليات مع الكسور المشتركة
جمع وطرح
يتعرف الطلاب عليهم في وقت أبكر من غيرهم. وفي البداية يكون للكسرين نفس المقامات ، ثم يختلفان. قواعد عامةيمكن اختزالها إلى مثل هذه الخطة.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقام.
اكتب عوامل إضافية لجميع الكسور العادية.
اضرب البسط والمقام في العوامل المحددة لهما.
اجمع (اطرح) بسط الكسور واترك المقام المشترك دون تغيير.
إذا كان بسط المطروح أقل من المطروح ، فأنت بحاجة إلى معرفة ما إذا كان لدينا عدد كسري أو كسر مناسب.
في الحالة الأولى ، يجب أن يأخذ الجزء الصحيح واحدًا. أضف مقامًا إلى بسط الكسر. ثم قم بعملية الطرح.
في الثانية - من الضروري تطبيق قاعدة الطرح من عدد أصغر إلى رقم أكبر. وهذا يعني ، طرح معامل الحد الأدنى من مقياس المطروح ، ووضع علامة "-" في الاستجابة.
انظر بعناية إلى نتيجة الجمع (الطرح). إذا حصلت على كسر غير حقيقي ، فمن المفترض أن تحدد الجزء بأكمله. أي اقسم البسط على المقام.
الضرب والقسمة
لتنفيذها ، لا يلزم اختزال الكسور إلى القاسم المشترك. هذا يجعل من السهل اتخاذ الإجراءات. لكن لا يزال يتعين عليهم اتباع القواعد.
عند ضرب الكسور العادية ، من الضروري مراعاة الأرقام الموجودة في البسط والمقام. إذا كان لأي بسط ومقام عامل مشترك ، فيمكن اختزالهما.
اضرب البسط.
اضرب القواسم.
إذا حصلت على كسر قابل للاختزال ، فمن المفترض أن يتم تبسيطه مرة أخرى.
عند القسمة ، يجب أولاً استبدال القسمة بالضرب والمقسوم عليه (الكسر الثاني) بالمقلوب (بدل البسط والمقام).
ثم تابع الضرب (بدءًا من الخطوة 1).
في المهام التي تحتاج فيها إلى الضرب (القسمة) على عدد صحيح ، من المفترض أن تتم كتابة الأخير ككسر غير لائق. هذا هو ، مع المقام 1. ثم تابع كما هو موضح أعلاه.
العمليات ذات الكسور العشرية
جمع وطرح
بالطبع ، يمكنك دائمًا تحويل الكسر العشري إلى كسر مشترك. والتصرف وفقًا للخطة التي سبق وصفها. لكن في بعض الأحيان يكون من الأنسب العمل بدون هذه الترجمة. ثم ستكون قواعد الجمع والطرح هي نفسها تمامًا.
معادلة عدد الأرقام في الجزء الكسري من الرقم ، أي بعد الفاصلة العشرية. قم بتعيين العدد المفقود من الأصفار فيه.
اكتب الكسور بحيث تكون الفاصلة أسفل الفاصلة.
أضف (اطرح) مثل الأعداد الطبيعية.
قم بإزالة الفاصلة.
الضرب والقسمة
من المهم ألا تحتاج إلى إلحاق أصفار هنا. من المفترض ترك الكسور كما وردت في المثال. ثم اذهب وفقًا للخطة.
في عملية الضرب ، تحتاج إلى كتابة كسور واحدة تحت الأخرى ، دون الانتباه إلى الفواصل.
اضرب مثل الأعداد الطبيعية.
ضع فاصلة في الإجابة ، مع العد من النهاية اليمنى للإجابة عدد الأرقام كما هو الحال في الأجزاء الكسرية لكلا العاملين.
للقسمة ، يجب عليك أولاً تحويل المقسوم عليه: اجعله عدد طبيعي. أي اضربها في 10 ، 100 ، إلخ ، اعتمادًا على عدد الأرقام في الجزء الكسري من المقسوم عليه.
اضرب المقسوم بنفس الرقم.
اقسم عددًا عشريًا على رقم طبيعي.
ضع فاصلة في الإجابة في اللحظة التي ينتهي فيها تقسيم الجزء كله.
ماذا لو كان هناك كلا النوعين من الكسور في مثال واحد؟
نعم ، غالبًا ما توجد أمثلة في الرياضيات تحتاج فيها إلى إجراء عمليات على الكسور العادية والعشرية. هناك نوعان من الحلول الممكنة لهذه المشاكل. تحتاج إلى وزن الأرقام بموضوعية واختيار أفضلها.
الطريقة الأولى: تمثيل الكسور العشرية العادية
يكون مناسبًا إذا تم الحصول على الكسور النهائية عند القسمة أو التحويل. إذا أعطى رقم واحد على الأقل جزءًا دوريًا ، فإن هذه التقنية محظورة. لذلك ، حتى إذا كنت لا تحب العمل مع الكسور العادية ، فسيتعين عليك حسابها.
الطريقة الثانية: اكتب الكسور العشرية على أنها عادية
هذه التقنية مناسبة إذا كان هناك 1-2 رقم في الجزء الذي يلي الفاصلة العشرية. إذا كان هناك المزيد منها ، فيمكن أن يظهر كسر عادي كبير جدًا وستسمح لك الإدخالات العشرية بحساب المهمة بشكل أسرع وأسهل. لذلك ، من الضروري دائمًا إجراء تقييم رصين للمهمة واختيار أبسط طريقة للحل.
