أوجد معادلة الظل. آلة حاسبة على الانترنت. معادلة المماس المستقيم للرسم البياني للدالة عند نقطة معينة
معادلة المماس للرسم البياني للدالة
ب. رومانوف، ت. رومانوفا،
ماجنيتوجورسك,
منطقة تشيليابينسك
معادلة المماس للرسم البياني للدالة
تم نشر المقال بدعم من مجمع فنادق ITAKA+. عند الإقامة في مدينة سيفيرودفينسك لبناء السفن، لن تواجه مشكلة العثور على سكن مؤقت. ، متصل مجمع الفندق"ITHAKA+" http://itakaplus.ru، يمكنك استئجار شقة في المدينة بسهولة وسرعة، لأي فترة زمنية، مع الدفع اليومي.
على المرحلة الحديثةتطوير التعليم، ومن مهامه الأساسية تكوين شخصية ذات تفكير إبداعي. لا يمكن تطوير القدرة على الإبداع لدى الطلاب إلا إذا شاركوا بشكل منهجي في أساسيات الأنشطة البحثية. الأساس الذي يستخدمه الطلاب لقدراتهم وقدراتهم ومواهبهم الإبداعية هو المعرفة والمهارات الكاملة. وفي هذا الصدد، فإن مشكلة تشكيل نظام من المعرفة والمهارات الأساسية لكل موضوع من دورة الرياضيات المدرسية ليست ذات أهمية كبيرة. في الوقت نفسه، يجب أن تكون المهارات الكاملة هي الهدف التعليمي وليس المهام الفردية، ولكن نظام مدروس بعناية لهم. بالمعنى الأوسع، يُفهم النظام على أنه مجموعة من العناصر المتفاعلة المترابطة التي تتمتع بالتكامل والبنية المستقرة.
دعونا نفكر في أسلوب لتعليم الطلاب كيفية كتابة معادلة مماس للرسم البياني للدالة. في الأساس، تتلخص جميع مشاكل العثور على معادلة الظل في الحاجة إلى الاختيار من مجموعة (حزمة، عائلة) من الخطوط التي تلبي متطلبات معينة - فهي مماسة للرسم البياني لوظيفة معينة. وفي هذه الحالة يمكن تحديد مجموعة الخطوط التي يتم الاختيار منها بطريقتين:
أ) نقطة تقع على المستوى xOy (قلم الرصاص المركزي للخطوط)؛
ب) المعامل الزاوي (شعاع متوازي من الخطوط المستقيمة).
وفي هذا الصدد، عند دراسة موضوع "المماس للرسم البياني للدالة" لعزل عناصر النظام، حددنا نوعين من المشاكل:
1) مسائل على المماس المعطاة بالنقطة التي يمر عبرها؛
2) مسائل على المماس الناتج عن ميله.
تم إجراء التدريب على حل المشكلات الظلية باستخدام الخوارزمية التي اقترحها A.G. موردكوفيتش. الفرق الأساسي بينها وبين تلك المعروفة بالفعل هو أن حدود نقطة الظل يُشار إليها بالحرف a (بدلاً من x0)، وبالتالي تأخذ معادلة الظل الشكل
ص = و(أ) + و "(أ)(س – أ)
(قارن مع y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). هذه التقنية المنهجية، في رأينا، تسمح للطلاب بفهم مكان كتابة إحداثيات النقطة الحالية بسرعة وسهولة معادلة الظل العام وأين نقاط الاتصال.
خوارزمية لتكوين معادلة الظل للرسم البياني للدالة y = f(x)
1. قم بتعيين حدود نقطة المماس بالحرف أ.
2. ابحث عن f(أ).
3. ابحث عن f "(x) وf"(a).
4. عوّض بالأرقام الموجودة a, f(a), f "(a) في معادلة الظل العامة y = f(a) = f "(a)(x - a).
يمكن تجميع هذه الخوارزمية على أساس التحديد المستقل للطلاب للعمليات وتسلسل تنفيذها.
لقد أظهرت الممارسة أن الحل المتسلسل لكل مشكلة رئيسية باستخدام الخوارزمية يسمح لك بتطوير مهارات كتابة معادلة المماس للرسم البياني للدالة على مراحل، وتكون خطوات الخوارزمية بمثابة نقاط مرجعية للإجراءات . يتوافق هذا النهج مع نظرية التكوين التدريجي للإجراءات العقلية التي طورها P.Ya. جالبيرين ون.ف. تاليزينا.
في النوع الأول من المهام، تم تحديد مهمتين رئيسيتين:
- يمر المماس عبر نقطة تقع على المنحنى (المسألة 1)؛
- يمر المماس عبر نقطة لا تقع على المنحنى (المسألة 2).
المهمة 1. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة 
عند النقطة م(3؛ - 2).
حل. النقطة M(3; - 2) هي نقطة مماس، منذ ذلك الحين
1. أ = 3 – الإحداثي المحوري لنقطة الظل.
2. و(3) = – 2.
3. و "(س) = س 2 – 4، و"(3) = 5.
ص = – 2 + 5(س – 3)، ص = 5س – 17 – معادلة الظل.
المهمة 2. اكتب معادلات جميع مماسات الرسم البياني للدالة y = - x 2 - 4x + 2، مروراً بالنقطة M(- 3; 6).
حل. النقطة M(- 3; 6) ليست نقطة مماس، لأن f(- 3) 6 (الشكل 2).
2. و(أ) = – أ 2 – 4أ + 2.
3. و "(س) = - 2س - 4، و "(أ) = - 2أ - 4.
4. ص = – أ 2 – 4أ + 2 – 2(أ + 2)(س – أ) – معادلة الظل.
يمر المماس بالنقطة M(- 3; 6)، وبالتالي فإن إحداثياته تحقق معادلة الظل.
6 = – أ 2 – 4أ + 2 – 2(أ + 2)(- 3 – أ)،
أ 2 + 6 أ + 8 = 0^ أ 1 = – 4، أ 2 = – 2.
إذا كانت a = – 4، فإن معادلة الظل هي y = 4x + 18.
إذا كانت a = - 2، فإن معادلة الظل لها الصيغة y = 6.
وفي النوع الثاني ستكون المهام الرئيسية كما يلي:
- المماس يوازي خطًا ما (المسألة 3)؛
- يمر المماس بزاوية معينة للخط المحدد (المسألة 4).
المهمة 3. اكتب معادلات جميع مماسات الرسم البياني للدالة y \u003d x 3 - 3x 2 + 3، بالتوازي مع الخط y \u003d 9x + 1.
حل.
1. أ – الإحداثي الإحداثي لنقطة الظل.
2. و(أ) = أ 3 - 3أ 2 + 3.
3. و "(س) = 3س 2 - 6س، و "(أ) = 3أ 2 - 6أ.
ولكن من ناحية أخرى، f "(أ) \u003d 9 (حالة التوازي). لذلك، نحن بحاجة إلى حل المعادلة 3أ 2 - 6أ \u003d 9. جذورها أ \u003d - 1، أ \u003d 3 (الشكل .3).
4. 1) أ = – 1؛
2) و(- 1) = – 1;
3) و "(- 1) = 9؛
4) ص = - 1 + 9(س + 1)؛
ص = 9س + 8 – معادلة الظل؛
1) أ = 3؛
2) و(3) = 3؛
3) و "(3) = 9؛
4) ص = 3 + 9(س - 3)؛
ص = 9س – 24 – معادلة الظل.
المهمة 4. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = 0.5x 2 - 3x + 1، مروراً بزاوية 45 درجة إلى الخط المستقيم y = 0 (الشكل 4).
حل. من الشرط f "(a) = tan 45° نجد a: a – 3 = 1^ أ = 4.
1. أ = 4 – الإحداثي المحوري لنقطة الظل.
2. و(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. و "(4) = 4 – 3 = 1.
4. ص = – 3 + 1(س – 4).
ص = س – 7 – معادلة الظل.
من السهل إظهار أن حل أي مشكلة أخرى يقتصر على حل مشكلة رئيسية واحدة أو أكثر. خذ بعين الاعتبار المشكلتين التاليتين كمثال.
1. اكتب معادلات مماسات القطع المكافئ y = 2x 2 - 5x - 2، إذا تقاطعت الظلال بزاوية قائمة ولمس أحدهم القطع المكافئ عند النقطة مع الإحداثي المحوري 3 (الشكل 5).
حل. بما أنه تم إعطاء حدود نقطة الاتصال، يتم تقليل الجزء الأول من الحل إلى المشكلة الرئيسية 1.
1. أ = 3 – إبهام نقطة تماس أحد أضلاع الزاوية القائمة.
2. و(3) = 1.
3. و "(س) = 4س – 5، و"(3) = 7.
4. ص = 1 + 7(س – 3)، ص = 7س – 20 – معادلة المماس الأول.
دع أ - زاوية ميل المماس الأول . بما أن المماسين متعامدان، إذن هي زاوية ميل المماس الثاني. من المعادلة y = 7x – 20 للظل الأول لدينا tgأ = 7. أوجد
وهذا يعني أن ميل المماس الثاني يساوي .
الحل الإضافي يأتي في المهمة الرئيسية 3.
دع B(c; f(c)) تكون نقطة التماس للخط الثاني، إذن
1. – الإحداثي المحوري لنقطة التماس الثانية.
2.
3.
4.- معادلة المماس الثاني.
ملحوظة. يمكن العثور على المعامل الزاوي للظل بسهولة أكبر إذا عرف الطلاب نسبة معاملات الخطوط المتعامدة k 1 k 2 = - 1.
2. اكتب معادلات جميع المماسات المشتركة للتمثيلات البيانية للدوال
حل. تتلخص المهمة في العثور على حدود نقاط الظل للظلال المشتركة، أي حل المشكلة الرئيسية 1 بشكل عام، ووضع نظام من المعادلات ثم حله (الشكل 6).
1. دع a يكون حدود نقطة الظل الواقعة على الرسم البياني للدالة y = x 2 + x + 1.
2. و(أ) = أ 2 + أ + 1.
3. و "(أ) = 2أ + 1.
4. ص = أ 2 + أ + 1 + (2أ + 1)(x – أ) = (2أ + 1)x + 1 – أ 2 .
1. دع c يكون حدود نقطة الظل الموجودة على الرسم البياني للدالة
2.
3. و "(ج) = ج.
4.
وبما أن الظلال عامة إذن
إذن y = x + 1 و y = - 3x - 3 مماسات مشتركة.
الهدف الرئيسي من المهام المدروسة هو إعداد الطلاب للتعرف بشكل مستقل على نوع المشكلة الرئيسية عند حل المشكلات الأكثر تعقيدًا التي تتطلب مهارات بحثية معينة (القدرة على التحليل والمقارنة والتعميم وطرح الفرضية وما إلى ذلك). تتضمن هذه المهام أي مهمة يتم فيها تضمين المهمة الرئيسية كمكون. دعونا نفكر كمثال في المشكلة (عكس المشكلة 1) المتمثلة في إيجاد دالة من عائلة مماساتها.
3. ما هو b و c الخطان y = x و y = - 2x المماسان للرسم البياني للدالة y = x 2 + bx + c؟
حل.
اجعل t هو الإحداثي المحوري لنقطة التماس للخط المستقيم y = x مع القطع المكافئ y = x 2 + bx + c؛ p هو الإحداثي المحوري لنقطة تماس الخط المستقيم y = - 2x مع القطع المكافئ y = x 2 + bx + c. ثم معادلة الظل y = x ستأخذ الشكل y = (2t + b)x + c – t 2 ومعادلة الظل y = – 2x ستأخذ الشكل y = (2p + b)x + c – p 2 .
دعونا نؤلف ونحل نظام المعادلات
إجابة: 
مشاكل لحلها بشكل مستقل
1. اكتب معادلات المماسات المرسومة على الرسم البياني للدالة y = 2x 2 – 4x + 3 عند نقاط تقاطع الرسم البياني مع الخط y = x + 3.
الإجابة: ص = - 4س + 3، ص = 6س - 9.5.
2. ما هي قيم a التي يمر بها المماس على الرسم البياني للدالة y = x 2 – الفأس عند نقطة الرسم البياني مع الإحداثي السيني x 0 = 1 عبر النقطة M(2; 3)؟
الجواب: أ = 0.5.
3. ما هي قيم p التي يلمس فيها الخط المستقيم y = px – 5 المنحنى y = 3x 2 – 4x – 2؟
الجواب: ع 1 = – 10، ص 2 = 2.
4. أوجد جميع النقاط المشتركة في الرسم البياني للدالة y = 3x – x 3 والمماس المرسوم على هذا الرسم البياني من خلال النقطة P(0; 16).
الإجابة: أ(2؛ – 2)، ب(– 4؛ 52).
5. أوجد أقصر مسافة بين القطع المكافئ y = x 2 + 6x + 10 والخط المستقيم
إجابة:
6. على المنحنى y = x 2 – x + 1، أوجد النقطة التي يكون عندها مماس الرسم البياني موازيًا للخط المستقيم y – 3x + 1 = 0.
الجواب: م(2؛ 3).
7. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = x 2 + 2x – | 4x | الذي يمسها عند نقطتين. جعل الرسم.
الجواب: ص = 2س - 4.
8. أثبت أن الخط y = 2x – 1 لا يتقاطع مع المنحنى y = x 4 + 3x 2 + 2x. أوجد المسافة بين أقرب نقاطهم.
إجابة:
9. على القطع المكافئ y = x 2، يتم أخذ نقطتين بواسطة الإحداثيات x 1 = 1، x 2 = 3. يتم رسم القاطع من خلال هذه النقاط. عند أي نقطة من القطع المكافئ سيكون مماسه موازيًا للقاطع؟ اكتب معادلات القاطع والظل.
الجواب: ص \u003d 4س - 3 - معادلة قاطعة؛ ص = 4س – 4 هي معادلة الظل.
10. أوجد الزاوية ف بين مماسات الرسم البياني للدالة y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1، مرسومة عند النقاط ذات الإحداثيات 0 و 1.
الجواب: ف = 45 درجة.
11. في أي النقاط يشكل مماس الرسم البياني للدالة زاوية مقدارها 135 درجة مع محور الثور؟
الإجابة: أ(0؛ - 1)، ب(4؛ 3).
12. عند النقطة أ(1؛ 8) إلى المنحنى 
يتم رسم الظل. أوجد طول قطعة المماس بين محوري الإحداثيات.
إجابة:
13. اكتب معادلة جميع المماسات المشتركة للتمثيلات البيانية للدوال y = x 2 – x + 1 و y = 2x 2 – x + 0.5.
الإجابة: ص = – 3س و ص = س.
14. أوجد المسافة بين مماسات الرسم البياني للدالة 
بالتوازي مع المحور x.
إجابة:
15. حدد الزوايا التي يتقاطع فيها القطع المكافئ y = x 2 + 2x – 8 مع المحور x.
الجواب: س 1 = القطب الشمالي 6، س 2 = القطب الشمالي (- 6).
16. الرسم البياني الوظيفي 
ابحث عن جميع النقاط التي يتقاطع ظل كل منها في هذا الرسم البياني مع أنصاف المحاور الموجبة للإحداثيات، مما يؤدي إلى قطع الأجزاء المتساوية منها.
الجواب: أ(- 3؛ 11).
17. يتقاطع الخط y = 2x + 7 والقطع المكافئ y = x 2 – 1 عند النقطتين M وN. أوجد نقطة K لتقاطع الخطين المماسين للقطع المكافئ عند النقطتين M وN.
الجواب: ك(1؛ - 9).
18. ما هي قيم b التي يكون فيها الخط y = 9x + b مماسًا للرسم البياني للدالة y = x 3 – 3x + 15؟
الجواب: - 1؛ 31.
19. ما هي قيم k التي يحتوي فيها الخط المستقيم y = kx – 10 على قيمة واحدة فقط نقطة مشتركةمع الرسم البياني للدالة y = 2x 2 + 3x - 2؟ بالنسبة للقيم التي تم العثور عليها لـ k، حدد إحداثيات النقطة.
الإجابة: ك 1 = - 5، أ(- 2؛ 0)؛ ك 2 = 11، ب(2، 12).
20. ما هي قيم b التي يمر بها المماس على الرسم البياني للدالة y = bx 3 – 2x 2 – 4 عند النقطة مع الإحداثي المحوري x 0 = 2 عبر النقطة M(1; 8)؟
الجواب: ب = – 3.
21. القطع المكافئ الذي رأسه على المحور السيني مماس للمستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1; 2) و B(2; 4) عند النقطة B. أوجد معادلة القطع المكافئ.
إجابة: 
22. عند أي قيمة للمعامل k يلمس القطع المكافئ y = x 2 + kx + 1 محور الثور؟
الجواب: ك = د2.
23. أوجد الزوايا المحصورة بين الخط المستقيم y = x + 2 والمنحنى y = 2x 2 + 4x – 3.
29. أوجد المسافة بين مماسات الرسم البياني لمولدات الوظائف مع الاتجاه الموجب لمحور الثور بزاوية 45 درجة.
إجابة:
30. أوجد موضع رءوس جميع القطع المكافئة بالشكل y = x 2 + ax + b مع لمس الخط y = 4x - 1.
الجواب: الخط المستقيم ص = 4س + 3.
الأدب
1. زفافيتش إل.آي.، شليابوتشنيك إل.يا.، تشينكينا إم.في. الجبر وبدايات التحليل: 3600 مشكلة لأطفال المدارس والمقبلين على الجامعات. - م.، حبارى، 1999.
2. موردكوفيتش أ. الندوة الرابعة للمعلمين الشباب. الموضوع: تطبيقات المشتقات. - م "الرياضيات" العدد 21/94.
3. تكوين المعرفة والمهارات على أساس نظرية الاستيعاب التدريجي للإجراءات العقلية. / إد. P.Ya. جالبيرين، إن.إف. تاليزينا. - م. جامعة موسكو الحكومية 1968.
خذ بعين الاعتبار الشكل التالي:
إنه يصور دالة معينة y = f(x)، والتي يمكن تفاضلها عند النقطة a. تم وضع علامة على النقطة M ذات الإحداثيات (a؛ f(a)). يتم رسم MR القاطع من خلال نقطة تعسفية P(a + ∆x; f(a + ∆x)) من الرسم البياني.
إذا تم الآن إزاحة النقطة P على طول الرسم البياني إلى النقطة M، فإن الخط المستقيم MP سوف يدور حول النقطة M. في هذه الحالة، سوف يميل ∆x إلى الصفر. من هنا يمكننا صياغة تعريف المماس للرسم البياني للدالة.
مماس للرسم البياني للدالة
ظل الرسم البياني للدالة هو الموضع المحدد للقاطع عندما تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر. يجب أن يكون مفهوما أن وجود مشتق الدالة f عند النقطة x0 يعني أنه عند هذه النقطة من الرسم البياني يوجد الظلله.
في هذه الحالة، سيكون ميل المماس مساويًا لمشتقة هذه الدالة عند هذه النقطة f’(x0). هذا هو المعنى الهندسي للمشتق. ظل الرسم البياني للدالة f القابلة للاشتقاق عند النقطة x0 هو خط مستقيم يمر عبر النقطة (x0;f(x0)) وله ميل f'(x0).
معادلة الظل
دعونا نحاول الحصول على معادلة المماس للرسم البياني لبعض الوظائف f عند النقطة A(x0; f(x0)). معادلة الخط المستقيم مع ميله k لها الشكل التالي:
بما أن معامل الميل يساوي المشتقة و '(x0)، فستأخذ المعادلة الشكل التالي: y = و '(x0)*س + ب.
الآن دعونا نحسب قيمة ب. للقيام بذلك، نستخدم حقيقة أن الدالة تمر عبر النقطة A.
f(x0) = f'(x0)*x0 + b، من هنا نعبر عن b ونحصل على b = f(x0) - f'(x0)*x0.
نعوض بالقيمة الناتجة في معادلة الظل:
y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
ص = و(x0) + و'(x0)*(x - x0).
دعونا نفكر المثال التالي: أوجد معادلة المماس للرسم البياني للدالة f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 عند النقطة x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. و'(س) = 3*س 2 - 4*س.
4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. نعوض بالقيم التي تم الحصول عليها في صيغة الظل، نحصل على: y = 1 + 4*(x - 2). وبفتح القوسين وإحضار المصطلحات المتشابهة نحصل على: y = 4*x - 7.
الإجابة: ص = 4*س - 7.
المخطط العام لتكوين معادلة الظلإلى الرسم البياني للدالة y = f(x):
1. تحديد x0.
2. احسب f(x0).
3. احسب f'(x)
دعونا نعطي دالة f، والتي عند نقطة ما x 0 لها مشتق محدود f (x 0). ثم يسمى الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطة (x 0 ; f (x 0)) مع معامل زاوي f '(x 0) ظلًا.
ماذا يحدث إذا لم يكن المشتق موجودا عند النقطة x 0؟ هناك خياران:
- لا يوجد ظل للرسم البياني سواء. مثال كلاسيكي- الدالة ص = |س | عند النقطة (0؛ 0).
- يصبح الظل عموديا. وهذا صحيح، على سبيل المثال، بالنسبة للدالة y = arcsin x عند النقطة (1؛ π /2).
معادلة الظل
يتم إعطاء أي خط مستقيم غير رأسي بمعادلة على الصورة y = kx + b، حيث k هو الميل. الظل ليس استثناءً، ولإنشاء معادلته عند نقطة ما × 0، يكفي معرفة قيمة الدالة والمشتقة عند هذه النقطة.
لذلك، دعونا نعطي دالة y = f (x)، والتي لها مشتق y = f ’(x) على القطعة. ثم عند أي نقطة x 0 ∈ (a ; b) يمكن رسم مماس للرسم البياني لهذه الدالة، والذي تعطى بالمعادلة:
ص = و '(س 0) (س − س 0) + و (س 0)
هنا f '(x 0) هي قيمة المشتق عند النقطة x 0، وf (x 0) هي قيمة الدالة نفسها.
مهمة. بالنظر إلى الدالة y = x 3 . اكتب معادلة مماس التمثيل البياني لهذه الدالة عند النقطة x 0 = 2.
معادلة الظل: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). يتم إعطاء النقطة x 0 = 2 لنا، ولكن يجب حساب القيم f (x 0) و f ’(x 0).
أولًا، دعونا نوجد قيمة الدالة. كل شيء سهل هنا: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8؛
والآن لنوجد المشتقة: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
نعوض بـ x 0 = 2 في المشتقة: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
في المجموع نحصل على: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
هذه هي المعادلة الظلية.
مهمة. اكتب معادلة مماس الرسم البياني للدالة f (x) = 2sin x + 5 عند النقطة x 0 = π /2.
هذه المرة لن نصف كل إجراء بالتفصيل - سنشير فقط إلى الخطوات الأساسية. لدينا:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7؛
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
معادلة الظل:
ص = 0 · (س − π /2) + 7 ⇒ ص = 7
في الحالة الأخيرةتبين أن الخط المستقيم أفقي، لأنه معاملها الزاوي k = 0. لا حرج في هذا - لقد عثرنا للتو على نقطة متطرفة.
مثال 1.نظرا لوظيفة F(س) = 3س 2 + 4س– 5. لنكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة F(س) عند نقطة الرسم البياني مع الإحداثي السيني س 0 = 1.
حل.مشتق من وظيفة F(س) موجود لأي x ر . فلنجدها:
= (3س 2 + 4س– 5)′ = 6 س + 4.
ثم F(س 0) = F(1) = 2; (س 0) = = 10. معادلة الظل لها الشكل:
ذ = (س 0) (س – س 0) + F(س 0),
ذ = 10(س – 1) + 2,
ذ = 10س – 8.
إجابة. ذ = 10س – 8.
مثال 2.نظرا لوظيفة F(س) = س 3 – 3س 2 + 2س+ 5. لنكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة F(س)، بالتوازي مع الخط ذ = 2س – 11.
حل.مشتق من وظيفة F(س) موجود لأي x ر . فلنجدها:
= (س 3 – 3س 2 + 2س+ 5)′ = 3 س 2 – 6س + 2.
منذ الظل إلى الرسم البياني للوظيفة F(س) عند نقطة الإحداثي س 0 موازي للخط ذ = 2س– 11 فإن ميله يساوي 2 أي ( س 0) = 2. لنجد هذا الإحداثي المحوري بشرط أن 3 س– 6س 0 + 2 = 2. هذه المساواة صالحة فقط عندما س 0 = 0 وفي س 0 = 2. لأنه في كلتا الحالتين F(س 0) = 5، ثم على التوالي ذ = 2س + بيمس الرسم البياني للدالة إما عند النقطة (0؛ 5) أو عند النقطة (2؛ 5).
في الحالة الأولى، المساواة العددية 5 = 2×0 + صحيحة ب، أين ب= 5، وفي الحالة الثانية تكون المساواة العددية 5 = 2×2 + صحيحة ب، أين ب = 1.
إذن هناك مماسين ذ = 2س+ 5 و ذ = 2س+ 1 إلى الرسم البياني للوظيفة F(س)، بالتوازي مع الخط ذ = 2س – 11.
إجابة. ذ = 2س + 5, ذ = 2س + 1.
مثال 3.نظرا لوظيفة F(س) = س 2 – 6س+ 7. لنكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة F(س) ، مرورا بالنقطة أ (2; –5).
حل.لأن F(2) -5، ثم أشر ألا ينتمي إلى الرسم البياني للوظيفة F(س). يترك س 0 - نهاية نقطة الظل.
مشتق من وظيفة F(س) موجود لأي x ر . فلنجدها:
= (س 2 – 6س+ 1)′ = 2 س – 6.
ثم F(س 0) = س– 6س 0 + 7; (س 0) = 2س 0 - 6. معادلة الظل لها الشكل:
ذ = (2س 0 – 6)(س – س 0) + س– 6س+ 7,
ذ = (2س 0 – 6)س– س+ 7.
منذ هذه النقطة أينتمي إلى الظل، فإن المساواة العددية صحيحة
–5 = (2س 0 – 6)×2– س+ 7,
أين س 0 = 0 أو س 0 = 4. وهذا يعني أنه من خلال هذه النقطة أيمكنك رسم مماسين للرسم البياني للوظيفة F(س).
لو س 0 = 0، فإن معادلة الظل لها الشكل ذ = –6س+ 7. إذا س 0 = 4، فإن معادلة الظل لها الشكل ذ = 2س – 9.
إجابة. ذ = –6س + 7, ذ = 2س – 9.
مثال 4.الوظائف المعطاة F(س) = س 2 – 2س+ 2 و ز(س) = –س 2 - 3. لنكتب معادلة المماس المشترك للتمثيلات البيانية لهذه الدوال.
حل.يترك س 1 - نهاية نقطة التماس للخط المطلوب مع الرسم البياني للدالة F(س)، أ س 2 - نهاية نقطة التماس على نفس الخط مع الرسم البياني للدالة ز(س).
مشتق من وظيفة F(س) موجود لأي x ر . فلنجدها:
= (س 2 – 2س+ 2)′ = 2 س – 2.
ثم F(س 1) = س– 2س 1 + 2; (س 1) = 2س 1 - 2. معادلة الظل لها الشكل:
ذ = (2س 1 – 2)(س – س 1) + س– 2س 1 + 2,
ذ = (2س 1 – 2)س – س+ 2. (1)
دعونا نجد مشتقة الدالة ز(س):
= (–س 2 – 3)′ = –2 س.
تعليمات
نحدد المعامل الزاوي للمماس للمنحنى عند النقطة M.
المنحنى الذي يمثل الرسم البياني للدالة y = f(x) مستمر في حي معين من النقطة M (بما في ذلك النقطة M نفسها).
إذا كانت القيمة f'(x0) غير موجودة، فإما أنه لا يوجد مماس، أو أنها تعمل عموديًا. وفي ضوء ذلك فإن وجود مشتقة الدالة عند النقطة x0 يرجع إلى وجود مماس غير رأسي للرسم البياني للدالة عند النقطة (x0, f(x0)). في هذه الحالة يكون المعامل الزاوي للظل مساويا لـ f "(x0). وبذلك يصبح المعنى الهندسي للمشتق واضحا - عملية حسابية ميلالظل.
أوجد قيمة الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس التي يُشار إليها بالحرف "أ". إذا تزامن مع نقطة مماس معينة، فسيكون "a" هو إحداثي x الخاص به. تحديد القيمة المهام f(a) بالتعويض في المعادلة المهامقيمة الإحداثي.
تحديد المشتقة الأولى للمعادلة المهام f'(x) واستبدل قيمة النقطة "a" بها.
خذ معادلة الظل العامة، والتي يتم تعريفها على أنها y = f(a) = f (a)(x – a)، واستبدل فيها القيم الموجودة لـ a، f(a)، f "(a). ونتيجة لذلك، سيتم إيجاد حل الرسم البياني والمماس.
قم بحل المشكلة بطريقة مختلفة إذا كانت نقطة الظل المحددة لا تتطابق مع نقطة الظل. في هذه الحالة، من الضروري استبدال "أ" بدلاً من الأرقام في معادلة الظل. بعد ذلك، بدلًا من الحرفين "x" و"y"، استبدل قيمة إحداثيات النقطة المحددة. حل المعادلة الناتجة حيث "أ" هو المجهول. قم بالتعويض عن القيمة الناتجة في معادلة الظل.
اكتب معادلة للمماس بالحرف "أ" إذا كانت عبارة المشكلة تحدد المعادلة المهامومعادلة الخط الموازي بالنسبة للمماس المطلوب. بعد ذلك نحتاج إلى المشتقة المهام، إلى الإحداثيات عند النقطة "أ". عوّض بالقيمة المناسبة في معادلة الظل وحل الدالة.
