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साइन 1 विशेष मामला. त्रिकोणमितीय समीकरण. बुनियादी समाधान के तरीके. अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना"

अतिरिक्त सामग्री
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1सी से ग्रेड 10 के लिए इंटीग्रल ऑनलाइन स्टोर में मैनुअल और सिमुलेटर
ज्यामिति में समस्याओं का समाधान. अंतरिक्ष में निर्माण के लिए इंटरैक्टिव कार्य
सॉफ्टवेयर वातावरण "1सी: गणितीय कंस्ट्रक्टर 6.1"

हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं?

3. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की दो मुख्य विधियाँ।
4. सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।
5. उदाहरण.

त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं?

दोस्तों, हम पहले ही आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटेंजेंट का अध्ययन कर चुके हैं। आइए अब सामान्य रूप से त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखें।

त्रिकोणमितीय समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक चर त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के अंतर्गत समाहित होता है।

आइए हम सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके को दोहराएँ:

1)यदि |a|≤ 1, तो समीकरण cos(x) = a का एक समाधान है:

एक्स= ± आर्ककोस(ए) + 2πk

2) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण पाप(x) = a का एक समाधान है:

3) यदि |ए| > 1, तो समीकरण syn(x) = a और cos(x) = a का कोई समाधान नहीं है 4) समीकरण tg(x)=a का एक समाधान है: x=arctg(a)+ πk

5) समीकरण ctg(x)=a का एक समाधान है: x=arcctg(a)+ πk

सभी सूत्रों के लिए k एक पूर्णांक है

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का रूप है: T(kx+m)=a, T कुछ त्रिकोणमितीय फलन है।

उदाहरण।

समीकरण हल करें: ए) पाप(3x)= √3/2

समाधान:

ए) आइए हम 3x=t को निरूपित करें, फिर हम अपने समीकरण को इस रूप में फिर से लिखेंगे:

इस समीकरण का हल होगा: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

मानों की तालिका से हमें मिलता है: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

आइए अपने वेरिएबल पर वापस लौटें: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

फिर x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

उत्तर: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, जहां n एक पूर्णांक है। (-1)^n - n की घात से एक घटा।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के और उदाहरण.

समीकरण हल करें: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

समाधान:

ए) इस बार आइए सीधे समीकरण की जड़ों की गणना करने के लिए आगे बढ़ें:

एक्स/5= ± आर्ककोस(1) + 2πk। फिर x/5= πk => x=5πk

उत्तर: x=5πk, जहाँ k एक पूर्णांक है।

बी) हम इसे इस रूप में लिखते हैं: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk। हम जानते हैं कि: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

उत्तर: x=2π/9 + πk/3, जहां k एक पूर्णांक है।

समीकरण हल करें: cos(4x)= √2/2. और खंड पर सभी जड़ें ढूंढें।

समाधान:

आइए हम अपने समीकरण को सामान्य रूप में हल करें: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

एक्स= ± π/16+ πk/2;

अब देखते हैं कि हमारे सेगमेंट पर क्या जड़ें पड़ती हैं। k पर k=0, x= π/16 पर, हम दिए गए खंड में हैं।
K=1, x= π/16+ π/2=9π/16 के साथ, हमने फिर से प्रहार किया।
K=2 के लिए, x= π/16+ π=17π/16, लेकिन यहां हमने हिट नहीं किया, जिसका मतलब है कि बड़े k के लिए हम भी स्पष्ट रूप से हिट नहीं करेंगे।

उत्तर: x= π/16, x= 9π/16

दो मुख्य समाधान विधियाँ.

हमने सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखा, लेकिन अधिक जटिल समीकरण भी हैं। उन्हें हल करने के लिए, एक नए चर को पेश करने की विधि और गुणनखंडन की विधि का उपयोग किया जाता है। आइए उदाहरण देखें.

आइए समीकरण हल करें:

समाधान:
अपने समीकरण को हल करने के लिए, हम एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि का उपयोग करेंगे, जिसका अर्थ है: t=tg(x)।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है: t 2 + 2t -1 = 0

आइए द्विघात समीकरण के मूल खोजें: t=-1 और t=1/3

फिर tg(x)=-1 और tg(x)=1/3, हमें सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण मिलता है, आइए इसके मूल खोजें।

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

उत्तर: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

किसी समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

समीकरण हल करें: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

समाधान:

आइए पहचान का उपयोग करें: पाप 2 (x) + cos 2 (x)=1

हमारा समीकरण इस प्रकार होगा: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

आइए प्रतिस्थापन t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 का परिचय दें

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल हैं: t=2 और t=-1/2

फिर cos(x)=2 और cos(x)=-1/2.

क्योंकि कोसाइन एक से अधिक मान नहीं ले सकता, तो cos(x)=2 का कोई मूल नहीं है।

cos(x)=-1/2 के लिए: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

उत्तर: x= ±2π/3 + 2πk

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण.

परिभाषा: a syn(x)+b cos(x) रूप के समीकरणों को प्रथम डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है।

प्रपत्र के समीकरण

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

पहली डिग्री के एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे cos(x) से विभाजित करें: यदि कोसाइन शून्य के बराबर है तो आप कोज्या से विभाजित नहीं कर सकते, आइए सुनिश्चित करें कि ऐसा नहीं है:
मान लीजिए cos(x)=0, फिर asin(x)+0=0 => पाप(x)=0, लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, हमें एक विरोधाभास मिलता है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं शून्य से.

प्रश्न हल करें:
उदाहरण: cos 2 (x) + syn(x) cos(x) = 0

समाधान:

आइए सामान्य गुणनखंड निकालें: cos(x)(c0s(x) + syn (x)) = 0

फिर हमें दो समीकरण हल करने होंगे:

Cos(x)=0 और cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 at x= π/2 + πk;

समीकरण पर विचार करें cos(x)+sin(x)=0 हमारे समीकरण को cos(x) से विभाजित करें:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

उत्तर: x= π/2 + πk और x= -π/4+πk

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें?
दोस्तों, इन नियमों का हमेशा पालन करें!

1. देखें कि गुणांक a किसके बराबर है, यदि a=0 तो हमारा समीकरण cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) का रूप लेगा, जिसके समाधान का एक उदाहरण पिछली स्लाइड पर है

2. यदि a≠0, तो आपको समीकरण के दोनों पक्षों को कोसाइन वर्ग से विभाजित करने की आवश्यकता है, हमें मिलता है:

हम वेरिएबल t=tg(x) बदलते हैं और समीकरण प्राप्त करते हैं:

उदाहरण क्रमांक:3 को हल करें

प्रश्न हल करें:
समाधान:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को कोज्या वर्ग से विभाजित करें:

हम वेरिएबल t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0 बदलते हैं

आइए द्विघात समीकरण के मूल खोजें: t=-3 और t=1

फिर: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

उत्तर: x=-arctg(3) + πk और x= π/4+ πk

उदाहरण क्रमांक:4 को हल करें

प्रश्न हल करें:

समाधान:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम ऐसे समीकरण हल कर सकते हैं: x= - π/4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उत्तर: x= - π/4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उदाहरण क्रमांक:5 को हल करें

प्रश्न हल करें:

समाधान:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल होंगे: t=-2 और t=1/2

तब हमें मिलता है: tg(2x)=-2 और tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

उत्तर: x=-arctg(2)/2 + πk/2 और x=arctg(1/2)/2+ πk/2

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएँ.

1) समीकरण हल करें

ए) पाप(7x)= 1/2 बी) कॉस(3x)= √3/2 सी) कॉस(-x) = -1 डी) टीजी(4x) = √3 डी) सीटीजी(0.5x) = -1.7

2) समीकरण हल करें: पाप(3x)= √3/2. और खंड पर सभी मूल खोजें [π/2; π].

3) समीकरण हल करें: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) समीकरण हल करें: 3sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) समीकरण हल करें: 3sin 2 (3x) + 10 syn(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) समीकरण हल करें: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

कई को हल करते समय गणितीय समस्याएँ, विशेष रूप से वे जो कक्षा 10 से पहले घटित होते हैं, किए गए कार्यों का क्रम जो लक्ष्य तक ले जाएगा, स्पष्ट रूप से परिभाषित है। ऐसी समस्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण, रैखिक और द्विघात असमानताएँ, भिन्नात्मक समीकरण और समीकरण जो द्विघात समीकरण को कम करते हैं। उल्लिखित प्रत्येक समस्या को सफलतापूर्वक हल करने का सिद्धांत इस प्रकार है: आपको यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि आप किस प्रकार की समस्या का समाधान कर रहे हैं, कार्यों के आवश्यक अनुक्रम को याद रखें जो वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा, अर्थात। उत्तर दें और इन चरणों का पालन करें।

यह स्पष्ट है कि किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या विफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि हल किए जा रहे समीकरण का प्रकार कितनी सही ढंग से निर्धारित किया गया है, इसके समाधान के सभी चरणों का क्रम कितना सही ढंग से पुन: प्रस्तुत किया गया है। बेशक, इस मामले में समान परिवर्तन और गणना करने का कौशल होना आवश्यक है।

के साथ स्थिति अलग है त्रिकोणमितीय समीकरण.इस तथ्य को स्थापित करना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। क्रियाओं के अनुक्रम को निर्धारित करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जो सही उत्तर की ओर ले जाएँगी।

किसी समीकरण की उपस्थिति के आधार पर उसका प्रकार निर्धारित करना कभी-कभी कठिन होता है। और समीकरण के प्रकार को जाने बिना, कई दर्जन त्रिकोणमितीय सूत्रों में से सही को चुनना लगभग असंभव है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, आपको प्रयास करने की आवश्यकता है:

1. समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएँ;
2. समीकरण को "समान फलन" पर लाएँ;
3. समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें, आदि।

चलो गौर करते हैं त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियाँ।

I. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में कमी

समाधान आरेख

स्टेप 1।ज्ञात घटकों के संदर्भ में एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करें।

चरण दो।सूत्रों का उपयोग करके फ़ंक्शन तर्क खोजें:

क्योंकि x = ए; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ।

पाप एक्स = ए; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

टैन एक्स = ए; एक्स = आर्कटान ए + πएन, एन Є जेड।

सीटीजी एक्स = ए; x = arcctg a + πn, n Є Z.

चरण 3।अज्ञात चर ज्ञात कीजिए।

उदाहरण।

2 cos(3x – π/4) = -√2.

समाधान।

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

द्वितीय. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

समाधान आरेख

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय कार्यों में से किसी एक के संबंध में समीकरण को बीजगणितीय रूप में कम करें।

चरण दो।परिणामी फ़ंक्शन को वेरिएबल t द्वारा निरूपित करें (यदि आवश्यक हो, तो t पर प्रतिबंध लगाएं)।

चरण 3।परिणामी बीजगणितीय समीकरण को लिखें और हल करें।

चरण 4।उलटा प्रतिस्थापन करें.

चरण 5.सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण हल करें.

उदाहरण।

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

समाधान।

1) 2(1 – पाप 2 (x/2)) – 5 पाप (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) माना पाप (x/2) = t, जहाँ |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 या e = -3/2, शर्त को पूरा नहीं करता |t| ≤ 1.

4) पाप(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

उत्तर: x = π + 4πn, n Є Z.

तृतीय. समीकरण क्रम घटाने की विधि

समाधान आरेख

स्टेप 1।डिग्री कम करने के सूत्र का उपयोग करके, इस समीकरण को एक रैखिक समीकरण से बदलें:

पाप 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

टीजी 2 एक्स = (1 - कॉस 2x) / (1 + कॉस 2x)।

चरण दो।विधि I और II का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

समाधान।

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

उत्तर: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

चतुर्थ. सजातीय समीकरण

समाधान आरेख

स्टेप 1।इस समीकरण को इस रूप में घटाएँ

ए) ए पाप एक्स + बी कॉस एक्स = 0 (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण)

या दृश्य के लिए

बी) ए पाप 2 एक्स + बी पाप एक्स · कॉस एक्स + सी कॉस 2 एक्स = 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

चरण दो।समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें

ए) क्योंकि x ≠ 0;

बी) क्योंकि 2 x ≠ 0;

और tan x के लिए समीकरण प्राप्त करें:

ए) ए टैन एक्स + बी = 0;

बी) ए टैन 2 एक्स + बी आर्कटैन एक्स + सी = 0।

चरण 3।ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

समाधान।

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

पाप 2 x + 3 पाप x · cos x - 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) टीजी 2 एक्स + 3टीजी एक्स – 4 = 0.

3) मान लीजिए tg x = t, तो

टी 2 + 3टी – 4 = 0;

t = 1 या t = -4, जिसका अर्थ है

टीजी एक्स = 1 या टीजी एक्स = -4.

पहले समीकरण से x = π/4 + πn, n Є Z; दूसरे समीकरण x = -arctg 4 + से πk, k Є Z.

उत्तर: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलने की विधि

समाधान आरेख

स्टेप 1।सभी संभावित त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके, इस समीकरण को I, II, III, IV विधियों द्वारा हल किए गए समीकरण में बदलें।

चरण दो।ज्ञात विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

पाप x + पाप 2x + पाप 3x = 0.

समाधान।

1) (पाप x + पाप 3x) + पाप 2x = 0;

2sin 2x क्योंकि x + पाप 2x = 0.

2) पाप 2x (2cos x + 1) = 0;

पाप 2x = 0 या 2cos x + 1 = 0;

पहले समीकरण से 2x = π/2 + πn, n Є Z; दूसरे समीकरण से क्योंकि x = -1/2.

हमारे पास x = π/4 + πn/2, n Є Z है; दूसरे समीकरण से x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

परिणामस्वरूप, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

उत्तर: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता एवं कौशल बहुत होता है महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों की ओर से महत्वपूर्ण प्रयास की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति समीकरणों को हल करने के साथ स्टीरियोमेट्री, भौतिकी आदि की कई समस्याएं जुड़ी हुई हैं। ऐसी समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में कई ज्ञान और कौशल शामिल हैं जो त्रिकोणमिति के तत्वों का अध्ययन करके हासिल किए जाते हैं।

सामान्य तौर पर गणित सीखने और व्यक्तिगत विकास की प्रक्रिया में त्रिकोणमितीय समीकरण एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।

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उदाहरण:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे हल करें:

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को निम्न प्रकारों में से एक में घटाया जाना चाहिए:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

जहां \(t\) एक x के साथ एक अभिव्यक्ति है, \(a\) एक संख्या है। ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाते हैं सबसे आसान. इन्हें () या विशेष सूत्रों का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है:

सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने पर इन्फोग्राफिक्स यहां देखें:, और।

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) को हल करें।
समाधान:

उत्तर: \(\left[ \begin(इकट्ठा)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(इकट्ठा)\दाएं.\) \(k,n∈Z\)

त्रिकोणमितीय समीकरणों के मूलों के सूत्र में प्रत्येक प्रतीक का क्या अर्थ है, देखें।

ध्यान!समीकरण \(\sin⁡x=a\) और \(\cos⁡x=a\) का कोई समाधान नहीं है यदि \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). क्योंकि किसी भी x के लिए साइन और कोसाइन \(-1\) से अधिक या उसके बराबर और \(1\) से कम या उसके बराबर हैं:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

उदाहरण . समीकरण \(\cos⁡x=-1,1\) को हल करें।
समाधान: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
उत्तर : कोई समाधान नहीं.

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण tg\(⁡x=1\) को हल करें।
समाधान:

आइए संख्या वृत्त का उपयोग करके समीकरण को हल करें। इसके लिए: 1) एक वृत्त का निर्माण करें) 2) कुल्हाड़ियों \(x\) और \(y\) और स्पर्शरेखा अक्ष की रचना करें (यह बिंदु \((0;1)\) से होकर गुजरती है जो अक्ष \(y\) के समानांतर है। 3) स्पर्शरेखा अक्ष पर, बिंदु \(1\) अंकित करें। 4) इस बिंदु और निर्देशांक की उत्पत्ति को एक सीधी रेखा से जोड़ें। 5) इस रेखा और संख्या वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। 6) आइए इन बिंदुओं के मानों पर हस्ताक्षर करें: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) इन बिंदुओं के सभी मान लिखिए। चूँकि वे एक दूसरे से बिल्कुल \(π\) की दूरी पर स्थित हैं, सभी मान एक सूत्र में लिखे जा सकते हैं:

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) को हल करें।
समाधान:

आइए फिर से संख्या वृत्त का उपयोग करें। 1) एक वृत्त, अक्ष \(x\) और \(y\) का निर्माण करें। 2) कोसाइन अक्ष (\(x\) अक्ष) पर, \(0\) अंकित करें। 3) इस बिंदु से होकर कोज्या अक्ष पर एक लंब खींचिए। 4) लम्ब और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। 5) आइए इन बिंदुओं के मान पर हस्ताक्षर करें: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) हम इन बिंदुओं का संपूर्ण मान लिखते हैं और उन्हें कोसाइन (कोसाइन के अंदर क्या है) के बराबर करते हैं। \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) हमेशा की तरह, हम \(x\) को समीकरणों में व्यक्त करेंगे। संख्याओं को \(π\), साथ ही \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), आदि से जोड़ना न भूलें। ये अन्य सभी संख्याओं के समान ही हैं। कोई संख्यात्मक भेदभाव नहीं! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

त्रिकोणमितीय समीकरणों को सरलतम बनाना एक रचनात्मक कार्य है; यहां आपको समीकरणों को हल करने के लिए दोनों और विशेष तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता है:
- विधि (एकीकृत राज्य परीक्षा में सबसे लोकप्रिय)।
- तरीका।
- सहायक तर्क की विधि.

आइए द्विघात त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\) को हल करें
समाधान:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	आइए प्रतिस्थापन करें \(t=\cos⁡x\).
	हमारा समीकरण सामान्य हो गया है. आप इसका उपयोग करके इसे हल कर सकते हैं।
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं।
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	हम संख्या वृत्त का उपयोग करके पहला समीकरण हल करते हैं। दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है क्योंकि \(\cos⁡x∈[-1;1]\) और किसी भी x के लिए दो के बराबर नहीं हो सकता।
	आइए इन बिंदुओं पर मौजूद सभी संख्याओं को लिखें।

उत्तर: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

ODZ के अध्ययन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने का एक उदाहरण:

उदाहरण (USE) . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	एक भिन्न है और एक कोटैंजेंट है - इसका मतलब है कि हमें इसे लिखना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि कोटैंजेंट वास्तव में एक भिन्न है: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) इसलिए, ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) के लिए ODZ।
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	आइए संख्या गोले पर "गैर-समाधान" को चिह्नित करें।
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	आइए समीकरण में हर को ctg\(x\) से गुणा करके उससे छुटकारा पाएं। हम ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि हमने ऊपर लिखा है कि ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	आइए ज्या के लिए द्विकोण सूत्र लागू करें: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	यदि आपके हाथ कोज्या से विभाजित करने के लिए आगे बढ़ते हैं, तो उन्हें पीछे खींचें! यदि यह निश्चित रूप से शून्य के बराबर नहीं है तो आप एक चर वाले अभिव्यक्ति से विभाजित कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, ये: \(x^2+1.5^x\))। इसके बजाय, आइए \(\cos⁡x\) को कोष्ठक से बाहर निकालें।
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	आइए समीकरण को दो भागों में "विभाजित" करें।
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	आइए संख्या वृत्त का उपयोग करके पहला समीकरण हल करें। आइए दूसरे समीकरण को \(2\) से विभाजित करें और \(\sin⁡x\) को दाईं ओर ले जाएं।
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	परिणामी जड़ें ODZ में शामिल नहीं हैं। इसलिए, हम उन्हें प्रतिक्रिया में नहीं लिखेंगे। दूसरा समीकरण विशिष्ट है. आइए इसे \(\sin⁡x\) से विभाजित करें (\(\sin⁡x=0\) समीकरण का हल नहीं हो सकता क्योंकि इस मामले में \(\cos⁡x=1\) या \(\cos⁡ x=-1\)).
	हम फिर से एक वृत्त का उपयोग करते हैं।
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	इन जड़ों को ODZ द्वारा बाहर नहीं रखा गया है, इसलिए आप उन्हें उत्तर में लिख सकते हैं।

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की अवधारणाएं त्रिकोणमिति की मुख्य श्रेणियां हैं, जो गणित की एक शाखा है, और कोण की परिभाषा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इस गणितीय विज्ञान में महारत हासिल करने के लिए सूत्रों और प्रमेयों को याद रखने और समझने के साथ-साथ विकसित स्थानिक सोच की भी आवश्यकता होती है। यही कारण है कि त्रिकोणमितीय गणनाएँ अक्सर स्कूली बच्चों और छात्रों के लिए कठिनाइयों का कारण बनती हैं। उन पर काबू पाने के लिए, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों और सूत्रों से अधिक परिचित होना चाहिए।

त्रिकोणमिति में अवधारणाएँ

त्रिकोणमिति की बुनियादी अवधारणाओं को समझने के लिए, आपको पहले यह समझना होगा कि एक समकोण त्रिभुज और एक वृत्त में एक कोण क्या हैं, और सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय गणनाएँ उनके साथ क्यों जुड़ी हुई हैं। एक त्रिभुज जिसका एक कोण 90 डिग्री का हो, आयताकार होता है। ऐतिहासिक रूप से, इस आकृति का उपयोग अक्सर वास्तुकला, नेविगेशन, कला और खगोल विज्ञान में लोगों द्वारा किया जाता था। तदनुसार, इस आंकड़े के गुणों का अध्ययन और विश्लेषण करके, लोग इसके मापदंडों के संबंधित अनुपात की गणना करने लगे।

समकोण त्रिभुजों से जुड़ी मुख्य श्रेणियां कर्ण और पैर हैं। कर्ण समकोण के विपरीत त्रिभुज की भुजा है। पैर, क्रमशः, शेष दो भुजाएँ हैं। किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग सदैव 180 डिग्री होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति त्रिकोणमिति का एक भाग है जिसका अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन खगोल विज्ञान और भूगणित जैसे व्यावहारिक विज्ञान में वैज्ञानिक इसका उपयोग करते हैं। गोलाकार त्रिकोणमिति में त्रिभुज की विशेषता यह है कि इसके कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है।

त्रिभुज के कोण

एक समकोण त्रिभुज में, कोण की ज्या वांछित कोण के विपरीत पैर और त्रिभुज के कर्ण का अनुपात है। तदनुसार, कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है। इन दोनों मानों का परिमाण हमेशा एक से कम होता है, क्योंकि कर्ण हमेशा पैर से लंबा होता है।

किसी कोण की स्पर्श रेखा वांछित कोण के विपरीत पक्ष और आसन्न पक्ष के अनुपात या साइन से कोसाइन के अनुपात के बराबर होती है। कोटैंजेंट, बदले में, वांछित कोण के आसन्न पक्ष का विपरीत पक्ष से अनुपात है। किसी कोण की स्पर्शरेखा को स्पर्शरेखा मान से विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

इकाई वृत्त

ज्यामिति में एक इकाई वृत्त वह वृत्त है जिसकी त्रिज्या एक के बराबर होती है। इस तरह के एक वृत्त का निर्माण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किया जाता है, जिसमें वृत्त का केंद्र मूल बिंदु के साथ मेल खाता है, और त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति एक्स अक्ष (एब्सिस्सा अक्ष) की सकारात्मक दिशा के साथ निर्धारित की जाती है। वृत्त के प्रत्येक बिंदु के दो निर्देशांक हैं: XX और YY, यानी भुज और कोटि के निर्देशांक। XX तल में वृत्त पर किसी भी बिंदु का चयन करके और उसमें से भुज अक्ष पर एक लंब गिराकर, हम चयनित बिंदु (अक्षर C द्वारा निरूपित) की त्रिज्या द्वारा निर्मित एक समकोण त्रिभुज प्राप्त करते हैं, जो कि X अक्ष पर खींचा गया लंब है। (प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर G द्वारा निरूपित किया जाता है), और भुज अक्ष का खंड निर्देशांक की उत्पत्ति (बिंदु को अक्षर A द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है) और प्रतिच्छेदन बिंदु G के बीच है। परिणामी त्रिभुज ACG एक समकोण त्रिभुज है जो खुदा हुआ है एक वृत्त, जहां AG कर्ण है, और AC और GC पैर हैं। वृत्त AC की त्रिज्या और पदनाम AG के साथ भुज अक्ष के खंड के बीच के कोण को α (अल्फा) के रूप में परिभाषित किया गया है। तो, cos α = AG/AC। यह मानते हुए कि AC इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और यह एक के बराबर है, यह पता चलता है कि cos α=AG। इसी प्रकार, पाप α=CG.

इसके अलावा, इस डेटा को जानकर, आप वृत्त पर बिंदु C का निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं, क्योंकि cos α=AG, और syn α=CG, जिसका अर्थ है कि बिंदु C में दिए गए निर्देशांक (cos α;sin α) हैं। यह जानते हुए कि स्पर्श रेखा ज्या और कोज्या के अनुपात के बराबर है, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि tan α = y/x, और cot α = x/y। ऋणात्मक समन्वय प्रणाली में कोणों पर विचार करके, आप गणना कर सकते हैं कि कुछ कोणों की ज्या और कोज्या मान ऋणात्मक हो सकते हैं।

गणना और बुनियादी सूत्र

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मान

इकाई वृत्त के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों के सार पर विचार करने के बाद, हम कुछ कोणों के लिए इन कार्यों के मान प्राप्त कर सकते हैं। मान नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।

सबसे सरल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

वे समीकरण जिनमें त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के नीचे कोई अज्ञात मान होता है, त्रिकोणमितीय कहलाते हैं। मान के साथ पहचान पाप x = α, k - कोई भी पूर्णांक:

1. पाप x = 0, x = πk.
2. 2. पाप x = 1, x = π/2 + 2πk।
3. पाप x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. पाप x = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं.
5. पाप x = ए, |ए| ≦ 1, x = (-1)^k * आर्क्सिन α + πk।

मान cos x = a के साथ पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

1. क्योंकि x = 0, x = π/2 + πk.
2. क्योंकि x = 1, x = 2πk.
3. क्योंकि x = -1, x = π + 2πk.
4. क्योंकि x = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं.
5. क्योंकि x = ए, |ए| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

मान tg x = a वाली पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk।

ctg x = a मान वाली पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

1. खाट x = 0, x = π/2 + πk.
2. सीटीजी एक्स = ए, एक्स = आर्कसीटीजी α + πk।

न्यूनीकरण सूत्र

स्थिर सूत्रों की यह श्रेणी उन तरीकों को दर्शाती है जिनके साथ आप फॉर्म के त्रिकोणमितीय कार्यों से तर्क के कार्यों तक जा सकते हैं, यानी, किसी भी मूल्य के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को कोण के संबंधित संकेतकों तक कम कर सकते हैं। गणना की अधिक सुविधा के लिए 0 से 90 डिग्री तक का अंतराल।

किसी कोण की ज्या के लिए फ़ंक्शन को कम करने के सूत्र इस तरह दिखते हैं:

• पाप(900 - α) = α;
• पाप(900 + α) = क्योंकि α;
• पाप(1800 - α) = पाप α;
• पाप(1800 + α) = -sin α;
• पाप(2700 - α) = -cos α;
• पाप(2700 + α) = -cos α;
• पाप(3600 - α) = -sin α;
• पाप(3600 + α) = पाप α.

कोण की कोज्या के लिए:

• cos(900 - α) = पाप α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = पाप α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

उपरोक्त सूत्रों का प्रयोग दो नियमों के अधीन संभव है। सबसे पहले, यदि कोण को मान (π/2 ± a) या (3π/2 ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फ़ंक्शन का मान बदल जाता है:

• पाप से पाप तक;
• कॉस से पाप तक;
• टीजी से सीटीजी तक;
• सीटीजी से टीजी तक.

यदि कोण को (π ± a) या (2π ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है तो फ़ंक्शन का मान अपरिवर्तित रहता है।

दूसरे, घटे हुए फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है: यदि यह प्रारंभ में सकारात्मक था, तो यह वैसा ही रहता है। नकारात्मक कार्यों के साथ भी ऐसा ही है।

अतिरिक्त सूत्र

ये सूत्र अपने त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से दो घूर्णन कोणों के योग और अंतर के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान को व्यक्त करते हैं। आमतौर पर कोणों को α और β के रूप में दर्शाया जाता है।

सूत्र इस प्रकार दिखते हैं:

1. पाप(α ± β) = पाप α * क्योंकि β ± क्योंकि α * पाप।
2. कॉस(α ± β) = कॉस α * कॉस β ∓ पाप α * पाप।
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β)।
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)।

ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं।

डबल और ट्रिपल कोण सूत्र

दोहरे और तिहरे कोण त्रिकोणमितीय सूत्र ऐसे सूत्र हैं जो क्रमशः कोण 2α और 3α के कार्यों को कोण α के त्रिकोणमितीय कार्यों से जोड़ते हैं। अतिरिक्त सूत्रों से व्युत्पन्न:

1. पाप2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. syn3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

योग से उत्पाद में संक्रमण

यह मानते हुए कि 2sinx*cosy = पाप(x+y) + पाप(x-y), इस सूत्र को सरल बनाते हुए, हम पहचान पापα + पापβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 प्राप्त करते हैं। इसी प्रकार पापα - पापβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * पाप(α − β)/2; tanα + tanβ = पाप(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = पाप(α - β) / cosα * cosβ; cosα + synα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

उत्पाद से योग तक संक्रमण

ये सूत्र किसी राशि के उत्पाद में परिवर्तन की पहचान से अनुसरण करते हैं:

• पापα * पापβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• पापα *cosβ = 1/2*.

डिग्री कम करने के सूत्र

इन पहचानों में, साइन और कोसाइन की वर्ग और घन शक्तियों को एकाधिक कोण की पहली शक्ति के साइन और कोसाइन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

• पाप^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• पाप^3 α = (3 * पापα - पाप3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• पाप^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के सूत्र त्रिकोणमितीय कार्यों को आधे कोण के स्पर्शरेखा के संदर्भ में व्यक्त करते हैं।

• पाप x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn के साथ;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), जहां x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), जहां x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn के साथ।

विशेष स्थितियां

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामले नीचे दिए गए हैं (k कोई पूर्णांक है)।

ज्या के लिए भागफल:

पाप x मान	x मान
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk या 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk या -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk या 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk या -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk या 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk या -2π/3 + 2πk

कोज्या के लिए भागफल:

क्योंकि x मान	x मान
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

स्पर्शरेखा के लिए भागफल:

टीजी एक्स मान	x मान
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

कोटैंजेंट के लिए उद्धरण:

सीटीजी एक्स मान	x मान
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

प्रमेयों

ज्या का प्रमेय

प्रमेय के दो संस्करण हैं - सरल और विस्तारित। सरल ज्या प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ। इस स्थिति में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α, β, γ क्रमशः विपरीत कोण हैं।

एक मनमाना त्रिभुज के लिए विस्तारित साइन प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R। इस पहचान में, R उस वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है जिसमें दिया गया त्रिभुज अंकित है।

कोसाइन प्रमेय

पहचान इस प्रकार प्रदर्शित की जाती है: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α। सूत्र में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α भुजा a के विपरीत कोण है।

स्पर्शरेखा प्रमेय

सूत्र दो कोणों की स्पर्शरेखाओं और उनके विपरीत भुजाओं की लंबाई के बीच संबंध को व्यक्त करता है। भुजाओं को a, b, c लेबल किया गया है, और संगत विपरीत कोण α, β, γ हैं। स्पर्शरेखा प्रमेय का सूत्र: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2)।

कोटैंजेंट प्रमेय

एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या को उसकी भुजाओं की लंबाई से जोड़ता है। यदि a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और A, B, C क्रमशः उनके विपरीत कोण हैं, r अंकित वृत्त की त्रिज्या है, और p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है, तो निम्नलिखित पहचान मान्य हैं:

• खाट ए/2 = (पी-ए)/आर;
• खाट बी/2 = (पी-बी)/आर;
• खाट सी/2 = (पी-सी)/आर।

आवेदन

त्रिकोणमिति केवल गणितीय सूत्रों से जुड़ा एक सैद्धांतिक विज्ञान नहीं है। इसके गुण, प्रमेय और नियम मानव गतिविधि की विभिन्न शाखाओं द्वारा व्यवहार में उपयोग किए जाते हैं - खगोल विज्ञान, वायु और समुद्री नेविगेशन, संगीत सिद्धांत, भूगणित, रसायन विज्ञान, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, वास्तुकला, अर्थशास्त्र, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, माप कार्य, कंप्यूटर ग्राफिक्स, मानचित्रकला, समुद्र विज्ञान, और कई अन्य।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाएं हैं, जिनकी सहायता से कोई त्रिभुज में कोणों और भुजाओं की लंबाई के बीच संबंधों को गणितीय रूप से व्यक्त कर सकता है, और सर्वसमिकाओं, प्रमेयों और नियमों के माध्यम से आवश्यक मात्राएँ ज्ञात कर सकता है।