Найти площадь криволинейной трапеции примеры. Криволинейная трапеция. Длина дуги плоской кривой
Фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной на отрезке $$ функции $f(x)$ и прямыми $y=0, \ x=a$ и $x=b$, называется криволинейной трапецией.
Площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
$S=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}.$ (*)
Задачи на нахождение площади криволинейной трапеции мы будем условно делить на $4$ типа. Рассмотрим каждый тип подробнее.
I тип: криволинейная трапеция задана явно. Тогда сразу применяем формулу (*).
Например, найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=4-(x-2)^{2}$, и прямыми $y=0, \ x=1$ и $x=3$.
Нарисуем эту криволинейную трапецию.
Применяя формулу (*), найдём площадь этой криволинейной трапеции.
$S=\int\limits_{1}^{3}{\left(4-(x-2)^{2}\right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{4dx}-\int\limits_{1}^{3}{(x-2)^{2}dx}=4x|_{1}^{3} – \left.\frac{(x-2)^{3}}{3}\right|_{1}^{3}=$
$=4(3-1)-\frac{1}{3}\left((3-2)^{3}-(1-2)^{3}\right)=4 \cdot 2 – \frac{1}{3}\left((1)^{3}-(-1)^{3}\right) = 8 – \frac{1}{3}(1+1) =$
$=8-\frac{2}{3}=7\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
II тип: криволинейная трапеция задана неявно. У этого случая обычно не задаются или задаются частично прямые $x=a, \ x=b$. В этом случае нужно найти точки пересечения функций $y=f(x)$ и $y=0$. Эти точки и будут точками $a$ и $b$.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=1-x^{2}$ и $y=0$.
Найдём точки пересечения. Для этого приравняем правые части функций.
Таким образом, $a=-1$, а $b=1$. Нарисуем эту криволинейную трапецию.
Найдём площадь этой криволинейной трапеции.
$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{1dx}-\int\limits_{-1}^{1}{x^{2}dx}=x|_{-1}^{1} – \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-1}^{1}=$
$=(1-(-1))-\frac{1}{3}\left(1^{3}-(-1)^{3}\right)=2 – \frac{1}{3}\left(1+1\right) = 2 – \frac{2}{3} = 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
III тип: площадь фигуры, ограниченной пересечением двух непрерывных неотрицательных функций. Эта фигура не будет криволинейной трапецией, а значит с помощью формулы (*) её площадь не вычислишь. Как же быть? Оказывается, площадь этой фигуры можно найти как разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных верхней функцией и $y=0$ ($S_{uf}$), и нижней функцией и $y=0$ ($S_{lf}$), где в роли $x=a, \ x=b$ выступают координаты по $x$ точек пересечения данных функций, т.е.
$S=S_{uf}-S_{lf}$. (**)
Самое главное при вычислении таких площадей – не “промахнуться” с выбором верхней и нижней функции.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной функциями $y=x^{2}$ и $y=x+6$.
Найдём точки пересечения этих графиков:
По теореме Виета,
$x_{1}=-2, \ x_{2}=3.$
То есть, $a=-2, \ b=3$. Изобразим фигуру:
Таким образом, верхняя функция – $y=x+6$, а нижняя – $y=x^{2}$. Далее, найдём $S_{uf}$ и $S_{lf}$ по формуле (*).
$S_{uf}=\int\limits_{-2}^{3}{(x+6)dx}=\int\limits_{-2}^{3}{xdx}+\int\limits_{-2}^{3}{6dx}=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{-2}^{3} + 6x|_{-2}^{3}= 32,5$ (ед.$^{2}$).
$S_{lf}=\int\limits_{-2}^{3}{x^{2}dx}=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-2}^{3} = \frac{35}{3}$ (ед.$^{2}$).
Подставим найденное в (**) и получим:
$S=32,5-\frac{35}{3}= \frac{125}{6}$ (ед.$^{2}$).
IV тип: площадь фигуры, ограниченной функцией (-ями), не удовлетворяющей(-ими) условию неотрицательности. Для того, чтобы найти площадь такой фигуры нужно симметрично относительно оси $Ox$ (иными словами, поставить “минусы” перед функциями) отобразить область и с помощью способов, изложенных в типах I – III, найти площадь отображённой области. Эта площадь и будет искомой площадью. Предварительно, возможно, вам придётся найти точки пересечения графиков функций.
Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^{2}-1$ и $y=0$.
Найдём точки пересечения графиков функций:
т.е. $a=-1$, а $b=1$. Начертим область.
Симметрично отобразим область:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^{2}-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^{2}-1) = 1-x^{2}$.
Получится криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y=1-x^{2}$ и $y=0$. Это задача на нахождение криволинейной трапеции второго типа. Мы её уже решали. Ответ был такой: $S= 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$). Значит, площадь искомой криволинейной трапеции равна:
$S=1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).
Пример1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, и х = 2
Выполним построение фигуры (см. рис.) Строим прямую х + 2у – 4 = 0 по двум точкам А(4;0) и В(0;2). Выразив у через х, получим у = -0,5х + 2. По формуле (1), где f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, находим
S = = [-0,25=11,25 кв. ед
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 и у = 0.
Решение. Выполним построение фигуры.
Построим прямую х – 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А(-4; 0); х = 0, у = 2, В(0; 2).
Построим прямую х + у – 5 = 0: у = 0, х = 5, С(5; 0), х = 0, у = 5, D(0; 5).
Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:
х = 2, у = 3; М(2; 3).
Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника АМN и NМС, так как при изменении х от А до N площадь ограничена прямой, а при изменении х от N до С - прямой
Для треугольника АМN имеем: ; у = 0,5х + 2, т. е. f(x) = 0,5х + 2, a = - 4, b = 2.
Для треугольника NМС имеем: y = - x + 5, т. е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим:
кв. ед.
кв. ед.
9 + 4, 5 = 13,5 кв. ед. Проверка: = 0,5АС = 0,5 кв. ед.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x 2 , прямыми x = 2 и x = 3и осью Ох(см. рис.) По формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции
= = 6кв. ед.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - x 2 + 4 и у = 0
Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболой у = - x 2 + 4 и осью Ох.
Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у = 0, найдем х = Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Оу, и полученный результат удвоим: = +4x]кв. ед. 2 = 2 кв. ед.
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболыy 2 = x, осью Ох и прямыми x = 1иx = 4 (см. рис.)
По формуле (1), где f(x) = a = 1 и b = 4 имеем = (= кв. ед.
Пример 6 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (см. рис.).
Имеем - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. ед.
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = - 6х, у = 0 и х = 4.
Фигура расположена под осью Ох (см. рис.).
Следовательно, её площадь находим по формуле (3)
= =
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = и х = 2. Кривую y = построим по точкам (см. рис.). Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (4)
Пример 9 .
х 2 + у 2 = r 2 .
Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х 2 + у 2 = r 2 , т. е. площадь круга радиуса r с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от 0
доr; имеем: 1 = = [
Следовательно, 1 =
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= х 2 и у = 2х
Данная фигура ограничена параболой у= х 2 и прямой у = 2х (см. рис.) Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений:х 2 – 2х = 0 х = 0 и х = 2
Используя для нахождения площади формулу (5), получим
= и дифференцируема на интервале (;). Ее график представляет некоторую кривую, (; ()), (; ()) (рисунок 4.9 ). Кривую разобьем точками 0 = , 1 , 2 , . . . , = напроизвольных частей. Соединим две соседние точки −1 и хордами,= 1, 2, . . . , . Получим -звенную ломаную, вписанную в кривую. Пусть
есть длина хорды −1 , = 1, 2, . . . , = max16 6 . Длина ломаной будет выражаться формулой
Естественно определить длину кривой как предельное значение длин ломаных, когда → 0, т.е.
Пусть есть абсциссы точек, = 1, 2, . . . , |
||||||||
< < . . . < = . |
||||||||
Тогда координаты точек есть (; ()), и, пользуясь формулой для расстояния между двумя точками , найдем
C n−1 |
|||
C k 1C k |
|||
Следовательно, есть интегральная сумма для функции √ 1 + (′ ())2 на отрезке [ ; ]. Тогда на основании равенств (4.31) имеем:
= ∫ |
|||||||
1 + (′ ())2 |
|||||||
Пример 4.26. Найти длину графика = 2 |
между = 0 и = 3. |
||||||
Решение. Построим график указанной функции (рисунок 4.10 ).
y = 2 |
√x 3 |
|
Рисунок 4.10
По формуле (4.33) находим: |
|||||||||||||||||||
= ∫ 3 |
= ∫ 3 √ |
= ∫ 3 √ |
|||||||||||||||||
1 + (2 1 )2 |
|||||||||||||||||||
1 + (′ ())2 |
|||||||||||||||||||
(+ 1)2 |
3 (+ 1)2 0 = 3 (8 − 1) = 3 . |
||||||||||||||||||
У этого термина существуют и другие значения, см. Трапеция (значения). Трапеция (от др. греч. τραπέζιον «столик»; … Википедия
I Площадь одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины. Вычисление П.… …
Методы получения численных решений различных задач путём графических построений. Г. в. (графическое умножение, графическое решение уравнений, графическое интегрирование и т. д.) представляют систему построений, повторяющих или заменяющих… … Большая советская энциклопедия
Площадь, одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины. Вычисление П. было уже в древности… … Большая советская энциклопедия
Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по области D, ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в … Википедия
Готовые работы
ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ
Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ
Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге
МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге
ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ
После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.