Scăderea infinită a progresiei geometrice a sarcinii. Suma unei progresii geometrice infinite la
Progresie geometrică nu mai puțin important în matematică în comparație cu aritmetică. O progresie geometrică este o succesiune de numere b1, b2,..., b[n], al căror termen următor se obține prin înmulțirea celui precedent cu un număr constant. Acest număr, care caracterizează și rata de creștere sau scădere a progresiei, se numește numitor progresie geometrică si denota
Pentru a specifica complet o progresie geometrică, pe lângă numitor, este necesar să se cunoască sau să se determine primul termen al acesteia. Pentru valoare pozitivă progresia numitorului este o succesiune monotonă, iar dacă această succesiune de numere este monoton descrescătoare și dacă este monoton crescătoare. Cazul în care numitorul egal cu unuîn practică nu este luată în considerare, deoarece avem o succesiune de numere identice, iar însumarea lor nu prezintă interes practic
Termen general al progresiei geometrice calculate prin formula
Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice determinat de formula
Să ne uităm la soluțiile problemelor clasice de progresie geometrică. Să începem cu cele mai simple de înțeles.
Exemplul 1. Primul termen al unei progresii geometrice este 27, iar numitorul său este 1/3. Găsiți primii șase termeni ai progresiei geometrice.
Soluție: Să scriem condiția problemei în formular
Pentru calcule folosim formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice
Pe baza acestuia, găsim termenii necunoscuți ai progresiei
După cum puteți vedea, calcularea termenilor unei progresii geometrice nu este dificilă. Progresia în sine va arăta astfel
Exemplul 2. Se dau primii trei termeni ai progresiei geometrice: 6; -12; 24. Aflați numitorul și al șaptelea termen.
Rezolvare: Calculăm numitorul progresiei geomitrice pe baza definiției acesteia
Am obținut o progresie geometrică alternativă al cărei numitor este egal cu -2. Al șaptelea termen se calculează folosind formula
Acest lucru rezolvă problema.
Exemplul 3. O progresie geometrică este dată de doi dintre termenii săi 
. Găsiți al zecelea termen al progresiei.
Soluţie:
Să scriem valorile date folosind formule
Conform regulilor, ar trebui să găsești numitorul și apoi să cauți valoarea dorită, dar pentru al zecelea termen avem
Aceeași formulă poate fi obținută pe baza unor manipulări simple cu datele de intrare. Împărțiți al șaselea termen al seriei cu altul și, ca rezultat, obținem
Dacă valoarea rezultată este înmulțită cu al șaselea termen, obținem al zecelea
Astfel, pentru astfel de sarcini, folosind transformări simple la cale rapidă poti gasi solutia potrivita.
Exemplul 4. Progresia geometrică este dată de formule recurente
Aflați numitorul progresiei geometrice și suma primilor șase termeni.
Soluţie:
Să scriem datele date sub forma unui sistem de ecuații
Exprimați numitorul împărțind a doua ecuație la prima
Să găsim primul termen al progresiei din prima ecuație
Să calculăm următorii cinci termeni pentru a găsi suma progresiei geometrice
SECVENȚE NUMERICE VI
§ l48. Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare
Până acum, când vorbim despre sume, am presupus întotdeauna că numărul de termeni din aceste sume este finit (de exemplu, 2, 15, 1000 etc.). Dar la rezolvarea unor probleme (mai ales matematică superioară) trebuie să se ocupe de sumele unui număr infinit de termeni
S= A 1 + A 2 + ... + A n + ... . (1)
Care sunt aceste sume? A-prioriu suma unui număr infinit de termeni A 1 , A 2 , ..., A n , ... se numește limita sumei S n primul P numere când P -> ∞ :
S=S n = (A 1 + A 2 + ... + A n ). (2)
Limita (2), desigur, poate exista sau nu. În consecință, ei spun că suma (1) există sau nu există.
Cum putem afla dacă suma (1) există în fiecare caz specific? Soluția generală la această problemă depășește cu mult domeniul de aplicare al programului nostru. Cu toate acestea, există unul important caz special, pe care acum trebuie să luăm în considerare. Vom vorbi despre însumarea termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.
Lăsa A 1 , A 1 q , A 1 q 2, ... este o progresie geometrică infinit descrescătoare. Aceasta înseamnă că | q |< 1. Сумма первых P termenii acestei progresii sunt egali
Din principalele teoreme despre limite variabile(vezi § 136) obținem:
Dar 1 = 1, a qn = 0. Prin urmare
Deci, suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este egală cu primul termen al acestei progresii împărțit la unu minus numitorul acestei progresii.
1) Suma progresiei geometrice 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... este egală cu
iar suma progresiei geometrice este 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... egal
2) Transformați o fracție periodică simplă 0,454545 ... într-una obișnuită.
Pentru a rezolva această problemă, imaginați-vă această fracție ca o sumă infinită:
Partea dreaptă a acestei egalități este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, al cărei prim termen este egal cu 45/100, iar numitorul este 1/100. De aceea
Folosind metoda descrisă, se poate obține și regula generala conversia fracțiilor periodice simple în fracții obișnuite (vezi Capitolul II, § 38):
Pentru a converti o fracție periodică simplă într-o fracție obișnuită, trebuie să faceți următoarele: puneți perioada la numărător zecimal, iar numitorul este un număr format din nouă luate de atâtea ori câte cifre sunt în perioada fracției zecimale.
3) Convertiți fracția periodică mixtă 0,58333 .... într-o fracție obișnuită.
Să ne imaginăm această fracție ca o sumă infinită:
În partea dreaptă a acestei egalități, toți termenii, începând de la 3/1000, formează o progresie geometrică infinit descrescătoare, al cărei prim termen este egal cu 3/1000, iar numitorul este 1/10. De aceea
Folosind metoda descrisă, se poate obține o regulă generală pentru transformarea fracțiilor periodice mixte în fracții obișnuite (vezi Capitolul II, § 38). În mod deliberat, nu o prezentăm aici. Nu este nevoie să ne amintim această regulă greoaie. Este mult mai util de știut că orice fracție periodică mixtă poate fi reprezentată ca suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare și a unui anumit număr. Și formula
pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, trebuie, desigur, să vă amintiți.
Ca exercițiu, vă sugerăm ca, pe lângă problemele nr. 995-1000 prezentate mai jos, să apelați din nou la problema nr. 301 § 38.
Exerciții
995. Ce se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare?
996. Aflați sumele progresiilor geometrice infinit descrescătoare:
997. La ce valori X progresie
scade la infinit? Găsiți suma unei astfel de progresii.
998. Într-un triunghi echilateral cu latura A un nou triunghi este înscris prin conectarea punctelor medii ale laturilor sale; un nou triunghi este înscris în acest triunghi în același mod și așa mai departe la infinit.
a) suma perimetrelor tuturor acestor triunghiuri;
b) suma suprafețelor acestora.
999. Patrat cu latura A un pătrat nou este înscris prin conectarea punctelor medii ale laturilor sale; un pătrat este înscris în acest pătrat în același mod și așa mai departe la infinit. Aflați suma perimetrelor tuturor acestor pătrate și suma ariilor lor.
1000. Compuneți o progresie geometrică infinit descrescătoare, astfel încât suma ei să fie egală cu 25/4, iar suma pătratelor termenilor săi să fie egală cu 625/24.
Progresia geometrică, împreună cu progresia aritmetică, este o serie de numere importantă care este studiată la cursul școlar de algebră din clasa a IX-a. În acest articol vom analiza numitorul unei progresii geometrice și modul în care valoarea acesteia îi afectează proprietățile.
Definiţia geometric progression
Mai întâi, să dăm definiția acestei serii de numere. O progresie geometrică este o serie de numere raționale care se formează prin înmulțirea secvențială a primului său element cu un număr constant numit numitor.
De exemplu, numerele din seria 3, 6, 12, 24, ... sunt o progresie geometrică, deoarece dacă înmulțiți 3 (primul element) cu 2, obțineți 6. Dacă înmulțiți 6 cu 2, obțineți 12 și așa mai departe.
Membrii secvenței luate în considerare sunt de obicei notați cu simbolul ai, unde i este un număr întreg care indică numărul elementului din serie.
Definiția de mai sus a progresiei poate fi scrisă în limbaj matematic după cum urmează: an = bn-1 * a1, unde b este numitorul. Este ușor să verificăm această formulă: dacă n = 1, atunci b1-1 = 1 și obținem a1 = a1. Dacă n = 2, atunci an = b * a1, și ajungem din nou la definiția seriei de numere în cauză. Raționament similar poate fi continuat pentru valori mari ale lui n.
Numitorul progresiei geometrice
Numărul b determină complet ce caracter va avea întreaga serie de numere. Numitorul b poate fi pozitiv, negativ sau mai mare sau mai mic decât unu. Toate opțiunile de mai sus conduc la secvențe diferite:
- b > 1. Există o serie crescândă de numere raţionale. De exemplu, 1, 2, 4, 8, ... Dacă elementul a1 este negativ, atunci întreaga secvență va crește doar în valoare absolută, dar va scădea în funcție de semnul numerelor.
- b = 1. Adesea acest caz nu se numește progresie, deoarece apare rând obișnuit numere raționale identice. De exemplu, -4, -4, -4.
Formula pentru cantitate
Înainte de a trece la examinarea problemelor specifice folosind numitorul tipului de progresie luat în considerare, este necesar să se dea formula importanta pentru suma primelor sale n elemente. Formula arată astfel: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Puteți obține această expresie singur dacă luați în considerare succesiunea recursivă a termenilor de progresie. De asemenea, rețineți că în formula de mai sus este suficient să cunoașteți doar primul element și numitorul pentru a găsi suma unui număr arbitrar de termeni.
Secvență infinit descrescătoare
S-a dat mai sus o explicație despre ce este. Acum, cunoscând formula pentru Sn, să o aplicăm acestei serii de numere. Deoarece orice număr al cărui modul nu depășește 1 tinde spre zero atunci când este ridicat la puteri mari, adică b∞ => 0 dacă -1
Deoarece diferența (1 - b) va fi întotdeauna pozitivă, indiferent de valoarea numitorului, semnul sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare S∞ este determinat în mod unic de semnul primului său element a1.
Acum să ne uităm la câteva probleme în care vom arăta cum să aplicăm cunoștințele dobândite pe anumite numere.
Problema nr. 1. Calculul elementelor necunoscute de progresie și sumă
Având în vedere o progresie geometrică, numitorul progresiei este 2, iar primul său element este 3. Cu ce vor fi egali al 7-lea și al 10-lea termen și care este suma celor șapte elemente inițiale?
Starea problemei este destul de simplă și implică utilizarea directă a formulelor de mai sus. Deci, pentru a calcula numărul elementului n, folosim expresia an = bn-1 * a1. Pentru al 7-lea element avem: a7 = b6 * a1, înlocuind datele cunoscute, obținem: a7 = 26 * 3 = 192. Procedăm la fel și pentru al 10-lea termen: a10 = 29 * 3 = 1536.
Să folosim formula binecunoscută pentru sumă și să determinăm această valoare pentru primele 7 elemente ale seriei. Avem: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Problema nr. 2. Determinarea sumei elementelor arbitrare ale unei progresii
Fie -2 egal cu numitorul progresiei geometrice bn-1 * 4, unde n este un număr întreg. Este necesar să se determine suma de la al 5-lea la al 10-lea element din această serie, inclusiv.
Problema pusă nu poate fi rezolvată direct folosind formule cunoscute. Se poate rezolva in 2 moduri diverse metode. Pentru caracterul complet al prezentării subiectului, le prezentăm pe ambele.
Metoda 1. Ideea este simplă: trebuie să calculați cele două sume corespunzătoare ale primilor termeni, apoi să scădeți pe celălalt din unul. Calculăm suma mai mică: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Acum hai să calculăm o mare cantitate: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Rețineți că în ultima expresie au fost însumați doar 4 termeni, deoarece al 5-lea este deja inclus în suma care trebuie calculată în funcție de condițiile problemei. În cele din urmă, luăm diferența: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Înainte de a înlocui numere și de a număra, puteți obține o formulă pentru suma dintre m și n termeni ai seriei în cauză. Procedăm exact la fel ca în metoda 1, doar că lucrăm mai întâi cu reprezentarea simbolică a sumei. Avem: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puteți înlocui numere cunoscute în expresia rezultată și puteți calcula rezultatul final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Problema nr. 3. Care este numitorul?
Fie a1 = 2, găsiți numitorul progresiei geometrice, cu condiția ca suma sa infinită să fie 3 și se știe că aceasta este o serie descrescătoare de numere.
Pe baza condițiilor problemei, nu este greu de ghicit ce formulă ar trebui utilizată pentru a o rezolva. Desigur, pentru suma progresiei în scădere infinit. Avem: S∞ = a1 / (1 - b). De unde exprimăm numitorul: b = 1 - a1 / S∞. Tot ce rămâne este să înlocuim valori cunoscuteși obțineți numărul necesar: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 sau -0,333(3). Putem verifica calitativ acest rezultat dacă ne amintim că pentru acest tip de secvență modulul b nu trebuie să depășească 1. După cum se vede, |-1 / 3|
Sarcina nr. 4. Restaurarea unei serii de numere
Să fie date 2 elemente dintr-o serie de numere, de exemplu, al 5-lea este egal cu 30 și al 10-lea este egal cu 60. Este necesară reconstrucția întregii serie din aceste date, știind că satisface proprietățile unei progresii geometrice.
Pentru a rezolva problema, trebuie mai întâi să scrieți expresia corespunzătoare pentru fiecare termen cunoscut. Avem: a5 = b4 * a1 și a10 = b9 * a1. Acum împărțiți a doua expresie la prima, obținem: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. De aici determinăm numitorul luând rădăcina a cincea a raportului termenilor cunoscuți din enunțul problemei, b = 1,148698. Înlocuim numărul rezultat într-una dintre expresiile pentru elementul cunoscut, obținem: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Astfel, am găsit numitorul progresiei bn, iar progresia geometrică bn-1 * 17,2304966 = an, unde b = 1,148698.
Unde se folosesc progresiile geometrice?
Dacă nu ar exista o aplicare practică a acestei serii de numere, atunci studiul ei s-ar reduce la un interes pur teoretic. Dar o astfel de aplicație există.
Mai jos sunt cele mai cunoscute 3 exemple:
- Paradoxul lui Zenon, în care agilul Ahile nu poate ajunge din urmă cu broasca țestoasă lentă, este rezolvat folosind conceptul de succesiune de numere infinit descrescătoare.
- Dacă puneți boabe de grâu pe fiecare pătrat al tablei de șah astfel încât pe primul pătrat să puneți 1 bob, pe al 2-lea - 2, pe al 3-lea - 3 și așa mai departe, atunci pentru a umple toate pătratele tablei veți avea nevoie 18446744073709551615 boabe!
- În jocul „Tower of Hanoi”, pentru a muta discurile de la o tijă la alta, este necesar să efectuați 2n - 1 operații, adică numărul lor crește exponențial cu numărul n de discuri utilizate.
Scopul lecției: introducerea elevilor într-un nou tip de succesiune - o progresie geometrică infinit descrescătoare.
Sarcini:
formularea unei idei inițiale a limitei unei secvențe numerice;
cunoașterea unui alt mod de a converti fracții periodice infinite în fracții obișnuite folosind formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare;
dezvoltarea calităților intelectuale ale personalității școlarilor precum gandire logica, capacitate de acțiuni evaluative, generalizare;
stimularea activității, asistența reciprocă, colectivismul și interesul pentru subiect.
Descarca:
Previzualizare:
Lecție pe tema „Progresie geometrică infinit descrescătoare” (algebră, clasa a X-a)
Scopul lecției: introducerea elevilor într-un nou tip de succesiune – o progresie geometrică infinit descrescătoare.
Sarcini:
formularea unei idei inițiale a limitei unei secvențe numerice; cunoașterea unui alt mod de a converti fracții periodice infinite în fracții obișnuite folosind formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare;
dezvoltarea calităților intelectuale ale personalității școlarilor, cum ar fi gândirea logică, capacitatea de a face acțiuni evaluative și generalizarea;
stimularea activității, asistența reciprocă, colectivismul și interesul pentru subiect.
Echipament: clasa de calculatoare, proiector, ecran.
Tip de lecție: lecție - învățarea unui subiect nou.
În timpul orelor
I. Org. moment. Prezentați subiectul și scopul lecției.
II. Actualizarea cunoștințelor elevilor.
În clasa a IX-a ai studiat progresiile aritmetice și geometrice.
Întrebări
1. Definiție progresie aritmetică.
(O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru
Începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior adăugat la același număr).
2. Formula n al treilea termen al unei progresii aritmetice
3. Formula pentru suma primei n termenii unei progresii aritmetice.
(sau)
4. Definirea progresiei geometrice.
(O progresie geometrică este o succesiune de numere diferite de zero
Fiecare termen al căruia, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu
Acelasi numar).
5. Formula n al treilea termen al progresiei geometrice
6. Formula pentru suma primei n membrii unei progresii geometrice.
7. Ce alte formule mai cunoașteți?
(, Unde ; ;
; , )
Sarcini
1. Progresia aritmetică este dată de formula a n = 7 – 4n . Găsiți un 10. (-33)
2. În progresie aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți un 4. (4)
3. În progresie aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți un 17. (-35)
4. În progresie aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1 . Găsiți S 17. (-187)
5. Pentru progresie geometricăgăsiți al cincilea termen.
6. Pentru progresie geometrică găsiți al n-lea termen.
7. Exponenţial b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți b 4 . (4)
8. Exponenţial b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți b 1 și q.
9. Exponenţial b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți S5. (62)
III. Învățarea unui subiect nou(demonstrație de prezentare).
Să considerăm un pătrat cu latura egală cu 1. Să desenăm un alt pătrat a cărui latură este jumătate din dimensiunea primului pătrat, apoi altul a cărui latură este jumătate din a doua, apoi următorul etc. De fiecare dată când latura noului pătrat este egală cu jumătate din cea precedentă.
Ca rezultat, am primit o succesiune de laturi ale pătratelorformând o progresie geometrică cu numitorul.
Și, ceea ce este foarte important, cu cât construim mai multe astfel de pătrate, cu atât latura pătratului va fi mai mică. De exemplu ,
Acestea. Pe măsură ce numărul n crește, termenii progresiei se apropie de zero.
Folosind această figură, puteți lua în considerare o altă secvență.
De exemplu, succesiunea ariilor pătratelor:
Și, din nou, dacă n crește la nesfârșit, apoi zona se apropie de zero cât de aproape doriți.
Să ne uităm la un alt exemplu. Un triunghi echilateral cu laturile egale cu 1 cm. Să construim următorul triunghi cu vârfurile în mijlocul laturilor primului triunghi, conform teoremei despre linia mediană a triunghiului - latura celui de-al doilea este egală cu jumătatea laturii primului, latura celui de-al treilea este egal cu jumătate din latura celui de-al 2-lea etc. Din nou obținem o succesiune de lungimi ale laturilor triunghiurilor.
La .
Dacă luăm în considerare o progresie geometrică cu numitor negativ.
Apoi, din nou, cu un număr tot mai mare n termenii progresiei se apropie de zero.
Să fim atenți la numitorii acestor secvențe. Peste tot numitorii erau mai mici de 1 în valoare absolută.
Putem concluziona: o progresie geometrică va fi infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de 1.
Lucru frontal.
Definiție:
Se spune că o progresie geometrică este infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de unu..
Folosind definiția, puteți decide dacă o progresie geometrică este în scădere infinit sau nu.
Sarcină
Este succesiunea o progresie geometrică infinit descrescătoare dacă este dată de formula:
Soluţie:
Să găsim q.
; ; ; .
această progresie geometrică este în scădere infinită.
b) această succesiune nu este o progresie geometrică infinit descrescătoare.
Să considerăm un pătrat cu latura egală cu 1. Împărțiți-l în jumătate, una dintre jumătăți în jumătate etc. Aricele tuturor dreptunghiurilor rezultate formează o progresie geometrică infinit descrescătoare:
Suma ariilor tuturor dreptunghiurilor obținute în acest fel va fi egală cu aria primului pătrat și egală cu 1.
Dar în partea stângă a acestei egalități se află suma unui număr infinit de termeni.
Să considerăm suma primilor n termeni.
Conform formulei pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice, este egal cu.
Dacă n crește fără limită, atunci
sau . Prin urmare, i.e. .
Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoareexistă o limită de secvență S 1, S 2, S 3, …, S n, ….
De exemplu, pentru progresie,
avem
Deoarece
Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoarepoate fi găsit folosind formula.
III. Înțelegerea și consolidarea(finalizarea sarcinilor).
№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Rezumând.
Cu ce secvență v-ați familiarizat astăzi?
Definiți o progresie geometrică infinit descrescătoare.
Cum se demonstrează că o progresie geometrică este în scădere infinită?
Dați formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare.
V. Tema pentru acasă.
2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Previzualizare:
Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com
Subtitrări din diapozitive:
Toată lumea ar trebui să fie capabilă să gândească în mod consecvent, să judece cu dovezi și să respingă concluziile incorecte: un fizician și un poet, un tractorist și un chimist. E. Kolman În matematică, ar trebui să ne amintim nu formulele, ci procesele gândirii. V.P Ermakov Este mai ușor să găsești la pătratul unui cerc decât să depășești un matematician. Augustus de Morgan Ce știință ar putea fi mai nobilă, mai admirabilă, mai utilă umanității decât matematica? Franklin
Scăderea infinită a progresiei geometrice nota 10
eu. Progresii aritmetice și geometrice. Întrebări 1. Definiția progresiei aritmetice. O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior adăugat aceluiași număr. 2. Formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. 3. Formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. 4. Definirea progresiei geometrice. O progresie geometrică este o succesiune de numere nenule, fiecare termen al cărora, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr 5. Formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice. 6. Formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice.
II. Progresie aritmetică. Sarcini O progresie aritmetică este dată de formula a n = 7 – 4 n Aflați a 10 . (-33) 2. În progresia aritmetică, a 3 = 7 și a 5 = 1. Găsiți un 4. (4) 3. În progresia aritmetică a 3 = 7 și a 5 = 1. Găsiți un 17. (-35) 4. În progresia aritmetică, a 3 = 7 și a 5 = 1. Găsiți S 17. (-187)
II. Progresie geometrică. Sarcini 5. Pentru o progresie geometrică, găsiți al cincilea termen 6. Pentru o progresie geometrică, găsiți al n-lea termen. 7. În progresie geometrică b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți b 4 . (4) 8. În progresie geometrică b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți b 1 și q. 9. În progresie geometrică b 3 = 8 și b 5 = 2. Găsiți S5. (62)
definiție: O progresie geometrică se numește infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de unu.
Problema nr. 1 Este succesiunea o progresie geometrică infinit descrescătoare dacă este dată de formula: Rezolvare: a) această progresie geometrică este infinit descrescătoare. b) această succesiune nu este o progresie geometrică infinit descrescătoare.
Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este limita șirului S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... De exemplu, pentru progresia pe care o avem Deoarece suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare poate fi găsită folosind formula
Finalizarea sarcinilor Aflați suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu primul termen 3, al doilea 0,3. 2. Nr. 13; nr. 14; manual, p. 138 3. Nr. 15(1;3); nr.16(1;3) nr.18(1;3); 4. Nr. 19; nr. 20.
Cu ce secvență v-ați familiarizat astăzi? Definiți o progresie geometrică infinit descrescătoare. Cum se demonstrează că o progresie geometrică este în scădere infinită? Dați formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Întrebări
Celebrul matematician polonez Hugo Steinhaus susține în glumă că există o lege care este formulată astfel: un matematician o va face mai bine. Și anume, dacă încredințezi două persoane, dintre care unul este matematician, să execute orice muncă necunoscută pentru ei, atunci rezultatul va fi întotdeauna următorul: matematicianul o va face mai bine. Hugo Steinhaus 14.01.1887-25.02.1972
Lecție și prezentare pe tema: „Secvențe de numere. Progresie geometrică”
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a 9-a
Puteri și rădăcini Funcții și grafice
Băieți, astăzi ne vom familiariza cu un alt tip de progresie.
Tema lecției de astăzi este progresia geometrică.
Progresie geometrică
Definiție. O succesiune numerică în care fiecare membru, începând cu al doilea, egal cu produsul numărul anterior și un număr fix se numește progresie geometrică.Să definim secvența noastră recursiv: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
unde b și q sunt anumite numere date. Numărul q se numește numitorul progresiei.
Exemplu. 1,2,4,8,16... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu unu și $q=2$.
Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu opt,
și $q=1$.
Exemplu. 3,-3,3,-3,3... Progresie geometrică în care primul termen este egal cu trei,
și $q=-1$.
Progresia geometrică are proprietățile monotoniei.
Dacă $b_(1)>0$, $q>1$,
atunci secvența crește.
Dacă $b_(1)>0$, $0 Secvența se notează de obicei sub forma: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
La fel ca într-o progresie aritmetică, dacă într-o progresie geometrică numărul de elemente este finit, atunci progresia se numește progresie geometrică finită.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Rețineți că, dacă o secvență este o progresie geometrică, atunci șirul de pătrate de termeni este, de asemenea, o progresie geometrică. În a doua secvență, primul termen este egal cu $b_(1)^2$, iar numitorul este egal cu $q^2$.
Formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice
Progresia geometrică poate fi specificată și sub formă analitică. Să vedem cum să facem asta:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Observăm cu ușurință modelul: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formula noastră se numește „formula celui de-al n-lea termen al unei progresii geometrice”.
Să revenim la exemplele noastre.
Exemplu. 1,2,4,8,16... Progresie geometrică în care primul termen este egal cu unu,
și $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Exemplu. 16,8,4,2,1,1/2... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu șaisprezece și $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu opt și $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Exemplu. 3,-3,3,-3,3... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu trei și $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Exemplu. Este dată progresia geometrică $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Se știe că $b_(1)=6, q=3$. Găsiți $b_(5)$.
b) Se știe că $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Găsiți n.
c) Se știe că $q=-2, b_(6)=96$. Găsiți $b_(1)$.
d) Se știe că $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Găsiți q.
Soluţie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, deoarece $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Exemplu. Diferența dintre termenii al șaptelea și al cincilea al progresiei geometrice este 192, suma celor cinci și al șaselea termeni ale progresiei este 192. Aflați al zecelea termen al acestei progresii.
Soluţie.
Știm că: $b_(7)-b_(5)=192$ și $b_(5)+b_(6)=192$.
Mai știm: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Apoi:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Am primit un sistem de ecuații:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Echivalând ecuațiile noastre obținem:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Avem două soluții q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Înlocuiți secvențial în a doua ecuație:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nicio soluție.
Am obținut că: $b_(1)=4, q=2$.
Să găsim al zecelea termen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Suma unei progresii geometrice finite
Să avem o progresie geometrică finită. Să calculăm, la fel ca pentru o progresie aritmetică, suma termenilor săi.Să fie dată o progresie geometrică finită: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Să introducem denumirea pentru suma termenilor săi: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
În cazul în care $q=1$. Toți termenii progresiei geometrice sunt egali cu primul termen, atunci este evident că $S_(n)=n*b_(1)$.
Să luăm acum în considerare cazul $q≠1$.
Să înmulțim suma de mai sus cu q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Notă:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Am obținut formula pentru suma unei progresii geometrice finite.
Exemplu.
Aflați suma primilor șapte termeni ai unei progresii geometrice al cărei prim termen este 4 și numitorul este 3.
Soluţie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Exemplu.
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice care este cunoscut: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Soluţie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$ q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Proprietatea caracteristică a progresiei geometrice
Băieți, se dă o progresie geometrică. Să ne uităm la cei trei membri consecutivi ai săi: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Noi stim aia:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Apoi:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Dacă progresia este finită, atunci această egalitate este valabilă pentru toți termenii, cu excepția primului și ultimului.
Dacă nu se știe dinainte ce formă are șirul, dar se știe că: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Apoi putem spune cu siguranță că aceasta este o progresie geometrică.
O succesiune de numere este o progresie geometrică numai atunci când pătratul fiecărui membru este egal cu produsul celor două elemente adiacente ale progresiei. Nu uitați că pentru o progresie finită această condiție nu este îndeplinită pentru primul și ultimul termen.
Să ne uităm la această identitate: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ se numește media geometrică a numerelor a și b.
Modulul oricărui termen al unei progresii geometrice este egal cu media geometrică a celor doi termeni vecini ai săi.
Exemplu.
Găsiți x astfel încât $x+2; 2x+2; 3x+3$ au fost trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
Soluţie.
Să folosim proprietatea caracteristică:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ și $x_(2)=-1$.
Să substituim succesiv soluțiile noastre în expresia originală:
Cu $x=2$ am obtinut sirul: 4;6;9 – o progresie geometrica cu $q=1.5$.
Pentru $x=-1$, obținem succesiunea: 1;0;0.
Răspuns: $x=2.$
Probleme de rezolvat independent
1. Aflați al optulea prim termen al progresiei geometrice 16;-8;4;-2….2. Aflați al zecelea termen al progresiei geometrice 11,22,44….
3. Se știe că $b_(1)=5, q=3$. Găsiți $b_(7)$.
4. Se știe că $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Găsiți n.
5. Aflați suma primilor 11 termeni ai progresiei geometrice 3;12;48….
6. Găsiți x astfel încât $3x+4; 2x+4; x+5$ sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
