Formula pentru volumul unei prisme. Volumul și aria suprafeței unei prisme patruunghiulare obișnuite
În programa școlară pentru un curs de stereometrie, studiul figurilor tridimensionale începe de obicei cu un corp geometric simplu - poliedrul unei prisme. Rolul bazelor sale este îndeplinit de 2 poligoane egale situate în planuri paralele. Un caz special este o prismă patruunghiulară obișnuită. Bazele sale sunt 2 patrulatere regulate identice, față de care laturile sunt perpendiculare, având formă de paralelograme (sau dreptunghiuri, dacă prisma nu este înclinată).
Cum arată o prismă?
O prismă patruunghiulară obișnuită este un hexagon, ale cărui baze sunt 2 pătrate, iar fețele laterale sunt reprezentate prin dreptunghiuri. Un alt nume pentru asta figură geometrică- paralelipiped drept.
Mai jos este prezentat un desen care prezintă o prismă pătrangulară.
Se vede si in poza elemente esentiale, din care constă corp geometric . Acestea includ:
Uneori, în problemele de geometrie, puteți întâlni conceptul de secțiune. Definiția va suna astfel: o secțiune reprezintă toate punctele unui corp volumetric aparținând unui plan de tăiere. Secțiunea poate fi perpendiculară (intersectează marginile figurii la un unghi de 90 de grade). Pentru o prismă dreptunghiulară se ia în considerare și o secțiune diagonală (numărul maxim de secțiuni care pot fi construite este de 2), trecând prin 2 muchii și diagonalele bazei.
Dacă secțiunea este desenată în așa fel încât planul de tăiere să nu fie paralel nici cu bazele, nici cu fețele laterale, rezultatul este o prismă trunchiată.
Pentru găsirea elementelor prismatice reduse se folosesc diverse relații și formule. Unele dintre ele sunt cunoscute din cursul planimetriei (de exemplu, pentru a găsi aria bazei unei prisme, este suficient să amintim formula pentru aria unui pătrat).
Suprafața și volumul
Pentru a determina volumul unei prisme folosind formula, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea acesteia:
V = Sbas h
Deoarece baza unei prisme tetraedrice obișnuite este un pătrat cu latura A, Puteți scrie formula într-o formă mai detaliată:
V = a²·h
Dacă vorbim despre un cub - o prismă obișnuită cu lungime, lățime și înălțime egale, volumul se calculează după cum urmează:
Pentru a înțelege cum să găsiți suprafața laterală a unei prisme, trebuie să vă imaginați dezvoltarea acesteia.
Din desen se poate observa ca suprafata laterala este formata din 4 dreptunghiuri egale. Aria sa este calculată ca produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea figurii:
Sside = Posn h
Ținând cont că perimetrul pătratului este egal cu P = 4a, formula ia forma:
Sside = 4a h
Pentru cub:
Sside = 4a²
Pentru a calcula suprafața totală a prismei, trebuie să adăugați 2 zone de bază în zona laterală:
Full = Sside + 2Smain
În raport cu o prismă regulată patruunghiulară, formula arată astfel:
Stotal = 4a h + 2a²
Pentru suprafața unui cub:
Plin = 6a²
Cunoscând volumul sau suprafața, puteți calcula elementele individuale ale unui corp geometric.
Găsirea elementelor prisme
Adesea apar probleme in care se da volumul sau se cunoaste valoarea suprafetei laterale, unde este necesar sa se determine lungimea laturii bazei sau inaltimea. În astfel de cazuri, formulele pot fi derivate:
- lungimea laturii de baza: a = Sside / 4h = √(V / h);
- înălțimea sau lungimea coastei laterale: h = Latura / 4a = V / a²;
- suprafata de baza: Sbas = V/h;
- zona feței laterale: Latură gr = Sside / 4.
Pentru a determina câtă zonă are secțiunea diagonală, trebuie să cunoașteți lungimea diagonalei și înălțimea figurii. Pentru un pătrat d = a√2. Prin urmare:
Sdiag = ah√2
Pentru a calcula diagonala unei prisme, utilizați formula:
dprize = √(2a² + h²)
Pentru a înțelege cum să aplicați relațiile date, puteți exersa și rezolva mai multe sarcini simple.
Exemple de probleme cu soluții
Iată câteva sarcini găsite la examenele finale de stat la matematică.
Exercitiul 1.
Nisipul este turnat într-o cutie în formă de prismă patruunghiulară obișnuită. Înălțimea nivelului său este de 10 cm Care va fi nivelul nisipului dacă îl mutați într-un recipient de aceeași formă, dar cu o bază de două ori mai lungă?
Ar trebui motivat după cum urmează. Cantitatea de nisip din primul și al doilea container nu s-a schimbat, adică volumul său în ele este același. Puteți nota lungimea bazei cu A. În acest caz, pentru prima casetă volumul substanței va fi:
V₁ = ha² = 10a²
Pentru a doua cutie, lungimea bazei este 2a, dar înălțimea nivelului nisipului este necunoscută:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Deoarece V₁ = V2, putem echivala expresiile:
10a² = 4ha²
După reducerea ambelor părți ale ecuației cu a², obținem:
Ca urmare nou nivel nisipul va fi h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Sarcina 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ este o prismă corectă. Se știe că BD = AB₁ = 6√2. Găsiți suprafața totală a corpului.
Pentru a înțelege mai ușor ce elemente sunt cunoscute, puteți desena o figură.
Întrucât vorbim despre o prismă regulată, putem concluziona că la bază există un pătrat cu diagonala de 6√2. Diagonala feței laterale are aceeași dimensiune, prin urmare, fața laterală are și forma unui pătrat egal cu baza. Se dovedește că toate cele trei dimensiuni - lungime, lățime și înălțime - sunt egale. Putem concluziona că ABCDA₁B₁C₁D₁ este un cub.
Lungimea oricărei muchii este determinată printr-o diagonală cunoscută:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Suprafața totală este găsită folosind formula pentru un cub:
Sfull = 6a² = 6 6² = 216
Sarcina 3.
Camera este in renovare. Se știe că podeaua are forma unui pătrat cu o suprafață de 9 m². Înălțimea camerei este de 2,5 m Care este cel mai mic cost al tapetării unei camere dacă 1 m² costă 50 de ruble?
Deoarece podeaua și tavanul sunt pătrate, adică patrulatere regulate, iar pereții săi sunt perpendiculari pe suprafețele orizontale, putem concluziona că este o prismă regulată. Este necesar să se determine aria suprafeței sale laterale.
Lungimea camerei este a = √9 = 3 m.
Zona va fi acoperită cu tapet Latura = 4 3 2,5 = 30 m².
Cel mai mic cost al tapetului pentru această cameră va fi 50·30 = 1500 ruble
Astfel, pentru a rezolva probleme care implică o prismă dreptunghiulară, este suficient să poți calcula aria și perimetrul unui pătrat și dreptunghi, precum și să cunoști formulele de aflare a volumului și a suprafeței.
Cum să găsiți aria unui cub
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informatii, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, în proceduri judiciare și/sau în baza unor anchete publice sau solicitări de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de sănătate publică. cazuri importante.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Scolarii care se pregătesc să susțină examenul de stat unificat la matematică ar trebui să învețe cu siguranță cum să rezolve problemele privind găsirea zonei unei prisme drepte și regulate. Mulți ani de practică confirmă faptul că mulți studenți consideră că astfel de sarcini de geometrie sunt destul de dificile.
În același timp, elevii de liceu cu orice nivel de pregătire ar trebui să poată găsi aria și volumul unei prisme obișnuite și drepte. Numai în acest caz ei vor putea conta pe primirea punctajelor competitive pe baza rezultatelor promovării examenului de stat unificat.
Puncte cheie de reținut
- Dacă marginile laterale ale unei prisme sunt perpendiculare pe bază, se numește linie dreaptă. Toate fețele laterale ale acestei figuri sunt dreptunghiuri. Înălțimea unei prisme drepte coincide cu marginea acesteia.
- O prismă regulată este una ale cărei margini laterale sunt perpendiculare pe baza în care se află poligonul regulat. Fețele laterale ale acestei figuri sunt dreptunghiuri egale. O prismă corectă este întotdeauna dreaptă.
Pregătirea pentru examenul de stat unificat împreună cu Shkolkovo este cheia succesului tău!
Pentru a vă face cursurile mai ușoare și cât mai eficiente posibil, alegeți portalul nostru de matematică. Totul este prezentat aici materialul necesar, care vă va ajuta să vă pregătiți pentru promovarea testului de certificare.
Specialiștii proiectului educațional Shkolkovo propun să treacă de la simplu la complex: mai întâi oferim teorie, formule de bază, teoreme și probleme elementare cu soluții, apoi trecem treptat la sarcini la nivel de expert.
Informațiile de bază sunt sistematizate și prezentate clar în secțiunea „Informații teoretice”. Dacă ați reușit deja să repetați materialul necesar, vă recomandăm să exersați rezolvarea problemelor privind găsirea ariei și volumului unei prisme drepte. Secțiunea „Catalog” prezintă selecție mare exerciții de diferite grade de dificultate.
Încercați să calculați aria unei prisme drepte și regulate sau chiar acum. Analizați orice sarcină. Dacă nu provoacă dificultăți, puteți trece în siguranță la exerciții la nivel de expert. Și dacă apar anumite dificultăți, vă recomandăm să vă pregătiți în mod regulat pentru examenul de stat unificat online, împreună cu portalul matematic Shkolkovo, iar sarcinile pe tema „Prismă dreaptă și regulată” vă vor fi ușoare.
Care este volumul unei prisme și cum se găsește
Volumul unei prisme este produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia.
Cu toate acestea, știm că la baza prismei poate fi un triunghi, un pătrat sau un alt poliedru.
Prin urmare, pentru a găsi volumul unei prisme, trebuie pur și simplu să calculați aria bazei prismei și apoi să înmulțiți această zonă cu înălțimea ei.
Adică, dacă există un triunghi la baza prismei, atunci mai întâi trebuie să găsiți aria triunghiului. Dacă baza prismei este un pătrat sau un alt poligon, atunci mai întâi trebuie să căutați zona pătratului sau a altui poligon.
Trebuie amintit că înălțimea prismei este perpendiculara trasată pe bazele prismei.
Ce este o prismă
Acum să ne amintim definiția unei prisme.
O prismă este un poligon, dintre care două fețe (baze) sunt în planuri paralele, iar toate muchiile situate în afara acestor fețe sunt paralele.
Să-l puneți pur și simplu:
O prismă este orice figură geometrică care are două baze egale și fețe plate.
Numele unei prisme depinde de forma bazei sale. Când baza unei prisme este un triunghi, atunci o astfel de prismă se numește triunghiulară. O prismă poliedrică este o figură geometrică a cărei bază este un poliedru. De asemenea, o prismă este un tip de cilindru.
Ce tipuri de prisme există?
Dacă ne uităm la imaginea de mai sus, vom vedea că prismele sunt drepte, regulate și oblice.
Exercițiu
1. Care prismă se numește corectă?
2. De ce se numește așa?
3. Care este numele unei prisme ale cărei baze sunt poligoane regulate?
4. Care este înălțimea acestei figuri?
5. Cum se numește o prismă ale cărei muchii nu sunt perpendiculare?
6. Definiți o prismă triunghiulară.
7. Poate o prismă să fie un paralelipiped?
8. Ce figură geometrică se numește poligon semiregulat?
Din ce elemente constă o prismă?
O prismă constă din elemente precum o bază inferioară și superioară, fețe laterale, muchii și vârfuri.
Ambele baze ale prismei se află în planuri și sunt paralele între ele.
Fețele laterale ale piramidei sunt paralelograme.
Suprafața laterală a unei piramide este suma fețelor sale laterale.
Laturile comune ale fețelor laterale nu sunt altceva decât marginile laterale ale unei figuri date.
Înălțimea piramidei este segmentul care leagă planurile bazelor și perpendicular pe acestea.
Proprietățile prismei
O figură geometrică, ca o prismă, are o serie de proprietăți. Să aruncăm o privire mai atentă la aceste proprietăți:
În primul rând, bazele unei prisme sunt poligoane egale;
În al doilea rând, fețele laterale ale unei prisme sunt prezentate sub forma unui paralelogram;
În al treilea rând, această figură geometrică are margini paralele și egale;
În al patrulea rând, aria suprafeței totale a prismei este:
Acum să ne uităm la teorema care oferă formula utilizată pentru a calcula suprafața laterală și demonstrația.
Te-ai gândit vreodată la asta fapt interesant că o prismă poate fi nu numai un corp geometric, ci și alte obiecte din jurul nostru. Chiar și un fulg de nea obișnuit, în funcție de regim de temperatură se poate transforma într-o prismă de gheață, luând forma unei figuri hexagonale.
Dar cristalele de calcit au un fenomen atât de unic, cum ar fi ruperea în fragmente și ia forma unui paralelipiped. Și ceea ce este cel mai uimitor este că, indiferent cât de mici sunt zdrobite cristalele de calcit, rezultatul este întotdeauna același: se transformă în mici paralelipipede.
Se dovedește că prisma a câștigat popularitate nu numai în matematică, demonstrându-și corpul geometric, ci și în domeniul artei, deoarece ea stă la baza picturilor create de artiști atât de mari precum P. Picasso, Braque, Griss și alții.
PRISMA DIRECTA. SUPRAFAȚA ȘI VOLUMUL UNEI PRISME DIRECTE.
§ 68. VOLUMUL UNEI PRISME DIRECTE.
1. Volumul unei prisme triunghiulare drepte.
Să presupunem că trebuie să găsim volumul unei prisme triunghiulare drepte, a cărei aria bazei este egală cu S și înălțimea este egală cu h= AA" = = BB" = SS" (desenul 306).
Să desenăm separat baza prismei, adică triunghiul ABC (Fig. 307, a), și să o construim până la un dreptunghi, pentru care trasăm o dreaptă KM prin vârful B || AC și din punctele A și C coborâm perpendicularele AF și CE pe această dreaptă. Obținem dreptunghiul ACEF. Desenând înălțimea ВD a triunghiului ABC, vedem că dreptunghiul ACEF este împărțit în 4 triunghiuri dreptunghiulare. în plus /\ TOATE = /\ BCD și /\ VAF = /\ RĂU. Aceasta înseamnă că aria dreptunghiului ACEF este dublată mai multă zonă triunghiul ABC, adică egal cu 2S.
La aceasta prisma cu baza ABC vom atasa prisme cu baze ALL si BAF si inaltime h(Figura 307, b). Obținem un paralelipiped dreptunghiular cu bază
ACEF.
Dacă disecăm acest paralelipiped cu un plan care trece prin drepte BD și BB”, vom vedea că paralelipipedul dreptunghiular este format din 4 prisme cu baze.
BCD, ALL, BAD și BAF.
Prismele cu bazele BCD și VSE pot fi combinate, deoarece bazele lor sunt egale ( /\ ВСD = /\ BSE) și marginile lor laterale sunt de asemenea egale, care sunt perpendiculare pe același plan. Aceasta înseamnă că volumele acestor prisme sunt egale. De asemenea, volumele prismelor cu baze BAD și BAF sunt egale.
Astfel, se dovedește că volumul unei prisme triunghiulare date cu o bază
ABC este jumătate din volum paralelipiped dreptunghiular cu baza ACEF.
Știm că volumul unui paralelipiped dreptunghic egal cu produsul zona bazei sale după înălțime, adică în în acest caz, egal cu 2S h. Prin urmare, volumul acestei prisme triunghiulare drepte este egal cu S h.
Volumul unei prisme triunghiulare drepte este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia.
2. Volum direct prismă poligonală.
Pentru a afla volumul unei prisme poligonale drepte, de exemplu una pentagonală, cu aria bazei S și înălțimea h, să-l împărțim în prisme triunghiulare (Fig. 308).
Notând ariile bazei prismelor triunghiulare cu S 1, S 2 și S 3 și volumul unei prisme poligonale date cu V, obținem:
V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, sau
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.
Și în sfârșit: V = S h.
În același mod, se derivă formula pentru volumul unei prisme drepte cu orice poligon la bază.
Mijloace, Volumul oricărei prisme drepte este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia.
Exerciții.
1. Calculați volumul unei prisme drepte cu un paralelogram la bază folosind următoarele date:
2. Calculați volumul unei prisme drepte cu un triunghi la bază folosind următoarele date:
3. Calculați volumul unei prisme drepte având la bază un triunghi echilateral cu latura de 12 cm (32 cm, 40 cm). Inaltimea prismei 60 cm.
4. Calculați volumul unei prisme drepte cu bază triunghi dreptunghic cu picioare de 12 cm și 8 cm (16 cm și 7 cm; 9 m și 6 m). Înălțimea prismei este de 0,3 m.
5. Calculați volumul unei prisme drepte care are la bază un trapez cu laturile paralele de 18 cm și 14 cm și o înălțime de 7,5 cm. Înălțimea prismei este de 40 cm.
6. Calculați volumul sălii dvs. de clasă (sala de educație fizică, camera dvs.).
7. Suprafața totală a cubului este de 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Calculați volumul acestui cub.
8. Lungimea cărămizi de construcție- 25,0 cm, lățimea sa este de 12,0 cm, grosimea sa este de 6,5 cm a) Calculați-i volumul, b) Determinați-i greutatea dacă 1 centimetru cub cărămida cântărește 1,6 g.
9. De câte bucăți de cărămizi de construcție vor fi necesare pentru a construi un solid zid de cărămidă, având forma unui paralelipiped dreptunghiular de 12 m lungime, 0,6 m lățime și 10 m înălțime? (Dimensiunile cărămizii din exercițiul 8.)
10. Lungimea unei plăci tăiate curat este de 4,5 m, lățime - 35 cm, grosime - 6 cm a) Calculați volumul b) Determinați greutatea acesteia dacă un decimetru cub al plăcii cântărește 0,6 kg.
11. Câte tone de fân pot fi stivuite într-o fân acoperită acoperiș în fronton(Desen 309), dacă lungimea fânului este de 12 m, lățimea este de 8 m, înălțimea este de 3,5 m și înălțimea coamei acoperișului este de 1,5 m? ( Gravitație specifică luați fân ca 0,2.)
12. Se cere saparea unui sant de 0,8 km lungime; în secțiune șanțul să aibă forma unui trapez cu baze de 0,9 m și 0,4 m, iar adâncimea șanțului să fie de 0,5 m (desenul 310). Câți metri cubi de pământ vor trebui îndepărtați?
