≡× МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт 
• Дизайн интерьера
• Обо всём
• О сантехнике

Сочетания без повторений. Формулы комбинаторики Сочетание без повторений формула

Перестановка – это комбинация элементов из N разных элементов взятых в определенном порядке. В перестановке важен порядок следования элементов, и в перестановке должны быть задействованы все N элементов.

Задача : Найти все возможные перестановки для последовательности чисел 1, 2, 3.
Существуют следующие перестановки:

1: 1 2 3
2: 1 3 2
3: 2 1 3
4: 2 3 1
5: 3 1 2
6: 3 2 1

Перестановки без повторений

Количество перестановок для N различных элементов составляет N! . Действительно:

• на первое место может быть помещен любой из N элементов (всего вариантов N ),
• на вторую позицию может быть помещен любой из оставшихся (N-1) элементов (итого вариантов N·(N-1) ),
• если продолжить данную последовательность для всех N мест, то получим: N·(N-1)·(N-2)· … ·1 , то есть всего N! перестановок.

Рассмотрим задачу получения всех перестановок чисел 1…N (то есть последовательности длины N ), где каждое из чисел входит ровно по 1 разу. Существует множество вариантов порядка получения перестановок. Однако наиболее часто решается задача генерации перестановок в лексикографическом порядке (см. пример выше). При этом все перестановки сортируются сначала по первому числу, затем по второму и т.д. в порядке возрастания. Таким образом, первой будет перестановка 1 2 … N , а последней — N N-1 … 1 .

Рассмотрим алгоритм решения задачи. Дана исходная последовательность чисел. Для получения каждой следующей перестановки необходимо выполнить следующие шаги:

• Необходимо просмотреть текущую перестановку справа налево и при этом следить за тем, чтобы каждый следующий элемент перестановки (элемент с большим номером) был не более чем предыдущий (элемент с меньшим номером). Как только данное соотношение будет нарушено необходимо остановиться и отметить текущее число (позиция 1).
• Снова просмотреть пройденный путь справа налево пока не дойдем до первого числа, которое больше чем отмеченное на предыдущем шаге.
• Поменять местами два полученных элемента.
• Теперь в части массива, которая размещена справа от позиции 1 надо отсортировать все числа в порядке возрастания. Поскольку до этого они все были уже записаны в порядке убывания необходимо эту часть подпоследовательность просто перевернуть.

Таким образом мы получим новую последовательность, которая будет рассматриваться в качестве исходной на следующем шаге.

Реализация на С++

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45

#include
using namespace std;

{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n - 2;
while (j != -1 && a[j] >= a) j--;
if (j == -1)
return false; // больше перестановок нет
int k = n - 1;
while (a[j] >= a[k]) k--;
swap(a, j, k);
int l = j + 1, r = n - 1;
while (l swap(a, l++, r--);
return true;
}
void Print(int *a, int n) // вывод перестановки
{
static int num = 1; // номер перестановки
cout.width(3);
cout << num++ << ": " ;
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << a[i] << " " ;
cout << endl;
}
int main()
{
int n, *a;
cout << "N = " ;
cin >> n;
a = new int [n];
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] = i + 1;
Print(a, n);
while (NextSet(a, n))
Print(a, n);
cin.get(); cin.get();
return 0;
}

Результат выполнения

Перестановки с повторениями

Особого внимания заслуживает задача генерации перестановок N элементов в случае если элементы последовательности могут повторяться. Допустим, исходная последовательность состоит из элементов n 1 , n 2 ... n k , где элемент n 1 повторяется r 1 раз, n 2 повторяется r 2 раз и т.д. При этом n 1 +n 2 +...+n k =N . Если мы будем считать все n 1 +n 2 +...+n k элементов перестановки с повторениями различными, то всего различных вариантов перестановок (n 1 +n 2 +...+n k)! . Однако среди этих перестановок не все различны. В самом деле, все r 1 элементов n 1 мы можем переставлять местами друг с другом, и от этого перестановка не изменится. Точно так же, можем переставлять элементы n 2 , n 3 и т. д. В итоге имеем r 1 ! вариантов записи одной и той же перестановки с различным расположением повторяющихся элементов n 1 . Таким образом, всякая перестановка может быть записана r 1 !·r 2 !·...·r k ! способами. Следовательно, число различных перестановок с повторениями равно

Для генерации перестановок с повторениями можно использовать алгоритм генерации перестановок без повторений, приведенный выше. Введем повторяющийся элемент в массив a. Ниже приведен код программы для генерации перестановок с повторениями (изменен только код функции main() ).

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46

#include
using namespace std;
void swap(int *a, int i, int j)
{
int s = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = s;
}
bool NextSet(int *a, int n)
{
int j = n - 2;
while (j != -1 && a[j] >= a) j--;
if (j == -1)
return false; // больше перестановок нет
int k = n - 1;
while (a[j] >= a[k]) k--;
swap(a, j, k);
int l = j + 1, r = n - 1; // сортируем оставшуюся часть последовательности
while (l swap(a, l++, r--);
return true;
}
void Print(int *a, int n) // вывод перестановки
{
static int num = 1; // номер перестановки
cout.width(3); // ширина поля вывода номера перестановки
cout << num++ << ": " ;
for (int i = 0; i < n; i++)
cout << a[i] << " " ;
cout << endl;
}
int main()
{
int n, *a;
cout << "N = " ;
cin >> n;
a = new int [n];
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] = i + 1;
a = 1; // повторяющийся элемент
Print(a, n);
while (NextSet(a, n))
Print(a, n);
cin.get(); cin.get();
return 0;
}

Результат работы приведенного выше алгоритма:

Число размещений без повторений из n по k n k различными координатами.

Число размещений без повторений находится по формуле:

Пример: Сколькими способами можно построить 3-значное число с различными цифрами, не содержащее цифры 0?

Количество цифр
, размерность вектора с различными координатами

Число размещений с повторениями

Число размещений с повторениями из n по k – это число способов, сколькими можно из n различных элементов построить векторов с k координатами, среди которых могут быть одинаковые.

Число размещений с повторениями находится по формуле:

.

Пример: Сколько слов длины 6 можно составить из 26 букв латинского алфавита?

Количество букв
, размерность вектора

Число перестановок без повторений

Число перестановок без повторений из n элементов – это число способов, сколькими можно расположить на n различных местах n различных элементов.

Число перестановок без повторений находится по формуле:

.

Замечание: Мощность искомого множества А удобно искать по формуле:
, гдех – число способов выбрать нужные места; у – число способов расположить на них нужные элементы; z – число способов расположить остальные элементы на оставшихся местах.

Пример. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 5 различных книг? В скольких случаях две определенные книги А и В окажутся рядом?

Всего способов расставить 5 книг на 5-ти местах – равно = 5! = 120.

В задаче х – число способов выбрать два места рядом, х = 4; у – число способов расположить две книги на двух местах, у = 2! = 2; z – число способов расположить остальные 3 книги на оставшихся 3-х местах, z = 3! = 6. Значит
= 48.

Число сочетаний без повторений

Число сочетаний без повторений из n по k – это число способов, сколькими можно из n различных элементов выбрать k штук без учета порядка.

Число сочетаний без повторений находится по формуле:

.

Свойства:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
; 5)
; 6)
.

Пример. В урне 7 шаров. Из них 3 белых. Наугад выбирают 3 шара. Сколькими способами это можно сделать? В скольких случаях среди них будет ровно один белый.

Всего способов
. Чтобы получить число способов выбрать 1 белый шар (из 3-х белых) и 2 черных шара (из 4-х черных), надо перемножить
и
Таким образом искомое количество способов

Упражнения

1. Из 35 учащихся класс по итогам года имели “5” по математике – 14 человек; по физике – 15 человек; по химии – 18 человек; по математике и физике – 7 человек; по математике и химии – 9 человек; по физике и химии – 6 человек; по всем трем предметам – 4 человек. Сколько человек имеют “5” по указанным предметам? Сколько человек не имеет “5” по указанным предметам? Имеет “5” только по математике? Имеет “5” только по двум предметам?

2. В группе из 30 студентов каждый знает, по крайней мере, один иностранный язык – английский или немецкий. Английский знают 22 студента, немецкий – 17. Сколько студентов знают оба языка? Сколько студентов знают немецкий язык, но не знают английский?

3. В 20 комнатах общежития института Дружбы Народов живут студенты из России; в 15 – из Африки; в 20 – из стран Южной Америки. Причем в 7 – живут россияне и африканцы, в 8 – россияне и южноамериканцы; в 9 – африканцы и южноамериканцы; в 3 – и россияне, и южноамериканцы, и африканцы. В скольких комнатах живут студенты: 1) только с одного континента; 2) только с двух континентов; 3) только африканцы.

4. Каждый из 500 студентов обязан посещать хотя бы один из трех спецкурсов: по математике, физике и астрономии. Три спецкурса посещают 10 студентов, по математике и физике – 30 студентов, по математике и астрономии – 25; спецкурс только по физике – 80 студентов. Известно также, что спецкурс по математике посещают 345 студентов, по физике – 145, по астрономии – 100 студентов. Сколько студентов посещают спецкурс только по астрономии? Сколько студентов посещают два спецкурса?

5. Староста курса представил следующий отчет по физкультурной работе. Всего – 45 студентов. Футбольная секция – 25 человек, баскетбольная секция – 30 человек, шахматная секция – 28 человек. При этом, 16 человек одновременно посещают футбольную и баскетбольную секции, 18 – футбольную и шахматную, 17 – баскетбольную и шахматную, 15 человек посещают все три секции. Объясните, почему отчет не был принят.

6. В аквариуме 11 рыбок. Из них 4 красных, остальные золотые. Наугад выбирают 4 рыбки. Сколькими способами это можно сделать? Найти число способов сделать это так, чтобы среди них будет: 1) ровно одна красная; 2) ровно 2 золотых; 3) хотя бы одна красная.

7. В списке 8 фамилий. Из них 4 – женские. Сколькими способами их можно разделить на две равные группы так, чтоб в каждой была женская фамилия?

8. Из колоды в 36 карт выбирают 4 . Сколько способов сделать это так, чтобы: 1) все карты были разных мастей; 2) все карты были одной масти; 3) 2 красные и 2 черные.

9. На карточках разрезной азбуки даны буквы К, К, К, У, У, А, Е, Р. Сколько способов сложить их в ряд так, что бы получилось «кукареку».

10. Даны карточки разрезанной азбуки с буквами О, Т, О, Л, О, Р, И, Н, Г, О, Л, О, Г. Сколько способов сложить их так, что бы получилось слово «отолоринголог».

11. Даны карточки нарезной азбуки с буквами Л, И, Т, Е, Р, А, Т, У, Р, А. Сколько способов сложить их в ряд так, что бы получилось слово «литература».

12. 8 человек становятся в очередь. Сколько способов сделать это так, что бы два определенных человека А и Б оказались: 1) рядом; 2) на краях очереди;

13. 10 человек садятся за круглый стол на 10 мест. Сколькими способами это можно сделать так, чтоб рядом оказались: 1) два определенных человека А и Б; 2) три определенных человека А, Б и С.

14. Из 10 арабских цифр составляют 5-значный код. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы: 1) все цифры были разными; 2) на последнем месте четная цифра.

15. Из 26 букв латинского алфавита (среди них 6 гласных) составляется шестибуквенное слово. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы в слове были: 1) ровно одна буква «а»; 2) ровно одна гласная буква; ровно две буквы «а»; в) ровно две гласные.

16. Сколько четырехзначных чисел делятся на 5?

17. Сколько четырехзначных чисел с различными цифрами делятся на 25?

19. Брошены 3 игральные кости. В скольких случаях выпала: 1) ровно 1 «шестерка»; 2) хотя бы одна «шестерка».

20. Брошены 3 игральные кости. В скольких случаях будет: 1) все разные; 2) ровно два одинаковых числа очков.

21. Сколько слов с различными буквами можно составить из алфавита а, в, с, d. Перечислить их все в лексикографическом порядке: abcd, abcd….

Основные формулы комбинаторики

Задачи, в которых речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами . Область математики, в которой рассматриваются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой .

Комбинаторика – область математики, в которой рассматриваются задачи о тех или иных комбинациях объектов.

Правило суммы

Пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A 1 , A 2 ,…A n, содержащих m 1 , m 2 ,…, m n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно

m 1 m 2 … m n .

Пример. На курсе имеется 3 группы. В первой – 25 человек, во второй – 30, в третьей – 20. Сколькими способами из них можно выбрать одного студента?

Решение. Из первой группы одного человека можно выбрать 25 способами, из второй – 30, из третьей – 20. Чтобы найти ответ, нужно сложить все эти способы:

25 30 20=75.

Ответ: выбрать одного студента из трех групп можно 75 способами.

Правило произведения

Пусть имеется. n множеств A 1 , A 2 ,…A n ,содержащих m 1 , m 2,…, m n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества

m 1 ּm 2 ּ …ּm n .

Пример. На курсе имеется 3 группы. В первой – 25 человек, во второй – 30, в третьей – 20. Сколькими способами из каждой из них можно выбрать по одному студенту?

Решение. Из первой группы одного человека можно выбрать 25 способами, из второй – 30, из третьей – 20. Чтобы найти ответ, нужно перемножить эти числа:

25ּ30ּ20=15000.

Ответ: для того, чтобы из каждой группы выбрать по одному студенту, существует 15000 способов.

^ Если выбираем один элемент из нескольких множеств, то применяем правило суммы.

Если выбираем по одному элементу из нескольких множеств, то применяем правило произведения.

Факториалом числаn называется последовательное произведение натуральных чисел от единицы до самого числа n:

Примечание: 0!=1.

Перестановки без повторений

Перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n. Перестановки - частный случай размещений.

Пример. Сколькими способами можно расставить в шеренгу студентов группы из 25 человек?

Решение. Число способов есть число перестановок из 25 элементов, то есть:

P 25 = 25ּ24ּ23ּ…ּ1=25!=1,55ּ10 25 .

Ответ: расставить в шеренгу студентов группы из 25 человек можно 1,55ּ10 25 способами.

Размещения без повторений

Различные упорядоченные подмножества по m элементов данного множества, содержащего n элементов, называются размещениями из n по m. Их число равно:

В частности: .

Пример. Из группы, состоящей из 25 человек, надо выбрать шахматную команду из четырех человек на I, II, III и IV доски. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как из 25 человек выбираются 4 и порядок важен, то число способов есть число размещений из 25 по 4, то есть:

Ответ: выбрать из 25 человек шахматную команду из четырех человек на I, II, III и IV доски можно 303600 способами.

Сочетания без повторений.

Различные неупорядоченные подмножества по m элементов из данного множества, содержащего n элементов, называются сочетаниями из n по m. Их число равно:

В частности, .

Пример. Сколькими способами из группы в 25 человек можно выбрать баскетбольную команду из пяти человек?

Решение. Так как из 25 человек выбираются 5 и порядок не важен, то число способов есть число сочетаний из 25 по 5, то есть:

Ответ: из группы в 25 человек можно выбрать баскетбольную команду 53130 способами.

Перестановки - это комбинации, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком расположения этих элементов. Возьмем n различных элементов a 1 , a 2 , a 3 , … a n ; будем переставлять эти элементы всевозможными способами, оставляя без изменения число элементов и меняя только порядок их расположения. Обозначим общее число полученных таким образом перестановок P(n). P - первая буква французского слова permutation - перестановка.

Составив таблицу перестановок для n элементов и применив (n - 1) раз правило произведения, получим число всех возможных перестановок:

P(n) = n (n -1) (n - 2) … 3 2 1 = n!

Такие перестановки называются перестановками без повторений (один и тот же элемент не может повториться в комбинации, все элементы различны).

Задача: шесть человек могут в разном порядке сесть за круглый стол, сколько существует способов разместить эти шесть человек за столом?

Решение: т.к. все люди различны и их комбинации различаются только порядком следования, то мы имеем перестановки без повторений. Определим их число:

Р(6) = 6! = 1 2 3 4 5 6 = 720.

Перестановки с повторениями

Рассматривая различные перестановки, мы предполагали, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т.д., n k элементов к-го вида, то имеем перестановки с повторениями, их число:

Где n 1 +…+n k = n.

Задача: сколько различных «слов» можно составить из букв слова ДЕД, МАТЕМАТИКА.

Решение: имеем перестановки с повторениями.

А) ДЕД n=3, k=2, n 1 =2, n 2 =1

P 3 (2, 1) = 3!/(2! 1!) = 6 / 2 = 3;

Б) МАТЕМАТИКА n=10, k=6, n 1 =2, n 2 =3, n 3 =2, n 4 =n 5 =n 6 =1

P 10 (2,3,2,1,1,1)=10!/(2! 3! 2!)=2 4 5 6 7 9 10 = 134 400.

Размещения

Размещения без повторений.

Размещениями называют комбинации, составленные из n данных элементов по k элементов (k<=n, k>0), которые отличаются либо составом элементов, либо порядком расположения элементов. Обозначаются размещения A n k . А - первая буква французского слова arrangement , что в переводе означает "размещение", "приведение в порядок". Число всех возможных размещений находится по формуле:

Задача: расписание одного дня состоит из двух пар. Определить число вариантов расписания при выборе из пяти дисциплин, если не может быть одинаковых пар.

Решение: имеем размещения без повторений из пяти элементов по два, из число: .

Размещения с повторениями.

Пусть существуют n различных элементов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу: возьмем любой элемент, но не будем устанавливать его в какой-либо ряд, а просто запишем под номером 1 его название, сам же элемент вернем к остальным элементам. Затем опять из всех n элементов выберем один, запишем его название под номером 2 и снова вернем элемент обратно. Будем выполнять эти операции, пока не получим m названий. Размещения с повторениями вычисляются по формуле:

Задача: сколько четырехзначных номеров можно составить из 10 цифр?

Решение: имеем размещения с повторениями из 10 элементов по 4, их число: .

Сочетания

Сочетания без повторений.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k (k =< n) элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Сочетания обозначаются: C n k C - первая буква французского слова combinasion - сочетание.

Составим из n элементов всевозможные сочетания по k элементов в каждом. Их будет C n k . Внутри каждого сочетания, состоящего из k элементов, образуем всевозможные комбинации, учитывающие порядок следования в них элементов. Таких комбинаций будет P k , т.к. мы в нашем сочетании образовываем перестановки. Всего различных комбинаций из n элементов по k в каждой, отличающихся друг от друга либо составом (элементами), либо порядком их следования, будет C n k P k . Но такие комбинации называются размещениями. Таким образом, A n k = C n k P k , тогда:

Задача: в шахматном турнире участвует 7 человек; сколько партий будет сыграно, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна партия?

Решение: имеем сочетания без повторений из 7 элементов по 2; их число: .

Сочетания с повторениями.

Если в сочетаниях некоторые элементы (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с повторениями. Их число определяется по формуле: .

Задача: сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?

Решение: имеем сочетания с повторениями из четырех по 7 по, их число: .

3. Графы.. 2

3.1. Основные понятия. 2

3.1.1. История теории графов. 2

3.1.2. Определения. 3

3.1.3. Смежности и инцидентность. 4

3.1.4. Изоморфизм графов. 5

3.2. Представление графов в ЭВМ.. 6

3.2.1. Требования к представлению графов. 6

3.2.2. Матрица смежности. 7

3.2.3. Матрица инциденций. 7

3.3. Геометрическая реализация графов. 8

3.4. Маршруты, цепи, циклы.. 8

3.4.1. Определения. 8

3.4.2. Эйлеровы графы.. 9

3.4.3. Гамильтоновы графы.. 10

3.5. Заключение. 12

Графы

Среди дисциплин и методов дискретной математики теория графов и особенно алгоритмы на графах находят наиболее широкое примене­ние в программировании. Дело в том, что тео­рия графов предоставляет очень удобный язык для описания программных (да и многих других) моделей.

Этот тезис можно пояснить следующей аналогией. Понятие отношения также можно полностью выразить через понятие множества. Однако независимое определение понятия отношения удобнее - введение специальных терминов и обозначений упрощает изложение теории и делает ее более понятной.

То же относится и к теории графов. Стройная система специальных терминов и обозначений тео­рии графов позволяют просто и доступно описывать сложные и тонкие вещи.

Особенно важно наличие наглядной графической интерпретации понятия графа. Само название «граф» подразумевает наличие графической ин­терпретации. Картинки позволяют сразу «усмотреть» суть дела на интуитивном уровне, дополняя и украшая утомительные рациональные текстовые доказатель­ства и сложные формулы.

Основные понятия

История теории графов

Теория графов многократно переоткрывалась разными авторами при решении различных прикладных задач.

1. Задача о Кенигсбергских мостах. Обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку (рис. 3.1). Эта задача была решена Эйлером в 1736 году.

Рис. 3.1. Иллюстрация к задаче о Кенигсбергских мостах

2. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца. Про­вести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 3.2). Эта задача была решена Куратовским в 1930 году.

Рис. 3.2. Иллюстрация к задаче о трех домах и трех колодцах

Предметом первых задач теории графов были различные конфигурации, состоящие из точек и соединяющих их линий. При этом несущественно: являются ли эти линии прямыми или кривыми, длинными или короткими, тонкими или толстыми; важно только то, какие точки они соединяют. Т.о. граф – это абстрактное математическое понятие.

Определения

Графом G(V,E) называется совокупность двух множеств - непустого множества V (множества вершин ) и множества Е неупорядоченных пар различных элемен­тов множества V (Е - множество ребер ).

G(V,E): , E VxV.

Число вершин графа G обозначим р, а число ребер – q.

р(G) = |V| q(G) = |E|.

Часто рассматриваются следующие родственные графам объекты.

1. Если элементами множества Е являются упорядоченные пары, то граф назы­вается ориентированным (или орграфом ). В этом случае элементы множества V называются узлами, а элементы множества - дугами (G(V, )).

2. Если элементом множества Е может быть пара одинаковых (не различных) элементов V, то такой элемент множества Е называется петлей , а граф назы­вается графом с петлями (или псевдографом).

3. Если Е является не множеством, а набором, содержащим несколько одинако­вых элементов, то эти элементы называются кратными ребрами , а граф назы­вается мультиграфом .

Обычно граф изображают диаграммой : вершины - точками (или кружками), ребра - линиями.

Рис. 3.4. Ориентированный граф с петлей и кратными ребрами.

3. . , т.о.

Рис. 3.5. Неориентированный граф с петлей.

Смежность и инцидентность

Пусть v 1 , v 2 - вершины, е = (v 1 , v 2) - соединяющее их ребро. Тогда вершина v 1 и ребро е инцидентны , вершина v 2 и ребро е также инцидентны. Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными ; две вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными.

Степенью вершины v графа G(V,E) называется число ребер, инцидентных данной вершине. Обозначение: .

Вершина, имеющая степень 0 называется изолированной, имеющая степень 1 – висячей.

Пример. Для графа, изображенного на рис. 3.5: вершина 3 – изолированная, вершины 1 и 4 - висячие.

Пример. Для графа, изображенного на рис. 3.3.

Ребро e 1 инцидентно вершинам v 1 и v 2 . Вершина v 1 инцидентна ребрам e 1 и e 2 . Ребра e 1 и e 2 – смежны. Вершины v 1 и v 2 – смежны.

P(G)=3, q(G)=5.

Т.о. можно заметить, что .

Теорема Эйлера : .

Доказательство данной теоремы вытекает из того, что каждое ребро дает двойной вклад в сумму степеней вершин.

Изоморфизм графов

Говорят, что два графа G 1 (V 1 ,E 1) и G 2 (V 2 ,E 2) изоморфны (обозначается G 1 ~ G 2), если существует биекция h: V 1 V 2 , сохраняющая смежность.

Графы рассматриваются с точностью до изоморфизма.

Три внешне различные диаграммы, приведенные на рис. 3.6, являются диаграм­мами одного и того же графа К 3,3 .

Рис. 3.6. Диаграммы изоморфных графов

Числовая характеристика, одинаковая для всех изоморфных графов, называется инвариантом графа . Так, p(G) и q(G) - инварианты графа G.

Не известно никакого набора инвариантов, определяющих граф с точностью до изоморфизма.

Рис. 3.8. Диаграммы неизоморфных графов с совпадающими инвариантами

Представление графов в ЭВМ

Следует подчеркнуть, что конструирование структур данных для пред­ставления в программе объектов математической модели - это основа искус­ства практического программирования. Мы приводим два различных базовых представления графов.

Выбор наилучшего представления определяется требова­ниями конкретной задачи. Более того, при решении конкретных задач исполь­зуются, как правило, некоторые комбинации или модификации указанных пред­ставлений, общее число которых необозримо. Но все они, так или иначе, основаны на тех базовых идеях, которые описаны в этом разделе.

Требования к представлению графов

Известны различные способы представления графов в памяти компьютера, кото­рые различаются объемом занимаемой памяти и скоростью выполнения опера­ций над графами.

Представление выбирается, исходя из потребностей конкрет­ной задачи. Далее приведены два из наиболее часто используемых представле­ния.

Указанные представления пригодны для графов и орграфов, а после некоторой модифи­кации также и для псевдографов, мультиграфов.

Представления иллюстрируются на конкретных примерах графа G и орграфа D, диаграммы которых представлены на рис. 7.10.

Рис. 3.9. Диаграммы графа (слева) и орграфа (справа), используемых в качестве примеров

Матрица смежности

Представление графа с помощью квадратной булевской матрицы

отражающей смежность вершин, называется матрицей смежности, где

Матрица инциденций

Представление графа с помощью матрицы Н: array of 0..1 (для оргра­фов Н: array of -1..1), отражающей инцидентность вершин и ребер, называется матрицей инциденций, где для неориентированного графа:

а для ориентированного графа

В этом разделе будут рассмотрены три вида соединений без повторений: размещения, перестановки и сочетания. Ради краткости добавку «без повторений» будем опускать.

1. Размещения. Размещения из n элементов по – это упорядоченные наборы из попарно различных элементов -множества . Таким образом, два размещения из элементов по различаются либо порядком, либо составом входящих в них элементов. Например, размещения из 3-множества по 2 исчерпываются следующими упорядоченными парами:

, , , , , .

Нас будет интересовать задача нахождения числа всех размещений из элементов по . В качестве первого элемента можно выбрать любой из элементов множества . После того как выбран первый элемент, второй элемент можно выбрать лишь способами (можно взять любой элемент, исключая выбранный). После выбора первых двух элементов остаются лишь возможности выбрать третий элемент и т. д. Последний -й элемент можно выбрать способами – ведь до него уже выбраны элемент, а потому осталось лишь элементов. По правилу произведения получаем, что число всевозможных упорядоченных наборов равно произведению чисел , , , …, , т.е. справедлива следующая

Т е о р е м а 1. Число размещений из элементов по находится по формуле

Напомним, что произведение первых n натуральных чисел, т.е. , называют n-факториалом и обозначают . Произведение можно записать в виде дроби = и поэтому формулу (1) можно переписать следующим образом

В частности, при из формулы (2) получаем

Это означает, что существует единственный упорядоченный набор длины 0 – пустой кортеж, не имеющий ни одной компоненты.

Пример 1. Найти число пятизначных чисел в десятичной системе счисления, в записи которых цифры не повторяются.

□ Рассуждая по аналогии с тем, как это делалось при рассмотрении примера 1 (2-й способ) из § 2, приходим к выводу, что искомое число есть .

2. Перестановки. Рассмотримтеперь различные линейные упорядочения данного -множества . Получаемые при этом упорядоченные наборы отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Их называют перестановками (без повторений) из n элементов, а их число обозначают через . Например, если , то = 6, так как из трех элементов можно составить шесть перестановок:

, , , , , .

Общая формула для получается из формулы (1), поскольку перестановка из элементов – это то же самое, что размещение без повторений из элементов по . Полагая в (1) получим = = = = . Итак, справедлива

Т е о р е м а 2. Число перестановок из элементов равно -факториал, т.е.

Полагая в формуле (2) , получаем

Сравнивая (3) и (4), приходим к выводу, что 0! = 1. На первый взгляд это равенство кажется парадоксальным. Но для всех справедливо равенство = . Если потребовать, чтобы это равенство было справедливо и при , то получим . Отсюда вновь следует, что естественно положить0! = 1 .

Пример 2. Сколькимиспособамиможно расположить на полке 7 различных учебников так, чтобы «Алгебра» и «Геометрия» не стояли рядом?

□ Условимся указанные учебники обозначать для краткости буквами А и Г соответственно. Число всевозможных способов расстановки учебников равно числу перестановок из семи элементов, т.е. . Но при этом сосчитаны и те, в которых встречаются рядом учебники А и Г, причем в двух позициях: АГ и ГА. Считая АГ и ГА за одну книгу, для каждого такого расположения получим расстановок, в которых учебники А и Г встречаются рядом. Искомое число расстановок учебников равно .

3. Сочетания. Одной из важнейших задач комбинаторики является подсчет числа k -подмножеств данного n -множества . Такие неупорядоченные подмножества называются сочетаниями из элементов по , а их число обозначают через (от французского слова combinaison – сочетание). Например, из элементов 4-множества можно составить следующие 2-множества: , , , , , . Число этих подмножеств равно 6. Следовательно, = 6. Отметим, что = 1, так как каждое множество имеет лишь одно 0-множество, а именно, пустое множество . Далее понятно, что = , поскольку в ‑множества содержится одноэлементных подмножеств. Ясно также, что .

Выведем формулу, выражающую через и . Для этого укажем способ получения всех размещений из элементов по . Выберем любое k -подмножество данного n -множества . Это можно сделать способами. Каждое такое k -подмножество упорядочим всевозможными способами. Таких различных упорядочений столько, сколько можно составить перестановок из элементов, т.е. = . Понятно, что таким способом получатся все размещений из элементов по . Значит, имеет место равенство = . Отсюда вытекает справедливость следующего утверждения.

Т е о р е м а 3. Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле :

= = = . (5)

Пример 3. Найти число всех диагоналей правильного n -угольника.

□ Любые две вершины n -угольника однозначно определяют отрезок, соединяющие эти вершины. Поэтому число всевозможных отрезков, соединяющих вершины n -угольника, равно числу сочетаний из по 2, т.е. . Но среди них находятся и сторон n -угольника, которые диагоналями не являются,

Таким образом, искомое число равно

.

Например, при получаем, что правильный 10-угольник имеет = 35 диагоналей.

Свойства сочетаний.

□ В самом деле, в силу формулы (5) имеем

= = = .

□ Действительно,

= = = . =

Непосредственно свойств ‑ сочетаний вытекают следующие