Угол между прямой и плоскостью: определение, примеры нахождения. Угол между прямой и плоскостью. Визуальный гид (2019)
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:
Под углом
между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных
этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1
и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или 
. Поэтому 
. Т.к.
и 
, то
.
Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.
Условие параллельности двух плоскостей.
Две плоскости α 1 и α 2
параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит 
.
Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:
или
Условие перпендикулярности плоскостей.
Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .
Таким образом, .
Примеры.
ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.
Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .
Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .
Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.
Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда
Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
Пусть М
1 (x
1 , y
1 , z
1) – точка,
лежащая на прямой l
, и 
–
её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z)
и рассмотрим вектор .
Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,
– канонические
уравнения прямой.
Замечание 1.
Заметим, что канонические
уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t
. Действительно, из параметрических уравнений получаем 
или .
Пример.
Записать уравнение прямой 
в параметрическом виде.
Обозначим 
,
отсюда x
= 2 + 3t
, y
= –1 + 2t
, z
= 1 –t
.
Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид
Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде
Однако и в этом случае условимся формально
записывать канонические уравнения прямой в виде
.
Таким образом, еслив знаменателе одной
из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая
перпендикулярна соответствующей координатной оси.
Аналогично, каноническим уравнениям 
соответствует прямая перпендикулярная осям Ox
и Oy
или параллельная оси Oz
.
Примеры.
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.
Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями
определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.
Примеры.
Построить прямую, заданную уравнениями 
Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:
Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).
Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :
От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.
Координаты точки
М
1
получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания
направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к
обоим нормальным векторам 
и 
.
Поэтому за направляющий вектор прямой l
можно взять векторное произведение нормальных векторов:
.
Пример.
Привести общие уравнения прямой
к каноническому виду.
Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:
Нормальные векторы
плоскостей, определяющих прямую имеют координаты 
Поэтому направляющий вектор
прямой будет
.
Следовательно, l
: 
.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим
\(\blacktriangleright\) Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (т.е. это угол \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\) ).
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\) ), нужно:
Шаг 1: из какой-то точки \(A\in a\) провести перпендикуляр \(AO\) на плоскость \(\phi\) (\(O\) – основание перпендикуляра);
Шаг 2: тогда \(BO\) – проекция наклонной \(AB\) на плоскость \(\phi\) ;
Шаг 3: тогда угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\phi\) равен \(\angle ABO\) .
Задание 1 #2850
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Прямая \(l\) пересекает плоскость \(\alpha\) . На прямой \(l\) отмечен отрезок \(AB=25\) , причем известно, что проекция этого отрезка на плоскость \(\alpha\) равна \(24\) . Найдите синус угла между прямой \(l\) и плоскостью \(\alpha\)
Рассмотрим рисунок:
Пусть \(A_1B_1=24\)
– проекция \(AB\)
на плоскость \(\alpha\)
, значит, \(AA_1\perp \alpha\)
, \(BB_1\perp \alpha\)
. Так как две прямые, перпендикулярные к плоскости, лежат в одной плоскости, то \(A_1ABB_1\)
– прямоугольная трапеция. Проведем \(AH\perp BB_1\)
. Тогда \(AH=A_1B_1=24\)
. Следовательно, по теореме Пифагора \
Заметим также, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, искомый угол – угол между \(AB\)
и \(A_1B_1\)
. Так как \(AH\parallel A_1B_1\)
, то угол между \(AB\)
и \(A_1B_1\)
равен углу между \(AB\)
и \(AH\)
.
Тогда \[\sin\angle BAH=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac7{25}=0,28.\]
Ответ: 0,28
Задание 2 #2851
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
\(ABC\) – правильный треугольник со стороной \(3\) , \(O\) – точка, лежащая вне плоскости треугольника, причем \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Найдите угол, который образуют прямые \(OA, OB, OC\) с плоскостью треугольника. Ответ дайте в градусах.
Проведем перпендикуляр \(OH\) на плоскость треугольника.
Рассмотрим \(\triangle OAH, \triangle OBH, \triangle OCH\)
. Они являются прямоугольными и равны по катету и гипотенузе. Следовательно, \(AH=BH=CH\)
. Значит, \(H\)
– точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от вершин треугольника \(ABC\)
. Следовательно, \(H\)
– центр описанной около него окружности. Так как \(\triangle
ABC\)
– правильный, то \(H\)
– точка пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы).
Так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, а \(AH\)
– проекция \(AO\)
на плоскость треугольника, то угол между \(AO\)
и плоскостью треугольника равен \(\angle OAH\)
.
Пусть \(AA_1\)
– медиана в \(\triangle ABC\)
, следовательно, \
Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\)
, считая от вершины, то \
Тогда из прямоугольного \(\triangle OAH\)
:\[\cos
OAH=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle
OAH=60^\circ.\]
Заметим, что из равенства треугольников \(OAH, OBH, OCH\) следует, что \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\) .
Ответ: 60
Задание 3 #2852
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Прямая \(l\) перпендикулярна плоскости \(\pi\) . Прямая \(p\) не лежит в плоскости \(\pi\) и не параллельна ей, также не параллельна прямой \(l\) . Найдите сумму углов между прямыми \(p\) и \(l\) и между прямой \(p\) и плоскостью \(\pi\) . Ответ дайте в градусах.
Из условия следует, что прямая \(p\) пересекает плоскостью \(\pi\) . Пусть \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .
Тогда \(\angle POL\)
– угол между прямыми \(p\)
и \(l\)
.
Так как угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то \(\angle OPL\)
– угол между \(p\)
и \(\pi\)
. Заметим, что \(\triangle OPL\)
прямоугольный с \(\angle
L=90^\circ\)
. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\)
, то \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\)
.
Замечание.
Если прямая \(p\)
не пересекает прямую \(l\)
, то проведем прямую \(p"\parallel p\)
, пересекающую \(l\)
. Тогда угол между прямой \(p\)
и \(l\)
будет равен углу между \(p"\)
и \(l\)
. Аналогично угол между \(p\)
и \(\pi\)
будет равен углу между \(p"\)
и \(\pi\)
. А для прямой \(p"\)
уже верно предыдущее решение.
Ответ: 90
Задание 4 #2905
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1\) , а точка \(M\) – середина отрезка \(BD\) . Найдите \(\mathrm{tg}^2\, \alpha\) , где \(\alpha\) – угол между прямой, содержащей \(MN\) , и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\) . Ответ дайте в градусах.
\(NM\) – средняя линия в треугольнике \(DBB_1\) , тогда \(NM \parallel B_1D\) и \(\alpha\) равен углу между \(B_1D\) и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\) .
Так как \(DD_1\) – перпендикуляр к плоскости \(A_1B_1C_1D_1\) , то \(B_1D_1\) проекция \(B_1D\) на плоскость \((A_1B_1C_1D_1)\) и угол между \(B_1D\) и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\) есть угол между \(B_1D\) и \(B_1D_1\) .
Пусть ребро куба \(x\) , тогда по теореме Пифагора \ В треугольнике \(B_1D_1D\) тангенс угла между \(B_1D\) и \(B_1D_1\) равен \(\mathrm{tg}\,\angle DB_1D_1=\dfrac{DD_1}{B_1D_1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\mathrm{tg}\,\alpha\) , откуда \(\mathrm{tg}^2\, \alpha = \dfrac{1}{2}\) .
Ответ: 0,5
Задание 5 #2906
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1\) , а точка \(M\) делит отрезок \(BD\) в отношении \(1:2\) , считая от вершины \(B\) . Найдите \(9\mathrm{ctg}^2\, \alpha\) , где \(\alpha\) – угол между прямой, содержащей \(MN\) , и плоскостью \((ABC)\) . Ответ дайте в градусах.
Так как \(NB\) – часть \(BB_1\) , а \(BB_1\perp (ABC)\) , то и \(NB\perp (ABC)\) . Следовательно, \(BM\) – проекция \(NM\) на плоскость \((ABC)\) . Значит, угол \(\alpha\) равен \(\angle NMB\) .
Пусть ребро куба равно \(x\) . Тогда \(NB=0,5x\) . По теореме Пифагора \(BD=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2x\) . Так как по условию \(BM:MD=1:2\) , то \(BM=\frac13BD\) , следовательно, \(BM=\frac{\sqrt2}3x\) .
Тогда из прямоугольного \(\triangle NBM\) : \[\mathrm{ctg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\angle NMB=\dfrac{BM}{NB}=\dfrac{2\sqrt2}3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm{ctg}^2\,\alpha=8.\]
Ответ: 8
Задание 6 #2907
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Чему равен \(\mathrm{ctg^2}\,\alpha\) , если \(\alpha\) – угол наклона диагонали куба к одной из его граней?
Искомый угол будет совпадать с углом между диагональю куба и диагональю любой его грани, т.к. в данном случае диагональ куба будет являться наклонной, диагональ грани – проекцией этой наклонной на плоскость грани. Таким образом, искомый угол будет равен, например, углу \(C_1AC\) . Eсли обозначить ребро куба за \(x\) , то \(AC=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2 x\) , тогда квадрат котангенса искомого угла: \[\mathrm{ctg^2}\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
Ответ: 2
Задание 7 #2849
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\)
.
По теореме Пифагора \
Следовательно, \[\cos 30^\circ=\dfrac{AB}{AH}\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac{AB}{\cos 30^\circ}=2.\]
Так как \(OH\perp (ABC)\)
, то \(OH\)
перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(\triangle OAH\)
– прямоугольный. Тогда \[\cos \angle OAH=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac25=0,4.\]
Ответ: 0,4
Учащимся старших классов на этапе подготовки к ЕГЭ по математике будет полезно научиться справляться с заданиями из раздела «Геометрия в пространстве», в которых требуется найти угол между прямой и плоскостью. Опыт прошлых лет показывает, что подобные задачи вызывают у выпускников определенные сложности. При этом знать базовую теорию и понимать, как найти угол между прямой и плоскостью, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение достойных баллов.
Основные нюансы
Как и другие стереометрические задачи ЕГЭ, задания, в которых требуется найти углы и расстояния между прямыми и плоскостями, могут быть решены двумя методами: геометрическим и алгебраическим. Учащиеся могут выбрать наиболее удобный для себя вариант. Согласно геометрическому методу, необходимо найти на прямой подходящую точку, опустить из нее перпендикуляр на плоскость и построить проекцию. После этого выпускнику останется применить базовые теоретические знания и решить планиметрическую задачу на вычисление угла. Алгебраический метод предполагает введение системы координат для нахождения искомой величины. Необходимо определить координаты двух точек на прямой, правильно составить уравнение плоскости и решить его.
Эффективная подготовка вместе со «Школково»
Чтобы занятия проходили легко и даже сложные задания не вызывали затруднений, выбирайте наш образовательный портал. Здесь представлен весь необходимый материал для успешной сдачи аттестационного испытания. Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». А для того чтобы попрактиковаться в выполнении заданий, достаточно перейти в «Каталог» на нашем математическом портале. В этом разделе собрана большая подборка упражнений разной степени сложности. В «Каталоге» регулярно появляются новые задания.
Выполнять задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью или на , российские школьники могут в режиме онлайн, находясь в Москве или другом городе. По желанию учащегося любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Это позволит при необходимости быстро его найти и обсудить ход его решения с преподавателем.
Понятие угла между прямой и плоскостью можно ввести для любого взаимного расположения прямой и плоскости.
Если прямая l перпендикулярна плоскости, то угол между l и считается равным 90 .
Если прямая l параллельна плоскости или лежит в этой плоскости, то угол между l и считается равным нулю.
Если прямая l является наклонной к плоскости, то угол между l и это угол " между прямой l и её проекцией p на плоскость (рис. 39 ).
Рис. 39. Угол между прямой и плоскостью
Итак, запомним определение для этого нетривиального случая: если прямая является наклонной, то угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой
и её проекцией на данную плоскость.
7.1 Примеры решения задач
Разберём три задачи, расположенные по возрастанию сложности. Третья задача уровень C2 на ЕГЭ по математике.
Задача 1. В правильном тетраэдре найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.
Решение. Пусть ABCD правильный тетраэдр с реб- | ||||||||||
ром a (рис. 40 ). Найдём угол между AD и плоскостью | ||||||||||
Проведём высоту DH. Проекцией прямой AD на | ||||||||||
плоскость ABC служит прямая AH. Поэтому искомый | ||||||||||
угол " есть угол между прямыми AD и AH. | ||||||||||
Отрезок AH есть радиус окружности, описанной | ||||||||||
вокруг треугольника ABC: | ||||||||||
AH = p | ||||||||||
Теперь из прямоугольного треугольника ADH: | ||||||||||
Рис. 40. К задаче 1 |
||||||||||
cos " = AD =p | ||||||||||
Ответ: arccos p | ||||||||||
Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA1 B1 C1 боковое ребро равно стороне основания. Найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ABC1 .
Решение. Угол между прямой и плоскостью не изменится при параллельном сдвиге прямой. Поскольку CC1 параллельна AA1 , искомый угол " есть угол между прямой CC1 и плоскостью ABC1 (рис.41 ).
B 1"
Рис. 41. К задаче 2
Пусть M середина AB. Проведём высоту CH в треугольнике CC1 M. Покажем, что CH перпендикуляр к плоскости ABC1 . Для этого нужно предъявить две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные CH.
Первая прямая очевидна это C1 M. В самом деле, CH ? C1 M по построению.
Вторая прямая это AB. Действительно, проекцией наклонной CH на плоскость ABC служит прямая CM; при этом AB ? CM. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует тогда, что AB ? CH.
Итак, CH ? ABC1 . Стало быть, угол между CC1 и ABC1 есть " = \CC1 H. Величину CH найдём из соотношения
C1 M CH = CC1 CM
(обе части этого соотношения равны удвоенной площади треугольника CC1 M). Имеем:
CM = a 2 3 ;
Остаётся найти угол ":
Ответ: arcsin 3 7 .
C1 M =q CC1 2 + CM2 =r | a2 +4 | |||||||||||||||||
CH = a | ||||||||||||||||||
CH = ar | ||||||||||||||||||
sin " = CH =3 : CC1 7
Задача 3. На ребре A1 B1 куба ABCDA1 B1 C1 D1 взята точка K так, что A1 K: KB1 = 3: 1. Найдите угол между прямой AK и плоскостью BC1 D1 .
Решение. Сделав чертёж (рис. 42 , слева), мы понимаем, что нужны дополнительные построения.
K B 1 | |||||||||||
Рис. 42. К задаче 3 | |||||||||||
Во-первых, заметим, что прямая AB лежит в плоскости BC1 D1 (поскольку AB k C1 D1 ). Во-вторых, проведём B1 M параллельно AK (рис.42 , справа). Проведём также B1 C, и пусть N есть точка пересечения B1 C и BC1 .
Покажем, что прямая B1 C перпендикулярна плоскости BC1 D1 . В самом деле:
1) B 1 C ? BC1 (как диагонали квадрата);
2) B 1 C ? AB по теореме о трёх перпендикулярах (ведь AB перпендикулярна прямой BC проекции наклонной B1 C на плоскость ABC).
Таким образом, B1 C перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BC1 D1 ; следовательно, B1 C ? BC1 D1 . Поэтому проекцией прямой MB
sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
