Четырехугольник параллелограмм то противоположные стороны равны. Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма
Это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойство 1 . Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Доказательство . По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона).
Теорема доказана .
Свойство 2 . В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Доказательство
.
Аналогично,
Теорема доказана .
Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство .
Теорема доказана .
Свойство 4 . Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. - вершину - два равнобедренных?-ка).
Доказательство
.
Теорема доказана .
Свойство 5 . В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.
Доказательство .
Теорема доказана .
Свойство 6 . Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.
Доказательство .
Теорема доказана .
Свойство 7 . Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Доказательство .
Теорема доказана .
Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.
1) Построить произвольный луч DE.
2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.
3) F и G - точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H - точка пересечения окружности с построенным лучом
Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.
5) I - точка пересечения окружностей построенного луча.
6) Провести прямую через вершину и I.
IDH - требуемый угол.
)
Свойство 1 . Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
Доказательство . Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.
Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На следующем рисунке представлен параллелограмм ABCD. У него сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD.
Как вы уже успели догадаться, параллелограмм является выпуклым четырехугольником. Рассмотрим основные свойства параллелограмма.
Свойства параллелограмма
1. В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны. Докажем это свойство - рассмотрим параллелограмм, представленный на следующем рисунке.
Диагональ BD разделяет его на два равных треугольника: ABD и CBD. Они равны по стороне BD и двум прилежащим к ней углам, так как углы накрест лежащие при секущей BD параллельных прямых BC и AD и AB и CD соответственно. Следовательно, AB = CD и
BC = AD. А из равенства углов 1, 2 ,3 и 4 следует, что угол A = угол1 +угол3 = угол2 + угол4 = угол С.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка О есть точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD.
Тогда треугольник AOB и треугольник COD равны между собой, по стороне и двум прилежащим к ней углам. (AB=CD так как это противоположные стороны параллелограмма. А угол1 = угол2 и угол3 = угол4 как накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно.) Из этого следует, что AO = OC и OB = OD, что и требовалось доказать.
Все основные свойства проиллюстрированы на следующих трех рисунках.
Параллелограмм представляет собой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это определение уже достаточно, так как остальные свойства параллелограмма следуют из него и доказываются в виде теорем.
Основными свойствами параллелограмма являются:
- параллелограмм - это выпуклый четырехугольник;
- у параллелограмма противоположные стороны попарно равны;
- у параллелограмма противоположные углы попарно равны;
- диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Параллелограмм - выпуклый четырехугольник
Докажем сначала теорему о том, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником . Многоугольник является выпуклым тогда, когда какая бы его сторона не была продлена до прямой, все остальные стороны многоугольника окажутся по одну сторону от этой прямой.
Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого AB противоположная сторона для CD, а BC - противоположная для AD. Тогда из определения параллелограмма следует, что AB || CD, BC || AD.
У параллельных отрезков нет общих точек, они не пересекаются. Это значит, что CD лежит по одну сторону от AB. Поскольку отрезок BC соединяет точку B отрезка AB с точкой C отрезка CD, а отрезок AD соединяет другие точки AB и CD, то отрезки BC и AD также лежат по ту же сторону от прямой AB, где лежит CD. Таким образом, все три стороны - CD, BC, AD - лежат по одну сторону от AB.
Аналогично доказывается, что по отношению к другим сторонам параллелограмма три остальные стороны лежат с одной стороны.
Противоположные стороны и углы равны
Одним из свойств параллелограмма является то, что в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы попарно равны . Например, если дан параллелограмм ABCD, то у него AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доказывается эта теорема следующим образом.
Параллелограмм является четырехугольником. Значит, у него две диагонали. Так как параллелограмм - это выпуклый четырехугольник, то любая из них делит его на два треугольника. Рассмотрим в параллелограмме ABCD треугольники ABC и ADC, полученные в результате проведения диагонали AC.
У этих треугольников одна сторона общая - AC. Угол BCA равен углу CAD, как вертикальные при параллельных BC и AD. Углы BAC и ACD также равны как вертикальные при параллельных AB и CD. Следовательно, ∆ABC = ∆ADC по двум углам и стороне между ними.
В этих треугольниках стороне AB соответствует сторона CD, а стороне BC соответствует AD. Следовательно, AB = CD и BC = AD.
Углу B соответствует угол D, т. е. ∠B = ∠D. Угол A параллелограмма представляет собой сумму двух углов - ∠BAC и ∠CAD. Угол же C равен состоит из ∠BCA и ∠ACD. Так как пары углов равны друг другу, то ∠A = ∠C.
Таким образом, доказано, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны.
Диагонали делятся пополам
Так как параллелограмм - это выпуклый четырехугольник, то у него две две диагонали, и они пересекаются. Пусть дан параллелограмм ABCD, его диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Рассмотрим образованные ими треугольники ABE и CDE.
У этих треугольников стороны AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма. Угол ABE равен углу CDE как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD. По этой же причине ∠BAE = ∠DCE. Значит, ∆ABE = ∆CDE по двум углам и стороне между ними.
Также можно заметить, что углы AEB и CED вертикальные, а следовательно, тоже равны друг другу.
Так как треугольники ABE и CDE равны друг другу, то равны и все их соответствующие элементы. Стороне AE первого треугольника соответствует сторона CE второго, значит, AE = CE. Аналогично BE = DE. Каждая пара равных отрезков составляет диагональ параллелограмма. Таким образом доказано, что диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам .
Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 233).
Для произвольного параллелограмма имеют место следующие свойства:
1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
Доказательство. В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС. Треугольники ACD и АС В равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов, прилежащих к ней:
(как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, и как стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, что и требовалось доказать.
2. Противоположные углы параллелограмма равны:
3. Соседние углы параллелограмма, т. е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме и т. д.
Доказательство свойств 2 и 3 сразу получается из свойств углов при параллельных прямых.
4. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам. Иначе говоря,
Доказательство. Треугольники AOD и ВОС равны, так как равны их стороны AD и ВС (свойство 1) и углы, к ним прилежащие (как накрест лежащие углы при параллельных прямых). Отсюда следует и равенство соответствующих сторон этих треугольников: АО что и требовалось доказать.
Каждое из названных четырех свойств характеризует параллелограмм, или, как говорят, является его характеристическим свойством, т. е. всякий четырехугольник, обладающий хотя бы одним из этих свойств, является параллелограммом (и, значит, обладает и всеми остальными тремя свойствами).
Проведем доказательство для каждого свойства отдельно.
1". Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Доказательство. Пусть у четырехугольника ABCD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис. 233). Проведем диагональ АС. Треугольники ABC и CDА будут равны, как имеющие три пары равных сторон.
Но тогда углы ВАС и DCА равны и . Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.
2. Если у четырехугольника две пары противоположных углов равны, то он является параллелограммом.
Доказательство. Пусть . Так как то и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых).
3. Предоставляем формулировку и доказательство читателю.
4. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.
Доказательство. Если АО = ОС, BO = OD (рис. 233), то треугольники AOD и ВОС равны, как имеющие равные углы (вертикальные!) при вершине О, заключенные между парами равных сторон АО и СО, ВО и DO. Из равенства треугольников заключаем, что стороны AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по характеристическому свойству Г.
Таким образом, для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом, достаточно убедиться в справедливости любого из четырех свойств. Читателю предлагается самостоятельно доказать еще одно характеристическое свойство параллелограмма.
5. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.
Иногда какая-нибудь пара параллельных сторон параллелограмма называется его основаниями, тогда две другие называются боковыми сторонами. Отрезок прямой, перпендикулярной к двум сторонам параллелограмма, заключенный между ними, называется высотой параллелограмма. Параллелограмм на рис. 234 имеет высоту h, проведенную к сторонам AD и ВС, вторая его высота представлена отрезком .
На сегодняшнем уроке мы повторим основные свойства параллелограмма, а затем уделим внимание рассмотрению первых двух признаков параллелограмма и докажем их. В ходе доказательства вспомним применение признаков равенства треугольников, которые мы изучали в прошлом году и повторяли на первом уроке. В конце будет приведен пример на применение изученных признаков параллелограмма.
Тема: Четырехугольники
Урок: Признаки параллелограмма
Начнем с того, что вспомним определение параллелограмма.
Определение. Параллелограмм - четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
Вспомним основные свойства параллелограмма :
Для того, чтобы иметь возможность пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть уверенным, что фигура, о которой идет речь, - параллелограмм. Для этого необходимо знать такие факты, как признаки параллелограмма. Первые два из них мы сегодня и рассмотрим.
Теорема. Первый признак параллелограмма.
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм
. 
.
Рис. 2. Первый признак параллелограмма
Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 2), она разбила его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:
по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства указанных треугольников следует, что по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что:
Доказано.
Теорема. Второй признак параллелограмма.
Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм
. 
.
Рис. 3. Второй признак параллелограмма
Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 3), она разбивает его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках, исходя из формулировки теоремы:
по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует, что и по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем:
параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.
Доказано.
Рассмотрим пример на применение признаков параллелограмма.
Пример 1. В выпуклом четырехугольнике Найти: а) углы четырехугольника; б) сторону .
Решение. Изобразим Рис. 4.
Рис. 4
параллелограмм по первому признаку параллелограмма.
