Промежутки возрастания и убывания экстремумы. Исследование функции. Экстремумы и интервалы монотонности функции
Пусть на некоторой плоскости задана прямоугольная система координат. Графиком некоторой функции , (X- область определения) называется множество точек этой плоскости с координатами, где .
Для построения графика нужно изобразить на плоскости множество точек, координаты которых (x;y) связаны соотношением .
Чаще всего графиком функции является некоторая кривая.
Самый простой способ построения графика - построение по точкам.
Составляется таблица, в которой в одной ячейке стоит значение аргумента, а в противоположной ей значение функции от этого аргумента. Затем полученные точки отмечаются на плоскости, и через них проводится кривая.
Пример построения по точкам графика функции :
Построим таблицу.
Теперь строим график.
Но таким способом не всегда возможно построить достаточно точный график - для точности нужно брать очень много точек. Поэтому используют различные методы исследования функции.
С полной схемой исследования функции знакомятся в высших учебных заведениях. Одним из пунктов исследования функции является нахождение промежутков возрастания (убывания) функции.
Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если , для любых x 2 и x 1 из этого промежутка, таких, что x 2 >x 1 .
Например, функция, график которой изображен на следующем рисунке, на промежутках 
возрастает, а на промежутке (-5;3) убывает. То есть, на промежутках график идет «в гору». А на промежутке (-5;3) «под гору».
Еще одним из пунктов исследования функции является исследование функции на периодичность.
Функция называется периодичной, если существует такое число T, что 
.
Число T называют периодом функции. Например, функция периодична, здесь период равен 2П, так
Примеры графиков периодичных функций:
Период первой функции равен 3, а второй – 4.
Функция называется четной, если Пример четной функции y=x 2 .
Функция называется нечетной, если Пример нечетной функции y=x 3 .
График четной функции симметричен относительно оси ОУ (осевая симметрия).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия).
Примеры графиков четной (слева) и нечетной (справа) функции.
Экстремумы функции
Определение 2
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.
Определение 3
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.
Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.
Определение 4
$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:
1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не существует.
Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.
Теорема 2
Достаточное условие экстремума
Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f"(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:
1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right)
2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.
3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) >0$ или производная $f"\left(x\right)
Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.
Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов
Примеры экстремумов (Рис. 2).
Рисунок 2. Примеры точек экстремумов
Правило исследования функции на экстремум
2) Найти производную $f"(x)$;
7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.
Возрастание и убывание функции
Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.
Определение 5
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1
Определение 6
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.
Исследование функции на возрастание и убывание
Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.
Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:
1) Найти область определения функции $f(x)$;
2) Найти производную $f"(x)$;
3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f"\left(x\right)=0$;
4) Найти точки, в которых $f"(x)$ не существует;
5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;
6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом получившемся промежутке;
7) Сделать вывод: на промежутках, где $f"\left(x\right)0$ функция возрастает.
Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов
Пример 1
Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$
Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.
1) Область определения - все действительные числа;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ существует во всех точках области определения;
5) Координатная прямая:
Рисунок 3.
6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом промежутке:
\ \}
