≡×МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт
• Дизайн інтер'єра
• Про все
• Про сантехніку

§1.18. графіки залежності модуля та проекції прискорення та модуля та проекції швидкості від часу при русі з постійним прискоренням. Рівномірний прямолінійний рух Проекція швидкості руху тіла.

Рівномірний рух- це рух із постійною швидкістю, тобто коли швидкість не змінюється (v = const) і прискорення чи уповільнення не відбувається (а = 0).

Прямолінійний рух- це рух прямої лінії, тобто траєкторія прямолінійного руху - це пряма лінія.

Це рух, у якому тіло за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Наприклад, якщо ми розіб'ємо якийсь часовий інтервал на відрізки по одній секунді, то при рівномірному русі тіло переміщатиметься на однакову відстань за кожен із цих відрізків часу.

Швидкість рівномірного прямолінійного руху залежить від часу й у кожній точці траєкторії спрямовано як і переміщення тіла. Тобто вектор переміщення збігається у напрямку вектора швидкості. При цьому середня швидкість за будь-який проміжок часу дорівнює миттєвій швидкості:

vcp = v

Швидкість рівномірного прямолінійного руху- це фізична векторна величина, що дорівнює відношенню переміщення тіла за будь-який проміжок часу до значення цього проміжку t:

= / t

Отже, швидкість рівномірного прямолінійного руху показує, яке переміщення робить матеріальна точка за одиницю часу.

Переміщенняпри рівномірному прямолінійному русі визначається формулою:

Пройдений шляхпри прямолінійному русі дорівнює модулю переміщення. Якщо позитивний напрямок осі ОХ збігається з напрямком руху, то проекція швидкості на вісь ОХ дорівнює величині швидкості і позитивна:

vx = v, тобто v > 0

Проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:

s = vt = x - x0

де x 0 – початкова координата тіла, х – кінцева координата тіла (або координата тіла у будь-який момент часу)

Рівняння руху, тобто залежність координати тіла від часу х = х(t), набуває вигляду:

х = x0 + vt

Якщо позитивний напрямок осі ОХ протилежний напрямку руху тіла, то проекція швидкості тіла на вісь ОХ негативна, швидкість менша за нуль (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

х = x0 - vt

Рівномірний прямолінійний рух- це окремий випадок нерівномірного руху.

Нерівномірний рух- це рух, у якому тіло (матеріальна точка) за рівні проміжки часу здійснює різні переміщення. Наприклад, міський автобус рухається нерівномірно, оскільки його рух складається переважно з розгонів і гальмування.

Рівноперемінний рух- це рух, у якому швидкість тіла (матеріальної точки) за будь-які рівні проміжки часу змінюється однаково.

Прискорення тіла при рівнозмінному русізалишається постійним за модулем і за напрямом (a = const).

Рівноперемінний рух може бути рівноприскореним або рівноуповільненим.

Рівноприскорений рух- це рух тіла (матеріальної точки) з позитивним прискоренням, тобто за такому русі тіло розганяється з постійним прискоренням. У разі рівноприскореного руху модуль швидкості тіла з часом зростає, напрям прискорення збігається з напрямом швидкості руху.

Рівноуповільнений рух- це рух тіла (матеріальної точки) з негативним прискоренням, тобто за такому русі тіло поступово уповільнюється. При рівносповільненому русі вектори швидкості та прискорення протилежні, а модуль швидкості з часом зменшується.

У механіці будь-який прямолінійний рух є прискореним, тому уповільнений рух відрізняється від прискореного лише знаком проекції вектора прискорення обрану вісь системи координат.

Середня швидкість змінного рухувизначається шляхом розподілу переміщення тіла на час, протягом якого це переміщення було здійснено. Одиниця виміру середньої швидкості - м/с.

vcp = s/t

Це швидкість тіла (матеріальної точки) в даний момент часу або в даній точці траєкторії, тобто межа, якої прагне середня швидкість при нескінченному зменшенні проміжку часу Δt:

Вектор миттєвої швидкостірівнозмінного руху можна знайти як першу похідну від вектора переміщення за часом:

= "

Векторна проекція швидкостіна вісь ОХ:

vx = x'

це похідна від координати часу (аналогічно отримують проекції вектора швидкості інші координатні осі).

Це величина, яка визначає швидкість зміни швидкості тіла, тобто межа, якої прагне зміна швидкості при нескінченному зменшенні проміжку часу Δt:

Вектор прискорення рівноперемінного рухуможна знайти як першу похідну від вектора швидкості за часом або як другу похідну від вектора переміщення за часом:

= " = " Враховуючи, що 0 - швидкість тіла в початковий момент часу (початкова швидкість), - швидкість тіла в даний момент часу (кінцева швидкість), t - проміжок часу, протягом якого відбулася зміна швидкості, буде наступною:

Звідси формула швидкості рівнозмінного рухуу будь-який момент часу:

0 + t Якщо тіло рухається прямолінійно вздовж осі ОХ прямолінійної декартової системи координат, що збігається у напрямку траєкторії тіла, то проекція вектора швидкості на цю вісь визначається формулою:

vx = v0x ± axt

Знак "-" (мінус) перед проекцією вектора прискорення відноситься до рівноповільного руху. Аналогічно записуються рівняння проекцій вектора швидкості інші осі координат.

Так як при рівнозмінному русі прискорення є постійним (a = const), то графік прискорення – це пряма, паралельна до осі 0t (осі часу, рис. 1.15).

Мал. 1.15. Залежність прискорення тіла іноді.

Залежність швидкості від часу– це лінійна функція, графіком якої є пряма лінія (рис. 1.16).

Мал. 1.16. Залежність швидкості тіла від часу.

Графік залежності швидкості від часу(рис. 1.16) показує, що

У цьому переміщення чисельно дорівнює площі фігури 0abc (рис. 1.16).

Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми довжин її підстав на висоту. Підстави трапеції 0abc чисельно рівні:

0a = v0 bc = v

Висота трапеції дорівнює t. Отже, площа трапеції, отже, і проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:

У разі рівносповільненого руху проекція прискорення негативна і у формулі для проекції переміщення перед прискоренням ставиться знак "-" (мінус).

Графік залежності швидкості тіла іноді при різних прискореннях показаний на рис. 1.17. Графік залежності переміщення від часу при v0 = 0 показано на рис. 1.18.

Мал. 1.17. Залежність швидкості тіла іноді для різних значень прискорення.

Мал. 1.18. Залежність переміщення тіла від часу.

Швидкість тіла в даний момент часу t 1 дорівнює тангенсу кута нахилу між дотичною до графіка та віссю часу v = tg α, а переміщення визначають за формулою:

Якщо час руху тіла невідомий, можна використовувати іншу формулу переміщення, вирішуючи систему двох рівнянь:

Допоможе нам вивести формулу для проекції переміщення:

Так як координата тіла в будь-який момент часу визначається сумою початкової координати і проекції переміщення, виглядатиме таким чином:

Графіком координати x(t) також є парабола (як і графік переміщення), але вершина параболи у випадку не збігається з початком координат. При а x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Для виконання розрахунків швидкостей та прискорень необхідно переходити від запису рівнянь у векторній формі до запису рівнянь у формі алгебри.

Вектори початкової швидкості та прискорення можуть мати різні напрями, тому перехід від векторного запису рівнянь до алгебраїчної може бути дуже трудомістким.

Відомо, що проекція суми двох векторів на якусь координатну вісь дорівнює сумі проекцій доданків векторів на ту ж вісь.

	Тому для знаходження проекції вектор швидкості на довільну вісь OX потрібно знайти алгебраїчну суму векторних проекцій і на ту ж вісь. Проекцію вектора на вісь вважають позитивною, якщо від початку проекції до проекції кінця вектора потрібно йти в напрямку осі, і негативної в протилежному випадку.

Графік швидкості

З рівняння
слід, що графіком залежності проекції швидкості рівноприскореного руху від часу є пряма. Якщо проекція початкової швидкості вісь OX дорівнює нулю, то пряма проходить через початок координат.

Основні види руху

а n = 0, a  = 0 – прямолінійний рівномірний рух;

а n = 0, a  = const- Прямолінійний рівнозмінний рух;

а n = 0, a   0 – прямолінійне із змінним прискоренням;

а n = const, a  = 0 – рівномірне по колу

а n = const, a  = const– рівнозмінне по колу

а n  const, a   const- криволінійне зі змінним прискоренням.

Обертальний рух твердого тіла.

Обертальний рух твердого тіла щодо нерухомої осі - Рух, при якому всі точки твердого тіла описують кола, центри яких лежать на одній прямій, званій віссю обертання.

Рівномірний рух по колу

Розглянемо найпростіший вид обертального руху, і приділимо особливу увагу доцентровому прискоренню.

При рівномірному русі коло значення швидкості залишається постійним, а напрям вектора швидкості змінюється у процесі руху.

За інтервал часу ∆ tтіло проходить шлях . Цей шлях дорівнює довжині дуги AB.Вектори швидкостей і у точках Aі Bспрямовані по дотичних до кола в цих точках, а кут  між векторами і дорівнює куту між радіусами OAі OB.Знайдемо різницю векторів та визначимо відношення зміни швидкості до ∆ t:

З подоби трикутників OAB і BCD випливає

Якщо інтервал часу ∆t малий, то малий і кут . При малих значеннях кута  довжина хорди AB приблизно дорівнює довжині дуги AB, тобто.
. Т.к.
,
, то отримуємо

.

Оскільки
, то отримуємо

Період та частота

Проміжок часу, за який тіло здійснює повний оборот під час руху по колу, називається періодам звернення (Т). Т.к. довжина кола дорівнює 2  R, період обігу при рівномірному русі тіла зі швидкістю v по колу радіусом. Rдорівнює:

Розмір, зворотний періоду звернення, називається частотою. Частота показує, скільки обертів по колу здійснює тіло за одиницю часу:

(з 1)

Швидкість є однією з основних характеристик. Вона виражає саму суть руху, тобто. визначає ту відмінність, яка є між тілом нерухомим і тілом, що рухається.

Одиницею вимірювання швидкості у системі СІ є м/с.

Важливо пам'ятати, що швидкість величина векторна. Напрямок вектора швидкості визначається за рухом. Вектор швидкості завжди спрямований по дотичній до траєкторії в тій точці, через яку проходить тіло, що рухається (рис.1).

Наприклад, розглянемо колесо автомобіля, що рухається. Колесо обертається і всі точки колеса рухаються навкруги. Бризки, що розлітаються від колеса, летітимуть по відношенню до цих кіл, вказуючи напрямки векторів швидкостей окремих точок колеса.

Таким чином, швидкість характеризує напрямок руху тіла (напрямок вектора швидкості) і швидкість його переміщення (модуль вектора швидкості).

Негативна швидкість

Чи може швидкість тіла бути негативною? Да може. Якщо швидкість тіла негативна, це означає, що тіло рухається у напрямку, протилежному напрямку осі координат у вибраній системі відліку. На рис.2 зображено рух автобуса та автомобіля. Швидкість автомобіля є негативною, а швидкість автобуса позитивна. Слід пам'ятати, що, говорячи про знак швидкості, ми маємо на увазі проекцію вектора швидкості на координатну вісь.

Рівномірний та нерівномірний рух

Загалом швидкість залежить від часу. За характером залежності швидкості від часу, рух буває рівномірний і нерівномірний.

ВИЗНАЧЕННЯ

Рівномірний рух– це рух із постійною за модулем швидкістю.

У разі нерівномірного руху говорять про:

Приклади розв'язання задач на тему «Швидкість»

ПРИКЛАД 1

Завдання	Автомобіль пройшов першу половину колії між двома населеними пунктами зі швидкістю 90 км/год, а другу половину – зі швидкістю 54 км/год. Визначте середню швидкість автомобіля.
Рішення	Було б неправильним обчислювати середню швидкість автомобіля як середнє арифметичне двох зазначених швидкостей. Скористаємося визначенням середньої швидкості: Оскільки передбачається прямолінійне рівномірне рух, знаки векторів можна опустити. Час, витрачений автомобілем на проходження всього відрізка колії: де - час, витрачений на проходження першої половини колії, а - час, витрачений на проходження другої половини колії. Сумарне переміщення дорівнює відстані між населеними пунктами, тобто. . Підставивши ці співвідношення у формулу для середньої швидкості, отримаємо: Перекладемо швидкості на окремих ділянках у систему СІ: Тоді середня швидкість автомобіля: (м/с)
Відповідь	Середня швидкість автомобіля дорівнює 18,8 м/с

ПРИКЛАД 2

Завдання	Автомобіль проїхав 10 секунд із швидкістю 10 м/с, а потім їхав ще 2 хвилини зі швидкістю 25 м/с. Визначити середню швидкість автомобіля.
Рішення	Зробимо малюнок.

Проекції швидкостей двох точок твердого тіла на вісь, що проходить через ці точки, дорівнюють одна одній.
v A cos α = v B cos β.

Доведення

Виберемо прямокутну нерухому систему координат Oxyz. Візьмемо дві довільні точки твердого тіла A та B . Нехай (x A, y A, z A)і (x B, y B, z B)- Координати цих точок. При русі твердого тіла є функціями від часу t . Диференціюючи за часом, отримуємо проекції швидкостей точок.
, .

Скористаємося тим, що під час руху твердого тіла, відстань | AB|між точками залишається постійним, тобто залежить від часу t . Також постійним є квадрат відстані
.
Продиференціюємо це рівняння за часом t, застосовуючи правило диференціювання складної функції.

Скоротимо на 2 .
(1)

Введемо вектор
.
Тоді рівняння (1) можна у вигляді скалярного твори векторів.
(2)
Виконуємо перетворення.
;
(3) .
За якістю скалярного твору
,
.
Підставляємо в (3) і скорочуємо на | AB|.
;

Що й потрібно було довести.

Відносна швидкість

Розглянемо рух точки B щодо точки A. Введемо відносну швидкість точки B щодо A.

Тоді рівняння (2) можна переписати у вигляді
.

Тобто відносна швидкість перпендикулярна до вектора, проведеного з точки A в точку B. Оскільки точка B взята довільним чином, відносна швидкість будь-якої точки твердого тіла перпендикулярна радіус вектору, проведеному з точки A . Тобто щодо точки A тіло здійснює обертальний рух. Відносна швидкість точок тіла визначається за формулою для обертального руху
.

Точку A , щодо якої розглядають рух, часто називають полюсом.

Абсолютну швидкість точки B щодо нерухомої системи координат можна записати в такому вигляді:
.
Вона дорівнює сумі швидкості поступального руху довільної точки A (полюса) та швидкості обертального руху щодо полюса A .

Приклад розв'язання задачі

Умова задачі

Колеса 1 та 2 з радіусами R 1 = 0,15 мта R 2 = 0,3 мвідповідно, з'єднані шарнірами зі стрижнем 3 довжини | AB| = 0,5 м. Колесо 1 обертається з кутовою швидкістю 1 = 1 рад/с. Для зображеного на малюнку положення механізму визначити кутову швидкість ω 2 колеса 2. Прийняти L = 0,3 м.

Рішення завдання

Точка A рухається по колурадіуса R 1 навколо центру обертання O 1 . Швидкість точки A визначається за формулою
V A = ω 1 R 1.
Вектор спрямований вертикально (перпендикулярно O 1 A).

Точка B рухається по колурадіуса R 2 навколо центру обертання O 2 . Швидкість точки B визначається за формулою
V B = ω 2 R 2.
Звідси
.
Вектор спрямований горизонтально (перпендикулярно O 2 B).

Будуємо прямокутний трикутник ABC. Застосовуємо теорему Піфагора.
(м)
.
Косинус кута між вектором швидкості і прямою AB , в напрямку вектора дорівнює
.

за теоремі про проекції швидкостейдвох точок твердого тіла на пряму маємо:
V A cos α = V B cos β.
Звідси
.

Знаходимо кутову швидкість колеса..
рад/с.

Визначення

Рівномірний прямолінійний рух - це рух із постійною швидкістю, при якому прискорення відсутнє, а траєкторія руху є прямою лінією.

Швидкість рівномірного прямолінійного руху залежить від часу й у кожній точці траєкторії спрямовано як і, як і рух тіла. Тобто вектор переміщення збігається у напрямку вектора швидкості. При цьому середня швидкість за будь-який проміжок часу дорівнює миттєвій швидкості: $ \ left \ langle v \ right \ rangle = v $

Визначення

Швидкість рівномірного прямолінійного руху - це фізична векторна величина, що дорівнює відношенню переміщення тіла $\overrightarrow(S)$ за будь-який проміжок часу до значення цього проміжку t:

$$\overrightarrow(v)=\frac(\overrightarrow(S))(t)$$

Отже, швидкість рівномірного прямолінійного руху показує, яке переміщення робить матеріальна точка за одиницю часу.

Переміщення при рівномірному прямолінійному русі визначається формулою:

$$ \overrightarrow(S) = \overrightarrow(v) \cdot t $$

Пройдений шлях при прямолінійному русі дорівнює модулю переміщення. Якщо позитивний напрямок осі ОХ збігається з напрямком руху, то проекція швидкості на вісь ОХ дорівнює величині швидкості і позитивна $v_x = v$, тобто $v $>$ 0$

Проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює $s = v_t = x - x0$

де $x_0$ - початкова координата тіла, $х$ - кінцева координата тіла (або координата тіла у будь-який момент часу)

Рівняння руху, тобто залежність координати тіла від часу $х = х(t)$, набуває вигляду: $х = x_0 + v_t$

Якщо позитивний напрямок осі ОХ протилежний напрямку руху тіла, то проекція швидкості тіла на вісь ОХ негативна, швидкість менша за нуль ($v $

Залежність проекції швидкості тіла іноді показано на рис. 1. Оскільки швидкість стала ($v = const$), то графіком швидкості є пряма лінія, паралельна осі часу Ot.

Мал. 1. Залежність проекції швидкості тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Проекція переміщення на координатну вісь чисельно дорівнює площі прямокутника ОАВС (рис. 2), так як величина вектора переміщення дорівнює добутку вектора швидкості на час, за який було переміщення.

Мал. 2. Залежність проекції переміщення тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Графік залежності переміщення від часу показано на рис. 3. З графіка видно, що проекція швидкості на вісь Ot чисельно дорівнює тангенсу кута нахилу графіка до осі часу:

Мал. 3. Залежність проекції переміщення тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Залежність координати від часу показано на рис. 4. З малюнка видно, що

tg $\alpha $1 $>$ tg $\alpha $2, отже, швидкість тіла 1 вище швидкості тіла 2 (v1 $>$ v2).

tg $\alpha $3 = v3 $

Мал. 4. Залежність координати тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.

Якщо тіло спочиває, то графіком координати є пряма, паралельна до осі часу, тобто х = х0

Завдання 1

Два поїзди рухаються на зустріч один одному паралельними рейками. Швидкість першого поїзда 10 метрів за секунду, довжина першого поїзда 500 метрів. Швидкість другого поїзда 30 метрів за секунду, довжина другого поїзда 300 метрів. Визначити протягом якого часу другий поїзд їхатиме повз перший.

Дано: $ v_1 $ = 10 м / с; $v_2$=30 м/с; $ L_1 $ = 500 м; $ L_2 $ = 300 м

Знайти: t ---?

Час, протягом якого поїзди проходитимуть повз один одного, можна визначити, розділивши загальну довжину поїздів на їхню відносну швидкість. Швидкість першого поїзда щодо другого визначається за формулою v= v1+v2 Тоді формула для визначення часу набуває вигляду: $t=\frac(L_1+L_2)(v_1+v_2)=\frac(500+300)(10+30)= 20 \ c $

Відповідь: другий поїзд їхатиме повз перший протягом 20 секунд.

Завдання 2

Визначити швидкість течії річки та швидкість катера в стоячій воді, якщо відомо, що катер проходить відстань 300 кілометрів за 4 години, а проти течії - за 6 годин.

Дано: $ L $ = 300000 м; $ t_1 $ = 14400 с; $t_2$=21600 з

Знайти: $v_p$ -?; $v_k$ - ?

Швидкість катера за течією річки щодо берега $v_1=v_k+v_p$, а проти течії $v_2=v_k-v_p$. Запишемо закон руху для обох випадків:

Розв'язавши рівняння щодо vp і vk, отримуємо формули для розрахунку швидкості течії річки та швидкості катера.

Швидкість течії річки: $v_p=\frac(L\left(t_2-t_1\right))(2t_1t_2)=\frac(300000\left(21600-14400\right))(2\times 14400\times 21600)=3 ,47 м / с $

Швидкість катера: $v_к=\frac(L\left(t_2+t_1\right))(2t_1t_2)=\frac(300000\left(21600+14400\right))(2\times 14400\times 21600)=17, 36 м / с $

Відповідь: швидкість течії річки дорівнює 3,47 метрів за секунду, швидкість катера дорівнює 17,36 метрів за секунду.