Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки. Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Как в евклидовой геометрии точка и прямая - главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.
Вконтакте
Определение параллелограмма
Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.
Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, - высотой (BE и BF), линии AC и BD - диагоналями.
Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник - это частные случаи параллелограмма.
Стороны и углы: особенности соотношения
Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением , их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:
- Стороны, которые являются противоположными, - попарно одинаковые.
- Углы, расположенные противоположно друг другу - попарно равны.
Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).
Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.
Характеристики диагоналей фигуры
Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.
Доказательство: пусть т. Е - это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника - ∆ABE и ∆CDE.
AB=CD, так как они противоположные. Согласно прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.
По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.
Особенности смежных углов
У смежных сторон сумма углов равна 180° , поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Свойства биссектрисы:
- , опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
- противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
- треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.
Определение характерных черт параллелограмма по теореме
Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.
Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности - AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.
Вычисление площади фигуры
Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.
Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF - равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD - равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: S ABE и S EBCD , а также S DCF и S EBCD . Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb , а сторону - b . Соответственно:
Другие способы нахождения площади
Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол , который они образуют, - второй известный метод.
,
Sпр-ма - площадь;
a и b - его стороны
α - угол между отрезками a и b.
Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если неизвестна. всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.
Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.
Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.
Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть . Поскольку AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формула площади сводится до:
.
Применение в векторной алгебре
Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.
Доказательство: из произвольно выбранного начала - т. о. - строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB - стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .
Формулы для вычисления параметров параллелограмма
Тождества приведены при следующих условиях:
- a и b, α - стороны и угол между ними;
- d 1 и d 2 , γ - диагонали и в точке их пересечения;
- h a и h b - высоты, опущенные на стороны a и b;
| Параметр | Формула |
| Нахождение сторон | |
| по диагоналям и косинусу угла между ними | 
|
| по диагоналям и стороне | 
|
| через высоту и противоположную вершину | |
| Нахождение длины диагоналей | |
| по сторонам и величине вершины между ними | |
Доказательство
Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .
Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:
AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.
AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.
Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).
И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .
Доказано!
2. Противоположные углы тождественны.
Доказательство
Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Доказано!
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
Доказательство
Проведем еще одну диагональ.
По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.
Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).
Доказано!
Признаки параллелограмма
Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.
Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?
\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .
Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).
Первый признак верен.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .
По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD .
Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.
Второй признак верен.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D по условию).
Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ} . Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB .
И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC .
При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .
Третий признак верен.
4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.
AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.
Доказательство
BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .
Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .
Четвертый признак верен.
Это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойство 1 . Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Доказательство . По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона).
Теорема доказана .
Свойство 2 . В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Доказательство
.
Аналогично,
Теорема доказана .
Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство .
Теорема доказана .
Свойство 4 . Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. - вершину - два равнобедренных?-ка).
Доказательство
.
Теорема доказана .
Свойство 5 . В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.
Доказательство .
Теорема доказана .
Свойство 6 . Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.
Доказательство .
Теорема доказана .
Свойство 7 . Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Доказательство .
Теорема доказана .
Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.
1) Построить произвольный луч DE.
2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.
3) F и G - точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H - точка пересечения окружности с построенным лучом
Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.
5) I - точка пересечения окружностей построенного луча.
6) Провести прямую через вершину и I.
IDH - требуемый угол.
)
Свойство 1 . Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
Доказательство . Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.
Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На следующем рисунке представлен параллелограмм ABCD. У него сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD.
Как вы уже успели догадаться, параллелограмм является выпуклым четырехугольником. Рассмотрим основные свойства параллелограмма.
Свойства параллелограмма
1. В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны. Докажем это свойство - рассмотрим параллелограмм, представленный на следующем рисунке.
Диагональ BD разделяет его на два равных треугольника: ABD и CBD. Они равны по стороне BD и двум прилежащим к ней углам, так как углы накрест лежащие при секущей BD параллельных прямых BC и AD и AB и CD соответственно. Следовательно, AB = CD и
BC = AD. А из равенства углов 1, 2 ,3 и 4 следует, что угол A = угол1 +угол3 = угол2 + угол4 = угол С.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка О есть точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD.
Тогда треугольник AOB и треугольник COD равны между собой, по стороне и двум прилежащим к ней углам. (AB=CD так как это противоположные стороны параллелограмма. А угол1 = угол2 и угол3 = угол4 как накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно.) Из этого следует, что AO = OC и OB = OD, что и требовалось доказать.
Все основные свойства проиллюстрированы на следующих трех рисунках.
