≡×МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт 
• Вътрешен дизайн
• За всичко
• Относно ВиК

Симетралата разделя противоположната страна. Симетрала на ъгъл. Пълни уроци – Хипермаркет на знанието

Геометрията е една от най-сложните и объркващи науки. В него това, което на пръв поглед изглежда очевидно, много рядко се оказва правилно. Симетрали, височини, медиани, проекции, тангенти - огромен брой наистина трудни термини, които е много лесно да се объркате.

Всъщност с подходящо желание можете да разберете теория с всякаква сложност. Когато става въпрос за ъглополовящи, медиани и височини, трябва да разберете, че те не са уникални за триъгълниците. На пръв поглед това прости линии, но всеки от тях има свои собствени свойства и функции, познаването на които значително опростява решаването на геометрични проблеми. И така, какво е ъглополовящата на триъгълник?

Определение

Самият термин „ъглополовяща“ произлиза от комбинация от латинските думи „две“ и „разрязвам“, „разрязвам“, което косвено показва неговите свойства. Обикновено, когато децата се запознават с този лъч, им се дава кратка фраза, която да запомнят: „Съполовящата е плъх, който тича около ъглите и разделя ъгъла наполовина.“ Естествено, такова обяснение не е подходящо за по-големи ученици и освен това обикновено ги питат не за ъгъл, а за геометрична фигура. Така че ъглополовящата на триъгълник е лъч, който свързва върха на триъгълника с противоположната страна, като същевременно разделя ъгъла на две равни части. Точката от противоположната страна, в която идва ъглополовящата, се избира произволно за произволен триъгълник.

Основни функции и свойства

Този лъч има няколко основни свойства. Първо, тъй като ъглополовящата на триъгълник разполовява ъгъла, всяка точка, лежаща върху него, ще бъде на еднакво разстояние от страните, образуващи върха. Второ, във всеки триъгълник можете да начертаете три ъглополовящи, според броя на наличните ъгли (следователно в същия четириъгълник вече ще има четири от тях и т.н.). Точката, в която се пресичат и трите лъча, е центърът на окръжността, вписана в триъгълника.

Свойствата стават по-сложни

Нека усложним малко теорията. Друго интересно свойство: ъглополовящата на ъгъл на триъгълник разделя противоположната страна на сегменти, чието съотношение е равно на съотношението на страните, образуващи върха. На пръв поглед това е сложно, но всъщност всичко е просто: в предложената фигура RL: LQ = PR: PK. Между другото, това свойство се нарича „Теорема за ъглополовящата“ и за първи път се появява в произведенията древногръцки математикЕвклид. За него се споменава в един от руските учебници едва през първата четвърт на седемнадесети век.

Малко по-сложно е. В четириъгълник ъглополовящата отрязва равнобедрен триъгълник. Тази фигура показва всички равни ъгли за средния AF.

А в четириъгълниците и трапеца ъглополовящите на едностранните ъгли са перпендикулярни една на друга. На показания чертеж ъгъл APB е 90 градуса.

В равнобедрен триъгълник

Симетрала равнобедрен триъгълник- много повече полезна греда. В същото време е не само делител на ъгъл на половина, но и медиана и надморска височина.

Медианата е сегмент, който идва от някакъв ъгъл и попада в средата на противоположната страна, като по този начин я разделя на равни части. Височината е перпендикуляр, спуснат от върха към противоположната страна; именно с негова помощ всеки проблем може да бъде сведен до проста и примитивна Питагорова теорема. В тази ситуация ъглополовящата на триъгълника е равна на корена от разликата между квадрата на хипотенузата и другия катет. Между другото, това свойство най-често се среща в геометрични задачи.

За консолидиране: в този триъгълник ъглополовящата FB е медианата (AB = BC) и височината (ъглите FBC и FBA са 90 градуса).

В общи линии

И така, какво трябва да запомните? Симетрала на триъгълник е лъчът, който разполовява неговия връх. В пресечната точка на трите лъча е центърът на кръга, вписан в този триъгълник (единственият недостатък на това свойство е, че няма практическа стойност и служи само за компетентното изпълнение на чертежа). Той също така разделя противоположната страна на сегменти, чието съотношение е равно на съотношението на страните, между които е преминал този лъч. В четириъгълника свойствата стават малко по-сложни, но, разбира се, те практически никога не се появяват в проблемите на училищно ниво, така че обикновено не се засягат в програмата.

Симетралата на равнобедрен триъгълник е най-голямата мечта на всеки ученик. Това е едновременно медиана (т.е. разделя противоположната страна наполовина) и надморска височина (перпендикулярна на тази страна). Решаването на задачи с такава ъглополовяща се свежда до Питагоровата теорема.

Познаването на основните функции на ъглополовящата, както и нейните основни свойства, е необходимо за решаване на геометрични задачи както на средна, така и на високо нивотрудности. Всъщност този лъч се среща само в планиметрията, така че не може да се каже, че запаметяването на информация за него ще ви позволи да се справите с всички видове задачи.

Сорокина Вика

Дадени са доказателства за свойствата на ъглополовящата на триъгълник и се разглежда приложението на теорията при решаване на задачи

Изтегли:

Преглед:

Комитет по образованието на администрацията на град Саратов, Октябрьски районен общински автономен образователна институцияЛицей № 3 на името на. А. С. Пушкин.

Общински науч.-практ

конференция

"Първи стъпки"

Предмет: Симетрала и нейните свойства.

Работа, изпълнена от: ученик от 8 клас

Сорокина ВикторияНаучен ръководител: Учител по математика от най-висока категорияПопова Нина Федоровна.

Саратов 2011 г

1. Заглавна страница…………………………………………………………...1
2. Съдържание………………………………………………………2
3. Въведение и цели…………………………………………………………... ..3
4. Разглеждане на свойствата на ъглополовящата

• Трето геометрично място на точките………………………………….3
• Теорема 1………………………………………………………………...4
• Теорема 2………………………………………………………………4
• Основното свойство на ъглополовящата на триъгълник:

1. Теорема 3………………………………………………………………...4
2. Задача 1……………………………………………………………… ….7
3. Задача 2……………………………………………………………….8
4. Задача 3…………………………………………………………………………………..9
5. Задача 4……………………………………………………………….9-10

• Теорема 4…………………………………………………………10-11
• Формули за намиране на ъглополовящата:

1. Теорема 5……………………………………………………………….11
2. Теорема 6……………………………………………………………….11
3. Теорема 7……………………………………………………………….12
4. Задача 5……………………………………………………………...12-13

• Теорема 8……………………………………………………………….13
• Задача 6…………………………………………………………...….14
• Задача 7………………………………………………………………14-15
• Определяне на кардиналните посоки с помощта на ъглополовящата………………15

1. Заключение и заключение………………………………………………………..15
2. Списък с литература……………………………………..16

Симетрала

В час по геометрия, докато изучавах темата за подобни триъгълници, попаднах на задача върху теоремата за отношението на ъглополовящата към срещуположните страни. Изглежда, че може да има нещо интересно в темата за ъглополовящата, но тази тема ме интересуваше и исках да я проуча по-задълбочено. В крайна сметка ъглополовящата е много богата на своите невероятни свойства, помагайки за решаването на различни проблеми.

Когато разглеждате тази тема, ще забележите, че учебниците по геометрия казват много малко за свойствата на ъглополовящата, но на изпитите, като ги знаете, можете да решавате задачи много по-лесно и по-бързо. Освен това, за да преминат GIA и Единните държавни изпити, съвременните студенти трябва да учат сами Допълнителни материаликъм училищната програма. Ето защо реших да проуча по-подробно темата за ъглополовящата.

Симетрала (от латински bi- „двоен“ и sectio „срязване“) на ъгъл е лъч с начало във върха на ъгъла, разделящ ъгъла на две равни части. Симетралата на ъгъл (заедно с нейното продължение) е геометричното място на точките, еднакво отдалечени от страните на ъгъла (или техните продължения)

Трето геометрично място на точките

Фигура F е геометричното място на точките (набор от точки), имащи някакво свойствоа, ако са изпълнени две условия:

1. от факта, че точката принадлежи на фигуратаЕ, следва, че притежава свойствотоА;
2. от факта, че точката удовлетворява свойствотоа, следва, че принадлежи на фигуратаЕ.

Първото геометрично място на точките, разглеждано в геометрията, е окръжност, т.е. геометричното място на точките, еднакво отдалечени от една фиксирана точка. Втората е перпендикулярна ъглополовяща на отсечката, т.е. геометричното място на точките, еднакво отдалечени от края на отсечка. И накрая, третата - ъглополовяща - геометричното място на точките, еднакво отдалечени от страните на ъгъла

Теорема 1:

Симетралните точки са еднакво отдалечени от странитетой е ъгъл.

Доказателство:

Нека R - ъглополовяща точкаА. Да се ​​откажем от точкатаP перпендикуляри RV и Компютър отстрани на ъгъла. Тогава VAR = SAR чрез хипотенуза и остър ъгъл. Следователно PB = PC

Теорема 2:

Ако точка P е еднакво отдалечена от страните на ъгъл A, тогава тя лежи на ъглополовящата.

Доказателство: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR е ъглополовяща.

Сред основните геометрични факти е теоремата, че ъглополовящата разделя противоположната страна по отношение на противоположните страни. Този факт остана в сянка дълго време, но навсякъде има проблеми, които са много по-лесни за решаване, ако знаете този и други факти за ъглополовящата. Стана ми интересно и реших да проуча това свойство на ъглополовящата по-задълбочено.

Основното свойство на ъглополовящата на триъгълник

Теорема 3. Симетрала разделя противоположната страна на триъгълник по отношение на съседните страни.

Доказателство 1:

Дадено: AL - ъглополовяща на триъгълник ABC

Докажи:

Доказателство: Нека F е пресечна точка на линиятаАЛ и права, минаваща през точката IN успоредно на страната AC.

Тогава BFA = FAC = BAF. Следователно B.A.F. равнобедрен и AB = BF. От подобието на триъгълниците ALC и FLB имаме

съотношение

където

Доказателство 2

Нека F е точката, пресечена от правата AL и правата, минаваща през точката C, успоредна на основата AB. След това можете да повторите разсъжденията.

Доказателство 3

Нека K и M са основите на перпендикулярите, пуснати върху правата AL от точки B и C съответно. Триъгълниците ABL и ACL са подобни в два ъгъла. Ето защо
. И от сходството на BKL и CML имаме

Оттук

Доказателство 4

Нека използваме метода на площта. Нека изчислим площите на триъгълниците ABL и ACL два начина.

Оттук.

Доказателство 5

Нека α= ВИЕ,φ= BLA. По теоремата за синусите в триъгълник ABL

И в триъгълника ACL.

защото,

След това, разделяйки двете страни на равенството на съответните части на другата, получаваме.

Проблем 1

дадени: В триъгълник ABC VC е ъглополовящата, BC = 2, KS = 1,

Решение:

Проблем 2

дадени:

Намерете ъглополовящите на острите ъгли на правоъгълен триъгълник с катети 24 и 18

Решение:

Нека страната AC = 18, страната BC = 24,

А.М. - ъглополовяща на триъгълник.

Използвайки Питагоровата теорема намираме,

че AB = 30.

От тогава

Нека по подобен начин намерим втората ъглополовяща.

Отговор:

Проблем 3

В правоъгълен триъгълник ABC с прав ъгъл B ъглополовящаА пресича странатапр.н.е.

В точка Г. Известно е, че BD = 4, DC = 6.

Намерете площта на триъгълника ADC

Решение:

По свойството на ъглополовящата на триъгълник

Нека означим AB = 2 x, AC = 3 x. По теорема

Pythagoras BC 2 + AB 2 = AC 2 или 100 + 4 x 2 = 9 x 2

От тук намираме това x = Тогава AB = , S ABC=

следователно

Проблем 4

дадени:

В равнобедрен триъгълник ABC страна AB равно на 10, основа AC е 12.

Симетрали на ъглиА и С пресичат се в точкаД. Намерете BD.

Решение:

Тъй като ъглополовящите на триъгълник се пресичат в

Една точка, тогава BD е ъглополовяща на B. Да продължим BD до пресечката сАС в точка М. Тогава M е средата на AC, BM AC. Ето защо

Защото CD - ъглополовяща на триъгълник BMC тогава

Следователно,.

Отговор:

Теорема 4. Трите ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка.

Наистина, нека първо разгледаме точката P на пресичане на две ъглополовящи, например AK 1 и ВК 2 . Тази точка е еднакво отдалечена от страните AB и AC, тъй като лежи на ъглополовящатаA, и е на еднакво разстояние от страните AB и BC, като принадлежащи на ъглополовящатаB. Това означава, че тя е еднакво отдалечена от страните AC и BC и следователно принадлежи на третата ъглополовяща SC 3 , тоест в точка P и трите ъглополовящи се пресичат.

Формули за намиране на ъглополовящата
Теорема 5: (първата формула за ъглополовящата): Ако в триъгълник ABC отсечката AL е ъглополовяща A, тогава AL² = AB·AC - LB·LC.

Доказателство: Нека M е пресечната точка на правата AL с окръжността, описана около триъгълник ABC (фиг. 41). Ъгъл BAM е равен на ъгъл MAC по условие. Ъглите BMA и BCA са равни като вписани ъгли, сключени от една и съща хорда. Това означава, че триъгълниците BAM и LAC са подобни в два ъгъла. Следователно AL: AC = AB: AM. Това означава AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

Теорема 6: . (втора формула за ъглополовяща): В триъгълник ABC със страни AB=a, AC=b иA равно на 2α и ъглополовяща l, равенството е в сила:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Доказателство : Нека ABC е дадения триъгълник, AL неговата ъглополовяща, a=AB, b=AC, l=AL. Тогава С ABC = S ALB + S ALC . Следователно, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Теоремата е доказана.

Теорема 7: Ако a, b са страните на триъгълника, Y е ъгълът между тях,е ъглополовящата на този ъгъл. Тогава.

Средно ниво

Симетрала на триъгълник. Подробна теорияс примери (2019)

Симетрала на триъгълник и нейните свойства

Знаете ли какво е средата на отсечка? Разбира се, че го правиш. Какво ще кажете за центъра на кръга? Един и същ. Каква е средата на ъгъл? Може да се каже, че това не се случва. Но защо една отсечка може да се раздели наполовина, а ъгъл не може? Напълно възможно е - само не точка, а... линия.

Помните ли вица: ъглополовящата е плъх, който тича около ъглите и разделя ъгъла наполовина. И така, истинската дефиниция на ъглополовяща е много подобна на тази шега:

Симетрала на триъгълник- това е сегментът на ъглополовящата на ъгъл на триъгълник, свързващ върха на този ъгъл с точка от противоположната страна.

Някога древните астрономи и математици са открили много интересни свойства на ъглополовящата. Това знание значително опрости живота на хората. Стана по-лесно да строим, да броим разстояния, дори да регулираме стрелбата на оръдия... Познаването на тези свойства ще ни помогне да решим някои задачи от GIA и Единния държавен изпит!

Първото знание, което ще помогне за това е ъглополовяща на равнобедрен триъгълник.

Между другото, помните ли всички тези термини? Спомняте ли си как се различават един от друг? Не? Не е страшно. Нека да го разберем сега.

Така, основа на равнобедрен триъгълник- това е страната, която не е равна на никоя друга. Погледнете снимката, от коя страна мислите, че е това? Точно така - това е страната.

Медианата е линия, изтеглена от върха на триъгълник и разделяща противоположната страна(отново това) наполовина.

Забележете, че не казваме „Медиана на равнобедрен триъгълник“. Знаеш ли защо? Тъй като медиана, изтеглена от върха на триъгълник, разполовява срещуположната страна във ВСЕКИ триъгълник.

Е, височината е линия, начертана от върха и перпендикулярна на основата. Забелязахте ли? Отново говорим за всеки триъгълник, не само за равнобедрен. Височината във ВСЕКИ триъгълник винаги е перпендикулярна на основата.

И така, разбра ли го? почти. За да разберете още по-добре и да запомните завинаги какво е ъглополовяща, медиана и височина, трябва да ги сравните помежду си и да разберете как си приличат и как се различават един от друг. В същото време, за да запомните по-добре, е по-добре да опишете всичко “ човешки език" Тогава лесно ще работите с езика на математиката, но в началото не разбирате този език и трябва да разберете всичко на вашия собствен език.

И така, как си приличат? Ъглополовящата, медианата и надморската височина - всички те "излизат" от върха на триъгълника и почиват на противоположната страна и "правят нещо" или с ъгъла, от който излизат, или с противоположната страна. Мисля, че е просто, нали?

С какво се различават?

• Симетралата разделя ъгъла, от който излиза, наполовина.
• Медианата разделя противоположната страна наполовина.
• Височината винаги е перпендикулярна на противоположната страна.

Това е. Лесно е за разбиране. И след като разберете, можете да си спомните.

Сега следващият въпрос. Защо, в случай на равнобедрен триъгълник, ъглополовящата е едновременно медиана и надморска височина?

Можете просто да погледнете фигурата и да се уверите, че медианата се разделя на два абсолютно равни триъгълника. Това е всичко! Но математиците не обичат да вярват на очите си. Те трябва да докажат всичко. Страшна дума? Нищо подобно - просто е! Вижте: и двете имат равни страни и обикновено имат обща страна и. (- ъглополовяща!) И така се оказва, че два триъгълника имат две равни страни и ъгъл между тях. Припомняме първия знак за равенство на триъгълници (ако не си спомняте, погледнете в темата) и заключаваме, че и следователно = и.

Това вече е добре - това означава, че се оказа медианата.

Но какво е това?

Нека да разгледаме снимката - . И го получихме. Така също! Най-после ура! И.

Смятате ли това доказателство за малко тежко? Вижте снимката - два еднакви триъгълника говорят сами за себе си.

Във всеки случай помнете твърдо:

Сега е по-трудно: ще броим ъгъл между ъглополовящи във всеки триъгълник!Не се страхувайте, не е толкова сложно. Погледни снимката:

Нека го преброим. Помниш ли това сумата от ъглите на триъгълник е?

Нека приложим този удивителен факт.

От една страна, от:

Това е.

Сега нека да разгледаме:

Но ъглополовящи, ъглополовящи!

Да си спомним за:

Сега през писмата

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

Не е ли изненадващо? Оказа се, че ъгълът между ъглополовящите на два ъгъла зависи само от третия ъгъл!

Добре, разгледахме две ъглополовящи. Ами ако са три??!! Ще се пресекат ли всички в една точка?

Или ще бъде така?

Как смятате? Така че математиците мислеха, мислиха и доказаха:

Не е ли страхотно?

Искате ли да знаете защо това се случва?

И така... две правоъгълен триъгълник: И. Те имат:

• Обща хипотенуза.
• (защото е ъглополовяща!)

Това означава - по ъгъл и хипотенуза. Следователно съответните катети на тези триъгълници са равни! Това е.

Доказахме, че точката е еднакво (или еднакво) отдалечена от страните на ъгъла. Точка 1 е разгледана. Сега да преминем към точка 2.

Защо 2 е вярно?

И нека свържем точките и.

Това означава, че лежи на ъглополовящата!

Това е всичко!

Как всичко това може да се приложи при решаване на задачи? Например в задачите често има следната фраза: „Кръг докосва страните на ъгъл...“. Е, трябва да намериш нещо.

Тогава бързо осъзнаваш това

И можете да използвате равенството.

3. Три ъглополовящи в триъгълник се пресичат в една точка

От свойството на ъглополовящата да бъде геометрично място на точки, еднакво отдалечени от страните на ъгъл, следва следното твърдение:

Как точно излиза? Но вижте: две ъглополовящи определено ще се пресекат, нали?

И третата ъглополовяща може да изглежда така:

Но в действителност всичко е много по-добре!

Нека да разгледаме пресечната точка на две ъглополовящи. Нека го наречем.

Какво използвахме тук и двата пъти? да параграф 1, разбира се! Ако една точка лежи на ъглополовяща, то тя е еднакво отдалечена от страните на ъгъла.

Така и стана.

Но погледнете внимателно тези две равенства! В крайна сметка от тях следва, че и, следователно, .

И сега ще влезе в действие точка 2: ако разстоянията до страните на ъгъла са равни, тогава точката лежи на ъглополовящата...кой ъгъл? Погледнете отново снимката:

и са разстоянията до страните на ъгъла и те са равни, което означава, че точката лежи върху ъглополовящата на ъгъла. Третата ъглополовяща минава през същата точка! И трите ъглополовящи се пресичат в една точка! И като допълнителен подарък -

Радиуси надписанкръгове.

(За по-сигурно вижте друга тема).

Е, сега никога няма да забравиш:

Пресечната точка на ъглополовящите на триъгълник е центърът на вписаната в него окръжност.

Да преминем към следващото свойство... Уау, ъглополовящата има много свойства, нали? И това е страхотно, защото повече имоти, толкова повече инструменти за решаване на ъглополовящи задачи.

4. Симетрала и успоредност, ъглополовящи на съседни ъгли

Фактът, че ъглополовящата дели ъгъла наполовина, в някои случаи води до напълно неочаквани резултати. Например,

Случай 1

Страхотно, нали? Нека разберем защо това е така.

От една страна чертаем ъглополовяща!

Но, от друга страна, има ъгли, които лежат на кръст (помнете темата).

И сега се оказва, че; изхвърлете средата: ! - равнобедрен!

Случай 2

Представете си триъгълник (или погледнете снимката)

Нека продължим страната отвъд точката. Сега имаме два ъгъла:

• - вътрешен ъгъл
• - външният ъгъл е отвън, нали?

И така, сега някой искаше да начертае не една, а две ъглополовящи наведнъж: и за, и за. Какво ще се случи?

ще се получи ли правоъгълен!

Изненадващо, това е точно така.

Нека да го разберем.

Каква е сумата според вас?

Разбира се, - в края на краищата всички те заедно образуват такъв ъгъл, че се оказва права линия.

Сега си спомнете, че и са ъглополовящи и вижте, че вътре в ъгъла има точно половинатаот сбора на четирите ъгъла: и - - тоест точно. Можете също да го напишете като уравнение:

И така, невероятно, но истина:

Ъгълът между ъглополовящите на вътрешните и външен ъгълтриъгълник е равен.

Случай 3

Виждате ли, че тук всичко е същото като вътрешните и външните ъгли?

Или нека помислим отново защо се случва това?

Отново като за съседни ъгли,

(както съответства на успоредни основи).

И пак се сдобряват точно половинатаот сумата

Заключение:Ако задачата съдържа ъглополовящи съседенъгли или ъглополовящи релевантниъгли на успоредник или трапец, то в тази задача със сигурностучаства правоъгълен триъгълник или може би дори цял правоъгълник.

5. Симетрала и противоположна страна

Оказва се, че ъглополовящата на ъгъл на триъгълник разделя срещуположната страна не просто по някакъв начин, а по специален и много интересен начин:

Това е:

Удивителен факт, нали?

Сега ще докажем този факт, но се пригответе: ще бъде малко по-трудно от преди.

Отново - изход към "пространство" - допълнителна формация!

Да вървим направо.

За какво? Сега ще видим.

Нека продължим ъглополовящата, докато се пресече с правата.

Това позната снимка ли е? Да, да, да, точно същото като в точка 4, случай 1 - оказва се, че (- ъглополовяща)

Лежане на кръст

И така, това също.

Сега нека разгледаме триъгълниците и.

Какво можете да кажете за тях?

Те са подобни. Ами да, ъглите им са равни като вертикалните. И така, в два ъгъла.

Сега имаме право да пишем отношенията на съответните страни.

А сега накратко:

о! Напомня ми за нещо, нали? Не е ли това, което искахме да докажем? Да, да, точно така!

Виждате колко страхотна се оказа „космическата разходка“ - изграждането на допълнителна права линия - без нея нищо нямаше да се случи! И така, ние сме го доказали

Сега можете безопасно да го използвате! Нека разгледаме още едно свойство на ъглополовящите на ъглите на триъгълник - не се тревожете, сега най-трудната част свърши - ще бъде по-лесно.

Разбираме това

Теорема 1:

Теорема 2:

Теорема 3:

Теорема 4:

Теорема 5:

Теорема 6:

Теорема. Симетрала вътрешен ъгълна триъгълник разделя противоположната страна на части, пропорционални на съседните страни.

Доказателство. Да разгледаме триъгълника ABC (фиг. 259) и ъглополовящата на неговия ъгъл B. Начертайте през върха C права CM, успоредна на ъглополовящата BC, докато пресече в точка M продължението на страната AB. Тъй като BK е ъглополовяща на ъгъл ABC, тогава . Освен това, като съответни ъгли за успоредни прави и като напречни ъгли за успоредни прави. Следователно и следователно - равнобедрен, откъдето . По теоремата за успоредни прави, пресичащи страните на ъгъл, имаме и с оглед получаваме , което трябваше да докажем.

Ъглополовящата на външния ъгъл B на триъгълник ABC (фиг. 260) има подобно свойство: отсечките AL и CL от върховете A и C до точката L на пресечната точка на ъглополовящата с продължението на страната AC са пропорционални на страни на триъгълника:

Това свойство се доказва по същия начин като предишното: на фиг. 260 е начертана спомагателна права SM, успоредна на ъглополовящата BL. Читателят сам ще се убеди в равенството на ъглите VMS и VSM, а следователно и на страните VM и BC на триъгълника VMS, след което веднага ще се получи търсената пропорция.

Можем да кажем, че ъглополовящата на външен ъгъл разделя противоположната страна на части, пропорционални на съседните страни; просто трябва да се съгласите да разрешите „външно разделяне“ на сегмента.

Точка L, лежаща извън сегмента AC (на неговото продължение), го разделя външно в отношението, ако Така ъглополовящите на ъгъла на триъгълник (вътрешен и външен) разделят противоположната страна (вътрешна и външна) на части, пропорционални на съседни страни.

Задача 1. Страните на трапеца са равни на 12 и 15, основите са равни на 24 и 16. Намерете страните на триъгълника, образуван от голямата основа на трапеца и неговите удължени страни.

Решение. В означенията на фиг. 261 имаме пропорция за отсечката, която служи за продължение на страничната страна, от която лесно намираме втората странична страна на триъгълника, която съвпада с голямата основа.

Задача 2. Основите на трапеца са 6 и 15. Каква е дължината на отсечката, успоредна на основите и разделяща страните в съотношение 1:2, считано от върховете на малката основа?

Решение. Нека се обърнем към фиг. 262, изобразяващ трапец. През върха C на малката основа прекарваме права, успоредна на страната AB, отрязвайки успоредника от трапеца. Тъй като , тогава от тук намираме . Следователно цялата неизвестна отсечка KL е равна на Обърнете внимание, че за да решим тази задача не е необходимо да знаем страничните страни на трапеца.

Задача 3. Симетралата на вътрешния ъгъл B на триъгълник ABC разрязва страната AC на отсечки на какво разстояние от върховете A и C ъглополовящата на външния ъгъл B ще пресича продължението AC?

Решение. Всяка от ъглополовящите на ъгъл B дели AC в същото отношение, но едната навътре, а другата навън. Нека означим с L точката на пресичане на продължението AC и ъглополовящата на външния ъгъл B. Тъй като AK Нека дотогава означим неизвестното разстояние AL и ще имаме пропорция, чието решение ни дава търсеното разстояние

Завършете рисунката сами.

Упражнения

1. Трапец с основи 8 и 18 е разделен от прави линии, успоредни на основите, на шест ленти с еднаква ширина. Намерете дължините на правите отсечки, разделящи трапеца на ленти.

2. Периметърът на триъгълника е 32. Симетралата на ъгъл A разделя страната BC на части, равни на 5 и 3. Намерете дължините на страните на триъгълника.

3. Основата на равнобедрен триъгълник е a, страната е b. Намерете дължината на отсечката, свързваща точките на пресичане на ъглополовящите на ъглите на основата със страните.

Днес ще бъде много лесен урок. Ще разгледаме само един обект - ъглополовящата - и ще докажем най-важното му свойство, което ще ни бъде много полезно в бъдеще.

Просто не се отпускайте: понякога учениците, които искат да получат висок резултат на един и същ Единен държавен изпит или Единен държавен изпит, дори не могат точно да формулират дефиницията на ъглополовяща в първия урок.

И вместо да вършим наистина интересни задачи, ние губим време за толкова прости неща. Така че четете, гледайте и го приемайте :)

Като начало един малко странен въпрос: какво е ъгъл? Точно така: ъгълът е просто два лъча, излизащи от една и съща точка. Например:

Примери за ъгли: остър, тъп и прав

Както можете да видите от снимката, ъглите могат да бъдат остри, тъпи, прави - сега няма значение. Често за удобство на всеки лъч се отбелязва допълнителна точка и казват, че пред нас е ъгълът $AOB$ (записан като $\angle AOB$).

Captain Obviousness изглежда намеква, че в допълнение към лъчите $OA$ и $OB$, винаги е възможно да начертаете още куп лъчи от точката $O$. Но сред тях ще има един специален - той се нарича ъглополовяща.

Определение. Симетралата на ъгъл е лъчът, който излиза от върха на този ъгъл и разполовява ъгъла.

За горните ъгли ъглополовящите ще изглеждат така:

Примери за ъглополовящи за остър, тъп и прав ъгъл

Тъй като в реалните чертежи не винаги е очевидно, че определен лъч (в нашия случай това е $OM$ лъч) разделя първоначалния ъгъл на два равни, в геометрията е обичайно да се маркират равни ъгли с еднакъв брой дъги ( в нашия чертеж това е 1 дъга за остър ъгъл, две за тъп, три за прав).

Добре, подредихме определението. Сега трябва да разберете какви свойства има ъглополовящата.

Основното свойство на ъглополовящата

Всъщност ъглополовящата има много свойства. И определено ще ги разгледаме в следващия урок. Но има един трик, който трябва да разберете точно сега:

Теорема. Симетралата на ъгъл е геометричното място на точките, еднакво отдалечени от страните на даден ъгъл.

Преведено от математически на руски, това означава два факта наведнъж:

1. Всяка точка, лежаща върху ъглополовящата на определен ъгъл, е разположена върху същото разстояниеот страните на този ъгъл.
2. И обратното: ако дадена точка лежи на същото разстояние от страните на даден ъгъл, тогава тя гарантирано лежи на ъглополовящата на този ъгъл.

Преди да докажем тези твърдения, нека изясним една точка: какво точно се нарича разстоянието от точка до страната на ъгъл? Тук ще ни помогне доброто старо определяне на разстоянието от точка до права:

Определение. Разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра, прекаран от дадена точка към тази права.

Например, разгледайте права $l$ и точка $A$, която не лежи на тази права. Нека начертаем перпендикуляр на $AH$, където $H\in l$. Тогава дължината на този перпендикуляр ще бъде разстоянието от точка $A$ до права $l$.

Графично представяне на разстоянието от точка до права

Тъй като ъгълът е просто два лъча и всеки лъч е част от права линия, лесно е да се определи разстоянието от точка до страните на ъгъла. Това са само два перпендикуляра:

Определете разстоянието от точката до страните на ъгъла

Това е всичко! Сега знаем какво е разстояние и какво е ъглополовяща. Следователно можем да докажем основното свойство.

Както обещахме, ще разделим доказателството на две части:

1. Разстоянията от точката на ъглополовящата до страните на ъгъла са еднакви

Да разгледаме произволен ъгъл с връх $O$ и ъглополовяща $OM$:

Нека докажем, че точно тази точка $M$ е на същото разстояние от страните на ъгъла.

Доказателство. Нека начертаем перпендикуляри от точка $M$ към страните на ъгъла. Нека ги наречем $M((H)_(1))$ и $M((H)_(2))$:

Начертайте перпендикуляри към страните на ъгъла

Получихме два правоъгълни триъгълника: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Те имат обща хипотенуза $OM$ и равни ъгли:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ по условие (тъй като $OM$ е ъглополовяща);
2. $\ъгъл M((H)_(1))O=\ъгъл M((H)_(2))O=90()^\circ $ по конструкция;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, тъй като сума Острите ъгли на правоъгълен триъгълник винаги са 90 градуса.

Следователно триъгълниците са равни по страни и два съседни ъгъла (вижте знаците за равенство на триъгълниците). Следователно, по-специално, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, т.е. разстоянията от точка $O$ до страните на ъгъла наистина са равни. Q.E.D. :)

2. Ако разстоянията са равни, то точката лежи на ъглополовящата

Сега ситуацията е обратна. Нека е даден ъгъл $O$ и точка $M$, равноотдалечена от страните на този ъгъл:

Нека докажем, че лъчът $OM$ е ъглополовяща, т.е. $\ъгъл MO((H)_(1))=\ъгъл MO((H)_(2))$.

Доказателство. Първо, нека начертаем този лъч $OM$, в противен случай няма да има какво да се доказва:

Проведен $OM$ лъч вътре в ъгъла

Отново получаваме два правоъгълни триъгълника: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Очевидно те са равни, защото:

1. Хипотенуза $OM$ - общо;
2. Крака $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ по условие (все пак точката $M$ е на еднакво разстояние от страните на ъгъла);
3. Останалите крака също са равни, т.к по Питагоровата теорема $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Следователно триъгълниците $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$ от три страни. По-специално, техните ъгли са равни: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. И това просто означава, че $OM$ е ъглополовяща.

За да завършим доказателството, отбелязваме получените равни ъгли с червени дъги:

Симетралата разделя ъгъла $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ на два равни

Както можете да видите, нищо сложно. Доказахме, че ъглополовящата на ъгъл е геометричното място на точките, равноотдалечени на страните на този ъгъл :)

Сега, когато повече или по-малко решихме терминологията, е време да преминем към ново ниво. В следващия урок ще разгледаме повече комплексни свойстваъглополовящи и се научете как да ги използвате за решаване на реални проблеми.