Четириъгълникът е успоредник, срещуположните страни са равни. Успоредник и неговите свойства. Площ на успоредник. Ъглополовящи на успоредник
Това е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по двойки.
Имот 1. Всеки диагонал на успоредника го разделя на два равни триъгълника.
доказателство Според II характеристика (напречни ъгли и обща страна).
Теоремата е доказана.
Имот 2. В успоредник противоположните страни са равни и срещуположните ъгли са равни.
доказателство
по същия начин,
Теоремата е доказана.
Свойство 3. В успоредника диагоналите се делят наполовина от пресечната точка.
доказателство
Теоремата е доказана.
Имот 4. Симетралата на ъгъла на успоредника, пресичаща срещуположната страна, го дели на равнобедрен триъгълники трапец. (гл. думи - връх - две равнобедрени? -ка).
доказателство
Теоремата е доказана.
Имот 5 . В успоредник отсечка с краища от противоположни страни, минаваща през точката на пресичане на диагоналите, се разполовява от тази точка.
доказателство
Теоремата е доказана.
Имот 6 . Ъгълът между височините, паднали от върха на тъп ъгъл на успоредник, е равен на остър ъгъл на успоредник.
доказателство
Теоремата е доказана.
Имот 7 . Сумата от ъглите на успоредник, прилежащи към едната страна, е 180°.
доказателство
Теоремата е доказана.
Построяване на ъглополовяща на ъгъл. Свойства на ъглополовящата на триъгълник.
1) Построете произволен лъч DE.
2) Върху даден лъч се построява произволна окръжност с център във върха и същата
с център в началото на построения лъч.
3) F и G - точки на пресичане на окръжността със страните на даден ъгъл, H - точка на пресичане на окръжността с построения лъч
Построете окръжност с център в точка H и радиус равен на FG.
5) I е пресечната точка на окръжностите на построената греда.
6) Начертайте права линия през върха и I.
IDH е необходимият ъгъл.
)
Имот 1 . Симетралата на ъгъл на триъгълник разделя срещуположната страна пропорционално на съседните страни.
доказателство Нека x, y са сегменти от страна c. Нека продължим лъча BC. На лъч BC нанасяме от C отсечка CK, равна на AC.
Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни. Следната фигура показва успоредник ABCD. Страната AB е успоредна на страната CD и страната BC е успоредна на страната AD.
Както може би се досещате, успоредникът е изпъкнал четириъгълник. Нека разгледаме основните свойства на успоредник.
Свойства на успоредник
1. В успоредника срещуположните ъгли и срещуположните страни са равни. Нека докажем това свойство - разгледайте успоредника, представен на следващата фигура.
Диагоналът BD го разделя на два равни триъгълника: ABD и CBD. Те са равни по страната BD и двата прилежащи към нея ъгъла, тъй като ъглите, лежащи на кръст при секущата BD на успоредните прави BC и AD и съответно AB и CD. Следователно AB = CD и
пр.н.е. А от равенството на ъгли 1, 2, 3 и 4 следва, че ъгъл A = ъгъл1 + ъгъл3 = ъгъл2 + ъгъл4 = ъгъл C.
2. Диагоналите на успоредник се делят наполовина от пресечната точка. Нека точка O е пресечната точка на диагоналите AC и BD на успоредника ABCD.
Тогава триъгълник AOB и триъгълник COD са равни един на друг, по протежение на страната и два съседни ъгъла. (AB = CD, тъй като това са противоположните страни на успоредника. И ъгъл 1 = ъгъл 2 и ъгъл 3 = ъгъл 4 са като напречни ъгли, когато правите AB и CD се пресичат съответно със секущите AC и BD.) От това следва, че AO = OC и OB = OD, което трябваше да бъде доказано.
Всички основни свойства са илюстрирани на следващите три фигури.
Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Това определение вече е достатъчно, тъй като останалите свойства на успоредника следват от него и се доказват под формата на теореми.
Основните свойства на успоредника са:
- успоредникът е изпъкнал четириъгълник;
- Паралелограмът има противоположни страни, които са равни по двойки;
- В успоредник противоположните ъгли са равни по двойки;
- Диагоналите на успоредника са разделени наполовина от пресечната точка.
Успоредник - изпъкнал четириъгълник
Нека първо докажем теоремата, че успоредникът е изпъкнал четириъгълник. Многоъгълникът е изпъкнал, ако която и страна от него да е удължена до права линия, всички останали страни на многоъгълника ще бъдат от същата страна на тази права линия.
Нека е даден успоредник ABCD, в който AB е противоположната страна на CD, а BC е противоположната страна на AD. Тогава от определението за успоредник следва, че AB || CD, BC || от н.е.
Няма успоредни прави общи точки, те не се пресичат. Това означава, че CD лежи от едната страна на AB. Тъй като отсечката BC свързва точка B от отсечката AB с точка C от отсечката CD, а отсечката AD свързва други точки AB и CD, отсечките BC и AD също лежат от същата страна на правата AB, където лежи CD. Така и трите страни - CD, BC, AD - лежат на една и съща страна на AB.
По същия начин се доказва, че по отношение на другите страни на успоредника другите три страни лежат на една и съща страна.
Противоположните страни и ъгли са равни
Едно от свойствата на успоредника е това В успоредник противоположните страни и противоположните ъгли са равни по двойки. Например, ако е даден успоредник ABCD, тогава той има AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Тази теорема се доказва по следния начин.
Успоредникът е четириъгълник. Това означава, че има два диагонала. Тъй като паралелограмът е изпъкнал четириъгълник, всеки от тях го разделя на два триъгълника. В успоредника ABCD разгледайте триъгълниците ABC и ADC, получени от начертаването на диагонала AC.
Тези триъгълници имат една обща страна - AC. Ъгъл BCA е равен на ъгъл CAD, както и вертикален, когато BC и AD са успоредни. Ъглите BAC и ACD също са равни на вертикалните ъгли, когато AB и CD са успоредни. Следователно ∆ABC = ∆ADC при два ъгъла и страната между тях.
В тези триъгълници страната AB съответства на страната CD, а страната BC съответства на AD. Следователно AB = CD и BC = AD.
Ъгъл B съответства на ъгъл D, т.е. ∠B = ∠D. Ъгъл A на успоредник е сборът от два ъгъла - ∠BAC и ∠CAD. Ъгъл C е равен на ∠BCA и ∠ACD. Тъй като двойки ъгли са равни един на друг, тогава ∠A = ∠C.
По този начин се доказва, че в успоредник противоположните страни и ъгли са равни.
Диагоналите са разделени наполовина
Тъй като успоредникът е изпъкнал четириъгълник, той има два диагонала и те се пресичат. Нека е даден успоредник ABCD, неговите диагонали AC и BD се пресичат в точка E. Да разгледаме образуваните от тях триъгълници ABE и CDE.
Тези триъгълници имат страни AB и CD, равни на противоположните страни на успоредник. Ъгъл ABE е равен на ъгъл CDE като лежи напречно на успоредни прави AB и CD. По същата причина ∠BAE = ∠DCE. Това означава ∆ABE = ∆CDE при два ъгъла и страната между тях.
Можете също така да забележите, че ъглите AEB и CED са вертикални и следователно също са равни един на друг.
Тъй като триъгълниците ABE и CDE са равни един на друг, тогава всичките им съответни елементи са равни. Страната AE на първия триъгълник съответства на страната CE на втория, което означава AE = CE. По същия начин BE = DE. Всяка двойка равни сегменти представлява диагонал на успоредник. Така се доказва, че Диагоналите на успоредник се делят наполовина от тяхната пресечна точка.
Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по двойки (фиг. 233).
За произволен успоредник са валидни следните свойства:
1. Противоположните страни на успоредник са равни.
Доказателство. В успоредника ABCD начертаваме диагонала AC. Триъгълниците ACD и AC B са равни, тъй като имат обща страна AC и две двойки равни ъгли, съседни на нея:
(като напречни ъгли с успоредни прави AD и BC). Това означава и като страните на равни триъгълници, лежащи срещу равни ъгли, което трябваше да се докаже.
2. Противоположните ъгли на успоредник са равни:
3. Съседни ъгли на успоредник, т.е. ъгли, съседни на едната страна, добавете и т.н.
Доказателството на свойства 2 и 3 непосредствено следва от свойствата на ъглите при успоредни прави.
4. Диагоналите на успоредник се разполовяват в пресечната си точка. С други думи,
Доказателство. Триъгълниците AOD и BOC са равни, тъй като страните им AD и BC са равни (свойство 1) и прилежащите им ъгли (като кръстосани ъгли с успоредни прави). Това предполага равенството на съответните страни на тези триъгълници: AO, което трябваше да се докаже.
Всяко от тези четири свойства характеризира успоредника или, както се казва, е негово характерно свойство, т.е. всеки четириъгълник, който има поне едно от тези свойства, е успоредник (и следователно има всичките останали три свойства).
Нека извършим доказването за всеки имот поотделно.
1". Ако противоположните страни на четириъгълник са равни по двойки, тогава той е успоредник.
Доказателство. Нека четириъгълникът ABCD има съответно равни страни AD и BC, AB и CD (фиг. 233). Нека начертаем диагонала AC. Триъгълниците ABC и CDA ще бъдат еднакви като имат три двойки равни страни.
Но тогава ъглите BAC и DCA са равни и . Успоредността на страните BC и AD следва от равенството на ъглите CAD и ACB.
2. Ако един четириъгълник има две двойки противоположни ъглиса равни, то това е успоредник.
Доказателство. Позволявам . Оттогава двете страни AD и BC са успоредни (въз основа на успоредността на правите).
3. Оставяме формулировката и доказателството на читателя.
4. Ако диагоналите на четириъгълника са взаимно разделени в точката на пресичане наполовина, тогава четириъгълникът е успоредник.
Доказателство. Ако AO \u003d OS, BO \u003d OD (фиг. 233), тогава триъгълниците AOD и BOC са равни, тъй като имат равни ъгли (вертикални!) При върха O, затворени между двойки равни страни AO и CO, BO и НАПРАВЕТЕ. От равенството на триъгълниците заключаваме, че страните AD и BC са равни. Страните AB и CD също са равни, а четириъгълникът се оказва успоредник по характеристичното свойство Г.
По този начин, за да се докаже, че даден четириъгълник е успоредник, е достатъчно да се провери валидността на някое от четирите свойства. Читателят е поканен самостоятелно да докаже още едно характерно свойство на успоредник.
5. Ако четириъгълник има двойка равни, успоредни страни, тогава той е успоредник.
Понякога всяка двойка успоредни страни на успоредник се нарича негови основи, докато другите две се наричат странични страни. Отсечката от права линия, перпендикулярна на двете страни на успоредник, затворена между тях, се нарича височина на успоредника. Успоредник на фиг. 234 има височина h, начертана към страните AD и BC, втората му височина е представена от сегмент .
В днешния урок ще повторим основните свойства на успоредника, а след това ще обърнем внимание на разглеждането на първите две признаци на успоредника и ще ги докажем. В хода на доказателството нека си припомним приложението на признаците за равенство на триъгълници, които изучавахме миналата година и повторихме в първия урок. В края ще бъде даден пример за приложението на изучените характеристики на успоредник.
Тема: Четириъгълници
Урок: Признаци на успоредник
Нека започнем, като си припомним определението за успоредник.
Определение. Успоредник- четириъгълник, в който всеки две противоположни страни са успоредни (виж фиг. 1).
Ориз. 1. Успоредник
Да си припомним основни свойства на успоредник:
За да можете да използвате всички тези свойства, трябва да сте сигурни, че фигурата, за която ние говорим за, е успоредник. За да направите това, трябва да знаете факти като характеристиките на успоредник. Днес ще разгледаме първите две от тях.
Теорема. Първият знак на успоредник.Ако в четириъгълник две противоположни страни са равни и успоредни, то този четириъгълник е такъв успоредник. 
.
Ориз. 2. Първи признак на успоредник
Доказателство. Нека начертаем диагонал в четириъгълника (виж фиг. 2), тя го раздели на два триъгълника. Нека запишем какво знаем за тези триъгълници:
според първия критерий за равенство на триъгълниците.
От равенството на тези триъгълници следва, че въз основа на успоредността на правите в пресечната точка на секанса им. Имаме това:
Доказано.
Теорема. Вторият знак на успоредник.Ако в един четириъгълник всеки две срещуположни страни са равни, то този четириъгълник е равен успоредник. 
.
Ориз. 3. Втори признак на успоредник
Доказателство. Нека начертаем диагонал в четириъгълника (виж фиг. 3), той го разделя на два триъгълника. Нека запишем какво знаем за тези триъгълници въз основа на формулировката на теоремата:
според третия критерий за равенство на триъгълниците.
От равенството на триъгълниците следва, че правите са успоредни, когато се пресичат със секуща. Получаваме:
успоредник по дефиниция. Q.E.D.
Доказано.
Нека да разгледаме пример за използване на функции на успоредник.
Пример 1. В изпъкнал четириъгълник Намерете: а) ъглите на четириъгълника; б) страна.
Решение. Нека изобразим Фиг. 4.
Ориз. 4
успоредник според първия знак на успоредник.
