≡×МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт 
• Вътрешен дизайн
• За всичко
• Относно ВиК

Какъв е коренът на степен n. Корен квадратен. Изчерпателното ръководство (2019)

Първо ниво

Корен и неговите свойства. Подробна теорияс примери (2019)

Нека се опитаме да разберем какво представлява понятието „корен“ и „с какво се яде“. За да направите това, нека да разгледаме примери, които вече сте срещнали в клас (е, или тепърва ще се сблъскате с това).

Например, имаме уравнение. Какво е решението на това уравнение? Какви числа могат да бъдат повдигнати на квадрат и получени? Спомняйки си таблицата за умножение, можете лесно да дадете отговора: и (в крайна сметка, когато се умножат две отрицателни числа, се получава положително число)! За да опростят, математиците въведоха специалното понятие квадратен корен и му присвоиха специален символ.

Нека дефинираме аритметичния квадратен корен.

Защо числото трябва да е неотрицателно? Например на какво е равно? Добре, добре, нека се опитаме да изберем един. Може би три? Да проверим: , не. Може би, ? Отново проверяваме: . Е, не се вписва? Това е очаквано – защото няма числа, които при повдигане на квадрат да дават отрицателно число!
Ето какво трябва да запомните: числото или изразът под корена трябва да е неотрицателен!

Най-внимателните обаче вероятно вече са забелязали, че дефиницията казва, че решението на корен квадратен от „число се нарича това неотрицателничисло, чийто квадрат е равен на ". Някои от вас ще кажат, че в самото начало анализирахме примера, избрахме числа, които могат да бъдат повдигнати на квадрат и получени, отговорът беше и, но тук говорим за някакво „неотрицателно число“! Тази забележка е съвсем уместна. Тук просто трябва да правите разлика между понятията квадратни уравнения и аритметичния корен квадратен от число. Например, не е еквивалентно на израза.

От това следва, че или. (Прочетете темата "")

И това следва.

Разбира се, това е много объркващо, но е необходимо да запомните, че знаците са резултат от решаването на уравнението, тъй като при решаването на уравнението трябва да запишем всички X, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще дадат правилен резултат. В нашата квадратно уравнениеподходящ и за двете.

Въпреки това, ако просто вземете корен квадратенот нещо, тогава винаги получаваме един неотрицателен резултат.

Сега се опитайте да решите това уравнение. Вече не всичко е толкова просто и гладко, нали? Опитайте да прегледате числата, може би нещо ще се получи? Да започнем от самото начало - от нулата: - не се вписва, продължете - по-малко от три, също изметете настрани, какво ако. Да проверим: - също не е подходящо, защото... това е повече от три. Същата е и с отрицателните числа. И така, какво да правим сега? Наистина ли търсенето не ни даде нищо? Съвсем не, сега знаем със сигурност, че отговорът ще бъде някакво число между и, както и между и. Също така, очевидно решенията няма да бъдат цели числа. Освен това те не са рационални. И така, какво следва? Нека начертаем функцията и да отбележим решенията върху нея.

Нека се опитаме да измамим системата и да получим отговора с помощта на калкулатор! Нека извадим корена от това! О-о-о, оказва се, че. Този номер никога не свършва. Как да го запомниш, след като на изпита няма да има калкулатор!? Всичко е много просто, не е нужно да го помните, просто трябва да запомните (или да можете бързо да прецените) приблизителната стойност. и самите отговори. Такива числа се наричат ​​ирационални; за да се опрости писането на такива числа, беше въведена концепцията за квадратен корен.

Нека да разгледаме друг пример, за да подкрепим това. Нека да разгледаме този проблем: трябва да пресечете диагонално квадратно полесъс страна от км, колко километра трябва да извървите?

Най-очевидното нещо тук е да разгледаме триъгълника отделно и да използваме Питагоровата теорема: . По този начин, . И така, какво е необходимото разстояние тук? Очевидно разстоянието не може да бъде отрицателно, получаваме това. Коренът от две е приблизително равен, но, както отбелязахме по-рано, - вече е пълен отговор.

За да решавате примери с корени, без да създавате проблеми, трябва да ги видите и разпознаете. За да направите това, трябва да знаете поне квадратите на числата от до, както и да можете да ги разпознавате. Например, трябва да знаете какво е равно на квадрат и също, обратно, какво е равно на квадрат.

Хванахте ли какво е квадратен корен? След това решете няколко примера.

Примери.

Е, как се получи? Сега нека да разгледаме тези примери:

Отговори:

Кубичен корен

Е, изглежда, че сме разбрали концепцията за квадратен корен, сега нека се опитаме да разберем какво е кубичен корен и каква е разликата им.

Кубичният корен на число е числото, на което е равен кубът. Забелязали ли сте, че тук всичко е много по-просто? Няма ограничения за възможните стойности като стойности под знака кубичен корен, и извлеченото число. Тоест кубичният корен може да бъде извлечен от всяко число: .

Разбирате ли какво е кубичен корен и как да го извлечете? След това продължете и решете примерите.

Примери.

Отговори:

Корен - о степен

Е, разбрахме понятията квадратен и кубичен корен. Сега нека обобщим знанията, придобити с концепцията 1-ви корен.

1-ви коренна число е число, чиято степен е равна, т.е.

еквивалентен.

Ако - даже, Че:

• с отрицателен, изразът няма смисъл (четни корени от отрицателни числа не може да се премахне!);
• за неотрицателни() изразът има един неотрицателен корен.

Ако - е странно, тогава изразът има уникален корен за всяко.

Не се тревожете, тук важат същите принципи като при квадратните и кубичните корени. Тоест принципите, които приложихме при разглеждането квадратни корени, се простират до всички корени от четна степен.

И свойствата, които бяха използвани за кубичния корен, се отнасят за корени от нечетна степен.

Е, стана ли по-ясно? Нека да разгледаме примери:

Тук всичко е повече или по-малко ясно: първо гледаме - да, степента е четна, числото под корена е положително, което означава, че нашата задача е да намерим число, чиято четвърта степен ще ни даде. Е, някакви предположения? Може би, ? Точно!

И така, степента е равна - нечетна, числото под корена е отрицателно. Нашата задача е да намерим число, което, когато бъде повдигнато на степен, произвежда. Доста трудно е веднага да забележите корена. Въпреки това можете веднага да стесните търсенето си, нали? Първо, търсеното число определено е отрицателно, и второ, може да се забележи, че е нечетно и следователно желаното число е нечетно. Опитайте се да намерите корена. Разбира се, можете спокойно да го отхвърлите. Може би, ?

Да, това е, което търсихме! Обърнете внимание, че за опростяване на изчислението използвахме свойствата на градусите: .

Основни свойства на корените

Ясно е? Ако не, тогава след разглеждане на примерите всичко трябва да си дойде на мястото.

Умножаващи се корени

Как да умножим корените? Най-простото и основно свойство помага да се отговори на този въпрос:

Да започнем с нещо просто:

Корените на получените числа не са ли точно извлечени? Няма проблем – ето няколко примера:

Ами ако има не два, а повече множители? Същото! Формулата за умножение на корени работи с произволен брой фактори:

Какво можем да направим с него? Е, разбира се, скрийте тройката под корена, като помните, че тройката е корен квадратен от!

Защо имаме нужда от това? Да, само за да разширим нашите възможности при решаване на примери:

Как ви харесва това свойство на корените? Прави ли живота много по-лесен? За мен е точно така! Просто трябва да запомните това Можем да въвеждаме само положителни числа под корена на четна степен.

Нека видим къде другаде това може да бъде полезно. Например, проблемът изисква сравняване на две числа:

Още повече:

Не можете да кажете веднага. Добре, нека използваме свойството disassembled за въвеждане на число под знака на корена? Тогава продължете:

Е, знаейки какво по-голям бройпод знака на корена, толкова по-голям е самият корен! Тези. ако, тогава,. От това твърдо заключаваме, че. И никой няма да ни убеди в обратното!

Преди това въведохме множител под знака на корена, но как да го премахнем? Просто трябва да го разделите на фактори и да извлечете това, което извлечете!

Възможно е да се поеме по различен път и да се разшири в други фактори:

Не е лошо, нали? Всеки от тези подходи е правилен, решете както желаете.

Например, ето един израз:

В този пример степента е четна, но какво ще стане, ако е нечетна? Отново приложете свойствата на степените и факторизирайте всичко:

Всичко изглежда ясно с това, но как да извлечете корена на число на степен? Ето например това:

Доста просто, нали? Ами ако степента е повече от две? Следваме същата логика, използвайки свойствата на степените:

Е, всичко ясно ли е? Тогава ето един пример:

Това са капаните, за тях винаги си струва да се помни. Това всъщност е отразено в примерите за свойства:

за нечетно: за дори и:

Ясно е? Подкрепете с примери:

Да, виждаме, че коренът е на четна степен, отрицателното число под корена също е на четна степен. Е, така ли се получава? Ето какво:

Това е всичко! Ето няколко примера:

Схванах го? След това продължете и решете примерите.

Примери.

Отговори.

Ако сте получили отговори, тогава можете да продължите със спокойствие. Ако не, тогава нека разберем тези примери:

Нека да разгледаме две други свойства на корените:

Тези свойства трябва да бъдат анализирани в примери. Е, да направим това?

Схванах го? Нека го подсигурим.

Примери.

Отговори.

КОРЕНИ И ТЕХНИТЕ СВОЙСТВА. СРЕДНО НИВО

Аритметичен квадратен корен

Уравнението има две решения: и. Това са числа, чийто квадрат е равен на.

Помислете за уравнението. Нека го решим графично. Нека начертаем графика на функцията и линия на нивото. Пресечните точки на тези линии ще бъдат решенията. Виждаме, че това уравнение също има две решения - едното положително, другото отрицателно:

Но в в такъв случайрешенията не са цели числа. Освен това те не са рационални. За да запишем тези ирационални решения, въвеждаме специален символ за квадратен корен.

Аритметичен квадратен корене неотрицателно число, чийто квадрат е равен на. Когато изразът не е дефиниран, т.к Няма число, чийто квадрат да е равен на отрицателно число.

Корен квадратен: .

Например, . И от това следва, че или.

Нека ви обърна внимание още веднъж, това е много важно: Корен квадратенвинаги е неотрицателно число: !

Кубичен коренна число е число, чийто куб е равен на. Кубичният корен е дефиниран за всички. Може да се извлече от всяко число: . Както можете да видите, той може да приема и отрицателни стойности.

Коренът th на число е число, чиято степен th е равна, т.е.

Ако е четен, тогава:

• ако, тогава коренът th на a не е дефиниран.
• ако, тогава неотрицателният корен на уравнението се нарича аритметичен корен на та степен на и се обозначава.

Ако - е странно, тогава уравнението има уникален корен за всяко.

Забелязали ли сте, че вляво над знака на корена пишем неговата степен? Но не и за корен квадратен! Ако видите корен без степен, това означава, че е квадрат (градуси).

Примери.

Основни свойства на корените

КОРЕНИ И ТЕХНИТЕ СВОЙСТВА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Корен квадратен (аритметичен корен квадратен)от неотрицателно число се нарича това неотрицателно число, чийто квадрат е

Свойства на корените:

Тази статия е колекция от подробна информация, която се отнася до темата за свойствата на корените. Разглеждайки темата, ще започнем със свойствата, ще проучим всички формулировки и ще предоставим доказателства. За да консолидираме темата, ще разгледаме свойства от n-та степен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Свойства на корените

Ще говорим за имоти.

1. Имот умножени числа аИ b, което се представя като равенството a · b = a · b. Тя може да бъде представена под формата на фактори, положителни или равни на нула a 1 , a 2 , … , a kкато a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. от частното a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, може да се запише и в този вид a b = a b;
3. Свойство от степен на число ас четен степенен показател a 2 m = a m за произволно число а, например свойството от квадрат на число a 2 = a.

Във всяко от представените уравнения можете да размените частите преди и след тире, например равенството a · b = a · b се преобразува като a · b = a · b. Свойствата за равенство често се използват за опростяване на сложни уравнения.

Доказателството на първите свойства се основава на дефиницията на квадратния корен и свойствата на степени с естествен показател. За да се обоснове третото свойство, е необходимо да се обърнем към дефиницията на модула на числото.

Преди всичко е необходимо да се докажат свойствата на квадратния корен a · b = a · b. Според дефиницията е необходимо да се има предвид, че a b е число, положително или равно на нула, което ще бъде равно на а бпо време на строителството в квадрат. Стойността на израза a · b е положителна или равна на нула като произведение на неотрицателни числа. Свойството на степените на умножените числа ни позволява да представим равенството във формата (a · b) 2 = a 2 · b 2 . По дефиницията на квадратния корен a 2 = a и b 2 = b, тогава a · b = a 2 · b 2 = a · b.

По подобен начин може да се докаже това от продукта кумножители a 1 , a 2 , … , a kще бъде равно на произведението от квадратните корени на тези фактори. Наистина, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

От това равенство следва, че a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Нека да разгледаме няколко примера, за да подсилим темата.

Пример 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 и 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Необходимо е да се докаже свойството на аритметичния корен квадратен от частното: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Свойството ни позволява да запишем равенството a: b 2 = a 2: b 2 и a 2: b 2 = a: b, докато a: b е положително число или равно на нула. Този израз ще стане доказателство.

Например 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 и 30.121 = 30.121.

Нека разгледаме свойството на квадратния корен от квадрата на число. Може да се запише като равенство като a 2 = a За да докажем това свойство, е необходимо да разгледаме подробно няколко равенства за a ≥ 0и при а< 0 .

Очевидно е, че за a ≥ 0 равенството a 2 = a е вярно. При а< 0 ще бъде вярно равенството a 2 = - a. Всъщност в този случай − a > 0и (− a) 2 = a 2 . Можем да заключим, че a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 2

5 2 = 5 = 5 и - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Доказаното свойство ще помогне да се обоснове a 2 m = a m, където а– истински и м –естествено число. Наистина, свойството за повишаване на степен ни позволява да заменим степента на 2 мизразяване (a m) 2, тогава a 2 m = (a m) 2 = a m.

Пример 3

3 8 = 3 4 = 3 4 и (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Свойства на корена n-та

Първо, трябва да разгледаме основните свойства на n-ти корени:

1. Свойство от произведението на числата аИ b, които са положителни или равни на нула, могат да бъдат изразени като равенството a · b n = a n · b n , това свойство е вярно за продукта кчисла a 1 , a 2 , … , a kкато a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. от дробно число има свойството a b n = a n b n , където ае всяко реално число, което е положително или равно на нула, и b– положително реално число;
3. За всякакви аи дори индикатори n = 2 m a 2 · m 2 · m = a е вярно, а за нечетно n = 2 m − 1важи равенството a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Свойство на извличане от a m n = a n m , където а– всяко число, положително или равно на нула, нИ мса естествени числа, това свойство може да бъде представено и във формата. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. За всяко неотрицателно a и произволно нИ м, които са естествени, можем да дефинираме и справедливото равенство a m n · m = a n ;
6. Свойство степен нот степента на число а, което е положително или равно на нула, към естествената степен м, дефинирана от равенството a m n = a n m ;
7. Свойство за сравнение, което има еднакви показатели: за всякакви положителни числа аИ bтакова, че а< b , неравенството a n< b n ;
8. Свойство за сравнение, което има еднакви числа под корена: if мИ н -естествени числа, които m > n, след това при 0 < a < 1 неравенството a m > a n е вярно и кога а > 1изпълни m< a n .

Дадените по-горе равенства са валидни, ако частите преди и след знака за равенство са разменени. Те могат да се използват и в този вид. Това често се използва при опростяване или трансформиране на изрази.

Доказателството за горните свойства на корен се основава на дефиницията, свойствата на степента и дефиницията на модула на число. Тези свойства трябва да бъдат доказани. Но всичко е наред.

1. Първо, нека докажем свойствата на корена n-та от произведението a · b n = a n · b n. За аИ b , коетоса положителен или равен на нула , стойността a n · b n също е положителна или равна на нула, тъй като е следствие от умножаване на неотрицателни числа. Свойството на произведението да е естествена степен ни позволява да запишем равенството a n · b n n = a n n · b n n . По дефиниция на корен н-та степен a n n = a и b n n = b , следователно a n · b n n = a · b . Полученото равенство е точно това, което трябваше да се докаже.

Това свойство може да се докаже по подобен начин за продукта кмножители: за неотрицателни числа a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Ето примери за използване на свойството root н-та степен от произведението: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 и 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Нека докажем свойството на корена на частното a b n = a n b n . При a ≥ 0И b > 0условието a n b n ≥ 0 е изпълнено и a n b n n = a n n b n n = a b .

Да покажем примери:

Пример 4

8 27 3 = 8 3 27 3 и 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. За следващата стъпка е необходимо да се докажат свойствата на n-та степен от числото към степента н. Нека си представим това като равенството a 2 m 2 m = a и a 2 m - 1 2 m - 1 = a за всяко реално аи естествено м. При a ≥ 0получаваме a = a и a 2 m = a 2 m, което доказва равенството a 2 m 2 m = a, а равенството a 2 m - 1 2 m - 1 = a е очевидно. При а< 0 получаваме съответно a = - a и a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Последната трансформация на число е валидна според свойството степен. Точно това доказва равенството a 2 m 2 m = a и a 2 m - 1 2 m - 1 = a ще бъде вярно, тъй като се разглежда нечетната степен - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 за произволен номер ° С ,положителен или равен на нула.

За да консолидираме получената информация, нека разгледаме няколко примера, използвайки свойството:

Пример 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 и (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Нека докажем следното равенство a m n = a n m . За да направите това, трябва да размените числата преди и след знака за равенство a n · m = a m n. Това ще означава, че въведеното е правилно. За а,което е положително или равно на нула , от формата a m n е положително число или равен на нула. Нека се обърнем към свойството за повдигане на степен на степен и нейното определение. С тяхна помощ можете да преобразувате равенства във вида a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Това доказва свойството на корена на разглеждания корен.

Други свойства се доказват по подобен начин. Наистина ли, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Например 7 3 5 = 7 5 3 и 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Нека докажем следното свойство a m n · m = a n . За да направите това, е необходимо да се покаже, че n е число, положително или равно на нула. Когато се повдигне на степен n m е равно на a m. Ако броят атогава е положително или равно на нула н-та степен измежду ае положително число или равно на нула В този случай a n · m n = a n n m , което трябваше да се докаже.

За да консолидираме придобитите знания, нека разгледаме няколко примера.

1. Нека докажем следното свойство – свойството корен на степен от вида a m n = a n m . Очевидно е, че когато a ≥ 0степента a n m е неотрицателно число. Освен това, тя нстепента th е равна на a m, наистина, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Това доказва свойството на разглежданата степен.

Например 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Необходимо е да се докаже, че за всякакви положителни числа аи b условието е изпълнено а< b . Да разгледаме неравенството a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b . Следователно, a n< b n при а< b .

Например, нека дадем 12 4< 15 2 3 4 .

1. Разгледайте свойството на корена н-та степен. Необходимо е първо да разгледаме първата част от неравенството. При m > nИ 0 < a < 1 вярно a m > a n. Да приемем, че a m ≤ a n. Свойствата ще ви позволят да опростите израза до a n m · n ≤ a m m · n. Тогава, според свойствата на степен с естествен показател, е в сила неравенството a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, т.е. a n ≤ a m. Получената стойност при m > nИ 0 < a < 1 не отговаря на посочените по-горе свойства.

По същия начин може да се докаже, че когато m > nИ а > 1условието a m е вярно< a n .

За да консолидирате горните свойства, помислете за няколко конкретни примери. Нека да разгледаме неравенствата, използвайки конкретни числа.

Пример 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Цели на урока:

Образователни: създаване на условия за формиране у учениците на цялостно разбиране на корена на n-та степен, умения за съзнателно и рационално използванесвойства на корена при решаване на различни задачи.

Развитие: създават условия за развитие на алгоритмично, творческо мислене, развиват умения за самоконтрол.

Образователни: насърчаване на развитието на интерес към темата, дейност, култивиране на точност в работата, способност за изразяване собствено мнение, дайте препоръки.

По време на часовете

1. Организационен момент.

Добър ден Добър час!

толкова се радвам да те видя

Камбаната вече удари

Урокът започва.

Усмихнахме се. Наваксахме.

Спогледахме се

И седнаха тихо заедно.

2. Мотивация на урока.

Изключителен френски философ, ученият Блез Паскал твърди: „Величието на човека се крие в способността му да мисли.“ Днес ще се опитаме да се почувстваме велики хора, като открием знания за себе си. Мотото на днешния урок ще бъдат думите древногръцки математикТалес:

Какво има повече от всичко на света? - Пространство.

Кое е най-бързото? - Ум.

Кое е най-мъдрото нещо? - Време.

Коя е най-добрата част? - Постигнете това, което искате.

Бих искал всеки от вас да постигне желания резултат в днешния урок.

3. Актуализиране на знанията.

1. Наименувайте реципрочните алгебрични операции върху числа. (Събиране и изваждане, умножение и деление)

2. Винаги ли е възможно да се извърши алгебрична операция като деление? (Не, не можете да делите на нула)

3. Какви други операции можете да извършвате с числа? (Степенене)

4. Каква операция ще бъде обратната й? (Извличане на корен)

5. Каква степен на корен можете да извлечете? (Втори корен)

6. Какви свойства на квадратния корен знаете? (Извличане на корен квадратен от произведение, от частно, от корен, повдигане на степен)

7. Намерете значенията на изразите:

От историята.Още преди 4000 години вавилонските учени съставиха наред с таблиците за умножение и реципрочните таблици (с помощта на които делението на числата се свеждаше до умножение), таблици на квадратите на числата и квадратните корени на числата. В същото време те успяха да намерят приблизителната стойност на корен квадратен от всяко цяло число.

4. Изучаване на нов материал.

Очевидно, в съответствие с основните свойства на степените с естествени показатели, от всяко положително число има две противоположни стойности на корена на четната степен, например числата 4 и -4 са квадратни корени от 16, тъй като ( -4) 2 = 42 = 16, а числата 3 и -3 са четвърти корен от 81, тъй като (-3)4 = 34 = 81.

Освен това няма четен корен от отрицателно число, защото четната степен на всяко реално число е неотрицателна. Що се отнася до корена на нечетна степен, за всяко реално число има само един корен на нечетна степен от това число. Например 3 е корен трети от 27, тъй като 33 = 27, а -2 е корен пети от -32, тъй като (-2)5 = 32.

Поради съществуването на два корена с четна степен от положително число, въвеждаме понятието аритметичен корен, за да елиминираме тази неяснота на корена.

Неотрицателна коренна стойност n-та степенна неотрицателно число се нарича аритметичен корен.

Обозначаване: - n-ти коренстепени.

Числото n се нарича степен на аритметичния корен. Ако n = 2, тогава степента на корена не се посочва и се записва. Коренът от втора степен обикновено се нарича квадратен корен, а коренът от трета степен се нарича кубичен корен.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = a, p - даже a ≥ 0, b ≥ 0

n - нечетно a, b - произволно

Имоти

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b >0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k - естествени числа

5. Затвърдяване на нов материал.

Устна работа

а) Кои изрази имат смисъл?

б) За какви стойности на променливата a изразът има смисъл?

Решете № 3, 4, 7, 9, 11.

6. Физкултурна минутка.

Необходима е умереност във всички въпроси,

Нека това е основното правило.

Правете гимнастика, тъй като сте мислили дълго време,

Гимнастиката не изтощава тялото,

Но прочиства организма напълно!

Затворете очи, отпуснете тялото си,

Представете си - вие сте птици, изведнъж политате!

Сега плуваш в океана като делфин,

Сега берете зрели ябълки в градината.

Наляво, надясно, огледах се наоколо,

Отворете очи и се върнете към бизнеса!

7. Самостоятелна работа.

Работете по двойки с. 178 № 1, № 2.

8. Д/з.Научете елемент 10 (стр. 160-161), решете № 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2).

9. Обобщение на урока. Отражение на дейността.

Урокът постигна ли целта си?

Какво научихте?

Степен на корен нот реално число а, Където н- естествено число, такова реално число се нарича х, нстепента на която е равна на а.

Степен на корен нот номера асе обозначава със символа. Според това определение.

Намиране на корена н-та степен измежду анаречено извличане на корен. Номер Асе нарича радикално число (израз), н- индикатор за корен. За странно нима корен н-та степен за всяко реално число а. Когато дори нима корен н-та степен само за неотрицателни числа а. За разграничаване на корена н-та степен измежду а, се въвежда понятието аритметичен корен н-та степен измежду а.

Концепцията за аритметичен корен от степен N

Ако н- естествено число, по-голямо 1 , тогава има и само едно неотрицателно число х, така че равенството да е изпълнено. Този номер хнаречен аритметичен корен нта степен на неотрицателно число Аи е обозначена. Номер Асе нарича радикално число, н- индикатор за корен.

И така, според дефиницията, нотацията , където , означава, първо, че и, второ, че, т.е. .

Понятие за степен c рационален показател

Степен с естествен показател: нека Ае реално число и н- естествено число, по-голямо от едно, н-та степен на числото Аобадете се на работата нфактори, всеки от които е равен А, т.е. . Номер А- основата на степента, н- степенен показател. Степен с нулев показател: по дефиниция, ако , тогава . Нулева степен на число 0 няма смисъл. Степен с отрицателно цяло число: приема се по дефиниция, ако и не естествено число, тогава . Степен с дробен показател: приема се по дефиниция, ако и н- естествено число, ме цяло число, тогава .

Операции с корени.

Във всички формули по-долу символът означава аритметичен корен (радикалният израз е положителен).

1. Корен на произведението на няколко фактора равно на произведениетокорените на тези фактори:

2. Корен на отношението равно на съотношениетокорени на дивидент и делител:

3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:

4. Ако увеличите степента на корена n пъти и в същото време повишите радикалното число до n-та степен, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена с n пъти и едновременно с това извлечете n-тия корен от радикалното число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Разширяване на понятието степен. Досега разглеждахме степени само с естествени показатели; но операциите със степени и корени също могат да доведат до отрицателни, нулеви и дробни показатели. Всички тези експоненти изискват допълнително определение.

Степен с отрицателен показател. Степента на определено число с отрицателен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютната стойност на отрицателния показател:

Сега формулата a m: a n = a m - n може да се използва не само за m по-голямо от n, но и за m по-малко от n.

ПРИМЕР a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Ако искаме формулата a m: a n = a m - n да е валидна за m = n, имаме нужда от определение на степен нула.

Диплома с нулев индекс. Степента на всяко ненулево число с показател нула е 1.

ПРИМЕРИ. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степен с дробен показател. За да повдигнете реално число a на степен m / n, трябва да извлечете n-ти корен от m-та степен на това число a:

За изрази, които нямат смисъл. Има няколко такива израза.

Случай 1.

Където a ≠ 0 не съществува.

Всъщност, ако приемем, че x е определено число, то в съответствие с дефиницията на операцията деление имаме: a = 0 x, т.е. a = 0, което противоречи на условието: a ≠ 0

Случай 2.

Всеки номер.

Всъщност, ако приемем, че този израз е равен на определено число x, то според дефиницията на операцията деление имаме: 0 = 0 · x. Но това равенство е в сила за всяко число x, което трябваше да се докаже.

Наистина ли,

Решение. Нека разгледаме три основни случая:

1) x = 0 – тази стойност не удовлетворява това уравнение

2) за x > 0 получаваме: x / x = 1, т.е. 1 = 1, което означава, че x е произволно число; но като се има предвид, че в нашия случай x > 0, отговорът е x > 0;

3) при х< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

в този случай няма решение. Така x > 0.

В тази статия ще представим понятие корен от число. Ще продължим последователно: ще започнем с квадратния корен, оттам ще преминем към описанието на кубичния корен, след което ще обобщим понятието корен, дефинирайки n-тия корен. В същото време ще въведем определения, обозначения, ще дадем примери за корени и ще дадем необходимите обяснения и коментари.

Корен квадратен, корен квадратен аритметичен

За да разберете дефиницията на корен от число и по-специално на корен квадратен, трябва да имате . В този момент често ще срещаме втората степен на числото - квадрата на числото.

Да започнем с дефиниции на корен квадратен.

Определение

Корен квадратен от aе число, чийто квадрат е равен на a.

За да донесе примери за квадратни корени, вземем няколко числа, например 5, −0.3, 0.3, 0, и ги повдигнем на квадрат, получаваме съответно числата 25, 0.09, 0.09 и 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 и 0 2 =0·0=0 ). Тогава, по дефиницията, дадена по-горе, числото 5 е корен квадратен от числото 25, числата −0,3 и 0,3 са корен квадратен от 0,09, а 0 е корен квадратен от нула.

Трябва да се отбележи, че не за всяко число a съществува a, чийто квадрат е равен на a. А именно, за всяко отрицателно число a няма реално число b, чийто квадрат да е равен на a. Всъщност равенството a=b 2 е невъзможно за всяко отрицателно a, тъй като b 2 е неотрицателно число за всяко b. По този начин, няма квадратен корен от отрицателно число в множеството от реални числа. С други думи, в множеството от реални числа квадратният корен от отрицателно число не е дефиниран и няма значение.

Това води до логичен въпрос: „Има ли квадратен корен от a за всяко неотрицателно a“? Отговорът е да. Този факт може да бъде оправдан от конструктивния метод, използван за намиране на стойността на квадратния корен.

Тогава възниква следващият логичен въпрос: „Какъв е броят на всички квадратни корени от дадено неотрицателно число a - едно, две, три или дори повече“? Ето отговора: ако a е нула, тогава единственият квадратен корен от нула е нула; ако a е някакво положително число, тогава броят на квадратните корени на числото a е две, а корените са . Нека оправдаем това.

Нека започнем със случая a=0. Първо, нека покажем, че нулата наистина е корен квадратен от нула. Това следва от очевидното равенство 0 2 =0·0=0 и дефиницията на квадратния корен.

Сега нека докажем, че 0 е единственият квадратен корен от нула. Нека използваме обратния метод. Да предположим, че има някакво ненулево число b, което е квадратен корен от нула. Тогава условието b 2 =0 трябва да бъде изпълнено, което е невъзможно, тъй като за всяко ненулево b стойността на израза b 2 е положителна. Стигнахме до противоречие. Това доказва, че 0 е единственият квадратен корен от нула.

Нека да преминем към случаите, когато а е положително число. По-горе казахме, че винаги има квадратен корен от всяко неотрицателно число, нека квадратният корен от a е числото b. Да кажем, че има число c, което също е квадратен корен от a. Тогава по дефиницията на квадратен корен равенствата b 2 =a и c 2 =a са верни, от което следва, че b 2 −c 2 =a−a=0, но тъй като b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , тогава (b−c)·(b+c)=0 . Полученото равенство е валидно свойства на операциите с реални числавъзможно само когато b−c=0 или b+c=0 . Така числата b и c са равни или противоположни.

Ако приемем, че има число d, което е друг корен квадратен от числото a, тогава чрез разсъждения, подобни на вече дадените, се доказва, че d е равно на числото b или числото c. И така, броят на квадратните корени от положително число е две, а квадратните корени са противоположни числа.

За удобство при работа с квадратни корени, отрицателният корен е „отделен“ от положителния. За целта се въвежда дефиниция на аритметичен квадратен корен.

Определение

Аритметичен корен квадратен от неотрицателно число ае неотрицателно число, чийто квадрат е равен на a.

Нотацията за аритметичния корен квадратен от a е . Знакът се нарича знак за аритметичен квадратен корен. Нарича се още радикален знак. Следователно понякога можете да чуете и „корен“, и „радикал“, което означава един и същ обект.

Извиква се числото под знака за аритметичен квадратен корен радикално число, а изразът под знака за корен е радикален израз, докато терминът „радикално число“ често се заменя с „радикален израз“. Например в записа числото 151 е радикално число, а в записа изразът a е радикален израз.

При четене думата „аритметика“ често се пропуска, например записът се чете като „корен квадратен от седем точка двадесет и девет“. Думата „аритметика“ се използва само когато искат да подчертаят това ние говорим законкретно за положителния квадратен корен от число.

В светлината на въведената нотация, от дефиницията на аритметичен квадратен корен следва, че за всяко неотрицателно число a .

Квадратни корени от положително число a се записват с помощта на аритметичния знак за квадратен корен като и . Например квадратният корен от 13 е и . Аритметичният корен квадратен от нула е нула, т.е. За отрицателни числа a няма да придаваме значение на нотацията, докато не изучим комплексни числа. Например изразите и са безсмислени.

Въз основа на дефиницията на квадратния корен се доказват свойствата на квадратния корен, които често се използват в практиката.

В заключение на този параграф отбелязваме, че квадратните корени на числото a са решения на формата x 2 =a по отношение на променливата x.

Кубичен корен от число

Определение за кубичен коренна числото a се дава подобно на дефиницията на корен квадратен. Само че се основава на концепцията за куб от число, а не за квадрат.

Определение

Кубичен корен от aе число, чийто куб е равен на a.

Да дадем примери за кубични корени. За да направите това, вземете няколко числа, например 7, 0, −2/3, и ги кубирайте: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Тогава, въз основа на определението за кубичен корен, можем да кажем, че числото 7 е кубичен корен от 343, 0 е кубичен корен от нула и −2/3 е кубичен корен от −8/27.

Може да се покаже, че кубичният корен на число, за разлика от квадратния корен, винаги съществува не само за неотрицателно a, но и за всяко реално число a. За да направите това, можете да използвате същия метод, който споменахме при изучаването на квадратни корени.

Освен това има само един кубичен корен от дадено число a. Нека докажем последното твърдение. За да направите това, разгледайте три случая поотделно: a е положително число, a=0 и a е отрицателно число.

Лесно е да се покаже, че ако a е положително, кубичният корен на a не може да бъде нито отрицателно число, нито нула. Наистина, нека b е кубичен корен от a, тогава по дефиниция можем да запишем равенството b 3 =a. Ясно е, че това равенство не може да бъде вярно за отрицателно b и за b=0, тъй като в тези случаи b 3 =b·b·b ще бъде съответно отрицателно число или нула. Така че кубичният корен на положително число a е положително число.

Да предположим сега, че в допълнение към числото b има друг кубичен корен от числото a, нека го обозначим с. Тогава c 3 =a. Следователно b 3 −c 3 =a−a=0, но b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(това е формулата за съкратено умножение разлика от кубчета), откъдето (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Полученото равенство е възможно само когато b−c=0 или b 2 +b·c+c 2 =0. От първото равенство имаме b=c, а второто равенство няма решения, тъй като лявата му страна е положително число за всякакви положителни числа b и c като сбор от три положителни члена b 2, b·c и c 2. Това доказва уникалността на кубичния корен на положително число a.

Когато a=0, кубичният корен на числото a е само числото нула. Наистина, ако приемем, че има число b, което е различен от нула кубичен корен от нула, тогава трябва да е валидно равенството b 3 =0, което е възможно само когато b=0.

За отрицателно a могат да бъдат дадени аргументи, подобни на случая за положително a. Първо, показваме, че кубичният корен на отрицателно число не може да бъде равен нито на положително число, нито на нула. Второ, приемаме, че има втори кубичен корен от отрицателно число и показваме, че той задължително ще съвпадне с първия.

И така, винаги има кубичен корен от всяко дадено реално число а и то уникален.

Да дадем дефиниция на аритметичен кубичен корен.

Определение

Аритметичен кубичен корен от неотрицателно число aе неотрицателно число, чийто куб е равен на a.

Аритметичният кубичен корен на неотрицателно число a се означава като , знакът се нарича знак на аритметичния кубичен корен, числото 3 в тази нотация се нарича коренов индекс. Числото под знака на корена е радикално число, изразът под знака за корен е радикален израз.

Въпреки че аритметичният кубичен корен е дефиниран само за неотрицателни числа a, също така е удобно да се използват обозначения, в които отрицателните числа се намират под знака за аритметичен кубичен корен. Ще ги разбираме по следния начин: , където a е положително число. Например, .

Ще говорим за свойствата на кубичните корени в общата статия свойства на корените.

Изчисляването на стойността на кубичен корен се нарича извличане на кубичен корен; това действие се обсъжда в статията извличане на корени: методи, примери, решения.

За да завършим тази точка, нека кажем, че кубичният корен на числото a е решение на формата x 3 =a.

корен n-ти, аритметичен корен от степен n

Нека обобщим понятието корен от число - въвеждаме дефиниция на n-ти коренза n.

Определение

n-ти корен от aе число, чиято n-та степен е равна на a.

от това определениеясно е, че коренът от първа степен на числото a е самото число a, тъй като при изучаване на степента с естествен показател взехме a 1 =a.

По-горе разгледахме специални случаи на корен n-ти за n=2 и n=3 - корен квадратен и корен кубичен. Тоест квадратният корен е корен от втора степен, а кубичният корен е корен от трета степен. За да изучаваме корени от n-та степен за n=4, 5, 6, ..., е удобно да ги разделим на две групи: първата група - корени от четни степени (т.е. за n = 4, 6, 8 , ...), втората група - корени на нечетни степени (т.е. с n=5, 7, 9, ...). Това се дължи на факта, че корените на четните степени са подобни на квадратните корени, а корените на нечетните степени са подобни на кубичните корени. Нека се справим с тях един по един.

Да започнем с корените, чиято степен са четните числа 4, 6, 8, ... Както вече казахме, те са подобни на корен квадратен от числото a. Тоест, коренът на всяка четна степен на числото a съществува само за неотрицателно a. Освен това, ако a=0, тогава коренът на a е единствен и равен на нула, а ако a>0, тогава има два корена с четна степен на числото a и те са противоположни числа.

Нека обосновем последното твърдение. Нека b е четен корен (означаваме го като 2·m, където m е някакво естествено число) на числото a. Да предположим, че има число c - друг корен от степен 2·m от числото a. Тогава b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Но ние знаем формата b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), тогава (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. От това равенство следва, че b−c=0, или b+c=0, или b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Първите две равенства означават, че числата b и c са равни или b и c са противоположни. И последното равенство е валидно само за b=c=0, тъй като от лявата му страна има израз, който е неотрицателен за всякакви b и c като сбор от неотрицателни числа.

Що се отнася до корените от n-та степен за нечетно n, те са подобни на кубичния корен. Тоест коренът на всяка нечетна степен на числото a съществува за всяко реално число a и за дадено число a той е уникален.

Уникалността на корен от нечетна степен 2·m+1 от числото a се доказва по аналогия с доказателството за уникалността на кубичния корен от a. Само че тук вместо равенство a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)използва се равенство от вида b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Изразът в последната скоба може да бъде пренаписан като b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Например при m=2 имаме b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Когато и a и b са положителни или и двете отрицателни, техният продукт е положително число, тогава изразът b 2 +c 2 +b·c в най-високите вложени скоби е положителен като сбор от положителните числа. Сега, преминавайки последователно към изразите в скоби на предишните степени на вложеност, се убеждаваме, че те също са положителни като сбор от положителни числа. В резултат на това получаваме, че равенството b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0възможно само когато b−c=0, тоест когато числото b е равно на числото c.

Време е да разберем записа на корените на n-та степен. За целта се дава дефиниция на аритметичен корен от n-та степен.

Определение

Аритметичен корен n-та степен на неотрицателно число aе неотрицателно число, чиято n-та степен е равна на a.