Произведението на синус и косинус е равно. Основни тригонометрични тъждества
Дадени са връзките между основните тригонометрични функции – синус, косинус, тангенс и котангенс. тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометрични функции на един и същи ъгъл, други - функции на множествен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвърти - изразявате всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.
В тази статия ще изброим по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните задачи. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме по предназначение и ще ги въведем в таблици.
Навигация в страницата.
Основни тригонометрични тъждества
Основни тригонометрични тъждествадефинирайте връзката между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция по отношение на всяка друга.
За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извеждане и примери за приложение вижте статията.
Формули за намаляване
Формули за намаляванеследват от свойствата на синус, косинус, тангенс и котангенс, тоест отразяват свойството на периодичност тригонометрични функции, свойството на симетрия, както и свойството на изместване с даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.
Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запомнянето им и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.
Формули за добавяне
Тригонометрични събирателни формулипоказват как тригонометричните функции на сумата или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждане на следните тригонометрични формули.
Формули за двойна, тройна и др. ъгъл
Формули за двойна, тройна и др. ъгъл (те се наричат още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойно, тройно и т.н. ъгли () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Тяхното извеждане се основава на формули за добавяне.
По-подробна информация е събрана в статията формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл
Формули за половин ъгъл
Формули за половин ъгълпокажете как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на цял ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.
Тяхното заключение и примери за приложение можете да намерите в статията.
Формули за намаляване на степента
Тригонометрични формули за намаляване на степенитеса предназначени да улеснят прехода от естествени степени на тригонометрични функции към синуси и косинуси на първа степен, но множество ъгли. С други думи, те ви позволяват да намалите мощностите на тригонометричните функции до първата.
Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции
Основната цел формули за сбор и разлика на тригонометрични функциие да отидете до произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометрични изрази. Тези формули също се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения, тъй като ви позволяват да факторизирате сумата и разликата на синусите и косинусите.
Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус
Преходът от произведение на тригонометрични функции към сума или разлика се извършва с помощта на формулите за произведение на синуси, косинуси и синус по косинус.
Авторско право от cleverstudents
Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Нито една част от www.site, включително вътрешни материалиИ външен дизайн, не могат да бъдат възпроизвеждани под никаква форма или използвани без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.
Понятията синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () са неразривно свързани с понятието ъгъл. За да разберете добре тези, на пръв поглед, сложни понятия(които предизвикват състояние на ужас у много ученици) и за да сме сигурни, че „дяволът не е толкова страшен, колкото го рисуват“, нека започнем от самото начало и разберем концепцията за ъгъл.
Концепция за ъгъл: радиан, градус
Нека погледнем снимката. Векторът се е „завъртял“ спрямо точката с определена стойност. Така че мярката на това завъртане спрямо началната позиция ще бъде ъгъл.
Какво още трябва да знаете за понятието ъгъл? Е, разбира се, ъглови единици!
Ъгълът, както в геометрията, така и в тригонометрията, може да бъде измерен в градуси и радиани.
Ъгъл от (един градус) се нарича централен ъгълв кръг, базиран на кръгова дъга, равна на част от кръга. По този начин целият кръг се състои от „парчета“ кръгови дъги или ъгълът, описан от кръга, е равен.
Тоест фигурата по-горе показва ъгъл, равен на, тоест този ъгъл лежи върху дъга от окръжност с размера на обиколката.
Ъгъл в радиани е централният ъгъл в окръжност, сключен от окръжна дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността. Е, разбрахте ли? Ако не, тогава нека го разберем от чертежа.
И така, фигурата показва ъгъл, равен на радиан, тоест този ъгъл се опира на кръгла дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността (дължината е равна на дължината или радиусът е равен на дължина на дъгата). Така дължината на дъгата се изчислява по формулата:
Къде е централният ъгъл в радиани.
Е, като знаете това, можете ли да отговорите колко радиана се съдържат в ъгъла, описан от окръжността? Да, за това трябва да запомните формулата за обиколка. Ето я:
Е, сега нека съпоставим тези две формули и да открием, че ъгълът, описан от окръжността, е равен. Тоест, като съпоставим стойността в градуси и радиани, получаваме това. Съответно,. Както можете да видите, за разлика от "градуси", думата "радиан" е пропусната, тъй като мерната единица обикновено е ясна от контекста.
Колко радиана има? Това е вярно!
Схванах го? След това продължете напред и го поправете:
Имате затруднения? Тогава погледнете отговори:
Правоъгълен триъгълник: синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл
И така, разбрахме концепцията за ъгъл. Но какво е синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл? Нека да го разберем. За да направим това, ще ни помогне правоъгълен триъгълник.
Как се наричат страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенуза и катети: хипотенузата е страната, която е срещуположна прав ъгъл(в нашия пример това е страната); катетите са двете останали страни и (тези, които са съседни на правия ъгъл), и ако разгледаме катетите спрямо ъгъла, тогава катетът е съседният катет, а катетът е противоположният. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?
Синус от ъгъл- това е отношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.
В нашия триъгълник.
Косинус на ъгъл- това е отношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.
В нашия триъгълник.
Тангенс на ъгъла- това е съотношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка).
В нашия триъгълник.
Котангенс на ъгъл- това е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).
В нашия триъгълник.
Тези определения са необходими помня! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаИ котангенссамо краката седят, а хипотенузата се появява само в синуситеИ косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:
Косинус→докосване→докосване→съседно;
Котангенс→докосване→докосване→съседно.
Преди всичко трябва да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (при един и същи ъгъл). Не вярвайте? Тогава се уверете, като погледнете снимката:
Помислете, например, за косинуса на ъгъл. По дефиниция от триъгълник: , но можем да изчислим косинуса на ъгъл от триъгълник: . Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.
Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги консолидирайте!
За триъгълника, показан на фигурата по-долу, намираме.
Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла.
Единична (тригонометрична) окръжност
Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на. Такъв кръг се нарича единичен. Ще бъде много полезно при изучаване на тригонометрия. Затова нека го разгледаме малко по-подробно.
Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиус на кръга равно на едно, докато центърът на окръжността лежи в началото на координатите, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).
Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата на оста и координатата на оста. Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, трябва да си спомним за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Тя е правоъгълна, защото е перпендикулярна на оста.
На какво е равен триъгълникът? Това е вярно. Освен това знаем, че това е радиусът на единичната окръжност, което означава . Нека заместим тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:
На какво е равен триъгълникът? Добре, разбира се, ! Заменете стойността на радиуса в тази формула и получете:
И така, можете ли да кажете какви координати има точка, принадлежаща на окръжност? Е, няма начин? Ами ако осъзнаете това и сте само числа? На коя координата отговаря? Е, разбира се, координатите! И на коя координата отговаря? Точно така, координати! Така точка.
На какво тогава са равни и ? Точно така, нека използваме съответните определения за тангенс и котангенс и да получим това, a.
Ами ако ъгълът е по-голям? Например, като на тази снимка:
Какво се е променило в в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, нека се обърнем отново към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Какви са стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:
Е, както виждате, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения се прилагат за всяка ротация на радиус вектора.
Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена стойност, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.
И така, ние знаем, че цяло завъртане на радиус вектора около окръжност е или. Възможно ли е радиус векторът да се завърти на или на? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус-векторът ще направи един пълен оборот и ще спре в позиция или.
Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция или.
По този начин от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.
Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани по общата формула или (където е цяло число)
Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите какви са стойностите:
Ето единичен кръг, за да ви помогне:
Имате затруднения? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:
От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени ъглови мерки. Е, нека започнем по ред: ъгълът при съответства на точка с координати, следователно:
Не съществува;
Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват съответно на точки с координати. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами и след това проверете отговорите.
Отговори:
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Така можем да направим следната таблица:
Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:
Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:
Не се страхувайте, сега ще ви покажем един пример доста лесно да запомните съответните стойности:
За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки на ъгъл (), както и стойността на тангенса на ъгъла. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинуса се прехвърлят в съответствие със стрелките, т.е.
Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят „ “ ще съвпада, а знаменателят „ “ ще съвпада. Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, посочени на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелките, тогава ще бъде достатъчно да запомните всички стойности от таблицата.
Координати на точка върху окръжност
Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, познаване на координатите на центъра на кръга, неговия радиус и ъгъл на въртене?
Е, разбира се, че можете! Нека го извадим обща формулаза намиране на координатите на точка.
Например, ето кръг пред нас:
Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точка, получена чрез завъртане на точката на градуси.
Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на сегмента. Дължината на сегмента съответства на координатата на центъра на кръга, тоест е равна. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:
Тогава имаме това за координатата на точката.
Използвайки същата логика, намираме стойността на y координатата за точката. По този начин,
И така, в общ изгледкоординатите на точките се определят по формулите:
Координати на центъра на кръга,
радиус на кръга,
Ъгълът на завъртане на радиуса на вектора.
Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са равни на нула, а радиусът е равен на едно:
Е, нека изпробваме тези формули, като се упражняваме да намираме точки в окръжност?
1. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.
2. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.
3. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.
4. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.
5. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.
Имате проблеми с намирането на координатите на точка от окръжност?
Решете тези пет примера (или станете добри в решаването им) и ще се научите да ги намирате!
1.
Можете да забележите това. Но знаем какво отговаря на пълно завъртане на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:
2. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Можете да забележите това. Знаем какво съответства на два пълни оборота на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:
Синус и косинус са таблични стойности. Припомняме си значенията и получаваме:
Така желаната точка има координати.
3. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Можете да забележите това. Нека изобразим въпросния пример на фигурата:
Радиусът образува ъгли, равни на и с оста. Знаейки, че стойностите на таблицата на косинус и синус са равни и след като определихме, че косинусът тук приема отрицателна стойност, а синусът приема положителна стойност, имаме:
Такива примери се обсъждат по-подробно при изучаване на формулите за намаляване на тригонометричните функции в темата.
Така желаната точка има координати.
4.
Ъгъл на въртене на радиуса на вектора (по условие)
За да определим съответните знаци на синус и косинус, конструираме единична окръжност и ъгъл:
Както можете да видите, стойността е положителна, а стойността е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:
Нека заместим получените стойности в нашата формула и намерим координатите:
Така желаната точка има координати.
5. За да разрешим този проблем, използваме формули в общ вид, където
Координати на центъра на кръга (в нашия пример,
Радиус на окръжност (по условие)
Ъгъл на завъртане на радиуса на вектора (по условие).
Нека заместим всички стойности във формулата и да получим:
и - таблични стойности. Нека запомним и ги заместим във формулата:
Така желаната точка има координати.
ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ
Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.
Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.
Тангенсът на ъгъл е отношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка) страна.
Котангенсът на ъгъл е отношението на съседната (близка) страна към противоположната (далечна) страна.
Когато се разглеждаха задачи за решаване на правоъгълен триъгълник, обещах да представя техника за запомняне на дефинициите на синус и косинус. Използвайки го, винаги бързо ще запомните коя страна принадлежи на хипотенузата (съседна или противоположна). Реших да не го отлагам твърде дълго, необходим материалпо-долу, моля, прочетете 😉
Факт е, че многократно съм наблюдавал как учениците от 10-11 клас трудно запомнят тези определения. Много добре помнят, че катетът се отнася за хипотенузата, но коя- забравят и объркан. Цената на грешката, както знаете на изпита, е загубена точка.
Информацията, която ще изложа директно няма нищо общо с математиката. Свързва се с образното мислене и с методите на словесно-логическата комуникация. Точно така го помня, веднъж завинагиданни за дефиниция. Ако все пак ги забравите, винаги можете лесно да си ги спомните, като използвате представените техники.
Нека ви напомня дефинициите на синус и косинус в правоъгълен триъгълник:
КосинусОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:
синуситеостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението обратната странакъм хипотенузата:
И така, какви асоциации имате с думата косинус?
Вероятно всеки има своя собствена 😉Запомнете връзката:
Така изразът веднага ще се появи в паметта ви -
«… съотношение на ПРИЛЕЖАЩИЯ катет към хипотенузата».
Проблемът с определянето на косинус е решен.
Ако трябва да запомните дефиницията на синус в правоъгълен триъгълник, тогава като си спомните дефиницията на косинус, можете лесно да установите, че синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположната страна към хипотенузата. В крайна сметка има само два крака; ако съседният катет е „зает“ от косинуса, тогава само срещуположният катет остава със синуса.
Какво ще кажете за тангенса и котангенса? Объркването е същото. Учениците знаят, че това е връзка на катети, но проблемът е да се запомни кой към кой се отнася - или противоположното на съседното, или обратното.
Дефиниции:
ДопирателнаОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на срещуположната страна към съседната страна:
КотангенсОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на съседната страна към противоположната:
Как да запомните? Има два начина. Единият също използва словесно-логическа връзка, другият използва математическа.
МАТЕМАТИЧЕСКИ МЕТОД
Има такова определение - тангенсът на остър ъгъл е съотношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:
* След като запомните формулата, винаги можете да определите, че тангенса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната страна.
По същия начин.Котангенсът на остър ъгъл е отношението на косинуса на ъгъла към неговия синус:
Така! Като запомните тези формули, винаги можете да определите, че:
- тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната
— котангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на съседната страна към противоположната страна.
СЛОВОЛОГИЧЕСКИ МЕТОД
Относно допирателната. Запомнете връзката:
Тоест, ако трябва да запомните дефиницията на допирателната, използвайки тази логическа връзка, можете лесно да си спомните какво е
„... съотношението на противоположната страна към съседната страна“
Ако говорим за котангенс, тогава спомняйки си определението за тангенс, лесно можете да изразите определението за котангенс -
„... съотношението на съседната страна към противоположната страна“
В сайта има интересен трик за запомняне на тангенс и котангенс " Математически тандем " , виж.
УНИВЕРСАЛЕН МЕТОД
Можете просто да го запомните.Но както показва практиката, благодарение на вербално-логическите връзки човек помни информация за дълго време, а не само математическа.
Надявам се материалът да ви е бил полезен.
С уважение, Александър Крутицких
P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.
В тази статия ще разгледаме изчерпателно. Основните тригонометрични идентичности са равенства, които установяват връзка между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл и позволяват да се намери всяка от тези тригонометрични функции чрез известна друга.
Нека веднага изброим основните тригонометрични идентичности, които ще анализираме в тази статия. Нека ги запишем в таблица, а по-долу ще дадем резултата от тези формули и ще предоставим необходимите обяснения.
Навигация в страницата.
Връзка между синус и косинус на един ъгъл
Понякога те не говорят за основните тригонометрични идентичности, изброени в таблицата по-горе, а за едно единствено основна тригонометрична идентичностмил 
. Обяснението на този факт е съвсем просто: равенствата се получават от основното тригонометрично тъждество след разделяне на двете му части съответно на и и равенствата 
И 
следват от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Ще говорим за това по-подробно в следващите параграфи.
Тоест равенството е от особен интерес, което получи името на основната тригонометрична идентичност.
Преди да докажем основната тригонометрична идентичност, даваме нейната формулировка: сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл е идентично равна на единица. Сега нека го докажем.
Основното тригонометрично тъждество се използва много често, когато преобразуване на тригонометрични изрази. Позволява сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл да бъде заменена с единица. Не по-рядко основната тригонометрична идентичност се използва в обратен ред: единицата се заменя със сумата от квадратите на синуса и косинуса на всеки ъгъл.
Тангенс и котангенс през синус и косинус
Тъждества, свързващи тангенс и котангенс със синус и косинус на един зрителен ъгъл и 
следват непосредствено от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Наистина, по дефиниция синусът е ординатата на y, косинусът е абсцисата на x, тангенсът е отношението на ординатата към абсцисата, т.е. 
, а котангенсът е отношението на абсцисата към ординатата, т.е. 
.
Благодарение на такава очевидност на тъждествата и Тангенсът и котангенсът често се определят не чрез съотношението на абсцисата и ординатата, а чрез съотношението на синус и косинус. Тангенсът на ъгъл е отношението на синуса към косинуса на този ъгъл, а котангенсът е отношението на косинуса към синуса.
В заключение на този параграф трябва да се отбележи, че идентичностите и се извършват за всички ъгли, при които тригонометричните функции, включени в тях, имат смисъл. Така че формулата е валидна за всяко , различно от (в противен случай знаменателят ще има нула и не сме дефинирали деление на нула), и формулата - за всички, различни от , където z е всяко.
Връзка между тангенс и котангенс
Още по-очевидна тригонометрична идентичност от предишните две е идентичността, свързваща тангенса и котангенса на един ъгъл на формата . Ясно е, че се отнася за всякакви ъгли, различни от , В противен случай или тангенсът, или котангенсът не са определени.
Доказателство на формулата много просто. По определение и откъде 
. Доказателството можеше да се проведе малко по-различно. От , Че 
.
Тангенсът и котангенсът на един и същ ъгъл, при който имат смисъл, са .
Синусът и косинусът първоначално възникват от необходимостта да се изчисляват количества в правоъгълни триъгълници. Беше забелязано, че ако градусната мярка на ъглите в правоъгълен триъгълник не се промени, тогава съотношението на страните, независимо колко тези страни се променят по дължина, винаги остава същото.
Така бяха въведени понятията синус и косинус. Синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположната страна към хипотенузата, а косинусът е съотношението на страната, съседна на хипотенузата.
Теореми за косинуси и синуси
Но косинусите и синусите могат да се използват за нещо повече от правоъгълни триъгълници. За да намерите стойността на тъп или остър ъгъл или страна на всеки триъгълник, е достатъчно да приложите теоремата за косинусите и синусите.
Косинусовата теорема е доста проста: „Квадратът на една страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези страни и косинуса на ъгъла между тях.“
Има две интерпретации на синусовата теорема: малка и разширена. Според второстепенното: „В триъгълника ъглите са пропорционални на противоположните страни.“ Тази теорема често се разширява поради свойството на описаната окръжност на триъгълника: „В триъгълника ъглите са пропорционални на противоположните страни и тяхното съотношение е равно на диаметъра на описаната окръжност.“
Деривати
Производната е математически инструмент, който показва колко бързо се променя функция спрямо промяна в нейния аргумент. Производните се използват в геометрията и в редица технически дисциплини.
Когато решавате проблеми, трябва да знаете табличните стойности на производните на тригонометричните функции: синус и косинус. Производната на синус е косинус, а косинусът е синус, но със знак минус.
Приложение в математиката
Синусите и косинусите се използват особено често при решаване правоъгълни триъгълниции свързаните с тях задачи.
Удобството на синусите и косинусите се отразява и в технологията. Беше лесно да се оценят ъгли и страни, като се използват теоремите за косинусите и синусите, разбивайки сложни фигурии обекти в „прости“ триъгълници. Инженерите, които често се занимават с изчисления на аспектни съотношения и степенни мерки, изразходват много време и усилия за изчисляване на косинусите и синусите на нетабличните ъгли.
Тогава на помощ се притекоха таблиците на Bradis, съдържащи хиляди стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси различни ъгли. IN съветско временякои учители принуждаваха своите ученици да запомнят страници от таблиците на Брадис.
Радиан - ъглова стойност на дъгата, по дължината равен на радиусаили 57.295779513° градуса.
Градус (в геометрията) е 1/360 от окръжност или 1/90 от прав ъгъл.
π = 3.141592653589793238462… (приблизителна стойност на Pi).
Таблица на косинусите за ъгли: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Ъгъл x (в градуси) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ъгъл x (в радиани) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
