Правило за факторизация. Факторизиране на големи числа
Много често числителят и знаменателят на дроб са алгебрични изрази, които първо трябва да се разложат на множители и след това, като се намери едно и също сред тях, да се разделят както числителя, така и знаменателя на тях, тоест да се намали дробта. Цяла глава от учебник по алгебра за 7. клас е посветена на задачи за разлагане на многочлен. Може да се направи факторинг 3 начина, както и комбинация от тези методи.
1. Прилагане на формули за съкратено умножение
Както е известно на умножете полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия полином и да добавите получените продукти. Има най-малко 7 (седем) общи случая на умножение на полиноми, които са включени в понятието. Например,
Таблица 1. Факторизиране по 1-ви начин
2. Изваждане на общия множител от скобата
Този метод се основава на прилагането на разпределителния закон на умножението. Например,
Разделяме всеки член от оригиналния израз на фактора, който изваждаме, и в същото време получаваме израза в скоби (тоест резултатът от разделянето на това, което е било, на това, което изваждаме, остава в скоби). На първо място, трябва правилно определяне на множителя, което трябва да бъде поставено в скоби.
Полиномът в скоби също може да бъде общ фактор:
Когато изпълнявате задачата „факторизиране“, трябва да сте особено внимателни със знаците, когато изваждате общия множител извън скоби. За да промените знака на всеки член в скоби (б - а), изваждаме общия множител -1 , докато всеки член в скобата е разделен на -1: (b - a) = - (a - b) .
В случай, че изразът в скоби е повдигнат на квадрат (или на всяка четна степен), тогава числата в скобите могат да се разменят напълно безплатно, тъй като минусите, извадени от скобите, пак ще се превърнат в плюс, когато се умножат: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 и така нататък…
3. Метод на групиране
Понякога не всички термини в израза имат общ фактор, а само някои. След това можете да опитате групови условия в скоби, така че да може да се извади някакъв фактор от всеки. Метод на групиранее двойно поставяне в скоби на общи множители.
4. Използване на няколко метода наведнъж
Понякога трябва да приложите не един, а няколко начина за разлагане на полином на множители наведнъж.
Това е конспект по темата. "факторизация". Изберете следващите стъпки:
- Преминете към следващото резюме:
Разширяването на полиноми, за да се получи продукт, понякога изглежда объркващо. Но не е толкова трудно, ако разбирате процеса стъпка по стъпка. Статията описва как да факторизирате квадратен тричлен.
Мнозина не разбират как да факторизират квадратен тричлен и защо се прави това. Първоначално може да изглежда, че това е безполезно упражнение. Но в математиката нищо не се прави просто така. Трансформацията е необходима за опростяване на израза и удобство на изчислението.
Полином с формата - ax² + bx + c, се нарича квадратен тричлен.Терминът "а" трябва да бъде отрицателен или положителен. На практика този израз се нарича квадратно уравнение. Затова понякога казват различно: как да разширим квадратно уравнение.
Интересно!Квадратният полином се нарича поради най-голямата му степен - квадрат. И тричлен - заради 3-те съставни члена.
Някои други видове полиноми:
- линеен бином (6x+8);
- кубичен четириъгълник (x³+4x²-2x+9).
Факторизиране на квадратен тричлен
Първо, изразът е равен на нула, след което трябва да намерите стойностите на корените x1 и x2. Може да няма корени, може да има един или два корена. Наличието на корени се определя от дискриминанта. Формулата му трябва да се знае наизуст: D=b²-4ac.
Ако резултатът от D е отрицателен, няма корени. Ако е положителен, има два корена. Ако резултатът е нула, коренът е единица. Корените също се изчисляват по формулата.
Ако изчислението на дискриминанта води до нула, можете да приложите всяка от формулите. На практика формулата е просто съкратена: -b / 2a.
Формули за различни стойностидискриминантите са различни.
Ако D е положителен:
Ако D е нула:
Онлайн калкулатори
Интернет има онлайн калкулатор. Може да се използва за факторизиране. Някои ресурси предоставят възможност да видите решението стъпка по стъпка. Такива услуги помагат да се разбере по-добре темата, но трябва да се опитате да разберете добре.
Полезно видео: Разлагане на множители на квадратен тричлен
Примери
Каним ви да видите прости примерикак да факторизираме квадратно уравнение.
Пример 1
Тук ясно е показано, че резултатът ще бъде две х, защото D е положително. Те трябва да бъдат заменени във формулата. Ако корените са отрицателни, знакът във формулата е обърнат.
Знаем формулата за разлагане на квадратен трином: a(x-x1)(x-x2). Поставяме стойностите в скоби: (x+3)(x+2/3). Няма число пред термина в експонента. Това означава, че има единица, тя е спусната.
Пример 2
Този пример ясно показва как се решава уравнение, което има един корен.
Заместете получената стойност:
Пример 3
Дадено: 5x²+3x+7
Първо изчисляваме дискриминанта, както в предишните случаи.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Дискриминантът е отрицателен, което означава, че няма корени.
След получаване на резултата си струва да отворите скобите и да проверите резултата. Трябва да се появи оригиналният тричлен.
Алтернативно решение
Някои хора никога не са успели да се сприятеляват с дискриминанта. Има друг начин за разлагане на квадратен трином. За удобство методът е показан в пример.
Дадено е: x²+3x-10
Знаем, че трябва да завършим с 2 скоби: (_)(_). Когато изразът изглежда така: x² + bx + c, поставяме x в началото на всяка скоба: (x_) (x_). Останалите две числа са произведението, което дава "c", т.е. -10 в този случай. За да разберете какви са тези числа, можете да използвате само метода за избор. Заместените числа трябва да съвпадат с оставащия член.
Например, умножаването на следните числа дава -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Не.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Не.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Не.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Пасва.
И така, трансформацията на израза x2+3x-10 изглежда така: (x-2)(x+5).
важно!Трябва да внимавате да не объркате знаците.
Разлагане на комплексен тричлен
Ако "а" е по-голямо от едно, започват трудностите. Но всичко не е толкова трудно, колкото изглежда.
За да се факторизира, първо трябва да се види дали е възможно да се разложи нещо.
Например, даден е изразът: 3x²+9x-30. Тук числото 3 е извадено от скоби:
3(x²+3x-10). Резултатът е вече известният тричлен. Отговорът изглежда така: 3(x-2)(x+5)
Как да разложим, ако членът, който е на квадрат, е отрицателен? IN този случайчислото -1 е извадено от скобата. Например: -x²-10x-8. Тогава изразът ще изглежда така:
Схемата се различава малко от предишната. Има само няколко нови неща. Да кажем, че е даден изразът: 2x²+7x+3. Отговорът също се изписва в 2 скоби, които трябва да бъдат попълнени в (_) (_). Във 2-ра скоба се пише X, а в 1-ва каквото е останало. Изглежда така: (2x_)(x_). В противен случай се повтаря предишната схема.
Числото 3 дава числата:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Решаваме уравнения, като заместваме дадените числа. Последният вариант е подходящ. Така че трансформацията на израза 2x²+7x+3 изглежда така: (2x+1)(x+3).
Други случаи
Не винаги е възможно да се трансформира израз. При втория метод решението на уравнението не се изисква. Но възможността за преобразуване на термини в продукт се проверява само чрез дискриминанта.
Струва си практиката да вземете решение квадратни уравнениятака че да няма трудности при използването на формули.
Полезно видео: разлагане на тричлен на множители
Заключение
Можете да го използвате по всякакъв начин. Но е по-добре да работите и двете до автоматизъм. Освен това тези, които ще свържат живота си с математиката, трябва да се научат как да решават добре квадратни уравнения и да разлагат полиномите на фактори. Всички следващи математически теми са изградени върху това.
Какво стана факторизация?Това е начин да превърнете един неудобен и сложен пример в прост и сладък.) Много мощен трик! Среща се на всяка стъпка както в елементарната математика, така и във висшата математика.
Такива трансформации на математически език се наричат тъждествени трансформации на изрази. Който не е в темата - да се разходи по линка. Има много малко, просто и полезно.) Значението на всяка идентична трансформация е да напишете израза в различна формазапазвайки същността си.
Значение факторизацииизключително просто и разбираемо. Още от самото заглавие. Можете да забравите (или да не знаете) какво е множител, но можете ли да разберете, че тази дума идва от думата „умножаване“?) Факторинг означава: представляват израз като умножение на нещо по нещо. Прости ми математиката и руския език ...) И това е всичко.
Например, трябва да разложите числото 12. Можете спокойно да напишете:
Затова представихме числото 12 като умножение на 3 по 4. Моля, обърнете внимание, че числата отдясно (3 и 4) са напълно различни от тези отляво (1 и 2). Но ние добре знаем, че 12 и 3 4 един и същ.Същността на числото 12 от трансформацията не се е променило.
Възможно ли е да се разложи 12 по друг начин? Лесно!
12=3 4=2 6=3 2 2=0,5 24=........
Опциите за разлагане са безкрайни.
Разлагането на числата на множители е полезно нещо. Помага много, например, когато се занимавате с корени. Но факторизирането на алгебричните изрази не е нещо, което е полезно, то е - необходимо!Само за пример:
Опростете:
Тези, които не знаят как да разложат израза, почиват отстрани. Кой знае как - опростява и получава:
Ефектът е невероятен, нали?) Между другото, решението е доста просто. Ще се убедите сами по-долу. Или, например, такава задача:
Решете уравнението:
x 5 - x 4 = 0
Решено в ума, между другото. С помощта на факторизиране. По-долу ще решим този пример. Отговор: x 1 = 0; х2 = 1.
Или същото, но за по-старите):
Решете уравнението:
В тези примери съм показал Главна целфакторизации: опростяване на дробни изрази и решаване на някои видове уравнения. Препоръчвам да запомните основно правило:
Ако имаме ужасно дробен израз, можете да опитате да разложите числителя и знаменателя на множители. Много често фракцията се намалява и опростява.
Ако имаме уравнение пред нас, където отдясно е нула, а отляво - не разбирам какво, можете да опитате да факторизирате лявата страна. Понякога помага.)
Основни методи на факторизиране.
Ето най-популярните начини:
4. Разлагане на квадратен тричлен.
Тези методи трябва да се запомнят. В този ред е. Проверяват се сложни примери за всички възможни начиниразграждане.И е по-добре да проверите по ред, за да не се объркате ... Да започнем по ред.)
1. Изваждане на общия множител извън скоби.
прости и надежден начин. Лошо не става от него! Случва се или добре, или изобщо не.) Следователно той е първият. Разбираме.
Всеки знае (вярвам!) правилото:
a(b+c) = ab+ac
Или в повече общ изглед:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Всички равенства работят както от ляво на дясно, така и обратно, от дясно на ляво. Можеш да пишеш:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Това е целият смисъл на поставянето на общия множител извън скоби.
Отляво А - общ факторза всички условия. Умножено по всичко.) Правото е най-много Авече е извън скобите.
Практическа употребаНека да разгледаме примери. Първоначално вариантът е прост, дори примитивен.) Но на този вариант ще маркирам ( в зелено) Много важни точкиза всяко факторизиране.
Умножете:
ах+9x
Който обще множителят и в двата члена? Х, разбира се! Ще го извадим от скоби. Ние правим така. Веднага записваме x извън скобите:
ax+9x=x(
И в скоби записваме резултата от деленето всеки срокточно на този х. По ред:
Това е всичко. Разбира се, не е необходимо да рисувате толкова подробно, Това се прави в ума. Но за да разберете какво е какво, е желателно). Поправяме в паметта:
Записваме общия множител извън скобите. В скоби записваме резултатите от разделянето на всички членове на този много общ фактор. По ред.
Тук разширихме израза ах+9xза умножители. Превърнах го в умножаване на x по (а + 9).Отбелязвам, че в оригиналния израз също имаше умножение, дори две: a x и 9 x.Но не е факторизиран!Защото освен умножение този израз съдържаше и събиране, знака "+"! И в израза x(a+9) нищо друго освен умножение!
Как така!? - Чувам възмутения глас на хората - И в скоби!?)
Да, има допълнение в скобите. Но номерът е, че докато скобите не са отворени, ние ги разглеждаме като една буква.И ние извършваме всички действия със скоби в тяхната цялост, като една буква.В този смисъл в израза x(a+9)нищо друго освен умножение. Това е целият смисъл на факторизацията.
Между другото, има ли начин да проверим дали сме направили всичко както трябва? лесно! Достатъчно е да умножите обратно изваденото (x) със скоби и да видите дали се е получило началенизраз? Ако се получи, всичко е тип-топ!)
x(a+9)=ax+9x
Се случи.)
Няма проблем в този примитивен пример. Но ако има няколко термина и дори с различни знаци ... Накратко, всеки трети ученик бърка). Следователно:
Ако е необходимо, проверете факторизацията чрез обратно умножение.
Умножете:
3ax+9x
Търсим общ фактор. Е, всичко е ясно с X, може да се издържи. Има ли още общфактор? да Това е трио. Можете също да напишете израза така:
3x+3 3x
Тук веднага става ясно, че общият фактор ще бъде 3x. Тук го изваждаме:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Разпространен.
И какво ще стане, ако вземете само х?Нищо специално:
3ax+9x=x(3a+9)
Това също ще бъде факторизиране. Но в това вълнуващ процесОбичайно е да се излага всичко, докато спре, докато има възможност. Тук в скоби има възможност за изваждане на тройка. Вземете:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Същото нещо, само с едно допълнително действие.) Запомнете:
Когато изваждаме общия множител извън скоби, се опитваме да извадим максимумобщ множител.
Да продължим забавлението?
Разлагане на израза на множители:
3ax+9x-8a-24
Какво ще извадим? Три, X? Не-ее... Не можеш. Напомням ви, че можете да вземете само общмножител, който е във всичкоусловия на израза. Ето защо той общ.Тук няма такъв множител ... Какво, не можете да изложите!? Е, да, бяхме възхитени, как ... Запознайте се:
2. Групиране.
Всъщност групировката е трудна за назоваване по независим начинфакторизации. Това е по-скоро начин да се измъкнем сложен пример.) Необходимо е да се групират термините, така че всичко да работи. Това може да се покаже само с пример. Така че имаме израз:
3ax+9x-8a-24
Вижда се, че има някои общи букви и цифри. Но... Общняма множител, който да бъде във всички условия. Не падайте духом и разбиваме израза на парчета.Ние групираме. Така че във всяко парче имаше общ фактор, имаше какво да се извади. Как да се счупим? Да, само скоби.
Нека ви напомня, че скобите могат да бъдат поставени навсякъде и по всякакъв начин. Ако само същността на примера не се промени.Например можете да направите това:
3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)
Моля, обърнете внимание на вторите скоби! Те са предшествани от знак минус и 8аИ 24 стани позитивен! Ако за проверка отворим скобите обратно, знаците ще се променят и ще получим началенизразяване. Тези. същността на израза от скоби не се е променила.
Но ако просто поставите в скоби, без да вземете предвид промяната на знака, например, така:
3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) -(8a-24 )
ще бъде грешка. Точно - вече другоизразяване. Разгънете скобите и всичко ще стане ясно. Не можете да решавате повече, да ...)
Но обратно към факторизацията. Вижте първите скоби (3ax + 9x)и помислете, възможно ли е да издържите нещо? Е, решихме този пример по-горе, можем да го извадим 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Изучаваме вторите скоби, там можете да извадите осемте:
(8a+24)=8(a+3)
Целият ни израз ще бъде:
(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)
Умножено? Не. Разграждането трябва да доведе до само умножение,и имаме знак минус разваля всичко. Но... И двата термина имат общ фактор! Това (a+3). Не напразно казах, че скобите като цяло са една буква. Така че тези скоби могат да бъдат извадени от скобите. Да, точно така звучи.)
Правим както е описано по-горе. Напишете общия множител (a+3), във вторите скоби записваме резултатите от разделянето на членовете на (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Всичко! Отдясно няма нищо друго освен умножение! Така факторизирането е завършено успешно!) Ето го:
3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)
Нека повторим същността на групата.
Ако изразът не го прави общмножител за всичкотермини, ние разделяме израза със скоби, така че вътре в скобите общият множител беше.Нека го извадим и да видим какво ще стане. Ако имаме късмет и точно същите изрази останат в скобите, изваждаме тези скоби от скобите.
Ще добавя, че групирането е творчески процес). Не винаги се получава от първия път. Всичко е наред. Понякога е необходимо да се разменят термините, да се обмисли различни вариантигрупиране, докато се намери добър. Основното тук е да не падате сърце!)
Примери.
Сега, след като сте се обогатили със знания, можете също да решавате трудни примери.) В началото на урока имаше три от тези ...
Опростете:
Всъщност вече сме решили този пример. Неусетно за себе си.) Напомням ви: ако ни бъде дадена ужасна дроб, ние се опитваме да разложим числителя и знаменателя на множители. Други опции за опростяване просто не.
Е, тук не се разлага знаменателят, а числителят... Числителят вече го разложихме в хода на урока! Като този:
3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)
Записваме резултата от разширяването в числителя на дробта:
Съгласно правилото за намаляване на дробите (основното свойство на дробите), можем да разделим (едновременно!) числителя и знаменателя на едно и също число или израз. Част от това не се променя.Така че разделяме числителя и знаменателя на израза (3x-8). И тук-там получаваме единици. Краен резултат от опростяването:
Подчертавам по-специално: намаляването на дроб е възможно тогава и само ако в числителя и знаменателя, в допълнение към изразите за умножение няма нищо.Ето защо преобразуването на сбора (разликата) в умножениетолкова важно е да се опрости. Разбира се, ако изразите различен,тогава нищо няма да се намали. Byvet. Но факторизацията дава шанс.Този шанс без разграждане - просто не съществува.
Пример за уравнение:
Решете уравнението:
x 5 - x 4 = 0
Изваждане на общия множител х 4за скоби. Получаваме:
х 4 (х-1)=0
Приемаме, че произведението на факторите е равно на нула тогава и само тогавакогато някой от тях е равен на нула. Ако се съмнявате, намерете ми няколко ненулеви числа, които, когато се умножат, ще дадат нула.) Така че първо пишем първия фактор:
При това равенство вторият фактор не ни притеснява. Всеки може да бъде, така или иначе, в крайна сметка ще се окаже нула. Какво е числото на четвърта степен на нулата? Само нула! И нищо друго... Следователно:
Разбрахме първия фактор, намерихме един корен. Нека да разгледаме втория фактор. Сега не ни интересува първият множител.):
Тук намерихме решение: x 1 = 0; х2 = 1. Всеки от тези корени отговаря на нашето уравнение.
Много важна забележка. Имайте предвид, че сме решили уравнението постепенно!Всеки фактор беше зададен на нула. независимо от други фактори.Между другото, ако в едно такова уравнение няма два фактора, както имаме, а три, пет, колкото искате, ние ще решим подобен.Парче по парче. Например:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Този, който отваря скобите, умножава всичко, завинаги ще виси на това уравнение.) Правилният ученик веднага ще види, че отляво няма нищо освен умножение, отдясно - нула. И той ще започне (в ума си!) да приравнява на нула всички скоби подред. И той ще получи (за 10 секунди!) правилното решение: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; х4 = -2.
Страхотно е, нали?) елегантно решениевъзможно, ако лява странауравнения разделена на кратни.Намекът ясен ли е?)
Е, последният пример, за по-старите):
Решете уравнението:
Донякъде прилича на предишния, не мислите ли?) Разбира се. Време е да си припомним, че в алгебрата за седми клас синусите, логаритмите и всичко друго може да се крие под букви! Факторингът работи във всяка математика.
Изваждане на общия множител lg4xза скоби. Получаваме:
lg 4x=0
Това е един корен. Нека да разгледаме втория фактор.
Ето и окончателния отговор: x 1 = 1; х2 = 10.
Надявам се, че сте осъзнали силата на разлагането на множители при опростяването на дроби и решаването на уравнения.)
В този урок се запознахме с премахването на общия фактор и групирането. Остава да се справим с формулите за съкратено умножение и тричлена на квадрат.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
Когато се решават уравнения и неравенства, често се налага да се разлага на множители полином, чиято степен е три или по-висока. В тази статия ще разгледаме най-лесния начин да направите това.
Както обикновено, нека се обърнем към теорията за помощ.
Теорема на Безузаявява, че остатъкът от деленето на полином на бином е .
Но не самата теорема е важна за нас, а следствие от него:
Ако числото е корен на полином, тогава полиномът се дели без остатък на бинома.
Изправени сме пред задачата по някакъв начин да намерим поне един корен на полинома, след което да разделим полинома на , където е коренът на полинома. В резултат на това получаваме полином, чиято степен е с единица по-малка от степента на оригиналния. И след това, ако е необходимо, можете да повторите процеса.
Тази задача е разделена на две: как да намерим корена на полином и как да разделим полином на бином.
Нека разгледаме по-отблизо тези точки.
1. Как да намерим корена на полином.
Първо проверяваме дали числата 1 и -1 са корените на многочлена.
Тук ще ни помогнат следните факти:
Ако сборът от всички коефициенти на полином е нула, тогава числото е коренът на полинома.
Например в полином сумата от коефициентите е равна на нула: . Лесно е да се провери какъв е коренът на полином.
Ако сумата от коефициентите на полином при четни степени е равна на сумата от коефициентите при нечетни степени, тогава числото е корен на полинома.Свободният член се счита за коефициент на четна степен, тъй като , a е четно число.
Например в полином сумата от коефициентите при четни степени е : , а сумата от коефициентите при нечетни степени е : . Лесно е да се провери какъв е коренът на полином.
Ако нито 1, нито -1 са корени на полинома, тогава продължаваме напред.
За полином с намалена степен (т.е. полином, в който водещият коефициент е коефициентът при - равно на едно) е валидна формулата на Vieta:
Къде са корените на многочлена.
Има и формули на Виета относно останалите коефициенти на полинома, но точно тази ни интересува.
От тази формула на Виета следва, че ако корените на полином са цели числа, тогава те са делители на неговия свободен член, който също е цяло число.
Въз основа на това, трябва да разложим свободния член на полинома на множители и последователно, от по-малък към по-голям, да проверим кой от множителите е коренът на полинома.
Помислете например за полинома
Безплатни членни делители: ; ; ;
Сумата от всички коефициенти на полинома е равна, следователно числото 1 не е корен на полинома.
Сумата от коефициентите при четни степени:
Сумата от коефициентите при нечетни степени:
Следователно числото -1 също не е корен на полинома.
Нека проверим дали числото 2 е коренът на полинома: следователно числото 2 е коренът на полинома. Следователно, съгласно теоремата на Безу, полиномът се дели без остатък на бинома.
2. Как се разделя многочлен на бином.
Полиномът може да бъде разделен на бином чрез колона.
Разделяме полинома на биномна колона:
Има и друг начин за разделяне на полином на бином - схема на Хорнер.
Гледайте това видео, за да разберете как да разделим полином на бином на колона и използвайки схемата на Хорнер.
Отбелязвам, че ако при разделяне на колона някаква степен на неизвестното липсва в оригиналния полином, на негово място пишем 0 - точно както при съставяне на таблица за схемата на Хорнер.
Така че, ако трябва да разделим полином на бином и в резултат на разделяне получаваме полином, тогава можем да намерим коефициентите на полинома, използвайки схемата на Хорнер:
Можем също да използваме Схема на Хорнерза да проверите дали даденото число е коренът на полинома: ако числото е коренът на полинома, тогава остатъкът от деленето на полинома на е нула, тоест в последната колона на втория ред на Horner схема, получаваме 0.
Използвайки схемата на Хорнер, ние „убиваме две птици с един камък“: в същото време проверяваме дали числото е корен на полином и разделяме този полином на бином.
Пример.Решете уравнението:
1. Изписваме делителите на свободния член, а корените на полинома ще търсим сред делителите на свободния член.
Делители на 24:
2. Проверете дали числото 1 е корен на многочлена.
Сумата от коефициентите на полином, следователно числото 1 е коренът на полинома.
3. Разделете оригиналния полином на бином, като използвате схемата на Horner.
А) Запишете коефициентите на първоначалния полином в първия ред на таблицата.
Тъй като съдържащият член липсва, в колоната на таблицата, в която трябва да бъде записан коефициентът на at, записваме 0. Отляво записваме намерения корен: числото 1.
Б) Попълнете първия ред на таблицата.
В последната колона, както очаквахме, получихме нула, разделихме оригиналния полином на бином без остатък. Коефициентите на полинома, получен от разделянето, са показани в синьо във втория ред на таблицата:
Лесно се проверява, че числата 1 и -1 не са корени на многочлена
В) Да продължим таблицата. Нека проверим дали числото 2 е корен на полинома:
Така че степента на полинома, който се получава в резултат на делене на едно, е по-малка от степента на оригиналния полином, следователно броят на коефициентите и броят на колоните са по-малки с единица.
В последната колона получихме -40 - число, не нула, следователно полиномът се дели на бином с остатък и числото 2 не е корен на полинома.
В) Да проверим дали числото -2 е корен на многочлена. Тъй като предишният опит беше неуспешен, за да няма объркване с коефициентите, ще изтрия реда, съответстващ на този опит:
Страхотен! В остатъка получихме нула, следователно полиномът беше разделен на бином без остатък, следователно числото -2 е коренът на полинома. Коефициентите на полинома, който се получава чрез разделяне на полинома на бинома, са показани в зелено в таблицата.
В резултат на разделянето получихме квадратен тричлен 
, чиито корени се намират лесно от теоремата на Виета:
И така, корените на оригиналното уравнение:
{
}
Отговор: ( 
}
В тази статия ще намерите цялата необходима информация, която отговаря на въпроса, как да разложим число на множители. Първо, дадена е обща идея за разлагането на число на прости фактори, дадени са примери за разширения. След това е показана каноничната форма на разлагане на число на прости множители. След това е даден алгоритъм за разлагане на произволни числа на прости множители и са дадени примери за разлагане на числа с помощта на този алгоритъм. Също така взети предвид алтернативни начини, което ви позволява бързо да разлагате малки цели числа на прости множители, като използвате знаци за делимост и таблица за умножение.
Навигация в страницата.
Какво означава да разложим число на прости множители?
Първо, нека разгледаме кои са простите множители.
Ясно е, че тъй като думата „фактори“ присъства в тази фраза, тогава се извършва произведението на някои числа, а уточняващата дума „просто“ означава, че всеки фактор е просто число. Например, в продукт от формата 2 7 7 23 има четири прости множителя: 2 , 7 , 7 и 23 .
Какво означава да разложим число на прости множители?
Това означава, че даденото число трябва да бъде представено като произведение на прости множители и стойността на това произведение трябва да бъде равна на оригиналното число. Като пример, разгледайте произведението на три прости числа 2, 3 и 5, то е равно на 30, така че разлагането на числото 30 на прости множители е 2 3 5 . Обикновено разлагането на число на прости множители се записва като равенство, в нашия пример ще бъде така: 30=2 3 5 . Отделно подчертаваме, че основните фактори в разширението могат да се повтарят. Това ясно илюстрира следващ пример: 144=2 2 2 2 3 3 . Но представянето на формата 45=3 15 не е разлагане на прости множители, тъй като числото 15 е съставно.
Възниква следният въпрос: „А кои числа могат да се разложат на прости множители“?
В търсене на отговор на него представяме следното разсъждение. Простите числа по дефиниция са сред по-големите от едно. Като се има предвид този факт и , може да се твърди, че произведението на няколко прости фактора е положително цяло число, по-голямо от едно. Следователно факторизирането се извършва само за положителни цели числа, които са по-големи от 1.
Но дали всички цели числа, по-големи от един множител, са прости множители?
Ясно е, че няма начин простите цели числа да се разложат на прости множители. Това е така, защото простите числа имат само два положителни делителя, единица и себе си, така че не могат да бъдат представени като произведение на две или Повече ▼прости числа. Ако цяло число z може да бъде представено като произведение на прости числа a и b, тогава концепцията за делимост би ни позволила да заключим, че z се дели както на a, така и на b, което е невъзможно поради простотата на числото z. Въпреки това се смята, че всяко просто число само по себе си е неговото разлагане.
Какво ще кажете за съставните числа? Разлагат ли се съставните числа на прости множители и всички съставни числа подлежат ли на такова разлагане? Утвърдителен отговор на редица от тези въпроси дава основната теорема на аритметиката. Фундаменталната теорема на аритметиката гласи, че всяко цяло число a, което е по-голямо от 1, може да бъде разложено на произведение на прости множители p 1 , p 2 , ..., p n , докато разширението има формата a=p 1 p 2 .. .p n и това разлагане е уникално, ако не вземем предвид реда на факторите
Канонично разлагане на число на прости множители
При разширяването на число простите множители могат да се повторят. Повтарящите се прости множители могат да бъдат записани по-компактно с помощта на . Нека простият множител p 1 се среща s 1 пъти при разлагането на числото a, простият множител p 2 - s 2 пъти и така нататък, p n - s n пъти. Тогава разлагането на прости фактори на числото a може да бъде написано като a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. Тази форма на писане е т.нар канонично разлагане на число на прости множители.
Нека дадем пример за канонично разлагане на число на прости множители. Уведомете ни за разграждането 609 840=2 2 2 3 3 5 7 11 11, неговата канонична форма е 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
Каноничното разлагане на число на прости множители ви позволява да намерите всички делители на числото и броя на делителите на числото.
Алгоритъм за разлагане на число на прости множители
За да се справите успешно със задачата да разложите число на прости множители, трябва много добре да владеете информацията в статията прости и съставни числа.
Същността на процеса на разширяване на положително цяло число и по-голямо от едно число a е ясна от доказателството на основната теорема на аритметиката. Смисълът е да намерите последователно най-малките прости делители p 1 , p 2 , …,p n числа a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , което ви позволява да получите поредица от равенства a=p 1 a 1 , където a 1 = a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , където a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 p 2 …p n a n , където a n =a n -1:p n . Когато се получи a n =1, тогава равенството a=p 1 ·p 2 ·…·p n ще ни даде необходимото разлагане на числото a на прости множители. Тук също трябва да се отбележи, че p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.
Остава да се справим с намирането на най-малките прости делители на всяка стъпка и ще имаме алгоритъм за разлагане на число на прости множители. Таблицата с прости числа ще ни помогне да намерим простите делители. Нека покажем как да го използваме, за да получим най-малкия прост делител на числото z.
Вземаме последователно прости числа от таблицата на простите числа (2, 3, 5, 7, 11 и т.н.) и разделяме даденото число z на тях. Първото просто число, на което z се дели равномерно, е неговият най-малък прост делител. Ако числото z е просто, тогава неговият най-малък прост делител ще бъде самото число z. Тук също трябва да се припомни, че ако z не е просто число, то неговият най-малък прост делител не превишава числото , където - от z . Така, ако сред простите числа, които не превишават , нямаше нито един делител на числото z, тогава можем да заключим, че z е просто число (повече за това е написано в раздела теория под заглавието това число е просто или съставно ).
Например, нека покажем как да намерим най-малкия прост делител на числото 87. Вземаме номер 2. Разделяме 87 на 2, получаваме 87:2=43 (остан. 1) (ако е необходимо, вижте статията). Тоест, когато делим 87 на 2, остатъкът е 1, така че 2 не е делител на числото 87. Взимаме следващото просто число от таблицата на простите числа, това е числото 3 . Разделяме 87 на 3, получаваме 87:3=29. Така че 87 се дели равномерно на 3, така че 3 е най-малкият прост делител на 87.
Обърнете внимание, че в общия случай, за да разложим на множители числото a, се нуждаем от таблица с прости числа до число не по-малко от . Ще трябва да се позоваваме на тази таблица на всяка стъпка, така че трябва да я имаме под ръка. Например, за да разложим на фактори числото 95, ще ни трябва таблица с прости числа до 10 (тъй като 10 е по-голямо от ). И за да разложите числото 846 653, вече ще ви трябва таблица с прости числа до 1000 (тъй като 1000 е по-голямо от).
Сега имаме достатъчно информация за писане алгоритъм за разлагане на число на прости множители. Алгоритъмът за разширяване на числото a е следният:
- Сортирайки последователно числата от таблицата на простите числа, намираме най-малкия прост делител p 1 на числото a, след което изчисляваме a 1 =a:p 1 . Ако a 1 =1, то числото a е просто и самото то е неговото разлагане на прости множители. Ако a 1 е равно на 1, тогава имаме a=p 1 ·a 1 и преминаваме към следващата стъпка.
- Намираме най-малкия прост делител p 2 на числото a 1 , за това последователно сортираме числата от таблицата на простите числа, започвайки с p 1 , след което изчисляваме a 2 =a 1:p 2 . Ако a 2 =1, тогава желаното разлагане на числото a на прости множители има формата a=p 1 ·p 2 . Ако a 2 е равно на 1, тогава имаме a=p 1 ·p 2 ·a 2 и преминаваме към следващата стъпка.
- Преминавайки през числата от таблицата на простите числа, започвайки с p 2 , намираме най-малкия прост делител p 3 на числото a 2 , след което изчисляваме a 3 =a 2:p 3 . Ако a 3 =1, тогава желаното разлагане на числото a на прости множители има формата a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Ако a 3 е равно на 1, тогава имаме a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 и преминаваме към следващата стъпка.
- Намерете най-малкия прост делител p n на числото a n-1, като сортирате простите числа, като започнете с p n-1, както и a n =a n-1:p n и a n е равно на 1. Тази стъпка е последната стъпка от алгоритъма, тук получаваме необходимото разлагане на числото a на прости множители: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .
Всички резултати, получени на всяка стъпка от алгоритъма за разлагане на число на прости множители, са представени за яснота под формата на следната таблица, в която числата a, a 1, a 2, ..., a n са записани последователно до отляво на вертикалната черта, а отдясно на чертата - съответните най-малки прости делители p 1 , p 2 , …, p n .
Остава само да разгледаме няколко примера за прилагане на получения алгоритъм за разлагане на числа на прости множители.
Примери за разлагане на прости фактори
Сега ще анализираме подробно прости примери за факторизиране. При декомпозирането ще приложим алгоритъма от предходния параграф. Нека започнем с прости случаи и постепенно ще ги усложним, за да се изправим пред всички възможни нюансивъзникващи от разлагането на числата на прости множители.
Пример.
Разложете числото 78 на прости множители.
Решение.
Започваме да търсим първия най-малък прост делител p 1 на числото a=78 . За да направим това, започваме последователно да сортираме простите числа от таблицата на простите числа. Вземаме числото 2 и разделяме на него 78, получаваме 78:2=39. Числото 78 беше разделено на 2 без остатък, така че p 1 \u003d 2 е първият открит прост делител на числото 78. В този случай a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Така стигаме до равенството a=p 1 ·a 1 във вида 78=2·39 . Очевидно 1 =39 е различно от 1, така че преминаваме към втората стъпка на алгоритъма.
Сега търсим най-малкия прост делител p 2 на числото a 1 =39 . Започваме изброяването на числата от таблицата на простите числа, започвайки с p 1 =2 . Разделяме 39 на 2, получаваме 39:2=19 (остава 1). Тъй като 39 не се дели равномерно на 2, 2 не е неговият делител. След това вземаме следващото число от таблицата на простите числа (числото 3) и разделяме на него 39, получаваме 39:3=13. Следователно p 2 \u003d 3 е най-малкият прост делител на числото 39, докато a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. Имаме равенството a=p 1 p 2 a 2 във вида 78=2 3 13 . Тъй като 2 =13 е различно от 1, преминаваме към следващата стъпка от алгоритъма.
Тук трябва да намерим най-малкия прост делител на числото a 2 =13. В търсене на най-малкия прост делител p 3 на числото 13 ще подредим последователно числата от таблицата на простите числа, започвайки с p 2 =3 . Числото 13 не се дели на 3, тъй като 13:3=4 (ост. 1), също така 13 не се дели на 5, 7 и 11, тъй като 13:5=2 (ост. 3), 13:7=1 (рез. 6) и 13:11=1 (рез. 2) . Следващото просто число е 13 и 13 се дели на него без остатък, следователно най-малкият прост делител p 3 на числото 13 е самото число 13 и a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Тъй като a 3 =1 , тогава тази стъпка на алгоритъма е последната и желаното разлагане на числото 78 на прости множители има формата 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .
Отговор:
78=2 3 13 .
Пример.
Изразете числото 83 006 като произведение на прости множители.
Решение.
На първата стъпка от алгоритъма за разлагане на число на прости множители намираме p 1 =2 и a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , откъдето 83 006=2 41 503 .
На втората стъпка откриваме, че 2 , 3 и 5 не са прости делители на числото a 1 =41 503 , а числото 7 е, тъй като 41 503 е: 7=5 929 . Имаме p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Така 83 006=2 7 5 929 .
Най-малкият прост делител на 2 =5 929 е 7, тъй като 5 929:7=847. Така p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , откъдето 83 006=2 7 7 847 .
Освен това намираме, че най-малкият прост делител p 4 на числото a 3 =847 е равен на 7 . Тогава a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , така че 83 006=2 7 7 7 121 .
Сега намираме най-малкия прост делител на числото a 4 =121, това е числото p 5 =11 (тъй като 121 се дели на 11 и не се дели на 7). Тогава a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 и 83 006=2 7 7 7 11 11 .
И накрая, най-малкият прост делител на a 5 =11 е p 6 =11 . Тогава a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Тъй като a 6 =1 , то тази стъпка от алгоритъма за разлагане на число на прости множители е последната и желаното разлагане има формата 83 006=2·7·7·7·11·11 .
Полученият резултат може да се запише като канонично разлагане на числото на прости множители 83 006=2·7 3 ·11 2 .
Отговор:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 е просто число. Наистина, той няма прост делител, който не превишава ( може грубо да се оцени като , тъй като е очевидно, че 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Отговор:
897 924 289=937 967 991 .
Използване на тестове за делимост за разлагане на прости множители
В прости случаи можете да разложите число на прости множители, без да използвате алгоритъма за разлагане от първия параграф на тази статия. Ако числата не са големи, тогава за да ги разложите на прости множители, често е достатъчно да знаете признаците на делимост. Даваме примери за пояснение.
Например, трябва да разложим числото 10 на прости множители. От таблицата за умножение знаем, че 2 5=10 и числата 2 и 5 очевидно са прости, така че разлагането на прости множители на 10 е 10=2 5 .
Друг пример. Използвайки таблицата за умножение, разлагаме числото 48 на прости множители. Знаем, че шест осем е четиридесет и осем, тоест 48=68. Но нито 6, нито 8 са прости числа. Но знаем, че два пъти три е шест и два пъти четири е осем, тоест 6=2 3 и 8=2 4 . Тогава 48=6 8=2 3 2 4 . Остава да запомним, че два пъти две е четири, тогава получаваме желаното разлагане на прости множители 48=2 3 2 2 2 . Нека запишем това разлагане в каноничната форма: 48=2 4 ·3 .
Но когато разлагате числото 3400 на прости множители, можете да използвате признаците за делимост. Признаците за делимост на 10, 100 ни позволяват да твърдим, че 3400 се дели на 100, докато 3400=34 100, а 100 се дели на 10, докато 100=10 10, следователно 3400=34 10 10. И въз основа на знака за делимост на 2 може да се твърди, че всеки от множителите 34, 10 и 10 се дели на 2, получаваме 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Всички фактори в полученото разширение са прости, така че това разширение е необходимото. Остава само да пренаредим множителите така, че да вървят във възходящ ред: 3 400=2 2 2 5 5 17 . Записваме и каноничното разлагане на това число на прости множители: 3 400=2 3 5 2 17 .
Когато разлагате дадено число на прости множители, можете да използвате последователно както знаците за делимост, така и таблицата за умножение. Нека представим числото 75 като произведение на прости множители. Знакът за делимост на 5 ни позволява да твърдим, че 75 се дели на 5, докато получаваме, че 75=5 15. А от таблицата за умножение знаем, че 15=3 5 , следователно 75=5 3 5 . Това е желаното разлагане на числото 75 на прости множители.
Библиография.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.
- Виноградов I.M. Основи на теорията на числата.
- Михелович Ш.Х. Теория на числата.
- Куликов Л.Я. и др.Сборник задачи по алгебра и теория на числата: Учебник за студенти по физ.-мат. специалности на педагогически институти.
