≡×МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт
• Вътрешен дизайн
• За всичко
• Относно ВиК

Формулата за разлагане на квадратно уравнение. Квадратният тричлен и неговите корени

Светът е потопен в огромен брой числа. Всички изчисления се извършват с тяхна помощ.

Хората учат числата, за да не попаднат на измама в по-късен живот. Необходимо е да отделите огромно количество време, за да се образовате и да изчислите собствения си бюджет.

Математиката е точна наука, която играе голяма роляв живота. В училище децата учат числата, а след това и действията върху тях.

Действията върху числата са напълно различни: умножение, разширение, добавяне и други. В допълнение към простите формули, в изучаването на математиката се използват и по-сложни действия. Има огромен брой формули, чрез които се познават всякакви стойности.

В училище, веднага щом се появи алгебра, в живота на ученика се добавят формули за опростяване. Има уравнения, когато има две неизвестни числа, но намерете по прост начинняма да работи. Тричленът е съединение от три монома с помощта на прост методизваждане и събиране. Триномът се решава с помощта на теоремата на Виета и дискриминанта.

Формулата за разлагане на квадратен трином на множители

Има две правилни и прости решенияпример:

• дискриминанта;
• Теорема на Виета.

Квадратният тричлен има неизвестно на квадрат, както и число без квадрат. Първият вариант за решаване на проблема използва формулата на Vieta. Това е проста формулаако цифрите, които идват преди неизвестно, ще бъдат минималната стойност.

За други уравнения, където числото е пред неизвестното, уравнението трябва да се реши чрез дискриминанта. Свърши се трудно решение, но дискриминантът се използва много по-често от теоремата на Виета.

Първоначално, за да намерите всички променливи на уравнението, е необходимо да повишите примера до 0. Решението на примера може да бъде проверено и да разберете дали числата са коригирани правилно.

Дискриминанта

1. Необходимо е уравнението да се приравни на 0.

2. Всяко число преди x ще наричаме числа a, b, c. Тъй като няма число преди първия квадрат x, то се равнява на 1.

3. Сега решението на уравнението започва чрез дискриминанта:

4. Сега намерихме дискриминанта и намерихме две x. Разликата е, че в единия случай b ще бъде предшествано от плюс, а в другия от минус:

5. При решаването на две числа се получиха -2 и -1. Заместете под първоначалното уравнение:

6. В този пример се оказаха две правилни опции. Ако и двете решения са верни, то всяко от тях е вярно.

Решете чрез дискриминанта и др сложно уравнение. Но ако стойността на самия дискриминант е по-малка от 0, тогава примерът е грешен. Дискриминантът при търсенето винаги е под корена и отрицателна стойност не може да бъде в корена.

Теорема на Виета

Използва се за решаване на лесни задачи, при които първото x не се предшества от число, т.е. a=1. Ако опцията съвпада, изчислението се извършва чрез теоремата на Vieta.

За решаване на всеки тричленнеобходимо е уравнението да се повиши до 0. Първите стъпки за дискриминанта и теоремата на Vieta са едни и същи.

2. Сега има разлики между двата метода. Теоремата на Виета използва не само "сухо" изчисление, но и логика и интуиция. Всяко число има своя буква a, b, c. Теоремата използва сумата и произведението на две числа.

Помня! Числото b винаги се събира с обратен знак, а числото c остава непроменено!

Заместване на стойности на данни в примера , получаваме:

3. Използвайки логическия метод, заместваме най-подходящите числа. Обмислете всички възможни решения:

1. Числата са 1 и 2. Когато ги съберем, получаваме 3, но ако умножим, не получаваме 4. Не е подходящо.
2. Стойност 2 и -2. Когато се умножи, ще бъде -4, но когато се добави, се оказва 0. Не е подходящо.
3. Числата 4 и -1. Тъй като умножението съдържа отрицателна стойност, това означава, че едно от числата ще бъде с минус. Подходящ за събиране и умножение. Правилен вариант.

4. Остава само да проверите, като поставите числата и да видите дали избраната опция е правилна.

5. Благодарение на онлайн проверка установихме, че -1 не отговаря на условието на примера, което означава, че е грешно решение.

Когато добавяте отрицателна стойност в примера, числото трябва да бъде оградено в скоби.

В математиката винаги ще има прости задачии комплекс. Самата наука включва различни проблеми, теореми и формули. Ако разбирате и правилно прилагате знанията, тогава всички трудности с изчисленията ще бъдат незначителни.

Математиката не се нуждае от постоянно запаметяване. Трябва да се научите да разбирате решението и да научите няколко формули. Постепенно, според логически заключения, е възможно да се решат подобни проблеми, уравнения. Такава наука може да изглежда много трудна на пръв поглед, но ако човек се потопи в света на числата и задачите, тогава гледната точка ще се промени драматично в по-добра страна.

Технически специалностивинаги остават най-търсените в света. Сега, в света модерни технологииМатематиката се превърна в незаменим атрибут на всяка област. Винаги трябва да помните за полезни свойстваматематика.

Разлагане на тричлен със скоби

Отвъд решението по обичайните начини, има още едно - разлагане в скоби. Използва се с формулата на Vieta.

1. Приравнете уравнението към 0.

брадва 2 + bx + c= 0

2. Корените на уравнението остават същите, но вместо нула, те вече използват формули за разширяване на скоби.

брадва 2 + bx + c = a (х-х 1) (х-х 2)

2 х 2 – 4 х – 6 = 2 (х + 1) (х – 3)

4. Решение x=-1, x=3

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информациявключително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурността, правоприлагането или други обществени важни поводи.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Намерете сбора и произведението на корените квадратно уравнение. Използвайки формули (59.8) за корените на горното уравнение, получаваме

(първото равенство е очевидно, второто се получава след просто изчисление, което читателят ще извърши самостоятелно; удобно е да се използва формула за умножаване на сумата от две числа по тяхната разлика).

Следното

Теорема на Виета. Сборът от корените на даденото квадратно уравнение е равен на втория коефициент с обратен знак, а произведението им е равно на свободния член.

В случай на нередуцирано квадратно уравнение трябва да заместите изразите на формула (60.1) във формули (60.1) и да приемете формата

Пример 1. Съставете квадратно уравнение по неговите корени:

Решение, а) Откриваме, че уравнението има формата

Пример 2. Намерете сумата от квадратите на корените на уравнение, без да решавате самото уравнение.

Решение. Сборът и произведението на корените са известни. Представяме сумата от квадратни корени във формата

и получи

От формулите Vieta е лесно да се получи формулата

изразяващо правилото за разлагане квадратен тричленза умножители.

Наистина, ние записваме формули (60.2) във формата

Сега имаме

което трябва да получите.

Горното извеждане на формулите на Vieta е познато на читателя от курса по алгебра гимназия. Друго извеждане може да бъде дадено, като се използва теоремата на Bezout и факторизацията на полином (§§ 51, 52).

Нека тогава корените на уравнението общо правило(52.2) триномът от лявата страна на уравнението се факторизира:

Разгъвайки скобите от дясната страна на това идентично равенство, получаваме

и сравняването на коефициентите при равни степени ще ни даде формулите на Vieta (60.1).

Предимството на това извеждане е, че може да се приложи и към уравнения от по-високи степени, за да се получат изрази за коефициентите на уравнението по отношение на неговите корени (без да се намират самите корени!). Например, ако корените на редуцираното кубично уравнение

същността е, че съгласно равенството (52.2) намираме

(в нашия случай, отваряйки скобите от дясната страна на равенството и събирайки коефициентите на различни степени, получаваме

Тип урок:урок за затвърдяване и систематизиране на знанията.

Тип урок:Проверка, оценка и корекция на знанията и методите на действие.

Цели:

• Образователни:

- да се развие у учениците способността да разлагат квадратен тричлен на множители;
- консолидиране на знанията в процеса на решаване на различни задачи по определена тема;
– формиране на математическо мислене;
- повишаване на интереса към темата в процеса на повтаряне на обхванатия материал.

Образователни:

- възпитание на организираност, концентрация;
- възпитание позитивно отношениеда уча;
- култивиране на любопитство.

Разработване:

- развиват способността за упражняване на самоконтрол;
- развиват способността за рационално планиране на работата;
- развитие на независимост, внимание.

Оборудване:дидактически материал за устна работа, самостоятелна работа, тестови задачи за проверка на знанията, карти с домашна работа, учебник по алгебра Ю.Н. Макаричев.

План на урока.

Етапи на урока	Време, мин	Техники и методи
I. Етап на актуализиране на знанията. Мотивация за учебен проблем	2	Разговор на учителя
II. Основното съдържание на урока Формиране и затвърждаване на представите на учениците за формулата за разлагане на квадратен тричлен на множители.	10	Обяснение на учителя. Евристичен разговор
III. Формиране на умения и способности. Затвърдяване на изучения материал	25	Разрешаване на проблем. Отговори на студентски въпроси
IV. Проверка на усвояването на знанията. Отражение	5	Съобщение на учителя. Студентско съобщение
v. Домашна работа	3	Задача на карти

По време на часовете

I. Етап на актуализиране на знанията. Мотивация на образователния проблем.

Организиране на времето.

Днес в урока ще обобщим и систематизираме знанията по темата: „Разлагане на множители на квадратен трином“. Изпълнявайки различни упражнения, трябва да отбележите за себе си точките, на които трябва да се посветите Специално вниманиепри решаване на уравнения и практически задачи. Това е много важно при подготовката за изпита.
Запишете темата на урока: „Разлагане на множители на квадратен тричлен. Решаване на примери.

II. Основното съдържание на урокаФормиране и затвърждаване на представите на учениците за формулата за разлагане на квадратен тричлен на множители.

устна работа.

– За да разложите успешно квадратен тричлен, трябва да запомните както формулите за намиране на дискриминанта, така и формулите за намиране на корените на квадратно уравнение, формулата за разлагане на квадратен тричлен и да ги приложите на практика.

1. Погледнете картите „Продължете или попълнете твърдението“.

2. Погледнете дъската.

1. Кой от предложените полиноми не е квадратен?

1) х 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2х 2 +х– 3 = 0;
3) х 4 – 2х 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2х 2 + 2 = 0;

Дефинирайте квадратен тричлен. Дефинирайте корена на квадратен тричлен.

2. Коя от формулите не е формула за изчисляване на корените на квадратно уравнение?

1) х 1,2 = ;
2) х 1,2 = – b+ ;
3) х 1,2 = .

3. Намерете коефициентите a, b, c на квадратния тричлен - 2 х 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Коя от формулите е формула за изчисляване на корените на квадратно уравнение

x2 + px + q= 0 по теоремата на Виета?

1) х 1 + x 2 =p,
х 1 · х 2 = q.

2) х 1 + x 2 = –п,
х 1 · х 2 = q.

3)х 1 + x 2 = –п,
х 1 · х 2 = – q .

5. Разгънете квадратния тричлен х 2 – 11x + 18 за множители.

Отговор: ( х – 2)(х – 9)

6. Разгънете квадратния трином при 2 – 9y + 20 за множители

Отговор: ( х – 4)(х – 5)

III. Формиране на умения и способности. Затвърдяване на изучения материал.

1. Факторизирайте квадратния трином:
а) 3 х 2 – 8х + 2;
б) 6 х 2 – 5х + 1;
на 3 х 2 + 5х – 2;
г) -5 х 2 + 6х – 1.

2. Факторингът ни помага, когато редуцираме дроби.

3. Без да използвате формулата за корен, намерете корените на квадратен тричлен:
а) х 2 + 3х + 2 = 0;
б) х 2 – 9х + 20 = 0.

4. Направете квадратен тричлен, чиито корени са числа:
а) х 1 = 4; х 2 = 2;
б) х 1 = 3; х 2 = -6;

Самостоятелна работа.

Самостоятелно изпълнете задачата според опциите, последвана от проверка. На първите две задачи трябва да се отговори с "Да" или "Не". Извиква се по един ученик от всеки вариант (работят върху реверите на дъската). След самостоятелна работа върху дъската се извършва съвместна проверка на решението. Учениците оценяват работата си.

1-ви вариант:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Числото 2 е коренът на уравнението x 2 + 3x - 10 = 0.

3. Факторизирайте квадратния трином на множители 6 х 2 – 5х + 1;

2-ри вариант:

1.D>0. Уравнението има 2 корена.

2. Числото 3 е коренът на квадратното уравнение x 2 - x - 12 = 0.

3. Разложете квадратния трином на множители 2 х 2 – 5x + 3

IV. Проверка на усвояването на знанията. Отражение.

– Урокът показа, че знаете основното теоретичен материалтази тема. Обобщихме знанията

Квадратният тричленсе нарича полином от формата ax2+bx +° С, Където х- променлива, а,б,° Сса някои числа и a ≠ 0.

Коефициент АНаречен старши коефициент, ° С – безплатен членквадратен тричлен.

Примери за квадратни триноми:

2 х 2 + 5х + 4(Тук а = 2, b = 5, ° С = 4)

x 2 - 7x + 5(Тук а = 1, b = -7, ° С = 5)

9x 2 + 9x - 9(Тук а = 9, b = 9, ° С = -9)

Коефициент bили коеф ° Сили и двата коефициента могат да бъдат равни на нула едновременно. Например:

5 х 2 + 3х(Тука = 5b = 3c = 0, така че стойността на c не е в уравнението).

6x 2 - 8 (Тукa=6, b=0, c=-8)

2x2(Тукa=2, b=0, c=0)

Извиква се стойността на променлива, при която полиномът изчезва полином корен.

За намиране на корените на квадратен тричленax2+ bx + ° С, трябва да го приравним към нула -
т.е. решаване на квадратното уравнениеax2+ bx + c= 0 (виж раздел "Квадрично уравнение").

Факторизиране на квадратен тричлен

Пример:

Разлагаме на множители тричлена 2 х 2 + 7x - 4.

Виждаме коефициента А = 2.

Сега нека намерим корените на тричлена. За да направим това, го приравняваме на нула и решаваме уравнението

2х 2 + 7x - 4 = 0.

Как се решава такова уравнение - вижте раздела „Формули на корените на квадратно уравнение. Дискриминанта". Тук веднага назоваваме резултата от изчисленията. Нашият трином има два корена:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

Нека заместим стойностите на корените в нашата формула, като извадим от скоби стойността на коефициента А, и получаваме:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

Полученият резултат може да се запише по различен начин чрез умножаване на коефициента 2 по бинома х – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Проблемът е решен: тричленът се разлага на множители.

Такова разлагане може да се получи за всеки квадратен тричлен с корени.

ВНИМАНИЕ!

Ако дискриминантът на квадратен тричлен нула, тогава този тричлен има един корен, но при разлагането на тринома този корен се приема като стойност на два корена - тоест като една и съща стойност х 1 их 2 .

Например, един трином има един корен, равен на 3. Тогава x 1 = 3, x 2 = 3.