≡×МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт
• Вътрешен дизайн
• За всичко
• Относно ВиК

Как да изчислим производната на сложна функция. Примери за прилагане на формулата за производна на сложна функция

Ако следваме определението, тогава производната на функция в точка е границата на коефициента на нарастване на функцията Δ гкъм увеличението на аргумента Δ х:

Всичко изглежда ясно. Но опитайте да изчислите по тази формула, да речем, производната на функцията f(х) = х 2 + (2х+ 3) · д хгрях х. Ако правите всичко по дефиниция, тогава след няколко страници изчисления просто ще заспите. Следователно има по-прости и по-ефективни начини.

Като начало отбелязваме, че така наречените елементарни функции могат да бъдат разграничени от цялото разнообразие от функции. Относително е прости изрази, чиито производни отдавна са изчислени и въведени в таблицата. Такива функции са достатъчно лесни за запомняне, заедно с техните производни.

Производни на елементарни функции

Елементарните функции са всичко изброено по-долу. Производните на тези функции трябва да се знаят наизуст. Освен това не е трудно да ги запомните - затова са елементарни.

И така, производните елементарни функции:

Име	функция	Производна
Константа	f(х) = ° С, ° С ∈ Р	0 (да, да, нула!)
Степен с рационален показател	f(х) = х н	н · х н − 1
синусите	f(х) = грях х	cos х
Косинус	f(х) = cos х	− грях х(минус синус)
Допирателна	f(х) = tg х	1/cos 2 х
Котангенс	f(х) = ctg х	− 1/sin2 х
натурален логаритъм	f(х) = дневник х	1/х
Произволен логаритъм	f(х) = дневник а х	1/(хвътре а)
Експоненциална функция	f(х) = д х	д х(Нищо не се промени)

Ако една елементарна функция се умножи по произволна константа, тогава производната на новата функция също се изчислява лесно:

(° С · f)’ = ° С · f ’.

По принцип константите могат да бъдат извадени от знака на производната. Например:

(2х 3)' = 2 ( х 3)' = 2 3 х 2 = 6х 2 .

Очевидно елементарните функции могат да се добавят една към друга, умножават, разделят и много повече. Така ще се появят нови функции, вече не много елементарни, но и диференцируеми по определени правила. Тези правила са обсъдени по-долу.

Производна на сбор и разлика

Нека функциите f(х) И ж(х), чиито производни са ни известни. Например можете да вземете елементарните функции, обсъдени по-горе. След това можете да намерите производната на сбора и разликата на тези функции:

1. (f + ж)’ = f ’ + ж ’
2. (f − ж)’ = f ’ − ж ’

И така, производната на сумата (разликата) на две функции е равна на сумата (разликата) на производните. Възможно е да има повече термини. Например, ( f + ж + ч)’ = f ’ + ж ’ + ч ’.

Строго погледнато, в алгебрата няма концепция за "изваждане". Съществува понятието "отрицателен елемент". Следователно разликата f − жможе да се пренапише като сума f+ (−1) ж, и тогава остава само една формула - производната на сумата.

f(х) = х 2 + sinx; ж(х) = х 4 + 2х 2 − 3.

функция f(х) е сумата от две елементарни функции, така че:

f ’(х) = (х 2+ грях х)’ = (х 2)' + (грех х)’ = 2х+ cosx;

Ние спорим по подобен начин за функцията ж(х). Само че вече има три термина (от гледна точка на алгебрата):

ж ’(х) = (х 4 + 2х 2 − 3)’ = (х 4 + 2х 2 + (−3))’ = (х 4)’ + (2х 2)’ + (−3)’ = 4х 3 + 4х + 0 = 4х · ( х 2 + 1).

Отговор:
f ’(х) = 2х+ cosx;
ж ’(х) = 4х · ( х 2 + 1).

Производно на продукт

Математиката е логическа наука, така че много хора вярват, че ако производната на сумата е равна на сумата от производните, тогава производната на продукта стачка"\u003e равно на произведението на производните. Но смокини за вас! Производната на продукта се изчислява по съвсем различна формула. А именно:

(f · ж) ’ = f ’ · ж + f · ж ’

Формулата е проста, но често се забравя. И не само ученици, но и студенти. Резултатът е неправилно решени задачи.

Задача. Намерете производни на функции: f(х) = х 3 cosx; ж(х) = (х 2 + 7х− 7) · д х .

функция f(х) е продукт на две елементарни функции, така че всичко е просто:

f ’(х) = (х 3 cos х)’ = (х 3)' cos х + х 3 (cos х)’ = 3х 2 cos х + х 3 (-грех х) = х 2 (3 cos х − хгрях х)

функция ж(х) първият множител е малко по-сложен, но обща схематова не се променя. Очевидно първият множител на функцията ж(х) е полином и неговата производна е производната на сумата. Ние имаме:

ж ’(х) = ((х 2 + 7х− 7) · д х)’ = (х 2 + 7х− 7)' · д х + (х 2 + 7х− 7) ( д х)’ = (2х+ 7) · д х + (х 2 + 7х− 7) · д х = д х(2 х + 7 + х 2 + 7х −7) = (х 2 + 9х) · д х = х(х+ 9) · д х .

Отговор:
f ’(х) = х 2 (3 cos х − хгрях х);
ж ’(х) = х(х+ 9) · д х .

Обърнете внимание, че в последната стъпка производната се факторизира. Формално това не е необходимо, но повечето производни не се изчисляват самостоятелно, а за изследване на функцията. Това означава, че по-нататък производната ще бъде приравнена на нула, нейните знаци ще бъдат открити и т.н. За такъв случай е по-добре да имате израз, разложен на множители.

Ако има две функции f(х) И ж(х), и ж(х) ≠ 0 на множеството, което ни интересува, можем да дефинираме нова функция ч(х) = f(х)/ж(х). За такава функция можете също да намерите производната:

Не е слаб, нали? Откъде дойде минусът? Защо ж 2? И така! Това е една от най-сложните формули - не можете да я разберете без бутилка. Затова е по-добре да го изучавате конкретни примери.

Задача. Намерете производни на функции:

Има елементарни функции в числителя и знаменателя на всяка дроб, така че всичко, от което се нуждаем, е формулата за производната на частното:

По традиция разлагаме числителя на фактори - това значително ще опрости отговора:

Сложната функция не е непременно формула с дължина половин километър. Например, достатъчно е да вземете функцията f(х) = грях хи заменете променливата х, да речем, на х 2+в х. Оказва се f(х) = грях ( х 2+в х) е сложна функция. Тя също има производно, но няма да работи, за да го намерите според правилата, обсъдени по-горе.

Как да бъдем? В такива случаи промяната на променливата и производната формула помагат сложна функция:

f ’(х) = f ’(T) · T', Ако хсе заменя с T(х).

По правило ситуацията с разбирането на тази формула е още по-тъжна, отколкото с производната на коефициента. Ето защо е по-добре да го обясните с конкретни примери, с Подробно описаниевсяка стъпка.

Задача. Намерете производни на функции: f(х) = д 2х + 3 ; ж(х) = грях ( х 2+в х)

Имайте предвид, че ако във функцията f(х) вместо израз 2 х+ 3 ще бъде лесно х, тогава получаваме елементарна функция f(х) = д х. Затова правим замяна: нека 2 х + 3 = T, f(х) = f(T) = д T. Търсим производната на сложна функция по формулата:

f ’(х) = f ’(T) · T ’ = (д T)’ · T ’ = д T · T ’

А сега - внимание! Извършване на обратно заместване: T = 2х+ 3. Получаваме:

f ’(х) = д T · T ’ = д 2х+ 3 (2 х + 3)’ = д 2х+ 3 2 = 2 д 2х + 3

Сега нека да разгледаме функцията ж(х). Очевидно трябва да се смени. х 2+в х = T. Ние имаме:

ж ’(х) = ж ’(T) · T' = (грех T)’ · T' = cos T · T ’

Обратна замяна: T = х 2+в х. Тогава:

ж ’(х) = cos ( х 2+в х) · ( х 2+в х)' = cos ( х 2+в х) · (2 х + 1/х).

Това е всичко! Както се вижда от последния израз, цялата задача е сведена до изчисляване на производната на сумата.

Отговор:
f ’(х) = 2 д 2х + 3 ;
ж ’(х) = (2х + 1/х) защото ( х 2+в х).

Много често в моите уроци вместо термина „производно“ използвам думата „удар“. Например ударът на сбора е равен на сбора от ударите. Това по-ясно ли е? Е, това е добре.

По този начин изчисляването на производната се свежда до премахване на тези същите удари според правилата, обсъдени по-горе. Като последен пример, нека се върнем към производната степен с рационален показател:

(х н)’ = н · х н − 1

Малцина знаят това в ролята нможе и да е дробно число. Например коренът е х 0,5 . Но какво ще стане, ако има нещо сложно под корена? Отново ще се получи сложна функция - те обичат да дават такива конструкции контролни работиох и изпити.

Задача. Намерете производната на функция:

Първо, нека пренапишем корена като степен с рационален показател:

f(х) = (х 2 + 8х − 7) 0,5 .

Сега правим замяна: нека х 2 + 8х − 7 = T. Намираме производната по формулата:

f ’(х) = f ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T' = 0,5 T−0,5 T ’.

Правим обратно заместване: T = х 2 + 8х− 7. Имаме:

f ’(х) = 0,5 ( х 2 + 8х− 7) −0,5 ( х 2 + 8х− 7)' = 0,5 (2 х+ 8) ( х 2 + 8х − 7) −0,5 .

И накрая, обратно към корените:

Дадени са примери за изчисляване на производни по формулата за производна на сложна функция.

Тук даваме примери за изчисляване на производни на следните функции:
; ; ; ; .

Ако една функция може да бъде представена като сложна функция в следната форма:
,
тогава неговата производна се определя по формулата:
.
В примерите по-долу ще запишем тази формула в следната форма:
.
Където .
Тук индексите или , разположени под знака на производната, означават променливата, по отношение на която се извършва диференциране.

Обикновено в таблиците с производни се дават производните на функции от променливата x. Въпреки това, x е формален параметър. Променливата x може да бъде заменена с всяка друга променлива. Следователно, когато диференцираме функция от променлива, ние просто променяме в таблицата с производни променливата x на променливата u.

Прости примери

Пример 1

Намерете производната на сложна функция
.

Решение

Нека запишем дадена функцияв еквивалентна форма:
.
В таблицата с производни намираме:
;
.

Според формулата за производна на сложна функция имаме:
.
Тук .

Отговор

Пример 2

Намерете производна
.

Решение

Изваждаме константата 5 отвъд знака на производната и от таблицата на производните намираме:
.

.
Тук .

Отговор

Пример 3

Намерете производната
.

Решение

Изваждаме константата -1 за знака на производната и от таблицата на производните намираме:
;
От таблицата на производните намираме:
.

Прилагаме формулата за производна на сложна функция:
.
Тук .

Отговор

По-сложни примери

В по-сложни примери прилагаме правилото за диференциране на съставната функция няколко пъти. При това изчисляваме производната от края. Тоест, ние разделяме функцията на нейните съставни части и намираме производните на най-простите части, използвайки производна таблица. Ние също кандидатстваме правила за диференциране на суми, произведения и дроби . След това правим замествания и прилагаме формулата за производната на сложна функция.

Пример 4

Намерете производната
.

Решение

Избираме най-простата част от формулата и намираме нейната производна. .

.
Тук сме използвали нотацията
.

Намираме производната на следващата част от оригиналната функция, прилагайки получените резултати. Прилагаме правилото за диференциране на сбора:
.

Още веднъж прилагаме правилото за диференциране на сложна функция.

.
Тук .

Отговор

Пример 5

Намерете производната на функция
.

Решение

Избираме най-простата част от формулата и намираме нейната производна от таблицата с производни. .

Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция.
.
Тук
.

Функции сложен типне винаги отговарят на дефиницията на сложна функция. Ако има функция под формата y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, тогава тя не може да се счита за сложна, за разлика от y \u003d sin 2 x.

Тази статия ще покаже концепцията за сложна функция и нейната идентификация. Нека работим с формули за намиране на производната с примери за решения в заключението. Използването на таблицата с производни и правилата за диференциране значително намаляват времето за намиране на производната.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основни определения

Определение 1

Сложна функция е функция, чийто аргумент също е функция.

Означава се така: f (g (x)) . Имаме, че функцията g (x) се счита за аргумент f (g (x)) .

Определение 2

Ако има функция f и е котангенсна функция, тогава g (x) = ln x е функция натурален логаритъм. Получаваме, че комплексната функция f (g (x)) ще бъде записана като arctg (lnx). Или функция f, която е функция, повдигната на 4-та степен, където g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 се счита за цяла рационална функция, получаваме, че f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Очевидно g(x) може да бъде трудно. От примера y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 се вижда, че стойността на g има кубичен коренс дроб. Този израз може да бъде означен като y = f (f 1 (f 2 (x))) . Откъдето имаме, че f е синусова функция и f 1 е функция, разположена под корен квадратен, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - дробна рационална функция.

Определение 3

Степента на гнездене се определя от всяка естествено числои се записва като y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x)))))) .

Определение 4

Концепцията за композиция на функции се отнася до броя на вложените функции според формулировката на проблема. За решението формулата за намиране на производната на сложна функция от формата

(f(g(x)"=f"(g(x)) g"(x)

Примери

Пример 1

Намерете производната на комплексна функция от вида y = (2 x + 1) 2 .

Решение

По конвенция f е функция за повдигане на квадрат, а g(x) = 2 x + 1 се счита за линейна функция.

Прилагаме формулата за производна на сложна функция и записваме:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Необходимо е да се намери производна с опростена начална форма на функцията. Получаваме:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Следователно имаме това

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Резултатите съвпаднаха.

При решаването на задачи от този вид е важно да се разбере къде ще се намира функцията на формата f и g (x).

Пример 2

Трябва да намерите производните на сложни функции под формата y = sin 2 x и y = sin x 2.

Решение

Първият запис на функцията казва, че f е функцията за повдигане на квадрат, а g(x) е функцията синус. Тогава разбираме това

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Вторият запис показва, че f е синусова функция, а g (x) = x 2 означава степенна функция. От това следва, че произведението на сложна функция може да бъде записано като

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Формулата за производната y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) ще бъде написана като y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) ))) )) . . . f n "(x)

Пример 3

Намерете производната на функцията y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Решение

Този пример показва сложността на писане и определяне на местоположението на функциите. Тогава y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) означава, където f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) е синусовата функция, функцията на повишаване на степен 3, функция с логаритъм и основа e, функция на аркутангенса и линейна.

От формулата за дефиницията на сложна функция имаме това

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Получаване на това, което да намеря

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) като производна на синуса в таблицата с производни, след това f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) като производна на степенна функция, тогава f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) като логаритмична производна, тогава f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) като производна на аркутангенса, тогава f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Когато намирате производната f 4 (x) \u003d 2 x, извадете 2 от знака на производната, като използвате формулата за производната на степенната функция с показател, равен на 1, след това f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Комбинираме междинните резултати и получаваме това

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Анализът на такива функции прилича на кукли. Правилата за диференциране не винаги могат да се прилагат изрично с помощта на производна таблица. Често трябва да приложите формулата за намиране на производни на сложни функции.

Има някои разлики между сложния изглед и сложната функция. С ясна способност да разграничите това, намирането на производни ще бъде особено лесно.

Пример 4

Необходимо е да се обмисли привеждането на такъв пример. Ако има функция от формата y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , тогава тя може да се разглежда като сложна функция от формата g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно е необходимо да се приложи формулата за комплексната производна:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Функция от вида y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не се счита за сложна, тъй като има сумата t g x 2 , 3 t g x и 1 . Въпреки това, t g x 2 се счита за сложна функция, тогава получаваме степенна функция под формата g (x) \u003d x 2 и f, която е функция на допирателната. За да направите това, трябва да се разграничите по количество. Разбираме това

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Нека да преминем към намиране на производната на сложна функция (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Получаваме, че y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Комплексните функции могат да бъдат включени в комплексните функции, а самите комплексни функции могат да бъдат съставни функции на комплексната форма.

Пример 5

Например, разгледайте сложна функция от формата y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Тази функция може да бъде представена като y = f (g (x)), където стойността на f е функция на логаритъм с основа 3, а g (x) се счита за сумата от две функции във формата h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 и k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Очевидно y = f (h (x) + k (x)) .

Да разгледаме функцията h(x) . Това е отношението на l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 към m (x) = e x 2 + 3 3

Имаме, че l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) е сумата от две функции n (x) = x 2 + 7 и p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , където p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) е сложна функция с числов коефициент 3, а p 1 е кубична функция, p 2 косинусова функция, p 3 (x) = 2 x + 1 - линейна функция.

Открихме, че m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) е сумата от две функции q (x) = e x 2 и r (x) = 3 3 , където q (x) = q 1 (q 2 (x)) е сложна функция, q 1 е функция с показател, q 2 (x) = x 2 е степенна функция.

Това показва, че h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

При преминаване към израз на формата k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), става ясно, че функцията е представена като комплекс s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) с цяло число рационално t (x) = x 2 + 1, където s 1 е функцията на квадрат, а s 2 (x) = ln x е логаритмична с основа e .

От това следва, че изразът ще приеме формата k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Тогава разбираме това

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Според структурите на функцията стана ясно как и какви формули трябва да се прилагат за опростяване на израза, когато той се диференцира. За да се запознаете с такива проблеми и да разберете тяхното решение, е необходимо да се обърнете към точката на диференциране на функция, тоест намиране на нейната производна.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Откакто сте дошли тук, вероятно вече сте успели да видите тази формула в учебника

и направи лице като това:

Приятелю, не се притеснявай! Всъщност всичко е просто за опозоряване. Определено ще разберете всичко. Само една молба - прочетете статията бавноопитайте се да разберете всяка стъпка. Написах възможно най-просто и ясно, но все пак трябва да се задълбочите в идеята. И не забравяйте да решите задачите от статията.

Какво е сложна функция?

Представете си, че се местите в друг апартамент и затова опаковате нещата в големи кашони. Нека е необходимо да съберете някои дребни предмети, например училищни канцеларски материали. Ако просто ги хвърлите в огромна кутия, те ще се изгубят между другите неща. За да избегнете това, първо ги слагате например в торбичка, която след това слагате голяма кутияи след това го запечатайте. Този "най-труден" процес е показан на диаграмата по-долу:

Изглежда, къде е математиката? И освен това една сложна функция се формира по ТОЧНО СЪЩИЯ начин! Само ние „опаковаме“ не тетрадки и химикалки, а \ (x \), докато различни „опаковки“ и „кутии“ служат.

Например, нека вземем x и го „опаковаме“ във функция:

В резултат на това получаваме, разбира се, \(\cos⁡x\). Това е нашата "чанта с вещи". И сега го поставяме в "кутия" - опаковаме го, например, в кубична функция.

Какво ще стане накрая? Да, точно така, ще има "пакет с неща в кутия", тоест "косинус от x в куб."

Получената конструкция е сложна функция. Различава се от простия по това НЯКОЛКО „въздействия“ (пакети) се прилагат към един X подреди се оказва, че е „функция от функция“ - „пакет в пакет“.

В училищния курс има много малко видове същите тези „пакети“, само четири:

Нека сега първо „опаковаме“ x експоненциална функцияс основа 7 и след това в тригонометрична функция. Получаваме:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

А сега нека "опаковаме" x два пъти тригонометрични функции, първо в , а след това в :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Просто, нали?

Сега напишете сами функциите, където x:
- първо се “опакова” в косинус, а след това в експоненциална функция с основа \(3\);
- първо на пета степен, а след това на допирателната;
- първо към основния логаритъм \(4\) , след това на степен \(-2\).

Вижте отговорите на този въпрос в края на статията.

Но можем ли да "опаковаме" x не два, а три пъти? Няма проблем! И четири, и пет, и двадесет и пет пъти. Ето, например, функция, в която x е "опаковано" \(4\) пъти:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Но такива формули няма да бъдат намерени в училищната практика (учениците са по-щастливи - те могат да бъдат по-трудни☺).

„Разопаковане“ на сложна функция

Погледнете предишната функция отново. Можете ли да разберете последователността на "опаковането"? В какво X е напъхано първо, в какво след това и така до самия край. Тоест коя функция в коя е вложена? Вземете лист хартия и напишете какво мислите. Можете да направите това с верига от стрелки, както писахме по-горе, или по друг начин.

Сега верният отговор е: първо x беше „опаковано“ в \(4\)-та степен, след това резултатът беше опакован в синус, той от своя страна беше поставен в основата на логаритъм \(2\) и в накрая цялата конструкция беше набутана в силовите петици.

Тоест, необходимо е да развиете последователността В ОБРАТЕН РЕД. И ето съвет как да го направите по-лесно: просто погледнете X - трябва да танцувате от него. Нека да разгледаме няколко примера.

Например, ето една функция: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Гледаме Х - какво се случва първо с него? Взето от него. И тогава? Взема се тангенсът на резултата. И последователността ще бъде същата:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Друг пример: \(y=\cos⁡((x^3))\). Анализираме - първо х беше куб, а след това косинусът беше взет от резултата. Така че последователността ще бъде: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Обърнете внимание, функцията изглежда подобна на първата (където със снимки). Но това е напълно различна функция: тук в куба x (т.е. \(\cos⁡((x x x)))\), а там в куба косинусът \(x\) (т.е. \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Тази разлика възниква от различни последователности на "опаковане".

Последният пример (с важна информация в него): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Ясно е, че тук първо извършихме аритметични операции с x, след което синусът беше взет от резултата: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). И този важен момент: въпреки факта, че аритметичните операции не са функции сами по себе си, тук те също действат като начин за "опаковане". Нека се задълбочим малко в тази тънкост.

Както казах по-горе, в простите функции x се "опакова" веднъж, а в сложните функции - два или повече. Освен това всяка комбинация от прости функции (т.е. тяхната сума, разлика, умножение или деление) също е проста функция. Например \(x^7\) е проста функция, както и \(ctg x\). Следователно всички техни комбинации са прости функции:

\(x^7+ ctg x\) - просто,
\(x^7 ctg x\) е просто,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) е просто и т.н.

Но ако към такава комбинация се приложи още една функция, това вече ще бъде сложна функция, тъй като ще има два „пакета“. Вижте диаграмата:

Добре, нека да продължим сега. Напишете последователността от функции за "опаковане":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Отговорите отново са в края на статията.

Вътрешни и външни функции

Защо трябва да разбираме влагането на функции? Какво ни дава това? Въпросът е, че без такъв анализ няма да можем надеждно да намерим производните на функциите, разгледани по-горе.

И за да продължим напред, ще ни трябват още две понятия: вътрешни и външни функции. Това е много просто нещо, освен това всъщност вече ги анализирахме по-горе: ако си припомним нашата аналогия в самото начало, тогава вътрешната функция е „опаковката“, а външната е „кутията“. Тези. това, в което X е „опаковано“ първо, е вътрешна функция, а това, в което е „опаковано“ вътрешното, вече е външно. Е, разбираемо е защо - външно е, значи външно.

Тук в този пример: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), функцията \(\log_2⁡x\) е вътрешна и
- външен.

И в този: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) е вътрешен и
- външен.

Изпълнете последната практика за анализиране на сложни функции и накрая, нека да преминем към точката, за която всичко е започнато - ще намерим производни на сложни функции:

Попълнете пропуските в таблицата:

Производна на съставна функция

Браво на нас, все пак стигнахме до "шефа" на тази тема - всъщност производната на сложна функция и по-точно до онази ужасна формула от началото на статията.☺

\((f(g(x)"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Тази формула гласи така:

Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на външната функция по отношение на постоянната вътрешна функция и производната на вътрешната функция.

И веднага погледнете схемата за разбор, според думите, за да разберете към какво да се отнасяте:

Надявам се термините "дериват" и "продукт" да не създават затруднения. "Комплексна функция" - вече сме демонтирани. Уловката е в "производното на външна функция по отношение на постоянна вътрешна функция." Какво е?

Отговор: това е обичайната производна на външната функция, в която само външна функция, докато интериорът остава същият. Все още не е ясно? Добре, нека вземем пример.

Да кажем, че имаме функция \(y=\sin⁡(x^3)\). Ясно е, че вътрешната функция тук е \(x^3\), а външната
. Нека сега намерим производната на външното по отношение на постоянното вътрешно.

сложни производни. Логаритмична производна.
Производна на експоненциална функция

Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме покрития материал, ще разгледаме по-сложни производни, а също така ще се запознаем с нови трикове и трикове за намиране на производната, по-специално с логаритмичната производна.

Тези читатели, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се обърнат към статията Как да намерим производната? Примери за решениякоето ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на съставна функция, разберете и разрешите всичкопримерите, които съм дал. Този урок логично е трети поред и след като го усвоите, вие уверено ще различавате доста сложни функции. Не е желателно да се придържате към позицията „Къде другаде? Да, и това е достатъчно! ”, Тъй като всички примери и решения са взети от реални тестове и често се срещат на практика.

Да започнем с повторение. На урока Производна на съставна функцияразгледахме редица примери с подробни коментари. В хода на изучаване на диференциално смятане и други раздели на математическия анализ ще трябва да диференцирате много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да рисувате примери в големи подробности. Затова ще се упражняваме в устното намиране на производни. Най-подходящите "кандидати" за това са производни на най-простата от сложните функции, например:

Според правилото за диференциране на сложна функция :

При изучаване на други теми от матан в бъдеще най-често не се изисква такъв подробен запис, предполага се, че ученикът може да намери подобни производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа през нощта телефонът звънна и приятен гласпопита: "Каква е производната на тангенса на две x?". Това трябва да бъде последвано от почти мигновен и учтив отговор: .

Първият пример ще бъде незабавно предназначен за независимо решение.

Пример 1

Намерете следните производни устно, в една стъпка, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица с производни на елементарни функции(ако вече не се е сетила). Ако имате затруднения, препоръчвам ви да прочетете отново урока Производна на съставна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Комплексни производни

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 прикачени функции ще бъдат по-малко страшни. Може би следващите два примера ще се сторят сложни за някои, но ако се разберат (някой ще пострада), тогава почти всичко останало е диференциално смятанеще изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намиране на производната на сложна функция, на първо място, е необходимо вярноРАЗБЕРЕТЕ ИНВЕСТИЦИИТЕ. В случаите, когато има съмнение, напомням полезна техника: вземаме например експерименталната стойност "x" и се опитваме (мислено или на чернова) да заменим дадена стойноств ужасно изражение.

1) Първо трябва да изчислим израза, така че сумата е най-дълбокото влагане.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това кубирайте косинуса:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложна функция се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда, че няма грешка...

(1) Вземаме производната на корен квадратен.

(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото

(3) Производната на тройката е равна на нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

(4) Взимаме производната на косинуса.

(5) Вземаме производната на логаритъма.

(6) Накрая вземаме производната на най-дълбокото влагане.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-жестокият пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените целия чар и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпита, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция или не разбира.

Следващият пример е за самостоятелно решение.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да преминем към нещо по-компактно и по-красиво.
Не е необичайно за пример да се даде произведение не от две, а три функции. Как да намерим производната на продукти от тримножители?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо, разглеждаме, но възможно ли е да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в произведението, тогава можем да отворим скобите. Но в този пример всички функции са различни: степен, експонента и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта два пъти

Номерът е, че за "y" означаваме произведението на две функции: , а за "ve" - ​​логаритъма:. Защо може да се направи това? Така ли - това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава правилото да се приложи втори път в скоби:

Все още можете да перверзирате и да извадите нещо от скоби, но навътре този случайпо-добре е да оставите отговора в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Горният пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно равностойни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решение, в примера се решава по първия начин.

Помислете за подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Тук можете да отидете по няколко начина:

Или така:

Но решението може да бъде написано по-компактно, ако преди всичко използваме правилото за диференциране на частното , приемайки за целия числител:

Принципно примера е решен и ако се остави в този вид няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, но възможно ли е да опростите отговора? Привеждаме израза на числителя до общ знаменателИ отървете се от триетажната фракция:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намиране на производна, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „напомнят“ производната.

По-опростен пример за решение „направи си сам“:

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да овладяваме техниките за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато за диференциране се предлага „ужасен“ логаритъм

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да извървите дълъг път, като използвате правилото за диференциране на сложна функция:

Но още първата стъпка веднага ви потапя в униние - трябва да вземете неприятно производно на дробна степен, а след това и от дробта.

Ето защо предикак да вземем производната на „фантастичния“ логаритъм, преди това е опростен с помощта на добре познати училищни свойства:

! Ако имате под ръка учебна тетрадка, копирайте тези формули точно там. Ако нямате тетрадка, нарисувайте ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да се формулира така:

Нека трансформираме функцията:

Намираме производната:

Предварителната трансформация на самата функция значително опрости решението. По този начин, когато подобен логаритъм е предложен за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.

А сега няколко прости примера за независимо решение:

Пример 9

Намерете производната на функция

Пример 10

Намерете производната на функция

Всички трансформации и отговори в края на урока.

логаритмична производна

Ако производната на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът, възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.

Пример 11

Намерете производната на функция

Подобни примери разгледахме наскоро. Какво да правя? Може последователно да се прилага правилото за диференциране на частното, а след това правилото за диференциране на продукта. Недостатъкът на този метод е, че получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.

Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги "окачите" от двете страни:

Сега трябва да „разбиете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:

Да започнем с диференциацията.
Завършваме и двете части с щрих:

Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, трябва да можете да се справите с увереност.

Какво ще кажете за лявата страна?

От лявата страна имаме сложна функция. Предвиждам въпроса: „Защо, има ли една буква „y“ под логаритъма?“

Факт е, че тази „една буква y“ - Е ФУНКЦИЯ САМА ЗА СЕБЕ СИ(ако не е много ясно, вижте статията Производна на неявно указана функция). Следователно логаритъма е външна функция, а "y" е вътрешна функция. И използваме правилото за диференциране на съставна функция :

От лявата страна, сякаш от вълна магическа пръчкаимаме производна. Освен това, според правилото за пропорцията, хвърляме "y" от знаменателя на лявата страна към горната част на дясната страна:

И сега се сещаме за каква "игра"-функция говорихме при диференцирането? Нека да разгледаме състоянието:

Окончателен отговор:

Пример 12

Намерете производната на функция

Това е пример за „направи си сам“. Примерен шаблон за дизайн от този типв края на урока.

С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго нещо е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.

Производна на експоненциална функция

Все още не сме обмисляли тази функция. Експоненциална функция е функция, която има и степента и основата зависят от "x". Класически пример, които ще ви бъдат дадени във всеки учебник или на всяка лекция:

Как да намерим производната на експоненциална функция?

Необходимо е да се използва току-що разгледаната техника - логаритмичната производна. Закачаме логаритми от двете страни:

По правило степента се изважда от под логаритъма от дясната страна:

В резултат от дясната страна имаме произведение на две функции, които ще бъдат разграничени по стандартната формула .

Намираме производната, за това поставяме двете части под черти:

Следващите стъпки са лесни:

Накрая:

Ако някоя трансформация не е напълно ясна, моля, прочетете внимателно отново обясненията на Пример #11.

В практическите задачи експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания лекционен пример.

Пример 13

Намерете производната на функция

Използваме логаритмичната производна.

От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - "x" и "логаритъм от логаритъм от x" (под логаритъма е вложен друг логаритъм). Когато диференцирате константа, както си спомняме, е по-добре незабавно да я извадите от знака на производната, така че да не ви пречи; и, разбира се, прилагайте познатото правило :

Както можете да видите, алгоритъмът за прилагане на логаритмичната производна не съдържа никакви специални трикове или трикове и намирането на производната на експоненциалната функция обикновено не е свързано с "мъчение".