≡×МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт 
• Вътрешен дизайн
• За всичко
• Относно ВиК

Намерете математическото очакване и случайната дисперсия. Основи на теорията на вероятностите. Математическо очакване на стойност

Математическото очакване е определението

Чакането на мат еедно от най-важните понятия в математическата статистика и теорията на вероятностите, характеризиращо разпределението на стойностите или вероятностислучайна величина. Обикновено се изразява като среднопретеглена стойност на всички възможни параметри на случайна променлива. Широко използван в техническия анализ, изследването на числови серии и изследването на непрекъснати и отнемащи време процеси. Той е важен при оценката на рисковете, прогнозирането на ценовите индикатори при търговия на финансовите пазари и се използва при разработването на стратегии и методи на игрални тактики в теории за хазарта.

Чакане на мат- Товасредна стойност на случайна величина, разпределение вероятностислучайната променлива се разглежда в теорията на вероятностите.

Чакането на мат емярка за средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Матирайте очакването на случайна променлива хобозначен с M(x).

Очаквана стойност(средно население) е

Чакането на мат е

Чакането на мат ев теорията на вероятностите, претеглена средна стойност на всички възможни стойности, които една случайна променлива може да приеме.

Чакането на мат есумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.

Математическо очакване (средно население) е

Чакането на мат есредната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и дългите разстояния.

Чакането на мат ев теорията на хазарта, размерът на печалбите, които спекулантът може да спечели или загуби средно за всеки залог. На езика на хазарта спекулантитова понякога се нарича "предимство" спекулант" (ако е положителен за спекуланта) или "предимство на къщата" (ако е отрицателен за спекуланта).

Математическо очакване (средно население) е

Wir verwenden Cookies für die beste Presentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. Добре

Концепцията за математическото очакване може да се разгледа с помощта на примера за хвърляне на зар. При всяко хвърляне се записват изпуснатите точки. За изразяването им се използват естествени стойности в диапазона 1 – 6.

След определен брой хвърляния, като използвате прости изчисления, можете да намерите средното аритметично на хвърлените точки.

Точно като появата на някоя от стойностите в диапазона, тази стойност ще бъде произволна.

Ами ако увеличите броя на хвърлянията няколко пъти? При големи количествахвърляния, средното аритметично на точките ще се доближи до определено число, което в теорията на вероятностите се нарича математическо очакване.

И така, под математическо очакване имаме предвид средната стойност на случайна променлива. Този показател може да бъде представен и като претеглена сума от вероятни стойности.

Тази концепция има няколко синонима:

• средна стойност;
• средна стойност;
• индикатор за централна тенденция;
• първи момент.

С други думи, това не е нищо повече от число, около което се разпределят стойностите на случайна променлива.

IN различни полета човешка дейностподходите за разбиране на математическото очакване ще бъдат малко по-различни.

Може да се разглежда като:

• средната полза, получена от вземането на решение, когато такова решение се разглежда от гледна точка на теорията за големите числа;
• възможната сума на печалба или загуба (теория на хазарта), изчислена средно за всеки залог. На жаргон те звучат като „предимство на играча“ (положително за играча) или „предимство на казиното“ (отрицателно за играча);
• процент от печалбата, получена от печалби.

Очакването не е задължително за абсолютно всички случайни величини. Липсва при тези, които имат несъответствие в съответния сбор или интеграл.

Свойства на математическото очакване

Като всеки статистически параметър, математическото очакване има следните свойства:

Основни формули за математическо очакване

Изчисляването на математическото очакване може да се извърши както за случайни променливи, характеризиращи се както с непрекъснатост (формула A), така и с дискретност (формула B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, където xi са стойностите на случайната променлива, pi са вероятностите:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, където f(x) е дадената плътност на вероятността.

Примери за изчисляване на математическото очакване

Пример А.

Възможно ли е да разберете средния ръст на джуджетата в приказката за Снежанка. Известно е, че всяко от 7-те джуджета има определена височина: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81м.

Алгоритъмът за изчисление е доста прост:

• намираме сумата от всички стойности на индикатора за растеж (случайна променлива):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Разделете получената сума на броя на гномите:
  6,31:7=0,90.

Така средният ръст на гномите в приказките е 90 см. С други думи, това е математическото очакване на растежа на гномите.

Работна формула - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

Практическа реализация на математическото очакване

Изчисляването на статистическия показател на математическото очакване се използва в различни области практически дейности. Преди всичко ние говорим заза търговската сфера. В края на краищата въвеждането на този показател от Хюйгенс е свързано с определянето на шансовете, които могат да бъдат благоприятни или, напротив, неблагоприятни за дадено събитие.

Този параметър се използва широко за оценка на рисковете, особено когато става въпрос за финансови инвестиции.
По този начин в бизнеса изчисляването на математическото очакване действа като метод за оценка на риска при изчисляване на цените.

Този показател може да се използва и за изчисляване на ефективността на определени мерки, например защита на труда. Благодарение на него можете да изчислите вероятността за настъпване на събитие.

Друга област на приложение на този параметър е управлението. Може да се изчисли и по време на контрола на качеството на продукта. Например, с помощта на мат. очаквания, можете да изчислите възможния брой произведени дефектни части.

Математическото очакване се оказва незаменимо и при извършване на статистическа обработка на резултатите, получени при научно изследванерезултати. Позволява ви да изчислите вероятността за желан или нежелан резултат от експеримент или изследване в зависимост от нивото на постигане на целта. В края на краищата постигането му може да бъде свързано с печалба и полза, а провалът му може да бъде свързан със загуба или загуба.

Използване на математически очаквания във Форекс

Практическото приложение на този статистически параметър е възможно при извършване на операции на Валутният пазар. С негова помощ можете да анализирате успеха на търговските транзакции. Освен това увеличаването на очакваната стойност показва увеличение на техния успех.

Също така е важно да запомните, че математическото очакване не трябва да се разглежда като единственият статистически параметър, използван за анализиране на представянето на търговеца. Използването на няколко статистически параметъра заедно със средната стойност повишава значително точността на анализа.

Този параметър се е доказал добре при наблюдението на търговските сметки. Благодарение на него се извършва бърза оценка на извършената работа по депозитната сметка. В случаите, когато дейността на търговеца е успешна и той избягва загуби, не се препоръчва да се използва само изчислението на математическото очакване. В тези случаи рисковете не се вземат предвид, което намалява ефективността на анализа.

Проведените проучвания на тактиките на търговците показват, че:

• Най-ефективните тактики са тези, базирани на случайно влизане;
• Най-малко ефективни са тактиките, базирани на структурирани входове.

При постигането на положителни резултатине по-малко важно:

• тактики за управление на парите;
• стратегии за изход.

Използвайки такъв индикатор като математическото очакване, можете да предвидите каква ще бъде печалбата или загубата, когато инвестирате 1 долар. Известно е, че този показател, изчислен за всички игри, практикувани в казиното, е в полза на заведението. Това е, което ви позволява да правите пари. В случай на дълга серия от игри, вероятността клиентът да загуби пари се увеличава значително.

Игрите, играни от професионални играчи, са ограничени до кратки периоди от време, което увеличава вероятността за печалба и намалява риска от загуба. Същият модел се наблюдава при извършване на инвестиционни операции.

Инвеститорът може да спечели значителна сума, като има положителни очаквания и извършва голям брой транзакции за кратък период от време.

Очакването може да се разглежда като разликата между процента печалба (PW), умножен по средната печалба (AW) и вероятността от загуба (PL), умножена по средната загуба (AL).

Като пример можем да разгледаме следното: позиция – 12,5 хил. долара, портфейл – 100 хил. долара, депозитен риск – 1%. Доходността на транзакциите е 40% от случаите със средна печалба от 20%. При загуба средната загуба е 5%. Изчисляването на математическото очакване за транзакцията дава стойност от $625.

Математическото очакване на случайна променлива X е средната стойност.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), Където ° С= конст

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Ако случайни променливи хИ Yзначи са независими M(XY) = M(X) M(Y)

дисперсия

Дисперсията на случайна променлива X се нарича

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – М 2 (Х).

Дисперсията е мярка за отклонението на стойностите на случайна променлива от нейната средна стойност.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), Където ° С= конст

4. За независими случайни променливи

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Корен квадратенот дисперсията на случайната променлива X се нарича стандартно отклонение .

@Задача 3: Нека случайната променлива X приема само две стойности (0 или 1) с вероятности q, p, Където p + q = 1. Намерете математическото очакване и дисперсията.

Решение:

M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@Задача 4: Очакване и дисперсия на случайна променлива хса равни на 8. Намерете математическото очакване и дисперсията на случайните променливи: а) X – 4; б) 3X – 4.

Решение: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@Задача 5: Съвкупността от семейства има следното разпределение по брой деца:

x i	х 1	х 2
p i	0,1	p2	0,4	0,35

Дефинирайте х 1, х 2И p2, ако се знае, че М(Х) = 2; D(X) = 0,9.

Решение: Вероятността p 2 е равна на p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. Неизвестните x се намират от уравненията: M(X) = x 1 ·0,1 + x 2 ·0,15 + 2·0,4 + 3·0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; х 2 = 1.

Популация и извадка. Оценки на параметри

Селективно наблюдение

Статистическо наблюдениеМожете да организирате непрекъснати и непродължителни. Непрекъснатото наблюдение включва изследване на всички единици от изследваната съвкупност (генерална съвкупност). Население е набор от физически или юридически лица, които изследователят изучава според задачата си. Това често не е икономически изгодно, а понякога и невъзможно. В тази връзка се изследва само част от общата популация - извадкова популация .

Резултатите, получени от извадкова популация, могат да бъдат обобщени за общата популация, ако следваме следните принципи:

1. Популацията на извадката трябва да бъде определена на случаен принцип.

2. Броят на единиците в извадката от съвкупността трябва да е достатъчен.

3. Трябва да се предостави представителност ( представителност) на извадката. Представителната извадка е по-малък, но точен модел на популацията, която е предназначена да отразява.

Примерни типове

На практика се използват следните видовепроби:

а) строго случаен, б) механичен, в) типичен, г) сериен, д) комбиниран.

Правилно произволно вземане на проби

При действителна случайна извадка изборът на единици в извадката от съвкупността се извършва на случаен принцип, например чрез теглене на жребий или използване на генератор на произволни числа.

Пробите могат да се повтарят или да не се повтарят. При повторно вземане на проби единица, която е взета за проба, се връща и запазва равни възможности да бъде взета проба отново. При неповтаряща се извадка единица от съвкупността, която е включена в извадката, не участва в извадката в бъдеще.

Грешките, присъщи на наблюдението на извадката, възникващи поради факта, че извадката не възпроизвежда напълно генералната съвкупност, се наричат стандартни грешки . Те представляват средната квадратна разлика между стойностите на показателите, получени от извадката, и съответните стойности на показателите на генералната съвкупност.

Формули за изчислениеСтандартната грешка за произволно повтарящо се вземане на проби е както следва: , а за случайно неповтарящо се вземане на проби е както следва: , където S 2 е дисперсията на извадката от съвкупността, n/N –примерен дял, н, н- броят на единиците в извадката и генералната съвкупност. При n = Nстандартна грешка m = 0.

Механично вземане на проби

При механично вземане на проби Популацията се разделя на равни интервали и една единица се избира произволно от всеки интервал.

Например, с честота на вземане на проби от 2%, всяка 50-та единица се избира от списъка с населението.

Стандартната грешка на механичното вземане на проби се определя като грешката на наистина произволно неповтарящо се вземане на проби.

Типична проба

При типична проба общата съвкупност се разделя на хомогенни типични групи, след което единиците се избират на случаен принцип от всяка група.

Типична извадка се използва в случай на разнородна популация. Типичната извадка дава по-точни резултати, тъй като гарантира представителност.

Например учителите, като обща съвкупност, се разделят на групи според следните характеристики: пол, опит, квалификация, образование, градски и селски училища и др.

Стандартните грешки на типична извадка се определят като грешки на наистина случайна извадка, с единствената разлика, че S 2се заменя със средната стойност на дисперсиите в рамките на групата.

Серийно вземане на проби

При серийно вземане на проби общата съвкупност се разделя на отделни групи (серии), след което произволно избрани групи се подлагат на непрекъснато наблюдение.

Стандартните грешки на серийна проба се дефинират като грешки на наистина случайна проба, с единствената разлика, че S 2се заменя със средната стойност на дисперсиите между групите.

Комбинирана проба

Комбинирана пробае комбинация от два или повече типа проби.

Точкова оценка

Крайната целизвадковото наблюдение е да се намерят характеристиките на популацията. Тъй като това не може да се направи директно, характеристиките на извадката се разширяват към генералната съвкупност.

Доказана е фундаменталната възможност за определяне на средноаритметичната стойност на съвкупността от данните на средната извадка Теорема на Чебишев. С неограничено увеличение нвероятността разликата между средната стойност на извадката и общата средна стойност да бъде произволно малка клони към 1.

Това означава, че характеристиките на съвкупността с точност до . Тази оценка се нарича точка .

Интервална оценка

Основата на интервалната оценка е централна гранична теорема.

Интервална оценкани позволява да отговорим на въпроса: в какъв интервал и с каква вероятност се намира неизвестната, желана стойност на параметъра на популацията?

Обикновено говорим за вероятност за доверие стр = 1 – a, с което ще бъде в интервала – д< < + D, где D = t кр m > 0 пределна грешка проби, а - ниво на значимост (вероятност неравенството да е невярно), t кр- критична стойност, която зависи от стойностите ни а. За малка извадка n< 30 t крсе определя с помощта на критичната стойност на t-разпределението на Стюдънт за двустранен тест с н– 1 степени на свобода с ниво на значимост a ( t кр(н - 1, а) се намира от таблицата „Критични стойности на t-разпределението на Student“, Приложение 2). За n > 30, t кре квантил на нормалния закон за разпределение ( t крсе намира от таблицата със стойности на функцията на Лаплас F(t) = (1 – а)/2 като аргумент). При p = 0,954 критичната стойност t кр= 2 при p = 0,997 критична стойност t кр= 3. Това означава, че пределната грешка обикновено е 2-3 пъти по-голяма от стандартната грешка.

По този начин същността на метода на извадката е, че въз основа на статистическите данни на определена малка част от популацията е възможно да се намери интервал, в който с доверителна вероятност стрнамира се желаната характеристика на генералната съвкупност (среден брой работници, среден резултат, среден добив, стандартно отклонение и др.).

@Задача 1.Да се ​​​​определи скоростта на разплащанията с кредиторите на корпоративните предприятия в търговска банкаНаправена е произволна извадка от 100 платежни документа, за които средното време за превод и получаване на пари се оказва 22 дни (= 22) със стандартно отклонение от 6 дни (S = 6). С вероятност стр= 0,954 определя максималната грешка на средната извадка и доверителния интервал на средната продължителност на сетълментите на предприятията от тази корпорация.

Решение: Пределна грешка на средната стойност на извадката според(1)равна на D= 2· 0,6 = 1,2, а доверителният интервал се определя като (22 – 1,2; 22 + 1,2), т.е. (20.8; 23.2).

§6.5 Корелация и регресия

Случайна величинаНаречен променлива стойност, който в резултат на всеки тест приема една неизвестна преди това стойност, в зависимост от произволни причини. Случайните променливи се означават с главни букви с латински букви: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Според вида си случайните променливи могат да бъдат отделенИ непрекъснато.

Дискретна случайна променлива- това е случайна променлива, чиито стойности не могат да бъдат повече от изброими, т.е. крайни или изброими. Под изброимост имаме предвид, че стойностите на случайна променлива могат да бъдат номерирани.

Пример 1 . Ето примери за дискретни случайни променливи:

а) броят на попаденията в целта с $n$ изстрела, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) броят на падналите емблеми при хвърляне на монета, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) броя на корабите, пристигащи на борда (изброим набор от стойности).

г) броят на повикванията, пристигащи в телефонната централа (изброим набор от стойности).

1. Закон за вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива.

Дискретна случайна променлива $X$ може да приема стойности $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятности $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Съответствието между тези стойности и техните вероятности се нарича закон за разпределение на дискретна случайна променлива. По правило това съответствие се посочва с помощта на таблица, чийто първи ред показва стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$, а вторият ред съдържа вероятностите $p_1,\dots ,\ p_n$, съответстващи на тези ценности.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\край (масив)$

Пример 2 . Нека случайната променлива $X$ е броят точки, хвърлени при хвърляне на зар. Такава случайна променлива $X$ може да приеме следните стойности$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятностите за всички тези стойности са равни на $1/6$. Тогава законът за разпределение на вероятностите на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\край (масив)$

Коментирайте. Тъй като в закона за разпределение на дискретна случайна променлива $X$ събитията $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуват пълна група от събития, тогава сборът на вероятностите трябва да е равен на единица, т.е. \sum(p_i)=1$.

2. Математическо очакване на дискретна случайна променлива.

Очакване на случайна променливазадава своето „централно” значение. За дискретна случайна променлива математическото очакване се изчислява като сумата от продуктите на стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$ и вероятностите $p_1,\dots ,\ p_n$, съответстващи на тези стойности, т.е. : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. В англоезичната литература се използва друга нотация $E\left(X\right)$.

Свойства на математическото очакване$M\ляво(X\дясно)$:

1. $M\left(X\right)$ се съдържа между най-малкото и най-високи стойностислучайна променлива $X$.
2. Математическото очакване на константа е равно на самата константа, т.е. $M\ляво(C\дясно)=C$.
3. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на математическото очакване: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Нека намерим математическото очакване на случайната променлива $X$ от пример $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\над (6))+4\cdot ((1)\над (6))+5\cdot ((1)\над (6))+6\cdot ((1 )\над (6))=3,5.$$

Можем да забележим, че $M\left(X\right)$ се намира между най-малката ($1$) и най-голямата ($6$) стойности на случайната променлива $X$.

Пример 4 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=2$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $3X+5$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Пример 5 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=4$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $2X-9$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Дисперсия на дискретна случайна променлива.

Възможните стойности на случайни променливи с еднакви математически очаквания могат да се разпръснат по различен начин около техните средни стойности. Например в две студентски групи средната оценка на изпита по теория на вероятностите се оказа 4, но в едната всички се оказаха добри студенти, а в другата имаше само тройници и отличници. Следователно има нужда от числена характеристика на случайна променлива, която да показва разпространението на стойностите на случайната променлива около нейното математическо очакване. Тази характеристика е дисперсия.

Дисперсия на дискретна случайна променлива$X$ е равно на:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англоезичната литература се използва обозначението $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Много често дисперсията $D\left(X\right)$ се изчислява по формулата $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ ляво(X \дясно)\дясно))^2$.

Дисперсионни свойства$D\ляво(X\дясно)$:

1. Дисперсията винаги е по-голяма или равна на нула, т.е. $D\наляво(X\надясно)\ge 0$.
2. Дисперсията на константата е нула, т.е. $D\ляво(C\дясно)=0$.
3. Константният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията, при условие че е повдигнат на квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X+Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.
5. Дисперсията на разликата между независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\наляво(X-Y\надясно)=D\наляво(X\надясно)+D\наляво(Y\надясно)$.

Пример 6 . Нека изчислим дисперсията на случайната променлива $X$ от пример $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\над (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+(((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\над (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\над (12))\приблизително 2,92.$$

Пример 7 . Известно е, че дисперсията на случайната променлива $X$ е равна на $D\left(X\right)=2$. Намерете дисперсията на случайната променлива $4X+1$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ ляво(X\дясно)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно е, че дисперсията на случайната променлива $X$ е равна на $D\left(X\right)=3$. Намерете дисперсията на случайната променлива $3-2X$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ ляво(X\дясно)=4\cdot 3=12$.

4. Функция на разпределение на дискретна случайна величина.

Методът за представяне на дискретна случайна променлива под формата на серия на разпределение не е единственият и най-важното е, че не е универсален, тъй като непрекъсната случайна променлива не може да бъде определена с помощта на серия на разпределение. Има и друг начин за представяне на случайна променлива - функцията на разпределение.

Разпределителна функцияслучайна променлива $X$ се нарича функция $F\left(x\right)$, която определя вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойност, по-малка от някаква фиксирана стойност $x$, т.е. $F\ ляво(x\дясно)=P\ляво(X< x\right)$

Свойства на функцията на разпределение:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойности от интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ е равна на разликата между стойностите на функцията на разпределение в краищата на този интервал: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - ненамаляващ.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Пример 9 . Нека намерим функцията на разпределение $F\left(x\right)$ за закона за разпределение на дискретната случайна променлива $X$ от пример $2$.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\край (масив)$

Ако $x\le 1$, тогава очевидно $F\left(x\right)=0$ (включително за $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ако $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ако $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ако $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ако $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ако $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ако $x > 6$, тогава $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Така че $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ на\ 2< x\le 3,\\
1/2, при \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ в\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ в\ 4< x\le 5,\\
1,\ за\ x > 6.
\end(матрица)\right.$

Както вече е известно, законът за разпределение напълно характеризира случайна променлива. Въпреки това, често законът за разпределение е неизвестен и човек трябва да се ограничи до по-малко информация. Понякога дори е по-изгодно да се използват числа, които описват сумарно случайната променлива; такива номера се наричат числени характеристики на случайна променлива.Една от важните числени характеристики е математическото очакване.

Математическото очакване, както ще бъде показано по-долу, е приблизително равно на средната стойност на случайната променлива. За решаването на много задачи е достатъчно да знаете математическото очакване. Например, ако е известно, че математическото очакване на броя точки, отбелязани от първия стрелец, е по-голямо от това на втория, тогава първият стрелец средно отбелязва повече точки от втория и следователно стреля по-добре отколкото второто. Въпреки че математическото очакване предоставя много по-малко информация за случайна променлива, отколкото законът за нейното разпределение, познаването на математическото очакване е достатъчно за решаване на проблеми като горния и много други.

§ 2. Математическо очакване на дискретна случайна величина

Математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности и техните вероятности.

Нека случайната променлива х може да приема само стойности х 1 , Х 2 , ..., х П , вероятностите за които съответно са равни Р 1 , Р 2 , . . ., Р П . След това математическото очакване М(х) случайна величина х се определя от равенството

М(х) = х 1 Р 1 + х 2 Р 2 + … + х н стр н .

Ако дискретна случайна променлива х тогава приема изброим набор от възможни стойности

М(х)=

Освен това, математическото очакване съществува, ако редовете от дясната страна на равенството се сближават абсолютно.

Коментирайте. От дефиницията следва, че математическото очакване на дискретна случайна променлива е неслучайна (постоянна) величина. Препоръчваме ви да запомните това твърдение, тъй като ще бъде използвано много пъти по-късно. По-късно ще бъде показано, че математическото очакване на непрекъсната случайна променлива също е постоянна стойност.

Пример 1.Намерете математическото очакване на случайна променлива х, знаейки закона за неговото разпределение:

Решение. Изискваното математическо очакване е равно на сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайната променлива и техните вероятности:

М(х)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Пример 2.Намерете математическото очакване на броя на случванията на дадено събитие Ав един опит, ако вероятността от събитието Аравна на Р.

Решение. Случайна стойност х - брой появявания на събитието Ав един тест - може да приеме само две стойности: х 1 = 1 (събитие Асе случи) с вероятност РИ х 2 = 0 (събитие Ане се случи) с вероятност р= 1 -Р.Необходимото математическо очакване

М(х)= 1* стр+ 0* р= стр

Така, математическото очакване за броя на случванията на дадено събитие в един опит е равно на вероятността за това събитие.Този резултат ще бъде използван по-долу.

§ 3. Вероятностен смисъл на математическото очакване

Нека се произвежда Птестове, при които случайната променлива х приет T 1 пъти стойност х 1 , T 2 пъти стойност х 2 ,...,м к пъти стойност х к , и T 1 + T 2 + …+т Да се = p.След това сумата от всички взети стойности х, равна на

х 1 T 1 + х 2 T 2 + ... + х Да се T Да се .

Нека намерим средното аритметично всички стойности са приети, случайна величина, за което разделяме намереното количество на общия брой тестове:

= (х 1 T 1 + х 2 T 2 + ... + х Да се T Да се)/P,

= х 1 (м 1 / н) + х 2 (м 2 / н) + ... + х Да се (T Да се /P). (*)

Забелязвайки, че отношението м 1 / н- относителна честота У 1 стойности х 1 , м 2 / н - относителна честота У 2 стойности х 2 и т.н., ние записваме връзката (*) така:

=х 1 У 1 + х 2 У 2 + .. . + х Да се У к . (**)

Да приемем, че броят на тестовете е достатъчно голям. Тогава относителната честота е приблизително равна на вероятността за възникване на събитието (това ще бъде доказано в глава IX, § 6):

У 1 стр 1 , У 2 стр 2 , …, У к стр к .

Заменяйки относителните честоти със съответните вероятности във връзка (**), получаваме

х 1 стр 1 + х 2 Р 2 + … + х Да се Р Да се .

Дясната страна на това приблизително равенство е М(х). Така,

М(х).

Вероятностното значение на получения резултат е следното: математическото очакване е приблизително равно(колкото по-точно е по-голям бройтестове) средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива.

Забележка 1. Лесно е да се разбере, че математическото очакване е по-голямо от най-малката и по-малко от най-голямата възможна стойност. С други думи, на числовата линия възможните стойности са разположени отляво и отдясно на математическото очакване. В този смисъл математическото очакване характеризира местоположението на разпределението и затова често се нарича дистрибуционен център.

Този термин е заимстван от механиката: ако масите Р 1 , Р 2 , ..., Р Празположени в точките на абсцисата х 1 , х 2 , ..., х н, и
след това абсцисата на центъра на тежестта

х ° С =
.

Като се има предвид това
= М (х) И
получаваме М(х)= х с .

И така, математическото очакване е абсцисата на центъра на тежестта на система от материални точки, чиито абциси са равни на възможните стойности на случайната променлива, а масите са равни на техните вероятности.

Забележка 2. Произходът на термина "математическо очакване" се свързва с първоначалния период на възникване на теорията на вероятностите (XVI - XVII век), когато обхватът на нейното приложение е ограничен до хазарта. Играчът се интересуваше от средната стойност на очакваната печалба или, с други думи, математическото очакване за печалба.