Модуль Юнга (упругости). Упругие и прочностные характеристики материалов
На правах рукописи
Министерство образования Российской Федерации
Волгоградская государственная архитектурно-строительная академия
Кафедра физики
ИЗМЕРЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА
методом изГИБа СТЕРЖНЯ
Методические указания к лабораторной работе № 5
Волгоград 2010
УДК 539.4(076.5)
Измерение модуля юнга методом изгиба стержня: Метод. указания к лабораторной работе / Сост. , ; ВолгГАСА. Волгоград, 2003, 16 с.
Целью работы является изучение упругих деформаций, проверка закона Гука и определение модуля Юнга металлического стержня методом изгиба. Даны определения основных понятий теории упругости, объяснены микроскопические механизмы упругих и пластических деформаций, приводятся табличные данные об упругих и прочностных свойствах твердых тел. Изложена методика измерений, описан порядок выполнения работы и анализа экспериментальных данных. Сформулированы задания к УИРС. Даны правила техники безопасности и приведены контрольные вопросы.
Для студентов всех специальностей по дисциплине «Физика».
Ил. 6. Табл. 3. Библиогр. 8 назв.
© Волгоградская государственная
архитектурно-строительная академия, 2003
© Составление,
Ц ель работы . Изучение упругих деформаций, проверка закона Гука и
определение модуля Юнга металла методом изгиба стержня.
Приборы и принадлежности : установка для измерения прогиба металлических образцов в виде стержней, образцы для исследования, набор грузов, штангенциркуль, микрометр.
1. Теоретическое введение
1.1. Деформации, виды деформаций
В отличие от газов, которые не обладают ни собственной формой, ни собственным объемом, в отличие от жидкостей, которые не имеют собственной формы, но имеют собственный объем, твердые тела обладают и собственным объемом и собственной формой. Под действием внешних механических сил и по другим причинам (например, при нагревании, под воздействием электрических или магнитных полей) твердые тела меняют как свой объем, так и свою форму, т. е. деформируются .
При деформации твердого тела его частицы смещаются из первоначальных положений равновесия в новые. Этому смещению препятствуют силы взаимодействия между частицами: в деформированном теле возникают упругие силы, уравновешивающие внешние силы, вызвавшие деформацию.
По характеру возникающих сил выделяют упругие и пластические деформации. Если действующие на твердое тело силы достаточно малы, так что после устранения этих сил и объем тела, и его форма восстанавливаются (т. е. деформация исчезает), то деформации называют упругими . При этом частицы твердого тела возвращаются в исходные положения равновесия. При достаточно больших внешних силах или их длительном действии возникает необратимая перестройка кристаллической решетки, и деформации после устранения внешних сил полностью не исчезают. Такие деформации называют пластическими .
По характеру геометрических искажений выделяют два основных вида деформаций: деформация растяжения (сжатия ) и деформация сдвига (рис. 1). Всякую иную деформацию, например, изгиб, кручение, можно представить как совокупность этих двух основных видов деформации.
По характеру распределения деформаций
в объеме тела выделяют однородные и неоднородные деформации. Деформацию называют однородной
, если все элементарные кубики, из которых можно мысленно составить тело, деформируются одинаковым образом. Простейшими элементарными деформациями являются относительное удлинение и сдвиг. Изменение длины тела в результате его растяжения (или сжатия) от первоначального значения l
0 до l
, равное , называется абсолютной деформацией растяжения
(Dl
> 0) или
сжатия
(Dl
< 0). Относительным удлинением
на
зывается величина e = Dl
/l
0.
При деформации однородного сдвига изменяется только форма, а объем тела остается неизменным (рис.1, б). Каждый горизонтальный слой сдвинут относительно соседних с ним слоев. При сдвиге любая прямая, которая до деформации была перпендикулярна к сдвигаемым слоям, повернется на некоторый угол . Величина называется относительным сдвигом . Угол мал, поэтому полагают .
, где – результирующая сил, действующих на элемент поверхности https://pandia.ru/text/78/101/images/image009_97.gif" width="87" height="25">, (1)
где – сила, приложенная по нормали к сечению тела стержня (рис.1, а ).
Тангенциальное напряжение , возникающее при однородном сдвиге, можно вычислить аналогично:
– касательная сила, параллельная плоскости сдвига (рис.1, б ).
Напряжение называется истинным, если учтено изменение площади S при деформации, и условным, если S – площадь недеформированного тела.
1.2. Закон Гука
При малых упругих деформациях выполняется закон Гука : напряжения, возникающие в упруго деформированном теле, прямо пропорциональны величине относительной деформации. Для упругих деформаций растяжения (сжатия) и сдвига закон Гука выражается уравнениями:
где E и G – характеристики упругих свойств вещества. Коэффициент пропорциональности E между нормальным напряжением sn и относительной деформацией растяжения (сжатия) e называется модулем упругости или модулем Юнга. Коэффициент пропорциональности G между тангенциальным напряжением st и относительным сдвигом https://pandia.ru/text/78/101/images/image015_66.gif" width="64" height="19">, (4)
где K – коэффициент всестороннего сжатия (модуль объемной деформации).
Формулы (3) выражают так называемый элементарный закон Гука, определяющий зависимость между напряжением и деформацией в одном и том же направлении (направлении приложенной силы). Однако деформации могут возникать и в направлениях, не совпадающих с направлением силы. Например, при растяжении образца (рис. 1, а ) происходит не только его удлинение, но и сжатие в поперечном направлении. Поперечная деформация при растяжении или сжатии характеризуется коэффициентом Пуассона n, равным отношению поперечной деформации к продольной в области упругости (см. табл. 1). Обобщенный закон Гука, записанный с учетом возможных деформаций по трем направлениям, имеет вид:
https://pandia.ru/text/78/101/images/image017_60.gif" width="173" height="29">, (5)
,
где индексы x , y и z обозначают направления осей координат, вдоль которых вычисляются соответствующие напряжения и относительные деформации растяжения (сжатия). И аналогично обобщенный закон Гука для сдвига:
Https://pandia.ru/text/78/101/images/image022_40.gif" width="193" height="51">. (7)
1.3. Диаграмма растяжения
Типичная зависимость нормального напряжения от относительной деформации при одностороннем растяжении (диаграмма растяжения) показана на рис. 2. Точка B на диаграмме разделяет области упругих и пластических деформаций, точка C соответствует началу разрушения тела.
https://pandia.ru/text/78/101/images/image024_43.gif" width="13" height="16 src="> и сохраняется, но при полной разгрузке у тела сохраняется остаточная деформация O R . В материалах, где пластические деформации сильно развиты, существует область текучести BB ¢ , где увеличение размеров тела происходит при неизменном напряжении. Этот этап нагружения материала может смениться участком B ¢ C нелинейной зависимости между https://pandia.ru/text/78/101/images/image025_39.gif" width="16" height="16">. Тогда точка B ¢ отождествляется с пределом текучести. Обычно четкой границы между участками BB ¢ и B ¢ C нет, и предел текучести определяют условно. Условный предел текучести (s0,2) – это напряжение, после нагружения до которого и последующей разгрузки остаточная деформация составляет 0,2 % первоначальной длины, то есть = 0,002 (для сравнения: условный предел упругости – напряжение, после приложения которого остаточная деформация составляет менее 0,05 % первоначальной длины). Область текучести BB ¢ наблюдается не для всех материалов, а только для пластичных, с вязким характером разрушения. В хрупких материалах предел упругости совпадает с пределом прочности, разрушение таких материалов, происходящее без видимой пластической деформации, называется хрупким.
Предел прочности (временное сопротивление 628 " style="width:471.3pt;border-collapse:collapse">
Материал
E , ГПа
Модуль сдвига
G , ГПа
Коэффициент
Пуассона
предел прочности
предел прочности
на сжатие
Предел прочности
В изг, МПа
(17–17,5)∙103
Алюминий
Древесина
Оргстекло
Титановые сплавы
Высокопрочные стали
При хрупком разрушении https://pandia.ru/text/78/101/images/image025_39.gif" width="16" height="16"> > В деформация сосредотачивается на одном участке образца, где поперечное сечение уменьшается, образуя так называемую шейку. В шейке перпендикулярно оси растяжения возникает трещина, которая разрастается в этом направлении до полного разрушения образца. В этом случае В характеризует сопротивление материала пластической деформации, а не разрушению..gif" width="16 height=16" height="16">0,2), модуль Юнга E являются базовыми параметрами, включаемыми в ГОСТ на поставку конструкционных материалов, в паспорта приемочных испытаний; они входят в расчеты прочности и ресурса.
1.3. Микроскопические механизмы деформации
Упругие свойства тел зависят от их строения, характера взаимного расположения и движения частиц (атомов, молекул), входящих в их состав. Взаимное расположение и движение частиц определяется силами взаимодействия между ними. Атомы и ионы кристалла испытывают со стороны соседних частиц действие как сил притяжения f пр, так и сил отталкивания f от, значения которых зависят от расстояния между частицами. По своему происхождению это силы электростатической природы, направления векторов сил f пр и f от противоположны, потенциальная энергия притяжения отрицательна, а потенциальная энергия отталкивания положительна. При этом силы отталкивания при увеличении расстояния убывают быстрее, чем силы притяжения. Поэтому зависимости суммарной потенциальной энергии W пот и результирующей силы f рез от расстояния r имеют вид, показанный на рис. 3. Для некоторого расстояния между частицами r 0, называемого равновесным, потенциальная энергия минимальна (рис. 3, а ), а результирующая сила обращается в нуль (рис. 3, б ).
При сжатии тела внешними силами расстояние между частицами становится меньше r 0, и в теле возникают силы отталкивания, препятствующие его сжатию. При растяжении тела расстояния между его частицами превышают r 0, в результате чего возникают силы притяжения, препятствующие растяжению. Таким образом, при отклонении частиц от положения равновесия в любую сторону возникают силы, стремящиеся возвратить их в равновесное состояние.
При установившейся упругой деформации результирующая внутренних упругих сил в любом сечении тела уравновешивает внешние силы, действующие на тело. Поэтому при упругой деформации величину внутренних сил можно определить по величине внешних сил, приложенных к телу. После устранения внешних сил внутренние силы вернут частицы в равновесные положения, и деформации исчезнут. Однако это будет иметь место лишь при малых деформациях, когда окружение смещающихся частиц остается неизменным. При этом силы их взаимодействия пропорциональны величине отклонения частицы из положения равновесия (r – r 0), что соответствует закону Гука на участке cd кривой f (r ) (рис. 3, б ).
При достаточно больших смещениях частицы деформируемого тела из прежних положений равновесия попадают в соседние, занятые до этого другими частицами, которые тоже переходят в новые положения равновесия. При исчезновении внешних сил новые положения равновесия сохраняются, следовательно, имеют место остаточные деформации. Таков механизм возникновения пластических деформаций, который обычно реализуется при сдвигах атомов – скольжении атомных плоскостей или при их переориентации (двойниковании).
Неверно думать, что пластические деформации сдвига образуются путем смещения одной части кристалла относительно другой. Если бы это было так, то прочность кристаллов на сдвиг была бы в 100–1000 раз больше реальной, имеющей место в действительности. Природа сдвигообразования связана с несовершенством кристаллической структуры твердых тел, с образованием и движением дефектов. Дефекты структуры по геометрическим признакам разделяются на точечные (нульмерные), линейные (одномерные), поверхностные (двумерные) и объемные (трехмерные) дефекты.
К точечным дефектам, локализованным в отдельных точках кристалла, относят вакансии (вакантные узлы кристаллической решетки), атомы в междоузлиях и атомы примеси в узлах или междоузлиях .
Линейные дефекты – такие, при которых нарушение правильности структуры кристаллической решетки сосредоточено вблизи некоторых линий. Линии, отделяющие область сдвиговых деформаций от недеформированной области, называются дислокациями. Различают краевые и винтовые дислокации (рис. 4, а, б ). Краевая дислокация OO " (на рис. 4, а она обозначена значком) возникла при сдвиге части кристалла на одно межатомное расстояние и представляет собой край лишней полуплоскости. Краевая дислокация перпендикулярна вектору сдвига, винтовая дислокация OO " параллельна вектору сдвига (рис. 4, б ).
Дислокация, вызывая упругое искажение решетки, создает вокруг себя силовое поле, характеризующееся в каждой точке определенным касательным (st) и нормальным (sn ) напряжениями. При попадании в это поле другой дислокации возникают силы, стремящиеся сблизить или оттолкнуть дислокации друг от друга. От плотности и подвижности дислокаций зависит прочность материала.
Влажность" href="/text/category/vlazhnostmz/" rel="bookmark">влажности и температуры среды, методов виброуплотнения). Технологии упрочнения разрабатываются в зависимости от типа и назначения бетонов (тяжелые, легкие, гидротехнические, дорожные, жаростойкие и т. п.). Железобетонные конструкции упрочняют предварительным напряжением. Напряженные бетоны создают путем разогрева арматуры, приводящего к ее тепловому расширению, и последующего охлаждения по завершении процесса твердения бетона. Возникшие при этом деформации сжатия арматуры создают напряжения сжатия в бетоне. В процессе эксплуатации конструкции в условиях ее растяжения, имеющиеся внутренние напряжения направлены против внешних сил, что существенно увеличивает предел прочности. Аналогичным образом повышают предел прочности на изгиб, создавая внутри конструкции внутренние моменты сил, противоположные внешним моментам сил, возникающим в рабочем режиме.
2. Методика измерений
Целью работы является определение модуля Юнга на основе исследования упругой деформации изгиба. Деформацию изгиба испытывают детали многих сооружений. Балка или плита, лежащая на опорах, прогибается и под действием собственного веса, и под действием приложенной нагрузки F (рис. 5). Схема испытания на изгиб (рис. 5) предусмотрена ГОСТом для определения пределов прочности на изгиб. Эта же схема в настоящей работе используется для определения модуля Юнга.
https://pandia.ru/text/78/101/images/image030_33.gif" width="56" height="21">. (8)
Измеряя https://pandia.ru/text/78/101/images/image031_31.gif" width="15" height="20 src=">/F и рассчитывают модуль Юнга по формуле
где l – длина, b – ширина, h – толщина стержня, k – коэффициент упругости при изгибе, определяемый из (8).
Для обоснования формулы (9) рассмотрим фрагмент стержня, испытывающего деформации изгиба (рис. 6, а
). При равновесии сила F
уравновешивается равнодействующей сил упругости F
t, направленных по касательной к деформируемым слоям (рис. 6, а
, б
). С другой стороны, равнодействующая сил упругости перпендикулярна к сечению стержня и создает нормальные напряжения.
При изгибе на выпуклой стороне тело испытывает деформацию растяжения, а на вогнутой – деформацию сжатия. Внутри изогнутого стержня имеется нейтральный слой, в котором деформации сжатия или растяжения отсутствуют. Поскольку нейтральный слой не изменяет длины, то длина линии O 1O 2, принадлежащей нейтральному слою, равна dx = r d a, где r – радиус кривизны нейтрального слоя, d a – угол между плоскостями сечения стержня.
Линия AB
, лежащая ниже нейтрального слоя на расстоянии z
, испытывает деформацию растяжения. Длина ее равна 
. Соответственно абсолютное и относительное удлинения равны:
https://pandia.ru/text/78/101/images/image037_26.gif" width="136" height="48 src=">.
Из закона Гука для растяжения получаем
https://pandia.ru/text/78/101/images/image039_26.gif" width="85" height="25">, а ее момент равен . Суммарный момент силы найдем интегрированием:
https://pandia.ru/text/78/101/images/image042_21.gif" width="99" height="31 src="> (единица измерения м4) является мерой сопротивления сечения тела деформации изгиба, в отличие от физического понятия момента инерции твердого тела https://pandia.ru/text/78/101/images/image044_20.gif" width="172" height="60 src=">,
откуда следуют формулы (8) и (9).
В стандартных испытаниях на прочность приложенную нагрузку повышают до разрушения тела, фиксируя силу F = Fm , при которой стержень ломается. Предел прочности на изгиб рассчитывают по формуле
https://pandia.ru/text/78/101/images/image046_20.gif" width="65" height="25 src=">.gif" width="168" height="55">, (12)
где DEi = E ср – Ei , коэффициент Стьюдента a найдите по таблице Стьюдента при W = 0,95 и n = 5. В соответствии с погрешностью округлите результат и представьте в виде Е = (Е ср ± DЕ ) Па. Сравните полученные результаты с табличными. Сформулируйте выводы по работе, включая комментарий о выполнимости закона Гука и оценки полученных результатов.
Таблица 2
Размеры исследуемого стержня
Материал (сталь, латунь …) |
||||
ширина, мм | толщина, мм | |||
Таблица 3
Результаты измерения модуля Юнга
ni 1, мм | ni 2, мм | ni 3, мм | ni ср, мм |
(n 0 ср – ni ср) | E , | ( E )2, |
|||||
E эксп = (E ср E )·1011 Па |
Техника безопасности
· Стальной стержень не закреплен на опорах. Во избежание падения стержня и грузов аккуратно устанавливайте грузы.
· Не оставляйте установку включенной.
Задания для учебно-исследовательской работы
1. Исследование упругих свойств различных строительных материалов .
2. Исследование отклонений от закона Гука для стержней, изготовленных из пластмассы, органического стекла, других пластичных материалов.
3. Оценка микроскопических параметров межатомных взаимодействий.
4. Оценка теоретической прочности твердых тел с идеальной кристаллической решеткой, сравнение с экспериментальными значениями. Современные теории разрушения.
При выполнении заданий использовать и дополнительную литературу.
Контрольные вопросы
1. Виды деформаций. Закон Гука для упругих деформаций: одноосного и всестороннего растяжения (сжатия). Закон Гука для деформаций сдвига.
2. Физический смысл модуля Юнга, модуля сдвига, коэффициента Пуассона, связь между этими величинам. Обобщенный закон Гука.
3. Микроскопический механизм деформации твердых тел. Покажите на графиках зависимости потенциальной энергии и силы взаимодействия от расстояния между атомами область выполнимости закона Гука.
4. Диаграмма растяжения. Пределы упругости, текучести, прочности.
5. Основной механизм разрушения твердых тел. Роль дефектов. Типы дефектов. Методы повышения прочности материалов.
6. Задача . Найти относительное удлинение вертикально подвешенного стального троса под действием собственного веса 100 кГ. Площадь поперечного сечения S = 5 см2.
7. Задача . К двум противоположным граням стального бруска с поперечным сечением S = 10 см2 приложены силы F 1 = F 2 = 10 кГ. Определить величину относительного сдвига.
8. Задача . По полученным в работе значениям модуля Юнга оценить, какой наибольший груз может выдержать проволока диаметром d = 1 мм, не выходя за предел упругости? Оценить также интервал значений приложенных сил, соответствующий области текучести. Для расчетов используйте значение модуля Юнга, полученное в Вашей работе, и данные табл. 1.
9. Задача . Для предварительного напряжения конструкций используют два метода: механическое растяжение и тепловое расширение арматуры, в которой необходимо создать напряжение s0, составляющее 90% от предела текучести. Определить требуемое удлинение стального стержня для необходимого напряжения s0. Рассчитать, какую для этого надо приложить силу к стальному стержню арматуры или на сколько градусов его нагреть? При тепловом расширении относительное удлинение прямо пропорционально приращению температуры e = a DT , где a = 1,2·10–5 град–1. Длина стержня l 0 = 2,5 м, диаметр 10 мм, модуль Юнга стали E = 210 ГПа, предел текучести sт = 260 Мпа.
Библиографический список
1. Курс физики. М.: Высш. шк., 1999.
2. Краткий курс физики: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000.
3. Курс физики / , . М.: Высш. шк., 1999.
4. Яворский Б. М . Справочник по физике для студентов втузов и инженеров. – 2-е изд. испр. и доп. / , . М.: Высш. шк., 1999.
5. Физика твердого тела / , М.: Высш. шк., 2000. Гл. 2–4.
6. Физика твердого тела. М.: Высш. шк., 1975. С. 56–88.
7. Строительные материалы и изделия. М.: Высш. шк., 1983. §1.3, § 6, 7.
8. Теплофизические свойства материалов: Учебно-исследовательские работы по курсу физики / Сост. , ; ВолгИСИ. Волгоград. 1983. С. 6–8.
9. Горчаков материалы: Учеб. Для вузов./ , . М.: Стройиздат, 1986.– 688 с.
10. Физические величины: Справочник/ , и др.; Под ред. , . М.: Энергоиздат, 1991.1232 с.
Модуль Юнга называют также константой упругой жесткости или просто жесткостью.
* Приведено для тяжелых, высокопрочных бетонов (для легких бетонов sв = 5–15 МПа).
** Приведено для дорожных бетонов.
Приложение:
Измерение модуля продольной упругости, модуля сдвига и коэффициента Пуассона (поперечной деформации) в недисперсионных изотропных конструкционных материалах.
Общие сведения:
Определяется как отношение напряжения (сила на единицу площади) к деформации сжатия.
Определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига.
Коэффициент Пуассона отношение относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению.
Эти основные свойства материалов обязательно учитываются в производстве и в различных научных исследованиях, и определяются с помощью измеренных значений скорости звука и плотности материала. Скорость распространения звука легко вычисляется путем ультразвукового контроля в режиме импульс-эхо с использованием соответствующего оборудования. Представленная ниже процедура действительна для любого однородного, изотропного, недисперсионного материала (скорость звука не изменяется с частотой). Сюда включены наиболее распространенные металлы, промышленная керамика и стекло, при условии, что размеры поперечного сечения не близки длине волны частоты контроля. Жесткие пластики, такие как полистирол и акрил, также могут быть измерены, несмотря на то, что они имеют высокий коэффициент затухания ультразвука.
Каучук не может быть измерен ультразвуковым методом по причине высокой степени дисперсии и нелинейно упругих свойств. Мягкие пластики точно так же показывают высокую степень затухания в режиме сдвиговых волн, и обычно не могут быть измерены. В случае анизотропных материалов, упругость варьируется в зависимости от направления, так же как и скорость распространения продольных волн и/или сдвиговых волн. Для генерации полной матрицы модуля упругости в анизотропных образцах обычно требуется шесть серий ультразвуковых измерений. Пористость или зернистость материала может влиять на точность измерения модуля упругости, поскольку вызывает колебания скорости звука исходя из размера и ориентации зерен или размера и распределения пор, вне зависимости от упругости материала.
Оборудование:
Для измерения скорости звука при расчете упругости обычно используются прецизионные толщиномеры 38DL PLUS или 45MG с ПО для одноэлементных ПЭП , или дефектоскопы с функцией измерения скорости звука (например, серии EPOCH). Генераторы/приемники модели 5072PR или 5077PR в комбинации с осциллографом или дискретизатором сигналов также могут использоваться для измерения времени распространения волн. Для данного теста потребуется два преобразователя, подходящих для эхо-импульсного измерения скорости звука в материале продольными и поперечными волнами. Среди наиболее используемых ПЭП: широкополосный преобразователь продольных волн M112 или V112 (10 МГц) и преобразователь поперечных волн с нормальным углом падения V156 (5 МГц). Они подходят для измерения наиболее распространенных металлов и обожженных керамических образцов. Для измерения очень толстых и очень тонких материалов или образцов с высоким затуханием ультразвука требуются специальные преобразователи. В некоторых случаях применяется теневой метод контроля (метод сквозного прозвучивания) с использованием двух преобразователей, расположенных на одной оси, по разные стороны проверяемого изделия. При выборе преобразователя или настройке прибора необходимо проконсультироваться со специалистом Olympus.
Тестовый образец может быть любой формы, позволяющей выполнять эхо-импульсное измерение времени прохождения ультразвука через материал. Обычно, это образец толщиной 12,5 мм с ровными параллельными поверхностями, ширина или диаметр которого больше диаметра используемого преобразователя. Необходимо проявлять крайнюю осторожность при измерении узких образцов по причине возможных пограничных эффектов, которые могут повлиять на измеренное время прохождения импульса. При использовании сильно тонких образцов, разрешение будет ограничено из-за небольших колебаний во времени прохождения импульса через короткий УЗ-путь. Мы рекомендуем брать образцы толщиной минимум 5 мм, но желательно толще. Во всех случаях толщина тестового образца должна быть точно известна.
Процедура:
Измерьте скорость распространения продольных и сдвиговых волн тестового образца с использованием подходящих ПЭП и настроек прибора. Для измерения скорости сдвиговых волн потребуется специальная контактная жидкость высокой вязкости, как например SWC. Толщиномеры 38DL PLUS и 45MG могут напрямую измерять скорость звука в материале на основе введенной толщины образца, а дефектоскопы серии EPOCH измеряют скорость звука в ходе калибровки скорости звука. В обоих случаях, следуйте рекомендуемой процедуре измерения скорости звука, представленной в руководстве по эксплуатации прибора. При использовании генератора/приемника, зафиксируйте время прохождения сигнала туда и обратно через участок известной толщины с помощью преобразователей продольных и поперечных волн, и рассчитайте:
При необходимости, переведите единицы измерения скорости звука в дюйм/с или см/с. (Время обычно измеряется в микросекундах; для получения измерений в дюйм/с или см/с умножьте дюйм/мкс или см/мкс на 10 6 .) Полученные значения скорости звука могут использоваться в следующих формулах.
Примечание: Если скорость звука выражена в см/с, а плотность – в г/см 3 , модуль упругости будет выражен в дин/см 2 . Если вы используете английскую систему мер (дюйм/с и фунт/дюйм 3) для расчета модуля упругости в фунтах на кв. дюйм (PSI), не путайте фунт (единицу измерения силы) с фунтом (единицей измерения массы). Поскольку модуль упругости выражен как сила на единицу площади, при расчете в английской системе мер необходимо умножить результат вышеуказанной формулы на коэффициент пересчета масса/сила (1 / ускорение свободного падения) для получения значения упругости в фунтах на кв. дюйм. Если исходные расчеты выполнены в метрических единицах, используйте коэффициент конверсии 1 psi = 6,89 x 10 4 дин/см 2 . Вы также можете ввести скорость звука в дюймах/с, а плотность – в г/см 3 , а затем разделить на коэффициент пересчета 1,07 x 10 4 для получения упругости в PSI.
Для определения модуля сдвига умножьте квадрат скорости распространения
поперечной волны на плотность.
Опять же, используйте единицы измерения см/с и г/см 3 для получения модуля
упругости в дин/см 2 или английскую систему мер (дюйм/с и фунт/дюйм 3) и умножьте
результат на коэффициент пересчета масса/сила.
Библиография
Подробнее об измерении модулей упругости ультразвуковым методом см. в
представленных ниже источниках:
1. Moore, P. (ed.), Nondestructive Testing Handbook,
Volume 7, American Society for Nondestructive Testing, 2007, pp. 319-321.
2. Krautkramer, J., H. Krautkramer, Ultrasonic Testing of Materials
, Berlin, Heidelberg, New York 1990 (Fourth Edition), pp. 13-14, 533-534.
Перед тем, как использовать какой-либо материал в строительных работах, следует ознакомиться с его физическими характеристиками для того, чтобы знать как с ним обращаться, какое механическое воздействие будет для него приемлемым, и так далее. Одной из важных характеристик, на которые очень часто обращают внимание, является модуль упругости.
Ниже рассмотрим само понятие, а также эту величину по отношению к одному из самых популярных в строительстве и ремонтных работах материалу - стали. Также будут рассмотрены эти показатели у других материалов, ради примера.
Модуль упругости - что это?
Модулем упругости какого-либо материала называют совокупность физических величин , которые характеризуют способность какого-либо твёрдого тела упруго деформироваться в условиях приложения к нему силы. Выражается она буквой Е. Так она будет упомянута во всех таблицах, которые будут идти далее в статье.
Невозможно утверждать, что существует только один способ выявления значения упругости. Различные подходы к изучению этой величины привели к тому, что существует сразу несколько разных подходов. Ниже будут приведены три основных способа расчёта показателей этой характеристики для разных материалов:
Таблица показателей упругости материалов
Перед тем, как перейти непосредственно к этой характеристике стали , рассмотрим для начала, в качестве примера и дополнительной информации, таблицу, содержащую данные об этой величине по отношению к другим материалам. Данные измеряются в МПа .
Как можно заметить из представленной выше таблицы, это значение является разным для разных материалов, к тому же показателя разнятся, если учитывать тот или иной вариант вычисления этого показателя. Каждый волен выбирать именно тот вариант изучения показателей, который больше подойдёт ему. Предпочтительнее, возможно, считать модуль Юнга, так как он чаще применяется именно для характеристики того или иного материала в этом отношении.
После того как мы кратко ознакомились с данными этой характеристики других материалов, перейдём непосредственно к характеристике отдельно стали.
Для начала обратимся к сухим цифрам и выведем различные показатели этой характеристики для разных видов сталей и стальных конструкций:
- Модуль упругости (Е) для литья, горячекатанной арматуры из сталей марок, именуемых Ст.3 и Ст. 5 равняется 2,1*106 кг/см^2.
- Для таких сталей как 25Г2С и 30ХГ2С это значение равно 2*106 кг/см^2.
- Для проволоки периодического профиля и холоднотянутой круглой проволоки, существует такое значение упругости, равняющееся 1,8*106 кг/см^2. Для холодно-сплющенной арматуры показатели аналогичны.
- Для прядей и пучков высокопрочной проволоки значение равняется 2·10 6 кГ/см^2
- Для стальных спиральных канатов и канатов с металлическим сердечником значение равняется 1,5·10 4 кГ/см^2, в то время как для тросов с сердечником органическим это значение не превышает1,3·10 6 кГ/см^2 .
- Модуль сдвига (G) для прокатной стали равен 8,4·10 6 кГ/см^2 .
- И напоследок коэффициент Пуассона для стали равен значению 0,3
Это общие данные, приведённые для видов стали и стальных изделий. Каждая величина была высчитано согласно всем физическим правилам и с учётом всех имеющихся отношений, которые используются для выведения величин этой характеристики.
Ниже будет приведена вся общая информация об этой характеристике стали. Значения будут даваться как по модулю Юнга , так и по модулю сдвига, как в одних единицах измерения (МПа), так и в других (кг/см2, ньютон*м2).
Сталь и несколько разных её марок
Значения показателей упругости стали разнятся, так как существуют сразу несколько модулей
, которые исчисляются и высчитываются по-разному. Можно заметить тот факт, что в принципе сильно показатели не разнятся, что свидетельствует в пользу разных исследований упругости различных материалов. Но сильно углубляться во все вычисления, формулы и значения не стоит, так как достаточно выбрать определённое значение упругости, чтобы уже в дальнейшем ориентироваться на него.
Кстати, если не выражать все значения числовыми отношениями, а взять сразу и посчитать полностью, то эта характеристика стали будет равна: Е=200000 МПа или Е=2 039 000 кг/см^2 .
Данная информация поможет разобраться с самим понятием модуля упругости, а также ознакомиться с основными значения данной характеристики для стали, стальных изделий, а также для нескольких других материалов.
Следует помнить, что показатели модуля упругости разные для различных сплавов стали и для различных стальных конструкций, которые содержат в своём составе и другие соединения. Но даже в таких условиях, можно заметить тот факт, что различаются показатели ненамного. Величина модуля упругости стали практически зависит от структуры. а также от содержания углерода. Способ горячей или холодной обработки стали также не может сильно повлиять на этот показатель.
Цель работы: экспериментальное определение модулей упругости пластин, изготовленных из различных материалов, методом изгиба.
Приборы и принадлежности: установка «Модуль Юнга», пластины, набор грузов массой 0.05 кг, 0.1 кг и 0.15 кг.
Элементы теории и метод эксперимента
В различных элементах конструкций и машин часто возникают только продольные усилия, которые вызывают в них деформацию растяжения или сжатия.
Английский ученый XVII века Роберт Гук открыл фундаментальную закономерность между силами и вызываемыми ими перемещениями, устанавливающую прямопропорциональную зависимость удлинения образца от растягивающей силы.
Английский ученый XIX века Томас Юнг впервые высказал идею о том, что для каждого материала существует постоянная величина, характеризующая его способность сопротивляться воздействию внешних нагрузок. Понятие об этой величине, названной им «модулем упругости» (позднее «модулем Юнга»), было сформулировано в 1807 г. в труде «Натуральная философия».
Модуль упругости характеризует важнейшее свойство конструкционного материала – жесткость – и является фундаментальным понятием, без которого не обходится ни один инженерный расчет элементов конструкций и сооружений. На рис. 1 изображен стержень с прямолинейной осью под действием продольных сил N, где
A – площадь поперечного сечения стержня.
Рис. 1. Продольные и поперечные деформации стержня
При действии продольных сил стержень деформируется. Если он растянут, то длина его увеличивается и становится равной L +∆ L , где ∆ L – это абсолютная продольная деформация (удлинение) стержня. Поперечные размеры его уменьшаются и принимают значения H –∆ H и B –∆ B , где ∆ H и ∆ B – это абсолютные поперечные деформации стержня.
Отношение абсолютной продольной деформации стержня к его первоначальной длине называется относительной продольной деформацией:
Отношение абсолютной поперечной деформации стержня к его первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией:
Здесь знак «+» у деформации и знак «–» у деформаций и поставлены потому, что при растяжении продольные размеры стержня увеличиваются, а поперечные уменьшаются.
Последний шаг в формировании закона Гука в его современном виде сделали французский математик Коши, который в 1822 г. ввел в научную литературу понятия «напряжение» и «деформация», и французский ученый Навье, который в 1826 г. дал определение модуля упругости как отношение нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к произведенному ею относительному удлинению
Где E – модуль Юнга (модуль упругости первого рода).
Таким образом, закон Гука получил практическое применение в виде формулы
Модуль упругости E является физической постоянной материала и определяется экспериментально. Его величина выражается в тех же единицах, что и напряжения σ, т. е. в паскалях (Па), так как ε – безразмерная величина. Модуль упругости большинства материалов имеет большие числовые значения и его обычно выражают в гигапаскалях (ГПа).
Абсолютное значение отношения относительной поперечной деформации и относительной продольной деформации при растяжении или сжатии в области действия закона Гука называется коэффициентом Пуассона
Это безразмерный коэффициент, характеризующий свойства материала и определяемый экспериментально. Он носит имя французского ученого, который впервые ввел его в теорию.
После приложения к телу внешней нагрузки его точки перемещаются. Обычно величины упругих перемещений считаются малыми по сравнению с геометрическими размерами деформируемых тел. Рассмотрим эти перемещения на примере консольной балки длиной L с односторонней внешней заделкой, изображенной на рис. 2. К свободному концу балки приложена сосредоточенная сила F , которая и вызывает деформации ее точек. Прогиб балки в текущем сечении обозначим δ . Выделим элемент объема балки длиной Dz , находящейся на расстоянии Z от закрепленного конца.
Рис. 2. Изгиб консольной балки
Деформированное состояние в текущем сечении балки описывается радиусом кривизны или кривизной ее изогнутой оси .
Известно , что уравнение изогнутой оси балки имеет вид:
Где IX – осевой момент инерции сечения балки относительно оси Ox . Произведение EIX называется жесткостью сечения при изгибе относительно соответствующей оси.
На рис. 3 изображено произвольное сечение, представляющее собой плоскую геометрическую фигуру, площадь которой A . Выделим на ней элементарную площадь DA .
Определим момент инерции прямоугольного сечения относительно осей СX и СY , проходящих через его центр, как это показано на рис. 4.
Разделим площадь прямоугольника на элементарные прямоугольники с размерами B и Dy , площадь которых . Подставляя значение в выражение (9) и интегрируя, получаем:
Аналогично
Рассмотрим балку длиной L , установленную на двух опорах и нагруженную, как это изображено на рис. 5.
Решение дифференциального уравнения (8) можно получить последовательным интегрированием. Когда внешняя нагрузка расположена симметрично относительно опор, как показано на рис. 5, то решение этого уравнения примет вид:
Поэтому модуль Юнга определяется формулой
С учетом выражения (10) получим
Следовательно, определив нагрузку F и значение прогиба δ для балки (пластины) длиной L с поперечными размерами сечения B и H , по формуле (14) можно вычислить модуль Юнга материала, из которого она изготовлена.
Описание экспериментальной установки
Схематичное изображение установки «Модуль Юнга» приведено на рис. 6.
Установка «Модуль Юнга» состоит из основания 1, на котором закреплена стойка 2. На стойке расположен кронштейн 3 с двумя призматическими опорами 4. На опоры устанавливается исследуемый образец 5 (пластина). С помощью устройства нагружения образца 7, представляющего собой скобу с призматической опорой, к образцу прикрепляются наборный груз 6 и часовой индикатор 8.
Порядок выполнения работы
1. Поставить одну из исследуемых пластин на призматические опоры 4.
2. Установить часовой индикатор 8 так, чтобы его наконечник коснулся пластины.
3. Повесить скобу устройства 7 посередине пластины.
4. Прикрепить на скобу груз массой M 1 =0,1 кг.
5. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ1 .
6. Снять груз.
7. Повесить на скобу груз массой M 2 =0,15 кг.
8. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ2 .
Где G – ускорение свободного падения.
10. Значение прогиба пластины определить как
11. Найти модуль Юнга по формуле (14), где L =0,114 м – расстояние между призмами (длина пластины); B =0,012 м – ширина сечения пластины; H =0,0008 м – толщина пластины; δ – величина прогиба пластины, м.
12. Проделать указанные выше действия со второй пластиной.
13. Повторить для обеих пружин пп. 1-12 еще два раза.
Материал исследуемых образцов — сталь пружинная и бронза.
Поясните полученные результаты модулей упругости пластин, сравните их со справочными данными .
Порядок оценки погрешностей
Считать, что погрешность оценки величины модуля Юнга по формуле (14) определяется погрешностью измерения длины пластины L (систематическая погрешность) и погрешностью оценки прогиба d (систематическая + случайная погрешности).
Записать результаты прямых измерений указанных параметров:
А) L =< L > ± DL , Где DL = DL Сист ;
Б) d=< D> ± Dd, Где , .
Записать результаты косвенных измерений:
Е=<Е> ± DЕ, Где , , , , .
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Чем отличается нормальное напряжение от касательного?
2. По каким формулам определяются абсолютная и относительная деформации?
3. Какая величина называется модулем упругости первого рода?
4. Как определяется коэффициент Пуассона?
5. Что называется жесткостью сечения при изгибе?
6. В чем заключается различие формул осевого момента инерции сечения относительно осей Ox и Oy ?
7. Какой формулой выражается прогиб двухопорной балки?
Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
œКузбасский государственный технический университет
Кафедра сопротивления материалов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ПЕРВОГО РОДА
И КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА
Методические указания к лабораторной работе по дисциплине œСопротивление материалов для студентов технических специальностей
Составители И. А. Паначев М. Ю. Насонов
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 8 от 31.01.2011 Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 150202 Протокол № 6 от 02.03.2011 Электронная копия находится в библиотеке ГУ КузГТУ
Кемерово 2011
Цель работы : определение экспериментальным способом "упругих" постоянных материала – стали ВСт3
– модуля продольной упругости (модуля упругости I рода, модуля Юнга);
– коэффициента поперечной деформации (коэффициента Пуассона).
” 1. Модуль продольной упругости (модуля упругости I рода, модуль Юнга) – определение и использование
п. 1. Обозначение
Модуль продольной упругости обозначается латинской буквой – " Е ".
п. 2. Смысловое определение
Е – это характеристика жесткости (упругости) материала, показывающая его способность сопротивляться продольному деформированию (растяжению, сжатию) и изгибу.
п. 3. Свойства Е
1. Е – это "упругая" постоянная материала, применение которой справедливо только в пределах линейных упругих деформаций материала, т. е. в пределах действия закона Гука (рис. 1).
Участок действия | |||
закона Гука – | |||
Е = tgα | |||
Рис. 1. Диаграмма растяжения стали ВСт3 А-В – участок линейной зависимости между деформациями – ε
и напряжениями – σ (участок действия закона Гука); В-С – участок нелинейной зависимости между деформациями
и напряжениями
2. Е связывает между собой в формуле закона Гука при растяжении (сжатии) деформации и напряжения и графически оценивается следующим образомЕ = tg (см. рис. 1).
3. Материал с большим числовым значением Е является более жестким и требует больших усилий при его деформировании.
4. Большинству материалов соответствует определенное постоянное (константа) значение Е .
5. Значения Е для основных материалов приводятся в справочниках по сопротивлению материалов и справочниках машиностроителя, а в случае отсутствия данных в справочниках – определяются экспериментально.
п. 4. Использование Е
Е используется в сопротивлении материалов при оценке проч-
ности, жесткости и устойчивости элементов конструкций:
1) при расчете на прочность в процессе определения экспериментальным способом напряжений по измеренным деформациям
≤ [σ]; (1) 2) при расчетах на жесткость в процессе теоретического опреде-
ления деформаций
3) при расчете на устойчивость в процессе решения всех типов задач.
п. 5. Численное определение
Е численно равен напряжению, которое могло бы возникнуть
в брусе при его упругом растяжении на 100% (в 2 раза).
Е – характеристика условная, т. к. при его определении условно считают, что любой материал способен упруго деформируясь, увеличиваться в длину бесконечное число раз, хотя известно
– не более чем на 2% (кроме резины, каучука).
Основа 100% принята для удобства применения Е в формулах закона Гука.
Е практически определяют при растяжении образца на долю процента и увеличением полученного напряжения в соответствующее число раз.
Пример 1 : при растяжении образца на = 1% возникающие в образце напряжения – равны, например, 1000 МПа (10 000 кг/см2 ), тогда модуль упругости будет равен
Е = 100 = 100 000 МПа (1 000 000 кг/см2 ).Пример 2: = 0,1%= 100 МПа (1 000 кг/см2 )
Е = 1000 = 100 000 МПа (1 000 000 кг/см2 ).
п. 6. Единицы измерения Е
Е имеет размерность: [кН/см 2 ] или [МПа].
п. 7. Примеры числового значения Е
Модуль упругости Е для разных материалов равен
2,1 104 кН/см2 | 2,1 105 МПа | 2 100 000 кг/см2 |
||
1,15 104 кН/см2 | 1,15 105 МПа | 1 150 000 кг/см2 |
||
1,0 104 кН/см2 | 1,0 105 МПа | 1 000 000 кг/см2 |
||
алюминий – 0,7 104 кН/см2 | 0,7 105 МПа | 700 000 кг/см2 |
||
0,15 104 кН/см2 | 0,15 105 МПа = | 150 000 кг/см2 |
||
каучук – | 0,00008 104 кН/см2 = 0,0008 105 МПа = 80 кг/см2 . |
|||
Из имеющихся в списке данных можно сделать вывод о соотношении жесткостей материалов (жесткость материала пропорционально зависит от модуля упругости). Например, сталь в 2 раза жестче меди, поэтому при рассмотрении однотипных образцов, выполненных из стали и меди, для их растяжения на одинаковую длину в границах упругих деформаций, к стальному образцу необходимо прикладывать нагрузку в два раза большую при сравнении с медным.
” 2. Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) –
определение и использование
п. 1. Обозначение
Коэффициент Пуассона обозначается греческой буквой " " (мю).
п. 2. Смысловое определение
– упругая механическая характеристика материала, характеризующая способность материала деформироваться в попереч-
ном направлении при продольном приложении нагрузки, так как при растяжении образца наряду с его продольным удлинением имеет место еще и его поперечное сужение (рис. 2).
Рис. 2. Продольное и поперечное деформирование образца при растяжении
Из рис. 2 следует, что абсолютные деформации образца
l = l1 – l0 , | b =b 1 –b 0 , |
где l иb – абсолютное удлинение и абсолютное сужение об-
l 0и l 1 | разца (абсолютные деформации); | ||
– начальная и конечная длина образца; |
|||
b 0и b 1 | – начальная и конечная ширина образца. |
||
Если принять, что l 1 l 0 | L, а b1 b0 = b, | то относитель- |
|
ные деформации образца будут равны: | |||
L /l | " = b /b, | ||
– относительная продольная и относительная попе- |
|||
речная деформации образца (относительное удли- |
|||
нение и относительное сужение). | |||
численно равен отношению относительного сужения образца к его относительному удлинению при его продольном деформировании, т. е. отношению между относительными поперечной и продольной деформациями. Это отношение выражается
формулой | |||||||||||||||
п. 3. Свойства
1. Каждому материалу соответствует определенное постоянное значение (константа) .
2. Для большинства материалов численное значение приводится в справочниках по сопротивлению материалов и справочниках машиностроителя, в ином случае определяется экспериментально.
п. 4. Использование
Используется в сопротивлении материалов как коэффициент в формуле обобщенного закона Гука (2) и связывает между собой модули упругости первого и второго рода, что будет рассмотрено далее.
п. 5. Единицы измерения
– безразмерная величина (б/в).
п. 6. Пределы изменения
Обобщенно для известных исследованных изотропных (имеющих одинаковые упругие свойства по всем направлениям) материалов интервал изменения коэффициента Пуассона= 0 0,5.
п.7. Примеры числового значения
Коэффициент Пуассона – для различных видов материа-
пробковое дерево – 0.
” 3. Описание испытательного оборудования
В лабораторной работе для растяжения образца используется разрывная машина Р-5 (рис. 3).
Рис. 3. Схема разрывной машины Р-5: 1 – рукоять; 2 – гайку; 3 – винт;
9 –силоизмеритель; 10 – тензометры
Установка в ходе эксперимента работает нижеследующим образом. Вращение рукояти /1/ передается через редуктор на гайку /2/, которая вызывает вертикальное перемещение винта /3/. Это приводит к растяжению образца /6/, закрепленного в захватах /4/ и /5/. Усилие в образце создается системой рычагов /7/ и маятником /8/. Величина усилия фиксируется по шкале силоизмерителя /9/. Для определения абсолютных продольных и поперечных деформаций используются тензометры рычажного типа (тензометр Гуггенбергера) /10/.P
Рис. 4. Рычажный тензометр (тензометр Гуггенбергера): а – общий вид; б – упрощенная схема;
l бт – база тензометра;l бт – изменение базы тензометра; 1 – образец; 2 – винт; 3 – крепежная струбцина;
Цена4 – измерительнаяодного малого шкала;деления5 шкалы– указательнаятензометрастрелка;– С тен з равна 0,0016 – шарнир;мм (0,00017 – неподвижнаясм/дел.). опора; 8 – подвижная опора
Тензометр может измерять деформации только того участка, на котором он расположен, т. е. участка, называемого "базой тензометра" , но не может измерять абсолютные деформации всего образца, если конечно длина образца не равна базе тензометра.
В связи с тем, что измерения в эксперименте будут производиться тензометрами с размерами (базами) значительно меньшими размеров испытываемого образца, то длина и ширина измеряемого участка образца будет ограничиваться базами продольных и поперечных тензометров.
E и – это характеристики материала, а не образца, поэтомуE и, полученные при измерении деформаций участка образца, будут такими же, как и при измерении деформаций всего образца.
п. 3. Расположение тензометров и измерительных участков на образце
В лабораторной работе для повышения точности получаемых результатов значения E и будут определяться по двум уча-
сткам испытываемого образца, расположенных на его противоположных гранях (рис. 5).
I участок |
II участок
Рис. 5. Схема расположения исследуемых участков образца и тензометров на образце
1, 2 – продольные тензометры 3, 4 – поперечные тензометры; (пунктиром показаны тензометры на невидимой грани образца)
Такое расположение тензометров обусловлено тем, что в процессе растяжения образца линии действия растягивающих сил Р не всегда совпадают с продольной осью образца, т. е. имеет место эксцентриситет (смещение линии действия силР от продольной оси). Средние показания тензометров, взятые с двух участков образца, дадут истинную картину.
п. 4. Замечания
1. Приложение к образцу дополнительной нагрузки, равной ступени нагружения, должно давать каждый раз одну и ту же величину приращения его длины. Это связано с тем, что растяжение образца в данной лабораторной работе ведется только в пределах упругих свойств материала, в границах действия закона Гука, представляющего собой линейную зависимость между нагрузкой и деформацией. Данное положение позволяет проводить эксперимент многократно, используя в качестве основы постоянную дополнительную нагрузку, равную ступени нагружения – Р , при равномерном увеличении общей нагрузки. Для приведения экспериментальной установки в рабочее
состояние используется предварительная ступень нагруже-
ния – Р 0 .
2. F обр – площадь сечения испытательного образца определяется в соответствии с рис. 6.
h = 0,3 см
а = 8 см
” 3. Рабочие формулы для определения модуля продольной упругости – Е и коэффициента Пуассона –
В лабораторной работе искомые характеристики определяются с учетом ступенчатого способа приращения силы и равенство размеров испытываемых участков базам продольных и поперечных тензометров:
1) Е определяется из формулы (3) – закон Гука (II вид) –
l N l;
P lбт | |||||
l бтF обр |
|||||
где P | – приращение силы, прикладываемой к образцу (ступень |
||||
l бт | нагружения); | ||||
– база продольного тензометра; |
|||||
l бт – изменение базы продольного тензометра;F обр – площадь сечения образца.
