Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения. Как найти область определения математических функций
Шамшурин А.В. 1
Гагарина Н.А. 1
1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся - 28. Справились - 14 %, опасность ОДЗ (учли) - 68 %, необязательность (учли) - 36 %.
Цель : выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.
Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.
Задачи:
- Показать значимость ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
- Провести практическую работу по данной теме и подвести её итоги.
Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.
Глава 1
Что такое ОДЗ?
ОДЗ - это область допустимых значений , то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.
Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.
Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…
- Выражения, состоящие под знаком чётной кратности или должно быть>0 или равно нулю, ОДЗ:f(x)
- Выражение, стоящее в знаменателе дроби не может быть равно нулю, ОДЗ:f(x)
- |f(x)|=g(x), ОДЗ: g(x) 0
Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.
Алгоритм нахождения ОДЗ:
- Определите вид запрета.
- Найти значения, при которых выражение не имеет смысла.
- Исключить эти значения из множества действительных чисел R.
Решить уравнение: =
|
Без ОДЗ |
С ОДЗ |
|
Ответ: х=5 |
ОДЗ: => => Ответ: корней нет |
Область допустимых значений оберегает нас от таких серьёзных ошибок. Честно говоря, именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников». Считая, что поиск и учёт ОДЗ малозначимым шагом в решении, они пропускают его, а потом удивляются: «почему учитель поставил 2?». Да потому и поставил, что ответ неверен! Это не «придирки» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же как неверное вычисление или потерянный знак.
Дополнительные уравнения:
а) = ; б) -42=14х+ ; в) =0; г) |x-5|=2x-2
Глава 2
ОДЗ. Зачем? Когда? Как?
Область допустимых значений - есть решение
- ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений
- = ОДЗ:
Ответ: корней нет.
- = ОДЗ:
Ответ: корней нет.
0, уравнение не имеет корней
Ответ: корней нет.
Дополнительные примеры:
а) + =5; б) + =23х-18; в) =0.
- В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.
ОДЗ: х=2, х=3
Проверка: х=2, + , 0<1, верно
Проверка: х=3, + , 0<1, верно.
Ответ: х=2, х=3.
- > ОДЗ: х=1,х=0
Проверка: х=0, > , 0>0, неверно
Проверка: х=1, > , 1>0, верно
Ответ: х=1.
- + =х ОДЗ: х=3
Проверка: + =3, 0=3, неверно.
Ответ: корней нет.
Дополнительные примеры:
а) = ; б) + =0; в) + =х -1
Опасность ОДЗ
Заметим, тождественные преобразования могут:
- не влиять на ОДЗ;
- приводить к расширенному ОДЗ;
- приводить к сужению ОДЗ.
Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, может привести к неверным решениям.
Давайте поясним каждый случай примером.
1) Рассмотрим выражение х +4х+7х, ОДЗ переменной х для этого есть множество R. Приведём подобные слагаемые. В результате оно примет вид x 2 +11x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.
2) Возьмем уравнение x+ - =0. В этом случае ОДЗ: x≠0. Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых, приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).
3) Возьмем выражение. ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪∪/Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www.eg
Приложение 1
Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
│х+14│= 2 - 2х |
|
|
│3-х│=1 - 3х |
Приложение 2
Ответы к заданиям практической работы «ОДЗ: когда, зачем и как?»
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
Ответ: корней нет |
Ответ: х-любое число, кроме х=5 |
|
9х+ = +27 ОДЗ: х≠3 Ответ: корней нет |
ОДЗ: х=-3, х=5. Ответ:-3;5. |
|
у= -убывает, у= -возрастает Значит, уравнение имеет не более одного корня. Ответ: х=6. |
ОДЗ: → →х≥5 Ответ:х≥5, х≤-6. |
|
│х+14│=2-2х ОДЗ:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 не принадлежит ОДЗ |
Убывает, -возрастает Уравнение имеет не более одного корня. Ответ: корней нет. |
|
0, ОДЗ: х≥3,х≤2 Ответ: х≥3,х≤2 |
8х+ = -32, ОДЗ: х≠-4. Ответ: корней нет. |
|
х=7, х=1. Ответ: решений нет |
Возрастает, - убывает Ответ: х=2. |
|
0 ОДЗ: х≠15 Ответ: х- любое число, кроме х=15. |
│3-х│=1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤ х=-1, х=1 не принадлежит ОДЗ. Ответ: х=-1. |
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Как найти область определения функции? Ученикам средних классов приходится часто сталкиваться с данной задачей.
Родителям следует помочь своим детям разобраться в данном вопросе.
Задание функции.
Напомним основополагающие термины алгебры. Функцией в математике называют зависимость одной переменной от другой. Можно сказать, что это строгий математический закон, который связывает два числа определенным образом.
В математике при анализе формул числовые переменные подменяют буквенными символами. Наиболее часто используют икс («х») и игрек («у»). Переменную х называют аргументом, а переменную у — зависимой переменной или функцией от х.
Существуют различные способы задания зависимостей переменных.
Перечислим их:
- Аналитический тип.
- Табличный вид.
- Графическое отображение.
Аналитический способ представляют формулой. Рассмотрим примеры: у=2х+3, у=log(х), у=sin(х). Формула у=2х+3 является типичной для линейной функции. Подставляя в заданную формулу числовое значение аргумента, получаем значение y.
Табличный способ представляет собой таблицу, состоящую из двух столбцов. Первая колонка выделяется для значений икса, а в следующей графе записывают данные игрека.
Графический способ считается наиболее наглядным. Графиком называют отображение множества всех точек на плоскости.
Для построения графика применяют декартовую систему координат. Система состоит из двух перпендикулярных прямых. На осях откладывают одинаковые единичные отрезки. Отсчет производят от центральной точки пересечения прямых линий.
Независимую переменную указывают на горизонтальной линии. Ее называют осью абсцисс. Вертикальная прямая (ось ординат) отображает числовое значение зависимой переменной. Точки отмечают на пересечении перпендикуляров к данным осям. Соединяя точки между собой, получаем сплошную линию. Она являться основой графика.
Виды зависимостей переменных
Определение.
В общем виде зависимость представляется как уравнение: y=f(x). Из формулы следует, что для каждого значения числа х существует определенное число у. Величину игрека, которая соответствует числу икс, называют значением функции.
Все возможные значения, которые приобретает независимая переменная, образуют область определения функции. Соответственно, все множество чисел зависимой переменной определяет область значений функции. Областью определения являются все значения аргумента, при котором f(x) имеет смысл.
Начальная задача при исследовании математических законов состоит в нахождении области определения. Следует верно определять этот термин. В противном случае все дальнейшие расчеты будут бесполезны. Ведь объем значений формируется на основе элементов первого множества.
Область определения функции находится в прямой зависимости от ограничений. Ограничения обусловливаются невозможностью выполнения некоторых операций. Также существуют границы применения числовых значений.
При отсутствии ограничений область определения представляет собой все числовое пространство. Знак бесконечности имеет символ горизонтальной восьмерки. Все множество чисел записывается так: (-∞; ∞).
В определенных случаях массив данных состоит из нескольких подмножеств. Рамки числовых промежутков или пробелов зависят от вида закона изменения параметров.
Укажем список факторов, которые влияют на ограничения:
- обратная пропорциональность;
- арифметический корень;
- возведение в степень;
- логарифмическая зависимость;
- тригонометрические формы.
Если таких элементов несколько, то поиск ограничений разбивают для каждого из них. Наибольшую проблему представляет выявление критических точек и промежутков. Решением задачи станет объединение всех числовых подмножеств.
Множество и подмножество чисел
О множествах.
Область определения выражают как D(f), а знак объединения представлен символом ∪. Все числовые промежутки заключают в скобки. Если граница участка не входит во множество, то ставят полукруглую скобку. В ином случае, когда число включается в подмножество, используют скобки квадратной формы.
Обратная пропорциональность выражена формулой у=к/х. График функции представляет собой кривую линию, состоящую из двух веток. Ее принято называть гиперболой.
Так как функция выражена дробью, нахождение области определения сводится к анализу знаменателя. Общеизвестно, что в математике деление на нуль запрещено. Решение задачи сводится к уравниванию знаменателя к нулю и нахождению корней.
Приведем пример:
Задается: у=1/(х+4). Найти область определения.
- Приравниваем знаменатель к нулю.
х+4=0 - Находим корень уравнения.
х=-4 - Определяем множество всех возможных значений аргумента.
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)
Ответ: областью определения функции являются все действительные числа, кроме -4.
Значение числа под знаком квадратного корня не может быть отрицательным. В этом случае определения функции с корнем сводится к решению неравенства. Подкоренное выражение должно быть больше нуля.
Область определения корня связана с четностью показателя корня. Если показатель делится на 2, то выражение имеет смысл только при его положительном значении. Нечетное число показателя указывает на допустимость любого значения подкоренного выражения: как положительного, так и отрицательного.
Неравенство решают так же, как уравнение. Существует только одно различие. После перемножения обеих частей неравенства на отрицательное число следует поменять знак на противоположный.
Если квадратный корень находится в знаменателе, то следует наложить дополнительное условие. Значение числа не должно равняться нулю. Неравенство переходит в разряд строгих неравенств.
Логарифмические и тригонометрические функции
Логарифмическая форма имеет смысл при положительных числах. Таким образом, область определения логарифмической функции аналогична функции квадратного корня, за исключением нуля.
Рассмотрим пример логарифмической зависимости: y=lоg(2x-6). Найти область определения.
- 2x-6>0
- 2x>6
- х>6/2
Ответ: (3; +∞).
Областью определения y=sin x и y=cos x является множество всех действительных чисел. Для тангенса и котангенса существуют ограничения. Они связаны с делением на косинус либо синус угла.
Тангенс угла определяют отношением синуса к косинусу. Укажем величины углов, при которых значение тангенса не существует. Функция у=tg x имеет смысл при всех значениях аргумента, кроме x=π/2+πn, n∈Z.
Областью определения функции y=ctg x является все множество действительных чисел, исключая x=πn, n∈Z. При равенстве аргумента числу π или кратному π синус угла равен нулю. В этих точках (асимптотах) котангенс не может существовать.
Первые задания на выявление области определения начинаются на уроках в 7 классе. При первом ознакомлении с этим разделом алгебры ученик должен четко усвоить тему.
Следует учесть, что данный термин будет сопровождать школьника, а затем и студента на протяжении всего периода обучения.
Дробные уравнения. ОДЗ.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения . Или их ещё называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения . Это одно и то же.
Дробные уравнения.
Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе . Хотя бы в одном. Например:
Напомню, если в знаменателях только числа , это линейные уравнения.
Как решать дробные уравнения ? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2. Но это редко случается. Ниже я про это упомяну.
Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всё те же тождественные преобразования.
Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение:
Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель). И какое же это выражение?
В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2 . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2) . Умножаем:
Это обычное умножение дробей, но распишу подробно:
Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х + 2) ! Так, целиком, её и пишу:
В левой части сокращается целиком (х+2) , а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное уравнение:
А это уравнение уже решит всякий! х = 2 .
Решим ещё один пример, чуть посложнее:
Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/ 1, можно записать:
И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей.
Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2) . А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю левую часть и всю правую часть:
Опять скобки (х – 2) я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится.
С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2) и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку!
А вот теперь уже раскрываем скобки:
Приводим подобные, переносим всё в левую часть и получаем:
Но до того мы другие задачи научимся решать. На проценты. Те ещё грабли, между прочим!
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
В математике бесконечное множество функций. И у каждой - свой характер.) Для работы с самыми разнообразными функциями нужен единый подход. Иначе, какая же это математика?!) И такой подход есть!
При работе с любой функцией мы предъявляем ей стандартный набор вопросов. И первый, самый важный вопрос - это область определения функции. Иногда эту область называют множеством допустимых значений аргумента, областью задания функции и т.п.
Что такое область определения функции? Как её находить? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными... Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. Поехали?)
Ну, что тут сказать... Только респект.) Да! Естественная область определения функции (о которой здесь идёт речь) совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам.
А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения.)
Дополнительные ограничения на область определения функции.
Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Т.е. в задании присутствуют какие-то дополнительные условия, которые придумал составитель. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции.
Что касается ограничений в задании - тут всё просто. Обычно, и искать-то ничего не надо, всё в задании уже сказано. Напомню, что ограничения, написанные автором задания, никак не отменяют принципиальные ограничения математики. Нужно просто не забыть учесть условия задания.
Например, такое задание:
Найти область определения функции:
на множестве положительных чисел.
Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта область:
D(f)=(-∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да...) Пример из предыдущего урока:
Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.
Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:
D(f): х ∈ N
Как видите, область определения функции - не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к осмотру функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают всякие, простые и сложные. Но...
Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств... И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система...
Мораль: глаза боятся, голова решает!)
