Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții este un algoritm de soluție. Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment
Cel mai mare și cea mai mică valoare funcții concepte de analiză matematică. Valoarea luată de o funcție într-un punct al mulțimii pe care este definită această funcție se numește cea mai mare (mai mică) din această mulțime dacă în niciun alt punct din mulțime funcția are o valoare mai mare (mai mică). N. și N. h. f. în comparație cu valorile sale în toate punctele suficient de apropiate sunt numite extreme (maxime și, respectiv, minime) ale funcției. N. și N. h. f., dat pe un segment, se poate realiza fie în punctele în care derivata este egală cu zero, fie în punctele în care nu există, fie la capetele segmentului. O funcție continuă definită pe un segment atinge în mod necesar valorile sale cele mai mari și cele mai mici; dacă o funcție continuă este considerată pe un interval (adică un segment cu capete excluse), atunci printre valorile sale pe acest interval poate să nu existe cel mai mare sau cel mai mic. De exemplu, funcția la = X, dat pe segment, atinge cele mai mari și, respectiv, cele mai mici valori la X= 1 și X= 0 (adică la capetele segmentului); dacă luăm în considerare această funcție pe intervalul (0; 1), atunci printre valorile sale pe acest interval nu există nici cea mai mare, nici cea mai mică, deoarece pentru fiecare x 0 există întotdeauna un punct din acest interval situat la dreapta (la stânga) x 0, și astfel încât valoarea funcției în acest punct să fie mai mare (respectiv mai mică) decât în punctul x 0. Afirmații similare sunt adevărate pentru funcțiile multor variabile. Vezi și Extremum.
Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .
Vedeți ce sunt „Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții” în alte dicționare:
Concepte de analiză matematică. Valoarea luată de o funcție într-un punct al mulțimii pe care este dată această funcție se numește cea mai mare (mai mică) din această mulțime dacă în niciun alt punct funcția are o valoare mai mare (mai mică) ... ... Dicţionar enciclopedic
Concepte de matematică. analiză. Valoarea luată de funcție în punctul mulțimii, pe lângă această funcție este dată, este numită. cea mai mare (mai mică) din acest set dacă în niciun alt punct funcția nu are o valoare mai mare (mai mică)... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic
FUNCȚII MAXIME ȘI MINIME- respectiv, cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției în comparație cu valorile acesteia în toate punctele suficient de apropiate. Punctele maxime și minime se numesc puncte extreme... Marea Enciclopedie Politehnică
Cele mai mari și, în consecință, cele mai mici valori ale unei funcții care ia valori reale. Se numește punctul din domeniul de definire a funcției luate în considerare, la care ia un maxim sau un minim. respectiv, un punct maxim sau un punct minim... ... Enciclopedie matematică
Funcția ternară în teorie sisteme functionale iar logica ternară se numește o funcție de tip, unde este o mulțime ternară și un întreg nenegativ, care se numește aritatea sau localitatea funcției. Elementele setului sunt digitale... ... Wikipedia
Reprezentarea funcțiilor booleene prin forme normale (vezi forme normale ale funcțiilor booleene). cel mai simplu raportat la o anumită măsură de complexitate. De obicei, complexitatea unei forme normale se referă la numărul de litere din ea. În acest caz cea mai simpla forma numit...... Enciclopedie matematică
O funcție care primește incremente infinitezimale pentru incremente infinitezimale ale argumentului. O funcție cu o singură valoare f (x) se numește continuă pentru valoarea argumentului x0 dacă pentru toate valorile argumentului x care diferă suficient de puțin de x0 ... Marea Enciclopedie Sovietică
- (lat. maxim și minim, literalmente cel mai mare și cel mai mic) (matematică), cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții în comparație cu valorile acesteia în puncte destul de apropiate. În figură, funcția y = f(x) are un maxim în punctele x1 și x3, iar în punctul x2 ... ... Dicţionar enciclopedic
- (din latinescul maxim și minim, cel mai mare și cel mai mic) (matematic), cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții în comparație cu valorile acesteia în puncte destul de apropiate. Punctele maxime și minime se numesc puncte extreme... Enciclopedie modernă
Ce este un extremum al unei funcții și care este condiția necesară pentru un extremum?
Extremul unei funcții este maximul și minimul funcției.
Condiție prealabilă Maximul și minimul (extremul) unei funcții sunt după cum urmează: dacă funcția f(x) are un extrem în punctul x = a, atunci în acest punct derivata este fie zero, fie infinită, fie nu există.
Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivata în punctul x = a poate merge la zero, la infinit sau nu poate exista fără ca funcția să aibă un extrem în acest punct.
Care este condiția suficientă pentru extremul unei funcții (maxim sau minim)?
Prima conditie:
Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este pozitivă la stânga lui a și negativă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are maxim
Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este negativă la stânga lui a și pozitivă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are minim cu condiția ca funcția f(x) aici să fie continuă.
În schimb, puteți folosi a doua condiție suficientă pentru extremul unei funcții:
Fie în punctul x = a prima derivată f?(x) să dispară; dacă derivata a doua f??(a) este negativă, atunci funcția f(x) are un maxim în punctul x = a, dacă este pozitivă, atunci are un minim.
Care este punctul critic al unei funcții și cum se găsește?
Aceasta este valoarea argumentului funcției la care funcția are un extrem (adică maxim sau minim). Pentru a-l găsi ai nevoie găsiți derivata funcția f?(x) și, echivalând-o cu zero, rezolva ecuatia f?(x) = 0. Rădăcinile acestei ecuații, precum și acele puncte în care derivata acestei funcții nu există, sunt puncte critice, adică valori ale argumentului la care poate exista un extrem. Ele pot fi identificate cu ușurință privind grafic derivat: ne interesează acele valori ale argumentului la care graficul funcției intersectează axa absciselor (axa Ox) și cele la care graficul suferă discontinuități.
De exemplu, să găsim extremul unei parabole.
Funcția y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Derivată a funcției: y?(x) = 6x + 2
Rezolvați ecuația: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
ÎN în acest caz, punctul critic este x0=-1/3. Funcția are această valoare a argumentului extremum. Către el găsi, înlocuiți numărul găsit în expresie pentru funcție în loc de „x”:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Cum se determină maximul și minimul unei funcții, de ex. valorile sale cele mai mari și cele mai mici?
Dacă semnul derivatei la trecerea prin punctul critic x0 se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci x0 este punct maxim; dacă semnul derivatei se schimbă de la minus la plus, atunci x0 este punct minim; dacă semnul nu se schimbă, atunci în punctul x0 nu există nici maxim, nici minim.
Pentru exemplul considerat:
Luăm o valoare arbitrară a argumentului din stânga punctului critic: x = -1
La x = -1, valoarea derivatei va fi y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (adică semnul este „minus”).
Acum luăm o valoare arbitrară a argumentului din dreapta punctului critic: x = 1
La x = 1, valoarea derivatei va fi y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (adică semnul este „plus”).
După cum puteți vedea, derivata și-a schimbat semnul de la minus la plus la trecerea prin punctul critic. Aceasta înseamnă că la valoarea critică x0 avem un punct minim.
Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe interval(pe un segment) se găsesc folosind aceeași procedură, ținând cont doar de faptul că, poate, nu toate punctele critice se vor afla în intervalul specificat. Acele puncte critice care se află în afara intervalului trebuie excluse din considerare. Dacă există un singur punct critic în interiorul intervalului, acesta va avea fie un maxim, fie un minim. În acest caz, pentru a determina cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției, luăm în considerare și valorile funcției de la sfârșitul intervalului.
De exemplu, să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției
y(x) = 3sin(x) - 0,5x
la intervale:
Deci, derivata funcției este
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Rezolvăm ecuația 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Găsim puncte critice pe intervalul [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nu sunt incluse în interval)
x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nu sunt incluse în interval)
Găsim valorile funcției la valorile critice ale argumentului:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Se poate observa că pe intervalul [-9; 9] cea mai mare valoare funcția are la x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
iar cel mai mic - la x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Pe intervalul [-6; -3] avem un singur punct critic: x = -4,88. Valoarea funcției la x = -4,88 este egală cu y = 5,398.
Găsiți valoarea funcției la sfârșitul intervalului:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Pe intervalul [-6; -3] avem cea mai mare valoare a funcției
y = 5,398 la x = -4,88
cea mai mica valoare -
y = 1,077 la x = -3
Cum să găsiți punctele de inflexiune ale unui grafic al funcției și să determinați laturile convexe și concave?
Pentru a găsi toate punctele de inflexiune ale dreptei y = f(x), trebuie să găsiți derivata a doua, să o echivalați cu zero (rezolvați ecuația) și să testați toate acele valori ale lui x pentru care derivata a doua este zero, infinit sau nu există. Dacă, la trecerea prin una dintre aceste valori, derivata a doua își schimbă semnul, atunci graficul funcției are o inflexiune în acest punct. Dacă nu se schimbă, atunci nu există nicio îndoire.
Rădăcinile ecuației f? (x) = 0, precum și posibilele puncte de discontinuitate ale funcției și derivata a doua, împart domeniul de definire a funcției într-un număr de intervale. Convexitatea pe fiecare dintre intervalele lor este determinată de semnul derivatei a doua. Dacă derivata a doua într-un punct al intervalului studiat este pozitivă, atunci linia y = f(x) este concavă în sus, iar dacă este negativă, atunci în jos.
Cum se află extremele unei funcții a două variabile?
Pentru a găsi extremele funcției f(x,y), diferențiabile în domeniul specificației sale, aveți nevoie de:
1) găsiți punctele critice și pentru aceasta - rezolvați sistemul de ecuații
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) pentru fiecare punct critic P0(a;b) investigați dacă semnul diferenței rămâne neschimbat
pentru toate punctele (x;y) suficient de apropiate de P0. Dacă diferența rămâne pozitivă, atunci în punctul P0 avem un minim, dacă negativ, atunci avem un maxim. Dacă diferența nu își păstrează semnul, atunci nu există un extremum în punctul P0.
Extremele funcției sunt determinate în mod similar pentru Mai mult argumente.
Ce băuturi răcoritoare carbogazoase curăță suprafețele?
Există o părere că băutura răcoritoare carbogazoasă Coca-Cola poate dizolva carnea. Dar, din păcate, nu există dovezi directe în acest sens. Dimpotrivă, există fapte afirmative care confirmă că carnea rămasă în băutura Coca-Cola timp de două zile își schimbă proprietățile consumatorului și nu dispare nicăieri.
Aspecte apartamente standard, descrierile și fotografiile caselor pot fi vizualizate pe site-urile web: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko. net/art
Cum să tratezi nevroza
Nevroză (Novolat. nevroză, provine din greaca veche νε?ρον - nerv; sinonime - psihonevroză, tulburare nevrotică) - în clinică: denumire colectivă pentru un grup de tulburări psihogene reversibile funcționale care tind să persistă
Ce este afeliul
Apocentrul este punctul din orbită în care un corp care se rotește pe o orbită eliptică în jurul altui corp atinge distanța maximă față de acesta din urmă. În același punct, conform celei de-a doua legi a lui Kepler, viteza mișcării orbitale devine minimă. Apocentrul este situat într-un punct diametral opus periapsisului. În cazuri speciale, se obișnuiește să se utilizeze termeni speciali:
Ce este Mamon
Mamon (m.r.), mammon (f.r.) - un cuvânt derivat din greacă. mammonas și înseamnă bogăție, comori pământești, binecuvântări. Printre unele popoare păgâne antice, el era zeul bogăției și al profitului. Menționat în Sfintele Scripturi de către evangheliștii Matei și Luca: „Nimeni nu poate sluji la doi stăpâni, căci ori îi va urî pe unul și pe celălalt”.
Când este Paștele Ortodox în 2049?
În 2015, Paștele Ortodox va fi pe 12 aprilie, iar Paștele Catolic va fi pe 5 aprilie. ÎN calendare bisericesti sunt date date Paștele ortodox după calendarul iulian (stil vechi), în timp ce Paștele catolic este considerat conform celui modern calendar gregorian (un stil nou), deci compararea datelor necesită un efort mental
Ce este o rublă
Rubla este numele monedelor moderne ale Rusiei, Belarus (rubla belarusă), Transnistria (rubla transnistreană). Rubla rusă este folosită și în Osetia de Sud și Abhazia. În trecut - Unitate monetară republici și principate rusești, Marele Ducat al Moscovei, țarul rus, Marele Ducat al Lituaniei, Imperiul Rus si diverse
Cât timp a stat Ariel Sharon în comă?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) - militar israelian, politic și om de stat, prim-ministru al Israelului din 2001 până în 2006. Data nașterii: 26 februarie 1928 Locul nașterii: Așezarea Kfar Malal lângă Kfar Sava, Israel Data morții: 11 ianuarie 2014 Locul morții: Ramat Gan, Gush Dan, Iz
Cine erau oamenii de Neanderthal
Neanderthal, om de Neanderthal (lat. Homo neanderthalensis sau Homo sapiens neanderthalensis) este o specie fosilă de oameni care au trăit acum 300-24 de mii de ani. Originea numelui Se crede că craniul de Neanderthal a fost găsit pentru prima dată în 1856
Câți ani are Geoffrey Rush
Geoffrey Rush este un actor de film și scenă australian. Câștigător al Oscarului (1997), BAFTA (1996, 1999), Globului de Aur (1997, 2005). Cele mai cunoscute filme cu participarea sa sunt „Shine”.
Cum se determină intervalele de convexitate și concavitate ale unui grafic al funcției
Ce este un extremum al unei funcții și care este condiția necesară pentru un extremum? Extremul unei funcții este maximul și minimul funcției. Condiția necesară pentru maximul și minimul (extremul) unei funcții este următoarea: dacă funcția f(x) are un extrem în punctul x = a, atunci în acest punct derivata este fie zero, fie infinită, fie nu nu exista. Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivată în t
Uneori, în problemele B15 există funcții „proaste” pentru care este dificil să găsești o derivată. Anterior, acest lucru se întâmpla doar în timpul probelor de teste, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru examenul de stat unificat real.
În acest caz, funcționează alte tehnici, dintre care una este monoton.
Se spune că o funcție f (x) crește monoton pe segment dacă pentru oricare dintre punctele x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Se spune că o funcție f (x) este monoton descrescătoare pe segment dacă pentru oricare dintre punctele x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil următoarele:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).
Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare este adevărat opusul: cu cât x mai mare, the Mai puțin f(x).
De exemplu, logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0< a < 1. Не забывайте про область valori acceptabile logaritm: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Rădăcina pătrată aritmetică (și nu numai pătrată) crește monoton pe întregul domeniu de definiție:
Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, functie exponentiala definit pentru toate numerele, nu doar x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
În cele din urmă, grade cu exponent negativ. Le puteți scrie ca fracție. Au un punct de rupere în care monotonia este întreruptă.
Toate aceste funcții nu se găsesc niciodată în formă pură. Ei adaugă polinoame, fracții și alte prostii, ceea ce face dificilă calcularea derivatei. Să ne uităm la ce se întâmplă în acest caz.
Coordonatele vârfurilor parabolei
Cel mai adesea argumentul funcției este înlocuit cu trinom pătratic de forma y = ax 2 + bx + c. Graficul său este o parabolă standard care ne interesează:
- Ramurile unei parabole pot merge în sus (pentru a > 0) sau în jos (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Vârful unei parabole este punctul extremum al unei funcții pătratice la care această funcție își ia minimul (pentru a > 0) sau maximul (a< 0) значение.
De cel mai mare interes este vârful parabolei, a cărei abscisă se calculează cu formula:
Deci, am găsit punctul extremum al funcției pătratice. Dar dacă funcția originală este monotonă, pentru ea punctul x 0 va fi și un punct extremum. Astfel, să formulăm regula cheie:
Punctele extreme ale unui trinom pătratic și functie complexa, în care este inclusă, coincid. Prin urmare, puteți căuta x 0 pentru un trinom pătratic și uitați de funcție.
Din raționamentul de mai sus, rămâne neclar ce punct obținem: maxim sau minim. Cu toate acestea, sarcinile sunt concepute special, astfel încât acest lucru să nu conteze. Judecă singur:
- Nu există niciun segment în declarația problemei. Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum;
- Dar există un singur astfel de punct - acesta este vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente oral și fără derivate.
Astfel, rezolvarea problemei este mult simplificată și se reduce la doar doi pași:
- Scrieți ecuația parabolei y = ax 2 + bx + c și găsiți vârful acesteia folosind formula: x 0 = −b /2a ;
- Găsiți valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Daca nu conditii suplimentare nu, acesta va fi raspunsul.
La prima vedere, acest algoritm și argumentele sale pot părea complexe. Nu postez în mod deliberat o diagramă de soluție „goală”, deoarece aplicarea necugetă a unor astfel de reguli este plină de erori.
Să ne uităm la problemele reale din testul Unified State Exam la matematică - aici se găsește cel mai des această tehnică. În același timp, ne vom asigura că în acest fel multe probleme de B15 devin aproape orale.
Stă sub rădăcină funcţie pătratică y = x 2 + 6x + 13. Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0.
Vârful parabolei:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, în punctul x 0 = −3 funcția y = x 2 + 6x + 13 își ia valoarea minimă.
Rădăcina crește monoton, ceea ce înseamnă că x 0 este punctul minim al întregii funcții. Avem:
Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Sub logaritm există din nou o funcție pătratică: y = x 2 + 2x + 9. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0.
Vârful parabolei:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Deci, în punctul x 0 = −1 funcția pătratică își ia valoarea minimă. Dar funcția y = log 2 x este monotonă, deci:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Exponentul conține funcția pătratică y = 1 − 4x − x 2 . Să o rescriem în formă normală: y = −x 2 − 4x + 1.
În mod evident, graficul acestei funcții este o parabolă, ramificate în jos (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
Funcția originală este exponențială, este monotonă, deci cea mai mare valoare va fi în punctul găsit x 0 = −2:
Un cititor atent va observa probabil că nu am scris intervalul de valori permise ale rădăcinii și logaritmului. Dar acest lucru nu a fost necesar: în interior există funcții ale căror valori sunt întotdeauna pozitive.
Corolare din domeniul unei funcții
Uneori, simpla găsire a vârfului parabolei nu este suficientă pentru a rezolva problema B15. Valoarea pe care o cauți poate fi la sfârșitul segmentului, și deloc la punctul extremum. Dacă problema nu indică deloc un segment, uită-te la intervalul de valori acceptabile functia originala. Și anume:
Vă rugăm să rețineți din nou: zero poate fi sub rădăcină, dar niciodată în logaritmul sau numitorul unei fracții. Să vedem cum funcționează acest lucru cu exemple specifice:
Sarcină. Găsiți cea mai mare valoare a funcției:
Sub rădăcină se află din nou o funcție pătratică: y = 3 − 2x − x 2 . Graficul său este o parabolă, dar se ramifică în jos pentru că a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Rădăcină pătrată a unui număr negativ nu există.
Scriem intervalul de valori admisibile (APV):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Acum să găsim vârful parabolei:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
Punctul x 0 = −1 aparține segmentului ODZ - și acest lucru este bun. Acum calculăm valoarea funcției în punctul x 0, precum și la capetele ODZ:
y(−3) = y(1) = 0
Deci, am primit numerele 2 și 0. Ni se cere să găsim cel mai mare - acesta este numărul 2.
Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)
În interiorul logaritmului există o funcție pătratică y = 6x − x 2 − 5. Aceasta este o parabolă cu ramuri în jos, dar nu pot exista numere negative în logaritm, așa că scriem ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. Acest lucru diferă logaritmul de rădăcină, unde capetele segmentului ni se potrivesc destul de bine.
Căutăm vârful parabolei:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Vârful parabolei se potrivește conform ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Dar din moment ce nu ne interesează capetele segmentului, calculăm valoarea funcției doar în punctul x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2
În acest articol voi vorbi despre cum să aplici abilitatea de a găsi în studiul unei funcții: pentru a găsi valoarea ei cea mai mare sau cea mai mică. Și apoi vom rezolva mai multe probleme de la Sarcina B15 de la Deschide banca sarcini pentru .
Ca de obicei, să ne amintim mai întâi teoria.
La începutul oricărui studiu al unei funcții, o găsim
Pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții, trebuie să examinați la ce intervale crește funcția și la care scade.
Pentru a face acest lucru, trebuie să găsim derivata funcției și să examinăm intervalele sale de semn constant, adică intervalele peste care derivata își păstrează semnul.
Intervalele peste care derivata unei funcții este pozitivă sunt intervale de funcție crescătoare.
Intervalele la care derivata unei funcții este negativă sunt intervale de funcție descrescătoare.
1 . Să rezolvăm sarcina B15 (nr. 245184)
Pentru a o rezolva, vom urma următorul algoritm:
a) Aflați domeniul de definire al funcției
b) Să aflăm derivata funcției.
c) Să-l echivalăm cu zero.
d) Să găsim intervalele de semn constant ale funcției.
e) Aflați punctul în care funcția capătă cea mai mare valoare.
f) Aflați valoarea funcției în acest punct.
Explic soluția detaliată a acestei sarcini în TUTORIALUL VIDEO:
Browserul dvs. probabil nu este acceptat. Pentru a utiliza simulatorul „Unified State Exam Hour”, încercați să descărcați
Firefox
2. Să rezolvăm sarcina B15 (nr. 282862)
Găsiți cea mai mare valoare a funcției 
pe segment
Este evident că funcția ia cea mai mare valoare pe segment în punctul maxim, la x=2. Să găsim valoarea funcției în acest moment:
Raspuns: 5
3. Să rezolvăm sarcina B15 (Nr. 245180):
Găsiți cea mai mare valoare a funcției 
1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}
2. Pentru că conform domeniului de definire a funcției originale title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}
3. Numărător egal cu zero la . Să verificăm dacă aparține Funcții ODZ. Pentru a face acest lucru, să verificăm dacă condiția title="4-2x-x^2>0"> при .!}
Titlu="4-2(-1)-((-1))^2>0">,
aceasta înseamnă că punctul aparține funcției ODZ
Să examinăm semnul derivatei la dreapta și la stânga punctului:
Vedem că funcția capătă cea mai mare valoare în punctul . Acum să găsim valoarea funcției la:
Observație 1. Rețineți că în această problemă nu am găsit domeniul de definire al funcției: am fixat doar restricțiile și am verificat dacă punctul în care derivata este egală cu zero aparține domeniului de definire al funcției. Acest lucru s-a dovedit a fi suficient pentru această sarcină. Cu toate acestea, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Depinde de sarcină.
Observație 2. Când studiați comportamentul unei funcții complexe, puteți utiliza următoarea regulă:
- Dacă functie externa a unei funcții complexe este în creștere, atunci funcția capătă cea mai mare valoare în același punct în care funcția internă capătă cea mai mare valoare. Aceasta rezultă din definiția unei funcții crescătoare: o funcție crește pe intervalul I dacă o valoare mai mare a argumentului din acest interval corespunde unei valori mai mari a funcției.
- dacă funcția exterioară a unei funcții complexe este în scădere, atunci funcția capătă cea mai mare valoare în același punct în care funcția interioară ia cea mai mică valoare. . Aceasta rezultă din definiția unei funcții descrescătoare: o funcție scade pe intervalul I dacă o valoare mai mare a argumentului din acest interval corespunde unei valori mai mici a funcției
În exemplul nostru, funcția externă crește în întregul domeniu de definiție. Sub semnul logaritmului există o expresie - un trinom pătrat, care, cu un coeficient de conducere negativ, ia cea mai mare valoare în punctul 
. În continuare, înlocuim această valoare x în ecuația funcției și să-și găsească cea mai mare valoare.
În acest articol voi vorbi despre algoritm pentru găsirea celei mai mari și mai mici valori funcții, puncte minime și maxime.
Din teorie, cu siguranță ne va fi de folos tabel de derivateȘi reguli de diferențiere. Totul este pe acest platou:
Algoritm pentru găsirea celei mai mari și mai mici valori.
Îmi este mai convenabil să explic exemplu concret. Considera:
Exemplu: Găsiți cea mai mare valoare a funcției y=x^5+20x^3–65x pe segmentul [–4;0].
Pasul 1. Luăm derivata.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Pasul 2. Găsirea punctelor extreme.
Punct extrem numim acele puncte la care functia atinge valoarea sa cea mai mare sau minima.
Pentru a găsi punctele extreme, trebuie să echivalați derivata funcției cu zero (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Acum rezolvăm această ecuație biquadratică și rădăcinile găsite sunt punctele noastre extreme.
Rezolv astfel de ecuații prin înlocuirea t = x^2, apoi 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Să reducem ecuația cu 5, obținem: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Facem schimbarea inversă x^2 = t:
X_(1 și 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 și 4) = ±sqrt(-13) (excludem, nu pot exista numere negative sub rădăcină, decât dacă, desigur, vorbim despre numere complexe)
Total: x_(1) = 1 și x_(2) = -1 - acestea sunt punctele noastre extreme.
Pasul 3. Determinați cea mai mare și cea mai mică valoare.
Metoda de înlocuire.
În condiție, ni s-a dat segmentul [b][–4;0]. Punctul x=1 nu este inclus în acest segment. Deci nu luăm în considerare. Dar, pe lângă punctul x=-1, trebuie să luăm în considerare și limitele din stânga și din dreapta ale segmentului nostru, adică punctele -4 și 0. Pentru a face acest lucru, înlocuim toate aceste trei puncte în funcția originală. Rețineți că originalul este cel dat în condiția (y=x^5+20x^3–65x), unii oameni încep să îl înlocuiască în derivată...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Aceasta înseamnă că cea mai mare valoare a funcției este [b]44 și se realizează în punctul [b]-1, care se numește punctul maxim al funcției pe segmentul [-4; 0].
Ne-am hotarat si am primit un raspuns, suntem grozavi, te poti relaxa. Dar oprește-te! Nu crezi că calcularea y(-4) este oarecum prea dificilă? În condiții de timp limitat, este mai bine să folosiți o altă metodă, o numesc astfel:
Prin intervale de constanță a semnelor.
Aceste intervale se găsesc pentru derivata funcției, adică pentru ecuația noastră biquadratică.
O fac așa. Desenez un segment regizat. Pun punctele: -4, -1, 0, 1. În ciuda faptului că 1 nu este inclus în segmentul dat, ar trebui totuși remarcat pentru a determina corect intervalele de constanță a semnului. Să luăm un număr de multe ori mai mare decât 1, să spunem 100, și să îl înlocuim mental în ecuația noastră biquadratică 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Chiar și fără să numărăm nimic, devine evident că la punctul 100, funcția are semnul plus. Aceasta înseamnă că pentru intervalele de la 1 la 100 are un semn plus. Când trecem prin 1 (mergem de la dreapta la stânga), funcția va schimba semnul în minus. Când trece prin punctul 0, funcția își va păstra semnul, deoarece aceasta este doar granița segmentului și nu rădăcina ecuației. Când trece prin -1, funcția va schimba din nou semnul în plus.
Din teorie știm că unde este derivata funcției (și am desenat asta tocmai pentru aceasta) schimbă semnul de la plus la minus (punctul -1 în cazul nostru) funcția ajunge maximul său local (y(-1)=44, așa cum a fost calculat mai devreme) pe acest segment (asta logic este foarte de inteles, functia a incetat sa creasca pentru ca a ajuns la maxim si a inceput sa scada).
În consecință, unde derivata funcției schimbă semnul din minus în plus, este dus la bun sfârșit minim local al unei funcții. Da, da, am găsit, de asemenea, că punctul minim local este 1, iar y(1) este valoarea minimă a funcției de pe segment, să spunem de la -1 la +∞. Vă rugăm să rețineți că acesta este doar un MINIM LOCAL, adică un minim pe un anumit segment. Deoarece minimul real (global) al funcției va ajunge undeva acolo, la -∞.
După părerea mea, prima metodă este mai simplă teoretic, iar a doua este mai simplă din punct de vedere al operațiilor aritmetice, dar mult mai complexă din punct de vedere al teoriei. La urma urmei, uneori există cazuri în care funcția nu își schimbă semnul la trecerea prin rădăcina ecuației și, în general, te poți confunda cu aceste maxime și minime locale, globale, deși oricum va trebui să stăpânești bine acest lucru dacă intenționați să intrați într-o universitate tehnică (și de ce altfel susțineți examenul de stat unificat de profil și rezolvați această sarcină). Dar practica și numai practica te va învăța să rezolvi astfel de probleme odată pentru totdeauna. Și vă puteți antrena pe site-ul nostru. Aici .
Dacă aveți întrebări sau ceva nu este clar, asigurați-vă că întrebați. Voi fi bucuros să vă răspund și să fac modificări și completări articolului. Amintiți-vă că facem acest site împreună!
