Regula de factorizare. Factorizarea numerelor mari
Foarte des, numărătorul și numitorul unei fracții sunt expresii algebrice care trebuie mai întâi descompuse în factori, iar apoi, după ce am găsit același lucru între ei, împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul în ele, adică reduceți fracția. Un întreg capitol al unui manual de algebră în clasa a VII-a este dedicat sarcinilor de factorizare a unui polinom. Factorizarea se poate face 3 moduri, precum și o combinație a acestor metode.
1. Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate
După cum se știe înmulțiți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt polinom și să adăugați produsele rezultate. Există cel puțin 7 (șapte) cazuri comune de înmulțire a polinoamelor care sunt incluse în concept. De exemplu,
Tabelul 1. Factorizarea în primul mod
2. Scoaterea factorului comun din paranteză
Această metodă se bazează pe aplicarea legii distributive a înmulțirii. De exemplu,
Împărțim fiecare termen al expresiei originale la factorul pe care îl scoatem și, în același timp, obținem expresia dintre paranteze (adică rezultatul împărțirii a ceea ce a fost la ceea ce scoatem rămâne între paranteze). În primul rând, ai nevoie determinați corect multiplicatorul, care trebuie să fie între paranteze.
Polinomul dintre paranteze poate fi, de asemenea, un factor comun:
Când efectuați sarcina de „factorizare”, trebuie să fiți deosebit de atenți cu semnele atunci când scoateți factorul comun din paranteze. Pentru a schimba semnul fiecărui termen dintr-o paranteză (b - a), scoatem factorul comun -1 , în timp ce fiecare termen din paranteză este împărțit la -1: (b - a) = - (a - b) .
În cazul în care expresia dintre paranteze este pătrată (sau la orice putere pară), atunci numerele din paranteze pot fi schimbate complet gratuit, deoarece minusurile scoase dintre paranteze se vor transforma în plus în plus atunci când sunt înmulțite: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 și așa mai departe…
3. Metoda grupării
Uneori nu toți termenii din expresie au un factor comun, ci doar unii. Atunci poți încerca termeni de grup între paranteze, astfel încât să poată fi scos din fiecare un factor. Metoda de grupare este dubla paranteză a factorilor comuni.
4. Folosind mai multe metode simultan
Uneori trebuie să aplicați nu una, ci mai multe moduri de a factoriza un polinom în factori simultan.
Acesta este un rezumat al subiectului. "Factorizare". Alegeți următorii pași:
- Treceți la următorul rezumat:
Extinderea polinoamelor pentru a obține un produs pare uneori confuză. Dar nu este atât de dificil dacă înțelegeți procesul pas cu pas. Articolul detaliază modul de factorizare trinom pătrat.
Mulți nu înțeleg cum să factorizeze un trinom pătrat și de ce se face acest lucru. La început poate părea că acesta este un exercițiu inutil. Dar la matematică, nimic nu se face așa. Transformarea este necesară pentru a simplifica expresia și comoditatea calculului.
Un polinom având forma - ax² + bx + c, se numește trinom pătrat. Termenul „a” trebuie să fie negativ sau pozitiv. În practică, această expresie se numește ecuație pătratică. Prin urmare, uneori ei spun diferit: cum se extinde o ecuație pătratică.
Interesant! Un polinom pătrat este numit datorită gradului său cel mai mare - un pătrat. Și un trinom - din cauza celor 3 termeni componente.
Alte tipuri de polinoame:
- binom liniar (6x+8);
- patrulater cub (x³+4x²-2x+9).
Factorizarea unui trinom pătrat
În primul rând, expresia este egală cu zero, apoi trebuie să găsiți valorile rădăcinilor x1 și x2. Poate să nu existe rădăcini, pot fi una sau două rădăcini. Prezența rădăcinilor este determinată de discriminant. Formula sa trebuie cunoscută pe de rost: D=b²-4ac.
Dacă rezultatul lui D este negativ, nu există rădăcini. Dacă este pozitiv, există două rădăcini. Dacă rezultatul este zero, rădăcina este una. Rădăcinile se calculează și prin formula.
Dacă la calculul discriminantului rezultă zero, puteți aplica oricare dintre formule. În practică, formula este pur și simplu abreviată: -b / 2a.
Formule pentru valori diferite discriminante sunt diferite.
Dacă D este pozitiv:
Dacă D este zero:
Calculatoare online
Internetul are calculator online. Poate fi folosit pentru factorizare. Unele resurse oferă posibilitatea de a vedea soluția pas cu pas. Astfel de servicii vă ajută să înțelegeți mai bine subiectul, dar trebuie să încercați să înțelegeți bine.
Video util: Factorizarea unui trinom pătrat
Exemple
Vă invităm să vizionați exemple simple cum se factorizează o ecuație pătratică.
Exemplul 1
Aici se arată clar că rezultatul va fi doi x, deoarece D este pozitiv. Ele trebuie înlocuite în formulă. Dacă rădăcinile sunt negative, semnul din formulă este inversat.
Cunoaștem formula pentru factorizarea unui trinom pătrat: a(x-x1)(x-x2). Punem valorile între paranteze: (x+3)(x+2/3). Nu există niciun număr înainte de termen în exponent. Aceasta înseamnă că există o unitate, este coborâtă.
Exemplul 2
Acest exemplu arată clar cum se rezolvă o ecuație care are o rădăcină.
Înlocuiți valoarea rezultată:
Exemplul 3
Dat: 5x²+3x+7
Mai întâi, calculăm discriminantul, ca în cazurile anterioare.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Discriminantul este negativ, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini.
După primirea rezultatului, merită să deschideți parantezele și să verificați rezultatul. Ar trebui să apară trinomul original.
Solutie alternativa
Unii oameni nu au reușit niciodată să se împrietenească cu discriminatorul. Există o altă modalitate de a factoriza un trinom pătrat. Pentru comoditate, metoda este prezentată într-un exemplu.
Dat: x²+3x-10
Știm că ar trebui să ajungem cu 2 paranteze: (_)(_). Când expresia arată astfel: x² + bx + c, punem x la începutul fiecărei paranteze: (x_) (x_). Cele două numere rămase sunt produsul care dă „c”, adică -10 în acest caz. Pentru a afla care sunt aceste numere, puteți utiliza doar metoda de selecție. Numerele înlocuite trebuie să se potrivească cu termenul rămas.
De exemplu, înmulțirea următoarelor numere dă -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nu.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nu.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nu.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Se potrivește.
Deci, transformarea expresiei x2+3x-10 arată astfel: (x-2)(x+5).
Important! Ar trebui să aveți grijă să nu confundați semnele.
Descompunerea unui trinom complex
Dacă „a” este mai mare decât unu, încep dificultățile. Dar totul nu este atât de dificil pe cât pare.
Pentru a factoriza, trebuie mai întâi să vedem dacă este posibil să factorizezi ceva.
De exemplu, având în vedere expresia: 3x²+9x-30. Aici numărul 3 este scos din paranteze:
3(x²+3x-10). Rezultatul este trinomul deja cunoscut. Răspunsul arată astfel: 3(x-2)(x+5)
Cum se descompune dacă termenul care este pătrat este negativ? ÎN acest caz numărul -1 este scos din paranteză. De exemplu: -x²-10x-8. Expresia va arăta astfel:
Schema diferă puțin de cea anterioară. Sunt doar câteva lucruri noi. Să presupunem că expresia este dată: 2x²+7x+3. Răspunsul este scris și în 2 paranteze, care trebuie completate cu (_) (_). X este scris în a 2-a paranteză, iar ceea ce a rămas în prima. Arată astfel: (2x_)(x_). În caz contrar, schema anterioară se repetă.
Numărul 3 dă numerele:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Rezolvăm ecuații prin înlocuirea numerelor date. Ultima opțiune se potrivește. Deci transformarea expresiei 2x²+7x+3 arată astfel: (2x+1)(x+3).
Alte cazuri
Nu este întotdeauna posibil să transformi o expresie. În a doua metodă, soluția ecuației nu este necesară. Dar posibilitatea de a converti termenii într-un produs este verificată doar prin discriminant.
Merită practica de a decide ecuații pătratice astfel încât să nu apară dificultăți la utilizarea formulelor.
Video util: factorizarea unui trinom
Concluzie
Îl poți folosi în orice fel. Dar este mai bine să lucrezi atât la automatism. De asemenea, cei care își vor conecta viața cu matematica trebuie să învețe cum să rezolve bine ecuațiile pătratice și să descompună polinoamele în factori. Toate următoarele subiecte matematice sunt construite pe aceasta.
Ce s-a întâmplat factorizare? Este o modalitate de a transforma un exemplu incomod și complicat într-unul simplu și drăguț.) Truc foarte puternic! Ea apare la fiecare pas atât în matematica elementară, cât și în matematica superioară.
Astfel de transformări în limbajul matematic se numesc transformări identice ale expresiilor. Cine nu este în subiect - faceți o plimbare pe link. Există foarte puțin, simplu și util.) Sensul oricărei transformări identice este de a scrie expresia într-o formă diferită păstrându-i în același timp esența.
Sens factorizări extrem de simplu și de înțeles. Chiar din titlul în sine. Puteți uita (sau nu știți) ce este un multiplicator, dar vă puteți da seama că acest cuvânt provine de la cuvântul „înmulțire”?) Factorizarea înseamnă: reprezintă o expresie ca o multiplicare a ceva cu ceva. Iartă-mă matematica și limba rusă...) Și atât.
De exemplu, trebuie să descompuneți numărul 12. Puteți scrie în siguranță:
Așa că am prezentat numărul 12 ca o înmulțire a lui 3 cu 4. Vă rugăm să rețineți că numerele din dreapta (3 și 4) sunt complet diferite de cele din stânga (1 și 2). Dar știm bine că 12 și 3 4 la fel. Esența numărului 12 din transformare nu s-a schimbat.
Este posibil să descompun 12 în alt mod? Uşor!
12=3 4=2 6=3 2 2=0,5 24=........
Opțiunile de descompunere sunt nesfârșite.
Descompunerea numerelor în factori este un lucru util. Ajută foarte mult, de exemplu, atunci când ai de-a face cu rădăcini. Dar factorizarea expresiilor algebrice nu este ceva util, este - necesar! Doar de exemplu:
Simplifica:
Cei care nu știu să factorizeze expresia, se odihnesc pe margine. Cine știe cum - simplifică și obține:
Efectul este uimitor, nu?) Apropo, soluția este destul de simplă. Veți vedea singur mai jos. Sau, de exemplu, o astfel de sarcină:
Rezolvați ecuația:
x 5 - x 4 = 0
Hotărât în minte, de altfel. Cu ajutorul factorizării. Mai jos vom rezolva acest exemplu. Răspuns: x 1 = 0; x2 = 1.
Sau, același lucru, dar pentru cei mai în vârstă):
Rezolvați ecuația:
În aceste exemple, am arătat scop principal factorizări: simplificarea expresiilor fracţionale şi rezolvarea unor tipuri de ecuaţii. Recomand să vă amintiți regula generală:
Dacă avem un teribil expresie fracționată, puteți încerca să factorizați numărătorul și numitorul. Foarte des, fracția este redusă și simplificată.
Dacă avem o ecuație în fața noastră, unde în dreapta este zero și în stânga - nu înțelegeți ce, puteți încerca să factorizați partea stângă. Uneori ajută.)
Metode de bază de factorizare.
Iată cele mai populare moduri:
4. Descompunerea unui trinom pătrat.
Aceste metode trebuie reținute. Este în ordinea aceea. Sunt verificate exemple complexe pentru toți moduri posibile descompunere.Și este mai bine să verificați în ordine, pentru a nu vă încurca ... Să începem în ordine.)
1. Scoaterea factorului comun din paranteze.
simplu și mod de încredere. Nu iese rău de la el! Se întâmplă fie bine, fie deloc.) Prin urmare, el este primul. Noi înțelegem.
Toată lumea știe (cred!) regula:
a(b+c) = ab+ac
Sau, în mai multe vedere generala:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Toate egalitățile funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și invers, de la dreapta la stânga. Poti sa scrii:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Acesta este scopul de a scoate factorul comun dintre paranteze.
Pe partea stângă a A - factor comun pentru toți termenii. Înmulțit cu tot.) Dreptul este cel mai mult A e deja în afara parantezelor.
Uz practic Să aruncăm o privire la exemple. La început, varianta este simplă, chiar primitivă.) Dar pe această variantă voi marca ( în verde) Foarte Puncte importante pentru orice factorizare.
Multiplica:
ah+9x
Care general este multiplicatorul în ambii termeni? X, desigur! O vom scoate din paranteze. Așa facem. Scriem imediat x în afara parantezei:
ax+9x=x(
Și în paranteze scriem rezultatul împărțirii fiecare termen chiar pe acest x. În ordine:
Asta e tot. Desigur, nu este necesar să pictezi atât de detaliat, acest lucru se face în minte. Dar pentru a înțelege ce este ce, este de dorit). Fixăm în memorie:
Scriem factorul comun în afara parantezei. În paranteze, scriem rezultatele împărțirii tuturor termenilor la acest factor foarte comun. În ordine.
Aici am extins expresia ah+9x pentru multiplicatori. L-am transformat în înmulțirea x cu (a + 9). Observ că în expresia originală era și o înmulțire, chiar două: a x și 9 x. Dar nu a fost factorizat! Pentru că pe lângă înmulțire, această expresie conținea și adunarea, semnul „+”! Și în expresie x(a+9) nimic altceva decât înmulțire!
Cum așa!? - Aud vocea indignată a oamenilor - Și între paranteze!?)
Da, există adăugare în interiorul parantezei. Dar trucul este că, deși parantezele nu sunt deschise, le luăm în considerare ca o singură literă.Și facem toate acțiunile cu paranteze în întregime, ca o singură literă.În acest sens, în expresia x(a+9) nimic altceva decât înmulțire. Acesta este scopul factorizării.
Apropo, există vreo modalitate de a verifica dacă am făcut totul bine? Uşor! Este suficient să înmulți înapoi ceea ce a fost scos (x) prin paranteze și să vezi dacă a ieșit original expresie? Dacă a ieșit, totul este la vârf!)
x(a+9)=ax+9x
S-a întâmplat.)
Nu există nicio problemă în acest exemplu primitiv. Dar dacă există mai mulți termeni, și chiar cu semne diferite... Pe scurt, fiecare al treilea student da peste cap). Prin urmare:
Dacă este necesar, verificați factorizarea prin înmulțire inversă.
Multiplica:
3x+9x
Căutăm un factor comun. Ei bine, totul este clar cu X, poate fi suportat. Mai este ceva general factor? Da! Acesta este un trio. De asemenea, puteți scrie expresia astfel:
3x+3 3x
Aici este imediat clar că factorul comun va fi 3x. Iată-l scoatem:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Împrăștiat.
Și ce se întâmplă dacă iei doar x? Nimic special:
3ax+9x=x(3a+9)
Aceasta va fi, de asemenea, o factorizare. Dar în asta proces incitant Se obișnuiește să așezi totul până când se oprește, cât timp există o oportunitate. Aici, între paranteze, există o oportunitate de a scoate un triplu. Obține:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Același lucru, doar cu o acțiune suplimentară.) Rețineți:
Când scoatem factorul comun din paranteze, încercăm să scoatem maxim multiplicator comun.
Să continuăm distracția?
Factorizarea expresiei:
3ax+9x-8a-24
Ce vom scoate? Trei, X? Nu-ee... Nu poți. Vă reamintesc că nu puteți decât să luați general multiplicator adică in toate termenii expresiei. De aceea el general. Nu există un astfel de multiplicator aici... Ce, nu poți așeza!? Ei bine, da, am fost încântați, cum... Faceți cunoștință cu:
2. Gruparea.
De fapt, gruparea este greu de numit într-un mod independent factorizări. Este mai mult o modalitate de a ieși exemplu complex.) Este necesar să grupați termenii, astfel încât totul să funcționeze. Acest lucru poate fi arătat doar cu un exemplu. Deci avem o expresie:
3ax+9x-8a-24
Se poate observa că există câteva litere și numere comune. Dar... General nu există un multiplicator care să fie în toți termenii. Nu vă pierdeți inima și rupem expresia în bucăți. Ne grupăm. Așa că în fiecare piesă era un factor comun, era ceva de scos. Cum rupem? Da, doar paranteze.
Permiteți-mi să vă reamintesc că parantezele pot fi plasate oriunde și în orice fel. Dacă numai esenţa exemplului nu s-a schimbat. De exemplu, puteți face acest lucru:
3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)
Vă rugăm să fiți atenți la a doua paranteză! Sunt precedate de semnul minus și 8aȘi 24 devii pozitiv! Dacă, pentru verificare, deschidem parantezele înapoi, semnele se vor schimba și obținem original expresie. Acestea. esența expresiei dintre paranteze nu s-a schimbat.
Dar dacă puneți doar între paranteze, fără a ține cont de schimbarea semnului, de exemplu, așa:
3ax+9x-8a-24=(3x + 9x) -(8a-24 )
va fi o greșeală. Corect - deja alte expresie. Extindeți parantezele și totul va deveni clar. Nu poți decide mai departe, da...)
Dar să revenim la factorizare. Uită-te la primele paranteze (3x + 9x) si gandeste-te, este posibil sa suporti ceva? Ei bine, am rezolvat acest exemplu de mai sus, îl putem scoate 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Studiem a doua paranteză, acolo le puteți scoate pe cele opt:
(8a+24)=8(a+3)
Întreaga noastră expresie va fi:
(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)
Înmulțit? Nu. Descompunerea ar trebui să aibă ca rezultat doar inmultire,și avem un semn minus strică totul. Dar... Ambii termeni au un factor comun! Acest (a+3). Nu degeaba am spus că parantezele în ansamblu sunt, parcă, o singură literă. Deci aceste paranteze pot fi scoase din paranteze. Da, exact așa sună.)
Facem așa cum este descris mai sus. Scrieți factorul comun (a+3), în a doua paranteză scriem rezultatele împărțirii termenilor la (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Toate! În dreapta, nu există decât înmulțire! Deci factorizarea este finalizată cu succes!) Iată:
3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)
Să recapitulăm esența grupului.
Dacă expresia nu general multiplicator pentru toate termeni, împărțim expresia cu paranteze astfel încât în interiorul parantezei factorul comun a fost. Hai să-l scoatem și să vedem ce se întâmplă. Dacă avem noroc și exact aceleași expresii rămân în paranteze, scoatem aceste paranteze din paranteze.
Voi adăuga că gruparea este un proces creativ). Nu funcționează întotdeauna prima dată. E bine. Uneori este necesar să schimbăm termenii, să luăm în considerare diferite variante gruparea până când se găsește una bună. Principalul lucru aici este să nu vă pierdeți inima!)
Exemple.
Acum, după ce v-ați îmbogățit cu cunoștințe, puteți rezolva și exemple dificile.) La începutul lecției, au fost trei dintre acestea ...
Simplifica:
De fapt, am rezolvat deja acest exemplu. Insesizabil pentru mine însumi.) Vă reamintesc: dacă ni se dă o fracție groaznică, încercăm să descompunem numărătorul și numitorul în factori. Alte variante de simplificare pur si simplu nu.
Ei bine, aici nu se descompune numitorul, ci numărătorul... Am descompus deja numărătorul în cursul lecției! Ca aceasta:
3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)
Scriem rezultatul expansiunii în numărătorul fracției:
Conform regulii de reducere a fracțiilor (proprietatea principală a unei fracții), putem împărți (simultan!) numărătorul și numitorul la același număr, sau expresie. Fracțiune din asta nu se schimba. Deci împărțim numărătorul și numitorul la expresie (3x-8). Și aici și acolo obținem unități. Rezultatul final al simplificării:
Subliniez în special: reducerea unei fracții este posibilă dacă și numai dacă în numărător și numitor, pe lângă înmulțirea expresiilor nu este nimic. De aceea transformarea sumei (diferenței) în multiplicare atât de important de simplificat. Desigur, dacă expresiile diferit, atunci nimic nu va fi redus. Byvet. Dar factorizarea dă o șansă. Această șansă fără descompunere - pur și simplu nu există.
Exemplu de ecuație:
Rezolvați ecuația:
x 5 - x 4 = 0
Eliminarea factorului comun x 4 pentru paranteze. Primim:
x 4 (x-1)=0
Presupunem că produsul factorilor este egal cu zero atunci și numai atunci când oricare dintre ele este egal cu zero. Dacă aveți îndoieli, găsiți-mi câteva numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero.) Așa că scriem, mai întâi, primul factor:
Cu această egalitate, al doilea factor nu ne deranjează. Oricine poate fi, oricum, până la urmă, zero se va dovedi. Care este numărul la puterea a patra a lui zero? Numai zero! Și nimic altceva... Prin urmare:
Ne-am dat seama de primul factor, am găsit o rădăcină. Să ne ocupăm de al doilea factor. Acum nu ne pasă de primul multiplicator.):
Aici am gasit o solutie: x 1 = 0; x2 = 1. Oricare dintre aceste rădăcini se potrivește ecuației noastre.
Foarte notă importantă. Rețineți că am rezolvat ecuația puțin cu puțin! Fiecare factor a fost setat la zero. indiferent de alți factori. Apropo, dacă într-o astfel de ecuație nu există doi factori, așa cum avem noi, ci trei, cinci, câte doriți, vom decide asemănătoare. Bucată cu bucată. De exemplu:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Cel care deschide parantezele, înmulțește totul, se va atârna pentru totdeauna de această ecuație.) Elevul corect va vedea imediat că în stânga nu este nimic decât înmulțirea, în dreapta - zero. Și va începe (în mintea lui!) Să echivaleze cu zero toate parantezele în ordine. Și va obține (în 10 secunde!) soluția corectă: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.
E grozav, nu?) solutie eleganta posibil dacă partea stanga ecuații împărțit în multipli. Aluzia este clară?)
Ei bine, ultimul exemplu, pentru cei mai mari):
Rezolvați ecuația:
Seamănă oarecum cu precedentul, nu crezi?) Desigur. Este timpul să ne amintim că în algebra de clasa a șaptea, sinusurile, logaritmii și orice altceva pot fi ascunse sub litere! Factorizarea funcționează în toate matematicile.
Eliminarea factorului comun lg4x pentru paranteze. Primim:
lg 4x=0
Aceasta este o singură rădăcină. Să ne ocupăm de al doilea factor.
Iată răspunsul final: x 1 = 1; x2 = 10.
Sper că v-ați dat seama de puterea factorizării în simplificarea fracțiilor și rezolvarea ecuațiilor.)
În această lecție, ne-am familiarizat cu eliminarea factorului comun și a grupării. Rămâne să ne ocupăm de formulele de înmulțire prescurtată și de trinomul pătrat.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Când se rezolvă ecuații și inegalități, devine adesea necesară factorizarea unui polinom al cărui grad este trei sau mai mare. În acest articol, vom analiza cel mai simplu mod de a face acest lucru.
Ca de obicei, să apelăm la teorie pentru ajutor.
teorema lui Bezout afirmă că restul împărțirii unui polinom la un binom este .
Dar nu teorema în sine este importantă pentru noi, ci corolar din aceasta:
Dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci polinomul este divizibil fără rest cu binom.
Ne confruntăm cu sarcina de a găsi cumva cel puțin o rădăcină a polinomului, apoi împărțind polinomul la , unde este rădăcina polinomului. Ca rezultat, obținem un polinom al cărui grad este cu unul mai mic decât gradul celui original. Și apoi, dacă este necesar, puteți repeta procesul.
Această sarcină este împărțită în două: cum să găsiți rădăcina unui polinom și cum să împărțiți un polinom într-un binom.
Să aruncăm o privire mai atentă asupra acestor puncte.
1. Cum să găsiți rădăcina unui polinom.
Mai întâi, verificăm dacă numerele 1 și -1 sunt rădăcinile polinomului.
Următoarele fapte ne vor ajuta aici:
Dacă suma tuturor coeficienților unui polinom este zero, atunci numărul este rădăcina polinomului.
De exemplu, într-un polinom suma coeficienților este egală cu zero: . Este ușor să verificați care este rădăcina unui polinom.
Dacă suma coeficienților unui polinom la grade pare este egală cu suma coeficienților la grade impare, atunci numărul este o rădăcină a polinomului. Termenul liber este considerat un coeficient la un grad par, deoarece , a este un număr par.
De exemplu, într-un polinom suma coeficienților la grade pare este : , iar suma coeficienților la grade impare este : . Este ușor să verificați care este rădăcina unui polinom.
Dacă nici 1, nici -1 nu sunt rădăcini ale polinomului, atunci mergem mai departe.
Pentru un polinom de grad redus (adică un polinom în care coeficientul principal este coeficientul de la - egal cu unu) formula Vieta este valabilă:
Unde sunt rădăcinile polinomului.
Există și formule Vieta privind coeficienții rămași ai polinomului, dar acesta este cel care ne interesează.
Din această formulă Vieta rezultă că dacă rădăcinile unui polinom sunt numere întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului său liber, care este și un întreg.
Bazat pe acest lucru, trebuie să descompunăm termenul liber al polinomului în factori și secvenţial, de la mai mic la mai mare, să verificăm care dintre factori este rădăcina polinomului.
Luați în considerare, de exemplu, polinomul
Divizori membri liberi: ; ; ;
Suma tuturor coeficienților polinomului este egală, prin urmare, numărul 1 nu este rădăcina polinomului.
Suma coeficienților la puteri pare:
Suma coeficienților la puteri impare:
Prin urmare, numărul -1 nu este, de asemenea, o rădăcină a polinomului.
Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului: prin urmare, numărul 2 este rădăcina polinomului. Prin urmare, conform teoremei lui Bezout, polinomul este divizibil fără rest cu binom.
2. Cum se împarte un polinom într-un binom.
Un polinom poate fi împărțit într-un binom printr-o coloană.
Împărțim polinomul într-o coloană binomială:
Există o altă modalitate de a împărți un polinom într-un binom - schema lui Horner.
Urmăriți acest videoclip pentru a înțelege cum să împărțiți un polinom cu un binom cu o coloană și folosind schema lui Horner.
Observ că, dacă, la împărțirea pe o coloană, un anumit grad de necunoscut este absent în polinomul original, scriem 0 în locul său - la fel ca atunci când compilăm un tabel pentru schema Horner.
Deci, dacă trebuie să împărțim un polinom într-un binom și ca rezultat al divizării obținem un polinom, atunci putem găsi coeficienții polinomului folosind schema Horner:
Putem folosi, de asemenea Schema lui Horner pentru a verifica dacă numărul dat este rădăcina polinomului: dacă numărul este rădăcina polinomului, atunci restul împărțirii polinomului la este zero, adică în ultima coloană a celui de-al doilea rând al Hornerului schema, obținem 0.
Folosind schema lui Horner, „omorâm două păsări dintr-o piatră”: în același timp, verificăm dacă numărul este rădăcina unui polinom și împărțim acest polinom la un binom.
Exemplu. Rezolvați ecuația:
1. Scriem divizorii termenului liber și vom căuta rădăcinile polinomului printre divizorii termenului liber.
Divizorii lui 24:
2. Verificați dacă numărul 1 este rădăcina polinomului.
Suma coeficienților unui polinom, prin urmare, numărul 1 este rădăcina polinomului.
3. Împărțiți polinomul original într-un binom folosind schema lui Horner.
A) Scrieți coeficienții polinomului original în primul rând al tabelului.
Deoarece membrul care îl conține lipsește, în coloana tabelului în care trebuie scris coeficientul lui, scriem 0. În stânga scriem rădăcina găsită: numărul 1.
B) Completați primul rând al tabelului.
În ultima coloană, așa cum era de așteptat, am obținut zero, am împărțit polinomul original într-un binom fără rest. Coeficienții polinomului rezultat din împărțire sunt afișați cu albastru în al doilea rând al tabelului:
Este ușor de verificat că numerele 1 și -1 nu sunt rădăcini ale polinomului
C) Să continuăm masa. Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului:
Deci, gradul polinomului, care se obține ca urmare a împărțirii la unu, este mai mic decât gradul polinomului original, prin urmare numărul de coeficienți și numărul de coloane sunt mai mici cu unu.
În ultima coloană, am primit -40 - un număr, nu zero, prin urmare, polinomul este divizibil cu un binom cu rest, iar numărul 2 nu este o rădăcină a polinomului.
C) Să verificăm dacă numărul -2 este rădăcina polinomului. Deoarece încercarea anterioară a eșuat, astfel încât să nu existe confuzii cu coeficienții, voi șterge linia corespunzătoare acestei încercări:
Grozav! În rest, am primit zero, prin urmare, polinomul a fost împărțit într-un binom fără rest, prin urmare, numărul -2 este rădăcina polinomului. Coeficienții polinomului, care se obțin prin împărțirea polinomului la binom, sunt afișați cu verde în tabel.
Ca rezultat al împărțirii, am obținut un trinom pătrat 
, ale cărui rădăcini sunt ușor de găsit prin teorema lui Vieta:
Deci, rădăcinile ecuației originale:
{
}
Răspuns: ( 
}
În acest articol veți găsi toate informațiile necesare care răspund la întrebare, cum se factorizează un număr. În primul rând, se oferă o idee generală despre descompunerea unui număr în factori primi, sunt date exemple de expansiuni. Forma canonică de factorizare a unui număr în factori primi este prezentată în continuare. După aceea, este dat un algoritm pentru descompunerea numerelor arbitrare în factori primi și sunt date exemple de descompunere a numerelor folosind acest algoritm. De asemenea, luate în considerare moduri alternative, permițându-vă să descompuneți rapid numere întregi mici în factori primi folosind semne de divizibilitate și o tabelă de înmulțire.
Navigare în pagină.
Ce înseamnă factorizarea unui număr în factori primi?
În primul rând, să vedem care sunt factorii primi.
Este clar că, deoarece cuvântul „factori” este prezent în această frază, atunci are loc produsul unor numere, iar cuvântul clarificator „prim” înseamnă că fiecare factor este un număr prim. De exemplu, într-un produs de forma 2 7 7 23 există patru factori primi: 2 , 7 , 7 și 23 .
Ce înseamnă factorizarea unui număr în factori primi?
Aceasta înseamnă că numărul dat trebuie reprezentat ca un produs al factorilor primi, iar valoarea acestui produs trebuie să fie egală cu numărul inițial. De exemplu, luați în considerare produsul a trei numere prime 2 , 3 și 5 , acesta este egal cu 30 , deci descompunerea numărului 30 în factori primi este 2 3 5 . De obicei, descompunerea unui număr în factori primi se scrie ca o egalitate, în exemplul nostru va fi astfel: 30=2 3 5 . Separat, subliniem că factorii primi ai expansiunii se pot repeta. Acest lucru ilustrează clar exemplul următor: 144=2 2 2 2 3 3 . Dar reprezentarea formei 45=3 15 nu este o descompunere în factori primi, deoarece numărul 15 este compus.
Apare următoarea întrebare: „Și ce numere pot fi descompuse în factori primi”?
În căutarea unui răspuns la acesta, prezentăm următorul raționament. Numerele prime, prin definiție, sunt printre cele mai mari decât unu. Având în vedere acest fapt și , se poate argumenta că produsul mai multor factori primi este un număr întreg pozitiv mai mare decât unu. Prin urmare, factorizarea are loc numai pentru numerele întregi pozitive care sunt mai mari decât 1.
Dar toate numerele întregi mai mari decât un factor sunt factori primi?
Este clar că nu există nicio modalitate de a descompune numerele întregi simple în factori primi. Acest lucru se datorează faptului că numerele prime au doar doi divizori pozitivi, unul și el însuși, deci nu pot fi reprezentate ca un produs a doi sau Mai mult numere prime. Dacă un întreg z ar putea fi reprezentat ca un produs al numerelor prime a și b, atunci conceptul de divizibilitate ne-ar permite să concluzionam că z este divizibil atât cu a cât și cu b, ceea ce este imposibil din cauza simplității numărului z. Cu toate acestea, se crede că orice număr prim este el însuși descompunerea lui.
Dar numerele compuse? Numerele compuse se descompun în factori primi și toate numerele compuse sunt supuse unei astfel de descompunere? Un răspuns afirmativ la câteva dintre aceste întrebări este dat de teorema fundamentală a aritmeticii. Teorema fundamentală a aritmeticii spune că orice număr întreg a care este mai mare decât 1 poate fi descompus într-un produs al factorilor primi p 1 , p 2 , ..., p n , în timp ce expansiunea are forma a=p 1 p 2 .. .p n , iar aceasta descompunerea este unică, dacă nu luăm în considerare ordinea factorilor
Descompunerea canonică a unui număr în factori primi
În expansiunea unui număr, factorii primi se pot repeta. Repetarea factorilor primi poate fi scris mai compact folosind . Fie factorul prim p 1 să apară de 1 ori în descompunerea numărului a, factorul prim p 2 - s de 2 ori și așa mai departe, p n - s de n ori. Atunci descompunerea în factori primi a numărului a poate fi scrisă ca a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. Această formă de scriere este așa-numita factorizarea canonică a unui număr în factori primi.
Să dăm un exemplu de descompunere canonică a unui număr în factori primi. Anunță-ne despre descompunere 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, forma sa canonică este 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
Descompunerea canonică a unui număr în factori primi vă permite să găsiți toți divizorii numărului și numărul de divizori ai numărului.
Algoritm pentru descompunerea unui număr în factori primi
Pentru a face față cu succes sarcinii de a descompune un număr în factori primi, trebuie să fii foarte bun la informațiile din articolul numere simple și compuse.
Esența procesului de expansiune a unui număr întreg pozitiv și mai mare decât un număr a este clară din demonstrarea teoremei principale a aritmeticii. Sensul este de a găsi secvenţial cei mai mici divizori primi p 1 , p 2 , …,p n numere a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , ceea ce vă permite să obţineţi o serie de egalităţi a=p 1 a 1 , unde a 1 = a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , unde a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 p 2 …p n a n , unde a n =a n -1:p n . Când se obține a n =1, atunci egalitatea a=p 1 ·p 2 ·…·p n ne va da descompunerea necesară a numărului a în factori primi. Aici mai trebuie remarcat faptul că p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.
Rămâne să ne ocupăm de găsirea celor mai mici divizori primi la fiecare pas și vom avea un algoritm pentru descompunerea unui număr în factori primi. Tabelul numerelor prime ne va ajuta să găsim divizori primi. Să arătăm cum să îl folosim pentru a obține cel mai mic divizor prim al numărului z .
Luăm succesiv numere prime din tabelul numerelor prime (2 , 3 , 5 , 7 , 11 și așa mai departe) și împărțim numărul dat z la ele. Primul număr prim cu care z este divizibil uniform este cel mai mic divizor prim al său. Dacă numărul z este prim, atunci cel mai mic divizor prim al său va fi numărul z însuși. De asemenea, trebuie amintit aici că dacă z nu este număr prim, atunci cel mai mic divizor prim al său nu depășește numărul , unde - din z . Astfel, dacă printre numerele prime care nu depășesc , nu a existat un singur divizor al numărului z, atunci putem concluziona că z este un număr prim (mai multe despre acest lucru sunt scrise în secțiunea teorie de la rubrica acest număr este prim sau compus ).
De exemplu, să arătăm cum să găsim cel mai mic divizor prim al numărului 87. Luăm numărul 2. Împărțiți 87 la 2, obținem 87:2=43 (restul 1) (dacă este necesar, vezi articolul). Adică, când împărțim 87 la 2, restul este 1, deci 2 nu este un divizor al numărului 87. Luăm următorul număr prim din tabelul numerelor prime, acesta este numărul 3. Împărțim 87 la 3, obținem 87:3=29. Deci 87 este divizibil egal cu 3, deci 3 este cel mai mic divizor prim al lui 87.
Rețineți că în cazul general, pentru a factoriza numărul a, avem nevoie de un tabel de numere prime până la un număr nu mai mic de . Va trebui să ne referim la acest tabel la fiecare pas, așa că trebuie să-l avem la îndemână. De exemplu, pentru a factoriza numărul 95, vom avea nevoie de un tabel cu numere prime până la 10 (deoarece 10 este mai mare decât ). Și pentru a descompune numărul 846 653, veți avea deja nevoie de un tabel cu numere prime până la 1.000 (deoarece 1.000 este mai mare decât).
Acum avem suficiente informații de scris algoritm pentru factorizarea unui număr în factori primi. Algoritmul pentru extinderea numărului a este următorul:
- Sortând secvențial numerele din tabelul numerelor prime, găsim cel mai mic divizor prim p 1 al numărului a, după care calculăm a 1 =a:p 1 . Dacă a 1 =1 , atunci numărul a este prim și este el însuși descompunerea lui în factori primi. Dacă a 1 este egal cu 1, atunci avem a=p 1 ·a 1 și trecem la pasul următor.
- Găsim cel mai mic divizor prim p 2 al numărului a 1 , pentru aceasta sortăm succesiv numerele din tabelul numerelor prime, începând cu p 1 , după care calculăm a 2 =a 1:p 2 . Dacă a 2 =1, atunci descompunerea dorită a numărului a în factori primi are forma a=p 1 ·p 2 . Dacă a 2 este egal cu 1, atunci avem a=p 1 ·p 2 ·a 2 și trecem la pasul următor.
- Parcurgând numerele din tabelul numerelor prime, începând cu p 2 , găsim cel mai mic divizor prim p 3 al numărului a 2 , după care calculăm a 3 =a 2:p 3 . Dacă a 3 =1, atunci descompunerea dorită a numărului a în factori primi are forma a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Dacă a 3 este egal cu 1, atunci avem a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 și trecem la pasul următor.
- Aflați cel mai mic divizor prim p n al numărului a n-1 sortând numerele prime, începând cu p n-1 , precum și a n =a n-1:p n , iar a n este egal cu 1 . Acest pas este ultimul pas al algoritmului, aici obținem descompunerea necesară a numărului a în factori primi: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .
Toate rezultatele obținute la fiecare pas al algoritmului de descompunere a unui număr în factori primi sunt prezentate pentru claritate sub forma următorului tabel, în care numerele a, a 1, a 2, ..., a n sunt scrise succesiv la la stânga barei verticale și la dreapta barei - cei mai mici divizori primi corespunzători p 1 , p 2 , …, p n .
Rămâne doar să luăm în considerare câteva exemple de aplicare a algoritmului obținut la descompunerea numerelor în factori primi.
Exemple de factorizare prime
Acum vom analiza în detaliu exemple de factorizare prime. La descompunere, vom aplica algoritmul din paragraful anterior. Să începem cu cazuri simple, iar treptat le vom complica pentru a face față tuturor posibile nuanțe care rezultă din descompunerea numerelor în factori primi.
Exemplu.
Factorizați numărul 78 în factori primi.
Soluţie.
Începem să căutăm primul cel mai mic divizor prim p 1 al numărului a=78 . Pentru a face acest lucru, începem să sortăm succesiv numerele prime din tabelul numerelor prime. Luăm numărul 2 și împărțim la el 78, obținem 78:2=39. Numărul 78 a fost împărțit la 2 fără rest, deci p 1 \u003d 2 este primul divizor prim găsit al numărului 78. În acest caz a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Ajungem deci la egalitatea a=p 1 ·a 1 având forma 78=2·39 . Evident, un 1 =39 este diferit de 1, așa că trecem la pasul al doilea al algoritmului.
Acum căutăm cel mai mic divizor prim p 2 al numărului a 1 =39 . Începem enumerarea numerelor din tabelul numerelor prime, începând cu p 1 =2 . Împărțiți 39 la 2, obținem 39:2=19 (răman de 1). Deoarece 39 nu este divizibil egal cu 2, 2 nu este divizorul său. Apoi luăm următorul număr din tabelul numerelor prime (numărul 3) și împărțim la el 39, obținem 39:3=13. Prin urmare, p 2 \u003d 3 este cel mai mic divizor prim al numărului 39, în timp ce a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. Avem egalitatea a=p 1 p 2 a 2 sub forma 78=2 3 13 . Deoarece un 2 =13 este diferit de 1, trecem la pasul următor al algoritmului.
Aici trebuie să găsim cel mai mic divizor prim al numărului a 2 =13. În căutarea celui mai mic divizor prim p 3 al numărului 13, vom sorta succesiv numerele din tabelul numerelor prime, începând cu p 2 =3 . Numărul 13 nu este divizibil cu 3, deoarece 13:3=4 (rest. 1), de asemenea 13 nu este divizibil cu 5, 7 și 11, deoarece 13:5=2 (rest. 3), 13:7=1 (rez. 6) și 13:11=1 (rez. 2) . Următorul număr prim este 13, iar 13 este divizibil cu el fără rest, prin urmare, cel mai mic divizor prim p 3 al numărului 13 este numărul 13 însuși, iar a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Deoarece a 3 =1 , atunci acest pas al algoritmului este ultimul, iar descompunerea dorită a numărului 78 în factori primi are forma 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .
Răspuns:
78=2 3 13 .
Exemplu.
Exprimă numărul 83.006 ca produs al factorilor primi.
Soluţie.
La prima etapă a algoritmului de factorizare a unui număr în factori primi, găsim p 1 =2 și a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , de unde 83 006=2 41 503 .
La a doua etapă, aflăm că 2 , 3 și 5 nu sunt divizori primi ai numărului a 1 =41 503 , iar numărul 7 este, deoarece 41 503: 7=5 929 . Avem p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Astfel, 83 006=2 7 5 929 .
Cel mai mic divizor prim al unui 2 =5 929 este 7 , deoarece 5 929:7=847 . Astfel, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , de unde 83 006=2 7 7 847 .
În plus, aflăm că cel mai mic divizor prim p 4 al numărului a 3 =847 este egal cu 7 . Atunci a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , deci 83 006=2 7 7 7 121 .
Acum găsim cel mai mic divizor prim al numărului a 4 =121, acesta este numărul p 5 =11 (deoarece 121 este divizibil cu 11 și nu este divizibil cu 7). Atunci a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 și 83 006=2 7 7 7 11 11 .
În cele din urmă, cel mai mic divizor prim al unui 5 =11 este p 6 =11 . Atunci a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Deoarece a 6 =1 , atunci acest pas al algoritmului de descompunere a unui număr în factori primi este ultimul, iar descompunerea dorită are forma 83 006=2·7·7·7·11·11 .
Rezultatul obţinut se poate scrie ca o descompunere canonică a numărului în factori primi 83 006=2·7 3 ·11 2 .
Răspuns:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 este un număr prim. Într-adevăr, nu are divizor prim care să nu depășească ( poate fi estimat aproximativ ca , deoarece este evident că 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Răspuns:
897 924 289=937 967 991 .
Utilizarea testelor de divizibilitate pentru factorizarea primă
În cazuri simple, puteți descompune un număr în factori primi fără a utiliza algoritmul de descompunere din primul paragraf al acestui articol. Dacă numerele nu sunt mari, atunci pentru a le descompune în factori primi, este adesea suficient să cunoaștem semnele de divizibilitate. Dam exemple pentru clarificare.
De exemplu, trebuie să descompunăm numărul 10 în factori primi. Știm din tabla înmulțirii că 2 5=10 , iar numerele 2 și 5 sunt evident prime, deci descompunerea în factori primi a lui 10 este 10=2 5 .
Alt exemplu. Folosind tabla înmulțirii, descompunem numărul 48 în factori primi. Știm că șase opt este patruzeci și opt, adică 48=6 8. Cu toate acestea, nici 6, nici 8 nu sunt numere prime. Dar știm că de două ori trei este șase, iar de două ori patru este opt, adică 6=2 3 și 8=2 4 . Atunci 48=6 8=2 3 2 4 . Rămâne să ne amintim că de două ori doi este patru, atunci obținem descompunerea dorită în factori primi 48=2 3 2 2 2 . Să scriem această descompunere în forma canonică: 48=2 4 ·3 .
Dar când descompuneți numărul 3400 în factori primi, puteți folosi semnele divizibilității. Semnele divizibilității cu 10, 100 ne permit să afirmăm că 3400 este divizibil cu 100, în timp ce 3400=34 100 și 100 este divizibil cu 10, în timp ce 100=10 10, prin urmare, 3400=34 10 10. Și pe baza semnului divizibilității cu 2, se poate argumenta că fiecare dintre factorii 34, 10 și 10 este divizibil cu 2, obținem 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Toți factorii din expansiunea rezultată sunt simpli, așa că această expansiune este cea dorită. Rămâne doar să rearanjam factorii astfel încât să meargă în ordine crescătoare: 3 400=2 2 2 5 5 17 . De asemenea, notăm descompunerea canonică a acestui număr în factori primi: 3 400=2 3 5 2 17 .
Când descompuneți un număr dat în factori primi, puteți folosi pe rând atât semnele de divizibilitate, cât și tabla înmulțirii. Să reprezentăm numărul 75 ca produs al factorilor primi. Semnul divizibilității cu 5 ne permite să afirmăm că 75 este divizibil cu 5, în timp ce obținem că 75=5 15. Și din tabla înmulțirii știm că 15=3 5 , prin urmare, 75=5 3 5 . Aceasta este descompunerea dorită a numărului 75 în factori primi.
Bibliografie.
- Vilenkin N.Ya. etc Matematică. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
- Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
- Mihailovici Sh.Kh. Teoria numerelor.
- Kulikov L.Ya. şi altele.Culegere de probleme de algebră şi teoria numerelor: Manual pentru studenţii de fiz.-mat. specialităţile institutelor pedagogice.
