≡× MENIUL

• Reparație
• Reparație
• Design interior
• Despre tot
• Despre instalații sanitare

Cum să găsiți valoarea unei expresii cu puteri fracționale. Ecuații online

Să luăm în considerare subiectul transformării expresiilor cu puteri, dar mai întâi ne vom opri asupra unui număr de transformări care pot fi efectuate cu orice expresii, inclusiv cu cele de putere. Vom învăța cum să deschidem paranteze, să dăm termeni similari, să lucrăm cu baza și cu exponentul, să folosim proprietățile puterilor.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ce sunt expresiile de putere?

În cursul școlar, puțini oameni folosesc sintagma „expresii de putere”, dar acest termen se găsește constant în colecțiile de pregătire pentru examen. În cele mai multe cazuri, expresia denotă expresii care conțin grade în intrările lor. Aceasta este ceea ce vom reflecta în definiția noastră.

Definiția 1

Exprimarea puterii este o expresie care conține grade.

Dăm câteva exemple de expresii de putere, începând cu un grad cu exponent natural și terminând cu un grad cu exponent real.

Cele mai simple expresii de putere pot fi considerate puteri ale unui număr cu exponent natural: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . La fel și puteri cu exponent zero: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Și puteri cu puteri întregi negative: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Este puțin mai dificil să lucrezi cu un grad care are exponenți raționali și iraționali: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indicatorul poate fi o variabilă 3 x - 54 - 7 3 x - 58 sau un logaritm x 2 l g x − 5 x l g x.

Ne-am ocupat de întrebarea ce sunt expresiile puterii. Acum să le transformăm.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

În primul rând, vom lua în considerare transformările identitare de bază ale expresiilor care pot fi efectuate cu expresii de putere.

Exemplul 1

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 (4 2 − 12).

Soluţie

Vom efectua toate transformările în conformitate cu ordinea acțiunilor. ÎN acest caz Vom începe prin a face parantezele: vom înlocui exponentul cu o valoare numerică și vom calcula diferența dintre cele două numere. Avem 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Rămâne să înlocuim gradul 2 3 intelesul sau 8 și calculați produsul 8 4 = 32. Iată răspunsul nostru.

Răspuns: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Exemplul 2

Simplificați expresia cu puteri 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Soluţie

Expresia dată nouă în starea problemei conține termeni similari, pe care îi putem aduce: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Răspuns: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Exemplul 3

Exprimați o expresie cu puteri de 9 - b 3 · π - 1 2 ca produs.

Soluţie

Să reprezentăm numărul 9 ca putere 3 2 și aplicați formula de înmulțire prescurtată:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Răspuns: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Și acum să trecem la analiza transformărilor identice care pot fi aplicate în mod specific expresiilor de putere.

Lucrul cu baza și exponent

Gradul în bază sau exponent poate avea numere, variabile și unele expresii. De exemplu, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7Și . Este dificil să lucrezi cu astfel de înregistrări. Este mult mai ușor să înlocuiți expresia din baza gradului sau expresia din exponent cu o expresie identică egală.

Transformările gradului și ale indicatorului se realizează după regulile cunoscute de noi separat unul de celălalt. Cel mai important este că în urma transformărilor se obține o expresie identică cu cea originală.

Scopul transformărilor este de a simplifica expresia originală sau de a obține o soluție a problemei. De exemplu, în exemplul pe care l-am dat mai sus, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 puteți efectua operații pentru a ajunge la grad 4 , 1 1 , 3 . Deschizând parantezele, putem aduce termeni similari în baza gradului (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)și obțineți o expresie de putere peste formă simplă a 2 (x + 1).

Utilizarea proprietăților puterii

Proprietățile grade, scrise ca egalități, sunt unul dintre principalele instrumente de transformare a expresiilor cu grade. Vă prezentăm aici pe cele principale, având în vedere că AȘi b sunt numere pozitive și rȘi s- numere reale arbitrare:

Definiția 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

În cazurile în care avem de-a face cu exponenți naturali, întregi, pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot fi mult mai puțin stricte. Deci, de exemplu, dacă luăm în considerare egalitatea a m a n = a m + n, Unde mȘi n sunt numere naturale, atunci va fi valabil pentru orice valori ale lui a, atât pozitive, cât și negative, precum și pentru a = 0.

Puteți aplica proprietățile gradelor fără restricții în cazurile în care bazele gradelor sunt pozitive sau conțin variabile, zona valori admise care este de așa natură încât pe ea motivele acceptă numai valori pozitive. De fapt, în cadrul curriculumului școlar la matematică, sarcina elevului este să aleagă proprietatea potrivită și să o aplice corect.

Atunci când vă pregătiți pentru admiterea la universități, pot exista sarcini în care aplicarea incorectă a proprietăților va duce la o îngustare a ODZ și la alte dificultăți cu soluția. În această secțiune, vom lua în considerare doar două astfel de cazuri. Mai multe informații despre subiect puteți găsi în subiectul „Transformarea expresiilor folosind proprietățile exponentului”.

Exemplul 4

Reprezentați expresia a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 ca grad cu o bază A.

Soluţie

Pentru început, folosim proprietatea de exponențiere și transformăm al doilea factor folosindu-l (a 2) − 3. Apoi folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Răspuns: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformarea expresiilor puterii în funcție de proprietatea gradelor se poate face atât de la stânga la dreapta, cât și în sens invers.

Exemplul 5

Aflați valoarea expresiei puterii 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Soluţie

Dacă aplicăm egalitatea (a b) r = a r b r, de la dreapta la stânga, atunci obținem un produs de forma 3 7 1 3 21 2 3 și apoi 21 1 3 21 2 3 . Să adăugăm exponenții atunci când înmulțim puteri cu aceleași baze: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Există o altă modalitate de a face transformări:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Răspuns: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Exemplul 6

Dată o expresie de putere a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, introduceți o nouă variabilă t = a 0, 5.

Soluţie

Imaginează-ți gradul a 1, 5 Cum a 0, 5 3. Utilizarea proprietății grad într-un grad (a r) s = a r s de la dreapta la stânga și obțineți (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . În expresia rezultată, puteți introduce cu ușurință o nouă variabilă t = a 0, 5: obține t 3 − t − 6.

Răspuns: t 3 − t − 6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

De obicei avem de-a face cu două variante de expresii de putere cu fracții: expresia este o fracție cu un grad sau conține o astfel de fracție. Toate transformările de fracții de bază sunt aplicabile unor astfel de expresii fără restricții. Ele pot fi reduse, aduse la un nou numitor, pot lucra separat cu numărătorul și numitorul. Să ilustrăm acest lucru cu exemple.

Exemplul 7

Simplificați expresia puterii 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Soluţie

Avem de-a face cu o fracție, așa că vom efectua transformări atât la numărător, cât și la numitor:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Pune un minus în fața fracției pentru a schimba semnul numitorului: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Răspuns: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Fracțiile care conțin puteri sunt reduse la un nou numitor în același mod ca și fracțiile raționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un factor suplimentar și să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Este necesar să selectați un factor suplimentar, astfel încât să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplul 8

Aduceți fracțiile la un nou numitor: a) a + 1 a 0, 7 la numitor A, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 la numitorul x + 8 y 1 2 .

Soluţie

a) Alegem un factor care ne va permite să reducem la un nou numitor. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , prin urmare, ca factor suplimentar, luăm a 0, 3. Gama de valori admisibile ale variabilei a include setul tuturor numerelor reale pozitive. În acest domeniu, gradul a 0, 3 nu merge la zero.

Să înmulțim numărătorul și numitorul unei fracții cu a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Acordați atenție numitorului:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Înmulțiți această expresie cu x 1 3 + 2 · y 1 6 , obținem suma cuburilor x 1 3 și 2 · y 1 6 , adică. x + 8 · y 1 2 . Acesta este noul nostru numitor, la care trebuie să aducem fracția originală.

Deci am găsit un factor suplimentar x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pe intervalul de valori acceptabile ale variabilelor XȘi y expresia x 1 3 + 2 y 1 6 nu dispare, așa că putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu ea:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Răspuns: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Exemplul 9

Reduceți fracția: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Soluţie

a) Folosiți cel mai mare numitor comun (MCG) cu care numărătorul și numitorul pot fi reduse. Pentru numerele 30 și 45, acesta este 15. De asemenea, putem reduce x 0, 5 + 1 iar pe x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Primim:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Aici prezenţa unor factori identici nu este evidentă. Va trebui să efectuați câteva transformări pentru a obține aceiași factori la numărător și numitor. Pentru a face acest lucru, extindem numitorul folosind formula diferenței de pătrate:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Răspuns: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Principalele operațiuni cu fracții includ reducerea la un nou numitor și reducerea fracțiilor. Ambele acțiuni sunt efectuate în conformitate cu o serie de reguli. Când se adună și se scad fracții, fracțiile sunt mai întâi reduse la numitor comun, după care se efectuează operații (adunare sau scădere) cu numărători. Numitorul rămâne același. Rezultatul acțiunilor noastre este o nouă fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor.

Exemplul 10

Efectuați pașii x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Soluţie

Să începem prin a scădea fracțiile care sunt între paranteze. Să le aducem la un numitor comun:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Să scădem numărătorii:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Acum înmulțim fracțiile:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Să reducem cu un grad x 1 2, obținem 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

În plus, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula pentru diferența de pătrate: pătrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Răspuns: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Exemplul 11

Simplificați expresia puterii x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Soluţie

Putem reduce fracția cu (x 2 , 7 + 1) 2. Obținem o fracție x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Să continuăm transformările x puterilor x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Acum puteți utiliza proprietatea diviziunii puterii cu aceleași baze: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Trecem de la ultimul produs la fracția x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Răspuns: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

În cele mai multe cazuri, este mai convenabil să transferați multiplicatori cu exponenți negativi de la numărător la numitor și invers prin schimbarea semnului exponentului. Această acțiune simplifică decizia ulterioară. Să dăm un exemplu: expresia puterii (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 poate fi înlocuită cu x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

În sarcini, există expresii de putere care conțin nu numai grade cu exponenți fracționari, ci și rădăcini. Este de dorit să se reducă astfel de expresii doar la rădăcini sau doar la puteri. Trecerea la grade este de preferat, deoarece este mai ușor de lucrat cu acestea. O astfel de tranziție este deosebit de avantajoasă atunci când DPV-ul variabilelor pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți DPV-ul în mai multe intervale.

Exemplul 12

Exprimați expresia x 1 9 x x 3 6 ca putere.

Soluţie

Interval valid al unei variabile X este determinată de două inegalități x ≥ 0şi x · x 3 ≥ 0 , care definesc mulţimea [ 0 , + ∞) .

Pe acest set, avem dreptul de a trece de la rădăcini la puteri:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Folosind proprietățile gradelor, simplificăm expresia puterii rezultată.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Răspuns: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Conversia puterilor cu variabile în exponent

Aceste transformări sunt destul de simplu de făcut dacă utilizați corect proprietățile gradului. De exemplu, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Putem înlocui produsul gradului, în termenii căruia se găsește suma unei variabile și a unui număr. În partea stângă, acest lucru se poate face cu primul și ultimul termen din partea stângă a expresiei:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Acum să împărțim ambele părți ale ecuației cu 7 2 x. Această expresie pe ODZ a variabilei x ia numai valori pozitive:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Să reducem fracțiile cu puteri, obținem: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, ceea ce duce la ecuația 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , care este echivalent cu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Să introducem o nouă variabilă t = 5 7 x , care reduce soluția originalului ecuație exponențială la o decizie ecuație pătratică 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

Conversia expresiilor cu puteri și logaritmi

În probleme se găsesc și expresii care conțin puteri și logaritmi. Exemple de astfel de expresii sunt: ​​1 4 1 - 5 log 2 3 sau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformarea unor astfel de expresii se realizează folosind abordările discutate mai sus și proprietățile logaritmilor, pe care le-am analizat în detaliu în subiectul „Transformarea expresiilor logaritmice”.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Exponentul este folosit pentru a facilita scrierea operației de înmulțire a unui număr cu el însuși. De exemplu, în loc să scrieți, puteți scrie 4 5 (\displaystyle 4^(5))(o explicație a unei astfel de tranziții este dată în prima secțiune a acestui articol). Puterile facilitează scrierea de expresii sau ecuații lungi sau complexe; de asemenea, puterile se adună și se scad cu ușurință, rezultând o simplificare a unei expresii sau ecuații (de exemplu, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Notă: dacă trebuie să rezolvați o ecuație exponențială (într-o astfel de ecuație, necunoscuta este în exponent), citiți.

Pași

Rezolvarea unor probleme simple cu puteri

Înmulțiți baza exponentului cu ea însăși de un număr de ori egal cu exponentul. Dacă trebuie să rezolvați manual o problemă cu exponenți, rescrieți exponentul ca operație de înmulțire, în care baza exponentului este înmulțită cu ea însăși. De exemplu, având în vedere gradul 3 4 (\displaystyle 3^(4)). În acest caz, baza gradului 3 trebuie înmulțită cu ea însăși de 4 ori: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Iată și alte exemple:

În primul rând, înmulțiți primele două numere. De exemplu, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nu vă faceți griji - procesul de calcul nu este atât de complicat pe cât pare la prima vedere. Mai întâi înmulțiți primele două cvadruple, apoi înlocuiți-le cu rezultatul. Ca aceasta:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Înmulțiți rezultatul (16 în exemplul nostru) cu următorul număr. Fiecare rezultat ulterior va crește proporțional. În exemplul nostru, înmulțiți 16 cu 4. Astfel:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Continuați să înmulțiți rezultatul înmulțirii primelor două numere cu următorul număr până când obțineți răspunsul final. Pentru a face acest lucru, înmulțiți primele două numere, apoi înmulțiți rezultatul cu următorul număr din succesiune. Această metodă este valabilă pentru orice grad. În exemplul nostru, ar trebui să obțineți: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Rezolvați următoarele probleme. Verifică-ți răspunsul cu un calculator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Pe calculator, căutați cheia etichetată „exp” sau „ x n (\displaystyle x^(n))„, sau „^”. Cu această cheie vei ridica un număr la o putere. Este practic imposibil să calculați manual gradul cu un exponent mare (de exemplu, gradul 9 15 (\displaystyle 9^(15))), dar calculatorul poate face față cu ușurință acestei sarcini. În Windows 7, calculatorul standard poate fi comutat în modul de inginerie; pentru a face acest lucru, faceți clic pe „Vizualizare” -\u003e „Inginerie”. Pentru a comuta la modul normal, faceți clic pe „Vizualizare” -\u003e „Normal”.

   • Verifică-ți răspunsul cu motor de căutare(Google sau Yandex). Folosind tasta „^” de pe tastatura computerului, introduceți expresia în motorul de căutare, care va afișa instantaneu răspunsul corect (și, eventual, va sugera expresii similare pentru studiu).

   Adunarea, scăderea, înmulțirea puterilor

   1. Puteți adăuga și scădea puteri numai dacă au aceeași bază. Dacă trebuie să adăugați puteri cu aceleași baze și exponenți, atunci puteți înlocui operația de adunare cu o operație de înmulțire. De exemplu, având în vedere expresia 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Amintiți-vă că gradul 4 5 (\displaystyle 4^(5)) poate fi reprezentat ca 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Prin urmare, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(unde 1 +1 =2). Adică numărați numărul de grade similare, apoi înmulțiți un astfel de grad și acest număr. În exemplul nostru, ridicați 4 la a cincea putere și apoi înmulțiți rezultatul cu 2. Rețineți că operația de adunare poate fi înlocuită cu o operație de înmulțire, de exemplu, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Iată și alte exemple:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții acestora (baza nu se schimbă). De exemplu, având în vedere expresia x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). În acest caz, trebuie doar să adăugați indicatorii, lăsând baza neschimbată. Prin urmare, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Iată o explicație vizuală a acestei reguli:

      Când se ridică o putere la o putere, exponenții sunt înmulțiți. De exemplu, având o diplomă. Din moment ce exponenții sunt înmulțiți, atunci (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Sensul acestei reguli este că înmulți puterea (x 2) (\displaystyle (x^(2))) pe sine de cinci ori. Ca aceasta:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Deoarece baza este aceeași, exponenții pur și simplu se adună: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Un exponent cu un exponent negativ ar trebui convertit într-o fracție (la putere inversă). Nu contează dacă nu știi ce este o reciprocitate. Dacă vi se oferă o diplomă cu un exponent negativ, de exemplu, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), scrieți această putere la numitorul fracției (puneți 1 la numărător) și faceți exponentul pozitiv. În exemplul nostru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Iată și alte exemple:

      La împărțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți (baza nu se schimbă). Operația de împărțire este opusă operației de înmulțire. De exemplu, având în vedere expresia 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Scădeți exponentul din numitor din exponentul din numărător (nu schimbați baza). Prin urmare, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Gradul la numitor poate fi scris astfel: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Amintiți-vă că o fracție este un număr (putere, expresie) cu exponent negativ.

   4. Mai jos sunt câteva expresii pentru a vă ajuta să învățați cum să rezolvați problemele de alimentare. Expresiile de mai sus acoperă materialul prezentat în această secțiune. Pentru a vedea răspunsul, evidențiați spațiul gol după semnul egal.

      Rezolvarea problemelor cu exponenți fracționari

      1. Un grad cu un exponent fracționar (de exemplu, ) este convertit într-o operație de extragere a rădăcinii.În exemplul nostru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nu contează ce număr se află în numitorul exponentului fracționar. De exemplu, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) este a patra rădăcină a lui "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Dacă exponentul este o fracție improprie, atunci un astfel de exponent poate fi descompus în două puteri pentru a simplifica soluția problemei. Nu este nimic complicat în asta - amintiți-vă doar regula pentru înmulțirea puterilor. De exemplu, având o diplomă. Transformați acel exponent într-o rădăcină al cărei exponent este egal cu numitorul exponentului fracționar și apoi ridicați acea rădăcină la exponentul egal cu numărătorul exponentului fracționar. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). În exemplul nostru:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Unele calculatoare au un buton pentru calcularea exponenților (mai întâi trebuie să introduceți baza, apoi să apăsați butonul și apoi să introduceți exponentul). Se notează ca ^ sau x^y.
      4. Amintiți-vă că orice număr este egal cu el însuși cu prima putere, de exemplu, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)În plus, orice număr înmulțit sau împărțit cu unul este egal cu el însuși, de exemplu, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)Și 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Să știți că gradul 0 0 nu există (un astfel de grad nu are soluție). Când încerci să rezolvi un astfel de grad pe un calculator sau pe un computer, vei primi o eroare. Dar amintiți-vă că orice număr la puterea lui zero este egal cu 1, de exemplu, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. ÎN matematică superioară, care operează pe numere imaginare: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Unde i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e este o constantă aproximativ egală cu 2,7; a este o constantă arbitrară. Dovada acestei egalități poate fi găsită în orice manual de matematică superioară.

      Avertizări

      • Pe măsură ce exponentul crește, valoarea acestuia crește foarte mult. Prin urmare, dacă răspunsul ți se pare greșit, de fapt se poate dovedi adevărat. Puteți verifica acest lucru prin reprezentarea grafică a oricărei funcții exponențiale, cum ar fi 2 x .

Expresii, conversie de expresii

Expresii de putere (expresii cu puteri) și transformarea lor

În acest articol, vom vorbi despre transformarea expresiilor cu puteri. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv expresii de putere, cum ar fi parantezele de deschidere, reducând termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente în mod specific expresiilor cu grade: lucrul cu baza și exponentul, utilizarea proprietăților gradelor etc.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresiile de putere?

Termenul „expresii de putere” nu se găsește practic în manualele școlare de matematică, dar apare adesea în colecții de probleme, special concepute pentru a pregăti examenul de stat unificat și OGE, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii de putere, devine clar că expresiile de putere sunt înțelese ca expresii care conțin grade în intrările lor. Prin urmare, pentru tine, poți lua următoarea definiție:

Definiție.

Expresii de putere sunt expresii care conțin puteri.

Să aducem exemple de expresii de putere. Mai mult, le vom reprezenta în funcție de modul în care se desfășoară dezvoltarea opiniilor asupra de la un grad cu indicator natural la un grad cu un indicator real.

După cum știți, mai întâi vă familiarizați cu gradul unui număr cu exponent natural, în acest stadiu primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

La clasele superioare se întorc din nou la grade. Se introduce o diplomă cu indicator rațional, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere corespunzătoare: , , și așa mai departe. În sfârșit, se consideră grade cu exponenți iraționali și expresii care îi conțin: , .

Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: mai departe variabila pătrunde în exponent și există, de exemplu, astfel de expresii 2 x 2 +1 sau . Și după ce ne-am familiarizat cu, încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2 lgx −5 x lgx.

Deci, ne-am dat seama ce sunt expresiile puterii. În continuare, vom învăța cum să le transformăm.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

Cu expresii de putere, puteți efectua oricare dintre transformările de bază de identitate ale expresiilor. De exemplu, puteți extinde paranteze, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți adăuga termeni similari și așa mai departe. Desigur, în acest caz este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Să dăm exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 ·(4 2 −12) .

Soluţie.

După ordinea acțiunilor, mai întâi efectuăm acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea lui 4 2 cu valoarea sa 16 (vezi dacă este necesar), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12=4 . Avem 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

În expresia rezultată, înlocuim puterea lui 2 3 cu valoarea ei 8 , după care calculăm produsul 8·4=32 . Aceasta este valoarea dorită.

Asa de, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Răspuns:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Exemplu.

Simplificați expresiile puterii 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Soluţie.

Evident, această expresie conține termeni similari 3 · a 4 · b − 7 și 2 · a 4 · b − 7 , și îi putem reduce: .

Răspuns:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplu.

Exprimați o expresie cu puteri ca produs.

Soluţie.

Pentru a face față sarcinii, permite reprezentarea numărului 9 ca o putere a 3 2 și utilizarea ulterioară a formulei de înmulțire abreviată, diferența de pătrate:

Răspuns:

Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente expresiilor puterii. În continuare, le vom analiza.

Lucrul cu baza și exponent

Există grade, în baza și/sau indicatorul cărora nu sunt doar numere sau variabile, ci câteva expresii. Ca exemplu, să scriem (2+0.3 7) 5−3.7 și (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Când lucrați cu astfel de expresii, este posibil să înlocuiți atât expresia din baza gradului, cât și expresia din indicator cu o expresie identică egală pe DPV a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, conform regulilor cunoscute de noi, putem converti separat baza gradului și separat - indicatorul. Este clar că în urma acestei transformări se obține o expresie identic egală cu cea inițială.

Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte scopuri de care avem nevoie. De exemplu, în expresia puterii (2+0,3 7) 5−3,7 menționată mai sus, puteți efectua operații cu numere în bază și exponent, ceea ce vă va permite să mergeți la puterea lui 4,1 1,3. Și după ce deschidem parantezele și aducem termeni similari în baza gradului (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) obținem o expresie a puterii de o formă mai simplă a 2·(x+1). ).

Utilizarea proprietăților puterii

Unul dintre instrumentele principale pentru transformarea expresiilor cu puteri sunt egalitățile care reflectă . Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și numere reale arbitrare r și s, sunt valabile următoarele proprietăți de putere:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numere naturale m și n egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată nu numai pentru a pozitivă , ci și pentru cele negative și pentru a=0 .

La școală, atenția principală în transformarea expresiilor puterii este concentrată tocmai pe capacitatea de a alege proprietate potrivităși aplicați-l corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce vă permite să utilizați proprietățile gradelor fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele de grade - gama de valori acceptabile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele iau numai valori pozitive pe el, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile de grade. În general, trebuie să vă întrebați în mod constant dacă este posibil să aplicați vreo proprietate a gradelor în acest caz, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a DPV și la alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul transformarea expresiilor folosind proprietățile gradelor. Aici ne limităm la câteva exemple simple.

Exemplu.

Exprimați expresia a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ca o putere cu baza a .

Soluţie.

Mai întâi, transformăm cel de-al doilea factor (a 2) −3 prin proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. În acest caz, expresia puterii inițiale va lua forma a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Răspuns:

a 2,5 (a 2) -3: a -5,5 \u003d a 2.

Proprietățile puterii sunt folosite atunci când se transformă expresiile de putere atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei puterii.

Soluţie.

Egalitatea (a·b) r =a r ·b r , aplicată de la dreapta la stânga, vă permite să treceți de la expresia originală la produsul formei și mai departe. Și atunci când înmulțiți puteri cu aceeași bază, indicatorii se adună: .

A fost posibil să se efectueze transformarea expresiei originale într-un alt mod:

Răspuns:

.

Exemplu.

Având în vedere o expresie de putere a 1,5 −a 0,5 −6 , introduceți o nouă variabilă t=a 0,5 .

Soluţie.

Gradul a 1,5 poate fi reprezentat ca un 0,5 3 și mai departe pe baza proprietății gradului în gradul (a r) s =a r s aplicat de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3 . Prin urmare, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Acum este ușor să introducem o nouă variabilă t=a 0.5 , obținem t 3 −t−6 .

Răspuns:

t 3 −t−6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

Expresiile de putere pot conține fracții cu puteri sau pot reprezenta astfel de fracții. Oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel sunt pe deplin aplicabile acestor fracții. Adică, fracțiile care conțin grade pot fi reduse, reduse la un nou numitor, se pot lucra separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra cuvintele de mai sus, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Soluţie.

Această expresie a puterii este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător, deschidem parantezele și simplificăm expresia obținută după aceea folosind proprietățile puterilor, iar la numitor prezentăm termeni similari:

Și schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: .

Răspuns:

.

Reducerea puterilor de conținut ale fracțiilor la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea la un nou numitor fracții raționale. În același timp, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. La efectuarea acestei acțiuni, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a DPV. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplu.

Aduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) la numitor.

Soluţie.

a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama ce factor suplimentar ajută la obținerea rezultatului dorit. Acesta este un factor a 0,3 deoarece a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Rețineți că în intervalul de valori acceptabile ale variabilei a (aceasta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive), gradul a 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul fracției date. prin acest factor suplimentar:

b) Privind mai atent la numitor, constatăm că

iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și , adică . Și acesta este noul numitor la care trebuie să aducem fracția originală.

Așa că am găsit un factor suplimentar. Expresia nu dispare în intervalul de valori acceptabile ale variabilelor x și y, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu acesta:

Răspuns:

A) , b) .

De asemenea, nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin grade: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un anumit număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt reduse.

Exemplu.

Reduceți fracția: a) , b).

Soluţie.

a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este egal cu 15. De asemenea, evident, puteți reduce cu x 0,5 +1 și cu . Iată ce avem:

b) În acest caz, aceiași factori din numărător și numitor nu sunt vizibili imediat. Pentru a le obține, trebuie să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în descompunerea numitorului în factori conform formulei diferenței de pătrate:

Răspuns:

A)

b) .

Reducerea fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt utilizate în principal pentru a efectua operații pe fracții. Acțiunile sunt efectuate conform regulilor cunoscute. La adunarea (scăderea) fracțiilor, acestea sunt reduse la un numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, iar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu reciproca ei.

Exemplu.

Urmareste pasii .

Soluţie.

În primul rând, scădem fracțiile dintre paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este , apoi scădeți numărătorii:

Acum înmulțim fracțiile:

Evident, este posibilă o reducere cu puterea x 1/2, după care avem .

De asemenea, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: .

Răspuns:

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Soluţie.

Evident, această fracție poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, aceasta dă fracția . Este clar că trebuie făcut altceva cu puterile lui x. Pentru a face acest lucru, convertim fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a folosi proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze: . Și la sfârșitul procesului, trecem de la ultimul produs la fracțiune.

Răspuns:

.

Și adăugăm că este posibil și în multe cazuri de dorit să se transfere factori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător prin schimbarea semnului exponentului. Asemenea transformări simplifică adesea actiunile urmatoare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

Adesea în expresiile în care sunt necesare unele transformări, alături de grade cu exponenți fracționari, există și rădăcini. Pentru a converti o astfel de expresie în genul potrivit, în cele mai multe cazuri este suficient să mergi doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, deoarece este mai convenabil să lucrezi cu grade, de obicei se mută de la rădăcini la grade. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu grade fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale (am discutat acest lucru în detaliu în articol, trecerea de la rădăcini la puteri și invers După ce se familiarizează cu gradul cu un exponent rațional, se introduce un grad cu un indicator irațional, ceea ce face posibil să se vorbească despre un grad cu un indicator real arbitrar. În această etapă, scoala incepe sa studieze functie exponentiala , care este dat analitic de grad, în baza căruia există un număr, iar în indicator - o variabilă. Așadar, ne confruntăm cu expresii de putere care conțin numere în baza gradului, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, apare nevoia de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor de tipul indicat trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeȘi inegalități exponențiale, iar aceste transformări sunt destul de simple. În marea majoritate a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează mai ales introducerea unei noi variabile în viitor. Ecuația ne va permite să le demonstrăm 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

În primul rând, exponenții, în ai căror exponenți se găsește suma unei variabile (sau expresii cu variabile) și a unui număr, sunt înlocuiți cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

În continuare, ambele părți ale egalității sunt împărțite prin expresia 7 2 x , care ia doar valori pozitive pe variabila ODZ x pentru ecuația originală (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest fel, nu vorbim despre acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ):

Acum fracțiile cu puteri sunt anulate, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, ceea ce duce la ecuația , care este echivalent cu . Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice

I. V. Boikov, L. D. Romanova Culegere de sarcini pentru pregătirea pentru examen. Partea 1. Penza 2003.

Convenabil și simplu calculator online fracții cu soluție detaliată Pot fi:

• Adunați, scădeți, înmulțiți și împărțiți fracții online,
• A primi solutie la cheie fracții cu o imagine și este convenabil să o transferați.



Rezultatul rezolvării fracțiilor va fi aici...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Semnul fracției „/” + - * :
_terge Șterge
Calculatorul nostru de fracțiuni online are o introducere rapidă. Pentru a obține soluția fracțiilor, de exemplu, scrieți 1/2+2/7 în calculator și apăsați butonul „ rezolva fractii„. Calculatorul vă va scrie rezolvarea detaliată a fracțiilor si problema imagine prietenoasă cu copierea.

Caracterele folosite pentru scrierea în calculator

Puteți introduce un exemplu pentru o soluție atât de la tastatură, cât și folosind butoanele.

Caracteristicile calculatorului de fracții online

Calculatorul de fracții poate efectua numai operații cu 2 fracții simple. Ele pot fi fie corecte (numărătorul este mai mic decât numitorul) fie incorecte (numărătorul este mai mare decât numitorul). Numerele din numărător și numitor nu pot fi negative și mai mari decât 999.
Calculatorul nostru online rezolvă fracții și aduce răspunsul la forma corectă- reduce fracția și evidențiază întreaga parte, dacă este necesar.

Dacă trebuie să rezolvați fracții negative, utilizați doar proprietățile minus. Când înmulțiți și împărțiți fracțiile negative, minus cu minus dă plus. Adică, produsul și diviziunea fracțiilor negative este egal cu produsul și diviziunea acelorași pozitive. Dacă o fracție este negativă atunci când este înmulțită sau împărțită, atunci pur și simplu eliminați minusul și apoi adăugați-l la răspuns. Când adăugați fracții negative, rezultatul va fi același ca și cum ați adăuga aceleași fracții pozitive. Dacă adăugați o fracție negativă, atunci aceasta este la fel cu scăderea aceleiași fracțiuni pozitive.
La scăderea fracțiilor negative, rezultatul va fi același ca și cum ar fi fost inversate și făcute pozitive. Adică, un minus cu un minus în acest caz dă un plus, iar suma nu se schimbă dintr-o rearanjare a termenilor. Folosim aceleași reguli atunci când scădem fracții, dintre care una este negativă.

Pentru a rezolva fracții mixte (fracții în care întreaga parte este evidențiată), pur și simplu conduceți întreaga parte într-o fracție. Pentru a face acest lucru, înmulțiți partea întreagă cu numitorul și adăugați la numărător.

Dacă trebuie să rezolvați 3 sau mai multe fracții online, atunci ar trebui să le rezolvați una câte una. Mai întâi, numărați primele 2 fracții, apoi rezolvați următoarea fracție cu răspunsul primit și așa mai departe. Efectuați operații pe rând pentru 2 fracții, iar la final veți obține răspunsul corect.

O expresie literală (sau o expresie cu variabile) este o expresie matematică care constă din numere, litere și semne ale operațiilor matematice. De exemplu, următoarea expresie este literală:

a+b+4

Folosind expresii literale, puteți scrie legi, formule, ecuații și funcții. Abilitatea de a manipula expresii literale este cheia unei bune cunoștințe de algebră și matematică superioară.

Orice problemă serioasă la matematică se rezumă la rezolvarea ecuațiilor. Și pentru a putea rezolva ecuații, trebuie să poți lucra cu expresii literale.

Pentru a lucra cu expresii literale, trebuie să studiați bine aritmetica de bază: adunare, scădere, înmulțire, împărțire, legile de bază ale matematicii, fracții, acțiuni cu fracții, proporții. Și nu doar pentru a studia, ci pentru a înțelege bine.

Conținutul lecției

Variabile

Literele care sunt conținute în expresii literale sunt numite variabile. De exemplu, în expresia a+b+ 4 variabile sunt litere AȘi b. Dacă în locul acestor variabile înlocuim orice numere, atunci expresia literală a+b+ 4 se va transforma într-o expresie numerică, a cărei valoare poate fi găsită.

Numerele care sunt înlocuite cu variabile sunt numite valori variabile. De exemplu, să schimbăm valorile variabilelor AȘi b. Utilizați semnul egal pentru a modifica valorile

a = 2, b = 3

Am schimbat valorile variabilelor AȘi b. variabil A a atribuit o valoare 2 , variabil b a atribuit o valoare 3 . Ca urmare, expresia literală a+b+4 se convertește într-o expresie numerică normală 2+3+4 a căror valoare poate fi găsită:

Când variabilele sunt înmulțite, acestea sunt scrise împreună. De exemplu, intrarea abînseamnă același lucru cu intrarea a x b. Dacă înlocuim în loc de variabile AȘi b numere 2 Și 3 , apoi obținem 6

Împreună, puteți scrie și înmulțirea unui număr cu o expresie între paranteze. De exemplu, în loc de a×(b + c) poate fi scris a(b + c). Aplicând legea distributivă a înmulțirii obținem a(b + c)=ab+ac.

Cote

În expresiile literale, puteți găsi adesea o notație în care un număr și o variabilă sunt scrise împreună, de exemplu 3a. De fapt, aceasta este o prescurtare pentru înmulțirea numărului 3 cu o variabilă. Ași această intrare arată ca 3×a .

Cu alte cuvinte, expresia 3a este produsul dintre numărul 3 și variabila A. Număr 3 în această lucrare se numește coeficient. Acest coeficient arată de câte ori va fi mărită variabila A. Această expresie poate fi citită ca „ A de trei ori sau de trei ori A", sau "incrementează valoarea variabilei A de trei ori”, dar cel mai adesea citit ca „trei A«

De exemplu, dacă variabila A este egal cu 5 , apoi valoarea expresiei 3a va fi egal cu 15.

3 x 5 = 15

vorbind limbaj simplu, coeficientul este numărul care vine înaintea literei (înaintea variabilei).

Pot exista mai multe litere, de exemplu 5abc. Aici coeficientul este numărul 5 . Acest coeficient arată că produsul variabilelor abc crește de cinci ori. Această expresie poate fi citită ca „ abc de cinci ori” sau „mărește valoarea expresiei abc de cinci ori” sau „de cinci abc«.

Dacă în loc de variabile abcînlocuiți numerele 2, 3 și 4, apoi valoarea expresiei 5abc va fi egal cu 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Vă puteți imagina mental cum au fost înmulțite mai întâi numerele 2, 3 și 4, iar valoarea rezultată a crescut de cinci ori:

Semnul coeficientului se referă numai la coeficient și nu se aplică variabilelor.

Luați în considerare expresia −6b. Minus în fața coeficientului 6 , se aplică numai coeficientului 6 , și nu se aplică variabilei b. Înțelegerea acestui fapt vă va permite să nu faceți greșeli în viitor cu semnele.

Găsiți valoarea expresiei −6b la b = 3.

−6b −6×b. Pentru claritate, scriem expresia −6bîn formă extinsă și înlocuiți valoarea variabilei b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii −6b la b = −5

Să scriem expresia −6bîn formă extinsă

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii −5a+b la a = 3Și b = 2

−5a+b este forma scurtă pentru −5 × a + b, prin urmare, pentru claritate, scriem expresia −5×a+bîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor AȘi b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Uneori literele sunt scrise fără coeficient, de exemplu A sau ab. În acest caz, coeficientul este unul:

dar unitatea nu este în mod tradițional scrisă, așa că ei scriu doar A sau ab

Dacă înaintea literei este un minus, atunci coeficientul este un număr −1 . De exemplu, expresia -A de fapt arata ca −1a. Acesta este produsul dintre minus unu și variabilă A. A iesit asa:

−1 × a = −1a

Aici se află un mic truc. În expresie -A minus înainte de variabilă A se referă de fapt la „unitatea invizibilă” și nu la variabilă A. Prin urmare, atunci când rezolvați probleme, ar trebui să fiți atenți.

De exemplu, având în vedere expresia -Ași ni se cere să îi găsim valoarea la a = 2, apoi la școală am înlocuit un deuce în loc de o variabilă Ași obțineți un răspuns −2 , fără a se concentra cu adevărat pe cum a ieșit. De fapt, a existat o înmulțire a minus unu cu un număr pozitiv 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Dacă este dată o expresie -Ași se cere să-și găsească valoarea la a = −2, apoi înlocuim −2 în loc de o variabilă A

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Pentru a evita greșelile, la început unitățile invizibile pot fi scrise explicit.

Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii abc la a=2 , b=3Și c=4

Expresie abc 1×a×b×c. Pentru claritate, scriem expresia abc a, bȘi c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Exemplul 5 Găsiți valoarea unei expresii abc la a=−2 , b=−3Și c=−4

Să scriem expresia abcîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor a, bȘi c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Exemplul 6 Găsiți valoarea unei expresii − abc la a=3, b=5 și c=7

Expresie − abc este forma scurtă pentru −1×a×b×c. Pentru claritate, scriem expresia − abcîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor a, bȘi c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Exemplul 7 Găsiți valoarea unei expresii − abc la a=−2 , b=−4 și c=−3

Să scriem expresia − abc extins:

−abc = −1 × a × b × c

Înlocuiți valoarea variabilelor A , bȘi c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Cum se determină coeficientul

Uneori se cere rezolvarea unei probleme în care se cere determinarea coeficientului unei expresii. În principiu, această sarcină este foarte simplă. Este suficient să poți înmulți corect numerele.

Pentru a determina coeficientul dintr-o expresie, trebuie să înmulțiți separat numerele incluse în această expresie și să înmulțiți separat literele. Factorul numeric rezultat va fi coeficientul.

Exemplul 1 7m×5a×(−3)×n

Expresia constă din mai mulți factori. Acest lucru poate fi văzut clar dacă expresia este scrisă în formă extinsă. Adică funcționează 7mȘi 5a scrie in formular 7×mȘi 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Aplicăm legea asociativă a înmulțirii, care ne permite să înmulțim factorii în orice ordine. Și anume, înmulțiți separat numerele și înmulțiți separat literele (variabile):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105om

Coeficientul este −105 . După finalizare, partea de litere este de preferință aranjată în ordine alfabetică:

-105 dimineața

Exemplul 2 Determinați coeficientul în expresia: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Coeficientul este 6.

Exemplul 3 Determinați coeficientul în expresia:

Să înmulțim separat numerele și literele:

Coeficientul este −1. Vă rugăm să rețineți că unitatea nu este înregistrată, deoarece coeficientul 1 nu este de obicei înregistrat.

Aceste sarcini aparent simple pot face o glumă foarte crudă cu noi. Se dovedește adesea că semnul coeficientului este setat incorect: fie este omis un minus, fie, dimpotrivă, este stabilit în zadar. Pentru a evita aceste greșeli enervante, trebuie studiat la un nivel bun.

Termeni în expresii literale

Când adăugați mai multe numere, obțineți suma acelor numere. Numerele care se adună se numesc termeni. Pot exista mai mulți termeni, de exemplu:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Când o expresie constă din termeni, este mult mai ușor să o calculezi, deoarece este mai ușor să adunăm decât să scădem. Dar expresia poate conține nu numai adunare, ci și scădere, de exemplu:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

În această expresie, numerele 3 și 5 se scad, nu se adună. Dar nimic nu ne împiedică să înlocuim scăderea cu adunarea. Apoi obținem din nou o expresie formată din termeni:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nu contează că numerele -3 și -5 sunt acum cu semnul minus. Principalul lucru este că toate numerele din această expresie sunt conectate prin semnul de adunare, adică expresia este o sumă.

Ambele expresii 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Și 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) sunt egale cu aceeași valoare - minus unu

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Astfel, valoarea expresiei nu va avea de suferit din cauza faptului că înlocuim undeva scăderea cu adunarea.

De asemenea, puteți înlocui scăderea cu adunarea în expresiile literale. De exemplu, luați în considerare următoarea expresie:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Pentru orice valori ale variabilelor a, b, c, dȘi s expresii 7a + 6b - 3c + 2d - 4s Și 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) va fi egală cu aceeași valoare.

Trebuie să fii pregătit pentru faptul că un profesor de la școală sau un profesor de la un institut poate numi termeni chiar și acele numere (sau variabile) care nu sunt ele.

De exemplu, dacă diferența este scrisă pe tablă a-b, atunci profesorul nu va spune asta A este minuend și b- deductibil. El va numi ambele variabile una cuvânt comun — termeni. Și totul pentru că expresia formei a-b matematicianul vede cum suma a + (−b). În acest caz, expresia devine o sumă, iar variabilele AȘi (−b) devin componente.

Termeni similari

Termeni similari sunt termeni care au aceeași parte de literă. De exemplu, luați în considerare expresia 7a + 6b + 2a. Termeni 7aȘi 2a au aceeași parte de literă - variabilă A. Deci termenii 7aȘi 2a Sunt asemănătoare.

De obicei, termeni similari sunt adăugați pentru a simplifica o expresie sau pentru a rezolva o ecuație. Această operație se numește reducerea termenilor similari.

Pentru a aduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestor termeni și să înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei.

De exemplu, dăm termeni similari în expresie 3a + 4a + 5a. În acest caz, toți termenii sunt similari. Adăugăm coeficienții lor și înmulțim rezultatul cu partea comună cu literă - cu variabilă A

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Astfel de termeni sunt de obicei dați în minte și rezultatul este scris imediat:

3a + 4a + 5a = 12a

De asemenea, puteți argumenta astfel:

Au fost adăugate 3 variabile a, încă 4 variabile a și încă 5 variabile a. Ca rezultat, am obținut 12 variabile a

Să luăm în considerare câteva exemple de reducere a termenilor similari. Dat fiind Acest subiect foarte important, la început vom scrie în detaliu fiecare lucru mic. În ciuda faptului că aici totul este foarte simplu, majoritatea oamenilor fac multe greșeli. Mai ales din cauza neatenției, nu a ignoranței.

Exemplul 1 3a + 2a + 6a + 8 A

Adăugăm coeficienții din această expresie și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

proiecta (3 + 2 + 6 + 8)×a nu poți nota, așa că vom nota imediat răspunsul

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Exemplul 2 Aduceți termeni similari în expresie 2a+a

Al doilea mandat A scris fără coeficient, dar de fapt este precedat de un coeficient 1 , pe care nu o vedem din cauza faptului că nu este înregistrată. Deci expresia arată astfel:

2a + 1a

Acum prezentăm termeni similari. Adică, adăugăm coeficienții și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Să scriem soluția pe scurt:

2a + a = 3a

2a+a, puteți argumenta în alt mod:

Exemplul 3 Aduceți termeni similari în expresie 2a - a

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

2a + (−a)

Al doilea mandat (−a) scris fără coeficient, dar de fapt pare (−1a). Coeficient −1 din nou invizibil datorită faptului că nu este înregistrat. Deci expresia arată astfel:

2a + (−1a)

Acum prezentăm termeni similari. Adăugăm coeficienții și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

De obicei scris mai scurt:

2a − a = a

Aducerea unor termeni asemănători în expresie 2a−a Puteți argumenta și în alt mod:

Au fost 2 variabile a, scăzând o variabilă a, ca urmare a fost o singură variabilă a

Exemplul 4 Aduceți termeni similari în expresie 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Acum prezentăm termeni similari. Adăugăm coeficienții și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Să scriem soluția pe scurt:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Există expresii care conțin mai multe diverse grupuri termeni similari. De exemplu, 3a + 3b + 7a + 2b. Pentru astfel de expresii se aplică aceleași reguli ca și pentru restul, și anume, adăugarea coeficienților și înmulțirea rezultatului cu partea comună a literei. Dar pentru a evita greșelile, este convenabil să subliniați diferite grupuri de termeni cu linii diferite.

De exemplu, în expresia 3a + 3b + 7a + 2b acei termeni care conțin o variabilă A, poate fi subliniat cu o singură linie și acei termeni care conțin o variabilă b, poate fi subliniat cu două rânduri:

Acum putem aduce condiții similare. Adică, adăugați coeficienții și înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei. Acest lucru trebuie făcut pentru ambele grupuri de termeni: pentru termeni care conțin o variabilă A iar pentru termenii care conțin variabila b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Din nou, repetăm, expresia este simplă și termeni similari pot fi dați în minte:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Exemplul 5 Aduceți termeni similari în expresie 5a - 6a - 7b + b

Înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Subliniați termeni similari cu linii diferite. Termeni care conțin variabile A subliniați cu un rând, iar termenii conținut sunt variabile b, subliniat cu două rânduri:

Acum putem aduce condiții similare. Adică, adăugați coeficienții și înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Dacă expresia conține numere obișnuite fără factori alfabetici, atunci acestea sunt adăugate separat.

Exemplul 6 Aduceți termeni similari în expresie 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Să prezentăm termeni similari. Numerele −5 Și 7 nu au factori literali, dar sunt termeni similari - trebuie doar să-i adunați. Și termenul 2b va rămâne neschimbat, deoarece este singurul din această expresie care are un factor de litere b,și nu există nimic cu care să-l adaugi:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Să scriem soluția pe scurt:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termenii pot fi ordonați astfel încât acei termeni care au aceeași parte de literă să fie localizați în aceeași parte a expresiei.

Exemplul 7 Aduceți termeni similari în expresie 5t+2x+3x+5t+x

Deoarece expresia este suma mai multor termeni, acest lucru ne permite să o evaluăm în orice ordine. Prin urmare, termenii care conțin variabila t, se pot scrie la începutul expresiei, iar termenii care conțin variabila X la sfârșitul expresiei:

5t+5t+2x+3x+x

Acum putem adăuga termeni similari:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Să scriem soluția pe scurt:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Suma numerelor opuse este zero. Această regulă funcționează și pentru expresiile literale. Dacă expresia conține aceiași termeni, dar cu semne opuse, atunci puteți scăpa de ei în stadiul de reducere a termenilor similari. Cu alte cuvinte, eliminați-le din expresie deoarece suma lor este zero.

Exemplul 8 Aduceți termeni similari în expresie 3t − 4t − 3t + 2t

Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Termeni 3tȘi (−3t) sunt opuse. Suma termenilor opuși este egală cu zero. Dacă eliminăm acest zero din expresie, atunci valoarea expresiei nu se va modifica, așa că o vom elimina. Și îl vom elimina prin ștergerea obișnuită a termenilor 3tȘi (−3t)

Ca rezultat, vom avea expresia (−4t) + 2t. În această expresie, puteți adăuga termeni similari și puteți obține răspunsul final:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Să scriem soluția pe scurt:

Simplificarea expresiei

„simplificați expresia” iar următoarea este expresia de simplificat. Simplificați expresiaînseamnă să o faci mai simplă și mai scurtă.

De fapt, ne-am ocupat deja de simplificarea expresiilor la reducerea fracțiilor. După reducere, fracția a devenit mai scurtă și mai ușor de citit.

Considera exemplul următor. Simplificați expresia.

Această sarcină poate fi înțeleasă literal după cum urmează: „Fă tot ce poți face cu această expresie, dar simplifică-l” .

În acest caz, puteți reduce fracția, și anume, împărțiți numărătorul și numitorul fracției la 2:

Ce altceva se mai poate face? Puteți calcula fracția rezultată. Apoi obținem zecimala 0,5

Ca rezultat, fracția a fost simplificată la 0,5.

Prima întrebare pe care să ți-o pui atunci când rezolvi astfel de probleme ar trebui să fie "ce se poate face?" . Pentru că există lucruri pe care le poți face și sunt lucruri pe care nu le poți face.

O alta punct important Lucrul de reținut este că valoarea unei expresii nu trebuie să se schimbe după ce expresia este simplificată. Să revenim la expresie. Această expresie este o diviziune care poate fi efectuată. După efectuarea acestei împărțiri, obținem valoarea acestei expresii, care este egală cu 0,5

Dar am simplificat expresia și am obținut o nouă expresie simplificată. Valoarea noii expresii simplificate este încă 0,5

Dar am încercat și să simplificăm expresia calculând-o. Ca urmare, răspunsul final a fost 0,5.

Astfel, indiferent de modul în care simplificăm expresia, valoarea expresiilor rezultate este tot 0,5. Aceasta înseamnă că simplificarea a fost efectuată corect în fiecare etapă. Acesta este ceea ce trebuie să ne străduim atunci când simplificăm expresii - sensul expresiei nu ar trebui să sufere de pe urma acțiunilor noastre.

Este adesea necesară simplificarea expresiilor literale. Pentru ei se aplică aceleași reguli de simplificare ca și pentru expresiile numerice. Puteți efectua orice acțiune validă, atâta timp cât valoarea expresiei nu se modifică.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1 Simplificați expresia 5,21s × t × 2,5

Pentru a simplifica această expresie, puteți înmulți numerele separat și înmulți literele separat. Această sarcină este foarte asemănătoare cu cea pe care am considerat-o când am învățat să determinăm coeficientul:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025

Deci expresia 5,21s × t × 2,5 simplificat la 13.025st.

Exemplul 2 Simplificați expresia −0,4×(−6,3b)×2

A doua lucrare (−6.3b) poate fi tradus într-o formă pe care o putem înțelege, și anume, scrisă sub forma ( −6,3)×b , apoi înmulțiți separat numerele și înmulțiți separat literele:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Deci expresia −0,4×(−6,3b)×2 simplificat la 5.04b

Exemplul 3 Simplificați expresia

Să scriem această expresie mai detaliat pentru a vedea clar unde sunt numerele și unde sunt literele:

Acum înmulțim numerele separat și înmulțim literele separat:

Deci expresia simplificat la −abc. Această soluție poate fi scrisă mai scurt:

La simplificarea expresiilor, fracțiile pot fi reduse în procesul de rezolvare, și nu chiar la sfârșit, așa cum am făcut cu fracțiile obișnuite. De exemplu, dacă în cursul rezolvării întâlnim o expresie de forma , atunci nu este deloc necesar să calculăm numărătorul și numitorul și să facem ceva de genul acesta:

O fracție poate fi redusă prin alegerea unui factor la numărător și la numitor și reducând acești factori cu cel mai mare divizor comun. Cu alte cuvinte, folosiți , în care nu descriem în detaliu în ce au fost împărțite numărătorul și numitorul.

De exemplu, la numărător, factorul 12 și la numitor, factorul 4 poate fi redus cu 4. Tinem cont de cele patru, iar împărțind 12 și 4 la aceste patru, scriem răspunsurile lângă aceste numere, având le-a bifat anterior

Acum puteți înmulți factorii mici rezultați. În acest caz, nu sunt multe dintre ele și le poți înmulți în minte:

În timp, s-ar putea să descoperi că atunci când rezolvi o anumită problemă, expresiile încep să „se îngrașă”, așa că este indicat să te obișnuiești cu calculele rapide. Ceea ce poate fi calculat în minte trebuie calculat în minte. Ceea ce poate fi tăiat rapid trebuie tăiat rapid.

Exemplul 4 Simplificați expresia

Deci expresia simplificat la

Exemplul 5 Simplificați expresia

Înmulțim numerele separat și literele separat:

Deci expresia simplificat la mn.

Exemplul 6 Simplificați expresia

Să scriem această expresie mai detaliat pentru a vedea clar unde sunt numerele și unde sunt literele:

Acum înmulțim separat numerele și literele separat. Pentru comoditatea calculelor, fracția zecimală -6,4 și numărul mixt pot fi convertite în fracții obișnuite:

Deci expresia simplificat la

Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mult mai scurt. Va arata asa:

Exemplul 7 Simplificați expresia

Înmulțim numerele separat și literele separat. Pentru ușurința calculului, numărul mixt și zecimale 0,1 și 0,6 pot fi convertite în fracții obișnuite:

Deci expresia simplificat la abcd. Dacă sări peste detalii, atunci această soluție poate fi scrisă mult mai scurt:

Observați cum a fost redusă fracția. Multiplicatorii noi, care se obțin prin reducerea multiplicatorilor anteriori, pot fi, de asemenea, reduse.

Acum hai să vorbim despre ce să nu faci. La simplificarea expresiilor, este strict interzisă înmulțirea numerelor și literelor dacă expresia este o sumă și nu un produs.

De exemplu, dacă doriți să simplificați expresia 5a + 4b, atunci nu se poate scrie astfel:

Acest lucru este echivalent cu faptul că dacă ni s-ar cere să adunăm două numere și le-am înmulți în loc să le adunăm.

La înlocuirea oricăror valori ale variabilelor AȘi b expresie 5a+4b se transformă într-o expresie numerică simplă. Să presupunem variabilele AȘi b au urmatoarele semnificatii:

a = 2, b = 3

Atunci valoarea expresiei va fi 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Mai întâi se efectuează înmulțirea, apoi se adună rezultatele. Și dacă am încerca să simplificăm această expresie prin înmulțirea numerelor și literelor, am obține următoarele:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Se dovedește un sens complet diferit al expresiei. În primul caz s-a dovedit 22 , în al doilea caz 120 . Aceasta înseamnă că simplificarea expresiei 5a + 4b a fost efectuat incorect.

După simplificarea expresiei, valoarea acesteia nu ar trebui să se schimbe cu aceleași valori ale variabilelor. Dacă, la înlocuirea oricăror valori variabile în expresia originală, se obține o valoare, atunci după simplificarea expresiei, ar trebui să se obțină aceeași valoare ca înainte de simplificare.

Cu expresie 5a + 4b de fapt nimic nu se poate face. Nu devine mai ușor.

Dacă expresia conține termeni similari, atunci aceștia pot fi adăugați dacă scopul nostru este de a simplifica expresia.

Exemplul 8 Simplificați expresia 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

sau mai scurt: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Deci expresia 0,3a−0,4a+a simplificat la 0,9a

Exemplul 9 Simplificați expresia −7,5a − 2,5b + 4a

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

sau mai scurt −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

termen (−2,5b) a rămas neschimbat, deoarece nu avea cu ce să-l plieze.

Exemplul 10 Simplificați expresia

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

Coeficientul a fost pentru comoditatea calculului.

Deci expresia simplificat la

Exemplul 11. Simplificați expresia

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

Deci expresia simplificat la .

ÎN acest exemplu ar fi mai logic să adăugați mai întâi primul și ultimul coeficient. În acest caz, vom obține o soluție scurtă. Ar arata asa:

Exemplul 12. Simplificați expresia

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

Deci expresia simplificat la .

Termenul a rămas neschimbat, deoarece nu era nimic de adăugat.

Această soluție poate fi scrisă mult mai scurt. Va arata asa:

Soluția scurtă omite pașii de înlocuire a scăderii cu adunarea și o înregistrare detaliată a modului în care fracțiile au fost reduse la un numitor comun.

O altă diferență este că în decizie detaliată răspunsul arată ca , dar pe scurt ca . De fapt, este aceeași expresie. Diferența este că, în primul caz, scăderea este înlocuită cu adunarea, deoarece la început când am scris soluția în vedere detaliată, am înlocuit scăderea cu adunarea ori de câte ori este posibil, iar această înlocuire a fost păstrată pentru răspuns.

Identități. Expresii identice egale

După ce am simplificat orice expresie, aceasta devine mai simplă și mai scurtă. Pentru a verifica dacă o expresie este simplificată corect, este suficient să înlocuiți orice valori ale variabilelor mai întâi în expresia anterioară, care urma să fie simplificată, și apoi în cea nouă, care a fost simplificată. Dacă valoarea din ambele expresii este aceeași, atunci expresia este simplificată corect.

Considera cel mai simplu exemplu. Să fie necesar pentru a simplifica expresia 2a × 7b. Pentru a simplifica această expresie, puteți înmulți separat numerele și literele:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Să verificăm dacă am simplificat corect expresia. Pentru a face acest lucru, înlocuiți orice valoare a variabilelor AȘi b mai întâi la prima expresie, care trebuia simplificată, iar apoi la a doua, care a fost simplificată.

Lasă valorile variabilelor A , b va fi după cum urmează:

a = 4, b = 5

Înlocuiește-le în prima expresie 2a × 7b

Acum să substituim aceleași valori ale variabilelor în expresia care a rezultat în urma simplificării 2a×7b, și anume în expresia 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Vedem asta la a=4Și b=5 valoarea primei expresii 2a×7bși valoarea celei de-a doua expresii 14ab egal

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Același lucru se va întâmpla pentru orice alte valori. De exemplu, lasa a=1Și b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Astfel, pentru orice valoare a variabilelor, expresiile 2a×7bȘi 14ab sunt egale cu aceeași valoare. Astfel de expresii sunt numite identic egale.

Conchidem că între expresii 2a×7bȘi 14ab puteți pune un semn egal, deoarece sunt egale cu aceeași valoare.

2a × 7b = 14ab

O egalitate este orice expresie care este unită printr-un semn egal (=).

Și egalitatea formei 2a×7b = 14ab numit identitate.

O identitate este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor.

Alte exemple de identități:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Da, legile matematicii pe care le-am studiat sunt identități.

Egalitățile numerice adevărate sunt și identități. De exemplu:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Rezolvarea unei probleme complexe pentru a vă facilita calculele, expresie compusăînlocuită cu o expresie mai simplă, identic egală cu cea anterioară. Un astfel de înlocuitor se numește transformare identică a expresiei sau pur și simplu conversia expresiei.

De exemplu, am simplificat expresia 2a × 7b, și obțineți o expresie mai simplă 14ab. Această simplificare poate fi numită transformarea identităţii.

Puteți găsi adesea o sarcină care spune „demonstrează că egalitatea este identitate” iar apoi se dă egalitatea de demonstrat. De obicei, această egalitate constă din două părți: părțile din stânga și din dreapta ale egalității. Sarcina noastră este să efectuăm transformări identice cu una dintre părțile egalității și să obținem cealaltă parte. Sau efectuați transformări identice cu ambele părți ale egalității și asigurați-vă că ambele părți ale egalității conțin aceleași expresii.

De exemplu, să demonstrăm că egalitatea 0,5a × 5b = 2,5ab este o identitate.

Simplificați partea stângă a acestei egalități. Pentru a face acest lucru, înmulțiți separat numerele și literele:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Ca rezultat al unei mici transformări identice, partea stanga egalitatea a devenit egală cu partea dreaptă a egalității. Deci am demonstrat că egalitatea 0,5a × 5b = 2,5ab este o identitate.

Din transformări identice, am învățat să adunăm, să scădem, să înmulțim și să împărțim numere, să reducem fracții, să aducem termeni similari și, de asemenea, să simplificăm unele expresii.

Dar acestea sunt departe de toate transformările identice care există în matematică. Există mult mai multe transformări identice. Vom vedea asta din nou și din nou în viitor.

Sarcini pentru soluție independentă:

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții