Interval acceptabil: teorie și practică
Shamshurin A.V. 1
Gagarina N.A. 1
1 Instituție de învățământ bugetar municipal „Liceu şcoală cuprinzătoare nr. 31"
Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completa munca este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF
Introducere
Am început prin a studia o mulțime de subiecte de matematică de pe Internet și am ales acest subiect pentru că sunt sigur că importanța găsirii DPV joacă un rol enorm în rezolvarea ecuațiilor și a problemelor. În a lui muncă de cercetare Am luat în considerare ecuații în care este suficient doar să găsești ODZ-ul, pericolul, opționalitatea, limitativitatea ODZ-ului, niște interdicții la matematică. Cel mai important lucru pentru mine este să trec bine examenul la matematică, iar pentru asta trebuie să știi: când, de ce și cum să găsesc ODZ. Acest lucru m-a determinat să studiez subiectul, al cărui scop a fost să arăt că stăpânirea acestui subiect va ajuta studenții să finalizeze corect temele pentru examen. Pentru a atinge acest obiectiv, am cercetat literatură suplimentară și alte surse. A devenit interesant pentru mine, dar elevii școlii noastre știu: când, de ce și cum să găsesc ODZ. Prin urmare, am efectuat un test pe tema „Când, de ce și cum să găsiți ODZ?” (au fost date 10 ecuații). Număr de studenți - 28. Gestionat - 14%, pericolul ODZ (luat în calcul) - 68%, opțional (luat în considerare) - 36%.
Ţintă: identificare: când, de ce și cum să găsiți ODZ.
Problemă: ecuațiile și inegalitățile în care trebuie să găsiți ODZ nu și-au găsit un loc în cursul prezentării sistematice a algebrei, motiv pentru care colegii mei și cu mine greșim adesea atunci când rezolvăm astfel de exemple, dedicând mult timp rezolvării lor. , în timp ce uitând de ODZ.
Sarcini:
- Arătați semnificația ODZ în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.
- Efectuați lucrări practice pe acest subiect și rezumați rezultatele acesteia.
Cred că cunoștințele și abilitățile pe care le-am dobândit mă vor ajuta să decid dacă să caut ODZ sau nu? Voi înceta să mai greșesc învățând cum să fac corect ODZ. Dacă reușesc, timpul va spune, sau mai bine zis examenul.
Capitolul 1
Ce este ODZ?
ODZ este interval de toleranță, adică toate acestea sunt valori ale variabilei pentru care expresia are sens.
Important. Pentru a găsi ODZ, nu rezolvăm exemplul! Rezolvăm piesele exemplului pentru găsirea locurilor interzise.
Câteva tabuuri în matematică. Există foarte puține astfel de acțiuni interzise în matematică. Dar nu toată lumea își amintește de ele...
- Expresii sub semnul multiplicității par sau trebuie să fie > 0 sau egale cu zero, ODZ: f (x)
- Expresia din numitorul unei fracții nu poate fi egală cu zero, ODZ: f (x)
- |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0
Cum se scrie ODZ? Foarte simplu. Scrieți întotdeauna ODZ lângă exemplu. Sub aceste litere cunoscute, uitându-ne la ecuația originală, notăm valorile x care sunt permise pentru exemplul original. Transformarea unui exemplu poate schimba DPV și, în consecință, răspunsul.
Algoritm pentru găsirea ODZ:
- Determinați tipul de interdicție.
- Găsiți valori pentru care expresia nu are sens.
- Excludeți aceste valori din mulțimea numerelor reale R.
Rezolvați ecuația: =
|
Fără ODZ |
CU ODZ |
|
Răspuns: x=5 |
ODZ: => => Răspuns: fără rădăcini |
Gama de valori valide ne protejează de astfel de erori grave. Sincer să fiu, din cauza ODZ mulți „toboșari” se transformă în „triple”. Având în vedere că căutarea și contabilizarea ODZ este un pas nesemnificativ în soluție, îl sar peste, iar apoi sunt surprinși: „de ce a pus profesorul 2?”. Da, de aceea am pus-o pentru ca raspunsul este gresit! Acestea nu sunt niște „nimeni” ale profesorului, ci o greșeală foarte specifică, la fel ca un calcul incorect sau un semn pierdut.
Ecuații suplimentare:
a) = ; b) -42=14x+; c) =0; d) |x-5|=2x-2
capitolul 2
ODZ. Pentru ce? Când? Cum?
Interval acceptabil - există o soluție
- ODZ este un set gol, ceea ce înseamnă că exemplul original nu are soluții
- = ODZ:
Răspuns: fără rădăcini.
- = ODZ:
Răspuns: fără rădăcini.
0, ecuația nu are rădăcini
Răspuns: fără rădăcini.
Exemple suplimentare:
a) + =5; b) + = 23x-18; c) =0.
- Există unul sau mai multe numere în ODZ, iar o simplă înlocuire determină rapid rădăcinile.
ODZ: x=2, x=3
Verificați: x=2, + , 0<1, верно
Verificați: x=3, + , 0<1, верно.
Răspuns: x=2, x=3.
- > ODZ: x=1, x=0
Verificați: x=0, > , 0>0, greșit
Verificați: x=1, > , 1>0, adevărat
Răspuns: x=1.
- + \u003d x ODZ: x \u003d 3
Verificați: +=3, 0=3, greșit.
Răspuns: fără rădăcini.
Exemple suplimentare:
a) = ; b) + =0; c) + \u003d x -1
Pericol de ODZ
Rețineți că transformările identice pot:
- nu afectează ODZ;
- duce la o ODZ extinsă;
- duce la o îngustare a ODZ.
De asemenea, se știe că, ca urmare a unor transformări care modifică ODZ inițial, poate duce la decizii incorecte.
Să explicăm fiecare caz cu un exemplu.
1) Se consideră expresia x + 4x + 7x, ODZ a variabilei x pentru aceasta este mulțimea R. Prezentăm termeni similari. Ca rezultat, va lua forma x 2 +11x. Evident, ODZ a variabilei x a acestei expresii este și mulțimea R. Astfel, transformarea efectuată nu a schimbat ODZ.
2) Luați ecuația x+ - =0. În acest caz, ODZ: x≠0. Această expresie conține și termeni similari, după reducerea cărora, ajungem la expresia x, pentru care ODZ este R. Ce vedem: ca urmare a transformării, ODZ s-a extins (zero a fost adăugat la ODZ de variabila x pentru expresia originală).
3) Să luăm o expresie. ODV variabilei x este determinată de inegalitatea (x−5) (x−2)≥0, ODV: (−∞, 2]∪∪/ Mod de acces: Materiale ale site-urilor www.fipi.ru, www. de exemplu
Anexa 1
Lucrare practică „ODZ: când, de ce și cum?”
|
Opțiunea 1 |
Opțiunea 2 |
|
│х+14│= 2 - 2х |
|
|
│3-х│=1 - 3х |
Anexa 2
Răspunsuri la sarcini munca practica„ODZ: când, de ce și cum?”
|
Opțiunea 1 |
Opțiunea 2 |
|
Răspuns: fără rădăcini |
Răspuns: x este orice număr cu excepția x=5 |
|
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Răspuns: fără rădăcini |
ODZ: x=-3, x=5. Răspuns: -3;5. |
|
y= -scade, y= -creşte Deci ecuația are cel mult o rădăcină. Răspuns: x=6. |
ODZ: → →х≥5 Răspuns: x≥5, x≤-6. |
|
│х+14│=2-2х ODZ:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 nu aparține ODZ |
Scade - crește Ecuația are cel mult o rădăcină. Răspuns: fără rădăcini. |
|
0, ODZ: x≥3, x≤2 Răspuns: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Răspuns: fără rădăcini. |
|
x=7, x=1. Răspuns: nicio soluție |
Creștere - descrescătoare Răspuns: x=2. |
|
0 ODZ: x≠15 Răspuns: x este orice număr, cu excepția x=15. |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, х≤ x=-1, x=1 nu aparține ODZ. Răspuns: x=-1. |
Cum ?
Exemple de soluții
Dacă ceva lipsește undeva, atunci există ceva undeva
Continuăm să studiem secțiunea „Funcții și grafică”, iar următoarea stație a călătoriei noastre este. O discuție activă a acestui concept a început în articolul despre seturi și a continuat în prima lecție despre grafice de funcții, unde m-am uitat la funcțiile elementare și, în special, domeniul lor. Prin urmare, recomand ca manechinele să înceapă cu elementele de bază ale subiectului, deoarece nu mă voi opri din nou asupra unora dintre punctele de bază.
Se presupune că cititorul cunoaște domeniul următoarelor funcții: liniară, pătratică, funcție cubică, polinoame, exponent, sinus, cosinus. Ele sunt definite pe (set de toate numerele reale). Pentru tangente, arcsinus, așa să fie, vă iert =) - graficele mai rare nu sunt amintite imediat.
Domeniul definiției pare a fi un lucru simplu și apare o întrebare firească, despre ce va fi articolul? În această lecție, voi lua în considerare sarcinile comune pentru găsirea domeniului unei funcții. În plus, vom repeta inegalități cu o variabilă, abilitățile de rezolvat care vor fi necesare în alte sarcini matematică superioară. Materialul, apropo, este tot școlar, așa că va fi util nu numai elevilor, ci și elevilor. Informațiile, desigur, nu pretind a fi enciclopedice, dar, pe de altă parte, nu există aici exemple exagerate de „morți”, ci castane prăjite, care sunt preluate din adevărate lucrări practice.
Să începem cu o tăietură expresă a subiectului. Pe scurt despre principalul lucru: vorbim despre o funcție a unei variabile. Domeniul său de definire este set de valori „x”., pentru care exista sensul de „jocuri”. Luați în considerare un exemplu ipotetic: 
Domeniul acestei funcții este uniunea intervalelor:
(pentru cei care au uitat: - icoana unirii). Cu alte cuvinte, dacă luăm orice valoare a lui "x" din intervalul , sau din , sau din , atunci pentru fiecare astfel de "x" va exista o valoare a lui "y".
În linii mari, acolo unde este domeniul definiției, există un grafic al funcției. Dar semi-intervalul și punctul „ce” nu sunt incluse în zona de definiție și nu există nici un grafic acolo.
Cum să găsiți domeniul de aplicare al unei funcții? Mulți își amintesc rima pentru copii: „piatră, foarfecă, hârtie”, și în acest caz poate fi reformulat în siguranță: „rădăcină, fracție și logaritm”. Astfel, dacă ești drumul vietii există o fracție, rădăcină sau logaritm, atunci ar trebui să fii imediat foarte, foarte alert! Tangenta, cotangente, arcsinus, arccosinus sunt mult mai puțin frecvente și vom vorbi și despre ele. Dar mai întâi, schițe din viața furnicilor:
Domeniul de aplicare al unei funcții care conține o fracție
Să presupunem că este dată o funcție care conține o fracție. După cum știți, nu puteți împărți la zero: , deci acelea valorile x care transformă numitorul la zero nu sunt incluse în domeniul de aplicare al acestei funcții.
Nu mă voi opri asupra celor mai simple funcții precum 
și așa mai departe, pentru că toată lumea poate vedea puncte care nu sunt incluse în domeniul său de definire. Luați în considerare fracții mai semnificative:
Exemplul 1
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții
Soluţie: nu există nimic special în numărător, dar numitorul trebuie să fie diferit de zero. Să-l echivalăm cu zero și să încercăm să găsim punctele „rele”:
Ecuația rezultată are două rădăcini: 
. Date valorice nu sunt incluse în sfera funcției. Într-adevăr, înlocuiți sau în funcție și veți vedea că numitorul ajunge la zero.
Răspuns: domeniu: 
Intrarea sună după cum urmează: „domeniul de definiție este toate numerele reale, cu excepția mulțimii constând din valori 
". Vă reamintesc că pictograma bară oblică inversă în matematică denotă scăderea logică, iar acoladele denotă un set. Răspunsul poate fi scris în mod echivalent ca o uniune a trei intervale:
Cui îi place.
La puncte 
funcția durează pauze nesfârșite, și liniile drepte dat de ecuaţii 
sunt asimptote verticale pentru graficul acestei funcții. Cu toate acestea, acesta este un subiect ușor diferit și, în continuare, nu mă voi concentra în mod special asupra acestui subiect.
Exemplul 2
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții
Sarcina este în esență orală și mulți dintre voi veți găsi zona de definire aproape imediat. Răspuns la sfârșitul lecției.
Va fi întotdeauna o fracțiune „rea”? Nu. De exemplu, o funcție este definită pe întreaga axă a numerelor. Indiferent de valoarea lui „x” am lua, numitorul nu se va transforma la zero, mai mult, va fi întotdeauna pozitiv:. Astfel, sfera acestei funcții este: .
Toate funcțiile ca 
definite şi continuu pe .
Puțin mai complicată este situația când numitorul a ocupat trinom pătrat:
Exemplul 3
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții 
Soluţie: Să încercăm să găsim punctele în care numitorul ajunge la zero. Pentru asta vom decide ecuație pătratică:
Discriminantul este negativ, adică rădăcini adevărate nu, iar funcția noastră este definită pe întreaga linie numerică.
Răspuns: domeniu:
Exemplul 4
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții 
Acesta este un exemplu pentru solutie independenta. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Vă sfătuiesc să nu fi leneș cu problemele simple, pentru că neînțelegerile se vor acumula pentru alte exemple.
Domeniul de aplicare cu rădăcină
Functioneaza cu rădăcină pătrată este definit numai pentru acele valori ale lui „x” când expresia radicală este nenegativă: . Dacă rădăcina este situată în numitor, atunci condiția este în mod evident strânsă: . Calcule similare sunt valabile pentru orice rădăcină a unui grad pozitiv par: 
, totuși, rădăcina este deja gradul 4 în studii functionale Nu-mi amintesc.
Exemplul 5
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții 
Soluţie: expresia radicală trebuie să fie nenegativă:
Înainte de a continua soluția, permiteți-mi să vă reamintesc regulile de bază pentru lucrul cu inegalitățile, cunoscute încă din școală.
desenez Atentie speciala! Acum luăm în considerare inegalitățile cu o variabilă- adică pentru noi există doar o dimensiune de-a lungul axei. Vă rugăm să nu confundați cu inegalitățile a două variabile, unde întregul plan de coordonate este implicat geometric. Există însă și coincidențe plăcute! Deci, pentru inegalitate, următoarele transformări sunt echivalente:
1) Termenii pot fi transferați dintr-o parte în parte prin modificarea acestora (termenii) semne.
2) Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite cu un număr pozitiv.
3) Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu negativ numărul, trebuie să îl schimbați semnul inegalității în sine. De exemplu, dacă a existat „mai mult”, atunci va deveni „mai puțin”; dacă a fost „mai mic sau egal cu”, atunci va deveni „mai mare sau egal cu”.
În inegalitate, mutam „trei” în partea dreaptă cu o schimbare de semn (regula nr. 1):
Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu –1 (regula #3):
Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu (regula numărul 2):
Răspuns: domeniu: 
Răspunsul poate fi scris și în fraza echivalentă: „funcția este definită la”.
Geometric, domeniul definiției este reprezentat prin umbrirea intervalelor corespunzătoare pe axa x. În acest caz:
Încă o dată, îmi amintesc semnificația geometrică a domeniului definiției - graficul funcției 
există doar în zona umbrită și lipsește la .
În cele mai multe cazuri, o constatare pur analitică a domeniului definiției este potrivită, dar atunci când funcția este foarte confuză, ar trebui să desenați o axă și să faceți note.
Exemplul 6
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții
Acesta este un exemplu de do-it-yourself.
Când există un binom pătrat sau un trinom sub rădăcina pătrată, situația devine puțin mai complicată, iar acum vom analiza tehnica soluției în detaliu:
Exemplul 7
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții 
Soluţie: expresia radicală trebuie să fie strict pozitivă, adică trebuie să rezolvăm inegalitatea . La primul pas, încercăm să factorizăm trinomul pătrat: 
Discriminantul este pozitiv, căutăm rădăcinile: 
Deci parabola 
intersectează axa x în două puncte, ceea ce înseamnă că o parte a parabolei este situată sub axa (inegalitatea), iar o parte a parabolei este deasupra axei (inegalitatea de care avem nevoie).
Din moment ce coeficientul , atunci ramurile parabolei se uită în sus. Din cele de mai sus rezultă că inegalitatea este satisfăcută pe intervale (ramurile parabolei merg până la infinit), iar vârful parabolei este situat pe intervalul de sub axa absciselor, care corespunde inegalității:
! Notă:
daca nu intelegeti pe deplin explicatiile, va rog sa desenati a doua axa si toata parabola! Este indicat să reveniți la articol și manual Formule de matematică la școală fierbinte.
Vă rugăm să rețineți că punctele în sine sunt perforate (nu sunt incluse în soluție), deoarece inegalitatea noastră este strictă.
Răspuns: domeniu:
În general, multe inegalități (inclusiv cea considerată) sunt rezolvate de universal metoda intervalului, cunoscut din nou din programa școlară. Dar în cazul pătratului doi și trei termeni, după părerea mea, este mult mai convenabil și mai rapid să analizăm locația parabolei în raport cu axa. Și metoda principală - metoda intervalelor, o vom analiza în detaliu în articol. Funcția nule. Intervalele de constanță.
Exemplul 8
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Eșantionul a comentat în detaliu logica raționamentului + a doua modalitate de rezolvare și o altă transformare importantă a inegalității, fără a ști care elevul va șchiopăta pe un picior ..., ... hmm ... în detrimentul picior, poate s-a entuziasmat, mai degrabă - pe un deget. Deget mare.
Poate fi definită o funcție cu rădăcină pătrată pe întreaga linie numerică? Cu siguranță. Toate fețele cunoscute: . Sau o sumă similară cu un exponent: . Într-adevăr, pentru orice valori ale „x” și „ka”: , prin urmare, cu atât mai mult.
Iată un exemplu mai puțin evident: 
. Aici discriminantul este negativ (parabola nu traversează axa x), în timp ce ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, de unde și domeniul de definiție: .
Întrebarea este inversă: poate fi domeniul de aplicare al unei funcții gol? Da, și un exemplu primitiv se sugerează imediat 
, unde expresia radicală este negativă pentru orice valoare a lui „x”, iar domeniul de definiție este: (o pictogramă set goală). O astfel de funcție nu este deloc definită (desigur, graficul este și iluzoriu).
cu rădăcini ciudate 
etc. lucrurile stau mult mai bine - aici expresia rădăcină poate fi, de asemenea, negativă. De exemplu, o funcție este definită pe întreaga linie numerică. Cu toate acestea, funcția are un singur punct încă neinclus în domeniul definiției, deoarece numitorul este transformat la zero. Din același motiv pentru funcție 
punctele sunt excluse.
Domeniu de funcții cu logaritm
A treia funcție comună este logaritmul. Ca exemplu, voi desena logaritmul natural, care apare în aproximativ 99 de exemple din 100. Dacă o funcție conține un logaritm, atunci domeniul său de definiție ar trebui să includă doar acele x valori care satisfac inegalitatea . Dacă logaritmul este la numitor: atunci în plus se impune condiția (pentru că ).
Exemplul 9
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții
Soluţie: în conformitate cu cele de mai sus, compunem și rezolvăm sistemul:
Soluție grafică pentru manechini:
Răspuns: domeniu:
Mă voi opri asupra încă un punct tehnic - la urma urmei, nu am o scară și nicio diviziune de-a lungul axei. Apare întrebarea: cum să faci astfel de desene într-un caiet pe hârtie în carouri? Este posibil să se măsoare distanța dintre punctele din celule strict în funcție de scară? Este mai canonic și mai strict, desigur, la scară, dar un desen schematic care reflectă în mod fundamental situația este, de asemenea, destul de acceptabil.
Exemplul 10
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții 
Pentru a rezolva problema, puteți utiliza metoda din paragraful anterior - pentru a analiza modul în care parabola este situată în raport cu axa x. Răspuns la sfârșitul lecției.
După cum puteți vedea, în domeniul logaritmilor, totul este foarte asemănător cu situația cu rădăcina pătrată: funcția 
(trinomul pătrat din Exemplul nr. 7) este definit pe intervale , iar funcția 
(binomul pătrat din Exemplul nr. 6) pe intervalul . Este jenant să spunem chiar că funcțiile de tip sunt definite pe întreaga linie numerică.
Informații utile
: funcția de tip este interesantă, este definită pe întreaga linie numerică cu excepția punctului. Conform proprietății logaritmului, „doi” poate fi scos de un factor din afara logaritmului, dar pentru ca funcția să nu se schimbe, „x” trebuie inclus sub semnul modulului: 
. Iată încă una pentru tine uz practic» modul =). Aceasta este ceea ce trebuie să faceți în majoritatea cazurilor când demolați chiar grad, de exemplu: 
. Dacă baza gradului este evident pozitivă, de exemplu, atunci nu este nevoie de semnul modulului și este suficient să te descurci cu paranteze: .
Pentru a nu ne repeta, să complicăm sarcina:
Exemplul 11
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții 
Soluţie: în această funcție avem atât rădăcina cât și logaritmul.
Expresia rădăcină trebuie să fie nenegativă: , iar expresia de sub semnul logaritmului trebuie să fie strict pozitivă: . Astfel, este necesar să se rezolve sistemul:
Mulți dintre voi știu foarte bine sau ghiciți intuitiv că soluția sistemului trebuie să satisfacă Pentru fiecare condiție.
Examinând locația parabolei față de axă, ajungem la concluzia că intervalul satisface inegalitatea (umbrire albastră):
Inegalitatea, evident, corespunde semi-intervalului „roșu”.
Deoarece ambele condiții trebuie îndeplinite simultan, atunci soluția sistemului este intersecția acestor intervale. „Interesele comune” sunt observate pe jumătate de interval.
Răspuns: domeniu:
Inegalitatea tipică, așa cum este demonstrată în Exemplul nr. 8, nu este dificil de rezolvat analitic.
Domeniul de definiție găsit nu se va schimba pentru „funcții similare”, de exemplu, pentru 
sau 
. De asemenea, puteți adăuga câteva funcții continue, de exemplu: , sau astfel: 
, sau chiar așa: . După cum se spune, rădăcina și logaritmul sunt lucruri încăpățânate. Singurul lucru este că, dacă una dintre funcții este „resetată” la numitor, atunci domeniul de definiție se va schimba (deși în cazul general acest lucru nu este întotdeauna adevărat). Ei bine, în teoria lui matan despre acest verbal... oh... există teoreme.
Exemplul 12
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții 
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Utilizarea unui plan este destul de potrivită, deoarece funcția nu este cea mai ușoară.
Încă câteva exemple pentru a consolida materialul:
Exemplul 13
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții
Soluţie: alcătuiește și rezolvă sistemul: 
Toate acțiunile au fost deja rezolvate în cursul articolului. Desenați pe o linie numerică intervalul corespunzător inegalității și, conform celei de-a doua condiții, excludeți două puncte:
Valoarea s-a dovedit a fi complet irelevantă.
Răspuns: domeniu
Un mic joc de cuvinte matematic pe o variație a celui de-al 13-lea exemplu:
Exemplul 14
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții 
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Cine a ratat, e în zbor ;-)
Secțiunea finală a lecției este dedicată funcțiilor mai rare, dar și „de lucru”:
Domenii de aplicare
cu tangente, cotangente, arcsinus, arccosinus
Dacă o funcție include , atunci din domeniul său de definiție exclus puncte 
, Unde Z este mulțimea numerelor întregi. În special, așa cum se menționează în articol Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare, funcția are următoarele valori:
Adică domeniul de definire al tangentei: 
.
Nu vom ucide mult:
Exemplul 15
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții
Soluţie: în acest caz, următoarele puncte nu vor fi incluse în domeniul definiției:
Să aruncăm „doi” din partea stângă în numitorul din partea dreaptă:
Ca urmare 
:
Răspuns: domeniu: 
.
În principiu, răspunsul poate fi scris și ca o unire a unui număr infinit de intervale, dar construcția se va dovedi a fi foarte greoaie:
Soluția analitică este în total acord cu grafică de transformare geometrică: dacă argumentul funcției este înmulțit cu 2, atunci graficul său se va micșora la axă de două ori. Observați cum perioada funcției s-a înjumătățit și puncte de pauză crescut de două ori. tahicardie.
Povestea similară cu cotangentă. Dacă o funcție include , atunci punctele sunt excluse din domeniul său de definire. În special, pentru funcție, filmăm următoarele valori cu o explozie automată:
Cu alte cuvinte:
Consilier stiintific:
1. Introducere 3
2. Context istoric 4
3. „Locul” ODZ la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților 5-6
4. Caracteristicile și pericolul ODZ 7
5. ODZ - există o decizie 8-9
6. Găsirea ODZ este o muncă suplimentară. Echivalența tranzițiilor 10-14
7. ODZ la examenul 15-16
8. Concluzie 17
9. Literatură 18
1. Introducere
Problemă: ecuațiile și inegalitățile în care trebuie să găsiți ODZ nu și-au găsit un loc în cursul prezentării sistematice a algebrei, motiv pentru care colegii mei și cu mine greșim adesea atunci când rezolvăm astfel de exemple, dedicând mult timp rezolvării lor. , în timp ce uitând de ODZ.
Ţintă: să poată analiza situația și să tragă concluzii logic corecte în exemple în care este necesar să se țină cont de ODD.
Sarcini:
1. Material teoretic de studiu;
2. Rezolvați o mulțime de ecuații, inegalități: a) fracționat rațional; b) irațional; c) logaritmică; d) conţinând funcţii trigonometrice inverse;
3. Aplica materialele invatate intr-o situatie diferita de standard;
4. Creați o lucrare pe tema „Regiunea valorilor acceptabile: teorie și practică”
Lucrul la proiect: Am început să lucrez la proiect repetând funcțiile cunoscute de mine. Sfera multora dintre ele este limitată.
ODZ apare:
1. Când decideți ecuații raționale fracționaleși inegalități
2. Când decideți ecuații iraționaleși inegalități
3. Când decideți ecuații logaritmiceși inegalități
4. La rezolvarea ecuaţiilor şi inegalităţilor care conţin funcţii trigonometrice inverse
După ce am rezolvat multe exemple din diverse surse(beneficii pentru examen, manuale, cărți de referință), am sistematizat soluția de exemple pt urmând principii:
puteți rezolva exemplul și țineți cont de ODZ (cel mai comun mod)
Este posibil să rezolvați exemplul fără a lua în considerare ODZ
Este posibil doar, ținând cont de ODZ, să se ajungă la decizia corectă.
Metode utilizate în lucrare: 1) analiza; 2) analiza statistica; 3) deducere; 4) clasificare; 5) prognoza.
Analiza studiată USE rezultate in ultimii ani. S-au făcut multe greșeli în exemplele în care trebuie să se țină cont de DHS. Acest lucru subliniază din nou relevanţă tema mea.
2. Contur istoric
Ca și alte concepte ale matematicii, conceptul de funcție nu s-a dezvoltat imediat, ci a parcurs un drum lung. În lucrarea lui P. Fermat „Introducerea și studiul locurilor plate și solide” (1636, publ. 1679) spune: „Oricand în ecuația finală sunt două cantități necunoscute, există un loc. În esență, vorbim despre dependența funcțională și ea imagine grafică(„loc” în Fermat înseamnă o linie). Studiul liniilor conform ecuațiilor lor din „Geometria” lui R. Descartes (1637) indică, de asemenea, o înțelegere clară a dependenței reciproce a două variabile. I. Barrow („Prelegeri despre geometrie”, 1670) în formă geometrică se stabilește inversul reciproc al acțiunilor de diferențiere și integrare (desigur, fără a folosi acești termeni înșiși). Aceasta mărturisește deja o stăpânire complet clară a conceptului de funcție. Într-o formă geometrică și mecanică, acest concept îl găsim și la I. Newton. Cu toate acestea, termenul „funcție” apare pentru prima dată abia în 1692 de către G. Leibniz și, în plus, nu chiar în sensul său modern. G. Leibniz numește funcții diverse segmente asociate unei curbe (de exemplu, abscisele punctelor acesteia). În primul curs tipărit „Analysis of Infinitely Small for the Knowledge of Curved Lines” de Lopital (1696), termenul „funcție” nu este folosit.
Prima definiție a unei funcții într-un sens apropiat de cel modern o găsim în I. Bernoulli (1718): „O funcție este o mărime compusă dintr-o variabilă și o constantă”. Această definiție nu tocmai distinctă se bazează pe ideea de a specifica o funcție printr-o formulă analitică. Aceeași idee apare și în definiția lui L. Euler, dată de acesta în „Introduction to the analysis of infinite” (1748): „O funcție a unei mărimi variabile este o expresie analitică, compusă într-un fel din această mărime variabilă și numere. sau cantități constante”. Cu toate acestea, L. Euler nu este străin înțelegere modernă funcție, care nu asociază conceptul de funcție cu niciuna dintre expresiile sale analitice. In a lui " Calcul diferenţial„(1755) spune: „Când unele cantități depind de altele în așa fel încât atunci când acestea din urmă se schimbă, ele însele suferă o schimbare, atunci primele sunt numite funcții ale celei din urmă.
CU începutul XIX secole, definesc din ce în ce mai des conceptul de funcție fără a menționa reprezentarea ei analitică. În „Tratat de calcul diferențial și integral” (1797-1802) S. Lacroix spune: „Orice mărime a cărei valoare depinde de una sau de multe alte mărimi se numește funcție a acestora din urmă”. În „Teoria analitică a căldurii” de J. Fourier (1822) există o frază: „Funcția f(x) denotă o funcție complet arbitrară, adică o succesiune de valori date, supuse sau nu unei legi generale și corespunzătoare tuturor valorilor X cuprinsă între 0 și o anumită valoare X". Aproape de modern și de definiția lui N. I. Lobachevsky: „... Concept general funcția necesită ca funcția de la X numiți numărul care este dat pentru fiecare X si impreuna cu X se schimba treptat. Valoarea unei funcții poate fi dată fie de o expresie analitică, fie de o condiție care oferă un mijloc de testare a tuturor numerelor și de a alege unul dintre ele sau, în sfârșit, dependența poate exista și rămâne necunoscută. În același loc puțin mai jos se spune: „Viziunea largă a teoriei admite existența dependenței doar în sensul că numerele unul cu celălalt în legătură sunt înțelese ca date împreună”. Astfel, definiția modernă a unei funcții, lipsită de referințe la sarcina analitică, atribuită de obicei lui P. Dirichlet (1837), a fost propusă în repetate rânduri înaintea acestuia.
Domeniul de definire (valori permise) al funcției y este mulțimea de valori ale variabilei independente x pentru care este definită această funcție, adică domeniul de modificare a variabilei independente (argument).
3. „Locul” regiunii valorilor admisibile la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților
1. La rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale și a inegalităților numitorul nu trebuie să fie zero.
2. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților iraționale.
2.1..gif" width="212" height="51"> .
În acest caz, nu este nevoie să găsiți ODZ: din prima ecuație rezultă că valorile x obținute satisfac următoarea inegalitate: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif " width="107" height="27 src="> este sistemul:
Deoarece ecuația și introduceți în mod egal, atunci în loc de inegalitate, puteți include inegalitatea https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49"> 
https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51"> 
3. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților logaritmice.
3.1. Schema de rezolvare a ecuației logaritmice
Dar este suficient să verificați o singură condiție a ODZ.
3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">
4. Ecuații trigonometrice de formă sunt echivalente cu sistemul (în loc de inegalitate, sistemul poate include inegalitatea https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> sunt echivalente cu ecuația
4. Caracteristici și pericol ale intervalului de valori admisibile
La lecțiile de matematică, ni se cere să găsim ODZ în fiecare exemplu. În același timp, conform esenței matematice a problemei, găsirea ODZ nu este deloc obligatorie, adesea inutilă și uneori imposibilă - și toate acestea fără nicio prejudiciu la soluția exemplului. Pe de altă parte, se întâmplă adesea ca, după rezolvarea unui exemplu, elevii să uite să ia în considerare ODZ, să îl noteze ca răspuns final, să țină cont doar de unele condiții. Această împrejurare este binecunoscută, dar „războiul” continuă în fiecare an și, se pare, va dura mult timp.
Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate:
Aici se caută ODZ, iar inegalitatea este rezolvată. Cu toate acestea, atunci când rezolvă această inegalitate, școlarii cred uneori că este foarte posibil să se facă fără a căuta ODZ, mai precis, se pot descurca fără condiție
Într-adevăr, pentru a obține răspunsul corect, este necesar să se țină cont atât de inegalitatea cât și de .
Și iată, de exemplu, soluția ecuației: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">
ceea ce este echivalent cu lucrul cu ODZ. Cu toate acestea, în acest exemplu, o astfel de muncă este redundantă - este suficient să verificați îndeplinirea a doar două dintre aceste inegalități și oricare două.
Permiteți-mi să vă reamintesc că orice ecuație (inegalitate) poate fi redusă la forma . DPV este pur și simplu domeniul de aplicare al funcției din partea stângă. Faptul că această zonă trebuie monitorizată rezultă deja din definiția rădăcinii ca număr din zona funcției date, prin urmare din ODZ. Iată un exemplu amuzant pe această temă..gif" width="20" height="21 src="> are un domeniu de definiție al unui set de numere pozitive (acesta este, desigur, un acord - să luăm în considerare funcția la , , dar rezonabil), și atunci -1 nu este este rădăcina.
5. Gama de valori acceptabile - există o soluție
Și, în sfârșit, în masa de exemple, găsirea ODZ vă permite să obțineți răspunsul fără amenajări greoaie,și chiar pe cale orală.
1. OD3 este un set gol, ceea ce înseamnă că exemplul original nu are soluții.
1)
2) 3) 
2. În ODZ se găsesc unul sau mai multe numere, iar o simplă înlocuire determină rapid rădăcinile.
1)
, x=3
2)
Aici în ODZ există doar numărul 1, iar după înlocuire este clar că nu este o rădăcină.
3) Există două numere în ODZ: 2 și 3 și ambele sunt potrivite.
4) > Există două numere 0 și 1 în ODZ și numai 1 este potrivit.
DPV poate fi utilizat eficient în combinație cu analiza expresiei în sine.
5) 
< ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.
6) 
Din ODZ rezultă că, de unde avem ..gif" width="143" height="24"> Din ODZ avem: . Dar atunci și . De vreme ce, atunci nu există soluții.
Din ODZ avem: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, ceea ce înseamnă . Rezolvând ultima inegalitate, obținem x<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.
3) ODZ: . De atunci
Pe de altă parte, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">
ODZ:. Se consideră ecuația pe intervalul [-1; 0).
Îndeplinește astfel de inegalități https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src ="> și nu există soluții. Cu funcția și https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">.ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Să găsim ODZ:
O soluție întreagă este posibilă numai pentru x=3 și x=5. Prin verificare, constatăm că rădăcina x \u003d 3 nu se potrivește, ceea ce înseamnă că răspunsul este: x \u003d 5.
6. Găsirea intervalului de valori acceptabile este o muncă suplimentară. Echivalența tranzițiilor.
Pot fi date exemple în care situația este clară chiar și fără a găsi ODZ.
1. 
Egalitatea este imposibilă, deoarece la scăderea unei expresii mai mari de la una mai mică, ar trebui să se obțină un număr negativ.
2. 
.
Suma a două funcții nenegative nu poate fi negativă.
Voi da, de asemenea, exemple în care găsirea ODZ este dificilă și uneori pur și simplu imposibilă.
Și, în sfârșit, căutarea ODZ este de multe ori doar o muncă inutilă, fără de care se poate face perfect, dovedind astfel înțelegerea a ceea ce se întâmplă. Există un număr mare de exemple aici, așa că le voi alege doar pe cele mai tipice. În acest caz, principala tehnică de decizie este transformările echivalente în trecerea de la o ecuație (inegalitate, sistem) la alta.
1.
. ODZ nu este necesar, deoarece, după ce am găsit acele valori ale lui x pentru care x2=1, nu putem obține x=0.
2. . ODZ nu este necesar, deoarece aflăm când expresia radicală este egală cu un număr pozitiv.
3. . ODZ nu este necesar din aceleași motive ca în exemplul anterior.
4. 
ODZ nu este necesar, deoarece expresia rădăcinii este egală cu pătratul unei anumite funcții și, prin urmare, nu poate fi negativă.
5. 
6. ..gif" width="271" height="51"> O singură constrângere pentru expresia radicală este suficientă pentru soluție. Într-adevăr, din sistemul mixt scris rezultă că și cealaltă expresie radicală este nenegativă.
8. ODZ nu este necesar din aceleași motive ca în exemplul anterior.
9. 
DPV nu este necesar, deoarece este suficient ca două dintre cele trei expresii de sub semnele logaritmului să fie pozitive pentru a se asigura că a treia este pozitivă.
10. 
.gif" width="357" height="51"> ODZ nu este necesar din aceleași motive ca în exemplul anterior.
Este de remarcat, totuși, că atunci când se rezolvă prin metoda transformărilor echivalente, cunoașterea ODZ (și proprietățile funcțiilor) ajută.
Aici sunt cateva exemple.
1. . OD3, din care rezultă pozitivitatea expresiei din partea dreaptă, și se poate scrie o ecuație echivalentă cu cea dată în această formă https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif " width="112" height="27 "> ODZ:. Dar apoi, și la rezolvarea acestei inegalități, nu este necesar să se ia în considerare cazul când partea dreaptă este mai mică de 0.
3. . Din ODZ rezultă că , și, prin urmare, cazul când https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Tranziția la vedere generala arata asa:
https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">
Sunt posibile două cazuri: 0
Prin urmare, inegalitatea originală este echivalentă cu următorul set de sisteme de inegalități:
Primul sistem nu are soluții, iar din al doilea obținem: x<-1 – решение неравенства.
Înțelegerea condițiilor de echivalență necesită cunoașterea unor subtilități. De exemplu, de ce sunt echivalente următoarele ecuații:
Sau 
Și în sfârșit, poate cel mai important. Cert este că echivalența garantează corectitudinea răspunsului dacă sunt efectuate unele transformări ale ecuației în sine, dar nu este folosită pentru transformări doar într-una dintre părți. Reducerea, utilizarea diferitelor formule într-una dintre părți nu se încadrează în teoremele de echivalență. Am dat deja câteva exemple de acest gen. Să ne uităm la câteva exemple.
1. O astfel de decizie este firească. În partea stângă, prin proprietatea funcției logaritmice, să trecem la expresia ..gif" width="111" height="48">
Rezolvând acest sistem, obținem rezultatul (-2 și 2), care, totuși, nu este răspunsul, deoarece numărul -2 nu este inclus în ODZ. Deci de ce avem nevoie pentru a instala ODZ? Desigur că nu. Dar din moment ce am folosit o anumită proprietate a funcției logaritmice în soluție, trebuie să ne asigurăm condițiile în care aceasta este îndeplinită. O astfel de condiție este pozitivitatea expresiilor sub semnul logaritmului..gif" width="65" height="48">.
2. 
..gif" width="143" height="27 src="> numerele pot fi înlocuite în acest fel 
. Cine vrea să facă astfel de calcule plictisitoare?.gif" width="12" height="23 src="> adăugați o condiție și este imediat clar că numai numărul îndeplinește această condiție https://pandia.ru/text/ 78/083/ images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) a fost demonstrat de 52% dintre dealeri. Unul dintre motivele pentru o astfel de performanță scăzută este faptul că mulți absolvenți nu au selectat rădăcinile obținute din ecuație după pătrarea acesteia.
3) Luați în considerare, de exemplu, soluția uneia dintre sarcinile C1: „Găsiți toate valorile x pentru care punctele graficului funcției 
se află deasupra punctelor corespunzătoare ale graficului funcţiei ". Sarcina se reduce la rezolvare inegalitatea fracționată conținând expresie logaritmică. Știm cum să rezolvăm astfel de inegalități. Cea mai comună dintre acestea este metoda intervalului. Cu toate acestea, atunci când îl folosesc, dealerii fac diverse greșeli. Luați în considerare cele mai frecvente greșeli folosind exemplul inegalității:
X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие X < 10.
8. Concluzie
În concluzie, putem spune că nu există o metodă universală de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților. De fiecare dată, dacă vrei să înțelegi ce faci, și nu să acționezi mecanic, apare o dilemă: ce metodă de decizie să alegi, în special, să cauți sau nu ODZ? Cred că experiența mea mă va ajuta să rezolv această dilemă. Voi înceta să mai fac greșeli odată ce voi învăța cum să folosesc corect ODZ. Dacă reușesc, timpul va spune, sau mai bine zis examenul.
9. Literatură
Și alții. „Algebra și începutul analizei 10-11” carte de probleme și manual, M .: „Iluminism”, 2002. „Manual de matematică elementară”. M .: „Nauka”, 1966. Ziarul „Matematica” Nr. 46, Ziarul „Matematica” Nr. Ziarul „Matematica” Nr. „Istoria matematicii la clasele VII-VIII”. M .: „Iluminismul”, 1982. și alții. „Cea mai completă ediție de opțiuni pentru sarcini reale ale USE: 2009 / FIPI” - M .: „Astrel”, 2009. și altele. „USE. Matematică. Materiale universale pentru pregătirea elevilor / FIPI „- M .: „Intellect-center”, 2009. şi altele. „Algebra şi începutul analizei 10-11”. M .: „Prosveshchenie”, 2007. , „Atelier de rezolvare a problemelor de matematică școlară (atelier de algebră)”. M .: Educație, 1976. „25000 de lecții de matematică”. M .: „Prosveshchenie”, 1993. „Pregătirea pentru olimpiade de matematică”. M.: „Examen”, 2006. „Enciclopedie pentru copii „MATEMATICĂ”” volumul 11, M.: Avanta +; 2002. Materialele site-urilor www. ***** www. *****.
Ecuații fracționale. ODZ.
Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Continuăm să stăpânim ecuațiile. Știm deja cum să lucrăm cu ecuații liniare și pătratice. Ultima vedere rămâne ecuații fracționale . Sau sunt numite și mult mai solide - fracționat ecuații raționale . Este la fel.
Ecuații fracționale.
După cum sugerează și numele, aceste ecuații conțin în mod necesar fracții. Dar nu doar fracții, ci fracții care au necunoscut la numitor. Cel puțin într-una. De exemplu:
Permiteți-mi să vă reamintesc, dacă numai în numitori numere, acestea sunt ecuații liniare.
Cum să decizi ecuații fracționale? În primul rând, scapă de fracții! După aceea, ecuația, cel mai adesea, se transformă într-una liniară sau pătratică. Și atunci știm ce să facem... În unele cazuri, se poate transforma într-o identitate, gen 5=5 sau o expresie incorectă, precum 7=2. Dar asta se întâmplă rar. Mai jos o voi aminti.
Dar cum să scapi de fracții!? Foarte simplu. Aplicând toate aceleași transformări identice.
Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu aceeași expresie. Pentru ca toți numitorii să scadă! Totul va deveni imediat mai ușor. explic cu un exemplu. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația:
Cum au fost predate în școala elementară? Transferăm totul într-o singură direcție, îl reducem la un numitor comun etc. Uita cum vis oribil! Așa procedați atunci când adăugați sau scădeți expresii fracționale. Sau lucrează cu inegalități. Și în ecuații, înmulțim imediat ambele părți cu o expresie care ne va oferi posibilitatea de a reduce toți numitorii (adică, în esență, prin numitor comun). Și care este această expresie?
În partea stângă, pentru a reduce numitorul, trebuie să înmulțiți cu x+2. Și în dreapta este necesară înmulțirea cu 2. Deci, ecuația trebuie înmulțită cu 2(x+2). Înmulțim:
Aceasta este înmulțirea obișnuită a fracțiilor, dar voi scrie în detaliu:
Vă rugăm să rețineți că încă nu deschid paranteza. (x + 2)! Deci, în întregime, o scriu:
În partea stângă, este redus în întregime (x+2), iar în dreapta 2. După cum este necesar! După reducere obținem liniar ecuația:
Oricine poate rezolva această ecuație! x = 2.
Să rezolvăm un alt exemplu, puțin mai complicat:
Dacă ne amintim că 3 = 3/1, și 2x = 2x/ 1 se poate scrie:
Și din nou scăpăm de ceea ce nu ne place cu adevărat - din fracții.
Vedem că pentru a reduce numitorul cu x, este necesar să înmulțim fracția cu (x - 2). Și unitățile nu sunt o piedică pentru noi. Ei bine, hai să ne înmulțim. Toate partea stangaȘi toate partea dreapta:
Din nou paranteze (x - 2) Nu dezvălui. Lucrez cu paranteza ca un întreg, de parcă ar fi un număr! Acest lucru trebuie făcut întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.
Cu un sentiment de profundă satisfacție, tăiem (x - 2)și obținem ecuația fără fracții, într-o riglă!
Și acum deschidem parantezele:
Dăm altele similare, transferăm totul în partea stângă și obținem:
Dar înainte de asta, vom învăța să rezolvăm alte probleme. Pentru interes. Greblele alea, apropo!
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Funcția este modelul. Să definim X ca un set de valori ale unei variabile independente // independent înseamnă orice.
O funcție este o regulă prin care, pentru fiecare valoare a variabilei independente din mulțimea X, se poate găsi singura valoare a variabilei dependente. // adică pentru fiecare x există un y.
Din definiție rezultă că există două concepte - o variabilă independentă (pe care o notăm cu x și poate lua orice valoare) și o variabilă dependentă (pe care o notăm cu y sau f (x) și se calculează din funcție atunci când înlocuim x).
DE EXEMPLU y=5+x
1. Independent este x, deci luăm orice valoare, fie x = 3
2. și acum calculăm y, deci y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y depinde de x, pentru că cu ce înlocuim x, obținem un astfel de y)
Spunem că variabila y este dependentă funcțional de variabila x și aceasta se notează astfel: y = f (x).
DE EXEMPLU.
1.y=1/x. (numit hiperbolă)
2. y=x^2. (numită parabolă)
3.y=3x+7. (numită linie dreaptă)
4. y \u003d √ x. (numită ramura parabolei)
Variabila independentă (pe care o notăm cu x) se numește argumentul funcției.
Domeniul de aplicare a funcției
Setul tuturor valorilor pe care le ia un argument de funcție se numește domeniul funcției și este notat cu D(f) sau D(y).
Se consideră D(y) pentru 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) și (0;+∞) //întregul set de numere reale cu excepția zero.
2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / toate numeroasele numere reale
3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / toate numeroasele numere reale
4. D (y) \u003d)
