≡× MENIUL

• Reparație
• Reparație
• Design interior
• Despre tot
• Despre instalații sanitare

Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale arată. ODZ. Interval valid

„Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”

Obiectivele lecției:

Tutorial:

formarea conceptului de ecuații raționale fracționale; să ia în considerare diverse moduri de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale; luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția ca fracția să fie egală cu zero; să predea soluția ecuațiilor raționale fracționale conform algoritmului; verificarea nivelului de asimilare a temei prin efectuarea de lucrări de testare.

În curs de dezvoltare:

dezvoltarea capacităţii de a opera corect cu cunoştinţele dobândite, de a gândi logic; dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiilor mentale - analiză, sinteză, comparație și generalizare; dezvoltarea inițiativei, capacitatea de a lua decizii, nu de a se opri aici; dezvoltare gândire critică; dezvoltarea abilităților de cercetare.

Hrănirea:

educarea interesului cognitiv în materie; educația independenței în rezolvarea problemelor educaționale; educarea voinţei şi perseverenţei pentru a obţine rezultatele finale.

Tipul de lecție: lectie - explicatie material nou.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Buna baieti! Ecuațiile sunt scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?

Ecuațiile în care părțile stânga și dreaptă sunt expresii raționale fracționale se numesc ecuații raționale fracționale. Ce crezi că vom studia astăzi la lecție? Formulați subiectul lecției. Deci, deschidem caiete și notăm subiectul lecției „Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”.

2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.

Și acum vom repeta principalul material teoretic de care avem nevoie pentru a studia un subiect nou. Te rugăm să răspunzi la următoarele întrebări:

1. Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu o variabilă sau variabile.)

2. Cum se numește ecuația #1? ( Liniar.) Metoda de rezolvare a ecuaţiilor liniare. ( Toate cu mutare necunoscută partea stanga ecuații, toate numerele - la dreapta. Aduceți condiții asemănătoare. Găsiți multiplicatorul necunoscut).

3. Cum se numește ecuația #3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice. ( Selectarea pătratului complet, prin formule, folosind teorema Vieta și consecințele acesteia.)

4. Ce este o proporție? ( Egalitatea a două relații.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este adevărată, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor medii.)

5. Ce proprietăți sunt folosite în rezolvarea ecuațiilor? ( 1. Dacă în ecuație transferăm termenul dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, atunci se va obține o ecuație care este echivalentă cu numărul dat.)

6. Când este o fracție egală cu zero? ( Fracția este zero când numărătorul zero, iar numitorul nu este egal cu zero.)

3. Explicarea materialului nou.

Rezolvați ecuația nr. 2 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 10.

Care ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi folosind proprietatea de bază a proporției? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Rezolvați ecuația nr. 4 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 1,5.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Răspuns: 3;4.

Acum încercați să rezolvați ecuația #7 într-unul dintre modalități.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49
Răspuns: 0;5;-2.			Răspuns: 5;-2.

Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce există trei rădăcini într-un caz și două în celălalt? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționale?

Până acum, elevii nu au întâlnit conceptul de rădăcină străină, le este într-adevăr foarte greu să înțeleagă de ce s-a întâmplat acest lucru. Dacă nimeni din clasă nu poate da o explicație clară a acestei situații, atunci profesorul pune întrebări de conducere.

Cum diferă ecuațiile nr. 2 și 4 de ecuațiile nr. 5,6,7? ( În ecuațiile nr. 2 și 4 la numitorul numărului, nr. 5-7 - expresii cu o variabilă.) Care este rădăcina ecuației? ( Valoarea variabilei la care ecuația devine o egalitate adevărată.) Cum să aflați dacă numărul este rădăcina ecuației? ( Faceți o verificare.)

Când fac un test, unii elevi observă că trebuie să împartă la zero. Ei concluzionează că numerele 0 și 5 nu sunt rădăcinile acestei ecuații. Apare întrebarea: există o modalitate de a rezolva ecuații raționale fracționale care să elimine această eroare? Da, această metodă se bazează pe condiția ca fracția să fie egală cu zero.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Dacă x=5, atunci x(x-5)=0, deci 5 este o rădăcină străină.

Dacă x=-2, atunci x(x-5)≠0.

Răspuns: -2.

Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii înșiși formulează algoritmul.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:

1. Mutați totul în partea stângă.

2. Aduceți fracțiile la un numitor comun.

3. Faceți un sistem: fracția este egală cu zero când numărătorul este egal cu zero, iar numitorul nu este egal cu zero.

4. Rezolvați ecuația.

5. Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.

6. Notează răspunsul.

Discuție: cum se formalizează soluția dacă se folosește proprietatea de bază a proporției și înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un numitor comun. (Suplimentați soluția: excludeți din rădăcinile sale pe cele care transformă numitorul comun la zero).

4. Înțelegerea primară a materialului nou.

Lucrați în perechi. Elevii aleg cum să rezolve singuri ecuația, în funcție de tipul de ecuație. Sarcini din manualul „Algebra 8”, 2007: Nr. 000 (b, c, i); Nr. 000 (a, e, g). Profesorul controlează îndeplinirea sarcinii, răspunde la întrebările care au apărut și oferă asistență elevilor cu performanțe slabe. Autotest: Răspunsurile sunt scrise pe tablă.

b) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 3.

c) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 1.5.

a) Răspuns: -12,5.

g) Răspuns: 1; 1.5.

5. Declarație de teme.

2. Învață algoritmul de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale.

3. Rezolvați în caietele Nr. 000 (a, d, e); Nr. 000 (g, h).

4. Încercați să rezolvați numărul 000(a) (opțional).

6. Îndeplinirea sarcinii de control pe tema studiată.

Lucrarea se face pe foi.

Exemplu de job:

A) Care dintre ecuații sunt raționale fracționale?

B) O fracție este zero când numărătorul este ______________________ și numitorul este _______________________.

Î) Este numărul -3 rădăcina ecuației #6?

D) Rezolvați ecuația nr. 7.

Criterii de evaluare a sarcinilor:

„5” este dat dacă elevul a finalizat corect mai mult de 90% din sarcină. „4” - 75% -89% „3” - 50% -74% „2” i se acordă elevului care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină. Nota 2 nu este trecută în jurnal, 3 este opțional.

7. Reflecție.

Pe pliantele cu muncă independentă, puneți:

1 - dacă lecția a fost interesantă și de înțeles pentru tine; 2 - interesant, dar nu clar; 3 - nu este interesant, dar de înțeles; 4 - nu este interesant, nu este clar.

8. Rezumând lecția.

Deci, astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu ecuațiile raționale fracționale, am învățat cum să rezolvăm aceste ecuații căi diferite, și-au testat cunoștințele cu ajutorul instruirii muncă independentă. Rezultatele muncii independente le vei afla in urmatoarea lectie, acasa vei avea ocazia sa consolidezi cunostintele acumulate.

Ce metodă de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, după părerea dvs., este mai ușoară, mai accesibilă, mai rațională? Indiferent de metoda de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, ce nu trebuie uitat? Care este „smecheria” ecuațiilor raționale fracționale?

Vă mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.

Să ne familiarizăm cu ecuațiile raționale și fracționale, să le dăm definiția, să dăm exemple și să analizăm, de asemenea, cele mai comune tipuri de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuație rațională: definiție și exemple

Cunoașterea expresiilor raționale începe în clasa a VIII-a a școlii. În acest moment, la lecțiile de algebră, elevii încep din ce în ce mai mult să îndeplinească sarcini cu ecuații care conțin expresii raționale în notele lor. Să ne reîmprospătăm memoria despre ceea ce este.

Definiția 1

ecuație rațională este o ecuație în care ambele părți conțin expresii raționale.

În diverse manuale, puteți găsi o altă formulare.

Definiția 2

ecuație rațională este o astfel de ecuație, a cărei înregistrare a părții stângi conține expresie rațională, în timp ce cea dreaptă este zero.

Definițiile pe care le-am dat pentru ecuațiile raționale sunt echivalente, deoarece înseamnă același lucru. Corectitudinea cuvintelor noastre este confirmată de faptul că pentru orice expresii raționale PȘi Q ecuații P=QȘi P − Q = 0 vor fi expresii echivalente.

Acum să ne întoarcem la exemple.

Exemplul 1

Ecuații raționale:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Ecuațiile raționale, la fel ca și ecuațiile de alte tipuri, pot conține orice număr de variabile de la 1 la mai multe. Pentru început, vom lua în considerare exemple simple, în care ecuațiile vor conține o singură variabilă. Și apoi începem să complicăm treptat sarcina.

Ecuațiile raționale sunt împărțite în două grupuri mari: întreg și fracționar. Să vedem ce ecuații se vor aplica fiecărui grup.

Definiția 3

O ecuație rațională va fi un număr întreg dacă înregistrarea părților sale din stânga și din dreapta conține expresii raționale întregi.

Definiția 4

O ecuație rațională va fi fracțională dacă una sau ambele părți conțin o fracție.

Ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă, sau variabila este prezentă în numitor. Nu există o astfel de împărțire în scrierea ecuațiilor întregi.

Exemplul 2

3 x + 2 = 0Și (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 sunt ecuații raționale întregi. Aici ambele părți ale ecuației sunt reprezentate prin expresii întregi.

1 x - 1 = x 3 și x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sunt ecuații fracționale raționale.

Ecuațiile raționale întregi includ ecuații liniare și pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Rezolvarea unor astfel de ecuații se reduce de obicei la transformarea lor în ecuații algebrice echivalente. Acest lucru poate fi realizat prin efectuarea de transformări echivalente ale ecuațiilor în conformitate cu următorul algoritm:

• mai întâi obținem zero în partea dreaptă a ecuației, pentru aceasta este necesar să transferăm expresia care se află în partea dreaptă a ecuației în partea stângă și să schimbăm semnul;
• apoi transformăm expresia din partea stângă a ecuației într-un polinom vedere standard.

Trebuie să obținem o ecuație algebrică. Această ecuație va fi echivalentă cu ecuația originală. Cazurile simple ne permit să rezolvăm problema reducând întreaga ecuație la una liniară sau pătratică. În cazul general, rezolvăm o ecuație algebrică a gradului n.

Exemplul 3

Este necesar să găsiți rădăcinile întregii ecuații 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Soluţie

Să transformăm expresia originală pentru a obține o ecuație algebrică echivalentă cu aceasta. Pentru a face acest lucru, vom transfera expresia conținută în partea dreaptă a ecuației în partea stângă și vom schimba semnul în opus. Ca rezultat, obținem: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Acum vom transforma expresia din partea stângă într-un polinom al formei standard și vom efectua acțiunile necesare cu acest polinom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Am reușit să reducem soluția ecuației inițiale la soluție ecuație pătratică drăguț x 2 − 5 x − 6 = 0. Discriminantul acestei ecuații este pozitiv: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Acest lucru înseamnă, rădăcini adevărate vor fi doi. Să le găsim folosind formula rădăcinilor ecuației pătratice:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 sau x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 sau x 2 = - 1

Să verificăm corectitudinea rădăcinilor ecuației pe care le-am găsit în cursul soluției. Pentru acest număr, pe care l-am primit, înlocuim în ecuația originală: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3Și 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. În primul caz 63 = 63 , in secunda 0 = 0 . Rădăcini x=6Și x = − 1 sunt într-adevăr rădăcinile ecuației date în condiția exemplu.

Răspuns: 6 , − 1 .

Să ne uităm la ce înseamnă „puterea întregii ecuații”. Vom întâlni adesea acest termen în acele cazuri când trebuie să reprezentăm o întreagă ecuație sub forma uneia algebrice. Să definim conceptul.

Definiția 5

Gradul unei ecuații întregi este gradul unei ecuații algebrice echivalente cu întreaga ecuație originală.

Dacă te uiți la ecuațiile din exemplul de mai sus, poți stabili: gradul întregii ecuații este al doilea.

Dacă cursul nostru s-a limitat la rezolvarea ecuațiilor de gradul doi, atunci analiza subiectului ar putea fi finalizată aici. Dar totul nu este atât de simplu. Rezolvarea ecuațiilor de gradul al treilea este plină de dificultăți. Și pentru ecuațiile de peste gradul al patrulea, nu există deloc formule generale rădăcini. În acest sens, rezolvarea ecuațiilor întregi de gradul al treilea, al patrulea și de alte grade necesită să folosim o serie de alte tehnici și metode.

Cea mai frecvent utilizată abordare pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi se bazează pe metoda factorizării. Algoritmul acțiunilor în acest caz este următorul:

• transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă, astfel încât zero să rămână în partea dreaptă a înregistrării;
• reprezentăm expresia din partea stângă ca un produs al factorilor și apoi trecem la un set de mai multe ecuații mai simple.

Exemplul 4

Aflați soluția ecuației (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Soluţie

Transferăm expresia din partea dreaptă a înregistrării în partea stângă cu semnul opus: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Convertirea părții stângi într-un polinom al formei standard este nepractică, deoarece aceasta ne va oferi o ecuație algebrică de gradul al patrulea: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Ușurința transformării nu justifică toate dificultățile în rezolvarea unei astfel de ecuații.

Este mult mai ușor să mergem în altă direcție: scoatem factorul comun x 2 − 10 x + 13 . Astfel ajungem la o ecuație a formei (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Acum înlocuim ecuația rezultată cu un set de două ecuații pătratice x 2 − 10 x + 13 = 0Și x 2 − 2 x − 1 = 0și găsiți rădăcinile lor prin discriminant: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Răspuns: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

În mod similar, putem folosi metoda introducerii unei noi variabile. Această metodă ne permite să trecem la ecuații echivalente cu puteri mai mici decât cele din întreaga ecuație originală.

Exemplul 5

Ecuația are rădăcini? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Soluţie

Dacă acum încercăm să reducem întreaga ecuație rațională la una algebrică, vom obține o ecuație de gradul 4, care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, ne va fi mai ușor să mergem în altă direcție: introduceți o nouă variabilă y, care va înlocui expresia din ecuație x 2 + 3 x.

Acum vom lucra cu întreaga ecuație (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Transferăm partea dreaptă a ecuației în partea stângă cu semnul opus și efectuăm transformările necesare. Primim: y 2 + 4 y + 3 = 0. Să găsim rădăcinile ecuației pătratice: y = − 1Și y = − 3.

Acum să facem înlocuirea inversă. Obținem două ecuații x 2 + 3 x = − 1Și x 2 + 3 x = - 3 . Să le rescriem ca x 2 + 3 x + 1 = 0 și x 2 + 3 x + 3 = 0. Folosim formula rădăcinilor ecuației pătratice pentru a găsi rădăcinile primei ecuații obținute: - 3 ± 5 2 . Discriminantul celei de-a doua ecuații este negativ. Aceasta înseamnă că a doua ecuație nu are rădăcini reale.

Răspuns:- 3 ± 5 2

Ecuațiile întregi de grade înalte apar destul de des în probleme. Nu trebuie să-ți fie frică de ei. Trebuie să fie gata pentru a aplica metoda non-standard soluțiile lor, inclusiv o serie de transformări artificiale.

Rezolvarea ecuațiilor fracționale raționale

Începem examinarea acestui subtopic cu un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0 , unde p(x)Și q(x) sunt expresii raționale întregi. Rezolvarea altor ecuații raționale fracționale poate fi întotdeauna redusă la soluția ecuațiilor de forma indicată.

Metoda cea mai des folosită pentru rezolvarea ecuațiilor p (x) q (x) = 0 se bazează pe următoarea afirmație: fracție numerică u v, Unde v este un număr diferit de zero, egal cu zero numai în cazurile în care numărătorul fracției este egal cu zero. Urmând logica afirmației de mai sus, putem afirma că soluția ecuației p (x) q (x) = 0 poate fi redusă la îndeplinirea a două condiții: p(x)=0Și q(x) ≠ 0. Pe aceasta, se construiește un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0:

• găsim soluția întregii ecuații raționale p(x)=0;
• verificăm dacă condiția este îndeplinită pentru rădăcinile găsite în timpul soluției q(x) ≠ 0.

Dacă această condiție este îndeplinită, atunci rădăcina găsită. Dacă nu, atunci rădăcina nu este o soluție la problemă.

Exemplul 6

Aflați rădăcinile ecuației 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Soluţie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracțională de forma p (x) q (x) = 0 , în care p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Să începem să rezolvăm ecuația liniară 3 x - 2 = 0. Rădăcina acestei ecuații va fi x = 2 3.

Să verificăm rădăcina găsită, dacă îndeplinește condiția 5 x 2 - 2 ≠ 0. Pentru a face acest lucru, înlocuiți o valoare numerică în expresie. Obținem: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Condiția este îndeplinită. Înseamnă că x = 2 3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns: 2 3 .

Există o altă opțiune pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale p (x) q (x) = 0 . Amintiți-vă că această ecuație este echivalentă cu întreaga ecuație p(x)=0 pe intervalul de valori admisibile ale variabilei x din ecuația originală. Acest lucru ne permite să folosim următorul algoritm în rezolvarea ecuațiilor p(x) q(x) = 0:

• rezolva ecuatia p(x)=0;
• găsiți intervalul de valori acceptabile pentru variabila x ;
• luăm rădăcinile care se află în regiunea valorilor admisibile ale variabilei x ca rădăcini dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Soluţie

Mai întâi, să rezolvăm ecuația pătratică x 2 − 2 x − 11 = 0. Pentru a calcula rădăcinile sale, folosim formula rădăcinii pentru un al doilea coeficient par. Primim D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12și x = 1 ± 2 3 .

Acum putem găsi ODV-ul lui x pentru ecuația originală. Acestea sunt toate numerele pentru care x 2 + 3 x ≠ 0. Este la fel ca x (x + 3) ≠ 0, de unde x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Acum să verificăm dacă rădăcinile x = 1 ± 2 3 obținute în prima etapă a soluției se află în intervalul valorilor acceptabile ale variabilei x . Vedem ce intră. Aceasta înseamnă că ecuația rațională fracțională originală are două rădăcini x = 1 ± 2 3 .

Răspuns: x = 1 ± 2 3

A doua metodă de rezolvare descrisă este mai simplă decât prima în cazurile în care aria valorilor admisibile ale variabilei x este ușor de găsit, iar rădăcinile ecuației p(x)=0 iraţional. De exemplu, 7 ± 4 26 9 . Rădăcinile pot fi raționale, dar cu un numărător sau numitor mare. De exemplu, 127 1101 Și − 31 59 . Acest lucru economisește timp pentru verificarea stării. q(x) ≠ 0: este mult mai ușor să excludeți rădăcinile care nu se potrivesc, conform ODZ.

Când rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt numere întregi, este mai oportun să se folosească primul algoritm descris pentru rezolvarea ecuațiilor de forma p (x) q (x) = 0 . Găsirea mai rapidă a rădăcinilor unei întregi ecuații p(x)=0, apoi verificați dacă condiția este îndeplinită pentru ei q(x) ≠ 0, și nu găsiți ODZ, apoi rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că în astfel de cazuri este de obicei mai ușor să faceți o verificare decât să găsiți ODZ.

Exemplul 8

Aflați rădăcinile ecuației (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Soluţie

Începem prin a considera întreaga ecuație (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0și găsindu-și rădăcinile. Pentru a face acest lucru, aplicăm metoda de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare. Se dovedește că ecuația inițială este echivalentă cu un set de patru ecuații 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, dintre care trei sunt liniare și unul este pătrat. Găsim rădăcinile: din prima ecuație x = 1 2, din a doua x=6, din a treia - x \u003d 7, x \u003d - 2, din a patra - x = − 1.

Să verificăm rădăcinile obținute. Definiți OHS în acest caz ne este greu, deoarece pentru aceasta va trebui să rezolvăm o ecuație algebrică de gradul cinci. Va fi mai ușor să verificați condiția conform căreia numitorul fracției, care se află în partea stângă a ecuației, nu ar trebui să dispară.

La rândul său, înlocuiți rădăcinile în locul variabilei x din expresie x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 si calculeaza-i valoarea:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Verificarea efectuată ne permite să stabilim că rădăcinile ecuației raționale fracționale originale sunt 1 2 , 6 și − 2 .

Răspuns: 1 2 , 6 , - 2

Exemplul 9

Aflați rădăcinile ecuației raționale fracționale 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Soluţie

Să începem cu ecuația (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Să-i găsim rădăcinile. Ne este mai ușor să reprezentăm această ecuație ca o combinație de pătrat și ecuatii lineare 5 x 2 - 7 x - 1 = 0Și x − 2 = 0.

Folosim formula rădăcinilor unei ecuații pătratice pentru a găsi rădăcinile. Obținem două rădăcini x = 7 ± 69 10 din prima ecuație și din a doua x=2.

Înlocuirea valorii rădăcinilor în ecuația originală pentru a verifica condițiile va fi destul de dificilă pentru noi. Va fi mai ușor de determinat LPV al variabilei x . În acest caz, DPV al variabilei x este toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția este îndeplinită x 2 + 5 x − 14 = 0. Se obține: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Acum să verificăm dacă rădăcinile pe care le-am găsit aparțin intervalului de valori acceptabile pentru variabila x.

Rădăcinile x = 7 ± 69 10 - aparțin, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației inițiale și x=2- nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns: x = 7 ± 69 10 .

Să examinăm separat cazurile în care numărătorul unei ecuații raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0 conține un număr. În astfel de cazuri, dacă numărătorul conține un alt număr decât zero, atunci ecuația nu va avea rădăcini. Dacă acest număr este egal cu zero, atunci rădăcina ecuației va fi orice număr din ODZ.

Exemplul 10

Rezolvați ecuația rațională fracțională - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Soluţie

Această ecuație nu va avea rădăcini, deoarece numărătorul fracției din partea stângă a ecuației conține un număr diferit de zero. Aceasta înseamnă că pentru orice valoare a lui x valoarea fracției date în condiția problemei nu va fi egală cu zero.

Răspuns: fara radacini.

Exemplul 11

Rezolvați ecuația 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Soluţie

Deoarece numărătorul fracției este zero, soluția ecuației va fi orice valoare a lui x din variabila ODZ x.

Acum să definim ODZ. Va include toate valorile x pentru care x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Soluții de ecuație x 4 + 5 x 3 = 0 sunt 0 Și − 5 , deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x + 5) = 0, și, la rândul său, este echivalent cu mulțimea a două ecuații x 3 = 0 și x + 5 = 0 unde aceste rădăcini sunt vizibile. Ajungem la concluzia că intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0Și x = -5.

Se pare că ecuația rațională fracțională 0 x 4 + 5 x 3 = 0 are un număr infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și - 5.

Răspuns: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Acum să vorbim despre ecuațiile raționale fracționale de formă arbitrară și despre metodele de rezolvare a acestora. Ele pot fi scrise ca r(x) = s(x), Unde r(x)Și s x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Rezolvarea unor astfel de ecuații se reduce la soluția ecuațiilor de forma p (x) q (x) = 0 .

Știm deja că putem obține o ecuație echivalentă transferând expresia din partea dreaptă a ecuației în partea stângă cu semnul opus. Aceasta înseamnă că ecuația r(x) = s(x) este echivalentă cu ecuația r (x) − s (x) = 0. Am discutat deja despre cum se transformă o expresie rațională într-o fracție rațională. Datorită acestui lucru, putem transforma cu ușurință ecuația r (x) − s (x) = 0în fracția sa rațională identică de forma p (x) q (x) .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x) = s(x) la o ecuație de forma p (x) q (x) = 0 , pe care am învățat deja cum să o rezolvăm.

Trebuie remarcat faptul că atunci când se fac tranziții de la r (x) − s (x) = 0 la p (x) q (x) = 0 și apoi la p(x)=0 este posibil să nu luăm în considerare extinderea intervalului de valori valide ale variabilei x.

Este destul de realist că ecuația originală r(x) = s(x)și ecuație p(x)=0 ca urmare a transformărilor acestea vor înceta să mai fie echivalente. Apoi soluția ecuației p(x)=0 ne poate da rădăcini care ne vor fi străine r(x) = s(x). În acest sens, în fiecare caz este necesar să se efectueze o verificare prin oricare dintre metodele descrise mai sus.

Pentru a vă facilita studierea subiectului, am generalizat toate informațiile într-un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale de forma r(x) = s(x):

• transferăm expresia din partea dreaptă cu semnul opus și obținem zero în dreapta;
• transformăm expresia inițială într-o fracție rațională p (x) q (x) realizând secvențial acțiuni cu fracții și polinoame;
• rezolva ecuatia p(x)=0;
• relevăm rădăcinile străine verificând apartenența lor la ODZ sau substituind în ecuația originală.

Vizual, lanțul de acțiuni va arăta astfel:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → abandonul r o n d e r o o n s

Exemplul 12

Rezolvați ecuația rațională fracțională x x + 1 = 1 x + 1 .

Soluţie

Să trecem la ecuația x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Să transformăm expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației în forma p (x) q (x) .

Pentru a face acest lucru, trebuie să reducem fracțiile raționale la un numitor comun și să simplificăm expresia:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Pentru a găsi rădăcinile ecuației - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, trebuie să rezolvăm ecuația − 2 x − 1 = 0. Obținem o singură rădăcină x = - 1 2.

Ne rămâne să efectuăm verificarea prin oricare dintre metode. Să le luăm în considerare pe amândouă.

Înlocuiți valoarea rezultată în ecuația originală. Se obține - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Am ajuns la egalitatea numerică corectă − 1 = − 1 . Înseamnă că x = − 1 2 este rădăcina ecuației inițiale.

Acum vom verifica prin ODZ. Să definim intervalul de valori acceptabile pentru variabila x . Acesta va fi întregul set de numere, cu excepția − 1 și 0 (când x = − 1 și x = 0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina pe care o avem x = − 1 2 aparține ODZ. Aceasta înseamnă că este rădăcina ecuației originale.

Răspuns: − 1 2 .

Exemplul 13

Aflați rădăcinile ecuației x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Soluţie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracțională. Prin urmare, vom acționa conform algoritmului.

Să mutăm expresia din partea dreaptă în partea stângă cu semnul opus: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Să efectuăm transformările necesare: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Ajungem la ecuație x=0. Rădăcina acestei ecuații este zero.

Să verificăm dacă această rădăcină este una străină pentru ecuația originală. Înlocuiți valoarea din ecuația inițială: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . După cum puteți vedea, ecuația rezultată nu are sens. Aceasta înseamnă că 0 este o rădăcină străină, iar ecuația rațională fracțională originală nu are rădăcini.

Răspuns: fara radacini.

Dacă nu am inclus alte transformări echivalente în algoritm, asta nu înseamnă deloc că nu pot fi folosite. Algoritmul este universal, dar este conceput pentru a ajuta, nu a limita.

Exemplul 14

Rezolvați ecuația 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Soluţie

Cel mai simplu mod este de a rezolva ecuația rațională fracțională dată conform algoritmului. Dar există o altă cale. Să luăm în considerare.

Scădem din părțile din dreapta și din stânga 7, obținem: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Din aceasta putem trage concluzia că expresia din numitorul părții stângi ar trebui să fie egală cu reciproca numărului din partea dreaptă, adică 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Scădeți din ambele părți 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Prin analogie 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, de unde 1 5 - x 2 \u003d 1 3, și mai departe 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Să verificăm pentru a stabili dacă rădăcinile găsite sunt rădăcinile ecuației originale.

Răspuns: x = ± 2

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Până acum, am rezolvat doar ecuații întregi în raport cu necunoscutul, adică ecuații în care numitorii (dacă există) nu conțineau necunoscutul.

Adesea trebuie să rezolvați ecuații care conțin necunoscuta în numitori: astfel de ecuații se numesc fracționale.

Pentru a rezolva această ecuație, înmulțim ambele părți ale acesteia, adică cu un polinom care conține necunoscutul. Va fi noua ecuație echivalentă cu cea dată? Pentru a răspunde la întrebare, să rezolvăm această ecuație.

Înmulțind ambele părți ale acestuia cu , obținem:

Rezolvând această ecuație de gradul întâi, găsim:

Deci, ecuația (2) are o singură rădăcină

Înlocuind-o în ecuația (1), obținem:

Prin urmare, este și rădăcina ecuației (1).

Ecuația (1) nu are alte rădăcini. În exemplul nostru, acest lucru se poate observa, de exemplu, din faptul că în ecuația (1)

Cum trebuie să fie divizorul necunoscut egal cu dividendul 1 împărțit la câtul 2, adică

Deci, ecuațiile (1) și (2) au o singură rădăcină și, prin urmare, sunt echivalente.

2. Rezolvăm acum următoarea ecuație:

Cel mai simplu numitor comun: ; înmulțiți toți termenii ecuației cu ea:

După reducere obținem:

Să extindem parantezele:

Aducând termeni similari, avem:

Rezolvând această ecuație, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem:

În partea stângă, am primit expresii care nu au sens.

Prin urmare, rădăcina ecuației (1) nu este. Aceasta implică faptul că ecuațiile (1) și nu sunt echivalente.

În acest caz, spunem că ecuația (1) a dobândit o rădăcină străină.

Să comparăm soluția ecuației (1) cu soluția ecuațiilor pe care le-am considerat mai devreme (vezi § 51). În rezolvarea acestei ecuații, a trebuit să efectuăm două astfel de operații care nu au fost întâlnite înainte: în primul rând, am înmulțit ambele părți ale ecuației cu o expresie care conține o necunoscută (numitor comun) și, în al doilea rând, am redus fracțiile algebrice cu factori care conțin un necunoscut.

Comparând ecuația (1) cu ecuația (2), vedem că nu toate valorile x valide pentru ecuația (2) sunt valabile pentru ecuația (1).

Numerele 1 și 3 nu sunt valori admisibile ale necunoscutului pentru ecuația (1), iar ca urmare a transformării au devenit admisibile pentru ecuația (2). Unul dintre aceste numere s-a dovedit a fi o soluție a ecuației (2), dar, desigur, nu poate fi o soluție a ecuației (1). Ecuația (1) nu are soluții.

Acest exemplu arată că atunci când ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu un factor care conține necunoscutul și când fracții algebrice se poate obţine o ecuaţie care nu este echivalentă cu cea dată şi anume: pot apărea rădăcini străine.

Prin urmare, tragem următoarea concluzie. Când se rezolvă o ecuație care conține o necunoscută în numitor, rădăcinile rezultate trebuie verificate prin substituție în ecuația originală. Rădăcinile străine trebuie aruncate.

\(\bullet\) O ecuație rațională este o ecuație exprimată ca \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] unde \(P(x), \ Q(x)\) - polinoame (suma „xe” în diferite grade, înmulțită cu diverse numere).
Expresia din partea stângă a ecuației se numește expresie rațională.
ODV (gama de valori acceptabile) a unei ecuații raționale este toate valorile \(x\) pentru care numitorul NU dispare, adică \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) De exemplu, ecuații \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] sunt ecuații raționale.
În prima ecuație, ODZ este tot \(x\) astfel încât \(x\ne 3\) (ei scriu \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); în a doua ecuație, acestea sunt toate \(x\) , astfel încât \(x\ne -1; x\ne 1\) (scrieți \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); iar în a treia ecuație nu există restricții asupra ODZ, adică ODZ este tot \(x\) (ei scriu \(x\in\mathbb(R)\) ). Teoreme \(\bullet\):
1) Produsul a doi factori este egal cu zero dacă și numai dacă unul dintre ei este egal cu zero, în timp ce celălalt nu își pierde sensul, prin urmare, ecuația \(f(x)\cdot g(x)=0 \) este echivalent cu sistemul \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ text(ecuații ODV) \end(cazuri)\] 2) Fracția este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul este egal cu zero și numitorul nu este egal cu zero, prin urmare, ecuația \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) este echivalentă cu sistemul de ecuații \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Să ne uităm la câteva exemple.

1) Rezolvați ecuația \(x+1=\dfrac 2x\) . Să găsim ODZ a acestei ecuații - aceasta este \(x\ne 0\) (deoarece \(x\) este la numitor).
Deci, ODZ poate fi scris astfel: .
Să transferăm toți termenii într-o singură parte și să reducem la un numitor comun: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( cazuri) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cazuri)\] Soluția primei ecuații a sistemului va fi \(x=-2, x=1\) . Vedem că ambele rădăcini sunt diferite de zero. Prin urmare, răspunsul este: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Rezolvați ecuația \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). Să găsim ODZ a acestei ecuații. Vedem că singura valoare \(x\) pentru care partea stângă nu are sens este \(x=0\) . Deci OD poate fi scris după cum urmează: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Astfel, această ecuație este echivalentă cu sistemul:

\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aliniat) \end(adunat) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aliniat) \end(adunat) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(gathered) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(gathered) \right.\]Într-adevăr, în ciuda faptului că \(x=0\) este rădăcina celui de-al doilea factor, dacă înlocuiți \(x=0\) în ecuația originală, atunci nu va avea sens, deoarece expresia \(\dfrac 40\) nu este definită.
Deci soluția acestei ecuații este \(x\in \(1;2\)\) .

3) Rezolvați ecuația \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]În ecuația noastră \(4x^2-1\ne 0\) , de unde \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , adică \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Transferăm toți termenii în partea stângă și reducem la un numitor comun:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered) \begin( aliniat) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aliniat)\end(adunat) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Săgeată stânga dreapta \quad x=-3\)

Răspuns: \(x\in \(-3\)\) .

Cometariu. Dacă răspunsul constă dintr-un set finit de numere, atunci acestea pot fi scrise printr-un punct și virgulă între acolade, așa cum se arată în exemplele anterioare.

Sarcinile care necesită rezolvarea ecuațiilor raționale sunt întâlnite în fiecare an în cadrul examenului de stat unificat la matematică, prin urmare, în pregătirea pentru promovarea testului de certificare, absolvenții ar trebui să repete singuri teoria pe această temă. Pentru a putea face față unor astfel de sarcini, absolvenții care promovează atât nivelul de bază, cât și cel de profil al examenului trebuie neapărat. După ce stăpânesc teoria și s-au ocupat de exerciții practice pe tema „Ecuații raționale”, studenții vor fi capabili să rezolve probleme cu orice număr de acțiuni și se vor aștepta să primească puncte competitive la sfârșitul examenului.

Cum să vă pregătiți pentru examen cu portalul educațional „Shkolkovo”?

Uneori este destul de dificil să găsești o sursă în care să fie prezentată pe deplin teoria de bază pentru rezolvarea problemelor matematice. Este posibil ca manualul să nu fie la îndemână. Și uneori este destul de dificil să găsești formulele necesare chiar și pe Internet.

Portalul educațional „Shkolkovo” vă va scuti de nevoia de a căuta materialul potrivitși vă va ajuta să vă pregătiți bine pentru trecerea testului de certificare.

Toată teoria necesară pe tema „Ecuații raționale” a fost pregătită de specialiștii noștri și prezentată în cea mai accesibilă formă. Studiind informațiile prezentate, studenții vor putea completa golurile de cunoștințe.

Pentru a se pregăti cu succes pentru UTILIZARE pentru absolvenți este necesar nu numai împrospătarea memoriei de bază material teoretic pe tema „Ecuații raționale”, dar pentru a exersa realizarea sarcinilor pe exemple concrete. Selecție mare sarcinile este prezentată în secțiunea „Catalog”.

Pentru fiecare exercițiu de pe site, experții noștri au prescris un algoritm de soluție și au indicat răspunsul corect. Elevii pot exersa rezolvarea de probleme de dificultate diferită în funcție de nivelul de pregătire. Lista sarcinilor din secțiunea corespunzătoare este completată și actualizată în mod constant.

Puteți studia material teoretic și vă puteți perfecționa abilitățile în rezolvarea problemelor pe tema „Ecuații raționale”, similare celor incluse în testele USE, online. Dacă este necesar, oricare dintre sarcinile prezentate poate fi adăugată la secțiunea „Favorite”. După ce a repetat încă o dată teoria de bază pe tema „Ecuații raționale”, elevul de liceu va putea reveni la problemă în viitor pentru a discuta despre progresul rezolvării acesteia cu profesorul la lecția de algebră.

Ecuațiile cu fracții în sine nu sunt dificile și foarte interesante. Luați în considerare tipurile ecuații fracționaleși modalități de a le rezolva.

Cum se rezolvă ecuații cu fracții - x la numărător

Dacă este dată o ecuație fracțională, unde necunoscuta este la numărător, soluția nu necesită condiții suplimentare și se rezolvă fără bataie suplimentară. Forma generală o astfel de ecuație este x/a + b = c, unde x este o necunoscută, a, b și c sunt numere obișnuite.

Aflați x: x/5 + 10 = 70.

Pentru a rezolva ecuația, trebuie să scapi de fracții. Înmulțiți fiecare termen al ecuației cu 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x și 5 se reduce, 10 și 70 se înmulțesc cu 5 și obținem: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Aflați x: x/5 + x/10 = 90.

Acest exemplu este o versiune puțin mai complicată față de primul. Există două soluții aici.

• Opțiunea 1: Scăpați de fracții înmulțind toți termenii ecuației cu un numitor mai mare, adică cu 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Opțiunea 2: Adăugați partea stângă a ecuației. x/5 + x/10 = 90. Numitor comun– 10. 10 împărțit la 5, înmulțit cu x, obținem 2x. 10 împărțit la 10, înmulțit cu x, obținem x: 2x+x/10 = 90. Prin urmare 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Adesea există ecuații fracționale în care sunt x-urile laturi diferite semn egal. Într-o astfel de situație, este necesar să transferați toate fracțiile cu x într-o direcție, iar numerele în alta.

• Aflați x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Mutați 2x/5 la dreapta cu semnul opus: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Reducem 5x/5 și obținem: x = 130.

Cum se rezolvă o ecuație cu fracții - x la numitor

Acest tip de ecuații fracționale necesită scrierea unor condiții suplimentare. Indicarea acestor condiții este o parte obligatorie și integrantă a deciziei corecte. Dacă nu le atribuiți, riscați, deoarece răspunsul (chiar dacă este corect) poate pur și simplu să nu fie luat în considerare.

Forma generală a ecuațiilor fracționale, unde x este la numitor, este: a/x + b = c, unde x este o necunoscută, a, b, c sunt numere ordinare. Rețineți că x poate să nu fie orice număr. De exemplu, x nu poate fi zero, deoarece nu puteți împărți la 0. Aceasta este ceea ce este condiție suplimentară, pe care trebuie să o precizăm. Aceasta se numește intervalul de valori acceptabile, prescurtat - ODZ.

Aflați x: 15/x + 18 = 21.

Scriem imediat ODZ pentru x: x ≠ 0. Acum că este indicată ODZ, rezolvăm ecuația conform schemei standard, scăpând de fracții. Înmulțim toți termenii ecuației cu x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Adesea există ecuații în care numitorul conține nu numai x, ci și o altă operație cu acesta, cum ar fi adunarea sau scăderea.

Aflați x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Știm deja că numitorul nu poate fi egal cu zero, ceea ce înseamnă x-3 ≠ 0. Transferăm -3 în partea dreaptă, schimbând semnul „-” în „+” și obținem că x ≠ 3. ODZ este indicat.

Rezolvați ecuația, înmulțiți totul cu x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Mutați x-urile la dreapta, numerele la stânga: 24 = 3x => x = 8.