Ce este rădăcina n grad. Rădăcină pătrată. Ghid cuprinzător (2019)
Primul nivel
Rădăcina și proprietățile sale. Teorie detaliată cu exemple (2019)
Să încercăm să ne dăm seama ce fel de concept este o „rădăcină” și „cu ce se mănâncă”. Pentru a face acest lucru, luați în considerare exemplele pe care le-ați întâlnit deja în lecții (ei bine, sau trebuie doar să faceți față acestui lucru).
De exemplu, avem o ecuație. Care este soluția acestei ecuații? Ce numere pot fi pătrate și obținute în același timp? Amintindu-ți de tabla înmulțirii, poți da cu ușurință răspunsul: și (pentru că atunci când înmulți două numere negative, obții un număr pozitiv)! Pentru a simplifica, matematicienii au introdus un concept special al rădăcinii pătrate și i-au atribuit un simbol special.
Să definim rădăcina pătrată aritmetică.
De ce numărul trebuie să fie nenegativ? De exemplu, ceea ce este egal cu. Bine, hai să încercăm să ne dăm seama. Poate trei? Să verificăm: și nu. Pot fi, ? Din nou, verificați: Ei bine, nu este selectat? Acest lucru este de așteptat - pentru că nu există numere care, la pătrat, să dea un număr negativ!
Acest lucru trebuie reținut: numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii trebuie să fie nenegativ!
Cu toate acestea, cei mai atenți probabil au observat deja că definiția spune că soluția rădăcinii pătrate a „un număr se numește astfel nenegativ număr al cărui pătrat este „. Unii dintre voi veți spune că la început am analizat exemplul, numere selectate care pot fi pătrate și obținute în același timp, răspunsul a fost și, și aici se vorbește despre un fel de „număr nenegativ”! O astfel de observație este destul de potrivită. Aici este necesar pur și simplu să se facă distincția între conceptele de ecuații pătratice și rădăcina pătrată aritmetică a unui număr. De exemplu, nu este echivalent cu o expresie.
Rezultă că, adică sau. (Citiți subiectul „”)
Și rezultă că.
Desigur, acest lucru este foarte confuz, dar trebuie amintit că semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației, deoarece atunci când rezolvăm ecuația, trebuie să notăm toate x-urile care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, vor da valoarea corectă. rezultat. În a noastră ecuație pătratică se potriveste ambelor.
Cu toate acestea, dacă luați doar rădăcina pătrată de la ceva, atunci întotdeauna obținem un rezultat nenegativ.
Acum încercați să rezolvați această ecuație. Totul nu este atât de simplu și neted, nu? Încercați să sortați numerele, poate se va arde ceva? Să începem de la început - de la zero: - nu se potrivește, mergi mai departe - mai puțin de trei, de asemenea, perie deoparte, dar dacă. Să verificăm: - nici nu se potrivește, pentru că este mai mult de trei. Cu numere negative, aceeași poveste se va dovedi. Și ce să faci acum? Căutarea nu ne-a dat nimic? Deloc, acum știm sigur că răspunsul va fi un număr între și, precum și între și. De asemenea, este evident că soluțiile nu vor fi numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Deci, ce urmează? Să construim un grafic al funcției și să marchem soluțiile pe el.
Să încercăm să păcălim sistemul și să obținem un răspuns cu un calculator! Să scoatem rădăcina din afaceri! Oh-oh-oh, se dovedește că. Acest număr nu se termină niciodată. Cum să-ți amintești asta, pentru că nu va fi niciun calculator la examen!? Totul este foarte simplu, nu trebuie să vă amintiți, trebuie să vă amintiți (sau să puteți estima rapid) o valoare aproximativă. și răspunsurile în sine. Astfel de numere sunt numite iraționale și a fost introdus conceptul de rădăcină pătrată pentru a simplifica notarea unor astfel de numere.
Să ne uităm la un alt exemplu pentru a consolida. Să analizăm următoarea problemă: trebuie să traversezi în diagonală cutie patrata cu o latura de km, cati km ai de mers?
Cel mai evident lucru aici este să luați în considerare triunghiul separat și să folosiți teorema lui Pitagora:. Prin urmare, . Deci, care este distanța necesară aici? Evident, distanța nu poate fi negativă, obținem asta. Rădăcina lui doi este aproximativ egală, dar, așa cum am observat mai devreme, este deja un răspuns complet.
Pentru ca rezolvarea exemplelor cu rădăcini să nu creeze probleme, trebuie să le vedeți și să le recunoașteți. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți cel puțin pătratele numerelor de la până la, precum și să le puteți recunoaște. De exemplu, trebuie să știți ce este pătrat și, dimpotrivă, ce este pătrat.
Ți-ai dat seama ce este o rădăcină pătrată? Apoi rezolvă câteva exemple.
Exemple.
Ei bine, cum a funcționat? Acum să vedem aceste exemple:
Raspunsuri:
rădăcină cub
Ei bine, ne-am gândit oarecum conceptul de rădăcină pătrată, acum vom încerca să ne dăm seama ce este o rădăcină cubă și care este diferența lor.
Rădăcina cubă a unui număr este numărul al cărui cub este egal cu. Ai observat cât de ușor este? Aici nu există restricții cu privire la valorile posibile ca valori sub semn rădăcină cub, și numărul extras. Adică, rădăcina cubă poate fi luată din orice număr:.
Ai prins ce este o rădăcină cubă și cum să o extragi? Apoi mergeți mai departe cu exemple.
Exemple.
Raspunsuri:
Rădăcină - oh grad
Ei bine, ne-am dat seama de conceptele de rădăcină pătrată și cubă. Acum generalizăm cunoștințele obținute prin concept a rădăcină.
a rădăcină dintr-un număr este un număr a cărui putere este egală, adică
este echivalent cu.
Dacă – chiar, Acea:
- cu negativ, expresia nu are sens (rădăcinile unui --lea grad par de numere negative nu poate fi extras!);
- cu non-negativ() expresia are o rădăcină nenegativă.
Dacă - este impar, atunci expresia are o singură rădăcină pentru oricare.
Nu vă alarmați, aici se aplică aceleași principii ca și în cazul rădăcinilor pătrate și cubice. Adică principiile pe care le-am aplicat în considerare rădăcini pătrate, extindem la toate rădăcinile unui grad par.
Iar acele proprietăți care au fost folosite pentru rădăcina cubă se aplică rădăcinilor de un grad impar.
Ei bine, a devenit mai clar? Să înțelegem cu exemple:
Aici totul este mai mult sau mai puțin clar: mai întâi ne uităm - da, gradul este par, numărul de sub rădăcină este pozitiv, deci sarcina noastră este să găsim un număr al cărui grad ne va oferi. Ei bine, vreo ghicire? Pot fi, ? Exact!
Deci, gradul este egal - impar, sub rădăcină numărul este negativ. Sarcina noastră este să găsim un astfel de număr, care, atunci când este ridicat la o putere, se dovedește. Este destul de dificil să observi imediat rădăcina. Cu toate acestea, puteți restrânge căutarea imediat, nu? În primul rând, numărul dorit este cu siguranță negativ, iar în al doilea rând, se poate vedea că este impar și, prin urmare, numărul dorit este impar. Încercați să ridicați rădăcina. Bineînțeles, și puteți da deoparte în siguranță. Pot fi, ?
Da, asta cautam! Rețineți că pentru a simplifica calculul, am folosit proprietățile gradelor: .
Proprietățile de bază ale rădăcinilor
Este clar? Dacă nu, atunci după ce luăm în considerare exemplele, totul ar trebui să se încadreze la locul lor.
Înmulțirea rădăcinilor
Cum să înmulțim rădăcinile? Proprietatea cea mai simplă și de bază vă ajută să răspundeți la această întrebare:
Să începem cu unul simplu:
Rădăcinile numerelor rezultate nu sunt extrase exact? Nu vă faceți griji, iată câteva exemple:
Dar dacă nu există doi multiplicatori, ci mai mulți? Aceeași! Formula de înmulțire a rădăcinii funcționează cu orice număr de factori:
Ce putem face cu el? Ei bine, desigur, ascunde triplul sub rădăcină, amintindu-ți totodată că triplul este rădăcina pătrată a!
De ce avem nevoie de ea? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:
Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Face viața mult mai ușoară? Pentru mine, așa este! Trebuie doar să-ți amintești asta nu putem adăuga decât numere pozitive sub semnul rădăcinii unui grad par.
Să vedem unde mai poate fi util. De exemplu, într-o sarcină, trebuie să comparați două numere:
Mai mult:
Nu vei spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea analizată de a adăuga un număr sub semnul rădăcină? Apoi înainte:
Ei bine, știind ce mai mult număr sub semnul rădăcinii, cu atât rădăcina în sine este mai mare! Acestea. dacă înseamnă . De aici concluzionăm ferm că Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!
Înainte de asta, am introdus un factor sub semnul rădăcinii, dar cum să-l scoatem? Trebuie doar să-l factorizezi și să extragi ceea ce este extras!
Era posibil să mergem pe altă cale și să ne descompunem în alți factori:
Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum vă simțiți confortabil.
De exemplu, iată o expresie:
În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile puterii și factorizați totul:
Totul pare să fie clar cu acest lucru, dar cum să extrageți o rădăcină dintr-un număr într-un grad? Iată, de exemplu, acesta:
Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:
Ei bine, totul este clar? Atunci iată un exemplu:
Acestea sunt capcane, despre ele merită mereu amintit. Aceasta este de fapt o reflecție asupra exemplelor de proprietate:
| pentru ciudat: pentru par și: |
Este clar? Remediați-l cu exemple:
Da, vedem rădăcina într-un grad par, numărul negativ de sub rădăcină este, de asemenea, într-un grad par. Ei bine, funcționează la fel? Și iată ce:
Asta e tot! Acum, iată câteva exemple:
Am înţeles? Apoi mergeți mai departe cu exemple.
Exemple.
Răspunsuri.
Dacă ați primit răspunsuri, atunci puteți merge mai departe cu liniște sufletească. Dacă nu, atunci să ne uităm la aceste exemple:
Să ne uităm la alte două proprietăți ale rădăcinilor:
Aceste proprietăți trebuie analizate în exemple. Ei bine, facem asta?
Am înţeles? Să o reparăm.
Exemple.
Răspunsuri.
RĂDĂCINI ŞI PROPRIETĂŢILE LOR. NIVEL MEDIU
Rădăcina pătrată aritmetică
Ecuația are două soluții: și. Acestea sunt numere al căror pătrat este egal.
Luați în considerare ecuația. Să o rezolvăm grafic. Să desenăm un grafic al funcției și o linie pe nivel. Punctele de intersecție ale acestor drepte vor fi soluțiile. Vedem că această ecuație are și două soluții - una pozitivă, cealaltă negativă:
Dar în acest caz soluțiile nu sunt numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Pentru a nota aceste decizii iraționale, introducem un simbol special de rădăcină pătrată.
Rădăcina pătrată aritmetică este un număr nenegativ al cărui pătrat este . Când expresia nu este definită, deoarece nu există un astfel de număr, al cărui pătrat este egal cu un număr negativ.
Rădăcină pătrată: .
De exemplu, . Și rezultă că sau.
Din nou, acest lucru este foarte important: Rădăcină pătrată este întotdeauna un număr nenegativ: !
rădăcină cub din număr este numărul al cărui cub este egal. Rădăcina cubă este definită pentru toată lumea. Poate fi extras din orice număr: . După cum puteți vedea, poate lua și valori negative.
Rădăcina gradului al treilea al unui număr este numărul al cărui grad este egal cu, i.e.
Dacă - chiar, atunci:
- dacă, atunci rădăcina a nu este definită.
- dacă, atunci rădăcina nenegativă a ecuației se numește rădăcina aritmetică a gradului al-lea de și se notează.
Dacă - este impar, atunci ecuația are o singură rădăcină pentru oricare.
Ați observat că îi scriem gradul în stânga sus a semnului rădăcină? Dar nu pentru rădăcina pătrată! Dacă vedeți o rădăcină fără grad, atunci este pătrată (grade).
Exemple.
Proprietățile de bază ale rădăcinilor
RĂDĂCINIILE ȘI PROPRIETĂȚILE LOR. SCURT DESPRE PRINCIPALA
Rădăcină pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) dintr-un număr nenegativ se numește astfel număr nenegativ al cărui pătrat este
Proprietățile rădăcinii:
Acest articol este o colecție de informații detaliate care tratează subiectul proprietăților rădăcinilor. Având în vedere subiectul, vom începe cu proprietățile, vom studia toate formulările și vom da dovezi. Pentru a consolida subiectul, vom lua în considerare proprietățile gradului al n-lea.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Proprietăți rădăcină
Vom vorbi despre proprietăți.
- Proprietate numere înmulțite AȘi b, care este reprezentată ca egalitatea a · b = a · b . Poate fi reprezentat ca multiplicatori, pozitivi sau egali cu zero a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
- din privat a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, se poate scrie și sub această formă a b = a b ;
- Proprietate din puterea unui număr A cu un exponent par a 2 m = a m pentru orice număr A, de exemplu, o proprietate din pătratul unui număr a 2 = a .
În oricare dintre ecuațiile prezentate, puteți schimba părțile înainte și după semnul liniuței, de exemplu, egalitatea a · b = a · b este transformată ca a · b = a · b . Proprietățile de egalitate sunt adesea folosite pentru a simplifica ecuații complexe.
Dovada primelor proprietăți se bazează pe definiția rădăcinii pătrate și a proprietăților puterilor cu exponent natural. Pentru a fundamenta a treia proprietate, este necesar să ne referim la definiția modulului unui număr.
În primul rând, este necesar să se demonstreze proprietățile rădăcinii pătrate a · b = a · b . Conform definiției, este necesar să se considere că a b este un număr, pozitiv sau egal cu zero, care va fi egal cu a bîn timpul construcției într-un pătrat. Valoarea expresiei a · b este pozitivă sau egală cu zero ca produs al numerelor nenegative. Proprietatea gradului de înmulțire a numerelor ne permite să reprezentăm egalitatea sub forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . După definiția rădăcinii pătrate a 2 \u003d a și b 2 \u003d b, apoi a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.
În mod similar, se poate dovedi că din produs k multiplicatori a 1 , a 2 , … , a k va fi egal cu produsul rădăcinilor pătrate ale acestor factori. Într-adevăr, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .
Din această egalitate rezultă că a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .
Să ne uităm la câteva exemple pentru a consolida subiectul.
Exemplul 1
3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 și 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0. 2 (1) .
Este necesar să se demonstreze proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a coeficientului: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Proprietatea vă permite să scrieți egalitatea a: b 2 = a 2: b 2 și a 2: b 2 = a: b , în timp ce a: b este un număr pozitiv sau egal cu zero. Această expresie va fi dovada.
De exemplu, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 și 30, 121 = 30, 121.
Luați în considerare proprietatea rădăcinii pătrate a pătratului unui număr. Se poate scrie ca o egalitate ca a 2 = a Pentru a demonstra această proprietate, este necesar să luăm în considerare în detaliu mai multe egalități pentru a ≥ 0 iar la A< 0 .
Evident, pentru a ≥ 0, egalitatea a 2 = a este adevărată. La A< 0 egalitatea a 2 = - a va fi adevărată. De fapt, în acest caz − a > 0și (− a) 2 = a 2 . Putem concluziona că a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 2
5 2 = 5 = 5 și - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .
Proprietatea dovedită va ajuta la justificarea a 2 m = a m , unde A- real, și m –numar natural. Într-adevăr, proprietatea de exponențiere ne permite să înlocuim gradul a 2 m expresie (sunt) 2, atunci a 2 · m = (a m) 2 = a m .
Exemplul 3
3 8 = 3 4 = 3 4 și (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .
Proprietățile rădăcinii a n-a
Mai întâi trebuie să luați în considerare principalele proprietăți ale rădăcinilor de gradul al n-lea:
- Proprietate din produsul numerelor AȘi b, care sunt pozitive sau egale cu zero, pot fi exprimate ca egalitatea a b n = a n b n , această proprietate este valabilă pentru produs k numere a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
- dintr-un număr fracționar are proprietatea a b n = a n b n , unde A este orice număr real care este pozitiv sau egal cu zero și b este un număr real pozitiv;
- Pentru orice Ași numere pare n = 2 m a 2 m 2 m = a este adevărată, iar pentru impar n = 2 m − 1 egalitatea a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a este îndeplinită.
- Proprietatea de extragere din a m n = a n m , unde A- orice număr, pozitiv sau egal cu zero, nȘi m sunt numere naturale, această proprietate poate fi reprezentată și ca . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
- Pentru orice a nenegativ și arbitrar nȘi m, care sunt naturale, se poate defini și egalitatea justă a m n · m = a n ;
- proprietatea gradului n din puterea unui număr A, care este pozitiv sau egal cu zero, în natură m, definit prin egalitatea a m n = a n m ;
- Proprietăți de comparație care au aceiași exponenți: pentru orice numere pozitive AȘi b astfel încât A< b , inegalitatea a n< b n ;
- Proprietatea comparațiilor care au aceleași numere sub rădăcină: dacă mȘi n- numere naturale care m > n, apoi la 0 < a < 1 inegalitatea a m > a n este valabilă, iar pentru a > 1 a m< a n .
Ecuațiile de mai sus sunt valabile dacă părțile înainte și după semnul egal sunt inversate. Ele pot fi folosite și în această formă. Acesta este adesea folosit în timpul simplificării sau transformării expresiilor.
Dovada proprietăților de mai sus ale rădăcinii se bazează pe definiția, proprietățile gradului și definiția modulului unui număr. Aceste proprietăți trebuie dovedite. Dar totul este în ordine.
- În primul rând, vom demonstra proprietățile rădăcinii de gradul al n-lea din produsul a · b n = a n · b n . Pentru AȘi b, care sunt pozitiv sau zero , valoarea a n · b n este de asemenea pozitivă sau egală cu zero, deoarece este o consecință a înmulțirii numerelor nenegative. Proprietatea unui produs de putere naturală ne permite să scriem egalitatea a n · b n n = a n n · b n n . Prin definiția rădăcinii n gradul a n n = a și b n n = b , prin urmare, a n · b n n = a · b . Egalitatea rezultată este exact ceea ce trebuia să fie demonstrat.
Această proprietate este dovedită în mod similar pentru produs k factori: pentru numere nenegative a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .
Iată exemple de utilizare a proprietății root n a-a putere din produs: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 și 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .
- Să demonstrăm proprietatea rădăcinii coeficientului a b n = a n b n . La a ≥ 0Și b > 0 condiția a n b n ≥ 0 este îndeplinită, iar a n b n n = a n n b n n = a b .
Să arătăm exemple:
Exemplul 4
8 27 3 = 8 3 27 3 și 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .
- Pentru pasul următor, este necesar să se demonstreze proprietățile gradului al n-lea de la număr la grad n. Reprezentăm aceasta ca o egalitate a 2 m 2 m = a și a 2 m - 1 2 m - 1 = a pentru orice real A si naturala m. La a ≥ 0 obținem a = a și a 2 m = a 2 m , ceea ce demonstrează egalitatea a 2 m 2 m = a , iar egalitatea a 2 m - 1 2 m - 1 = a este evidentă. La A< 0 obţinem respectiv a = - a şi a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Ultima transformare a numărului este valabilă în funcție de proprietatea gradului. Acesta este ceea ce demonstrează egalitatea a 2 m 2 m \u003d a, iar a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a va fi adevărată, deoarece - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m este considerată pentru un impar grad - 1 pentru orice număr c , pozitiv sau egal cu zero.
Pentru a consolida informațiile primite, luați în considerare câteva exemple de utilizare a proprietății:
Exemplul 5
7 4 4 = 7 = 7 , (- 5 ) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 și (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .
- Să demonstrăm următoarea egalitate a m n = a n · m . Pentru a face acest lucru, trebuie să schimbați numerele dinaintea semnului egal și după acesta în locuri a n · m = a m n . Aceasta va indica intrarea corectă. Pentru A , ceea ce este pozitiv sau egal cu zero , de forma a m n este un număr pozitiv sau zero. Să ne întoarcem la proprietatea de a ridica o putere la o putere și la definiție. Cu ajutorul lor, puteți transforma egalități sub forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Aceasta dovedește proprietatea considerată a unei rădăcini dintr-o rădăcină.
Alte proprietăți sunt dovedite în mod similar. Într-adevăr, . . . un n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .
De exemplu, 7 3 5 = 7 5 3 și 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.
- Să demonstrăm următoarea proprietate a m n · m = a n . Pentru a face acest lucru, este necesar să arătăm că un n este un număr care este pozitiv sau egal cu zero. Când este ridicat la o putere n m este a m. Dacă numărul A este pozitiv sau zero, atunci n gradul dintre A este un număr pozitiv sau egal cu zero Mai mult, a n · m n = a n n m , care urma să fie demonstrat.
Pentru a consolida cunoștințele dobândite, luați în considerare câteva exemple.
- Să demonstrăm următoarea proprietate - proprietatea rădăcinii puterii formei a m n = a n m . Este evident că la a ≥ 0 gradul a n m este un număr nenegativ. Mai mult, ea n-gradul este egal cu a m, într-adevăr, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Aceasta dovedește proprietatea considerată a gradului.
De exemplu, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .
- Trebuie să dovedim asta pentru orice numere pozitive Ași b A< b . Se consideră inegalitatea a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Prin urmare, un n< b n при A< b .
De exemplu, dăm 12 4< 15 2 3 4 .
- Luați în considerare proprietatea rădăcină n- gradul. În primul rând, luați în considerare prima parte a inegalității. La m > nȘi 0 < a < 1 adevărat a m > a n . Să presupunem că a m ≤ a n . Proprietățile vor simplifica expresia la a n m · n ≤ a m m · n . Atunci, conform proprietăților unui grad cu exponent natural, inegalitatea a n m n m n ≤ a m m n m n este satisfăcută, adică a n ≤ a m. Valoarea obtinuta la m > nȘi 0 < a < 1 nu se potrivește cu proprietățile de mai sus.
În același mod, se poate dovedi că m > nȘi a > 1 condiție a m< a n .
Pentru a remedia proprietățile de mai sus, luați în considerare câteva exemple concrete. Luați în considerare inegalitățile folosind numere specifice.
Exemplul 6
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Obiectivele lecției:
educational: crearea condițiilor pentru formarea unei viziuni holistice asupra rădăcinii gradului al n-lea, abilități de conștient și utilizare rațională proprietăţile rădăcinii în rezolvarea diferitelor probleme.
Educational: creați condiții pentru dezvoltarea gândirii algoritmice, creative, dezvoltați abilitățile de autocontrol.
Educational: promovează dezvoltarea interesului pentru subiect, activitate, cultivă acuratețea în muncă, capacitatea de exprimare opinie proprie sa faca recomandari.
În timpul orelor
1. Moment organizatoric.
Bună ziua Ora buna!
Ce mă bucur să te văd.
Clopoțelul a sunat deja
Lecția începe.
Ei au zâmbit. A crescut la nivel.
s-au uitat unul la altul
Și s-au așezat în liniște.
2. Motivația lecției.
Remarcabil filozof francez, omul de știință Blaise Pascal a susținut: „Măreția omului constă în capacitatea sa de a gândi”. Astăzi vom încerca să ne simțim oameni grozavi descoperind cunoștințele pentru noi înșine. Motto-ul pentru lecția de astăzi vor fi cuvintele matematician grec antic Thales:
Care este cel mai mult din lume? - Spațiu.
Care este cel mai rapid? - Minte.
Care este cel mai înțelept? - Timpul.
Care este cel mai plăcut? - Obține ceea ce îți dorești.
Îmi doresc ca fiecare dintre voi să obțină rezultatul dorit în lecția de astăzi.
3. Actualizarea cunoștințelor.
1. Numiți operații algebrice reciproc inverse asupra numerelor. (Adunare și scădere, înmulțire și împărțire)
2. Este întotdeauna posibil să se efectueze o astfel de operație algebrică precum împărțirea? (Nu, nu poți împărți la zero)
3. Ce altă operație puteți efectua cu numere? (Exponentiație)
4. Ce operație va fi reversul ei? (extracția rădăcinilor)
5. Ce grad de rădăcină poți extrage? (a doua rădăcină)
6. Ce proprietăți ale rădăcinii pătrate cunoașteți? (Extragerea rădăcinii pătrate dintr-un produs, dintr-un cot, dintr-o rădăcină, exponențiație)
7. Găsiți valorile expresiilor:
Din istorie. Chiar și în urmă cu 4000 de ani, oamenii de știință babilonieni au întocmit, împreună cu tabele de înmulțire și tabele de reciproce (cu ajutorul cărora împărțirea numerelor se reducea la înmulțire), tabele cu pătratele numerelor și cu rădăcinile pătrate ale numerelor. În același timp, au reușit să găsească valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate a oricărui număr întreg.
4. Învățarea de noi materiale.
Evident, în conformitate cu proprietățile de bază ale gradelor cu exponenți naturali, din orice număr pozitiv există două valori opuse ale rădăcinii unui grad par, de exemplu, numerele 4 și -4 sunt rădăcinile pătrate ale lui 16 , deoarece (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, iar numerele 3 și -3 sunt a patra rădăcină a lui 81, deoarece (-3) 4 \u003d Z4 \u003d 81.
De asemenea, nu există rădăcină pară a unui număr negativ, deoarece o putere pară a oricărui număr real este nenegativă. În ceea ce privește rădăcina unui grad impar, atunci pentru orice număr real există o singură rădăcină a unui grad impar din acest număr. De exemplu, 3 este a treia rădăcină a lui 27 deoarece Z3 = 27 și -2 este a cincea rădăcină a lui -32 deoarece (-2)5 = 32.
În legătură cu existența a două rădăcini de grad par dintr-un număr pozitiv, introducem conceptul de rădăcină aritmetică pentru a elimina această ambiguitate a rădăcinii.
Valoare rădăcină nenegativă gradul al n-lea a unui număr nenegativ se numește rădăcină aritmetică.
Denumire: - a n-a rădăcină grad.
Numărul n se numește gradul rădăcinii aritmetice. Dacă n = 2, atunci gradul rădăcinii nu este indicat și se scrie. Rădăcina gradului al doilea se numește rădăcină pătrată, iar rădăcina gradului al treilea se numește rădăcină cubică.
B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0
B, bp = a, p - chiar a ≥ 0, b ≥ 0
p - impar a, b - oricare
Proprietăți
1. , a ≥ 0, b ≥ 0
2. , a ≥ 0, b > 0
3. , a ≥ 0
4. , m, n, k - numere naturale
5. Consolidarea materialului nou.
munca orală
a) Ce expresii au sens?
b) Pentru ce valori ale variabilei a are sens expresia?
Rezolvați #3, 4, 7, 9, 11.
6. Educație fizică.
În toate aspectele, este nevoie de moderație,
Să fie regula principală.
Fă gimnastică, dacă te-ai gândit mult timp,
Gimnastica nu epuizează corpul,
Dar curăță tot corpul!
Închide ochii, relaxează-ți corpul
Imaginați-vă - sunteți păsări, ați zburat brusc!
Acum înoți ca un delfin în ocean,
Acum, în grădină, culegi mere coapte.
Stânga, dreapta, privit în jur
Deschide-ți ochii și întoarce-te la muncă!
7. Munca independentă.
Lucrul în perechi cu 178 #1, #2.
8. D/z.Învață itemul 10 (p.160-161), rezolvă numărul 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2).
9. Rezultatele lecției. Reflectarea activității.
Lecția și-a atins scopul?
Ce ai invatat?
Gradul de rădăcină n dintr-un număr real A, Unde n- un număr natural, se numește un astfel de număr real X, n a cărui putere este egală cu A.
rădăcină de grad n din număr A indicat prin simbol. Conform acestei definiţii.
Găsirea rădăcinii n gradul dintre A numită extragerea rădăcinilor. Număr A se numește număr rădăcină (expresie), n- un indicator al rădăcinii. Pentru ciudat n există o rădăcină n-gradul pentru orice număr real A. Chiar n există o rădăcină n-gradul numai pentru numărul nenegativ A. Pentru a elimina ambiguitatea rădăcinii n gradul dintre A, este introdus conceptul de rădăcină aritmetică n gradul dintre A.
Conceptul de rădăcină aritmetică de grad N
Dacă n- număr natural mai mare decât 1 , atunci există și un singur număr nenegativ X, astfel încât egalitatea să fie valabilă. Acest număr X numită rădăcină aritmetică n puterea a unui număr nenegativ A si se noteaza. Număr A numit numărul rădăcină n- un indicator al rădăcinii.
Deci, conform definiției, notația , unde , înseamnă, în primul rând, că și, în al doilea rând, că , i.e. .
Conceptul de grad cu indicator rațional
Gradul cu exponent natural: lat A este un număr real și n este un număr natural mai mare decât unu n-a-a putere a unui număr A sunați la lucru n multiplicatori, fiecare dintre care este egal cu A, adică . Număr A- baza gradului, n- exponent. Exponent cu exponent zero: prin definiție, dacă , atunci . Puterea zero a unui număr 0 nu are sens. Putere cu un exponent întreg negativ: prin definiție, dacă și n este un număr natural, atunci . Gradul cu un exponent fracționar: prin definiție, dacă și n- numar natural, m este un număr întreg, atunci .
Operații cu rădăcini.
În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcina aritmetică (expresia radicală este pozitivă).
1. Rădăcina produsului mai multor factori este egal cu produsul rădăcinile acestor factori:
2. Rădăcina relației este egal cu raportul rădăcinile dividendului și divizorului:
3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere: 
4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de n ori și ridicați simultan numărul rădăcinii la a n-a putere, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba: 
5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de n ori și, în același timp, extrageți rădăcina gradului al n-lea din numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:
Extinderea conceptului de grad. Până acum, am luat în considerare grade doar cu un indicator natural; dar operațiile cu puteri și rădăcini pot duce și la exponenți negativi, zero și fracționari. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.
Gradul cu exponent negativ. Puterea unui număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:
Acum formula a m: a n \u003d a m - n poate fi folosită nu numai pentru m mai mare decât n, ci și pentru m mai mic decât n.
EXEMPLU a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Dacă dorim ca formula a m: a n = a m - n să fie valabilă pentru m = n , trebuie să definim gradul zero.
Gradul cu exponent zero. Gradul oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.
EXEMPLE. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.
Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina gradului al n-lea din puterea a m a acestui număr a:
Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.
Cazul 1
Unde a ≠ 0 nu există.
Într-adevăr, dacă presupunem că x este un anumit număr, atunci, în conformitate cu definiția operației de împărțire, avem: a = 0 · x, i.e. a = 0, ceea ce contrazice condiția: a ≠ 0
Cazul 2
Orice număr.
Într-adevăr, dacă presupunem că această expresie este egală cu un număr x, atunci conform definiției operației de împărțire, avem: 0 = 0 · x . Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, care trebuia demonstrat.
Într-adevăr,
Soluție. Luați în considerare trei cazuri principale:
1) x = 0 - această valoare nu satisface această ecuație
2) pentru x > 0 obținem: x / x = 1, adică. 1 = 1, de unde rezultă că x este orice număr; dar dat fiind că în cazul nostru x > 0 , răspunsul este x > 0 ;
3) la x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
in acest caz nu exista solutie. Deci x > 0.
În acest articol vă vom prezenta conceptul de rădăcină a unui număr. Vom acţiona secvenţial: vom începe cu rădăcina pătrată, de la ea se trece la descrierea rădăcinii cubice, după care vom generaliza conceptul de rădăcină prin definirea rădăcinii de gradul al n-lea. În același timp, vom introduce definiții, notație, vom da exemple de rădăcini și vom oferi explicațiile și comentariile necesare.
Rădăcină pătrată, rădăcină pătrată aritmetică
Pentru a înțelege definiția rădăcinii unui număr, și în special a rădăcinii pătrate, trebuie să aveți . În acest moment, vom întâlni adesea a doua putere a unui număr - pătratul unui număr.
Sa incepem cu definiții de rădăcină pătrată.
Definiție
Rădăcina pătrată a lui a este numărul al cărui pătrat este un .
Pentru a aduce exemple de rădăcini pătrate, luați mai multe numere, de exemplu, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 și pătrați-le, obținem numerele 25 , 0.09 , 0.09 și respectiv 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3)2 =0,3 0,3=0,09 şi 02 =00=0). Apoi, după definiția de mai sus, 5 este rădăcina pătrată a lui 25, -0,3 și 0,3 sunt rădăcinile pătrate a lui 0,09, iar 0 este rădăcina pătrată a lui zero.
Trebuie remarcat faptul că nu pentru niciun număr există a , al cărui pătrat este egal cu a . Și anume, pentru orice număr negativ a, nu există un număr real b al cărui pătrat să fie egal cu a. Într-adevăr, egalitatea a=b 2 este imposibilă pentru orice a negativ, deoarece b 2 este un număr nenegativ pentru orice b . Prin urmare, pe mulțimea numerelor reale nu există rădăcină pătrată a unui număr negativ. Cu alte cuvinte, pe mulțimea numerelor reale, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită și nu are sens.
Acest lucru duce la o întrebare logică: „Există o rădăcină pătrată a lui a pentru orice a nenegativ”? Raspunsul este da. Rațiunea acestui fapt poate fi considerată o metodă constructivă folosită pentru a găsi valoarea rădăcinii pătrate.
Atunci apare următoarea întrebare logică: „Care este numărul tuturor rădăcinilor pătrate ale unui număr nenegativ dat a - unu, doi, trei sau chiar mai mult”? Iată răspunsul la acesta: dacă a este zero, atunci singura rădăcină pătrată a lui zero este zero; dacă a este un număr pozitiv, atunci numărul de rădăcini pătrate din numărul a este egal cu doi, iar rădăcinile sunt . Să argumentăm acest lucru.
Să începem cu cazul a=0 . Să arătăm mai întâi că zero este într-adevăr rădăcina pătrată a lui zero. Aceasta rezultă din egalitatea evidentă 0 2 =0·0=0 și din definiția rădăcinii pătrate.
Acum să demonstrăm că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero. Să folosim metoda opusă. Să presupunem că există un număr diferit de zero b care este rădăcina pătrată a lui zero. Atunci trebuie îndeplinită condiția b 2 =0, ceea ce este imposibil, deoarece pentru orice b diferit de zero valoarea expresiei b 2 este pozitivă. Am ajuns la o contradicție. Acest lucru demonstrează că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero.
Să trecem la cazurile în care a este un număr pozitiv. Mai sus am spus că există întotdeauna o rădăcină pătrată a oricărui număr nenegativ, fie b rădăcina pătrată a lui a. Să presupunem că există un număr c , care este și rădăcina pătrată a lui a . Atunci, prin definiția rădăcinii pătrate, sunt valabile egalitățile b 2 =a și c 2 =a, din care rezultă că b 2 −c 2 =a−a=0, dar întrucât b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , atunci (b−c) (b+c)=0 . Egalitatea rezultată în vigoare proprietățile acțiunilor cu numere reale posibil numai când b−c=0 sau b+c=0 . Astfel numerele b și c sunt egale sau opuse.
Dacă presupunem că există un număr d, care este o altă rădăcină pătrată a numărului a, atunci prin raționamente similare celor deja date, se demonstrează că d este egal cu numărul b sau cu numărul c. Deci, numărul de rădăcini pătrate ale unui număr pozitiv este două, iar rădăcinile pătrate sunt numere opuse.
Pentru confortul lucrului cu rădăcini pătrate, rădăcina negativă este „separată” de cea pozitivă. În acest scop, introduce definiția rădăcinii pătrate aritmetice.
Definiție
Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a .
Pentru rădăcina pătrată aritmetică a numărului a se acceptă notația. Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice. Se mai numește și semnul radicalului. Prin urmare, puteți auzi parțial atât „rădăcină”, cât și „radical”, ceea ce înseamnă același obiect.
Numărul de sub semnul rădăcinii pătrate aritmetice se numește numărul rădăcinii, iar expresia de sub semnul rădăcinii - expresie radicală, în timp ce termenul „număr radical” este adesea înlocuit cu „expresie radicală”. De exemplu, în notație, numărul 151 este un număr radical, iar în notație, expresia a este o expresie radicală.
Când citiți, cuvântul „aritmetică” este adesea omis, de exemplu, intrarea este citită ca „rădăcină pătrată a șapte virgulă douăzeci și nouă sutimi”. Cuvântul „aritmetică” este folosit doar atunci când vor să sublinieze asta vorbim despre rădăcina pătrată pozitivă a unui număr.
În lumina notației introduse, din definiția rădăcinii pătrate aritmetice rezultă că pentru orice număr nenegativ a .
Rădăcinile pătrate ale unui număr pozitiv a sunt scrise folosind semnul aritmetic al rădăcinii pătrate ca și . De exemplu, rădăcinile pătrate ale lui 13 sunt și . Rădăcina pătrată aritmetică a lui zero este zero, adică . Pentru numerele negative a, nu vom atașa semnificații intrărilor până când nu studiem numere complexe. De exemplu, expresiile și sunt lipsite de sens.
Pe baza definiției rădăcinii pătrate, sunt dovedite proprietățile rădăcinilor pătrate, care sunt adesea folosite în practică.
Pentru a încheia această subsecțiune, observăm că rădăcinile pătrate ale unui număr sunt soluții de forma x 2 =a față de variabila x .
rădăcină cub de
Definiția rădăcinii cubice al numărului a este dat într-un mod similar cu definiția rădăcinii pătrate. Numai că se bazează pe conceptul de cub al unui număr, nu de pătrat.
Definiție
Rădăcina cubă a lui a se numește un număr al cărui cub este egal cu a.
Să aducem exemple de rădăcini cubice. Pentru a face acest lucru, luați mai multe numere, de exemplu, 7 , 0 , −2/3 , și cubează-le: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , 
. Apoi, pe baza definiției rădăcinii cubice, putem spune că numărul 7 este rădăcina cubă a lui 343, 0 este rădăcina cubă a lui zero și −2/3 este rădăcina cubă a lui −8/27.
Se poate demonstra că rădăcina cubă a numărului a, spre deosebire de rădăcina pătrată, există întotdeauna și nu numai pentru a nenegativ, ci și pentru orice număr real a. Pentru a face acest lucru, puteți folosi aceeași metodă pe care am menționat-o atunci când studiem rădăcina pătrată.
Mai mult, există o singură rădăcină cubă a unui număr dat a. Să demonstrăm ultima afirmație. Pentru a face acest lucru, luați în considerare trei cazuri separat: a este un număr pozitiv, a=0 și a este un număr negativ.
Este ușor de arătat că pentru a pozitiv, rădăcina cubă a lui a nu poate fi nici negativă, nici zero. Într-adevăr, fie b rădăcina cubă a lui a , atunci prin definiție putem scrie egalitatea b 3 =a . Este clar că această egalitate nu poate fi adevărată pentru b negativ și pentru b=0, deoarece în aceste cazuri b 3 =b·b·b va fi un număr negativ sau, respectiv, zero. Deci rădăcina cubă a unui număr pozitiv a este un număr pozitiv.
Acum să presupunem că în plus față de numărul b mai există o rădăcină cubică din numărul a, să o notăm c. Atunci c 3 =a. Prin urmare, b 3 −c 3 =a−a=0 , dar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(aceasta este formula de înmulțire prescurtată diferenta de cuburi), de unde (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Egalitatea rezultată este posibilă numai când b−c=0 sau b 2 +b c+c 2 =0 . Din prima egalitate avem b=c, iar a doua egalitate nu are soluții, deoarece partea stângă este un număr pozitiv pentru orice numere pozitive b și c ca suma a trei termeni pozitivi b 2 , b c și c 2 . Aceasta dovedește unicitatea rădăcinii cubice a unui număr pozitiv a.
Pentru a=0, singura rădăcină cubă a lui a este zero. Într-adevăr, dacă presupunem că există un număr b , care este o rădăcină cubă diferită de zero a lui zero, atunci egalitatea b 3 =0 trebuie să fie valabilă, ceea ce este posibil numai când b=0 .
Pentru negativ a , se poate argumenta similar cu cazul pentru pozitiv a . În primul rând, arătăm că rădăcina cubă a unui număr negativ nu poate fi egală nici cu un număr pozitiv, nici cu zero. În al doilea rând, presupunem că există o a doua rădăcină cubă a unui număr negativ și arătăm că va coincide în mod necesar cu primul.
Deci, există întotdeauna o rădăcină cubă a oricărui număr real dat a și numai unul.
Să dăm Definiția rădăcinii cubice aritmetice.
Definiție
Rădăcină cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ al cărui cub este egal cu a.
Rădăcina cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se notează ca , semnul se numește semnul rădăcinii cubice aritmetice, numărul 3 din această notație se numește indicator de rădăcină. Numărul de sub semnul rădăcinii este numărul rădăcinii, expresia de sub semnul rădăcinii este expresie radicală.
Deși rădăcina cubului aritmetic este definită numai pentru numerele nenegative a, este, de asemenea, convenabil să folosiți intrări în care numerele negative sunt sub semnul rădăcinii cubice aritmetice. Le vom înțelege astfel: , unde a este un număr pozitiv. De exemplu, 
.
Vom vorbi despre proprietățile rădăcinilor cubice în articolul general proprietățile rădăcinilor.
Calcularea valorii unei rădăcini cubice se numește extragerea unei rădăcini cubice, această acțiune este discutată în articolul extragerea rădăcinilor: metode, exemple, soluții.
Pentru a încheia această subsecțiune, spunem că rădăcina cubă a lui a este o soluție de forma x 3 =a.
Rădăcina a N-a, rădăcina aritmetică a lui n
Generalizăm conceptul de rădăcină dintr-un număr - introducem determinarea rădăcinii a n-a pentru n.
Definiție
a n-a rădăcină a lui a este un număr a cărui putere a n-a este egală cu a.
Din această definiție este clar că rădăcina primului grad din numărul a este numărul a însuși, deoarece atunci când studiem gradul cu un indicator natural, am luat un 1 \u003d a.
Mai sus, am luat în considerare cazuri speciale ale rădăcinii de gradul al n-lea pentru n=2 și n=3 - rădăcina pătrată și rădăcina cubă. Adică rădăcina pătrată este rădăcina gradului al doilea, iar rădăcina cubă este rădăcina gradului al treilea. Pentru a studia rădăcinile gradului al n-lea pentru n=4, 5, 6, ..., este convenabil să le împărțiți în două grupuri: primul grup - rădăcinile de grade pare (adică pentru n=4, 6 , 8, ...), al doilea grup - rădăcinile grade impare (adică pentru n=5, 7, 9, ... ). Acest lucru se datorează faptului că rădăcinile de grade pare sunt similare cu rădăcina pătrată, iar rădăcinile de grade impare sunt similare cu rădăcina cubică. Să ne ocupăm de ei pe rând.
Să începem cu rădăcinile, ale căror puteri sunt numerele pare 4, 6, 8, ... După cum am spus deja, ele sunt similare cu rădăcina pătrată a numărului a. Adică, rădăcina oricărui grad par din numărul a există numai pentru a nenegativ. Mai mult, dacă a=0, atunci rădăcina lui a este unică și egală cu zero, iar dacă a>0, atunci există două rădăcini de grad par din numărul a și sunt numere opuse.
Să justificăm ultima afirmație. Fie b o rădăcină de grad par (o notăm ca 2·m, unde m este un număr natural) din a. Să presupunem că există un număr c - o altă rădăcină de 2 m a lui a. Atunci b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Dar știm de forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atunci (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Din această egalitate rezultă că b−c=0 , sau b+c=0 , sau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Primele două egalități înseamnă că numerele b și c sunt egale sau b și c sunt opuse. Și ultima egalitate este valabilă numai pentru b=c=0 , deoarece partea stângă conține o expresie care este nenegativă pentru orice b și c ca sumă de numere nenegative.
În ceea ce privește rădăcinile de gradul al n-lea pentru n impar, ele sunt similare cu rădăcina cubă. Adică, rădăcina oricărui grad impar din numărul a există pentru orice număr real a, iar pentru un număr dat a este unică.
Unicitatea rădăcinii de grad impar 2·m+1 din numărul a se dovedește prin analogie cu demonstrarea unicității rădăcinii cubice din a . Doar aici în loc de egalitate a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) o egalitate de forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Expresia din ultima paranteză poate fi rescrisă ca b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). De exemplu, pentru m=2 avem b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Când a și b sunt ambele pozitive sau ambele negative, produsul lor este un număr pozitiv, atunci expresia b 2 +c 2 +b·c , care se află în parantezele celui mai înalt grad de imbricare, este pozitivă ca sumă pozitivă. numere. Acum, trecând succesiv la expresiile din paranteze ale gradelor anterioare de imbricare, ne asigurăm că acestea sunt și pozitive ca sume de numere pozitive. Ca rezultat, obținem că egalitatea b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 posibil numai când b−c=0 , adică când numărul b este egal cu numărul c .
Este timpul să ne ocupăm de notarea rădăcinilor gradului al n-lea. Pentru aceasta, este dat determinarea rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea.
Definiție
rădăcină aritmetică a n-a putere a unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ, a cărui putere a n-a este egală cu a.
