Distanța de la un punct la un plan. Teorie detaliată cu exemple. Calculator online Calculul distanței de la un punct la un avion
Determinarea distantei dintre: 1 - punct si plan; 2 - drept și plat; 3 - avioane; 4 - liniile drepte încrucișate sunt considerate în comun, deoarece algoritmul de rezolvare pentru toate aceste probleme este în esență același și constă din construcții geometrice care trebuie efectuate pentru a determina distanța dintre punctul dat A și planul α. Dacă există vreo diferență, atunci ea constă doar în faptul că în cazurile 2 și 3, înainte de a începe rezolvarea problemei, trebuie marcat un punct arbitrar A pe dreapta m (cazul 2) sau pe planul β (cazul 3). .distanțele dintre liniile oblice, le închidem preliminar în plane paralele α și β cu determinarea ulterioară a distanței dintre aceste plane.
Să luăm în considerare fiecare dintre cazurile notate de rezolvare a problemelor.
1. Determinarea distanței dintre un punct și un plan.
Distanța de la un punct la un plan este determinată de lungimea segmentului perpendicular coborât din punct în plan.
Prin urmare, soluția acestei probleme constă în executarea secvențială a următoarelor operații grafice:
1) din punctul A coborâm perpendiculara pe planul α (Fig. 269);
2) găsiți punctul M de intersecție al acestei perpendiculare cu planul M = a ∩ α;
3) determinați lungimea segmentului.
Dacă planul α pozitia generala, apoi pentru a coborî perpendiculara pe acest plan, este necesar să se determine mai întâi direcția proiecțiilor orizontalei și față a acestui plan. Găsirea punctului de întâlnire al acestei perpendiculare cu planul necesită și construcții geometrice suplimentare.
Soluția problemei este simplificată dacă planul α ocupă o anumită poziție față de planurile de proiecție. În acest caz, atât proiecția perpendicularei, cât și găsirea punctului de întâlnire a acesteia cu planul sunt efectuate fără construcții auxiliare suplimentare.
EXEMPLU 1. Determinați distanța de la punctul A la planul α care se proiectează frontal (Fig. 270).
SOLUŢIE. Prin A „desenăm o proiecție orizontală a perpendicularei l” ⊥ h 0α, iar prin A „- proiecția sa frontală l” ⊥ f 0α. Marcam punctul M" = l" ∩ f 0α . De la AM || π 2 , apoi [А" М"] == |AM| = d.
Din exemplul luat în considerare, se poate observa cât de simplu se rezolvă problema când avionul ocupă o poziție de proiectare. Prin urmare, dacă în datele inițiale este specificat un plan generic, atunci înainte de a continua cu soluția, planul trebuie transferat într-o poziție perpendiculară pe orice plan de proiecție.
EXEMPLU 2. Determinați distanța de la punctul K la planul dat de ΔАВС (Fig. 271).
1. Transferăm planul ΔАВС în poziția de proiectare *. Pentru a face acest lucru, trecem de la sistemul xπ 2 / π 1 la x 1 π 3 / π 1: direcția noii axe x 1 este aleasă perpendicular pe proiecția orizontală a planului orizontal al triunghiului.
2. Proiectăm ΔАВС pe un nou plan π 3 (planul ΔАВС este proiectat pe π 3, în [С" 1 В" 1 ]).
3. Proiectăm punctul K (K "→ K" 1) pe același plan.
4. Prin punctul K "1 desenăm (K" 1 M "1) ⊥ segmentul [C" 1 B "1]. Distanța dorită d \u003d | K "1 M" 1 |.
Rezolvarea problemei este simplificată dacă planul este dat de urme, deoarece nu este necesar să se efectueze proiecții ale liniilor de nivel.
EXEMPLU 3. Să se determine distanța de la punctul K la planul α, dată de urme (Fig. 272).
* Cel mai într-un mod raţional transferul planului triunghiului în poziția de proiecție este o modalitate de a înlocui planurile de proiecție, deoarece în acest caz este suficient să construiți o singură proiecție auxiliară.
SOLUŢIE. Înlocuim planul π 1 cu planul π 3, pentru aceasta desenăm o nouă axă x 1 ⊥ f 0α. Pe h 0α notăm un punct arbitrar 1 "și determinăm noua lui proiecție orizontală pe planul π 3 (1" 1). Prin punctele X α 1 (X α 1 \u003d h 0α 1 ∩ x 1) și 1 „1 desenăm h 0α 1. Definim o nouă proiecție orizontală a punctului K → K” 1. Din punctul K „1 coborâm perpendiculara pe h 0α 1 și marcam punctul de intersecție cu h 0α 1 - M” 1. Lungimea segmentului K „1 M” 1 va indica distanța necesară.
2. Determinarea distanței dintre o dreaptă și un plan.
Distanța dintre linie dreaptă și plan este determinată de lungimea segmentului de perpendiculară coborât dintr-un punct arbitrar al dreptei către plan (vezi Fig. 248).
Prin urmare, soluția problemei determinării distanței dintre o dreaptă m și un plan α nu este diferită de exemplele luate în considerare la paragraful 1 pentru determinarea distanței dintre un punct și un plan (vezi Fig. 270 ... 272) . Orice punct aparținând dreptei m poate fi luat drept punct.
3. Determinarea distanței dintre avioane.
Distanța dintre planuri este determinată de valoarea segmentului de perpendiculară căzut dintr-un punct luat pe un plan în alt plan.
Din această definiție rezultă că algoritmul de rezolvare a problemei găsirii distanței dintre planele α și β diferă de algoritmul similar pentru rezolvarea problemei determinării distanței dintre dreapta m și planul α doar prin aceea că linia m trebuie aparțin planului α, adică pentru a determina distanța dintre planele α și β urmează:
1) se ia o dreaptă m în planul α;
2) selectați un punct arbitrar A pe dreapta m;
3) din punctul A, coborâți perpendiculara l pe planul β;
4) determinați punctul M - punctul de întâlnire al perpendicularei l cu planul β;
5) determinați valoarea segmentului.
În practică, este recomandabil să se folosească un alt algoritm de soluție, care va diferi de cel dat doar prin faptul că, înainte de a trece cu primul pas, avioanele ar trebui să fie transferate în poziția de proiectare.
Includerea acestei operații suplimentare în algoritm simplifică implementarea tuturor celorlalte puncte fără excepție, ceea ce duce în cele din urmă la o soluție mai simplă.
EXEMPLU 1. Determinați distanța dintre planele α și β (Fig. 273).
SOLUŢIE. Trecem de la sistemul xπ 2 /π 1 la x 1 π 1 /π 3 . În ceea ce privește noul plan π 3, planurile α și β ocupă o poziție proeminentă, deci distanța dintre noile urme frontale f 0α 1 și f 0β 1 este cea necesară.
În practica inginerească, este adesea necesar să se rezolve problema construcției unui plan paralel cu unul dat și la o anumită distanță de acesta. Exemplul 2 de mai jos ilustrează soluția unei astfel de probleme.
EXEMPLU 2. Se cere să se construiască proiecții ale planului β, paralele cu planul dat α (m || n), dacă se știe că distanța dintre ele este egală cu d (Fig. 274).
1. În planul α desenăm un orizontal arbitrar h (1, 3) și un frontal f (1,2).
2. Din punctul 1 refacem perpendiculara l pe planul α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").
3. Marcați un punct arbitrar A pe perpendiculara l.
4. Determinați lungimea segmentului - (poziția indică direcția metric nedistorsionată a dreptei l pe diagramă).
5. Puneți deoparte pe o linie dreaptă (1 „A 0) din punctul 1” segment = d.
6. Marcam pe proiecțiile l „și l” punctele B „și B”, corespunzătoare punctului B 0.
7. Desenați un plan β prin punctul B (h 1 ∩ f 1). Astfel încât β || α, este necesar să se respecte condiția h 1 || h și f 1 || f.
4. Determinarea distanței dintre liniile oblice.
Distanța dintre liniile oblice este determinată de lungimea perpendicularei cuprinse între planurile paralele cărora le aparțin liniile oblice.
Pentru a desena plane reciproc paralele α și β prin drepte care se intersectează m și f, este suficient să trasăm linia p paralelă cu dreapta f prin punctul A (A ∈ m) și prin punctul B (B ∈ f) - dreapta k paralelă cu linia m . Dreptele care se intersectează m și p, f și k definesc planuri reciproc paralele α și β (vezi Fig. 248, e). Distanța dintre planele α și β este egală cu distanța dorită dintre liniile oblice m și f.
Se poate propune o altă modalitate de determinare a distanței dintre liniile oblice, care constă în faptul că, cu ajutorul unei metode de transformare a proiecțiilor ortogonale, una dintre liniile oblice este transferată în poziția de proiectare. În acest caz, o proiecție a dreptei degenerează într-un punct. Distanța dintre noile proiecții ale liniilor oblice (punctul A" 2 și segmentul C" 2 D" 2) este cea necesară.
Pe fig. 275 arată soluția problemei determinării distanței dintre liniile care se intersectează a și b, date segmente [AB] și [CD]. Soluția se efectuează în următoarea secvență:
1. Transferați una dintre dreptele care se intersectează (a) într-o poziție paralelă cu planul π 3; pentru a face acest lucru, se deplasează de la sistemul de planuri de proiecție xπ 2 / π 1 la un nou x 1 π 1 / π 3, axa x 1 este paralelă cu proiecția orizontală a dreptei a. Determinați a" 1 [A" 1 B" 1 ] și b" 1 .
2. Prin înlocuirea planului π 1 cu planul π 4 se translată o dreaptă
iar în poziţia a "2, perpendicular pe planul π 4 (noua axă x 2 este trasată perpendicular pe a" 1).
3. Construiți o nouă proiecție orizontală a liniei drepte b "2 - [ C" 2 D "2].
4. Distanța de la punctul A „2 la linia dreaptă C” 2 D „2 (segmentul (A” 2 M „2] (este cel dorit).
Trebuie avut în vedere că transferul uneia dintre liniile care se intersectează în poziţia de proiectare nu este altceva decât transferul planurilor de paralelism, în care liniile a şi b pot fi incluse, de asemenea, în poziţia de proiectare.
Într-adevăr, prin transferarea dreptei a într-o poziție perpendiculară pe planul π 4 , ne asigurăm că orice plan care conține dreapta a este perpendicular pe planul π 4 , inclusiv planul α definit de liniile a și m (a ∩ m, m || b). Dacă acum desenăm o dreaptă n paralelă cu a și cu dreapta de intersectare b, atunci obținem planul β, care este al doilea plan de paralelism, care conține dreptele care se intersectează a și b. Din moment ce β || α, atunci β ⊥ π 4 .
Tipul locului de muncă: 14
Condiție
Într-o piramidă triunghiulară regulată DABC cu baza ABC, latura bazei este egală cu 6\sqrt(3), iar înălțimea piramidei este de 8 . Punctele M , N și K sunt marcate respectiv pe muchiile AB , AC și AD astfel încât AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2)Și AK=\frac(5)(2).
A) Demonstrați că planele MNK și DBC sunt paralele.
b) Aflați distanța de la punctul K la planul DBC.
Afișează soluțiaSoluţie
A) Planurile MNK și DBC sunt paralele dacă două drepte care se intersectează într-un plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează în celălalt plan. Să demonstrăm. Luați în considerare liniile MN și KM ale planului MNK și liniile BC și DB ale planului DBC.
În triunghiul AOD : \angle AOD = 90^\circ și după teorema lui Pitagora AD=\sqrt(DO^2 +AO^2).
Găsiți AO folosind \bigtriangleup ABC este corect.
AO=\frac(2)(3)AO_1, unde AO_1 este înălțimea lui \bigtriangleup ABC, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2), unde a este latura lui \bigtriangleup ABC.
AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9, atunci AO=6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.
1. Din moment ce \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2) : 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4) iar \angle DAB este general, apoi \bigtriangleup AKM \sim ADB.
Din asemănarea rezultă că \angle AKM = \angle ADB. Acestea sunt unghiurile corespunzătoare dreptelor KM și BD și secantei AD. Deci KM \parallel BD.
2. Din moment ce \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4)și \angle CAB este comun, atunci \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.
Din similitudine rezultă că \angle ANM = \angle ACB. Aceste unghiuri corespund dreptelor MN și BC și secantei AC. Deci MN \parallel BC.
Concluzie: întrucât cele două drepte care se intersectează KM și MN ale planului MNK sunt paralele cu cele două drepte care se intersectează BD și BC ale planului DBC , aceste plane sunt paralele - MNK \parallel DBC.
b) Să aflăm distanța de la punctul K până la planul BDC.
Deoarece planul MNK este paralel cu planul DBC , distanța de la punctul K la planul DBC este egală cu distanța de la punctul O_2 la planul DBC și este egală cu lungimea segmentului O_2 H. Să demonstrăm. .
BC \perp AO_1 și BC \perp DO_1 (ca înălțimi ale triunghiurilor ABC și DBC ), deci BC este perpendicular pe planul ADO_1, iar apoi BC este perpendicular pe orice dreaptă a acestui plan, de exemplu, O_2 H. Prin construcție O_2H \perp DO_1, atunci O_2H este perpendiculară a două drepte care se intersectează ale planului BCD, iar apoi segmentul O_2 H este perpendicular pe planul BCD și este egal cu distanța de la O_2 la planul BCD.
Într-un triunghi O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\angle HO_(1)O_(2).
O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4), AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4).
O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4).
\sin \angle DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73)).
O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).
Răspuns
\frac(54)(\sqrt(73))
Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Tipul locului de muncă: 14
Subiect: Distanța de la un punct la un plan
Condiție
ABCDA_1B_1C_1D_1 este o prismă patruunghiulară obișnuită.
a) Demonstrați că planul este BB_1D_1 \perp AD_1C .
b) Știind AB = 5 și AA_1 = 6, aflați distanța de la punctul B_1 la planul AD_1C.
Afișează soluțiaSoluţie
a) Deoarece această prismă este regulată, atunci BB_1 \perp ABCD , deci BB_1 \perp AC . Deoarece ABCD este un pătrat, atunci AC \perp BD . Deci AC \perp BD și AC \perp BB_1 . Întrucât dreptele BD și BB_1 se intersectează, atunci, după semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan, AC \perp BB_1D_1D . Acum pe baza perpendicularității planelor AD_1C \perp BB_1D_1 .
b) Notăm cu O punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale pătratului ABCD. Planurile AD_1C și BB_1D_1 se intersectează de-a lungul dreptei OD_1 . Fie B_1H o perpendiculară trasată în planul BB_1D_1 pe dreapta OD_1 . Apoi B_1H \perp AD_1C . Fie E=OD_1 \cap BB_1 . Pentru triunghiuri similare D_1B_1E și OBE (egalitatea unghiurilor corespunzătoare rezultă din condiția BO \parallel B_1D_1 ) avem \frac(B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.
Deci B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Deoarece B_1D_1=5\sqrt(2) , atunci ipotenuza D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt(194).În continuare, folosim metoda ariei în triunghiul D_1B_1E pentru a calcula înălțimea lui B_1H coborâtă la ipotenuza D_1E:
S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;
B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).
Răspuns
\frac(60\sqrt(97))(97)
Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2016. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Tipul locului de muncă: 14
Subiect: Distanța de la un punct la un plan
Condiție
ABCDA_1B_1C_1D_1 — cuboid. Muchiile AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .
a) Demonstrați că distanțele de la punctele B și D la planul ACD_(1) sunt aceleași.
b) Aflați această distanță.
Afișează soluțiaSoluţie
A) Să considerăm o piramidă triunghiulară D_1ACD .
În această piramidă, distanța de la punctul D la planul de bază ACD_1-DH este egală cu înălțimea piramidei desenată din punctul D la baza ACD_1 .
V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, din această egalitate obținem
DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).
Luați în considerare piramida D_1ABC . Distanța de la punctul B la planul ACD_1 este egală cu înălțimea coborâtă din partea de sus a lui B până la partea de jos a lui ACD_1 . Să notăm această distanță BK . Apoi V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK, din asta obținem BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\: Dar V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , deoarece dacă luăm în considerare bazele din piramidele ADC și ABC , atunci înălțimea D_1D este totală și S_(ADC)=S_(ABC) ( \bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC pe două picioare). Deci BK=DH .
b) Aflați volumul piramidei D_1ACD .
Înălțimea D_1D=4 .
S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.
V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.
Aria feței lui ACD_1 este egală cu \frac1(2)AC \cdot D_1P.
AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25
Știind că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională cu ipotenuza și segmentul ipotenuzei cuprins între catete și înălțimea trasă de la vârf unghi drept, în triunghi ADC avem AD^(2)=AC \cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).
ÎN triunghi dreptunghic AD_1P după teorema lui Pitagora D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\stânga (\frac(49)(25) \right)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25).
S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).
DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).
Instruire
Pentru a afla distanța de la puncte inainte de avion metode descriptive: selectați pe avion punct arbitrar; trageți două linii drepte prin el (întins în aceasta avion); restaurare perpendicular pe avion trecerea prin acest punct (construiți o dreaptă perpendiculară pe ambele drepte care se intersectează în același timp); trageți o dreaptă paralelă cu perpendiculara construită printr-un punct dat; aflați distanța dintre punctul de intersecție al acestei drepte cu planul și punct dat.
Dacă poziţia puncte este dat de coordonatele sale tridimensionale și de poziție avion – ecuație liniară, apoi pentru a găsi distanța de la avion inainte de puncte, utilizați metodele geometriei analitice: desemnați coordonatele puncte prin x, y, respectiv z (x este abscisa, y este ordonata, z este aplicata); notăm cu A, B, C, D ecuațiile avion(A este parametrul la abscisă, B este la , C este la aplicat, D este termenul liber); calcula distanta de la puncte inainte de avion după formula: s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,unde s este distanța dintre punct și plan,|| - valoare absolută (sau modul) .
Exemplu. Aflați distanța dintre punctul A cu coordonatele (2, 3, -1) și planul dat de ecuația: 7x-6y-6z + 20 \u003d 0. Rezolvare. Din condițiile rezultă că: x \u003d 2 , y \u003d 3, z =-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20. Introduceți aceste valori în cele de mai sus. Obțineți: s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Răspuns: Distanţă din puncte inainte de avion este egal cu 2 (unități arbitrare).
Sfat 2: Cum să determinați distanța de la un punct la un plan
Determinarea distantei de la puncte inainte de avion- una dintre sarcinile comune ale planimetriei școlare. După cum se știe, cel mai mic distanţă din puncte inainte de avion din aceasta va fi trasă o perpendiculară puncte la acest avion. Prin urmare, lungimea acestei perpendiculare este luată ca distanță de la puncte inainte de avion.
Vei avea nevoie
- ecuația plană
Instruire
Fie prima paralelă f1 dată de ecuația y=kx+b1. Prin traducerea expresiei în forma generala, obțineți kx-y+b1=0, adică A=k, B=-1. Normala acestuia va fi n=(k, -1).
Urmează acum o abscisă arbitrară a punctului x1 pe f1. Atunci ordonata sa este y1=kx1+b1.
Fie ecuația celei de-a doua drepte paralele f2:
y=kx+b2 (1),
unde k este același pentru ambele drepte, datorită paralelismului lor.
În continuare, trebuie să scrieți ecuația canonică a dreptei perpendiculare atât pe f2, cât și pe f1, care conține punctul M (x1, y1). Se presupune că x0=x1, y0=y1, S=(k, -1). Ca rezultat, ar trebui să obțineți următoarea egalitate:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).
După ce am rezolvat sistemul de ecuații format din expresiile (1) și (2), veți găsi al doilea punct care determină distanța necesară între paralela N(x2, y2). Distanța dorită în sine va fi egală cu d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.
Exemplu. Fie ecuațiile unor drepte paralele date pe planul f1 – y=2x +1 (1);
f2 - y=2x+5 (2). Luăm un punct arbitrar x1=1 pe f1. Atunci y1=3. Primul punct va avea astfel coordonatele M (1,3). Ecuația perpendiculară comună (3):
(x-1)/2 = -y+3 sau y=-(1/2)x+5/2.
Înlocuind această valoare y în (1), obținem:
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
A doua bază a perpendicularei în punctul cu coordonatele N (-1, 3). Distanța dintre liniile paralele va fi:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.
Surse:
- Dezvoltare atletism in Rusia
Partea superioară a oricărui plat sau volumetric figură geometrică este determinată în mod unic de coordonatele sale în spațiu. În același mod, orice punct arbitrar din același sistem de coordonate poate fi determinat în mod unic, iar acest lucru face posibilă calcularea distanței dintre acest punct arbitrar și vârful figurii.
Vei avea nevoie
- - hartie;
- - pix sau creion;
- - calculator.
Instruire
Reduceți problema la găsirea lungimii segmentului dintre două puncte, dacă sunt cunoscute coordonatele punctului specificat în problemă și vârful figurii geometrice. Această lungime poate fi calculată folosind teorema lui Pitagora în raport cu proiecțiile segmentului pe axele de coordonate - va fi egală cu rădăcină pătrată din suma pătratelor lungimilor tuturor proiecțiilor. De exemplu, fie punctul A(X₁;Y₁;Z₁) și vârful C al oricărei figuri geometrice cu coordonate (X₂;Y₂;Z₂) să fie date într-un sistem de coordonate tridimensional. Atunci lungimile proiecțiilor segmentului dintre ele pe axele de coordonate pot fi ca X₁-X₂, Y₁-Y₂ și Z₁-Z₂, iar lungimea segmentului - ca √((X₁-X₂)²+(Y₁- Y2)2+(Z1-Z2)2). De exemplu, dacă coordonatele punctului sunt A(5;9;1), iar vârfurile sunt C(7;8;10), atunci distanța dintre ele va fi √((5-7)²+(9 -8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.
Calculați mai întâi coordonatele vârfului, dacă acestea nu sunt prezentate explicit în condițiile problemei. Metoda specifică depinde de tipul figurii și de parametrii suplimentari cunoscuți. De exemplu, dacă sunt cunoscute coordonatele tridimensionale ale celor trei vârfuri A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) și C(X₃;Y₃;Z₃), atunci coordonatele celui de-al patrulea vârf al acestuia (opus la vârful B) va fi (X₃+X₂-X₁; Y₃+Y₂-Y₁; Z₃+Z₂-Z₁). După determinarea coordonatelor vârfului lipsă, calcularea distanței dintre acesta și un punct arbitrar se va reduce din nou la determinarea lungimii segmentului dintre aceste două puncte într-un sistem de coordonate dat - faceți acest lucru în același mod în care a fost descris în pasul anterior. De exemplu, pentru vârful paralelogramului descris în această etapă și punctul E cu coordonatele (X₄;Y₄;Z₄), formula de calcul a distanței de la pasul precedent poate fi: Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁ -Z₄)²).
Pentru calcule practice, puteți utiliza, de exemplu, cel încorporat motor de căutare Google. Deci, pentru a calcula valoarea conform formulei obținute în pasul anterior, pentru punctele cu coordonatele A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7). ;9; 2), introduceți următoarea interogare de căutare: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2) . Motorul de căutare va calcula și va afișa rezultatul calculului (5.19615242).
Videoclipuri asemănătoare
Recuperare perpendicular La avion- una dintre problemele importante din geometrie, stă la baza multor teoreme și demonstrații. Pentru a construi o dreaptă perpendiculară pe avion, trebuie să efectuați mai multe acțiuni în succesiune.
Vei avea nevoie
- - avion dat;
- - punctul din care vrei să trasezi o perpendiculară;
- - busolă;
- - rigla;
- - creion.
Orice plan din sistemul de coordonate carteziene poate fi definit prin ecuația `Ax + By + Cz + D = 0`, unde cel puțin unul dintre numerele `A`, `B`, `C` este diferit de zero. Fie dat punctul `M (x_0;y_0;z_0)`, găsiți distanța de la acesta până la planul `Ax + By + Cz + D = 0`.
Lăsați linia care trece prin punctul `M` perpendicular pe planul `alfa`, îl intersectează în punctul `K` cu coordonatele `(x; y; z)`. Vector `vec(MK)` perpendicular pe planul `alfa`, la fel ca vectorul `vecn` `(A;B;C)`, adică vectorii `vec(MK)` și `vecn` coliniar, `vec(MK)=λvecn`.
Deoarece `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` și `vecn(A,B,C)`, apoi `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.
Punctează `K` se află în planul `alfa` (Fig. 6), coordonatele sale satisfac ecuația planului. Înlocuind `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` în ecuația `Ax+By+Cz+D=0`, obținem
`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,
de unde `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`.
Găsiți lungimea vectorului `vec(MK)`, care este egală cu distanța de la punctul `M(x_0;y_0;z_0)` la planul `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.
Deci, distanța `h` de la punctul `M(x_0;y_0;z_0)` la planul `Ax + By + Cz + D = 0` este
`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.
Cu metoda geometrică de a găsi distanța de la punctul `A` la planul `alfa`, găsiți baza perpendicularei `A A^"`, coborâtă de la punctul `A` la planul `alfa`. Dacă punctul `A^"` se află în afara secțiunii planului `alfa` specificată în problemă, apoi se trasează o linie `c` prin punctul `A`, paralel cu planul `alfa` și un punct mai convenabil `C` Pe ea se alege `, a cărei proiecție ortogonală este `C^"` aparține secțiunii date a planului `alfa`. Lungimea segmentului `C C^"`va fi egală cu distanța dorită de la punctul `A`până la planul `alfa`.
Într-o prismă hexagonală regulată `A...F_1`, ale cărei toate muchiile sunt egale cu `1`, găsiți distanța de la punctul `B` la planul `AF F_1`.
Fie `O` centrul bazei inferioare a prismei (Fig. 7). Linia `BO` este paralelă cu dreapta `AF` și, prin urmare, distanța de la punctul `B` la planul `AF F_1` este egală cu distanța `OH` de la punctul `O` la planul `AF F_1`. În triunghiul `AOF` avem `AO=OF=AF=1`. Înălțimea `OH` a acestui triunghi este `(sqrt3)/2`. Prin urmare, distanța necesară este egală cu `(sqrt3)/2`.
Să arătăm o altă cale (metoda volumului auxiliar) aflarea distantei de la un punct la un plan. Se știe că volumul piramidei `V` , aria sa de bază `S`și lungimea înălțimii `h`legate prin formula `h=(3V)/S`. Dar lungimea înălțimii piramidei nu este altceva decât distanța de la vârful ei până la planul de bază. Prin urmare, pentru a calcula distanța de la un punct la un plan, este suficient să găsiți volumul și aria bazei unei piramide cu un vârf în acest punct și cu o bază situată într-un plan dat.
Dana prismă dreaptă`A...D_1`, unde `AB=a`, `A A_1=2a`. Aflați distanța de la punctul de intersecție al diagonalelor bazei `A_1B_1C_1D_1` la planul `BDC_1`.
Luați în considerare tetraedrul `O_1DBC_1` (Fig. 8). Distanța dorită `h` este lungimea înălțimii acestui tetraedru, coborâtă din punctul `O_1` până la planul feței `BDC_1` . Pentru a-l găsi, este suficient să cunoașteți volumul `V`tetraedru `O_1DBC_1` si zona triunghiul `DBC_1`. Să le calculăm. Rețineți că linia `O_1C_1` perpendicular pe planul `O_1DB`, deoarece este perpendicular pe `BD`și `B B_1` . Prin urmare, volumul tetraedrului `O_1DBC_1` egală
Inapoi inainte
Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat acest lucru vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Obiective:
- generalizarea și sistematizarea cunoștințelor și aptitudinilor elevilor;
- dezvoltarea abilităților de a analiza, compara, trage concluzii.
Echipament:
- proiector multimedia;
- calculator;
- fișe de sarcini
PROCESUL DE STUDIU
I. Moment organizatoric
II. Etapa de actualizare a cunoștințelor(diapozitivul 2)
Repetăm modul în care se determină distanța de la un punct la un plan
III. Lectura(diapozitivele 3-15)
În clasă, ne vom uita la diferite căi aflarea distantei de la un punct la un plan.
Prima metoda: de calcul pas cu pas
Distanța de la punctul M la planul α:
este egală cu distanța până la planul α de la un punct arbitrar P situat pe dreapta a, care trece prin punctul M și este paralel cu planul α;
– este egală cu distanța până la planul α de la un punct arbitrar P situat pe planul β, care trece prin punctul M și este paralel cu planul α.
Vom rezolva următoarele sarcini:
№1. În cubul A ... D 1 găsiți distanța de la punctul C 1 la planul AB 1 C.
Rămâne de calculat valoarea lungimii segmentului O 1 N.
№2. Într-o prismă hexagonală regulată A ... F 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța de la punctul A la planul DEA 1.
Următoarea metodă: metoda volumului.
Dacă volumul piramidei ABCM este V, atunci distanța de la punctul M până la planul α care conține ∆ABC se calculează prin formula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Când rezolvăm probleme, folosim egalitatea volumelor unei figuri, exprimată în două moduri diferite.
Să rezolvăm următoarea problemă:
№3. Muchia AD a piramidei DABC este perpendiculară pe planul bazei ABC. Aflați distanța de la A până la planul care trece prin punctele medii ale muchiilor AB, AC și AD, dacă.
La rezolvarea problemelor metoda coordonatelor distanța de la punctul M la planul α poate fi calculată prin formula ρ(M; α) = 
, unde M(x 0; y 0; z 0), iar planul este dat de ecuația ax + by + cz + d = 0
Să rezolvăm următoarea problemă:
№4. În cubul unității A…D 1 găsiți distanța de la punctul A 1 la planul BDC 1 .
Să introducem un sistem de coordonate cu originea în punctul A, axa y va trece de-a lungul muchiei AB, axa x - de-a lungul muchiei AD, axa z - de-a lungul muchiei AA 1. Apoi coordonatele punctelor B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Să compunem ecuația planului care trece prin punctele B, D, C 1 .
Atunci – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Prin urmare, ρ = 
Următoarea metodă, care poate fi utilizată la rezolvarea problemelor de acest tip – metoda sarcinilor de referință.
Aplicarea acestei metode constă în aplicarea unor probleme de referință binecunoscute, care sunt formulate ca teoreme.
Să rezolvăm următoarea problemă:
№5. Într-un cub unitate A ... D 1 găsiți distanța de la punctul D 1 la planul AB 1 C.
Luați în considerare aplicarea metoda vectoriala.
№6. Într-un cub unitate A ... D 1 găsiți distanța de la punctul A 1 la planul BDC 1.
Așadar, am luat în considerare diverse metode care pot fi utilizate în rezolvarea acestui tip de problemă. Alegerea uneia sau a alteia metode depinde de sarcina specifică și de preferințele dvs.
IV. Lucru de grup
Încercați să rezolvați problema în moduri diferite.
№1. Muchia cubului А...D 1 este egală cu . Aflați distanța de la vârful C la planul BDC 1 .
№2. Într-un tetraedru regulat ABCD cu muchie, găsiți distanța de la punctul A la planul BDC
№3. Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța de la A la planul BCA 1.
№4. Într-o piramidă pătrangulară obișnuită SABCD, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța de la A la planul SCD.
V. Rezultatul lecției, teme pentru acasă, reflexie
