• Ремонт
• Ремонт 
• Дизайн интерьера
• Обо всём
• О сантехнике

Угол между прямой и плоскостью. Визуальный гид (2019)

Понятие угла между прямой и плоскостью можно ввести для любого взаимного расположения прямой и плоскости.

Если прямая l перпендикулярна плоскости, то угол между l и считается равным 90 .

Если прямая l параллельна плоскости или лежит в этой плоскости, то угол между l и считается равным нулю.

Если прямая l является наклонной к плоскости, то угол между l и это угол " между прямой l и её проекцией p на плоскость (рис. 39 ).

Рис. 39. Угол между прямой и плоскостью

Итак, запомним определение для этого нетривиального случая: если прямая является наклонной, то угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой

и её проекцией на данную плоскость.

7.1 Примеры решения задач

Разберём три задачи, расположенные по возрастанию сложности. Третья задача уровень C2 на ЕГЭ по математике.

Задача 1. В правильном тетраэдре найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA1 B1 C1 боковое ребро равно стороне основания. Найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ABC1 .

Решение. Угол между прямой и плоскостью не изменится при параллельном сдвиге прямой. Поскольку CC1 параллельна AA1 , искомый угол " есть угол между прямой CC1 и плоскостью ABC1 (рис.41 ).

B 1"

Рис. 41. К задаче 2

Пусть M середина AB. Проведём высоту CH в треугольнике CC1 M. Покажем, что CH перпендикуляр к плоскости ABC1 . Для этого нужно предъявить две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные CH.

Первая прямая очевидна это C1 M. В самом деле, CH ? C1 M по построению.

Вторая прямая это AB. Действительно, проекцией наклонной CH на плоскость ABC служит прямая CM; при этом AB ? CM. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует тогда, что AB ? CH.

Итак, CH ? ABC1 . Стало быть, угол между CC1 и ABC1 есть " = \CC1 H. Величину CH найдём из соотношения

C1 M CH = CC1 CM

(обе части этого соотношения равны удвоенной площади треугольника CC1 M). Имеем:

CM = a 2 3 ;

Остаётся найти угол ":

Ответ: arcsin 3 7 .

sin " = CH =3 : CC1 7

Задача 3. На ребре A1 B1 куба ABCDA1 B1 C1 D1 взята точка K так, что A1 K: KB1 = 3: 1. Найдите угол между прямой AK и плоскостью BC1 D1 .

Решение. Сделав чертёж (рис. 42 , слева), мы понимаем, что нужны дополнительные построения.

Во-первых, заметим, что прямая AB лежит в плоскости BC1 D1 (поскольку AB k C1 D1 ). Во-вторых, проведём B1 M параллельно AK (рис.42 , справа). Проведём также B1 C, и пусть N есть точка пересечения B1 C и BC1 .

Покажем, что прямая B1 C перпендикулярна плоскости BC1 D1 . В самом деле:

1) B 1 C ? BC1 (как диагонали квадрата);

2) B 1 C ? AB по теореме о трёх перпендикулярах (ведь AB перпендикулярна прямой BC проекции наклонной B1 C на плоскость ABC).

Таким образом, B1 C перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BC1 D1 ; следовательно, B1 C ? BC1 D1 . Поэтому проекцией прямой MB

sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Пусть задана некоторая прямоугольная система координат и прямая. Пустьи две различные плоскости, пересекающиеся по прямой и задаваемые соответственно уравнениямии. Эти два уравнения совместно определяют прямуюв том и только в том случае, когда они не параллельны и не совпадают друг с другом, т. е. нормальные векторы
и
этих плоскостей не коллинеарны.

Определение. Есликоэффициенты уравнений

не пропорциональны, то эти уравнения называются общими уравнениями прямой, определяемой как линия пересечения плоскостей.

Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Выведем уравнение прямой , проходящей через данную точку
пространства и имеющей заданный направляющий вектор
.

Пусть точка
 произвольная точка прямой . Эта точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор
, имеющий координаты
, коллинеарен направляющему вектору
прямой. Согласно (2.28) условие коллинеарности векторов
иимеет вид

. (3.18)

Уравнения (3.18) называются каноническими уравнениями прямой, проходящей через точку
и имеющей направляющий вектор
.

Если прямая задана общими уравнениями (3.17), то направляющий векторэтой прямой ортогонален нормальным векторам
и
плоскостей, задаваемых уравнениямии. Вектор
по свойству векторного произведения ортогонален каждому из векторови. Согласно определению в качестве направляющего векторапрямойможно взять вектор
, т. е.
.

Для нахождения точки
рассмотрим систему уравнений
. Так как плоскости, определяемые уравнениямии, не параллельны и не совпадают, то не выполняется хотя бы одно из равенств
. Это приводит к тому, что хотя бы один из определителей,
,
отличен от нуля. Для определенности будем считать, что
. Тогда, взяв произвольное значение, получим систему уравнений относительно неизвестныхи:

.

По теореме Крамера эта система имеет единственное решение, определяемое формулами

,
. (3.19)

Если взять
, то прямая, задаваемая уравнениями (3.17), проходит через точку
.

Таким образом, для случая, когда
, канонические уравнения прямой (3.17) имеют вид

.

Аналогично записываются канонические уравнения прямой (3.17) для случая, когда отличен от нуля определитель
или
.

Если прямая проходит через две различные точки
и
, то ее канонические уравнения имеют вид

. (3.20)

Это следует из того, что прямая проходит через точку
и имеет направляющий вектор.

Рассмотрим канонические уравнения (3.18) прямой. Примем каждое из отношений за параметр , т. е.
. Один из знаменателей этих дробей отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать любые значения, поэтому параметрможет принимать любые вещественные значения. Учитывая, что каждое из отношений равно, получимпараметрические уравнения прямой:

,
,
. (3.21)

Пусть плоскость задана общим уравнением, а прямая параметрическими уравнениями
,
,
. Точка
пересечения прямойи плоскостидолжна одновременно принадлежать плоскости и прямой. Это возможно только в том случае, когда параметрудовлетворяет уравнению, т. е.
. Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты

,

,

.

П р и м е р 32. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки
и
.

Решение. За направляющий вектор прямой возьмем вектор

. Прямая проходит через точку, поэтому по формуле (3.21) искомые уравнения прямой имеют вид
,
,
.

П р и м е р 33. Вершины треугольника
имеют координаты
,
и
соответственно. Составить параметрические уравнения медианы, проведенной из вершины.

Решение. Пусть
 середина стороны
, тогда
,
,
. В качестве направляющего вектора медианы возьмем вектор
. Тогда параметрические уравнения медианы имеют вид
,
,
.

П р и м е р 34. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
параллельно прямой
.

Решение. Прямая задана как линия пересечения плоскостей с нормальными векторами
и
. В качестве направляющего вектораэтой прямой возьмем вектор
, т. е.
. Согласно (3.18) искомое уравнение имеет вид
или
.

3.8. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью

Пусть две прямые ив пространстве заданы своими каноническими уравнениями
и
. Тогда один из угловмежду этими прямыми равен углу между их направляющими векторами
и
. Воспользовавшись формулой (2.22), для определения углаполучим формулу

. (3.22)

Второй угол между этими прямыми равен
и
.

Условие параллельности прямых иравносильно условию коллинеарности векторов
и
и заключается в пропорциональности их координат, т. е. условие параллельности прямых имеет вид

. (3.23)

Если прямые иперпендикулярны, то их направляющие векторы ортогональны, т.е. условие перпендикулярности определяется равенством

. (3.24)

Рассмотрим плоскость , заданную общим уравнением, и прямую, заданную каноническими уравнениями
.

Угол между прямойи плоскостьюявляется дополнительным к углумежду направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости, т. е.
и
, или

. (3.24)

Условие параллельности прямой и плоскостиэквивалентно условию перпендикулярности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости, т. е. скалярное произведение этих векторов должно равняться нулю:

Если же прямая перпендикулярна плоскости, то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости должны быть коллинеарны. В этом случае координаты векторов пропорциональны, т. е.

. (3.26)

П р и м е р 35. Найти тупой угол между прямыми
,
,
и
,
,
.

Решение. Направляющие векторы этих прямых имеют координаты
и
. Поэтому один уголмежду прямыми определяется соотношением, т. е.
. Поэтому условию задачи удовлетворяет второй угол между прямыми, равный
.

3.9. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Пусть
 точка пространства с координатами
, прямая, заданная каноническими уравнениями
. Найдем расстояниеот точки
до прямой.