Уравнение эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Как понимать самую знаменитую формулу эйнштейна Уравнения эйнштейна формула
В самом первом посте своего ЖЖ я обещал, что буду постить всякий бред и прочую бяку с формулами. По части бреда считаю план выполненным на 100%, а вот теперь я приступаю (уже приступил в теме про гравитационно-волновые детекторы) ко второй части плана - буду постить бяку с формулами, чтобы плевались домохозяки и даже ЖЭТФ.
Вспоминаю, что меня просили пояснить кое-что про уравнения Эйнштейна. В частности что и откуда. В рамках комментариев я, конечно, пояснил по минимуму, но вряд ли это внесло какую-то реальную ясность. Поэтому я решил написать более развернутое сообщение на этот счет. Я буду писать немного про тензоры для того, чтобы было понятно о чем я буду говорить дальше.
Но сначала некоторые соглашения. В моем посте используется правило суммирования Эйнштейна (это суммирование по повторяющимся индексам) - я его сейчас поясню, а потом оно подразумевается само собой.
Итак, пусть имеется запись
Согласно правилу Эйнштейна, при известной размерности пространства (либо при неизвестной надо явно указать до какого элемента идет суммирование), знак суммы опускается, и подразумевается суммирование по повторяющимся индексам (индекс "i
" у a
и у b
. И записывается это так
Поэтому везде, где отныне будут встречаться повторяющиеся индексы, подразумевается суммирование (причем не только одинарное, но может быть и двойное).
Пусть мы имеем две системы координат
Контравариантным тензором 2-го ранга
т.е. идет дифференцирование старых координат по новым. Здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
Ковариантным тензором 2-го ранга
называется величина, которая преобразуется при преобразовании координат по правилам
Частными видами тензоров являются всем хорошо известные векторы (тензор 1го ранга) и скаляры (тензор 0-го ранга).
В инерциальной системе отсчета
в декартовой системе координат, как известно, интервал ds
определяется как
В неинерциальной СО
квадрат интервала - некоторая квадратичная форма вида
тут снова суммирование по повторяющимся индексам.
(это можно проверить на частных примерах - попробовать преобразовать ИСО к вращающеся например).
Очевидно
, что
а) по размерности получается, что величина стоящая перед произведением дифференциалов координат есть скаляр.
б) дифференциалы координат можно переставить, а это значит, что величина g не зависит от порядка индексов.
Таким образом g ik
- симметричный 4-тензор. Он называется метрическим тензором.
Совокупность главных значений (1, -1, -1 , -1) называется сигнатурой матрицы (иногда пишут просто (+,-,-,-)). Определитель в данном случае отрицательный. Это опять же очевидно.
Все, что сказано про неинерциальные СО, совершенно 100% переносится на произвольную криволинейную систему координат в отрыве от физики вообще.
К сожалению, я не могу написать много про тензор кривизны
R iklm потому что для этого нужно написать целый трактат - как он выводится, откуда берется и прочее. Придется писать про символы Кристоффеля, это очень долго. Может быть в другой раз, если кому-то будет интересно.Тензор Риччи
получается сверткой тензора кривизны
он симметричен.
Я думаю, все знают принцип наименьшего действия Гамильтона. В данном случае он записывается как
здесь лямбда может рассматриваться как "плотность" функции Лагранжа. Из него потом получается и тензор энергии-импульса
здесь - тензор энергии-импульса
.
Уравнения Эйнштейна
получаются из принципа наименьшего действия. Вывод их не так уж сложен, если хорошо знать все, что я сказал выше. Но, естественно, в данном случае я его писать не буду. Уравнения Эйнштейна имеют вид
Уравнения эти нелинейны, и, как следствие, для их решений несправедлив принцип суперпозиции.
Вывод закона Ньютона из уравнений Эйнштейна
. При переходе к нерелятивистскому случаю надо потребовать малости всех скоростей и, как следствие, малости гравитационного поля. Тогда от всех тензоров останутся только нулевые компоненты
В этом случае уравнения Эйнштейна дают
(здесь m это масса единицы объема, т.е. плотность в отличие от дальнейшего изложения)
Это всем известное уравнение Пуассона для гравитационного потенциала из которого для потенциала поля одной частицы m
и, соответственно, силы действующей в этом поле на другую частицу M
можно получить выражения
Это известный закон тяготения Ньютона.
Гравитационные волны
. Речь пойдет о слабых
гравитационных волнах, которые только и можно детектировать при помощи интерферометров
. Думаю, каждый знает, что для поиска слабых возмущений надо представить искомую функцию в виде стационарной части и возмущения. В данном случае тензор кривизны можно представить в виде невозмущенного тензора галилеевой метрики и тензора h
описывающего слабое возмущение метрики
При определенных дополнительных условиях тензор Риччи примет вид
(на всякий случай я пояснил, что такое оператор Д"Аламбера, хотя думаю это всем хорошо известно).
Немного все это помутузив, можно получить
Обычное волновое уравнение. Это значит, что гравитационные волны распространяются со скоростью света.
Вот и сказочке конец. Я думаю это более развернутый ответ, что я дал тогда в комментариях, но я не уверен, что стало намного понятнее. Но хотел бы надеяться. До новых встреч в эфирах, господа!
Пространства - время для учитывая расположение стресс-энергии в пространстве - времени. Взаимосвязь между метрическим тензором и тензором Эйнштейна позволяет ЭФЭ быть записана в виде набора нелинейных уравнений с частными производным, когда используется таким образом. Решения ЭФЭ являются компонентами метрического тензора. В инерционных траекториях частиц и излучение (геодезические) в полученной геометрии затем вычисляются с использованием уравнения геодезического .
А также повинуясь сохранение местной энергии-импульса, то EFE сводятся к закону тяготения Ньютона , где гравитационное поле является слабым и скорости намного меньше скорости света .
Точные решения для ЭФЭ могут быть найдены только при упрощающих допущениях, такие как симметрия . Специальные классы точных решений наиболее часто изучаются как они моделируют многие гравитационные явления, такие как вращающиеся черные дыры и расширение Вселенной . Дальнейшее упрощение достигается при аппроксимации фактического пространства - времени, как плоское пространства - времени с небольшим отклонением, что приводит к линеаризованной ЭФЭ . Эти уравнения используются для изучения таких явлений, как гравитационные волны .
Математическая форма
Полевые уравнения Эйнштейна (ОСЕ) можно записать в виде:
|
Р μ ν - 1 2 р г μ ν + Λ г μ ν знак равно 8 π г с 4 T μ ν {\ Displaystyle R _ {\ му \ Nu} - {\ tfrac {1} {2}} Р \, G _ {\ му \ Nu} + \ Lambda G _ {\ му \ Nu} = {\ гидроразрыва {8 \ р G } {с ^ {4}}} _ {Т \ му \ Nu}} |
где R μν является тензор кривизны Риччи , R является скалярная кривизна , г μν является метрический тензор , Λ является космологическая постоянная , G является постоянная тяготения Ньютона , с представляет собой скорость света в вакууме, а Т μν является стресс- тензор энергии .
ЭФЭ является тензором уравнение, связывающее набор симметричных 4 × 4 тензоров . Каждый тензор имеет 10 независимых компонент. Четыре Bianchi тождества уменьшить число независимых уравнений с 10 до 6, в результате чего показателя с четырьмя крепежных калибровочными степенями свободы , которые соответствуют свободе выбора системы координат.
Хотя полевые уравнения Эйнштейна были первоначально сформулированы в контексте четырехмерной теории, некоторые теоретики исследовали их последствия в п измерениях. Уравнения в контекстах вне общей теории относительности до сих пор называют уравнениями поля Эйнштейна. Вакуумные полевые уравнения (полученные при Т тождественно равна нулю) определяют многообразия Эйнштейна .
Несмотря на простой внешний вид уравнений на самом деле они довольно сложны. Принимая во внимание указанное распределение материи и энергии в виде тензора энергии, ЭФЭ понимаются уравнения для метрического тензора г μν , так как и тензор Риччи и скалярная кривизна зависит от метрики в сложной нелинейной манере. В самом деле, когда полностью выписана, то ЭФЭ представляют собой система из десяти соединенных, нелинейных, гиперболических-эллиптических дифференциальных уравнений .
Можно написать EFE в более компактной форме, определив тензор Эйнштейна
г μ ν знак равно р μ ν - 1 2 р г μ ν , {\ Displaystyle G _ {\ му \ Nu} = Р _ {\ му \ Nu} - {\ tfrac {1} {2}} _ {Rg \ му \ Nu}}которая представляет собой симметричный тензор второго ранга, который является функцией метрики. ЭФЭ, то можно записать в виде
г μ ν + Λ г μ ν знак равно 8 π г с 4 T μ ν , {\ Displaystyle G _ {\ мю \ Nu} + \ Lambda G _ {\ му \ Nu} = {\ гидроразрыва {8 \ р G} {с ^ {4}}} T _ {\ му \ Nu}.}В стандартных единицах, каждый член с левой имеет единицы 1 / длина 2 . При таком выборе Эйнштейна постоянной , как 8πG / с 4 , то тензор энергии-импульса на правой стороне уравнения должны быть записаны с каждым компонентом в единицах плотности энергии (то есть энергии на единицу объема = давление).
Вход конвенции
Выше форма ЭФЭ является стандартом, установленным Мизнер, Thorne, и Wheeler . Авторы проанализировали все конвенции, которые существуют и классифицированы в соответствии со следующими тремя знаками (S1, S2, S3):
г μ ν знак равно [ S 1 ] × диаг (- 1 , + 1 , + 1 , + 1) р μ α β γ знак равно [ S 2 ] × (Γ α γ , β μ - Γ α β , γ μ + Γ σ β μ Γ γ α σ - Γ σ γ μ Γ β α σ) г μ ν знак равно [ S 3 ] × 8 π г с 4 T μ ν {\ Displaystyle {\ {начинаются выровнены} _ {г \ му \ Nu} & = \ раз \ OperatorName {Diag} (-1, + 1, + 1, + 1) \\ {R ^ { \ му}} _ {\ альфа \ бета \ гамма} & = \ раз \ влево (\ Gamma _ {\ альфа \ гамма, \ бета} ^ {\ му} - \ Gamma _ {\ альфа \ бета, \ гамма} ^ {\ му} + \ Gamma _ {\ Sigma \ бета} ^ {\ му} \ гамма _ {\ Gamma \ альфа} ^ {\ Sigma} - \ Gamma _ {\ Sigma \ Gamma} ^ {\ му} \ Гамма _ {\ бета \ альфа} ^ {\ Sigma} \ справа) \\ G _ {\ му \ Nu} & = \ раз {\ гидроразрыва {8 \ Pi G} {с ^ {4}}} T _ {\ му \ Nu} \ {конец выровнен}}}Третий знак выше относится к выбору конвенции для тензора Риччи:
р μ ν знак равно [ S 2 ] × [ S 3 ] × р α μ α ν {\ Displaystyle R _ {\ мю \ Nu} = \ [раз S3] \ {раза R ^ {\ альфа}} _ {\ му \ альфа \ Nu}} р μ ν - 1 2 р г μ ν + Λ г μ ν знак равно 8 π г с 4 T μ ν , {\ Displaystyle R _ {\ му \ Nu} - {\ tfrac {1} {2}} Р \, G _ {\ му \ Nu} + \ Lambda G _ {\ му \ Nu} = {\ гидроразрыва {8 \ р G } {с ^ {4}}} T _ {\ му \ Nu} \ ,.}Поскольку Λ постоянна, то закон сохранения энергии не меняется.
Космологический термин был первоначально введен Эйнштейном, чтобы для вселенной, не расширяться или сжиматься . Эти усилия увенчались успехом, потому что:
- Вселенная описывается этой теорией была нестабильна, и
- наблюдения Эдвина Хаббла подтвердили, что наша Вселенная расширяется .
Таким образом, Эйнштейн отказался от Л , называя ее «самой большой ошибкой [он] когда - либо делал».
Несмотря на мотивацию Эйнштейна для введения космологической постоянной, нет ничего несовместима с наличием такого члена в уравнениях. В течение многих лет космологическая постоянная была почти повсеместно считается равным 0. Однако недавние улучшенные астрономические методы обнаружили, что положительное значение Л необходимо для объяснения ускоряющейся Вселенной . Тем не менее, космологический пренебрежимо мало в масштабе галактики или меньше.
Эйнштейн подумал о космологической постоянной в качестве независимого параметра, но его член в уравнении поля можно также перемещать алгебраически к другой стороне, написанной как часть тензора энергии:
T μ ν (v a с) знак равно - Λ с 4 8 π г г μ ν , {\ Displaystyle T _ {\ му \ Nu} ^ {\ mathrm {(ВПТ)}} = - {\ гидроразрыва {\ Lambda с ^ {4}} {8 \ пи G}} G _ {\ му \ Nu} \, .} р α β [ γ δ ; ε ] знак равно 0 {\ Displaystyle R _ {\ альфа \ бета [\ гамма \ дельта; \ varepsilon]} = 0}с г αβ дает, используя тот факт, что метрический тензор ковариантно постоянен, то есть г αβ ; γ = 0 ,
р γ β γ δ ; ε + р γ β ε γ ; δ + р γ β δ ε ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ гамма \ дельта; \ varepsilon} + {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ varepsilon \ гамма; \ дельта} + {R ^ {\ гамма}} _ {\ бета \ дельта \ varepsilon; \ гамма} = \, 0}Антисимметрия тензора Римана позволяет второй член в приведенном выше выражении должна быть переписана:
р γ β γ δ ; ε - р γ β γ ε ; δ + р γ β δ ε ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ гамма \ дельта; \ varepsilon} - {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ гамма \ varepsilon; \ дельта} + {R ^ {\ гамма}} _ {\ бета \ дельта \ varepsilon; \ гамма} = 0}что эквивалентно
р β δ ; ε - р β ε ; δ + р γ β δ ε ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle R _ {\ бета \ дельта; \ varepsilon} _ {-R \ бета \ varepsilon; \ дельта} + {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ дельта \ varepsilon; \ гамма} = 0}Затем контракт снова с метрикой
г β δ (р β δ ; ε - р β ε ; δ + р γ β δ ε ; γ) знак равно 0 {\ Displaystyle г ^ {\ бета \ дельта} \ влево (R _ {\ бета \ дельта; \ varepsilon} -R _ {\ бета \ varepsilon; \ дельта} + {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ дельта \ varepsilon; \ Gamma} \ справа) = 0}получить
р δ δ ; ε - р δ ε ; δ + р γ δ δ ε ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle {R ^ {\ дельта}} _ {\ Delta; \ varepsilon} - {R ^ {\ дельта}} _ {\ varepsilon; \ дельта} + {R ^ {\ Gamma \ дельта}} _ {\ дельта \ varepsilon; \ гамма} = 0}Определения тензора кривизны Риччи и скалярной кривизны, то показывают, что
р; ε - 2 р γ ε ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle R _ {; \ varepsilon} -2 {R ^ {\ Gamma}} _ {\ varepsilon; \ гамма} = 0}которое можно переписать в виде
(р γ ε - 1 2 г γ ε р) ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle \ слева ({R ^ {\ Gamma}} _ {\ varepsilon} - {\ tfrac {1} {2}} {г ^ {\ Gamma}} _ {\ varepsilon} R \ справа) _ {; \ Gamma} = 0}Окончательное сжатие с г еДом дает
(р γ δ - 1 2 г γ δ р) ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle \ слева (R ^ {\ Gamma \ дельта} - {\ tfrac {1} {2}} г ^ {\ Gamma \ дельта} R \ справа) _ {; \ гамма} = 0}которые в силе симметрии в квадратных скобках термина и определением тензора Эйнштейна , дает после перемаркировки индексов,
г α β ; β знак равно 0 {\ Displaystyle {G ^ {\ альфа \ бета}} _ {; \ бета} = 0}Используя EFE, это сразу дает,
∇ β T α β знак равно T α β ; β знак равно 0 {\ Displaystyle \ набла _ {\ бета} Т ^ {\ альфа \ бета} = {Т ^ {\ альфа \ бета}} _ {; \ бета} = 0}который выражает локальное сохранение стресс-энергии. Этот закон сохранения является физическим требованием. С его полевых уравнений Эйнштейна гарантировал, что общая теория относительности согласуется с этим условием сохранения.
нелинейность
Нелинейность EFE отличает общую теорию относительности от многих других фундаментальных физических теорий. Так, например, уравнение Максвелла из электромагнетизма является линейными в электрических и магнитных полей , а также заряд и распределение токов (т.е. суммы двух решений также является решением); Другой пример является уравнением Шредингера из квантовой механики , которая является линейной в волновой функции .
Принцип соответствия
d 2 Икс α d τ 2 знак равно - Γ β γ α d Икс β d τ d Икс γ d τ , {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d ^ {2} х ^ {\ альфа}} {d \ тау ^ {2}}} = - \ Gamma _ {\ бета \ гамма} ^ {\ альфа} {\ гидроразрыва {дх ^ {\ бета}} {d \ тау}} {\ гидроразрыва {дх ^ {\ Gamma}} {d \ тау}} \ ,.}Чтобы увидеть, как последнее сводится к первому, мы предполагаем, что скорость испытателя частицы близка к нулю
d Икс β d τ ≈ (d T d τ , 0 , 0 , 0) {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {дх ^ {\ бета}} {d \ тау}} \ ок \ влево ({\ гидроразрыва {дт} {d \ тау}}, 0,0,0 \ справа)}и поэтому
d d T (d T d τ) ≈ 0 {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дт}} \ влево ({\ гидроразрыва {дт} {d \ тау}} \ справа) \ около 0}и что метрика и ее производные примерно статические и что квадраты отклонений от метрики Минковского пренебрежимо малы. Применение этих упрощающих допущений пространственных компонент геодезическое уравнение дает
d 2 Икс я d T 2 ≈ - Γ 00 я {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d ^ {2} х ^ {я}} {дт ^ {2}}} \ ок - \ Gamma _ {00} ^ {я}}где два фактора DT / дифференциала dr были разделены из. Это позволит снизить его ньютоновский аналог, при условии
Φ , я ≈ Γ 00 я знак равно 1 2 г я α (г α 0 , 0 + г 0 α , 0 - г 00 , α) , {\ Displaystyle \ Phi _ {, я} \ примерно \ Gamma _ {00} ^ {я} = {\ tfrac {1} {2}} г ^ {я \ альфа} \ влево (G _ {\ альфа-0,0 } + g_ {0 \ альфа-, 0} -g_ {00 \ альфа} \ справа) \ ,.}Наши предположения заставляют альфа = я и времени (0) производные равными нулю. Таким образом, это упрощает для
2 Φ , я ≈ г я J (- г 00 , J) ≈ - г 00 , я {\ Displaystyle 2 \ Phi _ {, я} \ ок г ^ {IJ} \ влево (-g_ {00, J} \ справа) \ ок -g_ {00, я} \}которое выполняется, позволяя
г 00 ≈ - с 2 - 2 Φ , {\ Displaystyle g_ {00} \ ок -с ^ {2} -2 \ Phi \ ,.}Обращаясь к уравнениям Эйнштейна, нам нужно только компонент времени времени
р 00 знак равно К (T 00 - 1 2 T г 00) {\ Displaystyle R_ {00} = К \ влево (Т_ {00} - {\ tfrac {1} {2}} Tg_ {00} \ справа)}в скорости и статическое поле допущение низкого означает, что
T μ ν ≈ d я a г (T 00 , 0 , 0 , 0) ≈ d я a г (ρ с 4 , 0 , 0 , 0) , {\ Displaystyle Т _ {\ му \ Nu} \ ок \ mathrm {Diag} \ влево (Т_ {00}, 0,0,0 \ справа) \ ок \ mathrm {Diag} \ влево (\ Rho с ^ {4} , 0,0,0 \ справа) \ ,.} T знак равно г α β T α β ≈ г 00 T 00 ≈ - 1 с 2 ρ с 4 знак равно - ρ с 2 {\ Displaystyle Т = г ^ {\ альфа \ бета} Т _ {\ альфа \ бета} \ около г ^ {00} T_ {00} \ ок - {\ гидроразрыва {1} {с ^ {2}}} \ Rho с ^ {4} = - \ Rho с ^ {2} \,}и поэтому
К (T 00 - 1 2 T г 00) ≈ К (ρ с 4 - 1 2 (- ρ с 2) (- с 2)) знак равно 1 2 К ρ с 4 , {\ Displaystyle К \ влево (Т_ {00} - {\ tfrac {1} {2}} Tg_ {00} \ справа) \ ок К \ влево (\ ро с ^ {4} - {\ tfrac {1} { 2}} \ влево (- \ Rho с ^ {2} \ справа) \ влево (-c ^ {2} \ справа) \ справа) = {\ tfrac {1} {2}} К \ Rho с ^ {4 } \ ,.}Из определения тензора Риччи
р 00 знак равно Γ 00 , ρ ρ - Γ ρ 0 , 0 ρ + Γ ρ λ ρ Γ 00 λ - Γ 0 λ ρ Γ ρ 0 λ , {\ Displaystyle R_ {00} = \ Gamma _ {00, \ Rho} ^ {\} - ро \ Gamma _ {\ Rho 0,0} ^ {\ Rho} + \ Gamma _ {\ Rho \ Lambda} ^ { \ Rho} \ Gamma _ {00} ^ {\ Lambda} - \ Gamma _ {0 \ Lambda} ^ {\ Rho} \ Gamma _ {\ Rho 0} ^ {\ Lambda}}.Наши упрощающие предположения делают квадраты Г исчезают вместе с производными по времени
р 00 ≈ Γ 00 , я я, {\ Displaystyle R_ {00} \ ок \ Gamma _ {00, я} ^ {я} \ ,.}Сочетание приведенных выше уравнений вместе
Φ , я я ≈ Γ 00 , я я ≈ р 00 знак равно К (T 00 - 1 2 T г 00) ≈ 1 2 К ρ с 4 {\ Displaystyle \ Phi _ {, II} \ приблизительно \ Gamma _ {00, я} ^ {я} \ около R_ {00} = К \ влево (Т_ {00} - {\ tfrac {1} {2}} Tg_ {00} \ справа) \ около {\ tfrac {1} {2}} K \ Rho с ^ {4}}которая сводится к уравнению ньютоновского поля при условии
1 2 К ρ с 4 знак равно 4 π г ρ {\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} К \ Rho с ^ {4} = 4 \ р С \ Rho \,}который будет иметь место, если
К знак равно 8 π г с 4 , {\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {8 \ р G} {с ^ {4}}} \ ,.}Вакуумная уравнения поля
Швейцарский монета с 1979, показывая вакуума уравнений поля с нулевой космологической постоянной (вверху).
Если тензор энергии-импульса Т μν равен нулю в рассматриваемой области, то уравнения поля также называют вакуумной полевых уравнений . Установив T μν = 0 в , вакуумные уравнения могут быть записаны в виде
р μ ν знак равно 0 , {\ Displaystyle R _ {\ му \ Nu} = 0 \ ,.}В случае ненулевой космологической постоянной, уравнения с исчезающей
используется, то полевые уравнения Эйнштейна, называются уравнениями Эйнштейна-Максвелла (с космологической постоянной Л , принимаемым равным нулю в обычной теории относительности):
р α β - 1 2 р г α β + Λ г α β знак равно 8 π г с 4 μ 0 (F α ψ F ψ β + 1 4 г α β F ψ τ F ψ τ) , {\ Displaystyle R ^ {\ альфа \ бета} - {\ tfrac {1} {2}} Rg ^ {\ альфа \ бета} + \ Lambda г ^ {\ альфа \ бета} = {\ гидроразрыва {8 \ р G } {с ^ {4} \ му _ {0}}} \ влево ({F ^ {\ альфа}} ^ {\ Psi} {F _ {\ Psi}} ^ {\ бета} + {\ tfrac {1} {4}} г ^ {\ альфа \ бета} F _ {\ Psi \ тау} F ^ {\ Psi \ тау} \ справа).}Изучение точных решений уравнений Эйнштейна является одним из направлений деятельности космологии . Это приводит к предсказанию черных дыр и различным моделям эволюции Вселенной .
Можно также открыть новые решения полевых уравнений Эйнштейна с помощью метода ортонормреперов, как впервые Эллис и MacCallum. При таком подходе, поле Эйнштейна уравнения сводятся к набору связанных, нелинейных, обыкновенных дифференциальных уравнений. Как обсуждалось Хсу и Wainwright, самоподобные решения уравнений поля Эйнштейна являются неподвижными точками в результате динамической системы . Новые решения были обнаружены с помощью этих методов Леблан и Коли и Haslam. .
полиномиальная форма
Можно подумать, что EFE не является многочленом, так как они содержат инверсию метрического тензора. Однако уравнения могут быть организованы таким образом, что они содержат только метрический тензор, а не его обратный. Во-первых, определитель метрики в 4-х измерениях можно записать:
йе (г) знак равно 1 24 ε α β γ δ ε κ λ μ ν г α κ г β λ г γ μ г δ ν {\ Displaystyle \ Det (г) = {\ tfrac {1} {24}} \ varepsilon ^ {\ альфа \ бета \ гамма \ дельта} \ varepsilon ^ {\ каппа \ Lambda \ му \ Nu} G _ {\ альфа \ каппа} _ {г \ бета \ Lambda} _ {г \ гамма-\ му} _ {г \ дельта \ Nu} \,}используя символ Леви-Чивита ; и обратные метрик в 4 -х измерениях можно записать в виде:
г α κ знак равно 1 6 ε α β γ δ ε κ λ μ ν г β λ г γ μ г δ ν йе (г) , {\ Displaystyle г ^ {\ альфа \ каппа} = {\ гидроразрыва {{\ tfrac {1} {6}} \ varepsilon ^ {\ альфа \ бета \ гамма \ дельта} \ varepsilon ^ {\ каппа \ Lambda \ му \ Nu} _ {г \ бета \ Lambda} _ {г \ гамма-\ му} _ {г \ дельта \ Nu}} {\ Det (г)}} \ ,.}Подставляя это определение обратной метрики в уравнение, то умножая обе стороны от ого (г ) до тех пор, пока еще не остались в результатах знаменателя в полиномиальных уравнениях метрического тензора и его первые и вторых производных. Действия, из которого получены уравнения также можно записать в виде полинома с помощью подходящего переопределения полей.
внешняя ссылка
| Wikibooks есть книги |
Мы можем теперь перейти к выводу уравнений гравитационного поля. Эти уравнения получаются из принципа наименьшего действия , где - действия соответственно для гравитационного поля и материи 2). Варьированию подвергается теперь гравитационное поле, т. е. величины
Вычислим вариацию . Имеем:
Подставляя сюда, согласно (86,4),
Для вычисления заметим, что хотя величины и не составляют тензора, но их вариации образуют тензор. Действительно, есть изменение вектора при параллельном переносе (см. (85,5)) из некоторой точки Р в бесконечно близкую к ней Р. Поэтому есть разность двух векторов, получающихся соответственно при двух параллельных переносах (с неварьированными и варьированными Ты) из точки Р в одну и ту же точку Р. Разность же двух векторов в одной и той же точке является вектором, а потому есть тензор.
Воспользуемся локально-геодезической системой координат. Тогда в данной точке все . С помощью выражения (92,7) для имеем (помня, что первые производные от равны теперь нулю):
Поскольку есть вектор, то мы можем написать полученное соотношение в произвольной системе координат в виде
(заменяя на и пользуясь (86,9)). Следовательно, второй интеграл справа в (95,1) равен
и по теореме Гаусса может быть преобразован в интеграл от по гиперповерхности, охватывающей весь -объем.
Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает. Таким образом, вариация равна
Заметим, что если бы мы исходили из выражения
для действия поля, то мы получили бы, как легко убедиться,
Сравнивая это с (95,2), находим следующее соотношение:
Для вариации действия материи можно написать согласно (94,5)
где - тензор энергии-импульса материи (включая электромагнитное поле). Гравитационное взаимодействие играет роль только для тел с достаточно большой массой (благодаря малости гравитационной постоянной). Поэтому при исследовании гравитационного поля нам приходится обычно иметь дело с макроскопическими телами. Соответственно этому для надо обычно писать выражение (94,9).
Таким образом, из принципа наименьшего действия находим:
откуда ввиду произвольности
или в смешанных компонентах
Это и есть искомые уравнения гравитационного поля - основные уравнения общей теории относительности. Их называют уравнениями Эйнштейна.
Упрощая (95,6) по индексам i и k, находим:
Поэтому уравнения поля можно написать также в виде
Уравнения Эйнштейна нелинейны. Поэтому для гравитационных полей несправедлив принцип суперпозиции. Этот принцип справедлив лишь приближенно для слабых полей, допускающих линеаризацию уравнений Эйнштейна (к ним относятся, в частности, гравитационные поля в классическом, ньютоновском пределе см. § 99).
В пустом пространстве и уравнения гравитационного поля сводятся к уравнениям
Напомним, что это отнюдь не значит, что пустое пространство время является плоским, - для этого требовалось бы выполнение более сильных условий
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля обладает тем свойством, что (см. (33,2)). Ввиду (95,7) отсюда следует, что при наличии одного только электромагнитного поля без каких-либо масс скалярная кривизна пространства-времена равна нулю.
Как мы знаем, дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю:
Поэтому должна быть равна нулю также и дивергенция лево части уравнения (95,6). Это действительно так в силу тождества (92,10).
Таким образом, уравнения (95,10) по существу содержатся в уравнениях поля (95,6). С другой стороны, уравнения (95,10), выражая собой законы сохранения энергии и импульса, содержат в себе уравнения движения той физической системы, к которой относится рассматриваемый тензор энергии-импульса (т. е. уравнения движения материальных частиц или вторую пару уравнений Максвелла).
Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат в себе также и уравнения для самой материи, которая создает это поле. Поэтому распределение и движение материи, создающей гравитационное поле, отнюдь не могут быть заданы произвольным образом. Напротив, они должны быть определены (посредством решения уравнений поля при заданных начальных условиях) одновременно с самим создаваемым этой материей полем.
Обратим внимание на принципиальное отличие этой ситуации от того, что мы имели в случае электромагнитного поля. Уравнения этого поля (уравнения Максвелла) содержат в себе только уравнение сохранения полного заряда (уравнение непрерывности), но не уравнения движения самих зарядов. Поэтому распределение и движение зарядов могут буть заданы произвольным образом, лишь бы полный заряд был постоянным. Заданием этого распределения зарядов определяется тогда посредством уравнений Максвелла создаваемое ими электромагнитное поле.
Надо, однако, уточнить, что для полного определения распределения и движения материи в случае гравитационного поля к уравнениям Эйнштейна надо присоединить еще (не содержащееся, конечно, в них) уравнение состояния вещества, т. е. уравнение, связывающее между собой давление и плотность. Это уравнение должно быть задано наряду с уравнениями поля.
Четыре координаты могут быть подвергнуты произвольному преобразованию. Посредством этого преобразования можно произвольным образом выбрать четыре из десяти компонент тензора . Поэтому независимыми неизвестными функциями являются только шесть из величин Далее, четыре компоненты входящей в тензор энергии-импульса материи 4-скорости связаны друг с другом соотношением , так что независимыми являются только три из них. Таким образом, мы имеем, как и следовало, десять уравнений поля (95,5) для десяти неизвестных величин: шести из компонент , трех из компонент и плотности материи (или ее давления ). Для гравитационного поля в пустоте остается всего шесть неизвестных величин (компонент ) и соответственно понижается число независимых уравнений поля: десять уравнений связаны четырьмя тождествами (92,10).
Отметим некоторые особенности структуры уравнений Эйнштейна. Они представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Однако в уравнения входят вторые производные по времени не от всех 10 компонент . Действительно, из (92,1) видно, что вторые производные по времени содержатся только в компонентах тензора кривизны, куда они входят в виде члена (точкой обозначаем дифференцирование по ); вторые же производные от компонент метрического тензора вообще отсутствуют. Ясно поэтому, что и получающийся путем упрощения из тензора кривизны тензор , а с ним и уравнения (95,5) тоже содержат вторые производные по времени лишь от шести пространственных компонент
Легко также видеть, что эти производные входят лишь в -уравнения (95,6), т. е. в уравнения
(95,11)
Уравнения же и , т. е. уравнения
содержат производные по времени лишь первого порядка. В этом можно убедиться, проверив, что при образовании путем свертывания величин компоненты вида действительно выпадают. Еще проще увидеть это из тождества (92,10) записав его в виде
Старшие производные по времени, входящие в правую часть этого равенства, - вторые производные (фигурирующие в самих величинах ). Поскольку (95,13) - тождество, то и его левая сторона должна, следовательно, содержать производные по времени не выше второго порядка. Но одно дифференцирование. по времени фигурирует уже в нем явным образом; поэтому сами выражения могут содержать производные по времени не выше первого порядка.
Более того, левые стороны уравнений (95,12) не содержат также и первых производных (а лишь производные ). Действительно, из всех эти производные содержат только , а эти величины в свою очередь входят только в компоненты тензора кривизны вида , которые, как мы уже знаем, выпадают при образовании левых сторон уравнений (95,12).
Если интересоваться решением уравнений Эйнштейна при заданных начальных (по времени) условиях, то возникает вопрос о том, для скольких величин могут быть произвольно заданы начальные пространственные распределения.
Начальные условия для уравнений второго порядка должны включать начальные распределения как самих дифференцируемых величин, так и их первых производных по времени. Однако поскольку в данном случае уравнения содержат вторые производные лишь от шести , то в начальных условиях не могут быть произвольно заданы все . Так, можно задать (наряду со скоростью и плотностью материи) начальные значения функций и , после чего из 4 уравнений (95,12) определятся допустимые начальные значения ; в уравнениях же (95,11) останутся еще произвольными начальные значения
Десять лет понадобилось Эйнштейну чтобы обобщить специальную теорию относительности (1905 г.) до общей теории относительности (1916 г.). позволил осознать, что гравитация как-то связана с искривлением самого . Кульминацией усилий по точной количественной формулировке данного факта являются уравнения Эйнштейна:
\(\displaystyle R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu \nu}=\frac{8\pi G}{c^{4}}T_{\mu \nu}\)
Они записаны с помощью математики, никогда прежде не появлявшейся в уравнениях физики — Римановой геометрии. Буквы с индексами есть не что иное как тензоры: \(\displaystyle R_{\mu \nu}\) — тензор Риччи, \(\displaystyle g_{\mu \nu}\) — метрический тензор, \(\displaystyle T_{\mu \nu}\) — тензор энергии-импульса. Само тензорное исчисление появилось всего несколькими годами ранее теории относительности.
Индексы \(\displaystyle\mu \) и \(\displaystyle \nu\) в уравнениях Эйнштейна могут принимать значения от единицы до четырех, соответственно тензоры можно представить матрицами 4х4. Поскольку они симметричны относительно диагонали, независимы друг от друга оказываются только десять компонент. Таким образом, в развернутом виде имеем систему из десяти нелинейных дифференциальных уравнений — уравнений Эйнштейна.
Задачей решения уравнений Эйнштейна является нахождение явного вида \(\displaystyle g_{\mu \nu}\), полностью характеризующего геометрию пространства-времени. Исходными данными являются тензор энергии-импульса \(\displaystyle T_{\mu \nu}\) и начальные/граничные условия. Тензор Риччи \(\displaystyle R_{\mu \nu}\) и скалярная кривизна Гаусса \(\displaystyle R\) являются функциями метрического тензора и его производных и характеризуют кривизну пространства-времени. Концептуально уравнения Эйнштейна можно представить как:
геометрия (левая часть) = энергия (правая часть)
Правая часть уравнений Эйнштейна это начальные условия в виде распределения масс (помним, \(\displaystyle E=mc^{2}\)), а левая это чисто геометрические величины. То есть уравнения говорят, что масса (энергия) влияет на геометрию пространства-времени.
Искривленная геометрия в свою очередь определяет траектории движения материальных тел. То есть согласно Эйнштейну — гравитация это и есть пространство-время. Просто оно в отличие от Ньютоновской теории не является статическим неизменным объектом, а может деформироваться, искривляться.
Метрический тензор — решение уравнений Эйнштейна — в общем случае разный в разных точках пространства, то есть является функцией координат. По-сути само пространство-время становится динамическим объектом (полем), аналогично другим физическим величинам типа электромагнитного поля.
Внешне уравнения Эйнштейна совсем не похожи на закон всемирного тяготения Ньютона:
\(\displaystyle F=G\frac{mM}{r^2}\)
Но в приближении малых масс и скоростей они повторяют результаты Ньютоновской теории. Из-за множества тензорных компонент аналитические вычисления крайне запутаны, благо сейчас все моделирование можно производить на компьютере.
В рамках ОТО существуют эффекты отсутствующие в Ньютоновской гравитации, например, увлечение систем отсчета вблизи вращающихся массивных тел или недавно экспериментально обнаруженные гравитационные волны.
Гравитация остается единственным полем для которого так и не построена соответствующая квантовая теория. Даже для кварков (составляющих нейтронов и протонов), теоретически предсказанных только в 1960-х, уже давно построена квантовая теория поля.
Это объясняется тем, что все физические величины обычно выражаются в виде функций от пространственных координат и времени \(\displaystyle x=f(t)\). Что делать когда само пространство \(\displaystyle x\) и время \(\displaystyle t\) теряют классический смысл? По-сути стоит задача построить квантовую теорию самого пространства-времени. Наивные подходы, вводящие минимальную длину и минимальный промежуток времени, несостоятельны вследствие
Все попытки объяснить явление фотоэффекта на основе волновой теории света оказались безрезультатными. Объяснение фотоэффекта было дано А. Эйнштейном в 1905 году. Экспериментальные законы фотоэффекта Эйнштейн рассмотрел с позиций квантовой теории света. Как известно, чтобы вырвать электрон из металла, необходимо затратить некоторую энергию. Энергия, необходимая для вырывания электрона из металла, называется работой выхода. Энергия падающего кванта расходуется на работу выхода и на кинетическую энергию выбитого электрона:
где hv - энергия падающего кванта, А - работа выхода, - кинетическая энергия вырванного с поверхности металла электрона.
Формула (4) носит название уравнения Эйнштейна для фотоэффекта. Это уравнение объясняет основные экспериментальные законы и вид вольт-амперной характеристики фотоэлемента (рис. 19 и 20).
Интенсивность света, согласно квантовой теории, пропорциональна числу квантов энергии падающего света. Поэтому число вырванных электронов с увеличением светового потока увеличивается и, следовательно, увеличивается ток насыщения (рис. 19).
Максимальная кинетическая энергия вырванных электронов, а следовательно, и задерживающий потенциал U з, определяется согласно формуле (3) только частотой света и работой выхода. Работа выхода А определяется лишь родом металла. Поэтому с увеличением частоты падающего света увеличивается кинетическая энергия вырванных электронов и задерживающий потенциал U з (рис. 20). От величины светового потока кинетическая энергия не зависит (см. форм. 3).
Для каждого вещества фотоэффект наблюдается лишь в том случае, если частота v света больше минимального значения v 0 . Из уравнения Эйнштейна следует, что для вырывания электронов из металла необходимо затратить работу выхода - А . Следовательно, для того, чтобы вырвать электрон, энергия кванта должна быть больше этой работы выхода hv >А . Предельная частота v 0 (красная граница фотоэффекта) выражается: v 0 =A /h . Поскольку работа выхода А определяется родом вещества, предельная частота v 0 (красная граница) для разных веществ различна. Для цинка красной границе соответствует длина волны λ=3,7·10 -7 м (ультрафиолетовая область). Напомним, что длина волны света связана с частотой следующим соотношением λ 0 =c /v 0 .
Вопросы
1. Нарисовать зависимость кинетической энергии вырванных фотоэлектронов от величины падающего светового потока для частот v 1 и v 2 , причем v 1 > v 2 .
2. Между катодом и анодом приложен задерживающий потенциал, такой, что вырванные фотоэлектроны пролетают только половину расстояния между анодом и катодом. Смогут ли они долететь до анода, если расстояние между катодом и анодом уменьшить вдвое?
