≡×МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт 
• Вътрешен дизайн
• За всичко
• Относно ВиК

Как да намерим стойността на израз с дробни степени. Уравнения онлайн

Нека разгледаме темата за трансформиране на изрази със степени, но първо нека се спрем на редица трансформации, които могат да бъдат извършени с всякакви изрази, включително степенни. Ще научим как да отваряме скоби, да добавяме подобни термини, да работим с бази и показатели и да използваме свойствата на степените.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво представляват изразите на властта?

В училищните курсове малко хора използват фразата „мощни изрази“, но този термин постоянно се среща в колекциите за подготовка за Единния държавен изпит. В повечето случаи фразата обозначава изрази, които съдържат степени в своите записи. Това ще отразим в нашето определение.

Определение 1

Мощно изразяванее израз, който съдържа степени.

Нека дадем няколко примера за изрази на степен, започвайки със степен с естествен показател и завършвайки със степен с реален показател.

Най-простите изрази за степен могат да се считат за степени на число с естествен показател: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . А също и степени с нулев показател: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. И степени с цели отрицателни степени: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Малко по-трудно е да се работи със степен, която има рационални и ирационални показатели: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Индикаторът може да бъде променливата 3 x - 54 - 7 3 x - 58 или логаритъма x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Заехме се с въпроса какво представляват изразите на сила. Сега нека започнем да ги конвертираме.

Основни видове преобразувания на степенни изрази

Първо, ще разгледаме основните трансформации на идентичност на изрази, които могат да бъдат изпълнени със степенни изрази.

Пример 1

Изчислете стойността на израз на степен 2 3 (4 2 − 12).

Решение

Ние ще извършим всички трансформации в съответствие с реда на действията. IN в такъв случайЩе започнем с извършване на действията в скоби: ще заменим степента с цифрова стойност и ще изчислим разликата на две числа. Ние имаме 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Всичко, което трябва да направим, е да сменим степента 2 3 неговото значение 8 и изчислете продукта 8 4 = 32. Ето нашия отговор.

Отговор: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Пример 2

Опростете израза със степени 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Решение

Изразът, даден ни в изложението на проблема, съдържа подобни термини, които можем да дадем: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Отговор: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Пример 3

Изразете израза със степени 9 - b 3 · π - 1 2 като произведение.

Решение

Нека си представим числото 9 като степен 3 2 и приложете формулата за съкратено умножение:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Отговор: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Сега нека преминем към анализа на трансформациите на идентичността, които могат да бъдат приложени конкретно към степенни изрази.

Работа с основа и експонента

Степента в основата или експонентата може да има числа, променливи и някои изрази. Например, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7И . Работата с такива записи е трудна. Много по-лесно е да замените израза в основата на степента или израза в експонентата с идентично равен израз.

Трансформациите на степен и експонента се извършват по известните ни правила отделно един от друг. Най-важното е, че трансформацията води до израз, идентичен с оригиналния.

Целта на трансформациите е да се опрости оригиналния израз или да се получи решение на проблема. Например, в примера, който дадохме по-горе, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 можете да следвате стъпките, за да отидете на степен 4 , 1 1 , 3 . Като отворим скобите, можем да представим подобни членове на основата на степента (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)и да получите израз на повече сила прост тип a 2 (x + 1).

Използване на свойства на степен

Свойствата на степените, записани под формата на равенства, са един от основните инструменти за преобразуване на изрази със степени. Тук представяме основните, като вземем предвид това аИ bса всякакви положителни числа и rИ с- произволни реални числа:

Определение 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s.

В случаите, когато имаме работа с естествени, цели, положителни показатели, ограниченията върху числата a и b могат да бъдат много по-малко строги. Така например, ако вземем предвид равенството a m · a n = a m + n, Където мИ нса естествени числа, тогава ще е вярно за всякакви стойности на a, както положителни, така и отрицателни, както и за а = 0.

Можете да прилагате свойствата на степените без ограничения в случаите, когато основите на степените са положителни или съдържат променливи, област приемливи стойностикоято е такава, че основата върху нея приема само положителни стойности. Всъщност в училищната програма по математика задачата на ученика е да избере подходящо свойство и да го приложи правилно.

Когато се подготвяте да влезете в университети, може да срещнете проблеми, при които неточното прилагане на свойства ще доведе до стесняване на DL и други трудности при решаването. В този раздел ще разгледаме само два такива случая. Повече информация по темата можете да намерите в темата „Преобразуване на изрази чрез свойствата на степените“.

Пример 4

Представете си израза a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5под формата на мощност с основа а.

Решение

Първо, използваме свойството степенуване и преобразуваме втория фактор, използвайки го (a 2) − 3. След това използваме свойствата на умножение и деление на степени с една и съща основа:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Отговор: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Преобразуването на степенни изрази според свойството степен може да се извърши както отляво надясно, така и в обратна посока.

Пример 5

Намерете стойността на степенния израз 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Решение

Ако приложим равенството (a · b) r = a r · b r, от дясно на ляво, получаваме произведение от вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и след това 21 1 3 · 21 2 3 . Нека съберем степените при умножение на степени с еднакви основи: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Има и друг начин за извършване на трансформацията:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Отговор: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Пример 6

Като се има предвид израз на мощност a 1, 5 − a 0, 5 − 6, въведете нова променлива t = a 0,5.

Решение

Нека си представим степента а 1, 5как 0,5 3. Използване на свойството градуси към градуси (a r) s = a r · sот дясно на ляво и получаваме (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Можете лесно да въведете нова променлива в получения израз t = a 0,5: получаваме t 3 − t − 6.

Отговор: t 3 − t − 6 .

Преобразуване на дроби, съдържащи степени

Обикновено имаме работа с две версии на степенни изрази с дроби: изразът представлява дроб със степен или съдържа такава дроб. Всички основни трансформации на дроби са приложими към такива изрази без ограничения. Те могат да бъдат намалени, доведени до нов знаменател или да се работи отделно с числителя и знаменателя. Нека илюстрираме това с примери.

Пример 7

Опростете израза за степен 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Решение

Имаме работа с дроб, така че ще извършим трансформации както в числителя, така и в знаменателя:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Поставете знак минус пред дробта, за да промените знака на знаменателя: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Отговор: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Дробите, съдържащи степени, се редуцират до нов знаменател по същия начин като рационалните дроби. За да направите това, трябва да намерите допълнителен фактор и да умножите числителя и знаменателя на дробта по него. Необходимо е да изберете допълнителен коефициент по такъв начин, че да не отива на нула за никакви стойности на променливи от ODZ променливите за оригиналния израз.

Пример 8

Намалете дробите до нов знаменател: а) a + 1 a 0, 7 към знаменателя а, б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 към знаменателя x + 8 · y 1 2 .

Решение

а) Нека изберем фактор, който ще ни позволи да намалим до нов знаменател. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,следователно като допълнителен фактор ще вземем а 0, 3. Диапазонът на допустимите стойности на променливата a включва множеството от всички положителни реални числа. Степен в тази област а 0, 3не отива на нула.

Нека умножим числителя и знаменателя на една дроб по а 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

б) Нека обърнем внимание на знаменателя:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Нека умножим този израз по x 1 3 + 2 · y 1 6, получаваме сумата от кубовете x 1 3 и 2 · y 1 6, т.е. x + 8 · y 1 2 . Това е нашият нов знаменател, до който трябва да намалим първоначалната дроб.

Ето как намерихме допълнителния множител x 1 3 + 2 · y 1 6 . От обхвата на допустимите стойности на променливите хИ гизразът x 1 3 + 2 · y 1 6 не изчезва, следователно можем да умножим числителя и знаменателя на дробта по него:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Отговор: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Пример 9

Намалете дробта: а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Решение

а) Използваме най-големия общ знаменател (НОД), с който можем да намалим числителя и знаменателя. За числата 30 и 45 е 15. Можем също да направим намаление с х0,5+1и върху x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Получаваме:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

б) Тук наличието на идентични фактори не е очевидно. Ще трябва да извършите някои трансформации, за да получите същите множители в числителя и знаменателя. За да направим това, разширяваме знаменателя, използвайки формулата за разликата на квадратите:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Отговор:а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Основните операции с дроби включват преобразуване на дроби в нов знаменател и намаляване на дроби. И двете действия се извършват при спазване на редица правила. При събиране и изваждане на дроби първо се свеждат до общ знаменател, след което се извършват операции (събиране или изваждане) с числителите. Знаменателят остава същият. Резултатът от нашите действия е нова дроб, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите.

Пример 10

Направете стъпките x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Решение

Нека започнем с изваждането на дробите, които са в скоби. Нека ги приведем към общ знаменател:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Нека извадим числителите:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Сега умножаваме дробите:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Нека намалим на степен х 1 2, получаваме 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Освен това можете да опростите израза на степента в знаменателя, като използвате формулата за разликата на квадратите: квадрати: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Отговор: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Пример 11

Опростете израза на степенния закон x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Решение

Можем да намалим дробта с (x 2 , 7 + 1) 2. Получаваме дробта x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Нека продължим да трансформираме степените на x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Сега можете да използвате свойството за деление на степени с еднакви основи: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Преминаваме от последния продукт към дробта x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Отговор: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

В повечето случаи е по-удобно да прехвърляте фактори с отрицателни експоненти от числителя към знаменателя и обратно, като променяте знака на експонентата. Това действие ви позволява да опростите по-нататъшното решение. Нека дадем пример: степенният израз (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 може да бъде заменен с x 3 · (x + 1) 0, 2.

Преобразуване на изрази с корени и степени

В задачи има степенни изрази, които съдържат не само степени с дробни показатели, но и корени. Препоръчително е такива изрази да се редуцират само до корени или само до степени. За предпочитане е да се търсят степени, тъй като с тях се работи по-лесно. Този преход е особено за предпочитане, когато ODZ на променливите за оригиналния израз ви позволява да замените корените със степени, без да е необходимо да имате достъп до модула или да разделяте ODZ на няколко интервала.

Пример 12

Изразете израза x 1 9 · x · x 3 6 като степен.

Решение

Диапазон от допустими стойности на променливи хсе определя от две неравенства x ≥ 0и x x 3 ≥ 0, които определят множеството [ 0 , + ∞) .

В този набор имаме право да преминем от корени към правомощия:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Използвайки свойствата на степените, ние опростяваме получения израз за степен.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Отговор: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Преобразуване на степени с променливи в степента

Тези трансформации са доста лесни за извършване, ако използвате правилно свойствата на степента. Например, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Можем да заменим с произведението на степените, чиито показатели са сумата от някаква променлива и число. От лявата страна това може да се направи с първия и последния член на лявата страна на израза:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Сега нека разделим двете страни на равенството на 7 2 х. Този израз за променливата x приема само положителни стойности:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Нека съкратим дроби със степени, получаваме: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Накрая съотношението на степени с еднакви показатели се заменя със степени на отношения, което води до уравнението 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, което е еквивалентно на 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0.

Нека въведем нова променлива t = 5 7 x , която редуцира решението до оригинала експоненциално уравнениекъм решение квадратно уравнение 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Преобразуване на изрази със степени и логаритми

В задачи се срещат и изрази, съдържащи степени и логаритми. Пример за такива изрази е: 1 4 1 - 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Трансформацията на такива изрази се извършва с помощта на подходите и свойствата на логаритмите, обсъдени по-горе, които разгледахме подробно в темата „Трансформация на логаритмични изрази“.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Показателят се използва за опростяване на нотацията на операцията за умножаване на число по себе си. Например, вместо да пишете, можете да пишете 4 5 (\displaystyle 4^(5))(обяснение за този преход е дадено в първия раздел на тази статия). Степените улесняват писането на дълги или сложни изрази или уравнения; степените също са лесни за добавяне и изваждане, което води до опростен израз или уравнение (напр. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Забележка:ако трябва да решите експоненциално уравнение (в такова уравнение неизвестното е в степента), прочетете.

стъпки

Решаване на прости задачи със степени

Умножете основата на експонентата по себе си толкова пъти, колкото е степента.Ако трябва да решите степенен проблем на ръка, пренапишете степента като операция за умножение, където основата на степента се умножава сама по себе си. Например, дадена степен 3 4 (\displaystyle 3^(4)). В този случай основата на степен 3 трябва да се умножи сама по себе си 4 пъти: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Ето и други примери:

Първо умножете първите две числа.Например, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Не се притеснявайте - процесът на изчисление не е толкова сложен, колкото изглежда на пръв поглед. Първо умножете първите две четворки и след това ги заменете с резултата. Като този:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Умножете резултата (16 в нашия пример) със следващото число.Всеки следващ резултат ще нараства пропорционално. В нашия пример умножете 16 по 4. Така:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Продължете да умножавате резултата от първите две числа по следващото число, докато получите окончателния отговор. За да направите това, умножете първите две числа и след това умножете получения резултат по следващото число в редицата. Този метод е валиден за всяка степен. В нашия пример трябва да получите: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Решете следните задачи.Проверете отговора си с помощта на калкулатор.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. На вашия калкулатор потърсете ключа с надпис "exp" или " x n (\displaystyle x^(n))“ или „^“.С помощта на този ключ ще повдигнете число на степен. Почти невъзможно е ръчно да се изчисли степен с голям индикатор (например степента 9 15 (\displaystyle 9^(15))), но калкулаторът може лесно да се справи с тази задача. В Windows 7 стандартният калкулатор може да бъде превключен в инженерен режим; За да направите това, щракнете върху „Преглед“ -> „Инженеринг“. За да превключите към нормален режим, щракнете върху „Преглед“ -> „Нормално“.

   • Проверете отговора си, като използвате търсачка(Google или Yandex). Използвайки клавиша "^" на клавиатурата на компютъра, въведете израза в търсачката, която незабавно ще покаже правилния отговор (и може би ще предложи подобни изрази, които да изучавате).

   Събиране, изваждане, умножение на степени

   1. Можете да събирате и изваждате градуси само ако имат еднакви основи.Ако трябва да добавите степени с еднакви основи и показатели, тогава можете да замените операцията събиране с операцията умножение. Например, като се има предвид изразът 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Не забравяйте, че степента 4 5 (\displaystyle 4^(5))могат да бъдат представени във формата 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); По този начин, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(където 1 +1 =2). Тоест, пребройте броя на подобни степени и след това умножете тази степен и това число. В нашия пример повишете 4 на пета степен и след това умножете получения резултат по 2. Не забравяйте, че операцията събиране може да бъде заменена с операцията умножение, например, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Ето и други примери:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. При умножение на степени с една и съща основа се събират техните показатели (основата не се променя).Например, като се има предвид изразът x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). В този случай просто трябва да добавите индикаторите, като оставите основата непроменена. По този начин, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Ето визуално обяснение на това правило:

      При повишаване на степен на степен показателите се умножават.Например, дава се степен. Тъй като експонентите се умножават, тогава (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Смисълът на това правило е, че умножавате по степени (x 2) (\displaystyle (x^(2)))върху себе си пет пъти. Като този:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Тъй като основата е една и съща, показателите просто се сумират: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Степен с отрицателен показател трябва да се преобразува в дроб (обратна степен).Няма значение, ако не знаете какво е реципрочна степен. Ако ви бъде дадена степен с отрицателен показател, напр. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), запишете тази степен в знаменателя на дробта (поставете 1 в числителя) и направете показателя положителен. В нашия пример: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Ето и други примери:

      При деление на степени с една и съща основа, експонентите им се изваждат (основата не се променя).Операцията деление е противоположна на операцията умножение. Например, като се има предвид изразът 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Извадете степента в знаменателя от степента в числителя (не променяйте основата). По този начин, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Степента в знаменателя може да бъде записана по следния начин: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Не забравяйте, че дробта е число (степен, израз) с отрицателен показател.

   4. По-долу са дадени някои изрази, които ще ви помогнат да се научите да решавате задачи с показатели.Дадените изрази покриват материала, представен в този раздел. За да видите отговора, просто маркирайте празното място след знака за равенство.

      Решаване на задачи с дробни показатели

      1. Степен с дробен показател (например ) се преобразува в операция за корен.В нашия пример: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Тук няма значение кое число е в знаменателя на дробния показател. Например, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- е четвъртият корен от “x”, т.е x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Ако показателят е неправилна дроб, тогава показателят може да се разложи на две степени, за да се опрости решението на проблема. В това няма нищо сложно - просто помнете правилото за умножение на степените. Например, дава се степен. Преобразувайте такава степен в корен, чиято степен е равна на знаменателя на дробния показател, и след това повдигнете този корен до степен, равна на числителя на дробния показател. За да направите това, помнете това 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). В нашия пример:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Някои калкулатори имат бутон за изчисляване на степени (първо трябва да въведете основата, след това да натиснете бутона и след това да въведете степента). Означава се като ^ или x^y.
      4. Не забравяйте, че всяко число на първа степен е равно на себе си, например, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Освен това всяко число, умножено или разделено на едно, е равно на себе си, напр. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)И 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Знайте, че степента 0 0 не съществува (такава степен няма решение). Ако се опитате да решите такава степен на калкулатор или на компютър, ще получите грешка. Но не забравяйте, че всяко число на нулева степен е 1, например, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. IN висша математика, който работи с имагинерни числа: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Където i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e е константа, приблизително равна на 2,7; a е произволна константа. Доказателството за това равенство може да се намери във всеки учебник по висша математика.

      Предупреждения

      • С увеличаването на експонентата неговата стойност нараства значително. Така че, ако отговорът ви изглежда грешен, той всъщност може да е правилен. Можете да тествате това, като начертаете произволна експоненциална функция, като например 2 x.

Изрази, преобразуване на изрази

Степенен израз (изрази със степен) и тяхното преобразуване

В тази статия ще говорим за преобразуване на изрази със степени. Първо, ще се съсредоточим върху трансформациите, които се изпълняват с изрази от всякакъв вид, включително изрази за мощност, като отваряне на скоби и въвеждане на подобни термини. И тогава ще анализираме трансформациите, присъщи конкретно на изразите със степени: работа с основата и показателя, използване на свойствата на степените и т.н.

Навигация в страницата.

Какво представляват изразите на властта?

Терминът „степенни изрази“ практически не се появява в училищните учебници по математика, но се появява доста често в колекции от задачи, особено в тези, предназначени за подготовка за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит, например. След анализ на задачите, в които е необходимо да се извършват каквито и да било действия със степенни изрази, става ясно, че степенните изрази се разбират като изрази, съдържащи мощности в своите записи. Следователно можете да приемете следното определение за себе си:

Определение.

Силови изразиса изрази, съдържащи степени.

Да дадем примери за степенни изрази. Нещо повече, ние ще ги представим според това как става развитието на възгледите за степен с естествен показател към степен с реален показател.

Както е известно, на този етап първо се запознават със степента на число с естествен показател, първите най-прости степенни изрази от вида 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1); 4, 3 a 2 се появяват −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.н.

Малко по-късно се изучава степента на число с цяло число, което води до появата на степенни изрази с цели отрицателни степени, като следното: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

В гимназията се връщат към степени. Там степента се въвежда с рационален показател, което води до появата на съответните степенни изрази: , , и така нататък. Накрая се разглеждат степени с ирационални показатели и изрази, които ги съдържат: , .

Въпросът не се ограничава до изброените степенни изрази: по-нататък променливата прониква в експонента и например възникват следните изрази: 2 x 2 +1 или . И след като се запознаем с , започват да се появяват изрази със степени и логаритми, например x 2·lgx −5·x lgx.

И така, разгледахме въпроса какво представляват изразите на мощност. След това ще се научим да ги конвертираме.

Основни видове преобразувания на степенни изрази

Със степенни изрази можете да извършите всяка от основните трансформации на идентичност на изрази. Например, можете да отворите скоби, да замените числови изрази с техните стойности, да добавите подобни термини и т.н. Естествено, в този случай е необходимо да се следва приетата процедура за извършване на действия. Да дадем примери.

Пример.

Изчислете стойността на степенния израз 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според реда на изпълнение на действията първо изпълнете действията в скоби. Там, първо, заместваме степента 4 2 с нейната стойност 16 (ако е необходимо, вижте), и второ, изчисляваме разликата 16−12=4. Ние имаме 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В получения израз заместваме степента 2 3 с нейната стойност 8, след което изчисляваме произведението 8·4=32. Това е желаната стойност.

Така, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Отговор:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Пример.

Опростете изрази със степени 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очевидно този израз съдържа подобни членове 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 и можем да ги представим: .

Отговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз със степени като произведение.

Решение.

Можете да се справите със задачата, като представите числото 9 като степен на 3 2 и след това използвате формулата за съкратено умножение - разлика на квадратите:

Отговор:

Съществуват и редица идентични трансформации, присъщи специално на изразите на мощност. Ще ги анализираме допълнително.

Работа с основа и експонента

Има степени, чиято основа и/или степен не са просто числа или променливи, а някои изрази. Като пример даваме записите (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Когато работите с такива изрази, можете да замените както израза в основата на степента, така и израза в експонентата с идентично равен израз в ODZ на неговите променливи. С други думи, според известните ни правила, можем отделно да трансформираме основата на степента и отделно експонентата. Ясно е, че в резултат на тази трансформация ще се получи израз, който е идентично равен на първоначалния.

Такива трансформации ни позволяват да опростим изрази със способности или да постигнем други цели, от които се нуждаем. Например в израза на степен, споменат по-горе (2+0,3 7) 5−3,7, можете да извършвате операции с числата в основата и степента, което ще ви позволи да преминете към степен 4,1 1,3. И след като отворим скобите и приведем подобни членове към основата на степента (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), получаваме степенен израз на по-проста форма a 2·(x+ 1) .

Използване на свойства на степен

Един от основните инструменти за трансформиране на изрази със степени са равенствата, които отразяват . Нека си припомним основните. За всякакви положителни числа a и b и произволни реални числа r и s са верни следните свойства на степените:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Имайте предвид, че за естествени, цели и положителни показатели ограниченията за числата a и b може да не са толкова строги. Например за естествени числа m и n равенството a m ·a n =a m+n е вярно не само за положително a, но и за отрицателно a, и за a=0.

В училище основният фокус при трансформирането на изразите на силата е върху способността за избор подходящ имоти го прилагайте правилно. В този случай основите на степените обикновено са положителни, което позволява свойствата на степените да се използват без ограничения. Същото важи и за трансформацията на изрази, съдържащи променливи в основите на мощностите - обхватът на допустимите стойности на променливите обикновено е такъв, че базите приемат само положителни стойности върху него, което ви позволява свободно да използвате свойствата на мощностите . Като цяло, трябва постоянно да се питате дали е възможно да използвате някакво свойство на степени в този случай, тъй като неточното използване на свойствата може да доведе до стесняване на образователната стойност и други проблеми. Тези точки са обсъдени подробно и с примери в статията трансформация на изрази, използващи свойства на степени. Тук ще се ограничим до разглеждането на няколко прости примера.

Пример.

Изразете израза a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 като степен с основа a.

Решение.

Първо, трансформираме втория множител (a 2) −3, използвайки свойството за повишаване на степен на степен: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Оригиналният израз на степен ще приеме формата a 2,5 ·a −6:a −5,5. Очевидно остава да използваме свойствата на умножение и деление на степени с една и съща основа, която имаме
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Отговор:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Свойствата на степените при преобразуване на степенни изрази се използват както отляво надясно, така и отдясно наляво.

Пример.

Намерете стойността на степенния израз.

Решение.

Равенството (a·b) r =a r ·b r, приложено отдясно наляво, ни позволява да преминем от оригиналния израз към продукт на формата и по-нататък. И когато се умножават степени с еднакви основи, показателите се събират: .

Беше възможно да се трансформира оригиналният израз по друг начин:

Отговор:

.

Пример.

При даден степенен израз a 1,5 −a 0,5 −6, въведете нова променлива t=a 0,5.

Решение.

Степента a 1,5 може да бъде представена като 0,5 3 и след това, въз основа на свойството на степента към степен (a r) s =a r s, приложено отдясно наляво, да го трансформира във формата (a 0,5) 3. По този начин, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Сега е лесно да въведем нова променлива t=a 0,5, получаваме t 3 −t−6.

Отговор:

t 3 −t−6 .

Преобразуване на дроби, съдържащи степени

Изразите на степен могат да съдържат или представляват дроби със степени. Всяка от основните трансформации на дроби, които са присъщи на всякакъв вид дроби, е напълно приложима за такива дроби. Тоест дроби, които съдържат степени, могат да бъдат намалени, намалени до нов знаменател, да се работи отделно с техния числител и отделно със знаменателя и т.н. За да илюстрирате тези думи, помислете за решения на няколко примера.

Пример.

Опростете израза на мощността .

Решение.

Този израз на мощност е дроб. Нека работим с неговия числител и знаменател. В числителя отваряме скобите и опростяваме получения израз, използвайки свойствата на степените, а в знаменателя представяме подобни термини:

И нека също да променим знака на знаменателя, като поставим минус пред дробта: .

Отговор:

.

Намаляването на дроби, съдържащи степени, до нов знаменател се извършва по същия начин като редукция до нов знаменател рационални дроби. В този случай също се намира допълнителен множител и числителят и знаменателят на дробта се умножават по него. Когато извършвате това действие, си струва да запомните, че намаляването до нов знаменател може да доведе до стесняване на ODZ. За да предотвратите това да се случи, е необходимо допълнителният коефициент да не отива на нула за никакви стойности на променливите от ODZ променливите за оригиналния израз.

Пример.

Намалете дробите до нов знаменател: а) до знаменател а, б) към знаменателя.

Решение.

а) В този случай е доста лесно да разберете кой допълнителен множител помага за постигане на желания резултат. Това е множител на 0,3, тъй като a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Обърнете внимание, че в диапазона от допустими стойности на променливата a (това е наборът от всички положителни реални числа), силата на a 0,3 не изчезва, следователно имаме право да умножим числителя и знаменателя на даден част от този допълнителен фактор:

б) Ако погледнете по-отблизо знаменателя, ще откриете това

и умножаването на този израз по ще даде сумата от кубове и , т.е. И това е новият знаменател, до който трябва да намалим първоначалната дроб.

Ето как открихме допълнителен фактор. В обхвата на допустимите стойности на променливите x и y изразът не изчезва, следователно можем да умножим числителя и знаменателя на фракцията по него:

Отговор:

а) , б) .

Също така няма нищо ново в намаляването на дроби, съдържащи степени: числителят и знаменателят са представени като редица множители и същите множители на числителя и знаменателя са намалени.

Пример.

Намалете дроба: а) , б) .

Решение.

а) Първо, числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с числата 30 и 45, което е равно на 15. Също така очевидно е възможно да се извърши редукция с x 0,5 +1 и с . Ето какво имаме:

б) В този случай еднаквите множители в числителя и знаменателя не се виждат веднага. За да ги получите, ще трябва да извършите предварителни трансформации. В този случай те се състоят в разлагане на знаменателя на множители с помощта на формулата за разликата на квадратите:

Отговор:

а)

б) .

Преобразуването на дроби в нов знаменател и съкращаването на дроби се използват главно за извършване на неща с дроби. Действията се извършват по известни правила. При събиране (изваждане) на дроби те се свеждат до общ знаменател, след което числителите се събират (изваждат), но знаменателят остава същият. Резултатът е дроб, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите. Делението с дроб е умножение с обратното му.

Пример.

Следвай стъпките .

Решение.

Първо, изваждаме дробите в скобите. За да направим това, ги привеждаме към общ знаменател, който е , след което изваждаме числителите:

Сега умножаваме дробите:

Очевидно е възможно да се намали на степен x 1/2, след което имаме .

Можете също така да опростите израза на степента в знаменателя, като използвате формулата за разликата на квадратите: .

Отговор:

Пример.

Опростете Power Expression .

Решение.

Очевидно тази дроб може да бъде намалена с (x 2,7 +1) 2, това дава дробта . Ясно е, че трябва да се направи нещо друго със правомощията на X. За да направим това, трансформираме получената фракция в продукт. Това ни дава възможност да се възползваме от свойството на деление на степени с еднакви бази: . И в края на процеса преминаваме от последния продукт към фракцията.

Отговор:

.

И нека добавим също, че е възможно и в много случаи желателно да се прехвърлят множители с отрицателни показатели от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя, като се промени знакът на степента. Такива трансформации често опростяват по-нататъшни действия. Например, степенен израз може да бъде заменен с .

Преобразуване на изрази с корени и степени

Често в изрази, в които се изискват някои трансформации, заедно със степени присъстват и корени с дробни показатели. За да преобразувате такъв израз в правилния тип, в повечето случаи е достатъчно да отидете само до корени или само до степени. Но тъй като е по-удобно да се работи с правомощия, те обикновено преминават от корени към правомощия. Въпреки това е препоръчително да извършите такъв преход, когато ODZ на променливите за оригиналния израз ви позволява да замените корените със степени, без да е необходимо да се позовавате на модула или да разделяте ODZ на няколко интервала (обсъдихме това подробно в членът преход от корени към степени и обратно След запознаване със степента с рационален показател се въвежда степен с ирационален показател, което ни позволява да говорим за степен с произволен реален показател На този етап започва да бъде учи в училище. експоненциална функция , което е аналитично дадено чрез степен, чиято основа е число, а показателят е променлива. Така се сблъскваме със степенни изрази, съдържащи числа в основата на степента, а в степента - изрази с променливи, и естествено възниква необходимостта да се извършват трансформации на такива изрази.

Трябва да се каже, че трансформацията на изрази от посочения тип обикновено трябва да се извърши при решаването експоненциални уравненияИ експоненциални неравенстваи тези преобразувания са доста прости. В преобладаващата част от случаите те се основават на свойствата на степента и са насочени в по-голямата си част към въвеждане на нова променлива в бъдеще. Уравнението ще ни позволи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Първо, степените, в експонентите на които е сумата от определена променлива (или израз с променливи) и число, се заменят с продукти. Това се отнася за първия и последния член на израза от лявата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

След това двете страни на равенството се разделят на израза 7 2 x, който на ODZ на променливата x за оригиналното уравнение приема само положителни стойности (това е стандартна техника за решаване на уравнения от този тип, ние не сме говорим за това сега, така че се фокусирайте върху последващите трансформации на изрази със степени):

Сега можем да съкратим дроби със степен, което дава .

И накрая, съотношението на степените с еднакви показатели се заменя със степени на отношенията, което води до уравнението , което е еквивалентно . Направените трансформации ни позволяват да въведем нова променлива, която редуцира решението на първоначалното експоненциално уравнение до решението на квадратно уравнение

И. В. Бойков, Л. Д. РомановаСборник от задачи за подготовка за единния държавен изпит. Част 1. Пенза 2003 г.

Удобно и просто онлайн калкулатордроби с подробни решенияМоже би:

• Събиране, изваждане, умножение и деление дроби онлайн,
• Получете готово решениефракции с картинка и е удобно да я прехвърлите.



Резултатът от решаването на дроби ще бъде тук...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Знак за дроб "/" + - * :
_erase Изчисти
Нашият онлайн калкулатор за дроби има бързо въвеждане. За да решите дроби, например, просто пишете 1/2+2/7 в калкулатора и натиснете " Решете дроби". Калкулаторът ще ви пише подробно решение на дробии ще издаде лесно за копиране изображение.

Знаци, използвани за писане в калкулатор

Можете да въведете пример за решение от клавиатурата или чрез бутони.

Характеристики на онлайн калкулатора за дроби

Калкулаторът на дроби може да извършва операции само с 2 прости дроби. Те могат да бъдат както правилни (числителят е по-малък от знаменателя), така и неправилни (числителят е по-голям от знаменателя). Числата в числителя и знаменателя не могат да бъдат отрицателни или по-големи от 999.
Нашият онлайн калкулатор решава дроби и дава отговор на правилният вид- намалява фракцията и избира цялата част, ако е необходимо.

Ако трябва да решите отрицателни дроби, просто използвайте свойствата на минус. При умножаване и деление на отрицателни дроби минус по минус дава плюс. Тоест произведението и деленето на отрицателни дроби е равно на произведението и делението на същите положителни. Ако една дроб е отрицателна при умножение или деление, тогава просто премахнете минуса и след това го добавете към отговора. Когато събирате отрицателни дроби, резултатът ще бъде същият, както ако събирате същите положителни дроби. Ако добавите една отрицателна дроб, тогава това е същото като изваждането на същата положителна дроб.
При изваждане на отрицателни дроби резултатът ще бъде същият, както ако те бяха разменени и направени положителни. Тоест минус по минус в този случай дава плюс, но пренареждането на членовете не променя сумата. Използваме същите правила, когато изваждаме дроби, една от които е отрицателна.

За да разрешите смесени дроби (дроби, в които цялата част е изолирана), просто поставете цялата част във фракцията. За да направите това, умножете цялата част по знаменателя и добавете към числителя.

Ако трябва да решите 3 или повече дроби онлайн, трябва да ги решите една по една. Първо пребройте първите 2 дроби, след това решете следващата дроб с отговора, който получавате и т.н. Изпълнявайте операциите една по една, 2 дроби наведнъж и в крайна сметка ще получите правилния отговор.

Буквалният израз (или променлив израз) е математически израз, който се състои от числа, букви и математически символи. Например следният израз е буквален:

a+b+4

С помощта на азбучни изрази можете да пишете закони, формули, уравнения и функции. Способността да се манипулират буквени изрази е ключът към доброто познаване на алгебрата и висшата математика.

Всеки сериозен проблем в математиката се свежда до решаване на уравнения. И за да можете да решавате уравнения, трябва да можете да работите с буквални изрази.

За да работите с буквени изрази, трябва да сте добре запознати с основните аритметични техники: събиране, изваждане, умножение, деление, основни закони на математиката, дроби, операции с дроби, пропорции. И не просто изучавайте, но разбирайте задълбочено.

Съдържание на урока

Променливи

Буквите, които се съдържат в буквални изрази, се наричат променливи. Например в израза a+b+ 4 променливи са букви аИ b. Ако заместим някакви числа вместо тези променливи, тогава буквалният израз a+b+ 4 ще се превърне в числов израз, чиято стойност може да бъде намерена.

Числата, които се заместват с променливи, се наричат стойности на променливи. Например, нека променим стойностите на променливите аИ b. Знакът за равенство се използва за промяна на стойностите

а = 2, b = 3

Променихме стойностите на променливите аИ b. Променлива априсвоена стойност 2 , променлива bприсвоена стойност 3 . В резултат на това буквалният израз a+b+4се превръща в регулярен числов израз 2+3+4 чиято стойност може да се намери:

Когато променливите се умножават, те се записват заедно. Например запис абозначава същото като записа a×b. Ако заместим променливите аИ bчисла 2 И 3 , тогава получаваме 6

Можете също така да напишете заедно умножението на число с израз в скоби. Например, вместо a × (b + c)може да се запише a(b + c). Прилагайки закона за разпределение на умножението, получаваме a(b + c)=ab+ac.

Коефициенти

В буквалните изрази често можете да намерите нотация, в която число и променлива се записват заедно, например 3а. Това всъщност е съкращение за умножаване на числото 3 по променлива. аи този запис изглежда така 3×а .

С други думи, изразът 3ае произведението на числото 3 и променливата а. Номер 3 в тази работа наричат коефициент. Този коефициент показва колко пъти ще бъде увеличена променливата а. Този израз може да се чете като " атри пъти" или "три пъти А“, или „увеличете стойността на променлива атри пъти", но най-често се чете като "три а«

Например, ако променливата аравна на 5 , след това стойността на израза 3аще бъде равно на 15.

3 × 5 = 15

Говорейки на прост език, коефициентът е числото, което идва преди буквата (преди променливата).

Може да има няколко букви, например 5abc. Тук коефициентът е числото 5 . Този коефициент показва, че произведението на променливите абвсе увеличава петкратно. Този израз може да се чете като " абвпет пъти" или "увеличете стойността на израза абвпет пъти" или "пет абв«.

Ако вместо променливи абвзаменете числата 2, 3 и 4, след това стойността на израза 5abcще бъдат равни 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Можете мислено да си представите как числата 2, 3 и 4 първо са били умножени и получената стойност се е увеличила пет пъти:

Знакът на коефициента се отнася само за коефициента и не се отнася за променливите.

Помислете за израза −6b. Минус преди коефициента 6 , важи само за коеф 6 , и не принадлежи на променливата b. Разбирането на този факт ще ви позволи да не правите грешки в бъдеще със знаци.

Нека намерим стойността на израза −6bпри b = 3.

−6b −6×b. За по-голяма яснота нека напишем израза −6bв разширена форма и заменете стойността на променливата b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Пример 2.Намерете стойността на израз −6bпри b = −5

Нека запишем израза −6bв разширен вид

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Пример 3.Намерете стойността на израз −5a+bпри а = 3И b = 2

−5a+bтова е кратка форма за −5 × a + b, така че за яснота записваме израза −5×a+bв разширена форма и заменете стойностите на променливите аИ b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Понякога буквите се пишат без коефициент, например аили аб. В този случай коефициентът е единица:

но традиционно единицата не се записва, така че те просто пишат аили аб

Ако има минус преди буквата, тогава коефициентът е число −1 . Например изразът −aвсъщност изглежда −1a. Това е произведението на минус едно и променливата а.Оказа се така:

−1 × a = −1a

Тук има малка уловка. В израза −aзнак минус пред променливата авсъщност се отнася за "невидима единица", а не за променлива а. Затова трябва да бъдете внимателни, когато решавате проблеми.

Например, ако е даден изразът −aи от нас се иска да намерим стойността му при а = 2, тогава в училище заместихме двойка вместо променлива аи получи отговор −2 , без да се фокусираме много върху това как се е получило. Всъщност минус едно беше умножено по положителното число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Ако се даде изразът −aи трябва да намерите стойността му при a = −2, тогава заместваме −2 вместо променлива а

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

За да избегнете грешки, първоначално невидимите единици могат да бъдат изрично записани.

Пример 4.Намерете стойността на израз абвпри а=2 , b=3И c=4

Изразяване абв 1×a×b×c.За по-голяма яснота нека напишем израза абв а, бИ ° С

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Пример 5.Намерете стойността на израз абвпри a=−2 , b=−3И c=−4

Нека запишем израза абвв разширена форма и заменете стойностите на променливите а, бИ ° С

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Пример 6.Намерете стойността на израз − абвпри a=3, b=5 и c=7

Изразяване − абвтова е кратка форма за −1×a×b×c.За по-голяма яснота нека напишем израза − абвв разширена форма и заменете стойностите на променливите а, бИ ° С

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Пример 7.Намерете стойността на израз − абвпри a=−2 , b=−4 и c=−3

Нека запишем израза − абвв разширен вид:

−abc = −1 × a × b × c

Нека заместим стойностите на променливите а , bИ ° С

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Как да определим коефициента

Понякога трябва да решите задача, в която трябва да определите коефициента на израз. По принцип тази задача е много проста. Достатъчно е да можете да умножавате числата правилно.

За да определите коефициента в израз, трябва отделно да умножите числата, включени в този израз, и отделно да умножите буквите. Полученият числов фактор ще бъде коефициентът.

Пример 1. 7m×5a×(−3)×n

Изразът се състои от няколко фактора. Това може да се види ясно, ако напишете израза в разширена форма. Тоест произведенията 7мИ 5анапишете го във формата 7×mИ 5×а

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Нека приложим асоциативния закон за умножение, който ви позволява да умножавате фактори в произволен ред. А именно, отделно ще умножим числата и отделно буквите (променливите):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 човек

Коефициентът е −105 . След завършване е препоръчително да подредите буквената част по азбучен ред:

−105 сутринта

Пример 2.Определете коефициента в израза: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коефициентът е 6.

Пример 3.Определете коефициента в израза:

Нека да умножим числата и буквите отделно:

Коефициентът е −1. Моля, имайте предвид, че единицата не е записана, тъй като е обичайно да не се записва коефициентът 1.

Тези на пръв поглед най-прости задачи могат да ни изиграят много жестока шега. Често се оказва, че знакът на коефициента е зададен неправилно: или минусът липсва, или, напротив, той е зададен напразно. За да се избегнат тези досадни грешки, трябва да се изучава на добро ниво.

Събирания в буквални изрази

При събиране на няколко числа се получава сумата от тези числа. Числата, които събират, се наричат ​​събираеми. Може да има няколко термина, например:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Когато един израз се състои от термини, е много по-лесно да се оцени, защото добавянето е по-лесно от изваждането. Но изразът може да съдържа не само добавяне, но и изваждане, например:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

В този израз числата 3 и 5 са ​​субтрахенди, а не събираеми. Но нищо не ни пречи да заменим изваждането със събиране. Тогава отново получаваме израз, състоящ се от термини:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Няма значение, че числата −3 и −5 вече имат знак минус. Основното е, че всички числа в този израз са свързани със знак за добавяне, тоест изразът е сума.

И двата израза 1 + 2 − 3 + 4 − 5 И 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) равно на същата стойност - минус едно

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Така смисълът на израза няма да пострада, ако някъде заменим изваждането със събиране.

Можете също да замените изваждането със събиране в буквални изрази. Например, разгледайте следния израз:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

За всякакви стойности на променливи a, b, c, dИ сизрази 7a + 6b − 3c + 2d − 4s И 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) ще бъде равно на същата стойност.

Трябва да сте подготвени за факта, че учител в училище или учител в институт може да извика четни числа (или променливи), които не са събираеми.

Например, ако разликата е написана на дъската a − b, тогава учителят няма да каже това ае минуенд, и b- изваждаем. Той ще нарече двете променливи една в общи линии — условия. И всичко това, защото изразът на формата a − bматематикът вижда как сумата a+(−b). В този случай изразът става сума, а променливите аИ (-b)стават условия.

Подобни условия

Подобни условия- това са термини, които имат еднаква буквена част. Например, разгледайте израза 7а + 6б + 2а. Компоненти 7аИ 2аимат една и съща буквена част - променлива а. Така че условията 7аИ 2аса подобни.

Обикновено подобни термини се добавят, за да се опрости израз или да се реши уравнение. Тази операция се нарича привеждане на подобни условия.

За да въведете подобни термини, трябва да добавите коефициентите на тези термини и да умножите получения резултат по общата буквена част.

Например, нека представим подобни термини в израза 3а + 4а + 5а. В този случай всички условия са подобни. Нека съберем техните коефициенти и умножим резултата по общата буквена част - по променливата а

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подобни термини обикновено се припомнят и резултатът се записва веднага:

3a + 4a + 5a = 12a

Освен това човек може да разсъждава по следния начин:

Имаше 3 променливи a, към тях бяха добавени още 4 променливи a и още 5 променливи a. В резултат на това получихме 12 променливи a

Нека да разгледаме няколко примера за въвеждане на подобни условия. Като се има предвид това тази темае много важно, първо ще запишем подробно всеки малък детайл. Въпреки че тук всичко е много просто, повечето хора правят много грешки. Основно поради невнимание, а не невежество.

Пример 1. 3а + 2а + 6а + 8а

Нека да съберем коефициентите в този израз и да умножим получения резултат по общата буквена част:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

дизайн (3 + 2 + 6 + 8)×aНе е нужно да го записвате, така че ще запишем отговора веднага

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Пример 2.Дайте подобни термини в израза 2а+а

Втори срок анаписано без коефициент, но всъщност пред него има коефициент 1 , който не виждаме, защото не е записан. Така че изразът изглежда така:

2а + 1а

Сега нека представим подобни термини. Тоест събираме коефициентите и умножаваме резултата по общата буквена част:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Нека запишем накратко решението:

2а + а = 3а

2а+а, можете да мислите различно:

Пример 3.Дайте подобни термини в израза 2а-а

Нека заменим изваждането със събиране:

2a + (−a)

Втори срок (-а)написано без коефициент, но в действителност изглежда така (-1а).Коефициент −1 пак невидим поради факта, че не е записан. Така че изразът изглежда така:

2a + (−1a)

Сега нека представим подобни термини. Нека съберем коефициентите и умножим резултата по общата буквена част:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Обикновено се пише по-кратко:

2a − a = a

Даване на подобни членове в израза 2а-аМожете да мислите различно:

Имаше 2 променливи a, извадете една променлива a и в резултат на това остана само една променлива a

Пример 4.Дайте подобни термини в израза 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Сега нека представим подобни термини. Нека съберем коефициентите и умножим резултата по общата буквена част

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Нека запишем накратко решението:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Има изрази, които съдържат няколко различни групиподобни условия. Например, 3a + 3b + 7a + 2b. За такива изрази важат същите правила като за останалите, а именно събиране на коефициентите и умножаване на резултата по общата буквена част. Но за да избегнете грешки, е удобно да подчертавате различни групи термини с различни редове.

Например в израза 3a + 3b + 7a + 2bтези термини, които съдържат променлива а, могат да бъдат подчертани с един ред и тези термини, които съдържат променлива b, може да се подчертае с два реда:

Сега можем да представим подобни условия. Тоест добавете коефициентите и умножете получения резултат по общата буквена част. Това трябва да се направи и за двете групи термини: за термини, съдържащи променлива аи за термини, съдържащи променлива b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Отново, повтаряме, изразът е прост и подобни термини могат да бъдат дадени в ума:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Пример 5.Дайте подобни термини в израза 5a − 6a −7b + b

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Нека подчертаем подобни термини с различни редове. Термини, съдържащи променливи аподчертаваме с един ред, а термините са съдържанието на променливите b, подчертайте с два реда:

Сега можем да представим подобни условия. Тоест добавете коефициентите и умножете получения резултат по общата буквена част:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Ако изразът съдържа обикновени числа без буквени множители, те се добавят отделно.

Пример 6.Дайте подобни термини в израза 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Нека представим подобни термини. Числа −5 И 7 нямат буквени фактори, но са подобни термини - просто трябва да се добавят. И срокът 2бще остане непроменен, тъй като е единственият в този израз, който има буквен фактор б,и няма с какво да го добавя:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Нека запишем накратко решението:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Термините могат да бъдат подредени така, че термините, които имат една и съща буквена част, да се намират в една и съща част на израза.

Пример 7.Дайте подобни термини в израза 5t+2x+3x+5t+x

Тъй като изразът е сбор от няколко термина, това ни позволява да го оценим в произволен ред. Следователно термините, съдържащи променливата T, може да се запише в началото на израза и термините, съдържащи променливата хв края на израза:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Сега можем да представим подобни условия:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Нека запишем накратко решението:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Сборът на противоположните числа е нула. Това правило работи и за буквални изрази. Ако изразът съдържа идентични термини, но с противоположни знаци, тогава можете да се отървете от тях на етапа на намаляване на подобни термини. С други думи, просто ги елиминирайте от израза, тъй като сумата им е нула.

Пример 8.Дайте подобни термини в израза 3t − 4t − 3t + 2t

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Компоненти 3тИ (−3t)са противоположни. Сумата от противоположните членове е нула. Ако премахнем тази нула от израза, стойността на израза няма да се промени, така че ще я премахнем. И ние ще го премахнем, като просто задраскаме условията 3тИ (−3t)

В резултат на това ще останем с израза (−4t) + 2t. В този израз можете да добавите подобни термини и да получите крайния отговор:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Нека запишем накратко решението:

Опростяване на изрази

"опростете израза" и по-долу е изразът, който трябва да бъде опростен. Опростете изразозначава да го опростите и скъсите.

Всъщност ние вече сме опростявали изрази, когато сме съкращавали дроби. След редукция фракцията стана по-къса и по-лесна за разбиране.

Нека помислим следващ пример. Опростете израза.

Тази задача може буквално да се разбира по следния начин: „Приложете всички валидни действия към този израз, но го опростете.“ .

В този случай можете да намалите дробта, а именно да разделите числителя и знаменателя на дробта на 2:

Какво друго можете да направите? Можете да изчислите получената фракция. Тогава получаваме десетичната дроб 0,5

В резултат на това фракцията беше опростена до 0,5.

Първият въпрос, който трябва да си зададете, когато решавате подобни проблеми, трябва да бъде "Какво може да се направи?" . Защото има действия, които можете да направите, и има действия, които не можете да направите.

Друг важен моментНещото, което трябва да запомните е, че стойността на израза не трябва да се променя след опростяване на израза. Да се ​​върнем към израза. Този израз представлява разделяне, което може да се извърши. След като извършихме това разделяне, получаваме стойността на този израз, която е равна на 0,5

Но ние опростихме израза и получихме нов опростен израз. Стойността на новия опростен израз все още е 0,5

Но също така се опитахме да опростим израза, като го изчислим. В резултат на това получихме краен отговор 0,5.

Така, колкото и да опростяваме израза, стойността на получените изрази все още е равна на 0,5. Това означава, че опростяването е извършено правилно на всеки етап. Точно към това трябва да се стремим, когато опростяваме изразите – смисълът на израза не трябва да страда от нашите действия.

Често е необходимо да се опростят буквалните изрази. За тях важат същите правила за опростяване, както за числовите изрази. Можете да извършвате всякакви валидни действия, стига стойността на израза да не се променя.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 1.Опростете израз 5,21 s × t × 2,5

За да опростите този израз, можете да умножите числата отделно и буквите отделно. Тази задача е много подобна на тази, която разгледахме, когато се научихме да определяме коефициента:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

Така че изразът 5,21 s × t × 2,5опростен до 13 025ст.

Пример 2.Опростете израз −0,4 × (−6,3b) × 2

Второ парче (-6.3b)може да се преведе в разбираема за нас форма, а именно написана във формата ( −6,3)×b,след това умножете числата поотделно и умножете отделно буквите:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Така че изразът −0,4 × (−6,3b) × 2 опростен до 5.04b

Пример 3.Опростете израз

Нека напишем този израз по-подробно, за да видим ясно къде са числата и къде са буквите:

Сега нека умножим числата отделно и буквите отделно:

Така че изразът опростен до −abc.Това решение може да се напише накратко:

Когато опростявате изрази, дробите могат да бъдат намалени по време на процеса на решаване, а не в самия край, както направихме с обикновените дроби. Например, ако в хода на решаването срещнем израз от формата , тогава изобщо не е необходимо да изчисляваме числителя и знаменателя и да правим нещо подобно:

Една дроб може да бъде намалена, като изберете фактор в числителя и знаменателя и намалите тези фактори с най-големия им общ делител. С други думи, употреба, при която не описваме подробно на какво са разделени числителят и знаменателят.

Например в числителя коефициентът е 12, а в знаменателя коефициентът 4 може да бъде намален с 4. Запазваме четворката в ума си и като разделим 12 и 4 на тази четворка, записваме отговорите до тези числа, като първо ги задраска

Сега можете да умножите получените малки множители. В този случай те са малко и можете да ги умножите наум:

С течение на времето може да откриете, че при решаването на определен проблем изразите започват да „напълняват“, така че е препоръчително да свикнете с бързи изчисления. Това, което може да бъде изчислено в ума, трябва да бъде изчислено в ума. Това, което може да бъде намалено бързо, трябва да бъде намалено бързо.

Пример 4.Опростете израз

Така че изразът опростен до

Пример 5.Опростете израз

Нека умножим числата отделно и буквите отделно:

Така че изразът опростен до мн.

Пример 6.Опростете израз

Нека напишем този израз по-подробно, за да видим ясно къде са числата и къде са буквите:

Сега нека умножим числата отделно и буквите отделно. За по-лесно изчисление десетичната дроб -6,4 и смесеното число могат да бъдат преобразувани в обикновени дроби:

Така че изразът опростен до

Решението за този пример може да бъде написано много по-кратко. Ще изглежда така:

Пример 7.Опростете израз

Нека да умножим числата отделно и буквите отделно. За по-лесно изчисление, смесено число и десетични знаци 0,1 и 0,6 могат да се преобразуват в обикновени дроби:

Така че изразът опростен до abcd. Ако пропуснете подробностите, това решение може да бъде написано много по-кратко:

Забележете как е намалена дробта. Нови фактори, получени в резултат на намаляване на предишни фактори, също могат да бъдат намалени.

Сега нека поговорим какво да не правим. При опростяване на изрази е строго забранено да се умножават числа и букви, ако изразът е сбор, а не продукт.

Например, ако искате да опростите израза 5а+4б, тогава не можете да го напишете така:

Това е същото, както ако ни помолят да съберем две числа и ние ги умножим, вместо да ги съберем.

При заместване на стойности на променливи аИ bизразяване 5а +4бсе превръща в обикновен числов израз. Да приемем, че променливите аИ bимат следните значения:

a = 2, b = 3

Тогава стойността на израза ще бъде равна на 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Първо се извършва умножение и след това се добавят резултатите. И ако се опитаме да опростим този израз чрез умножаване на числа и букви, ще получим следното:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Оказва се съвсем различно значение на израза. В първия случай се получи 22 , във втория случай 120 . Това означава, че опростяването на израза 5а+4бе изпълнено неправилно.

След опростяване на израза, неговата стойност не трябва да се променя със същите стойности на променливите. Ако при заместване на стойности на променливи в оригиналния израз се получи една стойност, тогава след опростяване на израза трябва да се получи същата стойност, както преди опростяването.

С израз 5а+4бнаистина нищо не можеш да направиш. Това не го опростява.

Ако даден израз съдържа подобни термини, те могат да бъдат добавени, ако целта ни е да опростим израза.

Пример 8.Опростете израз 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

или по-кратко: 0,3a − 0,4a + a = 0.9a

Така че изразът 0,3a−0,4a+aопростен до 0.9a

Пример 9.Опростете израз −7,5a − 2,5b + 4a

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

или по-кратко −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Срок (−2,5b)остана непроменен, защото нямаше с какво да се сложи.

Пример 10.Опростете израз

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

Коефициентът беше за по-лесно изчисляване.

Така че изразът опростен до

Пример 11.Опростете израз

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

Така че изразът опростен до .

IN в този примерБи било по-подходящо първо да се добавят първият и последният коефициент. В този случай ще имаме кратко решение. Ще изглежда така:

Пример 12.Опростете израз

За да опростим този израз, можем да добавим подобни термини:

Така че изразът опростен до .

Терминът остана непроменен, тъй като нямаше с какво да се добави.

Това решение може да се напише много по-кратко. Ще изглежда така:

Краткото решение пропусна стъпките на замяна на изваждането със събиране и подробно описание на това как дробите се свеждат до общ знаменател.

Друга разлика е, че в подробно решениеотговорът изглежда така , и накратко като . Всъщност те са едно и също изражение. Разликата е, че в първия случай изваждането се заменя със събиране, тъй като в началото, когато написахме решението в подробно, заменихме изваждането със събиране, където е възможно, и тази замяна беше запазена за отговора.

Идентичности. Тъждествено равни изрази

След като сме опростили всеки израз, той става по-прост и по-кратък. За да проверите дали опростеният израз е правилен, достатъчно е да замените стойностите на всяка променлива първо в предишния израз, който трябваше да бъде опростен, а след това в новия, който беше опростен. Ако стойността и в двата израза е една и съща, тогава опростеният израз е верен.

Нека помислим най-прост пример. Нека е необходимо да се опрости изразът 2a×7b. За да опростите този израз, можете да умножите числата и буквите отделно:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Нека проверим дали сме опростили правилно израза. За да направите това, нека заместим всички стойности на променливите аИ bпърво в първия израз, който трябваше да бъде опростен, и след това във втория, който беше опростен.

Нека стойностите на променливите а , bще бъде както следва:

a = 4, b = 5

Нека ги заместим в първия израз 2a×7b

Сега нека заместим същите стойности на променливата в израза, който е резултат от опростяването 2a×7b, а именно в израза 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Виждаме, че когато а=4И b=5стойност на първия израз 2a×7bи значението на втория израз 14abравен

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Същото ще се случи за всички други стойности. Например, нека а=1И b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

По този начин, за всякакви стойности на изразните променливи 2a×7bИ 14abса равни на една и съща стойност. Такива изрази се наричат идентично равни.

Заключаваме, че между изразите 2a×7bИ 14abможете да поставите знак за равенство, защото те са равни на една и съща стойност.

2a × 7b = 14ab

Равенство е всеки израз, който е свързан със знак за равенство (=).

И равенство на формата 2a×7b = 14abНаречен идентичност.

Идентичността е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите.

Други примери за самоличности:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Да, законите на математиката, които изучавахме, са идентичности.

Истинските числови равенства също са идентичности. Например:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Когато решавате сложен проблем, за да улесните изчислението за себе си, сложен израззаменен с по-прост израз, идентичен на предишния. Тази замяна се нарича идентична трансформация на изразаили просто трансформиране на израза.

Например опростихме израза 2a×7b, и получи по-опростен израз 14ab. Това опростяване може да се нарече трансформация на идентичността.

Често можете да намерите задача, която казва "докажете, че равенството е идентичност" и тогава е дадено равенството, което трябва да се докаже. Обикновено това равенство се състои от две части: лявата и дясната част на равенството. Нашата задача е да извършим трансформации на идентичност с една от частите на равенството и да получим другата част. Или извършете идентични трансформации от двете страни на равенството и се уверете, че и двете страни на равенството съдържат едни и същи изрази.

Например, нека докажем, че равенството 0,5a × 5b = 2,5abе идентичност.

Нека опростим лявата страна на това равенство. За да направите това, умножете отделно цифрите и буквите:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В резултат на малка трансформация на идентичността, лява странаравенството стана равно на дясната страна на равенството. Така че ние доказахме, че равенството 0,5a × 5b = 2,5abе идентичност.

От тъждествените трансформации се научихме да събираме, изваждаме, умножаваме и делим числа, да съкращаваме дроби, да събираме подобни членове, а също и да опростяваме някои изрази.

Но това не са всички идентични трансформации, които съществуват в математиката. Има още много идентични трансформации. Ще видим това повече от веднъж в бъдеще.

Задачи за самостоятелно решаване:

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци