десетична. Десетични знаци, определения, запис, примери, действия с десетични знаци
Вече казахме, че дробите са обикновениИ десетичен знак. В момента сме изучавали малко обикновени дроби. Научихме, че има правилни дроби и неправилни дроби. Научихме също, че обикновените дроби могат да се съкращават, събират, изваждат, умножават и делят. И също така научихме, че има така наречените смесени числа, които се състоят от цяло число и дробна част.
Все още не сме изучили напълно обикновените дроби. Има много тънкости и подробности, които трябва да бъдат обсъдени, но днес ще започнем да изучаваме десетичен знакдроби, тъй като обикновените и десетичните дроби често трябва да се комбинират. Тоест, когато решавате задачи, трябва да използвате и двата вида дроби.
Този урок може да изглежда сложен и неразбираем. Съвсем нормално е. Този вид уроци изискват да бъдат изучавани, а не преглеждани набързо.
Съдържание на урокаИзразяване на количествата в дробна форма
Понякога е удобно да се покаже нещо дробна форма. Например една десета от дециметъра се записва така:
Този израз означава, че един дециметър е разделен на десет части и една част е взета от тези десет части:
Както можете да видите на фигурата, една десета от дециметъра е един сантиметър.
Обмисли следващ пример. Покажете 6 см и още 3 мм в сантиметри в дробна форма.
И така, трябва да изразите 6 см и 3 мм в сантиметри, но в дробна форма. Вече имаме 6 цели сантиметра:
но остават още 3 милиметра. Как да покажа тези 3 милиметра, докато в сантиметри? Дробите идват на помощ. 3 милиметра е една трета от сантиметър. А третата част от сантиметъра се записва като cm
Дроб означава, че един сантиметър е разделен на десет равни части и от тези десет части са взети три части (три от десет).
В резултат на това имаме шест цели сантиметра и три десети от сантиметъра:
В този случай 6 показва броя на целите сантиметри, а дробта показва броя на дробните сантиметри. Тази дроб се чете като "шест точка и три десети от сантиметъра".
Дроби, в чийто знаменател има числа 10, 100, 1000, могат да бъдат записани без знаменател. Първо напишете цялата част, а след това числителя на дробната част. Цялата част се отделя от числителя на дробната част със запетая.
Например, нека напишем без знаменател. За да направим това, първо записваме цялата част. Цялата част е числото 6. Първо записваме това число:
Записва се цялата част. Веднага след като напишете цялата част, поставете запетая:
А сега записваме числителя на дробната част. В смесено число числителят на дробната част е числото 3. Тримата записваме след десетичната запетая:
Всяко число, което е представено в тази форма, се нарича десетичен знак.
Следователно можете да покажете 6 cm и още 3 mm в сантиметри, като използвате десетична дроб:
6,3 см
Ще изглежда така:
Всъщност десетичните числа са същите обикновени дроби и смесени числа. Особеността на такива дроби е, че знаменателят на тяхната дробна част съдържа числата 10, 100, 1000 или 10 000.
Подобно на смесено число, десетичният дроб има цяла и дробна част. Например, в смесено число, цялата част е 6, а дробната част е .
В десетичната дроб 6.3 цялата част е числото 6, а дробната част е числителят на дробта, тоест числото 3.
Случва се и обикновени дроби, в чийто знаменател числата 10, 100, 1000 са дадени без цяло число. Например дадена е дроб без цяло число. За да напишете такава дроб като десетична, първо запишете 0, след това поставете запетая и запишете числителя на дробната част. Дроб без знаменател ще бъде написана така:
Чете като "нула цяло пет десети".
Преобразувайте смесени числа в десетични
Когато пишем смесени числа без знаменател, ние ги преобразуваме в десетични знаци. Когато преобразувате обикновени дроби в десетични дроби, трябва да знаете няколко неща, за които ще говорим сега.
След записването на цялата част е задължително да се преброи броят на нулите в знаменателя на дробната част, тъй като броят на нулите в дробната част и броят на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб трябва да са еднакви . Какво означава? Разгледайте следния пример:
Първо
И можете веднага да запишете числителя на дробната част и десетичната дроб е готова, но определено трябва да преброите броя на нулите в знаменателя на дробната част.
И така, преброяваме броя на нулите в дробната част на смесеното число. Знаменателят на дробната част има една нула. Така че в десетичната дроб след десетичната запетая ще има една цифра и тази цифра ще бъде числителят на дробната част на смесеното число, тоест числото 2
Така смесеното число, преведено в десетична дроб, става 3,2.
Този десетичен знак се чете така:
"Три цели две десети"
„Десети“, защото дробната част на смесеното число съдържа числото 10.
Пример 2Преобразувайте смесено число в десетично.
Записваме цялата част и поставяме запетая:
И можете веднага да запишете числителя на дробната част и да получите десетичната дроб 5,3, но правилото гласи, че след десетичната запетая трябва да има толкова цифри, колкото нули има в знаменателя на дробната част на смесеното число. И виждаме, че има две нули в знаменателя на дробната част. Така че в нашата десетична дроб след десетичната запетая трябва да има две цифри, а не една.
В такива случаи числителят на дробната част трябва да бъде леко модифициран: добавете нула пред числителя, т.е. преди числото 3
Сега можете да конвертирате това смесено число в десетичен знак. Записваме цялата част и поставяме запетая:
И напишете числителя на дробната част:
Десетичната дроб 5.03 гласи така:
"Пет и три стотни"
„Стотни“, защото знаменателят на дробната част на смесеното число е числото 100.
Пример 3Преобразувайте смесено число в десетично.
От предишните примери научихме, че за да преобразуваме успешно смесено число в десетично, броят на цифрите в числителя на дробната част и броят на нулите в знаменателя на дробната част трябва да са еднакви.
Преди да конвертирате смесено число в десетична дроб, неговата дробна част трябва да бъде леко модифицирана, а именно, за да се уверите, че броят на цифрите в числителя на дробната част и броят на нулите в знаменателя на дробната част са един и същ.
Първо, разглеждаме броя на нулите в знаменателя на дробната част. Виждаме, че има три нули:
Нашата задача е да организираме три цифри в числителя на дробната част. Вече имаме една цифра - това е числото 2. Остава да добавим още две цифри. Те ще бъдат две нули. Добавете ги преди числото 2. В резултат на това броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя ще станат еднакви:
Сега можем да превърнем това смесено число в десетичен знак. Първо записваме цялата част и поставяме запетая:
и веднага запишете числителя на дробната част
3,002
Виждаме, че броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробната част на смесеното число са еднакви.
Десетичната 3.002 се чете така:
"Три цяло, две хилядни"
„Хилядна“, защото знаменателят на дробната част на смесеното число е числото 1000.
Преобразуване на обикновени дроби в десетични
Обикновените дроби, в които знаменателят е 10, 100, 1000 или 10 000, също могат да се преобразуват в десетични дроби. Тъй като обикновената дроб няма цяло число, първо запишете 0, след това поставете запетая и запишете числителя на дробната част.
И тук броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя трябва да са еднакви. Затова трябва да внимавате.
Пример 1
Цялата част липсва, затова първо пишем 0 и поставяме запетая:
Сега вижте броя на нулите в знаменателя. Виждаме, че има една нула. И числителят има една цифра. Така че можете спокойно да продължите десетичната дроб, като напишете числото 5 след десетичната запетая
В получената десетична дроб 0,5 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Така че дробта е правилна.
Десетичната дроб 0,5 се чете така:
"Нула точка, пет десети"
Пример 2Преобразувайте обикновена дроб в десетична.
Цялата част липсва. Първо пишем 0 и поставяме запетая:
Сега вижте броя на нулите в знаменателя. Виждаме, че има две нули. А числителят има само една цифра. За да направите броя на цифрите и броя на нулите еднакви, добавете една нула в числителя преди числото 2. Тогава дробта ще приеме формата . Сега броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Така че можете да продължите десетичната запетая:
В получената десетична дроб 0,02 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Така че дробта е правилна.
Десетичната дроб 0,02 се чете така:
"Нула точка, две стотни."
Пример 3Преобразувайте обикновена дроб в десетична.
Пишем 0 и поставяме запетая:
Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробта. Виждаме, че има пет нули, а в числителя има само една цифра. За да направите броя на нулите в знаменателя и броя на цифрите в числителя еднакви, трябва да добавите четири нули в числителя преди числото 5:
Сега броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Така че можете да продължите десетичната запетая. Записваме числителя на дробта след десетичната запетая
В получената десетична дроб 0,00005 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Така че дробта е правилна.
Десетичната дроб 0,00005 се чете така:
— Нулева точка, петстотинхилядни.
Преобразувайте неправилни дроби в десетични
Неправилна дроб е дроб, чийто числител е по-голям от знаменателя. Има неправилни дроби, които имат в знаменателя числата 10, 100, 1000 или 10 000. Такива дроби могат да се преобразуват в десетични дроби. Но преди да се преобразуват в десетична дроб, такива дроби трябва да имат цяла част.
Пример 1
Дробта е неправилна дроб. За да преобразувате такава дроб в десетична дроб, първо трябва да изберете нейната цяла част. Припомняме как се избира цялата част от неправилни дроби. Ако сте забравили, съветваме ви да се върнете и да го проучите.
И така, нека изберем цялата част в неправилната дроб. Спомнете си, че дроб означава деление - в този случайделение на числото 112 на числото 10
Нека да разгледаме тази снимка и да сглобим ново смесено число, като детски дизайнер. Числото 11 ще бъде цялата част, числото 2 ще бъде числителят на дробната част, числото 10 ще бъде знаменателят на дробната част.
Имаме смесен брой. Нека го преобразуваме в десетичен знак. И ние вече знаем как да преведем такива числа в десетични дроби. Първо записваме цялата част и поставяме запетая:
Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробната част. Виждаме, че има една нула. А числителят на дробната част има една цифра. Това означава, че броят на нулите в знаменателя на дробната част и броят на цифрите в числителя на дробната част са еднакви. Това ни дава възможност веднага да запишем числителя на дробната част след десетичната запетая:
В получената десетична дроб 11.2 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Така че дробта е правилна.
Това означава, че неправилна дроб, когато се преобразува в десетична дроб, се превръща в 11,2
Decimal 11.2 гласи така:
— Единадесет цяло, две десети.
Пример 2Преобразувайте неправилна дроб в десетична.
Това е неправилна дроб, защото числителят е по-голям от знаменателя. Но може да се преобразува в десетична дроб, тъй като знаменателят е числото 100.
Първо избираме цялата част от тази дроб. За да направите това, разделете 450 на 100 с ъгъл:
Да съберем ново смесено число - получаваме . И вече знаем как да превеждаме смесени числа в десетични дроби.
Записваме цялата част и поставяме запетая:
Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробната част и броя на цифрите в числителя на дробната част. Виждаме, че броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Това ни дава възможност веднага да запишем числителя на дробната част след десетичната запетая:
В получената десетична дроб 4,50 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Така че дробта е преведена правилно.
Така че неправилната дроб, когато се преведе в десетична дроб, се превръща в 4,50
При решаване на задачи, ако има нули в края на десетичната дроб, те могат да бъдат изхвърлени. Нека изпуснем нулата в нашия отговор. Тогава получаваме 4,5
Това е един от интересни функциидесетични дроби. Това се крие във факта, че нулите, които са в края на дробта, не придават никаква тежест на тази дроб. С други думи, десетичните знаци 4,50 и 4,5 са равни. Нека поставим знак за равенство между тях:
4,50 = 4,5
Възниква въпросът: защо се случва това? Все пак изглежда като 4,50 и 4,5 различни фракции. Цялата тайна се крие в основното свойство на фракцията, което проучихме по-рано. Ще се опитаме да докажем защо десетичните дроби 4,50 и 4,5 са равни, но след като изучим следващата тема, която се нарича „преобразуване на десетична дроб в смесено число“.
Преобразуване на десетични в смесени числа
Всяка десетична дроб може да бъде преобразувана обратно в смесено число. За целта е достатъчно да можете да четете десетични дроби. Например, нека преобразуваме 6,3 в смесено число. 6.3 е шест цели точки и три десети. Първо записваме шест цели числа:
и следващите три десети:
Пример 2Преобразувайте десетично число 3,002 в смесено число
3,002 е три цели числа и две хилядни. Запишете първо три цели числа.
и след това пишем две хилядни:
Пример 3Преобразувайте десетично число 4,50 в смесено число
4,50 е четири точка и петдесет стотни. Запишете четири цели числа
и следващите петдесет стотни:
Между другото, нека си припомним последния пример от предишната тема. Казахме, че десетичните знаци 4,50 и 4,5 са равни. Казахме също, че нулата може да бъде изхвърлена. Нека се опитаме да докажем, че десетичните 4,50 и 4,5 са равни. За да направим това, преобразуваме и двете десетични дроби в смесени числа.
След преобразуване в смесено число, десетичната запетая 4,50 става , а десетичната запетая 4,5 става
Имаме две смесени числа и . Преобразувайте тези смесени числа в неправилни дроби:
Сега имаме две дроби и . Време е да си припомним основното свойство на дробта, което гласи, че при умножаване (или деление) на числителя и знаменателя на дроб с едно и също число, стойността на дробта не се променя.
Нека разделим първата дроб на 10
Получено и това е втората дроб. Така че и са равни помежду си и са равни на една и съща стойност:
Опитайте първо да разделите 450 на 100 на калкулатора, а след това 45 на 10. Ще се получи смешно нещо.
Преобразуване на десетична дроб в обикновена дроб
Всяка десетична дроб може да бъде преобразувана обратно в обикновена дроб. За да направите това, отново е достатъчно да можете да четете десетични дроби. Например, нека преобразуваме 0,3 в обикновена дроб. 0,3 е нула и три десети. Първо записваме нула цели числа:
и до три десети 0 . Нулата традиционно не се записва, така че крайният отговор няма да бъде 0, а просто.
Пример 2Преобразувайте десетичната дроб 0,02 в обикновена дроб.
0,02 е нула и две стотни. Ние не записваме нула, така че веднага записваме две стотни
Пример 3Преобразувайте 0,00005 в дроб
0,00005 е нула и петстотин хилядни. Нулата не се записва, така че веднага записваме петстотинхилядни
Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци
дроби
внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")
Дробите в гимназията не са много досадни. За момента. Докато не се натъкнете на градуса с рационални показателида логаритми. И там…. Натискате, натискате калкулатора и той показва цялото табло с резултати от някои числа. Трябва да мислиш с главата си, като в трети клас.
Нека се заемем с дробите най-накрая! Е, колко можеш да се объркаш в тях!? Освен това всичко е просто и логично. Така, какво са дробите?
Видове дроби. Трансформации.
Случват се дроби три вида.
1. Обикновени дроби , Например:
Понякога вместо хоризонтална линия те поставят наклонена черта: 1/2, 3/4, 19/5, добре и т.н. Тук често ще използваме този правопис. Извиква се горното число числител, нисък - знаменател.Ако постоянно бъркате тези имена (случва се ...), кажете си фразата с израза: " Зззззпомня! Ззззззнаменател - вън zzzz u!" Вижте, всичко ще бъде запомнено.)
Тире, което е хоризонтално, което е наклонено, означава разделениегорно число (числител) до долно число (знаменател). И това е! Вместо тире е напълно възможно да поставите знак за разделяне - две точки.
Когато делбата е възможна изцяло, тя трябва да се извърши. Така че вместо фракцията "32/8" е много по-приятно да напишете числото "4". Тези. 32 просто се дели на 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Не говоря за дробта "4/1". Което също е само "4". И ако не се дели напълно, оставяме го като дроб. Понякога трябва да направите обратното. Направете дроб от цяло число. Но повече за това по-късно.
2. Десетични знаци , Например:
Именно в тази форма ще е необходимо да запишете отговорите на задачи "Б".
3. смесени числа , Например:
Смесените числа практически не се използват в гимназията. За да работите с тях, те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Но определено трябва да знаете как да го направите! И тогава такъв номер ще се натъкне в пъзела и ще виси ... От нулата. Но ние помним тази процедура! Малко по-надолу.
Най-универсален обикновени дроби. Да започнем с тях. Между другото, ако във фракцията има всякакви логаритми, синуси и други букви, това не променя нищо. В смисъл, че всичко действията с дробни изрази не се различават от действията с обикновените дроби!
Основно свойство на дробта.
Така че да тръгваме! Първо ще ви изненадам. Цялото разнообразие от трансформации на дроби се осигурява от едно-единствено свойство! Така се казва основно свойство на дроб. Помня: Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат (разделят) на едно и също число, дробта няма да се промени.Тези:
Ясно е, че можете да пишете по-нататък, до посиняване. Не позволявайте на синусите и логаритмите да ви объркват, ние ще се занимаваме с тях по-нататък. Основното нещо, което трябва да разберете, е, че всички тези различни изрази са същата фракция . 2/3.
И имаме нужда от всички тези трансформации? И как! Сега ще видите сами. Първо, нека използваме основното свойство на дроб за дробни съкращения. Изглежда, че нещото е елементарно. Делим числителя и знаменателя на едно и също число и това е! Невъзможно е да сгрешите! Но... човекът е творческо същество. Навсякъде можеш да сгрешиш! Особено ако трябва да намалите не дроб като 5/10, а дробен изразс всякакви букви.
Как да намалите дробите правилно и бързо, без да извършвате ненужна работа, можете да намерите в специален раздел 555.
Един нормален ученик не си прави труда да раздели числителя и знаменателя на едно и също число (или израз)! Просто зачерква всичко еднакво отгоре и отдолу! Тук се крие типична грешка, гаф, ако искаш.
Например, трябва да опростите израза:
Няма какво да мислим, задраскваме буквата "а" отгоре и двойката отдолу! Получаваме:
Всичко е точно. Но наистина си споделил цялото числител и цялото знаменател "а". Ако сте свикнали просто да зачерквате, тогава в бързината можете да зачеркнете "а" в израза
и вземете отново
Което би било категорично погрешно. Защото тук цялоточислител на "а" вече не е споделено! Тази фракция не може да бъде намалена. Между другото, подобно съкращение е, хм ... сериозно предизвикателство за учителя. Това не се прощава! Помня? При намаляване е необходимо да се раздели цялото числител и цялото знаменател!
Намаляването на дробите прави живота много по-лесен. Някъде ще получите дроб, например 375/1000. И как да работим с нея сега? Без калкулатор? Умножете, кажете, съберете, повдигнете на квадрат!? И ако не ви мързи, но внимателно намалете с пет, та дори с пет, че дори ... докато се намалява, накратко. Получаваме 3/8! Много по-хубаво, нали?
Основното свойство на дробта ви позволява да преобразувате обикновени дроби в десетични и обратно без калкулатор! Това е важно за изпита, нали?
Как да конвертирате дроби от една форма в друга.
Лесно е с десетичните знаци. Както се чува, така се пише! Да кажем 0,25. Това е нула точка, двадесет и пет стотни. Затова пишем: 25/100. Намаляваме (разделяме числителя и знаменателя на 25), получаваме обичайната фракция: 1/4. Всичко. Случва се и нищо не се намалява. Като 0,3. Това са три десети, т.е. 3/10.
Ами ако целите числа са различни от нула? Всичко е наред. Запишете цялата дроб без никакви запетаив числителя, а в знаменателя - чутото. Например: 3.17. Това е три цели, седемнадесет стотни. В числителя записваме 317, а в знаменателя - 100. Получаваме 317/100. Нищо не е намалено, това означава всичко. Това е отговорът. Елементарно Уотсън! От всичко по-горе полезно заключение: всяка десетична дроб може да се преобразува в обикновена дроб .
Но обратното преобразуване, обикновено в десетична, някои не могат без калкулатор. И е необходимо! Как ще запишеш отговора на изпита!? Ние внимателно четем и овладяваме този процес.
Какво е десетична дроб? Тя има в знаменателя Винагиструва 10 или 100 или 1000 или 10 000 и така нататък. Ако вашата обичайна дроб има такъв знаменател, няма проблем. Например 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. И ако в отговора на задачата от раздел "Б" се оказа 1/2? Какво ще напишем в отговор? Десетичните знаци са задължителни...
Помним основно свойство на дроб ! Математиката благоприятно ви позволява да умножите числителя и знаменателя по едно и също число. За всеки, между другото! Освен нула, разбира се. Нека използваме тази функция в наша полза! По какво може да се умножи знаменателят, т.е. 2, така че да стане 10, или 100, или 1000 (по-малкото е по-добре, разбира се...)? 5, очевидно. Чувствайте се свободни да умножите знаменателя (това е наснеобходимо) с 5. Но тогава числителят също трябва да се умножи по 5. Това вече е математикаискания! Получаваме 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Това е всичко.
Срещат се обаче всякакви знаменатели. Например дробта 3/16 ще падне. Опитайте, разберете по какво да умножите 16, за да получите 100, или 1000... Не работи? Тогава можете просто да разделите 3 на 16. При липса на калкулатор ще трябва да разделите в ъгъла, на лист хартия, както са учили в началните класове. Получаваме 0,1875.
И има някои много лоши знаменатели. Например дробта 1/3 не може да се превърне в добър десетичен знак. И на калкулатор, и на лист хартия получаваме 0,3333333 ... Това означава, че 1/3 в точна десетична дроб не превежда. Точно като 1/7, 5/6 и така нататък. Много от тях са непреводими. Оттук следва още едно полезно заключение. Не всеки обикновена дробпреобразуван в десетичен знак !
Между другото, това полезна информацияза самотест. В раздел "B" в отговор трябва да запишете десетична дроб. И имате, например, 4/3. Тази дроб не се преобразува в десетична. Това означава, че някъде по пътя сте направили грешка! Върнете се, проверете решението.
И така, с сортирани обикновени и десетични дроби. Остава да се справим със смесени числа. За да работите с тях, всички те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Как да го направим? Можеш да хванеш шестокласник и да го попиташ. Но не винаги шестокласник ще бъде под ръка ... Ще трябва да го направим сами. Не е трудно. Умножете знаменателя на дробната част по цялата част и добавете числителя на дробната част. Това ще бъде числителят на обикновена дроб. Какво ще кажете за знаменателя? Знаменателят ще остане същият. Звучи сложно, но всъщност е доста просто. Да видим един пример.
Пуснете в проблема, който видяхте с ужас числото:
Спокойно, без паника, разбираме. Цялата част е 1. Едно. Дробната част е 3/7. Следователно знаменателят на дробната част е 7. Този знаменател ще бъде знаменателят на обикновената дроб. Преброяваме числителя. Умножаваме 7 по 1 (цялата част) и добавяме 3 (числителя на дробната част). Получаваме 10. Това ще бъде числителят на обикновена дроб. Това е всичко. Изглежда още по-лесно в математическа нотация:
Ясно? Тогава си осигурете успех! Преобразуване в обикновени дроби. Трябва да получите 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.
Обратната операция - преобразуване на неправилна дроб в смесено число - рядко се изисква в гимназията. Е, ако... И ако не сте в гимназията, можете да разгледате специалния раздел 555. На същото място, между другото, ще научите за неправилните дроби.
Е, почти всичко. Спомнихте си видовете дроби и разбрахте как преобразувайте ги от един тип в друг. Въпросът остава: За какво направи го? Къде и кога да приложим това дълбоко знание?
Аз отговарям. Всеки пример сам подсказва необходимите действия. Ако в примера обикновени дроби, десетични дроби и дори смесени числа са смесени в куп, ние превеждаме всичко в обикновени дроби. Винаги може да се направи. Е, ако е написано нещо от рода на 0,8 + 0,3, значи така мислим, без никакъв превод. Защо се нуждаем от допълнителна работа? Ние избираме решението, което е удобно нас !
Ако задачата е пълна с десетични дроби, но хм... някакви лоши, отидете на обикновени, опитайте! Виж, всичко ще бъде наред. Например, трябва да поставите на квадрат числото 0,125. Не е толкова лесно, ако не сте загубили навика на калкулатора! Не само трябва да умножите числата в колона, но и да помислите къде да поставите запетаята! Със сигурност не работи в съзнанието ми! И ако отидете на обикновена дроб?
0,125 = 125/1000. Намаляваме с 5 (това е за начало). Получаваме 25/200. Още веднъж на 5. Получаваме 5/40. Ох, свива се! Обратно към 5! Получаваме 1/8. Лесно повдигнете на квадрат (в ума си!) и вземете 1/64. Всичко!
Нека обобщим този урок.
1. Има три вида дроби. Обикновени, десетични и смесени числа.
2. Десетични знаци и смесени числа Винагиможе да се преобразува в обикновени дроби. Обратен превод не винагина разположение.
3. Изборът на типа дроби за работа със задачата зависи именно от тази задача. В присъствието на различни видоведроби в една задача, най-надеждното нещо е да преминете към обикновени дроби.
Сега можете да практикувате. Първо преобразувайте тези десетични дроби в обикновени:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Трябва да получите отговори като този (в бъркотия!):
На това ще завършим. В този урок опреснихме паметта си ключови точкипо дроби. Случва се обаче да няма нищо специално за опресняване ...) Ако някой е напълно забравил или все още не го е усвоил ... Те могат да отидат в специален раздел 555. Всички основни неща са описани подробно там. Много изведнъж разбере всичкозапочват. И те решават дроби в движение).
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
В тази статия ще анализираме как преобразуване на обикновени дроби в десетични, а също така разгледайте обратния процес - преобразуването на десетични дроби в обикновени дроби. Тук ще изразим правилата за обръщане на дроби и ще дадем подробни решениятипични примери.
Навигация в страницата.
Преобразуване на обикновени дроби в десетични
Нека обозначим последователността, в която ще се занимаваме с преобразуване на обикновени дроби в десетични.
Първо, ще разгледаме как да представим обикновени дроби със знаменател 10, 100, 1000, ... като десетични дроби. Това е така, защото десетичните дроби по същество са компактна форма на обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ....
След това ще продължим и ще покажем как всяка обикновена дроб (не само със знаменатели 10, 100, ...) може да бъде записана като десетична дроб. При това преобразуване на обикновени дроби се получават както крайни десетични дроби, така и безкрайни периодични десетични дроби.
Сега за всичко по ред.
Преобразуване на обикновени дроби със знаменател 10, 100, ... в десетични дроби
Някои редовни дроби се нуждаят от "предварителна подготовка", преди да се превърнат в десетични дроби. Това важи за обикновените дроби, чийто брой цифри в числителя е по-малък от броя на нулите в знаменателя. Например обикновената дроб 2/100 трябва първо да бъде подготвена за преобразуване в десетична дроб, но дробта 9/10 не е необходимо да се подготвя.
„Предварителната подготовка“ на правилните обикновени дроби за преобразуване в десетични дроби се състои в добавяне на толкова много нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Например дроб след добавяне на нули ще изглежда като .
След като подготвите правилната обикновена дроб, можете да започнете да я преобразувате в десетична дроб.
Да дадем правило за преобразуване на правилна обикновена дроб със знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетична дроб. Състои се от три стъпки:
- запишете 0;
- поставете десетична точка след него;
- записваме числото от числителя (заедно с добавените нули, ако сме ги добавили).
Обмислете приложението на това правило при решаване на примери.
Пример.
Преобразувайте правилната дроб 37/100 в десетична.
Решение.
Знаменателят съдържа числото 100, което има две нули в своя запис. Числителят съдържа числото 37, в неговия запис има две цифри, следователно тази фракция не трябва да се подготвя за преобразуване в десетична дроб.
Сега пишем 0, поставяме десетична запетая и записваме числото 37 от числителя, докато получаваме десетичната дроб 0,37.
Отговор:
0,37 .
За да консолидираме уменията за превод на редовни обикновени дроби с числители 10, 100, ... в десетични дроби, ще анализираме решението на друг пример.
Пример.
Запишете правилната дроб 107/10 000 000 като десетичен знак.
Решение.
Броят на цифрите в числителя е 3, а броят на нулите в знаменателя е 7, така че тази обикновена дроб трябва да бъде подготвена за преобразуване в десетична. Трябва да добавим 7-3=4 нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Получаваме .
Остава да образуваме желаната десетична дроб. За да направите това, първо, записваме 0, второ, поставяме запетая, трето, записваме числото от числителя заедно с нули 0000107 , като резултат имаме десетична дроб 0,0000107 .
Отговор:
0,0000107 .
Неправилните обикновени дроби не се нуждаят от подготовка при преобразуване в десетични дроби. Трябва да се спазва следното правила за преобразуване на неправилни обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични дроби:
- запишете числото от числителя;
- разделяме с десетична запетая толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на първоначалната дроб.
Нека анализираме приложението на това правило при решаване на пример.
Пример.
Преобразувайте неправилна обикновена дроб 56 888 038 009/100 000 в десетична.
Решение.
Първо записваме числото от числителя 56888038009 и второ отделяме 5 цифри отдясно с десетична запетая, тъй като в знаменателя на оригиналната дроб има 5 нули. В резултат на това имаме десетична дроб 568 880.38009.
Отговор:
568 880,38009 .
За да преобразувате смесено число в десетична дроб, чийто знаменател на дробната част е числото 10, или 100, или 1000, ..., можете да преобразувате смесеното число в неправилна обикновена дроб, след което получената дроб може да се преобразува в десетична дроб. Но можете да използвате и следното правилото за преобразуване на смесени числа със знаменател на дробната част 10, или 100, или 1000, ... в десетични дроби:
- ако е необходимо, изпълнете предварителна подготовка» дробната част на първоначалното смесено число чрез добавяне на необходимия брой нули отляво в числителя;
- запишете цялата част от първоначалното смесено число;
- поставете десетична точка;
- записваме числото от числителя заедно с добавените нули.
Нека разгледаме пример, при решаването на който ще извършим всички необходими стъпки, за да представим смесено число като десетична дроб.
Пример.
Преобразувайте смесено число в десетично.
Решение.
Има 4 нули в знаменателя на дробната част и числото 17 в числителя, състоящ се от 2 цифри, следователно трябва да добавим две нули отляво в числителя, така че броят на знаците там да стане равен на брой нули в знаменателя. Като направите това, числителят ще бъде 0017.
Сега записваме цялата част от оригиналното число, тоест числото 23, поставяме десетична точка, след което записваме числото от числителя заедно с добавените нули, тоест 0017, докато получаваме желания десетичен знак дроб 23.0017.
Нека запишем накратко цялото решение: 
.
Несъмнено беше възможно смесеното число първо да се представи като неправилна дроб и след това да се преобразува в десетична дроб. С този подход решението изглежда така:
Отговор:
23,0017 .
Преобразуване на обикновени дроби в крайни и безкрайни периодични десетични дроби
В десетична дроб могат да се преобразуват не само обикновени дроби със знаменател 10, 100, ..., но и обикновени дроби с други знаменатели. Сега ще разберем как се прави това.
В някои случаи първоначалната обикновена дроб лесно се свежда до един от знаменателите 10, или 100, или 1000, ... (виж редуцирането на обикновена дроб до нов знаменател), след което не е трудно да се представи получената дроб като десетична дроб. Например, очевидно е, че дробта 2/5 може да се сведе до дроб със знаменател 10, за това трябва да умножите числителя и знаменателя по 2, което ще даде дроб 4/10, което според правилата, обсъдени в предишния параграф, могат лесно да бъдат преобразувани в десетична дроб 0, 4 .
В други случаи трябва да използвате различен начин за преобразуване на обикновена дроб в десетична, което сега ще разгледаме.
За да преобразувате обикновена дроб в десетична дроб, числителят на дробта се разделя на знаменателя, числителят първо се заменя с равна десетична дроб с произволен брой нули след десетичната запетая (говорихме за това в раздела равно и неравни десетични дроби). В този случай делението се извършва по същия начин като деленето на колона от естествени числа, а десетичната запетая се поставя в частното, когато делението на цялата част от дивидента приключи. Всичко това ще стане ясно от решенията на дадените по-долу примери.
Пример.
Преобразувайте обикновената дроб 621/4 в десетична.
Решение.
Представяме числото в числителя 621 като десетична дроб, като добавяме десетична запетая и няколко нули след нея. Като начало ще добавим 2 цифри 0, по-късно, ако е необходимо, винаги можем да добавим още нули. И така, имаме 621,00.
Сега нека разделим числото 621 000 на 4 с колона. Първите три стъпки не се различават от деленето на колона от естествени числа, след което стигаме до следната картина: 
Така стигнахме до десетичната запетая в дивидента и остатъкът е различен от нула. В този случай поставяме десетична запетая в частното и продължаваме делението по колона, като игнорираме запетаите: 
Това деление е завършено и в резултат получаваме десетичната дроб 155,25, която съответства на оригиналната обикновена дроб.
Отговор:
155,25 .
За да консолидирате материала, помислете за решението на друг пример.
Пример.
Преобразувайте обикновената дроб 21/800 в десетична.
Решение.
За да преобразуваме тази обикновена дроб в десетична, нека разделим десетичната дроб 21 000 ... на 800 с колона. След първата стъпка ще трябва да поставим десетична запетая в частното и след това да продължим делението: 
Накрая получихме остатъка 0, с това преобразуването на обикновената дроб 21/400 в десетичната дроб е завършено и стигнахме до десетичната дроб 0,02625.
Отговор:
0,02625 .
Може да се случи така, че при разделянето на числителя на знаменателя на обикновена дроб никога да не получим остатък 0. В тези случаи разделянето може да продължи колкото желаете. Въпреки това, започвайки от определена стъпка, остатъците започват да се повтарят периодично, докато цифрите в частното също се повтарят. Това означава, че оригиналната обикновена дроб се превръща в безкраен периодичен десетичен знак. Нека покажем това с пример.
Пример.
Запишете обикновената дроб 19/44 като десетичен знак.
Решение.
За да преобразуваме обикновена дроб в десетична, извършваме деление по колона: 
Вече е ясно, че при деленето остатъците 8 и 36 са започнали да се повтарят, докато в частното числата 1 и 8 се повтарят. Така оригиналната обикновена дроб 19/44 се превежда в периодична десетична дроб 0,43181818…=0,43(18) .
Отговор:
0,43(18) .
В заключение на този параграф ще разберем кои обикновени дроби могат да бъдат преобразувани в крайни десетични дроби и кои могат да бъдат преобразувани само в периодични.
Нека имаме нередуцируема обикновена дроб пред нас (ако дробта е редуцируема, тогава първо извършваме редукцията на дробта) и трябва да разберем в каква десетична дроб може да бъде преобразувана - крайна или периодична.
Ясно е, че ако една обикновена дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ..., тогава получената дроб може лесно да бъде преобразувана в последна десетична дроб съгласно правилата, разгледани в предишния параграф. Но към знаменателите 10, 100, 1000 и т.н. не са дадени всички обикновени дроби. До такива знаменатели могат да се сведат само дроби, чиито знаменатели са поне едно от числата 10, 100, ... А кои числа могат да бъдат делители на 10, 100, ...? Числата 10, 100, … ще ни позволят да отговорим на този въпрос, а те са както следва: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . От това следва, че делителите на 10, 100, 1000 и т.н. може да има само числа, чиито разложения на прости множители съдържат само числата 2 и (или) 5 .
Сега можем да направим общо заключение за преобразуването на обикновени дроби в десетични дроби:
- ако само числата 2 и (или) 5 присъстват в разлагането на знаменателя на прости множители, тогава тази дроб може да бъде преобразувана в последна десетична дроб;
- ако освен две и петици има и други в разширението на знаменателя прости числа, тогава тази дроб се превежда в безкрайна десетична периодична дроб.
Пример.
Без да преобразувате обикновените дроби в десетични, кажете ми коя от дробите 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 може да се преобразува в крайна десетична дроб и коя може да се преобразува само в периодична.
Решение.
Разлагането на прости множители на знаменателя на дробта 47/20 има формата 20=2 2 5 . В това разширение има само двойки и петици, така че тази дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ... (в този пример до знаменателя 100), следователно може да бъде преобразувана в краен десетичен знак фракция.
Разлагането на прости множители на знаменателя на дробта 7/12 има формата 12=2 2 3 . Тъй като съдържа прост фактор 3, различен от 2 и 5, тази дроб не може да бъде представена като крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в периодична десетична дроб.
Фракция 21/56 - свиваем, след редукция приема формата 3/8. Разлагането на знаменателя на прости множители съдържа три множителя, равни на 2, следователно обикновената дроб 3/8, а оттам и дробта, равна на нея 21/56, могат да бъдат преведени в крайна десетична дроб.
И накрая, разширението на знаменателя на дробта 31/17 само по себе си е 17, следователно тази дроб не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в безкрайна периодична дроб.
Отговор:
47/20 и 21/56 могат да бъдат преобразувани в краен десетичен знак, докато 7/12 и 31/17 могат да бъдат преобразувани само в периодичен десетичен знак.
Обикновените дроби не се преобразуват в безкрайни неповтарящи се десетични знаци
Информацията от предишния параграф повдига въпроса: „Може ли да се получи безкрайна непериодична дроб при разделяне на числителя на дроб на знаменателя“?
Отговор: не. При превод на обикновена дроб може да се получи или крайна десетична дроб, или безкрайна периодична десетична дроб. Нека обясним защо това е така.
От теоремата за делимост с остатък става ясно, че остатъкът е винаги по-малък делител, т.е. ако разделим някакво цяло число на цяло число q , тогава остатъкът може да бъде само едно от числата 0, 1, 2, ..., q−1 . От това следва, че след приключване на делението на цялата част от числителя на обикновена дроб на знаменателя q, след не повече от q стъпки, ще възникне една от следните две ситуации:
- или получаваме остатъка 0, това ще приключи делението и ще получим последната десетична дроб;
- или ще получим остатък, който вече се е появил преди, след което остатъците ще започнат да се повтарят както в предишния пример (тъй като при деление на равни числа на q се получават равни остатъци, което следва от вече споменатата теорема за делимост), така че ще се получи безкрайна периодична десетична дроб.
Не може да има други опции, следователно при преобразуване на обикновена дроб в десетична дроб не може да се получи безкрайна непериодична десетична дроб.
От разсъжденията, дадени в този параграф, също следва, че дължината на периода на десетична дроб винаги е по-малка от стойността на знаменателя на съответната обикновена дроб.
Преобразувайте десетични числа в обикновени дроби
Сега нека да разберем как да преобразуваме десетична дроб в обикновена. Нека започнем с преобразуване на крайните десетични числа в обикновени дроби. След това разгледайте метода за обръщане на безкрайни периодични десетични дроби. В заключение, нека кажем за невъзможността за преобразуване на безкрайни непериодични десетични дроби в обикновени дроби.
Преобразуване на крайните десетични числа в обикновени дроби
Получаването на обикновена дроб, която се записва като последна десетична дроб, е доста проста. Правилото за преобразуване на крайна десетична дроб в обикновена дробсе състои от три стъпки:
- първо, запишете дадената десетична дроб в числителя, като преди това сте изхвърлили десетичната запетая и всички нули отляво, ако има такива;
- второ, напишете едно в знаменателя и добавете към него толкова нули, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
- трето, ако е необходимо, намалете получената фракция.
Нека разгледаме примери.
Пример.
Преобразувайте десетичната запетая 3,025 в обикновена дроб.
Решение.
Ако премахнем десетичната запетая в оригиналната десетична дроб, тогава получаваме числото 3025. Няма нули отляво, които бихме изхвърлили. И така, в числителя на търсената дроб записваме 3025.
Записваме числото 1 в знаменателя и добавяме 3 нули вдясно от него, тъй като в оригиналната десетична дроб има 3 цифри след десетичната запетая.
Така че имаме обикновена дроб 3 025/1 000. Тази дроб може да се намали с 25, получаваме 
.
Отговор:
.
Пример.
Преобразувайте десетичната дроб 0,0017 в обикновена дроб.
Решение.
Без десетична запетая оригиналната десетична дроб изглежда като 00017, като изхвърлим нулите отляво, получаваме числото 17, което е числителят на желаната обикновена дроб.
В знаменателя записваме единица с четири нули, тъй като в оригиналната десетична дроб има 4 цифри след десетичната запетая.
В резултат на това имаме обикновена дроб 17/10 000. Тази дроб е несъкратима и преобразуването на десетична дроб в обикновена е завършено.
Отговор:
.
Когато цялата част от оригиналната крайна десетична дроб е различна от нула, тогава тя може незабавно да бъде преобразувана в смесено число, заобикаляйки обикновената дроб. Да дадем правило за преобразуване на последен десетичен знак в смесено число:
- числото преди десетичната запетая трябва да бъде записано като цяла част от желаното смесено число;
- в числителя на дробната част трябва да напишете числото, получено от дробната част на оригиналната десетична дроб, след като изхвърлите всички нули отляво в нея;
- в знаменателя на дробната част трябва да напишете числото 1, към което отдясно добавете толкова нули, колкото има цифри в записа на първоначалната десетична дроб след десетичната точка;
- ако е необходимо, намалете дробната част на полученото смесено число.
Помислете за пример за преобразуване на десетична дроб в смесено число.
Пример.
Изразете десетичната запетая 152,06005 като смесено число
Ще посветим този материал на такава важна тема като десетичните дроби. Първо, нека дефинираме основните дефиниции, да дадем примери и да се спрем на правилата на десетичната нотация, както и какви са цифрите на десетичните дроби. След това подчертаваме основните типове: крайни и безкрайни, периодични и непериодични дроби. В последната част ще покажем как точките, съответстващи на дробни числа, са разположени върху координатната ос.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Какво е десетична нотация за дробни числа
Така нареченият десетичен запис за дробни числа може да се използва както за естествени, така и за дробни числа. Изглежда като набор от две или повече числа със запетая между тях.
Десетичната запетая се използва за разделяне на целочислената част от дробната част. По правило последната цифра на десетичната запетая никога не е нула, освен ако десетичната точка не е непосредствено след първата нула.
Кои са някои примери за дробни числа в десетична система? Може да бъде 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9 и т.н.
В някои учебници можете да намерите използването на точка вместо запетая (5. 67, 6789. 1011 и т.н.) Тази опция се счита за еквивалентна, но е по-типична за англоезични източници.
Дефиниция на десетичните знаци
Въз основа на горната концепция за десетична нотация, можем да формулираме следната дефиниция на десетични дроби:
Определение 1
Десетичните числа са дробни числа в десетична система.
Защо трябва да пишем дроби в тази форма? Той ни дава някои предимства пред обикновените, например по-компактен запис, особено в случаите, когато знаменателят е 1000, 100, 10 и т.н. или смесено число. Например, вместо 6 10 можем да зададем 0 , 6 , вместо 25 10000 - 0 , 0023 , вместо 512 3 100 - 512 , 03 .
Как правилно да представите обикновени дроби с десетки, стотици, хиляди в знаменателя в десетична форма ще бъде описано в отделен материал.
Как да четем правилно десетичните знаци
Има някои правила за четене на записи на десетични дроби. И така, онези десетични дроби, които съответстват на техните правилни обикновени еквиваленти, се четат почти по същия начин, но с добавянето на думите "нула десети" в началото. И така, записът 0, 14, който съответства на 14 100, се чете като "нула точка и четиринадесет стотни."
Ако десетична дроб може да бъде свързана със смесено число, тогава тя се чете по същия начин като това число. Така че, ако имаме дроб 56 002, което съответства на 56 2 1000, ние четем такъв запис като "петдесет и шест кома две хилядни."
Стойността на цифрата в десетичния запис зависи от това къде се намира (точно както в случая с естествените числа). И така, в десетична дроб 0, 7, седем е десети, в 0, 0007 е десет хилядни, а в дроб 70 000, 345 означава седем десетки хиляди цели единици. По този начин в десетичните дроби има и концепцията за числова цифра.
Имената на цифрите, разположени преди запетаята, са подобни на тези, които съществуват в естествените числа. Имената на тези, които са разположени след, са ясно представени в таблицата:
Да вземем пример.
Пример 1
Имаме десетичен знак 43, 098. Тя има четири на мястото на десетиците, тройка на мястото на единиците, нула на десетото място, 9 на стотното място и 8 на хилядното място.
Обичайно е да се разграничават цифрите на десетичните дроби по старшинство. Ако се движим през числата отляво надясно, тогава ще преминем от високи към ниски цифри. Оказва се, че стотните са по-стари от десетките, а милионните са по-млади от стотните. Ако вземем тази последна десетична дроб, която цитирахме като пример по-горе, тогава в нея старшата или най-високата ще бъде цифрата на стотиците, а най-ниската или най-малката ще бъде цифрата на 10 хилядни.
Всяка десетична дроб може да бъде разложена на отделни цифри, т.е. представена като сума. Тази операция се извършва по същия начин, както при естествените числа.
Пример 2
Нека се опитаме да разгънем дробта 56, 0455 на цифри.
Ние ще можем да:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
Ако си спомним свойствата на добавянето, можем да представим тази дроб в други форми, например като сумата 56 + 0, 0455 или 56, 0055 + 0, 4 и т.н.
Какво представляват следните десетични знаци
Всички дроби, за които говорихме по-горе, са десетични знаци в края. Това означава, че броят на цифрите след десетичната запетая е краен. Нека получим определението:
Определение 1
Крайните десетични знаци са вид десетичен знак, който има краен брой цифри след запетаята.
Примери за такива дроби могат да бъдат 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 и т.н.
Всяка от тези дроби може да бъде преобразувана или в смесено число (ако стойността на тяхната дробна част е различна от нула), или в обикновена дроб (ако цялата част е нула). Посветихме отделен материал на това как се прави това. Нека просто посочим няколко примера тук: например, можем да доведем крайната десетична дроб 5 , 63 до формата 5 63 100 , а 0 , 2 съответства на 2 10 (или всяка друга дроб, равна на нея, например 4 20 или 1 5 .)
Но обратният процес, т.е. записването на обикновена дроб в десетична форма не винаги може да се извърши. Така че 5 13 не може да бъде заменено с равна дроб със знаменател 100, 10 и т.н., което означава, че крайната десетична дроб няма да се получи от нея.
Основните видове безкрайни десетични дроби: периодични и непериодични дроби
По-горе посочихме, че крайните дроби се наричат така, защото имат краен брой цифри след десетичната запетая. Въпреки това може да е безкрайно, в който случай самите дроби също ще се наричат безкрайни.
Определение 2
Безкрайните десетични знаци са тези, които имат безкраен брой цифри след десетичната запетая.
Очевидно е, че такива числа просто не могат да бъдат записани изцяло, затова посочваме само част от тях и след това поставяме многоточие. Този знак показва безкрайно продължение на последователността от десетични знаци. Примери за безкрайни десетични знаци биха били 0, 143346732 ..., 3, 1415989032 ..., 153, 0245005 ..., 2, 66666666666 ..., 69, 748768152 .... и т.н.
В "опашката" на такава фракция може да има не само привидно произволни поредици от числа, но и постоянно повторение на един и същи знак или група от знаци. Дроби с редуване след десетичната запетая се наричат периодични.
Определение 3
Периодичните десетични дроби са такива безкрайни десетични дроби, в които една цифра или група от няколко цифри се повтаря след десетичната точка. Повтарящата се част се нарича период на дробта.
Например за дробта 3, 444444 ... . периодът ще бъде числото 4, а за 76, 134134134134 ... - групата 134.
Какъв е минималният брой знаци, разрешен в периодична дроб? За периодични дроби ще бъде достатъчно да напишете целия период веднъж в скоби. И така, дробта е 3, 444444 ... . ще бъде правилно да запишете като 3, (4) , и 76, 134134134134 ... - като 76, (134) .
Като цяло, записи с множество периоди в скоби ще имат абсолютно същото значение: например периодичната дроб 0,677777 е същата като 0,6 (7) и 0,6 (77) и т.н. Записи като 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) и други също са разрешени.
За да избегнем грешки, въвеждаме еднаквост на нотацията. Нека се съгласим да напишем само една точка (най-кратката възможна последователност от цифри), която е най-близо до десетичната запетая и да я поставим в скоби.
Тоест, за горната фракция ще считаме записа 0, 6 (7) за основен и, например, в случай на дроб 8, 9134343434, ще напишем 8, 91 (34) .
Ако знаменателят на обикновена дроб съдържа прости множители, които не са равни на 5 и 2, тогава при преобразуване в десетична система от тях ще се получат безкрайни дроби.
По принцип можем да запишем всяка крайна дроб като периодична. За да направим това, просто трябва да добавим безкраен брой нули отдясно. Как изглежда на запис? Да кажем, че имаме крайна дроб 45, 32. В периодична форма ще изглежда като 45 , 32 (0) . Това действие е възможно, защото добавянето на нули отдясно на всяка десетична дроб ни дава като резултат дроб, равна на нея.
Отделно трябва да се спрем на периодични дроби с период 9, например 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Те са алтернативен запис за подобни дроби с период 0, така че често се заменят, когато се записват с дроби с нулев период. В същото време единица се добавя към стойността на следващата цифра и (0) се посочва в скоби. Равенството на получените числа се проверява лесно, като се представят като обикновени дроби.
Например дробта 8, 31 (9) може да бъде заменена със съответната дроб 8, 32 (0). Или 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .
Безкрайните десетични периодични дроби са рационални числа. С други думи, всяка периодична дроб може да бъде представена като обикновена дроб и обратно.
Има и дроби, в които няма безкрайно повтаряща се последователност след десетичната запетая. В този случай те се наричат непериодични дроби.
Определение 4
Непериодичните десетични дроби включват онези безкрайни десетични дроби, които не съдържат точка след десетичната запетая, т.е. повтаряща се група от числа.
Понякога непериодичните дроби изглеждат много подобни на периодичните. Например 9 , 03003000300003 ... на пръв поглед изглежда, че има точка, но подробен анализ на десетичните знаци потвърждава, че това все още е непериодична дроб. Трябва да сте много внимателни с числа като това.
Непериодичните дроби са ирационални числа. Те не се преобразуват в обикновени дроби.
Основни операции с десетични знаци
Следните операции могат да се извършват с десетични дроби: сравнение, изваждане, събиране, деление и умножение. Нека анализираме всеки от тях поотделно.
Сравняването на десетични числа може да се сведе до сравняване на обикновени дроби, които съответстват на оригиналните десетични знаци. Но безкрайните непериодични дроби не могат да бъдат сведени до тази форма и превръщането на десетични дроби в обикновени често е трудоемка задача. Как бързо да извършим сравнително действие, ако трябва да го направим в процеса на решаване на проблема? Удобно е да сравняваме десетични дроби по цифри по същия начин, както сравняваме естествените числа. Ще посветим отделна статия на този метод.
За да добавите една десетична дроб към друга, е удобно да използвате метода за събиране на колони, както при естествените числа. За да добавите периодични десетични дроби, първо трябва да ги замените с обикновени и да броите според стандартната схема. Ако според условията на задачата трябва да съберем безкрайни непериодични дроби, тогава първо трябва да ги закръглим до определена цифра и след това да ги съберем. Колкото по-малка е цифрата, до която закръгляме, толкова по-висока ще бъде точността на изчислението. За изваждане, умножение и деление на безкрайни дроби също е необходимо предварително закръгляване.
Намирането на разликата на десетичните дроби е обратното на събирането. Всъщност с помощта на изваждане можем да намерим число, чиято сума с извадената дроб ще ни даде намалената. Ще говорим за това по-подробно в отделна статия.
Умножението на десетични дроби се извършва по същия начин, както при естествените числа. Методът на изчисление по колона също е подходящ за това. Отново свеждаме това действие с периодични дроби до умножение на обикновени дроби по вече изучените правила. Безкрайните дроби, както си спомняме, трябва да бъдат закръглени преди броене.
Процесът на деление на десетични числа е обратен на процеса на умножение. Когато решаваме задачи, ние също използваме преброяване на колони.
Можете да зададете точно съответствие между крайната десетична точка и точка на координатната ос. Нека да разберем как да маркираме точка на оста, която точно ще съответства на необходимата десетична дроб.
Вече проучихме как да конструираме точки, съответстващи на обикновени дроби, а десетичните дроби могат да бъдат сведени до тази форма. Например обикновена дроб 14 10 е същата като 1 , 4 , така че точката, съответстваща на нея, ще бъде отстранена от началото в положителна посока на точно същото разстояние:
Можете да направите, без да замените десетичната дроб с обикновена и да вземете метода за разширяване на цифрите като основа. Така че, ако трябва да маркираме точка, чиято координата ще бъде равна на 15 , 4008 , тогава първо ще представим това число като сума 15 + 0 , 4 + , 0008 . Като начало отделяме 15 цели единични сегмента в положителна посока от началото, след това 4 десети от един сегмент и след това 8 десетхилядни от един сегмент. В резултат на това ще получим координатна точка, която съответства на фракцията 15, 4008.
За безкрайна десетична дроб е по-добре да използвате този конкретен метод, тъй като той ви позволява да се приближите до желаната точка толкова близо, колкото искате. В някои случаи е възможно да се изгради точно съответствие на безкрайна фракция на координатната ос: например 2 = 1, 41421. . . , и тази фракция може да бъде свързана с точка от координатния лъч, отдалечена от 0 с дължината на диагонала на квадрата, чиято страна ще бъде равна на един сегмент.
Ако намерим не точка на оста, а десетична дроб, съответстваща на нея, тогава това действие се нарича десетично измерване на сегмента. Нека видим как да го направим правилно.
Да предположим, че трябва да стигнем от нула до дадена точка на координатната ос (или да се приближим възможно най-близо в случай на безкрайна дроб). За да направите това, постепенно отделяме единични сегменти от началото на координатите, докато стигнем до желаната точка. След цели сегменти, ако е необходимо, измерваме десети, стотни и по-малки части, така че съответствието да е възможно най-точно. В резултат на това получихме десетична дроб, която съответства на дадена точкавърху координатната ос.
По-горе дадохме снимка с точка М. Погледнете го отново: за да стигнете до тази точка, трябва да измерите един сегмент от нулата и четири десети от нея, тъй като тази точка съответства на десетичната дроб 1, 4.
Ако не можем да уцелим точка в процеса на десетично измерване, това означава, че на нея съответства безкрайна десетична дроб.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
вече в начално училищеучениците се занимават с дроби. И тогава се появяват във всяка тема. Невъзможно е да забравите действия с тези числа. Следователно трябва да знаете цялата информация за обикновените и десетичните дроби. Тези концепции са прости, основното е да разберете всичко в ред.
Защо са необходими дроби?
Светът около нас се състои от цели обекти. Следователно няма нужда от акции. Но ежедневиетопостоянно тласка хората да работят с части от предмети и неща.
Например, шоколадът се състои от няколко резена. Помислете за ситуацията, в която неговата плочка е образувана от дванадесет правоъгълника. Ако го разделите на две, получавате 6 части. Ще бъде добре разделена на три. Но петимата няма да могат да дадат цял брой резени шоколад.
Между другото, тези резени вече са дроби. И по-нататъшното им разделяне води до появата на по-сложни числа.
Какво е "фракция"?
Това е число, състоящо се от части на едно. Външно изглежда като две числа, разделени с хоризонтална или наклонена черта. Тази характеристика се нарича фракционна. Числото, написано отгоре (вляво), се нарича числител. Този отдолу (вдясно) е знаменателят.
Всъщност дробната черта се оказва знак за деление. Тоест числителят може да се нарече дивидент, а знаменателят - делител.
Какво представляват дробите?
В математиката има само два вида от тях: обикновени и десетични дроби. Учениците се запознават първо с начално училище, наричайки ги просто „фракции“. Вторите учат в 5 клас. Тогава се появяват тези имена.
Обикновени дроби са всички тези, които са записани като две числа, разделени с черта. Например 4/7. Десетично е число, в което дробната част има позиционен запис и е отделена със запетая от цялото число. Например 4.7. Учениците трябва да са наясно, че двата дадени примера са напълно различни числа.
Всяка проста дроб може да бъде записана като десетична дроб. Това твърдение почти винаги е вярно и обратното. Има правила, които ви позволяват да запишете десетична дроб като обикновена дроб.
Какви подвидове имат тези видове дроби?
По-добре започнете от хронологичен редтъй като те се изучават. На първо място са обикновените дроби. Сред тях могат да се разграничат 5 подвида.
Правилно. Числителят му винаги е по-малък от знаменателя.
погрешно Числителят му е по-голям или равен на знаменателя.
Редуцируем/нередуцируем. Може да е както правилно, така и грешно. Друго нещо е важно дали числителят и знаменателят имат общи множители. Ако има, тогава те трябва да разделят двете части на дробта, тоест да я намалят.
Смесени. Цяло число се присвоява на обичайната му правилна (неправилна) дробна част. И винаги стои отляво.
Композитен. Образува се от две фракции, разделени една на друга. Тоест, той има три дробни характеристики наведнъж.
Десетичните числа имат само два подвида:
окончателен, т.е. този, в който дробната част е ограничена (има край);
infinite - число, чиито цифри след десетичната запетая не завършват (могат да се пишат безкрайно).
Как да преобразувам десетични числа в обикновени?
Ако това е крайно число, тогава се прилага асоциация по правилото - както чувам, така и пиша. Тоест, трябва да го прочетете правилно и да го запишете, но без запетая, но с дробна черта.
Като намек за необходимия знаменател, не забравяйте, че той винаги е една и няколко нули. Последните трябва да бъдат записани толкова, колкото са цифрите в дробната част на въпросното число.
Как да конвертирате десетични дроби в обикновени, ако цялата им част липсва, тоест е равна на нула? Например 0,9 или 0,05. След прилагане на посоченото правило се оказва, че трябва да напишете нула цели числа. Но не е посочено. Остава да запишем само дробните части. За първото число знаменателят ще бъде 10, за второто - 100. Тоест посочените примери ще имат числа като отговори: 9/10, 5/100. Освен това последното се оказва възможно да се намали с 5. Следователно резултатът за него трябва да бъде записан 1/20.
Как да направим обикновена дроб от десетична, ако цялата й част е различна от нула? Например 5,23 или 13,00108. И двата примера четат цялата част и записват нейната стойност. В първия случай това е 5, във втория - 13. След това трябва да преминете към дробната част. С тях е необходимо да се извърши същата операция. Първото число има 23/100, второто има 108/100000. Втората стойност трябва да се намали отново. Отговорът е смесени дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.
Как да преобразувам безкраен десетичен знак в обикновена дроб?
Ако е непериодично, тогава такава операция не може да се извърши. Този факт се дължи на факта, че всяка десетична дроб винаги се преобразува или в крайна, или в периодична.
Единственото нещо, което е позволено да се направи с такава дроб е да се закръгли. Но тогава десетичната запетая ще бъде приблизително равна на тази безкрайност. Вече може да се превърне в обикновен. Но обратният процес: преобразуване в десетична - никога няма да даде първоначалната стойност. Тоест безкрайните непериодични дроби не се преобразуват в обикновени дроби. Това трябва да се помни.
Как да напишем безкрайна периодична дроб под формата на обикновена?
В тези числа след десетичната запетая винаги се появяват една или повече цифри, които се повтарят. Те се наричат периоди. Например 0,3(3). Тук "3" в периода. Те се класифицират като рационални, тъй като могат да бъдат превърнати в обикновени дроби.
Тези, които са се сблъсквали с периодични фракции, знаят, че те могат да бъдат чисти или смесени. В първия случай точката започва веднага от запетаята. Във втория дробната част започва с произволни числа и след това започва повторението.
Правилото, по което трябва да напишете безкраен десетичен знак под формата на обикновена дроб, ще бъде различно за тези два вида числа. Доста лесно е да напишете чисти периодични дроби като обикновени дроби. Както при последните, те трябва да бъдат преобразувани: запишете точката в числителя, а числото 9 ще бъде знаменателят, като се повтаря толкова пъти, колкото цифри има в периода.
Например 0,(5). Числото няма цяло число, така че трябва незабавно да преминете към дробната част. В числителя напишете 5, а в знаменателя - 9. Тоест отговорът ще бъде дробта 5/9.
Правило как да напишете обикновена десетична дроб, която е смесена дроб.
Вижте продължителността на периода. Толкова 9 ще има знаменател.
Запишете знаменателя: първо деветки, след това нули.
За да определите числителя, трябва да напишете разликата на две числа. Всички цифри след десетичната запетая ще бъдат намалени, заедно с точката. Изважда се - без точка е.
Например 0,5(8) - запишете периодичната десетична дроб като обикновена дроб. Дробната част преди точката е една цифра. Така че нула ще бъде едно. В периода също има само една цифра - 8. Тоест има само една деветка. Тоест трябва да напишете 90 в знаменателя.
За да определите числителя от 58, трябва да извадите 5. Получава се 53. Например ще трябва да напишете 53/90 като отговор.
Как се преобразуват обикновените дроби в десетични?
от най-много прост вариантсе оказва числото, в чийто знаменател е числото 10, 100 и т.н. Тогава знаменателят просто се изхвърля и се поставя запетая между дробната и целочислената част.
Има ситуации, когато знаменателят лесно се превръща в 10, 100 и т.н. Например числата 5, 20, 25. Достатъчно е да ги умножите съответно по 2, 5 и 4. Само е необходимо да се умножи не само знаменателят, но и числителят с едно и също число.
За всички останали случаи ще ви бъде полезно едно просто правило: разделете числителя на знаменателя. В този случай можете да получите два отговора: крайна или периодична десетична дроб.
Действия с обикновени дроби
Събиране и изваждане
Учениците ги опознават по-рано от останалите. И отначало дробите имат еднакви знаменатели, а след това различни. Общи правиламоже да се сведе до такъв план.
Намерете най-малкото общо кратно на знаменателите.
Напишете допълнителни множители към всички обикновени дроби.
Умножете числителите и знаменателите по факторите, дефинирани за тях.
Добавете (извадете) числителите на дробите и оставете общия знаменател непроменен.
Ако числителят на умаляваното е по-малък от изваждаемото, тогава трябва да разберете дали имаме смесено число или правилна дроб.
В първия случай целочислената част трябва да вземе единица. Добавете знаменател към числителя на дроб. И след това направете изваждането.
Във втория - е необходимо да се приложи правилото за изваждане от по-малко число към по-голямо. Тоест, извадете модула на умаляваното от модула на изважданото и поставете знака „-“ в отговор.
Погледнете внимателно резултата от събирането (изваждането). Ако получите неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част. Тоест, разделете числителя на знаменателя.
Умножение и деление
За тяхното прилагане не е необходимо дробите да се свеждат до общ знаменател. Това улеснява предприемането на действия. Но все пак трябва да спазват правилата.
Когато умножавате обикновени дроби, е необходимо да вземете предвид числата в числителите и знаменателите. Ако някой числител и знаменател имат общ множител, тогава те могат да бъдат намалени.
Умножете числителите.
Умножете знаменателите.
Ако получите редуцируема дроб, тогава тя трябва да бъде опростена отново.
Когато делите, първо трябва да замените делението с умножение, а делителя (втора дроб) с реципрочна (разменете числителя и знаменателя).
След това продължете както при умножението (започвайки от точка 1).
В задачи, в които трябва да умножите (делите) с цяло число, последното се предполага, че се записва като неправилна дроб. Тоест със знаменател 1. След това продължете както е описано по-горе.
Операции с десетични знаци
Събиране и изваждане
Разбира се, винаги можете да превърнете десетичната дроб в обикновена дроб. И действайте според вече описания план. Но понякога е по-удобно да се действа без този превод. Тогава правилата за тяхното събиране и изваждане ще бъдат абсолютно еднакви.
Изравнете броя на цифрите в дробната част на числото, тоест след десетичната запетая. Задайте липсващия брой нули в него.
Напишете дробите така, че запетаята да е под запетаята.
Добавяне (изваждане) като естествени числа.
Махнете запетаята.
Умножение и деление
Важно е, че не е необходимо да добавяте нули тук. Предполага се, че дробите се оставят така, както са дадени в примера. И след това вървете по план.
За умножение трябва да напишете дроби една под друга, без да обръщате внимание на запетаите.
Умножете като естествени числа.
Поставете запетая в отговора, като преброите от десния край на отговора толкова цифри, колкото са в дробните части на двата фактора.
За да разделите, първо трябва да преобразувате делителя: направете го естествено число. Тоест, умножете го по 10, 100 и т.н., в зависимост от това колко цифри има в дробната част на делителя.
Умножете дивидента по същото число.
Разделете десетичната запетая на естествено число.
Поставете запетая в отговора в момента, в който приключи разделянето на цялата част.
Ами ако в един пример има и двата вида дроби?
Да, в математиката често има примери, в които трябва да извършвате операции с обикновени и десетични дроби. Има две възможни решения на тези проблеми. Трябва обективно да претеглите числата и да изберете най-доброто.
Първи начин: представя обикновени десетични знаци
Подходящо е, ако при разделяне или преобразуване се получат крайни фракции. Ако поне едно число дава периодична част, тогава тази техника е забранена. Следователно, дори и да не обичате да работите с обикновени дроби, ще трябва да ги преброите.
Вторият начин: напишете десетичните дроби като обикновени
Тази техника е удобна, ако има 1-2 цифри в частта след десетичната запетая. Ако има повече от тях, може да се получи много голяма обикновена дроб и десетичните записи ще ви позволят да изчислите задачата по-бързо и по-лесно. Следователно винаги е необходимо трезво да се оцени задачата и да се избере най-простият метод за решение.
