≡× МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт 
• Дизайн интерьера
• Обо всём
• О сантехнике

Площадь ромба по высоте. Как найти площадь ромба

– это параллелограмм , у которого все стороны равны, то для него действуют все те же формулы, как и для параллелограмма, включая формулу нахождения площади через произведение высоты и стороны .

Площадь ромба можно найти, также зная его диагонали . Диагонали делят ромб на четыре абсолютно одинаковых прямоугольных треугольника . Если мы их рассортируем, так чтобы получить прямоугольник , то его длина и ширина будут равны одной целой диагонали и половине второй диагонали. Поэтому площадь ромба находится умножением диагоналей ромба, сокращенных на два (как площади получившегося прямоугольника).

Если в распоряжении только угол и сторона , то можно вооружиться диагональю в качестве помощника и начертить ее напротив известного угла. Тогда она разделит ромб на два конгруэнтных треугольника, площади которых в сумме дадут нам площадь ромба. Площадь каждого из треугольников будет равна половине произведения квадрата стороны на синус известного угла, как площадь равнобедренного треугольника . Поскольку таких треугольников два, то коэффициенты сокращаются, оставив только сторону во второй степени и синус:

Если внутри ромба вписать окружность , то его радиус будет относиться к стороне под углом 90° , что значит, что удвоенный радиус будет равен высоте ромба . Подставив вместо высоты h=2r в предыдущую формулу, получим площадь S=ha=2ra

Если же вместе с радиусом вписанной окружности, дана не сторона, а угол, то следует сначала найти сторону, проведя высоту таким образом, чтобы получить прямоугольный треугольник с заданным углом. Тогда сторона a может быть найдена из тригонометрических отношений по формуле . Подставляя это выражение в ту же стандартную формулу площади ромба, выходит

Ромб (с древнегреческого ῥόμβος и с латинского rombus «бубен») является параллелограммом, для которого характерно наличие одинаковых по длине сторон. В случае, когда углы составляют 90 градусов (или прямой угол), такую геометрическую фигуру называют квадратом. Ромб - геометрическая фигура, разновидность четырехугольников. Может быть и квадратом, и параллелограммом.

Происхождение данного термина

Поговорим немного об истории данной фигуры, что поможет немного раскрыть для себя загадочные тайны древнего мира. Привычное для нас слово, часто встречающееся в школьной литературе, «ромб», берет свое начало от древнегреческого слова «бубен». В Древней Греции эти музыкальные инструменты производились в форме ромба или квадрата (в отличие от современных приспособлений). Наверняка вы заметили, что карточная масть - бубна - обладает ромбической формой. Формирование этой масти восходит к тем временам, когда круглые бубны не использовались в обиходе. Следовательно, ромб - древнейшая историческая фигура, которая была изобретена человечеством задолго до появления колеса.

Впервые такое слово, как «ромб» было употреблено столь известными личностями, как Герон и Папа Александрийский.

Свойства ромба

1. Так как стороны ромба противолежат друг другу и являются попарно параллельными, то ромб, несомненно, параллелограмм (АВ || CD, AD || ВС).
2. Ромбические диагонали имеют пересечение под прямым углом (AC ⊥ BD), а, значит, перпендикулярны. Следовательно, пересечение делит диагонали пополам.
3. Биссектрисами ромбических углов являются диагонали ромба(∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
4. Из тождества параллелограммов следует, что сумма всех квадратов диагоналей ромба составляет число квадрата стороны, которое умножили на 4.

Признаки ромба

Ромб в тех случаях является параллелограммом, когда отвечает следующим условиям:

1. Все стороны параллелограмма равны.
2. Диагонали ромба пересекает прямой угол, то есть они перпендикулярны по отношению друг к другу (AC⊥BD). Это доказывает правило трех сторон (стороны равны и находятся под углом в 90 градусов).
3. Диагонали параллелограмма разделяют углы поровну, так как стороны являются равными.

Площадь ромба

1. Площадь ромба равна числу, которое является половиной произведения всех его диагоналей.
2. Так как ромб - это своеобразный параллелограмм, то площадь ромба (S) является числом произведения стороны параллелограмма на его высоту (h).
3. Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле, являющейся произведением возведенной в квадрат стороны ромба на синус угла. Синус угла - альфа - угол, находящийся между сторонами исходного ромба.
4. Вполне приемлемой для верного решения считается формула, которая является произведением удвоенного угла альфа и радиуса вписанной окружности (r).

– это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб с прямыми углами называется квадратом и считается частным случаем ромба. Найти площадь ромба можно различными способами, используя все его элементы – стороны, диагонали, высоту. Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту.

Пример расчета площади ромба по этой формуле очень прост. Необходимо только подставить данные и высчитать площадь.

Площадь ромба через диагонали

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

Формула площади ромба через диагонали представляет собой произведение его диагоналей, разделенное на 2.

Рассмотрим пример расчета площади ромба через диагонали. Пусть дан ромб с диагоналями
d1 =5 см и d2 =4. Найдем площадь.

Формула площади ромба через стороны подразумевает и применение других элементов. Если в ромб вписана окружность, то площадь фигуры можно просчитать по сторонам и ее радиусу:

Пример расчета площади ромба через стороны также весьма прост. Требуется только просчитать радиус вписанной окружности. Его можно вывести из теоремы Пифагора и по формуле .

Площади ромба через сторону и угол

Формула площади ромба через сторону и угол используется очень часто.

Рассмотрим пример расчета площади ромба через сторону и угол.

Задача: Дан ромб, диагонали которого равны d1 =4 см,d2 =6 см. Острый угол равен α = 30°. Найдите площадь фигуры через сторону и угол.
Для начала найдем сторону ромба. Используем для этого теорему Пифагора. Мы знаем, что в точке пересечения диагонали делятся пополам и образуют прямой угол. Следовательно:
Подставим значения:
Теперь мы знаем сторону и угол. Найдем площадь:

Несмотря на то, что математика – царица наук, а арифметика – царица математики, самую большую сложность в изучении у школьников вызывает геометрия. Планиметрия – раздел геометрии, который изучает плоские фигуры. Одной из таких фигур является ромб. Большинство задач по решению четырехугольников сводятся к нахождению их площадей. Систематизируем известные формулы и различные способы расчета площади ромба.

Ромб – это параллелограмм, все четыре стороны которого равны. Напомним, что у параллелограмма есть четыре угла и четыре попарно параллельные равные стороны. Как любой четырехугольник, ромб имеет ряд свойств, которые сводятся к следующим: при пересечении диагонали образуют угол, равный 90 градусов (AC ⊥ BD), точка пересечения делит каждую на два равных отрезка. Диагонали ромба также являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.). Отсюда следует, что они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Сумма длин диагоналей, возведенных во вторую степень, равна длине стороны во второй степени, умноженной на 4, т.е. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Существует множество методов, используемых в планиметрии для расчета площади ромба, применение которых зависит от исходных данных. Если известны длина стороны и любой угол, можно воспользоваться следующей формулой: площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла. Из курса тригонометрии известно, что sin (π – α) = sin α, а значит, в расчетах можно использовать синус любого угла – как острого, так и тупого. Частным случаем является ромб, у которого все углы прямые. Это квадрат. Известно, что синус прямого угла равен единице, поэтому площадь квадрата равна длине его стороны, возведенной во вторую степень.

Если величина сторон неизвестна, воспользуемся длиной диагоналей. В этом случае площадь ромба равна половине произведения большой и малой диагоналей.

При известной длине диагоналей и величине любого угла площадь ромба определяется двумя способами. Первый: площадь – это половина квадрата большей диагонали, умноженная на тангенс половины градусной меры острого угла, т.е. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), где D – большая диагональ, α – острый угол. Если вам известен размер меньшей диагонали, воспользуемся формулой 1/2*d 2 *tg(β/2), где d – меньшая диагональ, β – тупой угол. Напомним, что мера острого угла меньше 90 градусов (меры прямого угла), а тупой угол соответственно – больше 90 0 .

Площадь ромба можно отыскать, используя длину стороны (напомним, все стороны у ромба равны) и высоты. Высота – это перпендикуляр, опущенный на противоположную углу сторону или на ее продолжение. Чтобы основание высоты располагалось внутри ромба, ее следует опускать из тупого угла.

Иногда в задаче требуется отыскать площадь ромба, исходя из данных, относящихся к вписанной окружности. В этом случае необходимо знать ее радиус. Существуют две формулы, которыми можно воспользоваться для расчета. Итак, чтобы ответить на поставленный вопрос, можно удвоить произведение стороны ромба и радиуса вписанной окружности. Другими словами, необходимо умножить диаметр вписанной окружности на сторону ромба. Если в условии задачи представлена величина угла, то площадь находится через частное между квадратом радиуса, умноженном на четыре, и синусом угла.

Как видите, существует множество способов для нахождения площади ромба. Конечно, чтобы запомнить каждый из них, потребуется терпение, внимательность и, конечно же, время. Но в дальнейшем вы сможете легко выбрать метод, подходящий для вашей задачи, и убедитесь, что геометрия – это несложно.

Ромб - это частный случай параллелограмма. Он представляет собой плоскую четырехугольную фигуру, в которой все стороны равны. Данное свойство определяет то, что у ромбов параллельны противоположные стороны и равны противолежащие углы. Диагонали ромба пресекаются под прямым углом, точке их пересечения приходится на середину каждой диагонали, а углы из который они выходят делятся пополам. То есть они диагонали ромба являются биссектрисами углов. Исходя из приведенных определений и перечисленных свойств ромбов их площадь может быть определена различными способами.

1. Если известны обе диагонали ромба AC и BD, то площадь ромба может быть определена как половина произведения диагоналей.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

где AC, BD - длина диагоналей ромба.

Чтобы понять почему это так, можно мысленно вписать в ромб прямоугольник таким образом, чтобы стороны последнего были перпендикулярны диагоналям ромба. Становится очевидным, что площадь ромба будет равна половине площади вписанного данным образом в ромб прямоугольника, длина и ширина которого будут соответствовать величине диагоналей ромба.

2. По аналогии с параллелепипедом площадь ромба может быть на найдена как произведение его стороны, на высоту перпендикуляра с опущенного к данной стороне с противолежащей стороны.

S = а ∙ h

где а - сторона ромба;
h - высота перпендикуляра, опущенного на данную сторону.

3. Площадь ромба также равна квадрату его стороны, умноженному на синус угла α .

S = a 2 ∙ sinα

где, a - сторона ромба;
α - угол между сторонами.

4. Также площадь ромба может быть найдена через его сторону и радиус вписанной в него окружности.

S = 2 ∙ a ∙ r

где, a - сторона ромба;
r - радиус вписанной в ромб окружности.

Интересные факты
Слово ромб произошло от древнегреческого rombus, что в переводе означает «бубен». В те времена бубны действительно имели ромбовидную форму, а не круглую, как мы привыкли видеть их в настоящее время. С тех же времен произошло и название карточной масти «бубны». Очень широко ромбы различных видов используются в геральдике.