• Reparație
• Reparație 
• Design interior
• Despre tot
• Despre instalații sanitare

Suma și diferența de logaritmi sunt exemple. Logaritm natural, funcția ln x

Sunt date proprietățile de bază ale logaritmului natural, graficul, domeniul de definiție, mulțimea de valori, formulele de bază, derivata, integrala, extinderea seriei de puteri și reprezentarea funcției ln x folosind numere complexe.

Definiție

Logaritmul natural este funcția y = ln x, inversul exponențialului, x = e y, și este logaritmul la baza numărului e: ln x = log e x.

Logaritmul natural este utilizat pe scară largă în matematică, deoarece derivata sa are cea mai simplă formă: (ln x)′ = 1/ x.

Bazat definiții, baza logaritmului natural este numărul e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graficul funcției y = ln x.

Graficul logaritmului natural (funcțiile y = ln x) se obține din graficul exponențial prin reflexie în oglindă relativ la dreapta y = x.

Logaritmul natural este definit la valori pozitive variabila x. Ea crește monoton în domeniul său de definire.

La x → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul (-∞).

Ca x → + ∞, limita logaritmului natural este plus infinitul (+ ∞). Pentru x mare, logaritmul crește destul de lent. Orice funcție de putere x a cu exponent pozitiv a crește mai repede decât logaritmul.

Proprietățile logaritmului natural

Domeniu de definire, set de valori, extrema, crestere, scadere

Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului natural sunt prezentate în tabel.

ln x valori

ln 1 = 0

Formule de bază pentru logaritmi naturali

Formule care urmează din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Orice logaritm poate fi exprimat în termeni de logaritmi naturali folosind formula de substituție a bazei:

Dovezile acestor formule sunt prezentate în secțiunea „Logaritm”.

Funcție inversă

Inversa logaritmului natural este exponentul.

Daca atunci

Daca atunci.

Derivată ln x

Derivată a logaritmului natural:
.
Derivată a logaritmului natural al modulului x:
.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Formule derivate > > >

Integral

Integrala se calculează prin integrare pe părți:
.
Asa de,

Expresii folosind numere complexe

Luați în considerare funcția variabilei complexe z:
.
Să exprimăm variabila complexă z prin modul rși argument φ :
.
Folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. Daca pui
, unde n este un număr întreg,
va fi același număr pentru n diferit.

Prin urmare, logaritmul natural, în funcție de o variabilă complexă, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Când are loc extinderea:

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Cu toții suntem familiarizați cu ecuațiile clasele primare. Acolo am învățat și să rezolvăm cele mai simple exemple și trebuie să recunoaștem că își găsesc aplicația chiar și în matematică superioară. Totul este simplu cu ecuații, inclusiv ecuații pătratice. Dacă întâmpinați probleme cu acest subiect, vă recomandăm să îl revizuiți.

Probabil că ați trecut deja și prin logaritmi. Cu toate acestea, considerăm că este important să spunem ce este pentru cei care încă nu știu. Un logaritm este echivalat cu puterea la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul din dreapta semnului logaritmului. Să dăm un exemplu pe baza căruia totul îți va deveni clar.

Dacă ridicați 3 la a patra putere, obțineți 81. Acum înlocuiți numerele prin analogie și veți înțelege în sfârșit cum se rezolvă logaritmii. Acum nu mai rămâne decât să îmbinăm cele două concepte discutate. Inițial, situația pare extrem de complicată, dar la o examinare mai atentă greutatea se lasă la loc. Suntem siguri că după acest scurt articol nu veți avea probleme în această parte a examenului de stat unificat.

Astăzi există multe modalități de a rezolva astfel de structuri. Vă vom spune despre cele mai simple, mai eficiente și mai aplicabile în cazul sarcinilor de examinare unificată de stat. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice trebuie să înceapă de la bun început. exemplu simplu. Protozoare ecuații logaritmice consta dintr-o funcție și o variabilă în ea.

Este important de reținut că x este în interiorul argumentului. A și b trebuie să fie numere. În acest caz, puteți exprima pur și simplu funcția în termeni de număr la o putere. Arata cam asa.

Desigur, rezolvarea unei ecuații logaritmice folosind această metodă vă va conduce la răspunsul corect. Problema pentru marea majoritate a elevilor în acest caz este că nu înțeleg ce vine de unde. Ca urmare, trebuie să suporti greșeli și să nu obții punctele dorite. Cea mai ofensivă greșeală va fi dacă amesteci literele. Pentru a rezolva o ecuație în acest fel, trebuie să memorați acest standard formula școlară pentru că este greu de înțeles.

Pentru a fi mai ușor, puteți recurge la o altă metodă - forma canonică. Ideea este extrem de simplă. Întoarceți-vă atenția asupra problemei. Amintiți-vă că litera a este un număr, nu o funcție sau variabilă. A nu este egal cu unu și Peste zero. Nu există restricții cu privire la b. Acum, dintre toate formulele, să ne amintim una. B poate fi exprimat după cum urmează.

De aici rezultă că toate ecuațiile originale cu logaritmi pot fi reprezentate sub forma:

Acum putem renunța la logaritmi. Se va rezolva design simplu, pe care am văzut-o deja mai devreme.

Comoditatea acestei formule este că poate fi folosită cel mai mult cazuri diferite, și nu doar pentru cele mai simple modele.

Nu vă faceți griji pentru OOF!

Mulți matematicieni experimentați vor observa că nu am acordat atenție domeniului definiției. Regula se rezumă la faptul că F(x) este neapărat mai mare decât 0. Nu, nu am ratat acest punct. Acum vorbim despre un alt avantaj serios al formei canonice.

Nu vor fi rădăcini suplimentare aici. Dacă o variabilă va apărea doar într-un singur loc, atunci nu este necesar un domeniu. Se face automat. Pentru a verifica această judecată, încercați să rezolvați câteva exemple simple.

Cum se rezolvă ecuații logaritmice cu baze diferite

Acestea sunt deja ecuații logaritmice complexe, iar abordarea rezolvării lor trebuie să fie specială. Aici este rareori posibil să ne limităm la forma canonică notorie. Să începem povestea noastră detaliată. Avem următoarea construcție.

Atenție la fracție. Conține logaritmul. Dacă vedeți acest lucru într-o sarcină, merită să vă amintiți un truc interesant.

Ce înseamnă? Fiecare logaritm poate fi reprezentat ca câtul a doi logaritmi cu o bază convenabilă. Și această formulă are caz special, care este aplicabil cu acest exemplu (adică dacă c=b).

Aceasta este exact fracția pe care o vedem în exemplul nostru. Prin urmare.

În esență, am întors fracția și am obținut o expresie mai convenabilă. Amintiți-vă acest algoritm!

Acum avem nevoie ca ecuația logaritmică să nu conțină motive diferite. Să reprezentăm baza ca o fracție.

În matematică există o regulă pe baza căreia poți obține un grad dintr-o bază. Următoarele rezultate de construcție.

S-ar părea că ce ne împiedică să ne transformăm acum expresia în forma canonică și să o rezolvăm pur și simplu? Nu atât de simplu. Nu ar trebui să existe fracții înainte de logaritm. Să reparăm această situație! O fracție poate fi folosită ca grad.

Respectiv.

Dacă bazele sunt aceleași, putem elimina logaritmii și echivalăm expresiile în sine. Astfel situația va deveni mult mai simplă decât era. Ceea ce va rămâne este o ecuație elementară pe care fiecare dintre noi a știut să o rezolve încă din clasa a VIII-a sau chiar a VII-a. Puteți face singuri calculele.

Am obținut singura rădăcină corectă a acestei ecuații logaritmice. Exemplele de rezolvare a unei ecuații logaritmice sunt destul de simple, nu-i așa? Acum veți putea face față chiar și celor mai dificile probleme pe cont propriu. sarcini complexe pentru pregătirea și promovarea Examenului Unificat de Stat.

Care este rezultatul?

În cazul oricăror ecuații logaritmice, pornim de la una foarte regula importanta. Este necesar să se acționeze în așa fel încât să se aducă expresia la maximum vedere simplă. În acest caz, veți avea șanse mai mari nu numai să rezolvați sarcina corect, ci și să o faceți în cel mai simplu și logic mod posibil. Exact așa lucrează întotdeauna matematicienii.

Nu vă recomandăm insistent să căutați căi dificile, mai ales în acest caz. Ține minte câteva reguli simple, care vă va permite să transformați orice expresie. De exemplu, reduceți doi sau trei logaritmi la aceeași bază sau obțineți o putere din bază și câștigați pe aceasta.

De asemenea, merită să ne amintim că rezolvarea ecuațiilor logaritmice necesită o practică constantă. Treptat vei trece la tot mai multe structuri complexe, iar acest lucru vă va conduce la rezolvarea cu încredere a tuturor variantelor de probleme la examenul de stat unificat. Pregătiți-vă din timp pentru examene și mult succes!

Deci, avem puteri de doi. Dacă luați numărul din linia de jos, puteți găsi cu ușurință puterea la care va trebui să ridicați doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridici doi la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici doi la a șasea putere. Acest lucru se vede din tabel.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

Baza a logaritmului lui x este puterea la care trebuie ridicat a pentru a obține x.

Denumire: log a x = b, unde a este baza, x este argumentul, b este ceea ce este de fapt egal cu logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmul de bază 2 al lui 8 este trei deoarece 2 3 = 8). Cu același log de succes 2 64 = 6, deoarece 2 6 = 64.

Operația de găsire a logaritmului unui număr la o bază dată se numește logaritmizare. Deci, să adăugăm o nouă linie la tabelul nostru:

Din păcate, nu toți logaritmii se calculează atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți log 2 5 . Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul va fi undeva pe segment. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Astfel de numere se numesc iraționale: numerele de după virgulă pot fi scrise la infinit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să îl lăsați așa: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Este important să înțelegem că un logaritm este o expresie cu două variabile (baza și argumentul). La început, mulți oameni confundă unde este baza și unde este argumentul. A evita neînțelegeri enervante, uita-te doar la poza:

În fața noastră nu este nimic altceva decât definiția unui logaritm. Tine minte: logaritmul este o putere, în care trebuie construită baza pentru a obține un argument. Este baza care este ridicată la o putere - este evidențiată cu roșu în imagine. Se dovedește că baza este întotdeauna în jos! Le spun studenților mei această regulă minunată chiar de la prima lecție - și nu apare nicio confuzie.

Ne-am dat seama de definiție - tot ce rămâne este să învățăm cum să numărăm logaritmii, de exemplu. scapă de semnul „bușten”. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:

1. Argumentul și baza trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Aceasta rezultă din definiția gradului indicator rațional, la care se reduce definiția unui logaritm.
2. Baza trebuie să fie diferită de unul, deoarece unul în orice grad rămâne unul. Din această cauză, întrebarea „la ce putere trebuie ridicat cineva pentru a obține doi” este lipsită de sens. Nu există o astfel de diplomă!

Se numesc astfel de restricții regiune valori acceptabile (ODZ). Rezultă că ODZ a logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Rețineți că nu există restricții privind numărul b (valoarea logaritmului). De exemplu, logaritmul poate fi foarte negativ: log 2 0.5 = −1, deoarece 0,5 = 2 −1.

Totuși, acum luăm în considerare doar expresii numerice, unde nu este necesar să cunoaștem VA logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de către autorii problemelor. Dar atunci când ecuațiile și inegalitățile logaritmice intră în joc, cerințele DL vor deveni obligatorii. La urma urmei, baza și argumentul pot conține construcții foarte puternice care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.

Acum să luăm în considerare schema generala calcularea logaritmilor. Constă din trei etape:

1. Exprimați baza a și argumentul x ca o putere cu baza minimă posibilă mai mare decât unu. Pe parcurs, este mai bine să scapi de zecimale;
2. Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b ;
3. Numărul rezultat b va fi răspunsul.

Asta e tot! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acesta va fi vizibil deja în primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât unu este foarte importantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică foarte mult calculele. Acelasi cu zecimale: dacă le convertiți imediat în cele obișnuite, vor fi mult mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă folosind exemple specifice:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a lui cinci: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Să creăm și să rezolvăm ecuația:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Am primit răspunsul: 2.

Sarcină. Calculați logaritmul:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 4 64

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a doi: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Să creăm și să rezolvăm ecuația:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Am primit răspunsul: 3.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a doi: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Să creăm și să rezolvăm ecuația:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Am primit raspunsul: 0.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 7 14

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a lui șapte: 7 = 7 1 ; 14 nu poate fi reprezentat ca o putere a șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu contează;
3. Răspunsul este fără schimbare: log 7 14.

O mică notă despre ultimul exemplu. Cum poți fi sigur că un număr nu este o putere exactă a altui număr? Este foarte simplu - doar includeți-l în factori primi. Dacă expansiunea are cel puțin doi factori diferiți, numărul nu este o putere exactă.

Sarcină. Aflați dacă numerele sunt puteri exacte: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grad exact, deoarece există un singur multiplicator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nu este o putere exactă, întrucât există doi factori: 3 și 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grad exact;
35 = 7 · 5 - din nou nu este o putere exactă;
14 = 7 · 2 - din nou nu este un grad exact;

De asemenea, observăm că noi înșine numere prime sunt întotdeauna grade exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unii logaritmi sunt atât de comune încât au un nume și un simbol special.

Logaritmul zecimal al lui x este logaritmul la baza 10, adică. Puterea la care trebuie ridicat numărul 10 pentru a obține numărul x. Denumire: lg x.

De exemplu, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

De acum înainte, când o expresie precum „Găsiți lg 0.01” apare într-un manual, știți: aceasta nu este o greșeală de tipar. Acesta este un logaritm zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți familiarizat cu această notație, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru logaritmii zecimali.

Logaritmul natural

Există un alt logaritm care are propria sa denumire. În unele privințe, este chiar mai important decât zecimală. Este despre despre logaritmul natural.

Logaritmul natural al lui x este logaritmul la baza e, i.e. puterea la care trebuie ridicat numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: ln x .

Mulți se vor întreba: care este numărul e? Acesta este un număr irațional, al lui valoare exacta imposibil de găsit și înregistrat. Voi da doar primele cifre:
e = 2,718281828459...

Nu vom intra în detaliu despre ce este acest număr și de ce este necesar. Nu uitați doar că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x

Astfel ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui număr rațional este irațional. Cu excepția, desigur, a unuia: ln 1 = 0.

Pentru logaritmi naturali toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți sunt valabile.

Sa incepem cu proprietățile logaritmului unu. Formularea sa este următoarea: logaritmul unității egal cu zero, acesta este, log a 1=0 pentru orice a>0, a≠1. Demonstrarea nu este dificilă: întrucât a 0 =1 pentru orice a care îndeplinește condițiile de mai sus a>0 și a≠1, atunci egalitatea log a 1=0 de demonstrat rezultă imediat din definiția logaritmului.

Să dăm exemple de aplicare a proprietății considerate: log 3 1=0, log1=0 și .

Să trecem la următoarea proprietate: logaritmul unui număr egal cu baza egal cu unu , acesta este, log a a=1 pentru a>0, a≠1. Într-adevăr, deoarece a 1 =a pentru orice a, atunci prin definiția logaritmului log a a=1.

Exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor sunt egalitățile log 5 5=1, log 5.6 5.6 și lne=1.

De exemplu, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 și .

Logaritmul produsului a două numere pozitive x și y egal cu produsul logaritmii acestor numere: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Să demonstrăm proprietatea logaritmului unui produs. Datorită proprietăților gradului a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, și deoarece prin identitatea logaritmică principală un log a x =x și un log a y =y, atunci un log a x ·a log a y =x·y. Astfel, un log a x+log a y =x·y, din care, prin definirea unui logaritm, rezultă egalitatea care se dovedește.

Să arătăm exemple de utilizare a proprietății logaritmului unui produs: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 și .

Proprietatea logaritmului unui produs poate fi generalizată la produsul unui număr finit n de numere pozitive x 1 , x 2 , …, x n ca log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Această egalitate poate fi dovedită fără probleme.

De exemplu, logaritmul natural al produsului poate fi înlocuit cu suma a trei logaritmi naturali ai numerelor 4, e și.

Logaritmul câtului a două numere pozitive x și y este egal cu diferența dintre logaritmii acestor numere. Proprietatea logaritmului unui coeficient corespunde unei formule de forma , unde a>0, a≠1, x și y sunt niște numere pozitive. Valabilitatea acestei formule este dovedită la fel ca și formula pentru logaritmul unui produs: din moment ce , apoi prin definiția unui logaritm.

Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți a logaritmului: .

Să trecem la proprietatea logaritmului puterii. Logaritmul unui grad este egal cu produsul exponentului și logaritmul modulului bazei acestui grad. Să scriem această proprietate a logaritmului unei puteri ca formulă: log a b p =p·log a |b|, unde a>0, a≠1, b și p sunt numere astfel încât gradul b p are sens și b p >0.

Mai întâi demonstrăm această proprietate pentru pozitivul b. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca un log a b , apoi b p =(a log a b) p , iar expresia rezultată, datorită proprietății puterii, este egală cu a p·log a b . Ajungem deci la egalitatea b p =a p·log a b, din care, prin definiția unui logaritm, concluzionăm că log a b p =p·log a b.

Rămâne de demonstrat această proprietate pentru negativul b. Aici observăm că expresia log a b p pentru negativ b are sens doar pentru exponenții pari p (deoarece valoarea gradului b p trebuie să fie mai mare decât zero, altfel logaritmul nu va avea sens), iar în acest caz b p =|b| p. Apoi b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, de unde log a b p =p·log a |b| .

De exemplu, și ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Rezultă din proprietatea anterioară proprietatea logaritmului de la rădăcină: logaritmul rădăcinii a n-a este egal cu produsul fracției 1/n cu logaritmul expresiei radicalului, adică , unde a>0, a≠1, n – numar natural, mai mare de unu, b>0.

Dovada se bazează pe egalitatea (vezi), care este valabilă pentru orice b pozitiv și pe proprietatea logaritmului puterii: .

Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: .

Acum să demonstrăm formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică tip . Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrăm validitatea egalității log c b=log a b·log c a. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca log a b , apoi log c b=log c a log a b . Rămâne să folosiți proprietatea logaritmului gradului: log c a log a b =log a b log c a. Aceasta dovedește egalitatea log c b=log a b·log c a, ceea ce înseamnă că a fost demonstrată și formula pentru tranziția la o nouă bază a logaritmului.

Să arătăm câteva exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor: și .

Formula pentru trecerea la o nouă bază vă permite să treceți la lucrul cu logaritmi care au o bază „convenabilă”. De exemplu, poate fi folosit pentru a merge la logaritmi naturali sau zecimali, astfel încât să puteți calcula valoarea unui logaritm dintr-un tabel de logaritmi. Formula de trecere la o nouă bază logaritmică permite, în unele cazuri, să se găsească valoarea unui logaritm dat atunci când sunt cunoscute valorile unor logaritmi cu alte baze.

Un caz special al formulei de tranziție la o nouă bază logaritmică pentru c=b a formei este adesea folosit . Aceasta arată că log a b și log b a – . De exemplu, .

Formula este de asemenea folosită des , care este convenabil pentru găsirea valorilor logaritmice. Pentru a confirma cuvintele noastre, vom arăta cum poate fi folosit pentru a calcula valoarea unui logaritm de forma . Avem . Pentru a demonstra formula este suficient să folosiți formula pentru tranziția la o nouă bază a logaritmului a: .

Rămâne de demonstrat proprietățile comparației logaritmilor.

Să demonstrăm că pentru orice numere pozitive b 1 și b 2, b 1 log a b 2 , iar pentru a>1 – inegalitatea log a b 1

În cele din urmă, rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale logaritmilor. Să ne limităm la demonstrarea primei sale părți, adică vom demonstra că dacă a 1 >1, a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b>log a 2 b . Enunțurile rămase ale acestei proprietăți a logaritmilor sunt dovedite după un principiu similar.

Să folosim metoda opusă. Să presupunem că pentru a 1 >1, a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b≤log a 2 b . Pe baza proprietăților logaritmilor, aceste inegalități pot fi rescrise ca Și respectiv, iar din ele rezultă că log b a 1 ≤log b a 2 și, respectiv, log b a 1 ≥log b a 2. Atunci, după proprietățile puterilor cu aceleași baze, trebuie să fie valabile egalitățile b log b a 1 ≥b log b a 2 și b log b a 1 ≥b log b a 2, adică a 1 ≥a 2 . Deci am ajuns la o contradicție cu condiția a 1

Bibliografie.