Как да докажем, че една геометрична прогресия е безкрайно намаляваща. Бъдете винаги в настроение
Геометрична прогресия- Това числова последователност, чийто първи член е различен от нула и всеки следващ член е равен на предходния член, умножен по същото не равен на нуланомер.
Понятие за геометрична прогресия
Геометричната прогресия се обозначава с b1,b2,b3, …, bn, ….
Съотношението на който и да е член на геометричната грешка към предишния му член е равно на същото число, тоест b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. Това следва пряко от определението за аритметична прогресия. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия. Обикновено знаменателят на геометричната прогресия се обозначава с буквата q.
Сумата от безкрайна геометрична прогресия за |q|<1
Един от начините за уточняване на геометрична прогресия е да се уточни нейният първи член b1 и знаменателят на геометричната грешка q. Например b1=4, q=-2. Тези две условия определят геометричната прогресия 4, -8, 16, -32, ….
Ако q>0 (q не е равно на 1), тогава прогресията е монотонна последователност. Например последователността 2, 4,8,16,32, ... е монотонно нарастваща последователност (b1=2, q=2).
Ако знаменателят в геометричната грешка е q=1, тогава всички членове на геометричната прогресия ще бъдат равни един на друг. В такива случаи се казва, че прогресията е постоянна последователност.
За да бъде числова редица (bn) геометрична прогресия, е необходимо всеки от нейните членове, започвайки от втория, да е средно геометрично на съседни членове. Тоест, необходимо е да се изпълни следното уравнение
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), за всяко n>0, където n принадлежи към набора от естествени числа N.
Сега нека поставим (Xn) - геометрична прогресия. Знаменателят на геометричната прогресия q и |q|∞).
Ако сега означим с S сумата от безкрайна геометрична прогресия, тогава ще се приложи следната формула:
S=x1/(1-q).
Нека да разгледаме един прост пример:
Намерете сумата от безкрайната геометрична прогресия 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….
За да намерим S, използваме формулата за сумата на безкрайна аритметична прогресия. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия, т.е. всеки член се различава от предходния с q пъти. (Ще приемем, че q ≠ 1, иначе всичко е твърде тривиално). Не е трудно да се види това обща формула n-ти член на геометричната прогресия b n = b 1 q n – 1 ; членове с числа b n и b m се различават с q n – m пъти.вече в Древен Египетпознаваше не само аритметиката, но и геометричната прогресия. Ето например една задача от папируса на Ринд: „Седем лица имат седем котки; Всяка котка изяжда седем мишки, всяка мишка изяжда седем класа царевица и от всеки клас ечемик могат да растат седем мери ечемик. Колко големи са числата в тази серия и тяхната сума?
 |
|
Ориз. 1. Задача на древноегипетската геометрична прогресия |
Тази задача много пъти различни вариациисе повтаря сред други народи в други времена. Например, в писмена през 13 век. „Книгата на абака“ от Леонардо от Пиза (Фибоначи) има проблем, в който 7 стари жени се появяват на път за Рим (очевидно поклонници), всяка от които има 7 мулета, всяко от които има 7 чанти, всяка от които съдържа 7 хляба, всеки от които има 7 ножа, всеки от които има 7 ножници. Проблемът пита колко обекта има.
Сумата от първите n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Тази формула може да бъде доказана например по следния начин: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Добавете числото b 1 q n към S n и получете:
|
От тук S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) и получаваме необходимата формула.
Вече върху една от глинените плочки на Древен Вавилон, датираща от 6 век. пр.н.е д., съдържа сумата 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Вярно, както и в редица други случаи, ние не знаем как този факт е бил известен на вавилонците .
Бързото нарастване на геометричната прогресия в редица култури, по-специално в индийската, многократно се използва като визуален символ на необятността на Вселената. В известната легенда за появата на шаха владетелят дава възможност на изобретателя му сам да избере наградата и пита за броя на пшеничните зърна, които ще се получат, ако едно се постави на първото поле на шахматната дъска, две на второто, четири на третото, осем на четвъртото и т.н., всеки път, когато числото се удвоява. Владика мислеше така ние говорим за, най-много около няколко торби, но той сгреши. Лесно е да се види, че за всички 64 квадрата на шахматната дъска изобретателят би трябвало да получи (2 64 - 1) зърна, което се изразява като 20-цифрено число; дори и цялата повърхност на Земята да бъде засята, ще са необходими поне 8 години, за да се събере необходимото количество зърна. Тази легенда понякога се тълкува като показваща практически неограничените възможности, скрити в играта на шах.
Лесно се вижда, че това число наистина е 20-цифрено:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (по-точно изчисление дава 1,84∙10 19). Но се чудя дали можете да разберете с коя цифра завършва това число?
Геометричната прогресия може да бъде нарастваща, ако знаменателят е по-голям от 1, или намаляваща, ако е по-малък от едно. IN последният случайчислото q n за достатъчно голямо n може да стане произволно малко. Докато нарастващата геометрична прогресия се увеличава неочаквано бързо, намаляващата геометрична прогресия намалява също толкова бързо.
Колкото по-голямо е n, толкова по-слабо числото q n се различава от нула и колкото по-близо е сумата от n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) до числото S = b 1 / ( 1 – р). (Например Ф. Виет разсъждава по този начин). Числото S се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Въпреки това, в продължение на много векове въпросът какъв е смисълът от сумирането на ЦЯЛАТА геометрична прогресия, с нейния безкраен брой членове, не беше достатъчно ясен за математиците.
Намаляваща геометрична прогресия може да се види например в апориите на Зенон „Половин деление“ и „Ахил и костенурката“. В първия случай е ясно показано, че целият път (приемайки дължина 1) е сбор от безкраен брой сегменти 1/2, 1/4, 1/8 и т.н. Това, разбира се, е случаят от гледната точка на идеите за крайна сума безкрайна геометрична прогресия. И все пак - как е възможно това?
|
Ориз. 2. Прогресия с коефициент 1/2 |
В апорията за Ахил ситуацията е малко по-сложна, защото тук знаменателят на прогресията не е 1/2, а някакво друго число. Нека например Ахил тича със скорост v, костенурката се движи със скорост u, а началното разстояние между тях е l. Ахил ще измине това разстояние за време l/v, а през това време костенурката ще измине разстояние lu/v. Когато Ахил пробяга този сегмент, разстоянието между него и костенурката ще стане равно на l (u /v) 2 и т.н. Оказва се, че настигането на костенурката означава намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първия член l и знаменателят u /v. Тази сума - отсечката, която Ахил в крайна сметка ще пробяга до мястото на срещата с костенурката - е равна на l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Но отново, как трябва да се тълкува този резултат и защо изобщо има смисъл? за дълго времене беше много ясно.
|
Ориз. 3. Геометрична прогресия с коефициент 2/3 |
Архимед използва сумата от геометрична прогресия, за да определи площта на сегмент от парабола. Нека този сегмент от параболата е ограничен от хордата AB и нека допирателната в точка D на параболата е успоредна на AB. Нека C е средата на AB, E е средата на AC, F е средата на CB. Нека начертаем прави, успоредни на DC през точки A, E, F, B; Нека допирателната, начертана в точка D, пресича тези прави в точки K, L, M, N. Нека начертаем и сегменти AD и DB. Нека правата EL пресича правата AD в точка G и параболата в точка H; правата FM пресича правата DB в точка Q и параболата в точка R. Според обща теорияконични сечения, DC – диаметър на параболата (т.е. сегмент, успореден на нейната ос); тя и допирателната в точка D могат да служат като координатни оси x и y, в които уравнението на параболата се записва като y 2 = 2px (x е разстоянието от D до всяка точка с даден диаметър, y е дължината на сегмент, успореден на дадена допирателна от тази точка на диаметъра до някаква точка на самата парабола).
По силата на уравнението на параболата DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA и тъй като DK = 2DL, тогава KA = 4LH. Тъй като KA = 2LG, LH = HG. Площта на сегмента ADB на парабола е равна на площта на триъгълника ΔADB и площите на сегментите AHD и DRB взети заедно. От своя страна, площта на сегмента AHD е равна на площта на триъгълника AHD и останалите сегменти AH и HD, с всеки от които можете да извършите една и съща операция - разделяне на триъгълник (Δ) и двата останали сегмента () и т.н.:
Площта на триъгълника ΔAHD е равна на половината от площта на триъгълника ΔALD (те имат обща основа AD, а височините се различават 2 пъти), което от своя страна е равно на половината от площта на триъгълника ΔAKD и следователно половината от площта на триъгълника ΔACD. Така площта на триъгълника ΔAHD е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔACD. По същия начин площта на триъгълника ΔDRB е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔDFB. И така, площите на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно, са равни на една четвърт от площта на триъгълника ΔADB. Повтарянето на тази операция, когато се прилага към сегменти AH, HD, DR и RB, ще избере триъгълници от тях, чиято площ, взети заедно, ще бъде 4 пъти по-малка от площта на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно, и следователно 16 пъти по-малко от площта на триъгълника ΔADB. И така нататък:
Така Архимед доказва, че „всеки сегмент, съдържащ се между права линия и парабола, съставлява четири трети от триъгълник с еднаква основа и еднаква височина“.
Ако всички естествено число н съответства на реално число a n , тогава казват, че се дава числова последователност :
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .
И така, числовата последователност е функция на естествения аргумент.
Номер а 1 Наречен първия член на последователността , номер а 2 — вторият член на последователността , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n Наречен n-ти членпоследователности , и естествено число н — номера му .
От два съседни члена a n И a n +1 член на последователността a n +1 Наречен последващи (към a n ), А a n — предишен (към a n +1 ).
За да дефинирате последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователността с произволен номер.
Често последователността се определя с помощта на n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.
Например,
последователност от положителни нечетни числа може да бъде дадена чрез формулата
a n= 2н- 1,
и последователността на редуване 1 И -1 - формула
bн = (-1)н +1 . ◄
Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява който и да е член на последователността, започвайки с някои, през предишните (един или повече) членове.
Например,
Ако а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5
а 1 = 1,
а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност се установяват, както следва:
а 1 = 1,
а 2 = 1,
а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,
а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,
а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,
а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,
а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Последователностите могат да бъдат финал И безкраен .
Последователността се нарича крайна , ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен , ако има безкрайно много членове.
Например,
поредица от двуцифрени естествени числа:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
финал.
Последователност от прости числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
безкраен. ◄
Последователността се нарича повишаване на , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.
Последователността се нарича намаляващи , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.
Например,
2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . — нарастваща последователност;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . — намаляваща последователност. ◄
Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .
Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.
Аритметична прогресия
Аритметична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .
е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:
a n +1 = a n + д,
Където д - определено число.
По този начин разликата между следващите и предходните членове на дадена аритметична прогресия е винаги постоянна:
а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.
Номер д Наречен разлика в аритметичната прогресия.
За да се дефинира аритметична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и разлика.
Например,
Ако а 1 = 3, д = 4 , тогава намираме първите пет члена на последователността, както следва:
а 1 =3,
а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,
а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,
а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,
а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄
За аритметична прогресия с първия член а 1 и разликата д нея н
a n = а 1 + (н- 1)д.
Например,
намерете тридесетия член на аритметичната прогресия
1, 4, 7, 10, . . .
а 1 =1, д = 3,
а 30 = а 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = а 1 + (н- 2)д,
a n= а 1 + (н- 1)д,
a n +1 = а 1 + nd,
тогава очевидно
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.
числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.
Например,
a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.
Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:
a n = 2н- 7,
a n-1 = 2(н- 1) - 7 = 2н- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2н- 5.
следователно
| a n+1 + a n-1
| =
| 2н- 5 + 2н- 9
| = 2н- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Забележи, че н Членът на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k
a n = a k + (н- к)д.
Например,
За а 5 може да се запише
а 5 = а 1 + 4д,
а 5 = а 2 + 3д,
а 5 = а 3 + 2д,
а 5 = а 4 + д. ◄
a n = един н-к + kd,
a n = a n+k - kd,
тогава очевидно
| a n=
| а н-к
+a n+k
|
| 2
|
всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на еднакво разположените членове на тази аритметична прогресия.
В допълнение, за всяка аритметична прогресия е валидно следното равенство:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Например,
в аритметична прогресия
1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;
2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото
а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,
първи н членове на аритметична прогресия е равно на произведението на половината от сумата на екстремните членове и броя на членовете:
От тук по-специално следва, че ако трябва да сумирате условията
a k, a k +1 , . . . , a n,
тогава предишната формула запазва своята структура:
Например,
в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, д, нИС н свързани с две формули:
Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.
Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:
- Ако д > 0 , след това се увеличава;
- Ако д < 0 , тогава намалява;
- Ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.
Геометрична прогресия
Геометрична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:
b n +1 = b n · р,
Където р ≠ 0 - определено число.
Така съотношението на следващия член на дадена геометрична прогресия към предходния е постоянно число:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.
Номер р Наречен знаменател на геометричната прогресия.
За да се определи геометрична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и знаменател.
Например,
Ако b 1 = 1, р = -3 , тогава намираме първите пет члена на последователността, както следва:
b 1 = 1,
б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,
б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,
b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 и знаменател р нея н Терминът може да се намери с помощта на формулата:
b n = b 1 · qn -1 .
Например,
намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, р = 2,
b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · qn -2 ,
b n = b 1 · qn -1 ,
b n +1 = b 1 · qn,
тогава очевидно
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.
Тъй като обратното също е вярно, следва следното твърдение:
числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях равно на произведениетодругите две, тоест едно от числата е средно геометрично на другите две.
Например,
Нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 н , е геометрична прогресия. Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:
b n= -3 2 н,
b n -1 = -3 2 н -1 ,
b n +1 = -3 2 н +1 .
следователно
b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) · (-3 · 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
което доказва желаното твърдение. ◄
Забележи, че н Членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен член b k , за което е достатъчно да използвате формулата
b n = b k · qn - к.
Например,
За b 5 може да се запише
б 5 = b 1 · р 4 ,
б 5 = б 2 · р 3,
б 5 = б 3 · р 2,
б 5 = b 4 · р. ◄
b n = b k · qn - к,
b n = b n - к · q k,
тогава очевидно
b n 2 = b n - к· b n + к
квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.
Освен това за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:
b m· b n= b k· b l,
м+ н= к+ л.
Например,
в геометрична прогресия
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
първи н членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:
И когато р = 1 - по формулата
S n= nb 1
Имайте предвид, че ако трябва да сумирате условията
b k, b k +1 , . . . , b n,
тогава се използва формулата:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - qn -
к +1
| . |
| 1 - р
|
Например,
в геометрична прогресия 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, нИ S n свързани с две формули:
Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.
За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :
- прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:
b 1 > 0 И р> 1;
b 1 < 0 И 0 < р< 1;
- Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:
b 1 > 0 И 0 < р< 1;
b 1 < 0 И р> 1.
Ако р< 0 , то геометричната прогресия се редува: нейните членове с нечетни числа имат същия знак като първия й член, а членовете с четни числа имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.
Продукт на първия н членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:
Пн= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) н / 2 .
Например,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия наречена безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък 1 , това е
|р| < 1 .
Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Подходящ е за случая
1 < р< 0 .
При такъв знаменател последователността е променлива. Например,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, към което сумата от първите се приближава неограничено н членове на прогресия с неограничено увеличение на броя н . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата
| С= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - р
|
Например,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Връзка между аритметична и геометрична прогресии
Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека да разгледаме само два примера.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . д , Че
б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .
Например,
1, 3, 5, . . . - аритметична прогресия с разлика 2 И
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресия със знаменател р , Че
дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . - аритметична прогресия с разлика дневник aр .
Например,
2, 12, 72, . . . - геометрична прогресия със знаменател 6 И
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄
Математиката е каквохората контролират природата и себе си.
Съветският математик, академик А.Н. Колмогоров
Геометрична прогресия.
Наред със задачите върху аритметичните прогресии, задачите, свързани с понятието геометрична прогресия, също са често срещани при приемните изпити по математика. За да разрешите успешно такива задачи, трябва да знаете свойствата на геометричните прогресии и да имате добри умения да ги използвате.
Тази статия е посветена на представянето на основните свойства на геометричната прогресия. Тук са дадени и примери за решаване на типични проблеми., заимствани от задачите на приемните изпити по математика.
Нека първо да отбележим основните свойства на геометричната прогресия и да си припомним най-много важни формулии изявления, свързани с това понятие.
Определение.Числовата редица се нарича геометрична прогресия, ако всяко число, започвайки от второто, е равно на предишното, умножено по същото число. Числото се нарича знаменател на геометрична прогресия.
За геометричната прогресияформулите са валидни
, (1)
Където . Формула (1) се нарича формула на общия член на геометрична прогресия, а формула (2) представлява основното свойство на геометрична прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средното геометрично на съседните му членове и .
Забележка, че именно поради това свойство въпросната прогресия се нарича „геометрична“.
Горните формули (1) и (2) са обобщени, както следва:
, (3)
За изчисляване на суматапърви членове на геометрична прогресиясе прилага формулата
Ако означим , тогава
Където . Тъй като , формула (6) е обобщение на формула (5).
В случай, когато и геометрична прогресиябезкрайно намалява. За изчисляване на суматана всички членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия се използва формулата
. (7)
Например , използвайки формула (7), можем да покажем, Какво
Където . Тези равенства се получават от формула (7) при условие, че , (първо равенство) и , (второ равенство).
Теорема.Ако, тогава
Доказателство. Ако, тогава
Теоремата е доказана.
Нека да преминем към разглеждане на примери за решаване на задачи по темата „Геометрична прогресия“.
Пример 1.Дадено е: , и . Намирам .
Решение.Ако приложим формула (5), тогава
Отговор: .
Пример 2.Нека бъде. Намирам .
Решение.Тъй като и , използваме формули (5), (6) и получаваме система от уравнения
Ако второто уравнение на системата (9) се раздели на първото, тогава или . От това следва, че . Нека разгледаме два случая.
1. Ако, тогава от първото уравнение на системата (9) имаме.
2. Ако , то .
Пример 3.Нека и . Намирам .
Решение.От формула (2) следва, че или . Тъй като , тогава или .
По условие. Въпреки това, следователно. Тъй като и тогава тук имаме система от уравнения
Ако второто уравнение на системата се раздели на първото, тогава или .
Тъй като уравнението има уникален подходящ корен. В този случай това следва от първото уравнение на системата.
Като вземем предвид формула (7), получаваме.
Отговор: .
Пример 4.Дадено: и . Намирам .
Решение.От тогава.
Тъй като , тогава или
Съгласно формула (2) имаме . В тази връзка от равенството (10) получаваме или .
Въпреки това, по условие, следователно.
Пример 5.Известно е, че. Намирам .
Решение. Според теоремата имаме две равенства
Тъй като , тогава или . Защото тогава.
Отговор: .
Пример 6.Дадено: и . Намирам .
Решение.Като вземем предвид формула (5), получаваме
От тогава. Тъй като , и , тогава .
Пример 7.Нека бъде. Намирам .
Решение.Според формула (1) можем да запишем
Следователно имаме или . Известно е, че и , следователно и .
Отговор: .
Пример 8.Намерете знаменателя на безкрайна намаляваща геометрична прогресия, ако
И .
Решение. От формула (7) следваИ . От тук и от условията на задачата получаваме система от уравнения
Ако първото уравнение на системата е повдигнато на квадрат, и след това разделете полученото уравнение на второто уравнение, тогава получаваме
Или .
Отговор: .
Пример 9.Намерете всички стойности, за които последователността , , е геометрична прогресия.
Решение.Нека и . Съгласно формула (2), която определя основното свойство на геометрична прогресия, можем да напишем или .
От тук получаваме квадратното уравнение, чиито корени саИ .
Да проверим: дали, тогава и ; ако , тогава и .
В първия случай имамеи , а във втория – и .
Отговор: , .
Пример 10.Решете уравнението
, (11)
където и .
Решение. Лява странауравнение (11) е сумата от безкрайна намаляваща геометрична прогресия, в която и , предмет на: и .
От формула (7) следва, Какво . В тази връзка уравнение (11) приема форматаили . Подходящ корен квадратно уравнениее
Отговор: .
Пример 11.П последователност от положителни числаобразува аритметична прогресия, А – геометрична прогресия, какво общо има с . Намирам .
Решение.защото аритметична редица, Че (основното свойство на аритметичната прогресия). Тъй като, тогава или . Това предполага , че геометричната прогресия има формата. Според формула (2), тогава записваме това.
Тъй като и , тогава . В този случай изразътприема формата или . По условие, така че от ур.получаваме единствено решениеразглеждан проблем, т.е. .
Отговор: .
Пример 12.Изчислете сумата
. (12)
Решение. Умножете двете страни на равенството (12) по 5 и получете
Ако извадим (12) от получения израз, Че
или .
За да изчислим, заместваме стойностите във формула (7) и получаваме. От тогава.
Отговор: .
Дадените тук примери за решаване на задачи ще бъдат полезни на кандидатите при подготовката им за приемни изпити. За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на проблеми, свързани с геометричната прогресия, може да се използва учебни помагалаот списъка с препоръчителна литература.
1. Колекция от задачи по математика за кандидати за колежи / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. – 216 с.
3. Медински М.М. Пълен курселементарна математика в задачи и упражнения. Книга 2: Числови последователности и прогресии. – М.: Едитус, 2015. – 208 с.
Все още имате въпроси?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Първо ниво
Геометрична прогресия. Изчерпателно ръководствос примери (2019)
Числова последователност
И така, нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например:
Можете да пишете всякакви числа и може да има колкото искате (в нашия случай ги има). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:
Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.
Например за нашата последователност:
Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като числото th) винаги е едно и също.
Числото с числото се нарича n-ти член на редицата.
Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .
В нашия случай:
Най-често срещаните видове прогресия са аритметична и геометрична. В тази тема ще говорим за втория вид - геометрична прогресия.
Защо е необходима геометричната прогресия и нейната история?
Още в древни времена италианският математик монах Леонардо от Пиза (по-известен като Фибоначи) се е занимавал с практическите нужди на търговията. Монахът беше изправен пред задачата да определи какъв е най-малкият брой тежести, които могат да се използват за претегляне на продукт? В своите трудове Фибоначи доказва, че такава система от тежести е оптимална: Това е една от първите ситуации, в които хората трябваше да се справят с геометрична прогресия, за която вероятно вече сте чували и имате поне обща концепция. След като разберете напълно темата, помислете защо такава система е оптимална?
В момента в житейската практика геометричната прогресия се проявява при инвестиране на пари в банка, когато размерът на лихвата се начислява върху сумата, натрупана в сметката за предходния период. С други думи, ако вложите пари в срочен депозит в спестовна каса, след една година вноската ще се увеличи с от първоначалната сума, т.е. новата сума ще бъде равна на вноската, умножена по. След друга година тази сума ще се увеличи с, т.е. сумата, получена по това време, отново ще бъде умножена по и т.н. Подобна ситуация е описана в задачи за изчисляване на т.нар сложна лихва- процентът се взема всеки път от сумата, която е в сметката, като се вземат предвид предишни лихви. Ще говорим за тези задачи малко по-късно.
Има много по-прости случаи, в които се прилага геометрична прогресия. Например разпространението на грип: един човек зарази друг човек, те от своя страна заразиха друг човек и по този начин втората вълна на заразата е човек, а той от своя страна зарази друг... и така нататък. .
Между другото, финансовата пирамида, същата МММ, е просто и сухо изчисление, основано на свойствата на геометричната прогресия. Интересно? Нека да го разберем.
Геометрична прогресия.
Да кажем, че имаме числова последователност:
Веднага ще отговорите, че това е лесно и името на такава редица е аритметична прогресия с разликата на нейните членове. Какво ще кажете за това:
Ако извадите предишното от следващото число, ще видите, че всеки път получавате нова разлика (и така нататък), но последователността определено съществува и се забелязва лесно - всяко следващо число е в пъти по-голямо от предишното!
Този тип числова последователност се нарича геометрична прогресияи е обозначен.
Геометричната прогресия () е числова последователност, чийто първи член е различен от нула и всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.
Ограниченията, че първият член ( ) не е равен и не са случайни. Нека приемем, че няма такива и първият член все още е равен и q е равно на, хм.. нека бъде, тогава се оказва:
Съгласете се, че това вече не е прогресия.
Както разбирате, ще получим същите резултати, ако има число, различно от нула, a. В тези случаи просто няма да има прогресия, тъй като цялата редица от числа ще бъде или изцяло нули, или едно число, а всички останали ще бъдат нули.
Сега нека поговорим по-подробно за знаменателя на геометричната прогресия, тоест o.
Нека повторим: - това е числото колко пъти се променя всеки следващ термин?геометрична прогресия.
Какво мислите, че може да бъде? Точно така, положително и отрицателно, но не нула (говорихме за това малко по-горе).
Да приемем, че нашата е положителна. Нека в нашия случай, a. Каква е стойността на втория член и? Можете лесно да отговорите на това:
Това е вярно. Съответно, ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни.
Ами ако е отрицателен? Например, a. Каква е стойността на втория член и?
Това е съвсем друга история
Опитайте се да преброите условията на тази прогресия. Колко получихте? Аз имам. Така ако, тогава знаците на членовете на геометричната прогресия се редуват. Тоест, ако видите прогресия с редуващи се знаци за нейните членове, тогава нейният знаменател е отрицателен. Това знание може да ви помогне да се тествате, когато решавате задачи по тази тема.
Сега нека се упражняваме малко: опитайте се да определите кои числови последователности са геометрична прогресия и кои са аритметична прогресия:
Схванах го? Нека сравним нашите отговори:
- Геометрична прогресия - 3, 6.
- Аритметична прогресия - 2, 4.
- Не е нито аритметична, нито геометрична прогресия - 1, 5, 7.
Нека се върнем към последната ни прогресия и се опитаме да намерим нейния член, точно както в аритметичната. Както може би се досещате, има два начина да го намерите.
Ние последователно умножаваме всеки член по.
И така, членът на описаната геометрична прогресия е равен на.
Както вече се досетихте, сега вие сами ще извлечете формула, която ще ви помогне да намерите всеки член на геометричната прогресия. Или вече сте го разработили за себе си, описвайки как да намерите члена стъпка по стъпка? Ако е така, тогава проверете правилността на вашите разсъждения.
Нека илюстрираме това с примера за намиране на тия член на тази прогресия:
С други думи:
Намерете сами стойността на члена на дадената геометрична прогресия.
Се случи? Нека сравним нашите отговори:
Моля, обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно умножихме по всеки предишен член на геометричната прогресия.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула - да я представим в общ вид и да получим:
Изведената формула е вярна за всички стойности - както положителни, така и отрицателни. Проверете това сами, като изчислите членовете на геометричната прогресия със следните условия: , a.
броихте ли Нека сравним резултатите:
Съгласете се, че би било възможно да се намери термин на прогресия по същия начин като член, но има възможност за неправилно изчисляване. И ако вече сме намерили члена на геометричната прогресия, тогава какво може да бъде по-просто от използването на „скъсената“ част от формулата.
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
Съвсем наскоро говорихме за факта, че може да има и повече, и по-малко от нула, но има специални стойности, за които се нарича геометричната прогресия безкрайно намаляваща.
Защо мислите, че е дадено това име?
Първо, нека напишем някаква геометрична прогресия, състояща се от членове.
Да кажем тогава:
Виждаме, че всеки следващ член е по-малък от предишния с коефициент, но ще има ли някакво число? Веднага ще отговорите - „не“. Затова е безкрайно намаляваща – намалява и намалява, но никога не става нула.
За да разберем ясно как изглежда това визуално, нека се опитаме да начертаем графика на нашата прогресия. И така, за нашия случай формулата приема следната форма:
На графиките, от които сме свикнали да начертаваме зависимостта, следователно:
Същността на израза не се е променила: в първия запис показахме зависимостта на стойността на член на геометрична прогресия от неговия пореден номер, а във втория запис просто взехме стойността на член на геометрична прогресия като , и обозначава поредния номер не като, а като. Всичко, което остава да се направи, е да се изгради графика.
Да видим какво имаш. Ето графиката, която измислих:
Виждаш ли? Функцията намалява, клони към нула, но никога не я пресича, така че е безкрайно намаляваща. Нека отбележим нашите точки на графиката и в същото време какво означава координатата и:
Опитайте се да изобразите схематично графика на геометрична прогресия, ако нейният първи член също е равен. Анализирайте каква е разликата с предишната ни графика?
успяхте ли Ето графиката, която измислих:
Сега, след като разбрахте напълно основите на темата за геометричната прогресия: знаете какво е това, знаете как да намерите нейния член и също така знаете какво е безкрайно намаляваща геометрична прогресия, нека преминем към нейното основно свойство.
Свойство на геометричната прогресия.
Спомняте ли си свойствата на членовете на аритметичната прогресия? Да, да, как да намерите стойността на определен брой от прогресията, когато има предишни и последващи стойности на условията на тази прогресия. Помниш ли? Това:
Сега сме изправени пред абсолютно същия въпрос за членовете на геометричната прогресия. За да изведем такава формула, нека започнем да рисуваме и разсъждаваме. Ще видите, че е много лесно и ако забравите, можете да го извадите сами.
Нека вземем друга проста геометрична прогресия, в която знаем и. Как да намеря? С аритметичната прогресия е лесно и просто, но какво да кажем тук? Всъщност в геометрията също няма нищо сложно - просто трябва да запишете всяка стойност, дадена ни според формулата.
Може да попитате какво трябва да направим по въпроса сега? Да, много просто. Първо, нека изобразим тези формули в картина и се опитаме да направим различни манипулации с тях, за да стигнем до стойност.
Нека се абстрахираме от числата, които ни се дават, нека се съсредоточим само върху тяхното изразяване чрез формулата. Трябва да намерим маркираната стойност оранжево, познавайки съседните членове. Нека се опитаме да произвеждаме с тях различни действия, в резултат на което можем да получим.
Допълнение.
Нека се опитаме да съберем два израза и ще получим:
От този израз, както виждате, не можем да го изразим по никакъв начин, затова ще опитаме друг вариант - изваждане.
Изваждане.
Както можете да видите, ние също не можем да изразим това, затова нека се опитаме да умножим тези изрази един по друг.
Умножение.
Сега погледнете внимателно какво имаме, като умножим членовете на дадената ни геометрична прогресия в сравнение с това, което трябва да се намери:
Познайте за какво говоря? Точно така, за да намерим трябва да вземем Корен квадратенот числата на геометричната прогресия, съседни на желаното, умножени едно по друго:
Ето. Вие сами сте извели свойството на геометричната прогресия. Опитайте да напишете тази формула общ изглед. Се случи?
Забравихте условието? Помислете защо е важно, например, опитайте се да го изчислите сами. Какво ще стане в този случай? Точно така, пълни глупости, защото формулата изглежда така:
Съответно, не забравяйте това ограничение.
Сега нека изчислим на какво се равнява
Верен отговор - ! Ако не сте забравили втората възможна стойност по време на изчислението, значи сте страхотни и можете веднага да преминете към обучение, а ако сте забравили, прочетете какво се обсъжда по-долу и обърнете внимание защо е необходимо да запишете и двата корена в отговора.
Нека начертаем и двете си геометрични прогресии - едната със стойност, а другата със стойност и да проверим дали и двете имат право на съществуване:
За да се провери дали такава геометрична прогресия съществува или не, е необходимо да се види дали всички нейни дадени членове са еднакви? Изчислете q за първия и втория случай.
Вижте защо трябва да напишем два отговора? Защото знакът на търсения термин зависи от това дали е положителен или отрицателен! И тъй като не знаем какво е, трябва да напишем и двата отговора с плюс и минус.
Сега, след като сте усвоили основните точки и сте извели формулата за свойството на геометричната прогресия, намерете, знаейки и
Сравнете вашите отговори с правилните:
Какво мислите, ако ни бяха дадени не стойностите на членовете на геометричната прогресия, съседни на желаното число, а на равно разстояние от него. Например, трябва да намерим и даден и. Можем ли да използваме формулата, която сме извели в този случай? Опитайте се да потвърдите или опровергаете тази възможност по същия начин, като опишете от какво се състои всяка стойност, както сте направили, когато първоначално сте извели формулата, при.
Какво получи?
Сега погледнете внимателно отново.
и съответно:
От това можем да заключим, че формулата работи не само със съседнитес желаните членове на геометричната прогресия, но и с равноотдалечениот това, което членовете търсят.
Така нашата първоначална формула приема формата:
Тоест, ако в първия случай казахме това, сега казваме, че може да бъде равно на всяко естествено число, което е по-малко. Основното е, че е еднакво и за двете дадени числа.
Упражнявайте се върху конкретни примери, просто бъдете изключително внимателни!
- , . Намирам.
- , . Намирам.
- , . Намирам.
Решихте ли? Надявам се, че сте били изключително внимателни и сте забелязали малка уловка.
Нека сравним резултатите.
В първите два случая ние спокойно прилагаме горната формула и получаваме следните стойности:
В третия случай, когато внимателно изследваме серийните номера на дадените ни числа, разбираме, че те не са на равно разстояние от търсеното число: това е предишното число, но е премахнато на позиция, така че е не е възможно да се приложи формулата.
Как да го решим? Всъщност не е толкова трудно, колкото изглежда! Нека запишем от какво се състои всяко дадено ни число и числото, което търсим.
Така че имаме и. Да видим какво можем да направим с тях? Предлагам да разделите на. Получаваме:
Заменяме нашите данни във формулата:
Следващата стъпка, която можем да намерим - за това трябва да предприемем кубичен коренот полученото число.
Сега нека погледнем отново какво имаме. Имаме го, но трябва да го намерим, а то от своя страна е равно на:
Намерихме всички необходими данни за изчислението. Заместете във формулата:
Нашият отговор: .
Опитайте сами да разрешите друг подобен проблем:
Дадено: ,
Намирам:
Колко получихте? Аз имам - .
Както можете да видите, по същество имате нужда запомни само една формула- . Всички останали можете да изтеглите сами без никакви затруднения по всяко време. За да направите това, просто напишете най-простата геометрична прогресия на лист хартия и запишете на какво е равно всяко от нейните числа, съгласно описаната по-горе формула.
Сумата от членовете на геометрична прогресия.
Сега нека разгледаме формулите, които ни позволяват бързо да изчислим сумата от членовете на геометрична прогресия в даден интервал:
За да изведем формулата за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия, ние умножаваме всички части на горното уравнение по. Получаваме:
Погледнете внимателно: какво е общото между последните две формули? Точно така, обикновени членове, например, и така нататък, с изключение на първия и последния член. Нека се опитаме да извадим 1-вото от 2-то уравнение. Какво получи?
Сега изразете члена на геометричната прогресия чрез формулата и заместете получения израз в нашата последна формула:
Групирайте израза. Трябва да получите:
Всичко, което остава да се направи, е да се изрази:
Съответно в този случай.
Какво ако? Коя формула работи тогава? Представете си геометрична прогресия при. Каква е тя? Поредица от еднакви числа е правилна, така че формулата ще изглежда така:
Има много легенди както за аритметичната, така и за геометричната прогресия. Една от тях е легендата за Сет, създателят на шаха.
Много хора знаят, че играта шах е измислена в Индия. Когато хиндуисткият крал я срещна, той беше възхитен от нейното остроумие и разнообразието от възможни позиции в нея. След като научил, че е изобретен от един от неговите поданици, кралят решил лично да го награди. Той извикал изобретателя при себе си и му наредил да поиска от него всичко, което поиска, като обещал да изпълни и най-изкусното желание.
Сета поискал време за размисъл и когато на следващия ден Сета се явил пред краля, той изненадал краля с безпрецедентната скромност на молбата си. Той поиска да даде житно зърно за първото поле на шахматната дъска, житно зърно за второто, житно зърно за третото, четвъртото и т.н.
Кралят беше ядосан и изгони Сет, като каза, че молбата на слугата е недостойна за щедростта на краля, но обеща, че слугата ще получи своите зърна за всички квадратчета на дъската.
И сега въпросът: използвайки формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия, изчислете колко зърна трябва да получи Сет?
Да започнем да разсъждаваме. Тъй като според условието Сет е поискал житно зърно за първото поле на шахматната дъска, за второто, за третото, за четвъртото и т.н., тогава виждаме, че задачата е за геометрична прогресия. На какво се равнява в този случай?
вярно
Общо полета на шахматната дъска. Съответно,. Имаме всички данни, всичко, което остава, е да ги включим във формулата и да изчислим.
За да си представим поне приблизително „мащаба“ на дадено число, трансформираме, използвайки свойствата на степента:
Разбира се, ако искате, можете да вземете калкулатор и да изчислите какво число ще получите в крайна сметка, а ако не, ще трябва да повярвате на думата ми: крайната стойност на израза ще бъде.
Това е:
квинтилион квадрилион трилион милиард милиона хиляди.
Пфу) Ако искате да си представите огромността на това число, тогава преценете колко голям хамбар би бил необходим, за да побере цялото количество зърно.
Ако хамбарът е m висок и m широк, дължината му трябва да се простира с km, т.е. два пъти по-далеч, отколкото от Земята до Слънцето.
Ако царят беше силен в математиката, той можеше да покани самия учен да преброи зърната, защото за да преброи един милион зърна, щеше да му трябва поне един ден неуморно броене, а като се има предвид, че е необходимо да се преброят квинтилиони, зърната ще трябва да се брои през целия му живот.
Сега нека решим проста задача, включваща сумата от членовете на геометрична прогресия.
Ученикът от 5А клас Вася се разболя от грип, но продължава да ходи на училище. Всеки ден Вася заразява двама души, които от своя страна заразяват още двама и т.н. В класа има само хора. След колко дни целият клас ще е болен от грип?
И така, първият член на геометричната прогресия е Вася, тоест човек. Членът на геометричната прогресия са двамата души, които е заразил в първия ден от пристигането си. обща сумачленове на прогресията е равен на броя на учениците в 5A. Съответно говорим за прогресия, при която:
Нека заместим нашите данни във формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия:
Целият клас ще се разболее до дни. Не вярвате на формули и числа? Опитайте се сами да изобразите „заразата“ на учениците. Се случи? Вижте как изглежда при мен:
Пресметнете сами за колко дни ще се разболеят учениците от грип, ако всеки зарази по един човек, а в класа има само един човек.
Каква стойност получихте? Оказа се, че всички започват да се разболяват след ден.
Както можете да видите, такава задача и рисунката за нея приличат на пирамида, в която всяка следваща „носи“ нови хора. Но рано или късно идва момент, когато последният не може да привлече никого. В нашия случай, ако си представим, че класът е изолиран, човекът от затваря веригата (). По този начин, ако човек участва във финансова пирамида, в която се дават пари, ако доведете други двама участници, тогава лицето (или като цяло) няма да доведе никого, съответно ще загуби всичко, което е инвестирало в тази финансова измама.
Всичко, което беше казано по-горе, се отнася до намаляваща или нарастваща геометрична прогресия, но, както си спомняте, имаме специален тип - безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Как да изчислим сбора на членовете му? И защо този тип прогресия има определени характеристики? Нека да го разберем заедно.
И така, първо, нека да погледнем отново този чертеж на безкрайно намаляваща геометрична прогресия от нашия пример:
Сега нека разгледаме формулата за сумата от геометрична прогресия, получена малко по-рано:
или
Към какво се стремим? Точно така, графиката показва, че клони към нула. Тоест при, ще бъде почти равно, съответно при изчисляване на израза ще получим почти. В тази връзка смятаме, че при изчисляване на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия тази скоба може да бъде пренебрегната, тъй като ще бъде равна.
- формулата е сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата безкраенброй членове.
Ако е посочено конкретно число n, тогава използваме формулата за сумата от n членове, дори ако или.
Сега нека практикуваме.
- Намерете сумата на първите членове на геометричната прогресия с и.
- Намерете сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с и.
Надявам се, че сте били изключително внимателни. Нека сравним нашите отговори:
Вече знаете всичко за геометричната прогресия и е време да преминете от теория към практика. Най-честите задачи с геометрична прогресия, срещани на изпита, са задачи за изчисляване на сложна лихва. Това са тези, за които ще говорим.
Задачи за изчисляване на сложна лихва.
Вероятно сте чували за така наречената формула за сложна лихва. Разбирате ли какво означава? Ако не, нека го разберем, защото след като разберете самия процес, веднага ще разберете какво общо има геометричната прогресия с него.
Всички отиваме в банката и знаем, че има различни условияпо депозити: това е срокът, и допълнителна услуга, и лихва с две различни начининеговите изчисления – прости и сложни.
СЪС проста лихвавсичко е повече или по-малко ясно: лихвата се начислява веднъж в края на срока на депозита. Тоест, ако кажем, че депозираме 100 рубли за една година, те ще бъдат кредитирани едва в края на годината. Съответно до края на депозита ще получим рубли.
Сложна лихва- това е вариант, в който се среща капитализация на лихвата, т.е. добавянето им към сумата на депозита и последващо изчисляване на дохода не от първоначалната, а от натрупаната сума на депозита. Писането с главни букви не се случва постоянно, а с известна честота. По правило тези периоди са равни и най-често банките използват месец, тримесечие или година.
Да приемем, че депозираме същите рубли годишно, но с месечна капитализация на депозита. Какво правим?
Разбираш ли всичко тук? Ако не, нека го разберем стъпка по стъпка.
Донесохме рубли в банката. До края на месеца трябва да имаме сума в сметката си, състояща се от нашите рубли плюс лихвата върху тях, тоест:
Съгласен?
Можем да го извадим от скоби и тогава получаваме:
Съгласете се, тази формула вече е по-подобна на това, което написахме в началото. Всичко, което остава, е да разбера процентите
В изложението на проблема ни се казва за годишни ставки. Както знаете, ние не умножаваме по - превръщаме процентите в десетични знаци, това е:
нали Сега може да попитате откъде идва числото? Много просто!
Повтарям: изложението на проблема казва за ГОДИШЕНлихва, която се натрупва МЕСЕЧНО. Както знаете, съответно за година от месеци банката ще ни начисли част от годишната лихва на месец:
Разбра ли? Сега се опитайте да напишете как би изглеждала тази част от формулата, ако кажа, че лихвата се изчислява ежедневно.
успяхте ли Нека сравним резултатите:
Много добре! Нека се върнем към нашата задача: напишете колко ще бъде кредитирана в нашата сметка през втория месец, като се има предвид, че върху натрупаната сума на депозита се начислява лихва.
Ето какво получих:
Или с други думи:
Мисля, че вече сте забелязали закономерност и сте видели геометрична прогресия във всичко това. Напишете на какво ще се равнява неговият член или с други думи каква сума пари ще получим в края на месеца.
Направих? Да проверим!
Както можете да видите, ако вложите пари в банка за една година при проста лихва, ще получите рубли, а ако при сложна лихва, ще получите рубли. Ползата е малка, но това се случва само през годината, но за по-дълъг период капитализацията е много по-печеливша:
Нека разгледаме друг тип задачи, включващи сложна лихва. След това, което сте разбрали, ще ви е елементарно. И така, задачата:
Компанията Звезда започва да инвестира в индустрията през 2000 г. с капитал в долари. Всяка година от 2001 г. насам получава печалба, равна на капитала от предходната година. Каква печалба ще получи фирма Звезда в края на 2003 г., ако печалбите не бяха изтеглени от обращение?
Капитал на фирма Звезда през 2000г.
- капитал на фирма Звезда 2001г.
- капитал на фирма Звезда 2002г.
- капитал на фирма Звезда 2003г.
Или можем да напишем накратко:
За нашия случай:
2000, 2001, 2002 и 2003 г.
Съответно:
рубли
Моля, обърнете внимание, че в тази задача нямаме деление нито на, нито на, тъй като процентът е даден ГОДИШНО и се изчислява ГОДИШНО. Тоест, когато четете задача за сложна лихва, обърнете внимание какъв процент е даден и в какъв период се изчислява и едва след това преминете към изчисления.
Сега знаете всичко за геометричната прогресия.
Обучение.
- Намерете члена на геометричната прогресия, ако е известно, че и
- Намерете сумата от първите членове на геометричната прогресия, ако е известно, че и
- Компанията MDM Capital започва да инвестира в индустрията през 2003 г. с капитал в долари. Всяка година от 2004 г. насам получава печалба, равна на капитала от предходната година. Фирма MSK Парични потоци"започна да инвестира в индустрията през 2005 г. в размер на $10 000, като започна да реализира печалба през 2006 г. в размер на. С колко долара е по-голям капиталът на едната компания от другата в края на 2007 г., ако печалбите не са изтеглени от обръщение?
Отговори:
- Тъй като формулировката на задачата не казва, че прогресията е безкрайна и се изисква да се намери сумата от определен брой нейни членове, изчислението се извършва по формулата:
MDM Capital Company:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- се увеличава със 100%, тоест 2 пъти.
Съответно:
рубли
Компания MSK Cash Flows:2005, 2006, 2007.
- се увеличава с, тоест с пъти.
Съответно:
рубли
рубли
Нека да обобщим.
1) Геометрична прогресия ( ) е числова последователност, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.
2) Уравнението на членовете на геометричната прогресия е .
3) може да приема всякакви стойности с изключение на и.
- ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни;
- ако, тогава всички следващи условия на прогресията алтернативни знаци;
- когато - прогресията се нарича безкрайно намаляваща.
4) , с - свойство на геометрична прогресия (съседни членове)
или
, при (равноотдалечени термини)
Когато го намерите, не забравяйте това трябва да има два отговора.
Например,
5) Сумата от членовете на геометричната прогресия се изчислява по формулата:
или
Ако прогресията намалява безкрайно, тогава:
или
ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата от безкраен брой членове.
6) Задачи, включващи сложна лихва, също се изчисляват с помощта на формулата за тия член на геометрична прогресия, при условие че пари в бройне са изтеглени от обращение:
ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО
Геометрична прогресия( ) е числова редица, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число. Този номер се нарича знаменател на геометрична прогресия.
Знаменател на геометричната прогресияможе да приема всякаква стойност освен и.
- Ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни;
- ако, тогава всички следващи членове на прогресията редуват знаци;
- когато - прогресията се нарича безкрайно намаляваща.
Уравнение на членовете на геометричната прогресия - .
Сума от членовете на геометрична прогресияизчислено по формулата:
или
