Формула объёма призмы. Объём и площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы
В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела - многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).
Как выглядит призма
Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры - прямой параллелепипед.
Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.
На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело . К ним принято относить:
Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение - это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить - 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.
Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.
Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).
Площадь поверхности и объём
Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:
V = Sосн·h
Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:
V = a²·h
Если речь идёт о кубе - правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:
Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.
Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:
Sбок = Pосн·h
С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:
Sбок = 4a·h
Для куба:
Sбок = 4a²
Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:
Sполн = Sбок + 2Sосн
Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:
Sполн = 4a·h + 2a²
Для площади поверхности куба:
Sполн = 6a²
Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.
Нахождение элементов призмы
Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:
- длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
- длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
- площадь основания: Sосн = V / h;
- площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.
Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2.
Из этого следует:
Sдиаг = ah√2
Для вычисления диагонали призмы используется формула:
dприз = √(2a² + h²)
Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.
Примеры задач с решениями
Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.
Задание 1.
В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?
Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a . В таком случае для первой коробки объём вещества составит:
V₁ = ha² = 10a²
Для второй коробки длина основания составляет 2a , но неизвестна высота уровня песка:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Поскольку V₁ = V₂ , можно приравнять выражения:
10a² = 4ha²
После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:
В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.
Задание 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.
Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.
Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения - длина, ширина и высота - равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.
Длина любого ребра определяется через известную диагональ:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:
Sполн = 6a² = 6·6² = 216
Задание 3.
В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?
Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.
Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.
Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м² .
Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.
Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.
Как найти площадь куба
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.
При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Основные моменты, которые стоит запомнить
- Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
- Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры - равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.
Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» - залог вашего успеха!
Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.
Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.
Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.
Чему равен объем призмы и как его найти
Объём призмы - это произведение площади ее основания на высоту.
Однако нам известно, что у основания призмы может быть треугольник, квадрат или какой-либо другой многогранник.
Следовательно, для нахождения объема призмы, необходимо просто вычислить площадь основания призмы, а потом эту площадь умножить на ее высоту.
То есть, если у основания призмы треугольник, то значит вначале нужно найти площадь треугольника. Если же основанием призмы является квадрат или другой многоугольник, то значит вначале нужно искать площадь квадрата или же другого многоугольника.
Следует помнить, что высотой призмы является перпендикуляр, проведенный к основаниям призмы.
Что такое призма
А теперь давайте вспомним определение призмы.
Призма – это многоугольник, две грани (основания) которого, находятся в параллельных плоскостях, а все ребра, находящиеся вне этих граней параллельны.
Если говорить проще, то:
Призма – это любая геометрическая фигура, которая имеет два основания, равных между собой и плоские грани.
Название призмы зависит от формы ее основания. Когда основанием призмы является треугольник, то такую призму называют треугольной. Многогранной призмой называют геометрическую фигуру, основанием которой является многогранник. Также призма - это разновидность цилиндра.
Каких видов бывают призмы
Если мы посмотрим на рисунок вверху, то увидим, что призмы бывают прямыми, правильными и наклонными.
Задание
1. Какую призму называют правильной?
2. Почему она так называется?
3. Какое носит название призма, основаниями которой являются правильные многоугольники?
4. Что является высотой этой фигуры?
5. Как называют призму, ребра которой не являются перпендикулярными?
6. Дайте определение треугольной призме.
7. Может ли призма быть параллелепипедом?
8. Какая геометрическая фигура называется полуправильным многоугольником?
Из каких элементов состоит призма
Призма состоит из таких элементов, как нижнее и верхнее основание, боковые грани, ребра и вершины.
Оба основания призмы лежат в плоскостях и параллельны друг другу.
Боковые грани пирамиды – это параллелограммы.
Боковая поверхность пирамиды является суммой боковых граней.
Общие стороны боковых граней, есть не что иное, как боковые ребра данной фигуры.
Высотой пирамиды является отрезок, соединяющий плоскости оснований и перпендикулярен им.
Свойства призмы
Геометрическая фигура, как призма, обладает рядом свойств. Давайте более подробно рассмотрим эти свойства:
Во-первых, основаниями призмы называются равные многоугольники;
Во-вторых, у призмы боковые грани представлены в виде параллелограмма;
В-третьих, у этой геометрической фигуры ребра параллельны и равны;
В-четвертых, площадью полной поверхности призмы является:
А теперь рассмотрим теорему, которая предоставляет формулу, с помощью которой вычисляют площадь боковой поверхности и доказательство.
Задумывались ли вы над таким интересным фактом, что призмой может быть не только, геометрическое тело, но и другие окружающие нас предметы. Даже обычная снежинка в зависимости от температурного режима может превратиться в ледяную призму, приняв форму шестигранной фигуры.
А вот кристаллы кальцита обладают таким уникальным явлением, как распадаться на осколки и приобретать форму параллелепипеда. И что самое удивительное, на какие бы мелкие части не дробили кристаллы кальцита, результат всегда одинаковый, они превращаются в махонькие параллелепипеды.
Оказывается, призма получила популярность не только в математике, демонстрируя свое геометрическое тело, но и в области искусства, так как она является основой картин, созданных такими великими художниками, как П.Пикассо, Брак, Грисс и других.
ПРЯМАЯ ПРИЗМА. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.
§ 68. ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.
1. Объём прямой треугольной призмы.
Пусть требуется найти объём прямой треугольной призмы, площадь основания которой равна S, а высота равна h = АА" = = ВВ" = СС" (черт. 306).
Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (черт. 307, а), и достроим его до прямоугольника, для чего через вершину В проведём прямую КМ || АС и из точек A и С опустим на эту прямую перпендикуляры АF и СЕ. Получим прямоугольник АСЕF. Проведя высоту ВD треугольника АBС, увидим, что прямоугольник АСЕF разбился на 4 прямоугольных треугольника. Причём /\ ВСЕ = /\ BCD и /\ ВАF = /\ ВАD. Значит, площадь прямоугольника АСЕF вдвое больше площади треугольника АBС, т. е. равна 2S.
К данной призме с основанием АBС пристроим призмы с основаниями ВСЕ и BАF и высотой h
(черт. 307, б). Получим прямоугольный параллелепипед с основанием
АСЕF.
Если этот параллелепипед рассечём плоскостью, проходящей через прямые BD и ВВ", то увидим, что прямоугольный параллелепипед состоит из 4 призм с основаниями
ВСD, ВСЕ, BАD и ВАF.
Призмы с основаниями ВСD и ВСЕ могут быть совмещены, так как основания их равны (/\ ВСD = /\ BСЕ) и также равны их боковые рёбра, являющиеся перпендикулярами к одной плоскости. Значит, объёмы этих призм равны. Также равны объёмы призм с основаниями BАD и BАF.
Таким образом, оказывается, что объём данной треугольной призмы с основанием
АBС вдвое меньше объёма прямоугольного параллелепипеда с основанием АСЕF.
Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, т. е. в данном случае равен 2Sh . Отсюда объём данной прямой треугольной призмы равен Sh .
Объём прямой треугольной призмы равен произведению площади её основания на высоту.
2. Объём прямой многоугольной призмы.
Чтобы найти объём прямой многоугольной призмы, например пятиугольной, с площадью основания S и высотой h , разобьём её на треугольные призмы (черт. 308).
Обозначив площади основания треугольных призм через S 1 , S 2 и S 3 , а объём данной многоугольной призмы через V, получим:
V = S 1 h
+ S 2 h
+ S 3 h
, или
V = (S 1 + S 2 + S 3)h
.
И окончательно: V = Sh .
Таким же путём выводится формула объема прямой призмы, имеющей в основании любой многоугольник.
Значит, объём любой прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту.
Упражнения.
1. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании параллелограмм, по следующим данным:
2. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании треугольник, по следующим данным:
3. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании равносторонний треугольник со стороной в 12 см (32 см, 40 см). Высота призмы 60 см.
4. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании прямоугольный треугольник с катетами в 12 см и 8 см (16 см и 7 см; 9 м и 6 м). Высота призмы 0,3 м.
5. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании трапецию с параллельными сторонами в 18 см и 14 см и высотой в 7,5 см. Высота призмы 40 см.
6. Вычислить объём вашей классной комнаты (физкультурного зала, своей комнаты).
7. Полная поверхность куба равна 150 см 2 (294 см 2 , 864 см 2). Вычислить объём этого куба.
8. Длина строительного кирпича - 25,0 см, ширина его - 12,0 см толщина - 6,5 см. а) Вычислить его объём, б) Определить его вес, если 1 кубический сантиметр кирпича весит 1,6 г.
9. Сколько штук строительного кирпича потребуется для постройки сплошной кирпичной стены, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда длиной в 12 м, шириной в 0,6 м и высотой в 10м? (Размеры кирпича из упражнения 8.)
10. Длина чисто обрезаной доски равна 4,5 м, ширина - 35 см толщина - 6 см. а) Вычислить объем б) Определить её вес, если кубический дециметр доски весит 0,6 кг.
11. Сколько тонн сена можно уложить в сеновал, покрытый двускатной крышей (черт. 309), если длина сеновала равна 12 м, ширина - 8 м, высота - 3,5 м и высота конька крыши равна 1,5 м? (Удельный вес сена принять за 0,2.)
12. Требуется выкопать канаву длиной 0,8 км; в разрезе канава должна иметь форму трапеции с основаниями в 0,9 м и 0,4 м, и глубина канавы должна равняться 0,5 м (черт. 310). Сколько кубометров земли придется при этом вынуть?
