स्वीकार्य मूल्य सीमा (एपीवी): सिद्धांत, उदाहरण, समाधान। गणितीय फलनों का क्षेत्र कैसे ज्ञात करें
शमशुरीन ए.वी. 1
गागरिना एन.ए. 1
1 नगरपालिका बजटीय शैक्षणिक संस्थान "माध्यमिक समावेशी स्कूलनंबर 31"
कार्य का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना पोस्ट किया गया है।
पूर्ण संस्करणकार्य पीडीएफ प्रारूप में "कार्य फ़ाइलें" टैब में उपलब्ध है
परिचय
मैंने इंटरनेट पर बहुत सारे गणित विषयों को देखना शुरू किया और इस विषय को चुना क्योंकि मेरा मानना है कि डीएल खोजने का महत्व समीकरणों और समस्याओं को हल करने में बहुत बड़ी भूमिका निभाता है। उसके में अनुसंधान कार्यमैंने ऐसे समीकरणों को देखा जिनमें केवल ओडीजेड, खतरा, वैकल्पिकता, सीमित ओडीजेड, गणित में कुछ निषेध ढूंढना ही पर्याप्त है। मेरे लिए सबसे महत्वपूर्ण बात गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा को अच्छी तरह से पास करना है, और इसके लिए मुझे यह जानना होगा: डीएल कब, क्यों और कैसे खोजना है। इसने मुझे इस विषय पर शोध करने के लिए प्रेरित किया, जिसका उद्देश्य यह दिखाना था कि इस विषय में महारत हासिल करने से छात्रों को एकीकृत राज्य परीक्षा में कार्यों को सही ढंग से पूरा करने में मदद मिलेगी। इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, मैंने अतिरिक्त साहित्य और अन्य स्रोतों पर शोध किया। मैं सोच रहा था कि क्या हमारे स्कूल के छात्रों को पता है: ओडीजेड कब, क्यों और कैसे खोजना है। इसलिए, मैंने "ओडीजेड कब, क्यों और कैसे खोजें?" विषय पर एक परीक्षण आयोजित किया। (10 समीकरण दिए गए थे)। छात्रों की संख्या 28 है। उन्होंने इसका सामना किया - 14%, डीडी का खतरा (ध्यान में रखा गया) - 68%, वैकल्पिकता (ध्यान में रखा गया) - 36%।
लक्ष्य: पहचान: ओडीजेड कब, क्यों और कैसे खोजें।
संकट:जिन समीकरणों और असमानताओं में ODZ को ढूंढना आवश्यक है, उन्हें व्यवस्थित प्रस्तुति के लिए बीजगणित पाठ्यक्रम में जगह नहीं मिली है, शायद यही कारण है कि मेरे साथी और मैं अक्सर ऐसे उदाहरणों को हल करते समय गलतियाँ करते हैं, उन्हें हल करने में बहुत समय बिताते हैं, जबकि भूल जाते हैं ODZ के बारे में
कार्य:
- समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ODZ का महत्व दिखाएँ।
- इस विषय पर व्यावहारिक कार्य करें और उसके परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें।
मुझे लगता है कि मैंने जो ज्ञान और कौशल हासिल किया है, उससे मुझे इस प्रश्न को हल करने में मदद मिलेगी: क्या डीजेड की तलाश करना आवश्यक है या नहीं? ओडीजेड को सही तरीके से करना सीखकर मैं गलतियाँ करना बंद कर दूँगा। मैं यह कर सकता हूं या नहीं, यह समय, या यूँ कहें कि एकीकृत राज्य परीक्षा ही बताएगा।
अध्याय 1
ओडीजेड क्या है?
ओडीजेड है क्षेत्र स्वीकार्य मूल्य , अर्थात्, ये सभी वेरिएबल के मान हैं जिनके लिए अभिव्यक्ति समझ में आती है।
महत्वपूर्ण। ODZ को खोजने के लिए हम एक उदाहरण का समाधान नहीं करते हैं! हम निषिद्ध स्थानों को खोजने के लिए उदाहरण के कुछ अंश हल करते हैं।
गणित में कुछ निषेध.गणित में ऐसे वर्जित कार्य बहुत कम हैं। लेकिन हर कोई उन्हें याद नहीं रखता...
- सम बहुलता चिह्न वाले भाव या>0 या शून्य के बराबर होने चाहिए, ODZ:f(x)
- भिन्न के हर में व्यंजक शून्य के बराबर नहीं हो सकता, ODZ:f(x)
- |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0
ODZ कैसे रिकॉर्ड करें?बहुत सरल। उदाहरण के आगे हमेशा ODZ लिखें. इन ज्ञात अक्षरों के अंतर्गत, मूल समीकरण को देखते हुए, हम x के वे मान लिखते हैं जो मूल उदाहरण के लिए अनुमत हैं। उदाहरण को बदलने से OD बदल सकता है और तदनुसार, उत्तर भी बदल सकता है।
ODZ खोजने के लिए एल्गोरिदम:
- निषेध का प्रकार निर्धारित करें.
- वे मान खोजें जिन पर अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है।
- वास्तविक संख्याओं R के समुच्चय से इन मानों को हटा दें।
समीकरण हल करें: =
|
डीजेड के बिना |
ओडीजेड के साथ |
|
उत्तर: x=5 |
ओडीजेड: => => उत्तर: कोई जड़ नहीं |
स्वीकार्य मूल्यों की सीमा हमें ऐसी गंभीर त्रुटियों से बचाती है। सच कहूँ तो, यह ODZ के कारण है कि कई "शॉक छात्र" "C" छात्रों में बदल जाते हैं। यह मानते हुए कि डीएल की खोज करना और उस पर विचार करना निर्णय में एक महत्वहीन कदम है, वे इसे छोड़ देते हैं, और फिर आश्चर्य करते हैं: "शिक्षक ने इसे 2 क्यों दिया?" हां, इसीलिए मैंने इसे डाला क्योंकि उत्तर गलत है! यह किसी शिक्षक की "किट-पिकिंग" नहीं है, बल्कि एक बहुत ही विशिष्ट गलती है, जैसे गलत गणना या खोया हुआ चिह्न।
अतिरिक्त समीकरण:
ए) = ; बी) -42=14x+; ग) =0; घ) |x-5|=2x-2
अध्याय दो
ओडीजेड. किस लिए? कब? कैसे?
स्वीकार्य मूल्यों की सीमा - एक समाधान है
- ODZ एक खाली सेट है, जिसका अर्थ है कि मूल उदाहरण का कोई समाधान नहीं है
- = ओडीजेड:
उत्तर: कोई जड़ नहीं.
- = ओडीजेड:
उत्तर: कोई जड़ नहीं.
0, समीकरण की कोई जड़ नहीं है
उत्तर: कोई जड़ नहीं.
अतिरिक्त उदाहरण:
ए) + =5; बी) + =23x-18; ग) =0.
- ODZ में एक या अधिक संख्याएँ होती हैं, और एक साधारण प्रतिस्थापन शीघ्र ही मूलों को निर्धारित कर देता है।
ओडीजेड: x=2, x=3
जांचें: x=2, + , 0<1, верно
जांचें: x=3, + , 0<1, верно.
उत्तर: x=2, x=3.
- > ODZ: x=1,x=0
जांचें: x=0, > , 0>0, गलत
जांचें: x=1, > , 1>0, सत्य
उत्तर: x=1.
- + =x ODZ: x=3
जांचें: + =3, 0=3, गलत।
उत्तर: कोई जड़ नहीं.
अतिरिक्त उदाहरण:
ए) = ; बी) + =0; सी) + =एक्स -1
डीडी का खतरा
ध्यान दें कि पहचान परिवर्तन हो सकते हैं:
- डीएल को प्रभावित न करें;
- विस्तारित डीएल की ओर ले जाएं;
- ODZ के संकुचन का कारण बनता है।
यह भी ज्ञात है कि मूल ओडीजेड को बदलने वाले कुछ परिवर्तनों के परिणामस्वरूप गलत निर्णय हो सकते हैं।
आइए प्रत्येक मामले को एक उदाहरण से स्पष्ट करें।
1) अभिव्यक्ति x + 4x + 7x पर विचार करें, इसके लिए चर x का ODZ समुच्चय R है। आइए समान शर्तें प्रस्तुत करें। परिणामस्वरूप, यह x 2 +11x का रूप ले लेगा। जाहिर है, इस अभिव्यक्ति के चर x का ODZ भी एक सेट R है। इस प्रकार, किए गए परिवर्तन से ODZ नहीं बदला।
2) समीकरण x+ - =0 लें। इस मामले में, ODZ: x≠0. इस अभिव्यक्ति में भी समान पद शामिल हैं, जिन्हें कम करने के बाद हम अभिव्यक्ति x पर पहुंचते हैं, जिसके लिए ODZ R है। हम क्या देखते हैं: परिवर्तन के परिणामस्वरूप, ODZ का विस्तार किया गया था (संख्या शून्य को ODZ में जोड़ा गया था) मूल अभिव्यक्ति के लिए चर x)।
3) आइए अभिव्यक्ति लेते हैं। चर x का VA असमानता (x−5)·(x−2)≥0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, VA: (−∞, 2]∪∪/एक्सेस मोड: साइटों से सामग्री www.fipi.ru, www.eg
परिशिष्ट 1
व्यावहारिक कार्य "ODZ: कब, क्यों और कैसे?"
|
विकल्प 1 |
विकल्प 2 |
|
│x+14│= 2 - 2x |
|
|
│3x│=1 - 3x |
परिशिष्ट 2
असाइनमेंट के उत्तर व्यावहारिक कार्य"ODZ: कब, क्यों और कैसे?"
|
विकल्प 1 |
विकल्प 2 |
|
उत्तर: कोई जड़ नहीं |
उत्तर: x-x=5 को छोड़कर कोई भी संख्या |
|
9x+ = +27 ODZ: x≠3 उत्तर: कोई जड़ नहीं |
ओडीजेड: x=-3, x=5. उत्तर:-3;5. |
|
y= -घटता है, y= -बढ़ता है इसका मतलब यह है कि समीकरण का अधिकतम एक मूल है। उत्तर: x=6. |
ओडीजेड: → →х≥5 उत्तर: x≥5, x≤-6. |
|
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 ODZ से संबंधित नहीं है |
घटता है, बढ़ता है समीकरण का अधिकतम एक मूल होता है। उत्तर: कोई जड़ नहीं. |
|
0, ODZ: x≥3, x≤2 उत्तर: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. उत्तर: कोई जड़ नहीं. |
|
x=7, x=1. उत्तर: कोई समाधान नहीं |
बढ़ना-घटना उत्तर: x=2. |
|
0 ओडीजेड: x≠15 उत्तर: x=15 को छोड़कर x कोई भी संख्या है। |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 ODZ से संबंधित नहीं है। उत्तर: x=-1. |
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किसी फ़ंक्शन का डोमेन कैसे खोजें? मध्य विद्यालय के छात्रों को अक्सर इस कार्य से निपटना पड़ता है।
माता-पिता को अपने बच्चों को इस मुद्दे को समझने में मदद करनी चाहिए।
किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करना.
आइए बीजगणित के मूलभूत शब्दों को याद करें। गणित में, एक फ़ंक्शन एक चर की दूसरे पर निर्भरता है। हम कह सकते हैं कि यह एक सख्त गणितीय नियम है जो दो संख्याओं को एक निश्चित तरीके से जोड़ता है।
गणित में, सूत्रों का विश्लेषण करते समय, संख्यात्मक चर को वर्णमाला प्रतीकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले x ("x") और y ("y") हैं। चर x को तर्क कहा जाता है, और चर y को x का आश्रित चर या फ़ंक्शन कहा जाता है।
अस्तित्व विभिन्न तरीकेपरिवर्तनीय निर्भरताएँ निर्धारित करना।
आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:
- विश्लेषणात्मक प्रकार.
- सारणीबद्ध दृश्य.
- ग्राफ़िक प्रदर्शन.
विश्लेषणात्मक विधि को सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है। आइए उदाहरण देखें: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x)। सूत्र y=2x+3 के लिए विशिष्ट है रैखिक प्रकार्य. दिए गए सूत्र में तर्क के संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y का मान प्राप्त होता है।
सारणीबद्ध विधि दो स्तंभों से बनी एक तालिका है। पहला कॉलम एक्स मानों के लिए आवंटित किया गया है, और अगले कॉलम में प्लेयर का डेटा रिकॉर्ड किया गया है।
ग्राफ़िकल विधि को सबसे अधिक दृश्यात्मक माना जाता है। ग्राफ़ एक समतल पर सभी बिंदुओं के समुच्चय का प्रदर्शन है।
ग्राफ बनाने के लिए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है। प्रणाली में दो लंबवत रेखाएँ होती हैं। अक्षों पर समान इकाई खंड रखे गए हैं। गिनती सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन के केंद्रीय बिंदु से की जाती है।
स्वतंत्र चर को एक क्षैतिज रेखा पर दर्शाया गया है। इसे भुज अक्ष कहते हैं। ऊर्ध्वाधर रेखा (y-अक्ष) आश्रित चर का संख्यात्मक मान प्रदर्शित करती है। इन अक्षों पर लंबों के प्रतिच्छेदन पर बिंदु अंकित किए जाते हैं। बिंदुओं को एक दूसरे से जोड़ने पर हमें एक ठोस रेखा प्राप्त होती है। यह अनुसूची का आधार है.
परिवर्तनीय निर्भरता के प्रकार
परिभाषा।
में सामान्य रूप से देखेंनिर्भरता को एक समीकरण के रूप में प्रस्तुत किया गया है: y=f(x)। सूत्र से यह पता चलता है कि संख्या x के प्रत्येक मान के लिए एक निश्चित संख्या y है। गेम का मान, जो संख्या x से मेल खाता है, फ़ंक्शन का मान कहलाता है।
स्वतंत्र चर द्वारा प्राप्त सभी संभावित मान फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र बनाते हैं। तदनुसार, आश्रित चर की संख्याओं का पूरा सेट फ़ंक्शन के मानों की सीमा निर्धारित करता है। परिभाषा का क्षेत्र तर्क के सभी मान हैं जिनके लिए f(x) समझ में आता है।
गणितीय कानूनों का अध्ययन करने में प्रारंभिक कार्य परिभाषा के क्षेत्र को खोजना है। इस शब्द को सही ढंग से परिभाषित किया जाना चाहिए। अन्यथा, आगे की सभी गणनाएँ बेकार हो जाएँगी। आख़िरकार, मानों का आयतन पहले सेट के तत्वों के आधार पर बनता है।
किसी फ़ंक्शन का दायरा सीधे तौर पर बाधाओं पर निर्भर होता है। सीमाएँ कुछ कार्यों को करने में असमर्थता के कारण होती हैं। संख्यात्मक मानों के उपयोग की भी सीमाएँ हैं।
प्रतिबंधों के अभाव में, परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्या स्थान है। अनंत चिन्ह में एक क्षैतिज आकृति आठ का चिन्ह होता है। संख्याओं का पूरा सेट इस प्रकार लिखा गया है: (-∞; ∞).
में कुछ मामलोंडेटा सरणी में कई उपसमूह होते हैं। संख्यात्मक अंतराल या रिक्त स्थान का दायरा पैरामीटर परिवर्तन के नियम के प्रकार पर निर्भर करता है।
यहां उन कारकों की सूची दी गई है जो प्रतिबंधों को प्रभावित करते हैं:
- उलटा आनुपातिकता;
- अंकगणित मूल;
- घातांक;
- लघुगणकीय निर्भरता;
- त्रिकोणमितीय रूप.
यदि ऐसे कई तत्व हैं, तो उनमें से प्रत्येक के लिए प्रतिबंधों की खोज विभाजित है। सबसे बड़ी समस्यामहत्वपूर्ण बिंदुओं और अंतरालों की पहचान का प्रतिनिधित्व करता है। समस्या का समाधान सभी संख्यात्मक उपसमूहों को एकजुट करना होगा।
संख्याओं का समुच्चय और उपसमुच्चय
सेट के बारे में
परिभाषा के क्षेत्र को डी(एफ) के रूप में व्यक्त किया गया है, और संघ चिन्ह को प्रतीक ∪ द्वारा दर्शाया गया है। सभी संख्यात्मक अंतराल कोष्ठक में संलग्न हैं। यदि साइट की सीमा सेट में शामिल नहीं है, तो एक अर्धवृत्ताकार ब्रैकेट रखा गया है। अन्यथा, जब किसी संख्या को उपसमुच्चय में शामिल किया जाता है, तो वर्गाकार कोष्ठक का उपयोग किया जाता है।
व्युत्क्रम आनुपातिकता सूत्र y=k/x द्वारा व्यक्त की जाती है। फ़ंक्शन ग्राफ़ एक घुमावदार रेखा है जिसमें दो शाखाएँ होती हैं। इसे सामान्यतः अतिशयोक्ति कहा जाता है।
चूँकि फ़ंक्शन को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, इसलिए परिभाषा का क्षेत्र ढूंढना हर का विश्लेषण करने के लिए आता है। यह सर्वविदित है कि गणित में शून्य से भाग करना वर्जित है। समस्या का समाधान हर को शून्य के बराबर करने और मूल खोजने तक होता है।
यहाँ एक उदाहरण है:
दिया गया: y=1/(x+4). परिभाषा का क्षेत्र खोजें.
- हम हर को शून्य के बराबर करते हैं।
x+4=0 - समीकरण का मूल ज्ञात करना.
x=-4 - हम तर्क के सभी संभावित मूल्यों के सेट को परिभाषित करते हैं।
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)
उत्तर: फ़ंक्शन का डोमेन -4 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
चिन्ह के नीचे संख्या का अर्थ वर्गमूलनकारात्मक नहीं हो सकता. इस मामले में, किसी फ़ंक्शन को मूल के साथ परिभाषित करना एक असमानता को हल करने तक कम हो जाता है। मूल अभिव्यक्ति शून्य से अधिक होनी चाहिए.
मूल के निर्धारण का क्षेत्र मूल सूचक की समता से संबंधित है। यदि सूचक 2 से विभाज्य है, तो अभिव्यक्ति तभी समझ में आती है जब यह सकारात्मक मूल्य. सूचक की एक विषम संख्या मूल अभिव्यक्ति के किसी भी मूल्य की स्वीकार्यता को इंगित करती है: सकारात्मक और नकारात्मक दोनों।
असमानताओं को समीकरणों की तरह ही हल किया जाता है। बस एक ही अंतर है. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने के बाद चिह्न को उल्टा कर देना चाहिए।
यदि वर्गमूल हर में है, तो एक अतिरिक्त शर्त लगानी होगी। संख्या का मान शून्य नहीं होना चाहिए. असमानता सख्त असमानताओं की श्रेणी में चली जाती है।
लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्य
लघुगणकीय रूप सकारात्मक संख्याओं के लिए समझ में आता है। इस प्रकार, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का डोमेन शून्य को छोड़कर, वर्गमूल फ़ंक्शन के समान है।
आइए लघुगणकीय निर्भरता के एक उदाहरण पर विचार करें: y=log(2x-6)। परिभाषा का क्षेत्र खोजें.
- 2x-6>0
- 2x>6
- x>6/2
उत्तर: (3; +∞).
y=sin x और y=cos x की परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए प्रतिबंध हैं। वे किसी कोण की कोज्या या ज्या द्वारा विभाजन से जुड़े होते हैं।
किसी कोण की स्पर्श रेखा ज्या और कोज्या के अनुपात से निर्धारित होती है। आइए हम उन कोण मानों को इंगित करें जिन पर स्पर्शरेखा मान मौजूद नहीं है। फ़ंक्शन y=tg x x=π/2+πn, n∈Z को छोड़कर तर्क के सभी मानों के लिए समझ में आता है।
फ़ंक्शन y=ctg x की परिभाषा का क्षेत्र x=πn, n∈Z को छोड़कर, वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है। यदि तर्क संख्या π या π के गुणज के बराबर है, तो कोण की ज्या शून्य के बराबर. इन बिंदुओं (स्पर्शोन्मुख) पर कोटैंजेंट मौजूद नहीं हो सकता।
परिभाषा के क्षेत्र की पहचान करने का पहला कार्य 7वीं कक्षा के पाठों में शुरू होता है। जब पहली बार बीजगणित के इस खंड से परिचित कराया जाता है, तो छात्र को विषय को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह शब्द अध्ययन की पूरी अवधि के दौरान स्कूली बच्चे और फिर छात्र के साथ रहेगा।
भिन्नात्मक समीकरण. ओडीजेड.
ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")
हम समीकरणों में महारत हासिल करना जारी रखते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि रैखिक और द्विघात समीकरणों के साथ कैसे काम करना है। अंतिम दृश्य शेष - भिन्नात्मक समीकरण. या फिर इन्हें और भी अधिक आदरपूर्वक बुलाया जाता है - आंशिक तर्कसंगत समीकरण . यह एक ही है।
भिन्नात्मक समीकरण.
जैसा कि नाम से पता चलता है, इन समीकरणों में आवश्यक रूप से भिन्न होते हैं। लेकिन केवल भिन्न ही नहीं, बल्कि भिन्न भी होते हैं हर में अज्ञात. कम से कम एक में. उदाहरण के लिए:
मैं आपको याद दिला दूं कि यदि हर ही हैं नंबर, ये रैखिक समीकरण हैं।
कैसे निर्णय करें भिन्नात्मक समीकरण? सबसे पहले, भिन्नों से छुटकारा पाएं! इसके बाद अक्सर समीकरण रैखिक या द्विघात में बदल जाता है. और फिर हम जानते हैं कि क्या करना है... कुछ मामलों में यह एक पहचान में बदल सकता है, जैसे 5=5 या गलत अभिव्यक्ति, जैसे 7=2। लेकिन ऐसा कम ही होता है. मैं इसका उल्लेख नीचे करूंगा.
लेकिन भिन्नों से छुटकारा कैसे पाएं!? बहुत सरल। समान समान परिवर्तन लागू करना।
हमें संपूर्ण समीकरण को उसी व्यंजक से गुणा करना होगा। ताकि सभी हर कम हो जाएं! सब कुछ तुरंत आसान हो जाएगा. मैं एक उदाहरण से समझाता हूँ. मान लीजिए हमें समीकरण हल करना है:
आपको प्राथमिक विद्यालय में कैसे पढ़ाया गया? हम हर चीज को एक तरफ ले जाते हैं, उसे एक सामान्य भाजक पर लाते हैं, आदि। भूल जाओ कैसे भयानक सपना! जब आप जोड़ते या घटाते हैं तो आपको यही करना होता है। भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ. या आप असमानताओं के साथ काम करते हैं। और समीकरणों में, हम तुरंत दोनों पक्षों को एक अभिव्यक्ति से गुणा करते हैं जो हमें सभी हरों को कम करने का अवसर देगा (यानी, संक्षेप में, द्वारा) आम विभाजक). और यह अभिव्यक्ति क्या है?
बाईं ओर, हर को कम करने के लिए गुणा करने की आवश्यकता होती है एक्स+2. और दाईं ओर, 2 से गुणा करना आवश्यक है। इसका मतलब है कि समीकरण को 2 से गुणा करना होगा 2(x+2). गुणा करें:
यह भिन्नों का एक सामान्य गुणन है, लेकिन मैं इसका विस्तार से वर्णन करूंगा:
कृपया ध्यान दें कि मैं अभी ब्रैकेट नहीं खोल रहा हूँ (एक्स + 2)! तो, इसकी संपूर्णता में, मैं इसे लिखता हूं:
बाईं ओर यह पूरी तरह से सिकुड़ जाता है (एक्स+2), और दाईं ओर 2. जो आवश्यक था! कटौती के बाद हमें मिलता है रेखीयसमीकरण:
और हर कोई इस समीकरण को हल कर सकता है! एक्स = 2.
आइए एक और उदाहरण हल करें, जो थोड़ा अधिक जटिल है:
अगर हम याद रखें कि 3 = 3/1, और 2x = 2x/ 1, हम लिख सकते हैं:
और फिर से हम उस चीज़ से छुटकारा पा लेते हैं जो हमें वास्तव में पसंद नहीं है - भिन्न।
हम देखते हैं कि हर को X से कम करने के लिए, हमें भिन्न को इससे गुणा करना होगा (एक्स - 2). और कुछ हमारे लिए बाधा नहीं हैं। अच्छा, चलो गुणा करें। सभी बाईं तरफऔर सभीदाहिनी ओर:
पुनः कोष्ठक (एक्स - 2)मैं खुलासा नहीं कर रहा हूं. मैं ब्रैकेट के साथ समग्र रूप से काम करता हूं जैसे कि यह एक संख्या हो! ऐसा हमेशा करना चाहिए, नहीं तो कुछ भी कम नहीं होगा.
गहरी संतुष्टि की भावना से हम कम हो जाते हैं (एक्स - 2)और हमें एक रूलर के साथ, बिना किसी भिन्न के एक समीकरण मिलता है!
अब कोष्ठक खोलें:
हम समान लाते हैं, सब कुछ बाईं ओर ले जाते हैं और प्राप्त करते हैं:
लेकिन उससे पहले हम अन्य समस्याओं का समाधान करना सीखेंगे। ब्याज पर. वैसे, यह एक रेक है!
यदि आपको यह साइट पसंद है...
वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)
आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)
आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।
गणित में कार्यों की संख्या अनंत है। और प्रत्येक का अपना चरित्र है।) विभिन्न प्रकार के कार्यों के साथ काम करने के लिए आपको आवश्यकता होती है अकेलाएक दृष्टिकोण। अन्यथा, यह किस प्रकार का गणित है?!) और ऐसा दृष्टिकोण है!
किसी भी फ़ंक्शन के साथ काम करते समय, हम इसे प्रश्नों के एक मानक सेट के साथ प्रस्तुत करते हैं। और सबसे पहले, सबसे ज्यादा महत्वपूर्ण सवाल- यह किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन.कभी-कभी इस क्षेत्र को वैध तर्क मानों का सेट, वह क्षेत्र जहां कोई फ़ंक्शन निर्दिष्ट किया जाता है, आदि कहा जाता है।
किसी फ़ंक्शन का डोमेन क्या है? इसे कैसे खोजें? ये प्रश्न अक्सर जटिल और समझ से बाहर लगते हैं... हालाँकि, वास्तव में, सब कुछ बेहद सरल है। आप इस पेज को पढ़कर स्वयं देख सकते हैं। जाना?)
खैर, मैं क्या कह सकता हूं... बस सम्मान।) हाँ! किसी फ़ंक्शन का प्राकृतिक डोमेन (जिसकी चर्चा यहां की गई है) माचिसफ़ंक्शन में शामिल अभिव्यक्तियों के ODZ के साथ। तदनुसार, उन्हीं नियमों के अनुसार उनकी खोज की जाती है।
अब आइए परिभाषा के पूरी तरह से प्राकृतिक क्षेत्र को न देखें।)
किसी फ़ंक्शन के दायरे पर अतिरिक्त प्रतिबंध.
यहां हम उन प्रतिबंधों के बारे में बात करेंगे जो कार्य द्वारा लगाए जाते हैं। वे। कार्य में कुछ शामिल है अतिरिक्त शर्तों, जिनका आविष्कार संकलक द्वारा किया गया था। या फिर फ़ंक्शन को परिभाषित करने की विधि से ही प्रतिबंध सामने आते हैं।
जहां तक कार्य में प्रतिबंधों की बात है तो सब कुछ सरल है। आमतौर पर, कुछ भी देखने की ज़रूरत नहीं होती है, कार्य में सब कुछ पहले ही कहा जा चुका होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि कार्य के लेखक द्वारा लिखे गए प्रतिबंध रद्द नहीं होते हैं गणित की मूलभूत सीमाएँ.आपको बस कार्य की शर्तों को ध्यान में रखना याद रखना होगा।
उदाहरण के लिए, यह कार्य:
किसी फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें:
धनात्मक संख्याओं के समुच्चय पर.
हमें ऊपर इस फ़ंक्शन की परिभाषा का प्राकृतिक क्षेत्र मिला। यह क्षेत्र:
डी(एफ)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की मौखिक विधि में, आपको स्थिति को ध्यान से पढ़ने और वहां एक्स पर प्रतिबंध ढूंढने की आवश्यकता है। कभी-कभी आँखें सूत्रों की तलाश में रहती हैं, लेकिन शब्द चेतना के सामने सीटी बजाते हैं हाँ...) पिछले पाठ से उदाहरण:
फ़ंक्शन को शर्त द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है: प्राकृतिक तर्क x का प्रत्येक मान उन अंकों के योग से जुड़ा होता है जो x का मान बनाते हैं।
यहां बता दें कि हम बात कर रहे हैं केवल X के प्राकृतिक मूल्यों के बारे में. तब डी(एफ)तुरंत रिकॉर्ड किया गया:
डी(एफ): एक्स ∈ एन
जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी फ़ंक्शन का दायरा ऐसा नहीं है जटिल अवधारणा. इस क्षेत्र को खोजने से फ़ंक्शन की जांच करना, असमानताओं की एक प्रणाली लिखना और इस प्रणाली को हल करना आता है। बेशक, सभी प्रकार की प्रणालियाँ हैं, सरल और जटिल। लेकिन...
मैं इसे खोलूंगा छोटे सा रहस्य. कभी-कभी एक फ़ंक्शन जिसके लिए आपको परिभाषा का क्षेत्र ढूंढना होता है वह बस डराने वाला लगता है। मैं पीला पड़ जाना और रोना चाहता हूं।) लेकिन जैसे ही मैं असमानताओं की प्रणाली लिखता हूं... और, अचानक, प्रणाली प्राथमिक हो जाती है! इसके अलावा, अक्सर, फ़ंक्शन जितना अधिक भयानक होता है, सिस्टम उतना ही सरल होता है...
नैतिक: आँखें डरती हैं, सिर निर्णय लेता है!)
