≡×मेन्यू

• मरम्मत
• मरम्मत
• आंतरिक सज्जा
• सब कुछ के बारे में
• पाइपलाइन के बारे में

द्विघात समीकरण शून्य के बराबर है. विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना

”, यानी पहली डिग्री के समीकरण। इस पाठ में, हम अन्वेषण करेंगे द्विघात समीकरण क्या हैऔर इसे कैसे हल करें।

द्विघात समीकरण क्या है

महत्वपूर्ण!

किसी समीकरण की डिग्री उस उच्चतम डिग्री से निर्धारित होती है जिस पर अज्ञात खड़ा होता है।

यदि अज्ञात की अधिकतम डिग्री "2" है, तो आपके पास एक द्विघात समीकरण है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• एक्स 2 − 8 = 0

महत्वपूर्ण! द्विघात समीकरण का सामान्य रूप इस प्रकार दिखता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0

"ए", "बी" और "सी" - दिए गए नंबर।

• "ए" - पहला या वरिष्ठ गुणांक;
• "बी" - दूसरा गुणांक;
• "सी" एक स्वतंत्र सदस्य है.

"ए", "बी" और "सी" को खोजने के लिए आपको अपने समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण "ax 2 + bx + c \u003d 0" के सामान्य रूप से करनी होगी।

आइए द्विघात समीकरणों में गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करने का अभ्यास करें।

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

समीकरण	कठिनाइयाँ
ए=5 बी = −14 सी = 17
ए = −7 बी = −13 सी = 8

1

3

= 0

• ए = -1
• बी = 1
• सी =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• ए = 1
• बी = 0.25
• सी = 0

एक्स 2 − 8 = 0

• ए = 1
• बी = 0
• सी = −8

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें

रैखिक समीकरणों के विपरीत, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक विशेष समीकरण का उपयोग किया जाता है। जड़ें खोजने का सूत्र.

याद करना!

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आपको चाहिए:

• द्विघात समीकरण को सामान्य रूप "ax 2 + bx + c \u003d 0" पर लाएँ। अर्थात् दाहिनी ओर केवल "0" ही रहना चाहिए;
• जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करें:

आइए यह समझने के लिए एक उदाहरण का उपयोग करें कि द्विघात समीकरण की जड़ें खोजने के लिए सूत्र को कैसे लागू किया जाए। आइए द्विघात समीकरण को हल करें।

एक्स 2 - 3एक्स - 4 = 0

समीकरण "x 2 - 3x - 4 = 0" को पहले ही सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में घटा दिया गया है और इसके लिए अतिरिक्त सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसके समाधान के लिए हमें सिर्फ आवेदन करने की जरूरत है द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र.

आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" को परिभाषित करें।

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

इसकी सहायता से किसी भी द्विघात समीकरण को हल किया जाता है।

सूत्र "x 1; 2 \u003d" में मूल अभिव्यक्ति को अक्सर बदल दिया जाता है
"बी 2 − 4एसी" को "डी" अक्षर तक और विवेचक कहा जाता है। विवेचक की अवधारणा पर "विभेदक क्या है" पाठ में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

द्विघात समीकरण के एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

x 2 + 9 + x = 7x

इस रूप में, गुणांक "ए", "बी", और "सी" निर्धारित करना काफी कठिन है। आइए सबसे पहले समीकरण को सामान्य रूप "ax 2 + bx + c \u003d 0" पर लाएँ।

एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

अब आप जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

एक्स 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
एक्स=

6

2

एक्स=3
उत्तर: एक्स = 3

ऐसे समय होते हैं जब द्विघात समीकरणों में कोई जड़ें नहीं होती हैं। यह स्थिति तब होती है जब सूत्र में मूल के नीचे एक ऋणात्मक संख्या दिखाई देती है।

द्विघात समीकरण के कार्यों का अध्ययन स्कूली पाठ्यक्रम और विश्वविद्यालयों दोनों में किया जाता है। उन्हें a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 के रूप में समीकरण के रूप में समझा जाता है, जहाँ एक्स-चर, ए, बी, सी - स्थिरांक; ए<>0 . समस्या समीकरण की जड़ों को खोजने की है।

द्विघात समीकरण का ज्यामितीय अर्थ

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ जिसे द्विघात समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है वह एक परवलय होता है। द्विघात समीकरण के समाधान (मूल) x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। इससे पता चलता है कि तीन संभावित मामले हैं:
1) परवलय का x-अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। इसका मतलब यह है कि यह ऊपरी तल में है जिसकी शाखाएँ ऊपर हैं या निचले तल में इसकी शाखाएँ नीचे हैं। ऐसे मामलों में, द्विघात समीकरण नहीं है असली जड़ें(दो जटिल जड़ें हैं)।

2) परवलय का अक्ष ऑक्स के साथ प्रतिच्छेदन का एक बिंदु है। ऐसे बिंदु को परवलय का शीर्ष कहा जाता है और इसमें द्विघात समीकरण अपना न्यूनतम या अधिकतम मान प्राप्त कर लेता है। इस मामले में, द्विघात समीकरण का एक वास्तविक मूल (या दो समान मूल) होता है।

3) आखिरी मामलाव्यवहार में, यह अधिक दिलचस्प है - भुज अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं। इसका मतलब है कि समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं।

चरों की घातों पर गुणांकों के विश्लेषण के आधार पर, परवलय की स्थिति के बारे में दिलचस्प निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं।

1) यदि गुणांक ए शून्य के ऊपरतब परवलय को शाखाओं के साथ ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, यदि नकारात्मक है - तो परवलय की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है।

2) यदि गुणांक बी शून्य से अधिक है, तो परवलय का शीर्ष बाएं आधे तल में स्थित है, यदि यह ऋणात्मक मान लेता है, तो दाएं में।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए स्थिरांक को द्विघात समीकरण से स्थानांतरित करें

समान चिह्न के लिए, हमें व्यंजक प्राप्त होता है

दोनों पक्षों को 4a से गुणा करें

बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, दोनों भागों में b^2 जोड़ें और परिवर्तन करें

यहां से हम पाते हैं

विभेदक का सूत्र और द्विघात समीकरण की जड़ें

विवेचक मूल अभिव्यक्ति का मान है। यदि यह सकारात्मक है, तो समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं, सूत्र द्वारा गणना की जाती है जब विवेचक शून्य होता है, तो द्विघात समीकरण का एक हल (दो संपाती मूल) होता है, जिसे D=0 के लिए उपरोक्त सूत्र से प्राप्त करना आसान होता है। जब विवेचक नकारात्मक होता है, तो समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं। हालाँकि, जटिल तल में द्विघात समीकरण के समाधानों का अध्ययन करने के लिए, और उनके मान की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

विएटा का प्रमेय

एक द्विघात समीकरण की दो जड़ों पर विचार करें और उनके आधार पर एक द्विघात समीकरण बनाएं। नोटेशन से, विएटा प्रमेय स्वयं आसानी से अनुसरण करता है: यदि हमारे पास फॉर्म का एक द्विघात समीकरण है तो इसके मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए गुणांक p के बराबर होता है, और समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद q के बराबर होता है। उपरोक्त के लिए सूत्र इस प्रकार दिखेगा यदि शास्त्रीय समीकरण में स्थिरांक a शून्येतर है, तो आपको संपूर्ण समीकरण को इससे विभाजित करना होगा, और फिर विएटा प्रमेय लागू करना होगा।

कारकों पर द्विघात समीकरण की अनुसूची

कार्य निर्धारित करें: द्विघात समीकरण को गुणनखंडों में विघटित करना। इसे निष्पादित करने के लिए, हम पहले समीकरण को हल करते हैं (मूल खोजें)। इसके बाद, हम द्विघात समीकरण के विस्तार के लिए पाए गए मूलों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। यह समस्या हल हो जाएगी।

द्विघात समीकरण के लिए कार्य

कार्य 1। द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

x^2-26x+120=0 .

समाधान: गुणांकों को लिखें और विभेदक सूत्र में प्रतिस्थापित करें

की जड़ दिया गया मूल्य 14 के बराबर, इसे कैलकुलेटर के साथ ढूंढना आसान है, या इसे लगातार उपयोग के साथ याद रखना आसान है, हालांकि, सुविधा के लिए, लेख के अंत में मैं आपको संख्याओं के वर्गों की एक सूची दूंगा जो अक्सर ऐसे कार्यों में पाए जा सकते हैं .
पाया गया मान मूल सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है

और हमें मिलता है

कार्य 2. प्रश्न हल करें

2x2+x-3=0.

समाधान: हमारे पास एक पूर्ण द्विघात समीकरण है, गुणांक लिखें और विवेचक ज्ञात करें


सुप्रसिद्ध सूत्रों का उपयोग करके, हम द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं

कार्य 3. प्रश्न हल करें

9x2 -12x+4=0.

समाधान: हमारे पास एक पूर्ण द्विघात समीकरण है। विवेचक का निर्धारण करें

हमें मामला तब मिला जब जड़ें मेल खाती हैं। हम सूत्र द्वारा मूलों का मान ज्ञात करते हैं

कार्य 4. प्रश्न हल करें

x^2+x-6=0 .

समाधान: ऐसे मामलों में जहां x के लिए छोटे गुणांक हैं, विएटा प्रमेय को लागू करने की सलाह दी जाती है। इसकी स्थिति से हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं

दूसरी शर्त से, हम पाते हैं कि उत्पाद -6 के बराबर होना चाहिए। इसका मतलब है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। हमारे पास समाधानों की निम्नलिखित संभावित जोड़ी है(-3;2), (3;-2) । पहली शर्त को ध्यान में रखते हुए, हम समाधानों की दूसरी जोड़ी को अस्वीकार करते हैं।
समीकरण की जड़ें हैं

कार्य 5. एक आयत की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें यदि इसका परिमाप 18 सेमी और क्षेत्रफल 77 सेमी 2 है।

समाधान: एक आयत का आधा परिमाप आसन्न भुजाओं के योग के बराबर होता है। आइए x को निरूपित करें - बड़ा पक्ष, फिर 18-x इसका छोटा पक्ष है। एक आयत का क्षेत्रफल इन लंबाईयों के गुणनफल के बराबर होता है:
x(18-x)=77;
या
x 2 -18x + 77 = 0.
समीकरण का विवेचक ज्ञात कीजिए

हम समीकरण की जड़ों की गणना करते हैं

अगर एक्स=11,वह 18x=7 ,इसका विपरीत भी सत्य है (यदि x=7, तो 21-x=9)।

समस्या 6. द्विघात 10x 2 -11x+3=0 समीकरण का गुणनखंड करें।

समाधान: समीकरण की जड़ों की गणना करें, इसके लिए हम विवेचक ढूंढते हैं

हम पाए गए मान को मूलों के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं

हम द्विघात समीकरण को मूलों के संदर्भ में विस्तारित करने के लिए सूत्र लागू करते हैं

कोष्ठक का विस्तार करने पर हमें सर्वसमिका प्राप्त होती है।

पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण

उदाहरण 1. पैरामीटर के किन मानों के लिए ए ,क्या समीकरण (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 = 0 का एक मूल है?

समाधान: मान a=3 के सीधे प्रतिस्थापन से, हम देखते हैं कि इसका कोई समाधान नहीं है। इसके अलावा, हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि शून्य विभेदक के साथ, समीकरण में गुणन 2 का एक मूल होता है। आइए विभेदक लिखें

इसे सरल बनाएं और शून्य के बराबर करें

हमने पैरामीटर ए के संबंध में एक द्विघात समीकरण प्राप्त किया है, जिसका समाधान विएटा प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त करना आसान है। मूलों का योग 7 है और उनका गुणनफल 12 है। सरल गणना द्वारा, हम स्थापित करते हैं कि संख्या 3.4 समीकरण की जड़ें होंगी। चूँकि हमने गणना की शुरुआत में ही समाधान a=3 को अस्वीकार कर दिया है, एकमात्र सही समाधान होगा - ए=4.इस प्रकार, a = 4 के लिए, समीकरण का एक मूल है।

उदाहरण 2. पैरामीटर के किन मानों के लिए ए ,समीकरण a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0एक से अधिक जड़ें हैं?

समाधान: पहले एकवचन बिंदुओं पर विचार करें, वे मान a=0 और a=-3 होंगे। जब a=0, तो समीकरण 6x-9=0 के रूप में सरल हो जाएगा; x=3/2 और एक मूल होगा। a=-3 के लिए हमें पहचान 0=0 मिलती है।
विवेचक की गणना करें

और a का मान ज्ञात करें जिसके लिए यह सकारात्मक है

पहली शर्त से हमें a>3 प्राप्त होता है। दूसरे के लिए, हम विवेचक और समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं


आइए उन अंतरालों को परिभाषित करें जहां फ़ंक्शन लेता है सकारात्मक मूल्य. बिंदु a=0 को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है 3>0 . अतः, अंतराल (-3; 1/3) के बाहर फलन ऋणात्मक है। बिन्दी मत भूलना ए=0जिसे बाहर रखा जाना चाहिए, क्योंकि मूल समीकरण में एक जड़ है।
परिणामस्वरूप, हमें दो अंतराल मिलते हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं

व्यवहार में कई समान कार्य होंगे, कार्यों को स्वयं निपटाने का प्रयास करें और उन स्थितियों को ध्यान में रखना न भूलें जो परस्पर अनन्य हैं। द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सूत्रों का अच्छी तरह से अध्ययन करें, गणना करते समय अक्सर उनकी आवश्यकता होती है विभिन्न कार्यऔर विज्ञान.

गणित की कुछ समस्याओं के लिए वर्गमूल के मान की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता होती है। इन समस्याओं में दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करना शामिल है। इस लेख में, हम प्रस्तुत करते हैं प्रभावी तरीकावर्गमूलों की गणना करना और द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्रों के साथ काम करते समय इसका उपयोग करना।

वर्गमूल क्या है?

गणित में, यह अवधारणा प्रतीक √ से मेल खाती है। ऐतिहासिक डेटा कहता है कि इसका उपयोग पहली बार जर्मनी में 16वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध के आसपास शुरू हुआ (बीजगणित पर क्रिस्टोफ रुडोल्फ द्वारा पहला जर्मन कार्य)। वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि यह प्रतीक रूपांतरित है लैटिन अक्षर r (लैटिन में मूलांक का अर्थ है "मूल")।

किसी भी संख्या का मूल ऐसे मान के बराबर होता है, जिसका वर्ग मूल अभिव्यक्ति से मेल खाता है। गणित की भाषा में यह परिभाषा इस प्रकार दिखेगी: √x = y यदि y 2 = x.

एक धनात्मक संख्या (x > 0) का मूल भी एक धनात्मक संख्या (y > 0) है, लेकिन यदि आप ऋणात्मक संख्या (x) का मूल लेते हैं< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

यहां दो सरल उदाहरण दिए गए हैं:

√9 = 3 क्योंकि 3 2 = 9; √(-9) = 3i चूँकि i 2 = -1.

वर्गमूलों का मान ज्ञात करने के लिए हेरोन का पुनरावृत्तीय सूत्र

उपरोक्त उदाहरण अत्यंत सरल हैं तथा इनमें मूलों की गणना कठिन नहीं है। किसी भी मान के लिए मूल का मान ज्ञात करते समय कठिनाइयाँ पहले से ही प्रकट होने लगती हैं जिन्हें एक वर्ग के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है प्राकृतिक संख्या, उदाहरण के लिए √10, √11, √12, √13, इस तथ्य का उल्लेख नहीं है कि व्यवहार में गैर-पूर्णांक संख्याओं के लिए मूल खोजना आवश्यक है: उदाहरण के लिए √(12.15), √(8.5) इत्यादि।

उपरोक्त सभी मामलों में, आवेदन करें विशेष विधिवर्गमूल की गणना. वर्तमान में, ऐसी कई विधियाँ ज्ञात हैं: उदाहरण के लिए, टेलर श्रृंखला में विस्तार, एक स्तंभ द्वारा विभाजन, और कुछ अन्य। सभी ज्ञात तरीकों में से, शायद सबसे सरल और प्रभावी हेरॉन के पुनरावृत्त सूत्र का उपयोग है, जिसे वर्गमूल निर्धारित करने के लिए बेबीलोनियाई विधि के रूप में भी जाना जाता है (इस बात के प्रमाण हैं कि प्राचीन बेबीलोनियों ने इसे अपनी व्यावहारिक गणना में उपयोग किया था)।

मान लीजिए कि √x का मान ज्ञात करना आवश्यक है। वर्गमूल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), जहां lim n->∞ (a n) => x।

आइए इसे समझें गणितीय संकेतन. √x की गणना करने के लिए, आपको कुछ संख्या a 0 लेनी चाहिए (यह मनमाना हो सकता है, लेकिन परिणाम जल्दी से प्राप्त करने के लिए, आपको इसे चुनना चाहिए ताकि (a 0) 2 जितना संभव हो x के करीब हो। फिर इसे निर्दिष्ट में प्रतिस्थापित करें वर्गमूल की गणना करने और एक नई संख्या 1 प्राप्त करने का सूत्र, जो पहले से ही वांछित मान के करीब होगा। उसके बाद, अभिव्यक्ति में 1 को प्रतिस्थापित करना और 2 प्राप्त करना आवश्यक है। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाना चाहिए जब तक कि आवश्यक सटीकता प्राप्त की जाती है.

हेरॉन के पुनरावृत्तीय सूत्र को लागू करने का एक उदाहरण

कई लोगों के लिए, किसी दी गई संख्या का वर्गमूल प्राप्त करने का एल्गोरिदम जटिल और भ्रमित करने वाला लग सकता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत सरल हो जाता है, क्योंकि यह सूत्र बहुत तेज़ी से परिवर्तित होता है (विशेषकर यदि एक अच्छी संख्या 0 चुनी जाती है)।

आइए एक सरल उदाहरण दें: √11 की गणना करना आवश्यक है। हम 0 = 3 चुनते हैं, क्योंकि 3 2 = 9, जो 4 2 = 16 की तुलना में 11 के करीब है। सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

ए 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3.333333;

ए 2 = 1/2 (3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

ए 3 = 1/2 (3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662।

गणना जारी रखने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि हमने पाया है कि 2 और 3 में अंतर केवल दशमलव के 5वें स्थान पर ही शुरू होता है। इस प्रकार, 0.0001 की सटीकता के साथ √11 की गणना करने के लिए सूत्र को केवल 2 बार लागू करना पर्याप्त था।

वर्तमान में, जड़ों की गणना करने के लिए कैलकुलेटर और कंप्यूटर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, हालांकि, उनके सटीक मूल्य की मैन्युअल रूप से गणना करने में सक्षम होने के लिए चिह्नित सूत्र को याद रखना उपयोगी है।

दूसरे क्रम के समीकरण

यह समझना कि वर्गमूल क्या है और इसकी गणना करने की क्षमता का उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करते समय किया जाता है। ये समीकरण एक अज्ञात के साथ समानताएं हैं, जिसका सामान्य रूप नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

यहां c, b और a कुछ संख्याएं हैं, और a शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, और c और b का मान शून्य के बराबर होने सहित पूरी तरह से मनमाना हो सकता है।

x का कोई भी मान जो चित्र में दर्शाई गई समानता को संतुष्ट करता है, उसके मूल कहलाते हैं (इस अवधारणा को वर्गमूल √ के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए)। चूँकि विचाराधीन समीकरण का दूसरा क्रम (x 2) है, तो इसके लिए दो संख्याओं से अधिक मूल नहीं हो सकते। हम लेख में बाद में विचार करेंगे कि इन जड़ों को कैसे खोजा जाए।

द्विघात समीकरण (सूत्र) के मूल ज्ञात करना

विचाराधीन समानता के प्रकार को हल करने की इस विधि को सार्वभौमिक, या विवेचक के माध्यम से विधि भी कहा जाता है। इसे किसी भी द्विघात समीकरण पर लागू किया जा सकता है। द्विघात समीकरण के विभेदक और मूल का सूत्र इस प्रकार है:

इससे यह देखा जा सकता है कि मूल समीकरण के तीनों गुणांकों में से प्रत्येक के मान पर निर्भर करते हैं। इसके अलावा, x 1 की गणना x 2 की गणना से केवल वर्गमूल के सामने के चिह्न से भिन्न होती है। मूल अभिव्यक्ति, जो b 2 - 4ac के बराबर है, मानी गई समानता के विभेदक से अधिक कुछ नहीं है। द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र में विवेचक एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है क्योंकि यह समाधानों की संख्या और प्रकार निर्धारित करता है। इसलिए, यदि यह शून्य है, तो केवल एक ही समाधान होगा, यदि यह सकारात्मक है, तो समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं, और अंत में, एक नकारात्मक विभेदक दो जटिल जड़ों x 1 और x 2 की ओर ले जाता है।

विएटा का प्रमेय या दूसरे क्रम के समीकरणों की जड़ों के कुछ गुण

16वीं शताब्दी के अंत में, आधुनिक बीजगणित के संस्थापकों में से एक, एक फ्रांसीसी, दूसरे क्रम के समीकरणों का अध्ययन करते हुए, इसकी जड़ों के गुणों को प्राप्त करने में सक्षम था। गणितीय रूप से, उन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एक्स 1 + एक्स 2 = -बी/ए और एक्स 1 * एक्स 2 = सी/ए।

दोनों समानताएं सभी को आसानी से प्राप्त हो सकती हैं; इसके लिए केवल विवेचक के साथ एक सूत्र के माध्यम से प्राप्त जड़ों के साथ उचित गणितीय संक्रियाएं करना आवश्यक है।

इन दो अभिव्यक्तियों के संयोजन को उचित रूप से द्विघात समीकरण की जड़ों का दूसरा सूत्र कहा जा सकता है, जो विभेदक का उपयोग किए बिना इसके समाधान का अनुमान लगाना संभव बनाता है। यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यद्यपि दोनों अभिव्यक्तियाँ हमेशा मान्य होती हैं, किसी समीकरण को हल करने के लिए उनका उपयोग करना तभी सुविधाजनक होता है जब इसे गुणनखंडित किया जा सके।

अर्जित ज्ञान को समेकित करने का कार्य

हम एक गणितीय समस्या का समाधान करेंगे जिसमें हम लेख में चर्चा की गई सभी तकनीकों का प्रदर्शन करेंगे। समस्या की स्थितियाँ इस प्रकार हैं: आपको दो संख्याएँ ढूँढ़नी होंगी जिनका गुणनफल -13 है और योग 4 है।

यह स्थिति तुरंत विएटा के प्रमेय की याद दिलाती है, वर्गमूलों और उनके उत्पाद के योग के सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं:

x 1 + x 2 = -बी/ए = 4;

x 1 * x 2 = सी/ए = -13।

मान लीजिए कि a = 1 है, तो b = -4 और c = -13 है। ये गुणांक हमें दूसरे क्रम का समीकरण बनाने की अनुमति देते हैं:

x 2 - 4x - 13 = 0.

हम विवेचक के साथ सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें निम्नलिखित मूल मिलते हैं:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

अर्थात्, कार्य को संख्या √68 खोजने तक सीमित कर दिया गया था। ध्यान दें कि 68 = 4 * 17, फिर, वर्गमूल गुण का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं: √68 = 2√17।

अब हम सुविचारित वर्गमूल सूत्र का उपयोग करते हैं: a 0 = 4, फिर:

ए 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4.125;

ए 2 = 1/2 (4.125 + 17/4.125) = 4.1231।

3 की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है क्योंकि पाए गए मानों में केवल 0.02 का अंतर है। इस प्रकार, √68 = 8.246. इसे x 1,2 के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

x 1 = (4 + 8.246) / 2 = 6.123 और x 2 = (4 - 8.246) / 2 = -2.123।

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्राप्त संख्याओं का योग वास्तव में 4 के बराबर है, लेकिन यदि आप उनका गुणनफल पाते हैं, तो यह -12.999 के बराबर होगा, जो 0.001 की सटीकता के साथ समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है।

हम विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं समीकरणों का समाधान". रैखिक समीकरणों से हम पहले ही परिचित हो चुके हैं और अब परिचित होने जा रहे हैं द्विघातीय समीकरण.

सबसे पहले, हम विश्लेषण करेंगे कि द्विघात समीकरण क्या है, इसे कैसे लिखा जाता है सामान्य रूप से देखें, और संबंधित परिभाषाएँ दीजिए। उसके बाद, उदाहरणों का उपयोग करके, हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। इसके बाद, आइए पूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ें, जड़ों के लिए सूत्र प्राप्त करें, द्विघात समीकरण के विभेदक से परिचित हों, और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करें। अंत में, हम जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध का पता लगाते हैं।

पेज नेविगेशन.

द्विघात समीकरण क्या है? उनके प्रकार

सबसे पहले आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि द्विघात समीकरण क्या है। इसलिए, द्विघात समीकरण की परिभाषा के साथ-साथ उससे संबंधित परिभाषाओं के साथ द्विघात समीकरण के बारे में बात शुरू करना तर्कसंगत है। उसके बाद, आप मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरणों पर विचार कर सकते हैं: कम और गैर-कम, साथ ही पूर्ण और अपूर्ण समीकरण।

द्विघात समीकरणों की परिभाषा और उदाहरण

परिभाषा।

द्विघात समीकरणरूप का एक समीकरण है ए एक्स 2 +बी एक्स+सी=0, जहां x एक चर है, a , b और c कुछ संख्याएं हैं, और a शून्य से भिन्न है।

आइए तुरंत कहें कि द्विघात समीकरणों को अक्सर दूसरी डिग्री के समीकरण कहा जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि द्विघात समीकरण है बीजगणितीय समीकरणदूसरी उपाधि।

दी गई परिभाषा हमें द्विघात समीकरणों के उदाहरण देने की अनुमति देती है। तो 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, आदि। द्विघात समीकरण हैं.

परिभाषा।

नंबर a , b और c कहलाते हैं द्विघात समीकरण के गुणांक a x 2 +b x + c=0, और गुणांक a को पहला, या वरिष्ठ, या x 2 पर गुणांक कहा जाता है, b दूसरा गुणांक है, या x पर गुणांक है, और c एक स्वतंत्र सदस्य है।

उदाहरण के लिए, आइए 5 x 2 −2 x−3=0 के रूप का एक द्विघात समीकरण लें, यहां अग्रणी गुणांक 5 है, दूसरा गुणांक −2 है, और मुक्त पद −3 है। ध्यान दें कि जब गुणांक b और/या c ऋणात्मक हों, जैसा कि अभी दिए गए उदाहरण में है, तब संक्षिप्त रूप 5 x 2 −2 x−3=0 के रूप का द्विघात समीकरण लिखना, न कि 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0।

यह ध्यान देने योग्य है कि जब गुणांक a और / या b 1 या −1 के बराबर होते हैं, तो वे आमतौर पर द्विघात समीकरण के अंकन में स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं होते हैं, जो कि ऐसे अंकन की ख़ासियत के कारण होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण y 2 −y+3=0 में, अग्रणी गुणांक एक है, और y पर गुणांक −1 है।

घटे हुए और गैर-घटे हुए द्विघात समीकरण

अग्रणी गुणांक के मूल्य के आधार पर, कम और गैर-कम द्विघात समीकरणों को प्रतिष्ठित किया जाता है। आइए हम संबंधित परिभाषाएँ दें।

परिभाषा।

वह द्विघात समीकरण जिसमें अग्रणी गुणांक 1 हो, कहलाता है कम द्विघात समीकरण. अन्यथा, द्विघात समीकरण है कम नहीं किया गया.

के अनुसार यह परिभाषा, द्विघात समीकरण x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, आदि। - कम, उनमें से प्रत्येक में पहला गुणांक एक के बराबर. और 5 x 2 −x−1=0 , आदि। - अनिर्धारित द्विघात समीकरण, उनके अग्रणी गुणांक 1 से भिन्न होते हैं।

किसी भी गैर-घटे हुए द्विघात समीकरण से, उसके दोनों भागों को अग्रणी गुणांक से विभाजित करके, आप कम किए गए समीकरण पर जा सकते हैं। यह क्रिया एक समतुल्य परिवर्तन है, अर्थात, इस तरह से प्राप्त घटे हुए द्विघात समीकरण की जड़ें मूल गैर-घटी हुई द्विघात समीकरण के समान होती हैं, या, इसकी तरह, इसकी कोई जड़ें नहीं होती हैं।

आइए एक उदाहरण लें कि एक अघटीकृत द्विघात समीकरण से कम किए गए द्विघात समीकरण में संक्रमण कैसे किया जाता है।

उदाहरण।

समीकरण 3 x 2 +12 x−7=0 से संबंधित घटे हुए द्विघात समीकरण पर जाएँ।

समाधान।

हमारे लिए मूल समीकरण के दोनों भागों को अग्रणी गुणांक 3 से विभाजित करना पर्याप्त है, यह गैर-शून्य है, इसलिए हम यह क्रिया कर सकते हैं। हमारे पास (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 है, जो (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, इत्यादि के समान है (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , कहां से। तो हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिला, जो मूल समीकरण के बराबर है।

उत्तर:

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण की परिभाषा में एक शर्त a≠0 है। समीकरण a x 2 +b x+c=0 के बिल्कुल वर्गाकार होने के लिए यह शर्त आवश्यक है, क्योंकि a=0 के साथ यह वास्तव में b x+c=0 के रूप का एक रैखिक समीकरण बन जाता है।

जहाँ तक गुणांक b और c का प्रश्न है, वे अलग-अलग और एक साथ, शून्य के बराबर हो सकते हैं। इन मामलों में, द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा।

द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 कहलाता है अधूरा, यदि कम से कम एक गुणांक b , c शून्य के बराबर है।

इसकी बारी में

परिभाषा।

पूर्ण द्विघात समीकरणएक समीकरण है जिसमें सभी गुणांक शून्य से भिन्न हैं।

ये नाम संयोग से नहीं दिए गए हैं. यह निम्नलिखित चर्चा से स्पष्ट हो जायेगा।

यदि गुणांक b शून्य के बराबर है, तो द्विघात समीकरण a x 2 +0 x+c=0 का रूप लेता है, और यह समीकरण a x 2 +c=0 के बराबर है। यदि c=0 , अर्थात, द्विघात समीकरण का रूप a x 2 +b x+0=0 है, तो इसे a x 2 +b x=0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। और b=0 और c=0 के साथ हमें द्विघात समीकरण a·x 2 =0 मिलता है। परिणामी समीकरण पूर्ण द्विघात समीकरण से इस मायने में भिन्न होते हैं कि उनके बाएँ हाथ में चर x वाला कोई पद, या कोई मुक्त पद, या दोनों नहीं होते हैं। इसलिए उनका नाम - अपूर्ण द्विघात समीकरण।

तो समीकरण x 2 +x+1=0 और −2 x 2 −5 x+0,2=0 पूर्ण द्विघात समीकरण के उदाहरण हैं, और x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

पिछले पैराग्राफ की जानकारी से यह पता चलता है कि वहाँ है तीन प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण:

• a x 2 =0 , गुणांक b=0 और c=0 इसके अनुरूप हैं;
• a x 2 +c=0 जब b=0 ;
• और a x 2 +b x=0 जब c=0 .

आइए हम विश्लेषण करें कि इनमें से प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

ए एक्स 2 = 0

आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करके प्रारंभ करें जिनमें गुणांक b और c शून्य के बराबर हैं, अर्थात a x 2 =0 के रूप के समीकरणों के साथ। समीकरण a·x 2 =0, समीकरण x 2 =0 के समतुल्य है, जो मूल से इसके दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। जाहिर है, समीकरण x 2 = 0 का मूल शून्य है, क्योंकि 0 2 = 0 है। इस समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं है, जिसे समझाया गया है, वास्तव में, किसी भी गैर-शून्य संख्या p के लिए, असमानता p 2 >0 होती है, जिसका अर्थ है कि p≠0 के लिए, समानता p 2 = 0 कभी प्राप्त नहीं होती है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 = 0 का एक ही मूल x = 0 है।

उदाहरण के तौर पर, हम एक अपूर्ण द्विघात समीकरण −4·x 2 =0 का समाधान देते हैं। यह समीकरण x 2 = 0 के समतुल्य है, इसका एकमात्र मूल x = 0 है, इसलिए, मूल समीकरण का एक ही मूल शून्य है।

इस मामले में एक संक्षिप्त समाधान इस प्रकार जारी किया जा सकता है:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
एक्स=0 .

ए एक्स 2 +सी=0

अब विचार करें कि अपूर्ण द्विघात समीकरण कैसे हल किए जाते हैं, जिसमें गुणांक b शून्य के बराबर है, और c≠0, अर्थात a x 2 +c=0 के रूप के समीकरण हैं। हम जानते हैं कि किसी पद को विपरीत चिह्न के साथ समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष में स्थानांतरित करने के साथ-साथ समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से विभाजित करने पर एक समतुल्य समीकरण मिलता है। इसलिए, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 के निम्नलिखित समकक्ष परिवर्तन किए जा सकते हैं:

• c को दाईं ओर ले जाएँ, जिससे समीकरण a x 2 =−c प्राप्त होता है,
• और इसके दोनों भागों को a से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है।

परिणामी समीकरण हमें इसकी जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है। a और c के मानों के आधार पर, अभिव्यक्ति का मान ऋणात्मक हो सकता है (उदाहरण के लिए, यदि a=1 और c=2 , तो ) या सकारात्मक, (उदाहरण के लिए, यदि a=−2 और c=6 , तब ), यह शून्य के बराबर नहीं है , क्योंकि शर्त के अनुसार c≠0 . हम मामलों का अलग से विश्लेषण करेंगे और।

यदि, तो समीकरण की कोई जड़ नहीं है। यह कथन इस तथ्य का अनुसरण करता है कि किसी भी संख्या का वर्ग एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि जब, तब किसी भी संख्या p के लिए समानता सत्य नहीं हो सकती।

यदि, तो समीकरण की जड़ों के साथ स्थिति अलग है। इस मामले में, यदि हम इसके बारे में याद करते हैं, तो समीकरण का मूल तुरंत स्पष्ट हो जाता है, यह संख्या है, क्योंकि। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या वास्तव में समीकरण का मूल भी है। इस समीकरण की कोई अन्य जड़ नहीं है, जिसे उदाहरण के लिए, विरोधाभास द्वारा दिखाया जा सके। चलो यह करते हैं।

आइए समीकरण की उचित ध्वनि वाली जड़ों को x 1 और −x 1 के रूप में निरूपित करें। मान लीजिए कि समीकरण का एक और मूल x 2 है जो संकेतित मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। यह ज्ञात है कि समीकरण में x के स्थान पर मूलों का प्रतिस्थापन समीकरण को वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देता है। x 1 और −x 1 के लिए हमारे पास है, और x 2 के लिए हमारे पास है। संख्यात्मक समानता के गुण हमें वास्तविक संख्यात्मक समानता के पद-दर-अवधि घटाव करने की अनुमति देते हैं, इसलिए समानता के संगत भागों को घटाने पर x 1 2 − x 2 2 =0 प्राप्त होता है। संख्याओं के साथ संक्रियाओं के गुण हमें परिणामी समानता को (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देते हैं। हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो। इसलिए, प्राप्त समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि x 1 −x 2 =0 और/या x 1 +x 2 =0, जो समान है, x 2 =x 1 और/या x 2 = −x 1। इसलिए हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं, क्योंकि शुरुआत में हमने कहा था कि समीकरण x 2 का मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। इससे साबित होता है कि समीकरण का और के अलावा कोई अन्य मूल नहीं है।

आइए इस अनुच्छेद में जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करें। अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 समीकरण के समतुल्य है, जो

• इसकी कोई जड़ नहीं है यदि ,
• इसकी दो जड़ें हैं और यदि .

a·x 2 +c=0 रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

आइए द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 से प्रारंभ करें। मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करने के बाद, यह 9·x 2 =−7 का रूप ले लेगा। परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को 9 से विभाजित करने पर, हम पर पहुंचते हैं। चूँकि दाईं ओर एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, इसलिए, मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 का कोई मूल नहीं है।

आइए एक और अधूरा द्विघात समीकरण हल करें -x 2 +9=0। हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: -x 2 \u003d -9। अब हम दोनों भागों को −1 से विभाजित करते हैं, हमें x 2 =9 प्राप्त होता है। दाईं ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि या। अंतिम उत्तर लिखने के बाद: अपूर्ण द्विघात समीकरण -x 2 +9=0 के दो मूल x=3 या x=−3 हैं।

ए एक्स 2 +बी एक्स=0

c=0 के लिए अंतिम प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों के समाधान से निपटना बाकी है। a x 2 +b x=0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण आपको हल करने की अनुमति देते हैं गुणनखंडन विधि. जाहिर है, हम समीकरण के बाईं ओर स्थित हो सकते हैं, जिसके लिए सामान्य कारक x को कोष्ठक से बाहर निकालना पर्याप्त है। यह हमें मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण से x·(a·x+b)=0 रूप के समतुल्य समीकरण में जाने की अनुमति देता है। और यह समीकरण दो समीकरण x=0 और a x+b=0 के सेट के बराबर है, जिनमें से अंतिम रैखिक है और इसका मूल x=−b/a है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +b x=0 के दो मूल x=0 और x=−b/a हैं।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम एक विशिष्ट उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

समाधान।

हम कोष्ठक से x निकालते हैं, इससे समीकरण प्राप्त होता है। यह दो समीकरण x=0 और के बराबर है। हम प्राप्त का समाधान करते हैं रेखीय समीकरण: , और मिश्रित संख्या को विभाजित करें सामान्य अंश, हम देखतें है । इसलिए, मूल समीकरण की जड़ें x=0 और हैं।

आवश्यक अभ्यास प्राप्त करने के बाद ऐसे समीकरणों के हल संक्षेप में लिखे जा सकते हैं:

उत्तर:

x=0 , .

विवेचक, द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक मूल सूत्र होता है। चलो लिखो द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र: , कहाँ डी=बी 2 −4 ए सी- तथाकथित द्विघात समीकरण का विभेदक. अंकन का मूलतः यही अर्थ है।

यह जानना उपयोगी है कि मूल सूत्र कैसे प्राप्त किया गया, और इसे द्विघात समीकरणों की जड़ों को खोजने में कैसे लागू किया जाता है। आइए इससे निपटें.

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए हमें द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 को हल करने की आवश्यकता है। आइए कुछ समतुल्य परिवर्तन करें:

• हम इस समीकरण के दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित कर सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त होता है।
• अब एक पूर्ण वर्ग चुनेंइसके बाईं ओर: . उसके बाद समीकरण बनेगा.
• इस स्तर पर, अंतिम दो पदों को विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव है, हमारे पास है।
• और आइए अभिव्यक्ति को दाईं ओर भी रूपांतरित करें:।

परिणामस्वरूप, हम समीकरण पर आते हैं, जो मूल द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 के बराबर है।

जब हमने विश्लेषण किया तो हमने पहले ही पिछले पैराग्राफ में समान रूप वाले समीकरणों को हल कर लिया है। यह हमें समीकरण की जड़ों के संबंध में निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है:

• यदि, तो समीकरण का कोई वास्तविक समाधान नहीं है;
• यदि , तो समीकरण का रूप , इसलिए , है , जिससे उसका एकमात्र मूल दिखाई देता है ;
• यदि , तो या , जो या के समान है , अर्थात समीकरण के दो मूल हैं।

इस प्रकार, समीकरण की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति, और इसलिए मूल द्विघात समीकरण, दाईं ओर अभिव्यक्ति के चिह्न पर निर्भर करती है। बदले में, इस अभिव्यक्ति का चिह्न अंश के चिह्न द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि हर 4 ए 2 हमेशा सकारात्मक होता है, यानी अभिव्यक्ति का चिह्न बी 2 −4 ए सी। इस अभिव्यक्ति को b 2 −4 a c कहा जाता है द्विघात समीकरण का विभेदकऔर पत्र से अंकित किया गया डी. यहां से, विवेचक का सार स्पष्ट है - इसके मूल्य और चिह्न से, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि क्या द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें हैं, और यदि हां, तो उनकी संख्या क्या है - एक या दो।

हम समीकरण पर लौटते हैं, विवेचक के नोटेशन का उपयोग करके इसे फिर से लिखते हैं:। और हम निष्कर्ष निकालते हैं:

• यदि डी<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• यदि D=0, तो इस समीकरण का एक ही मूल है;
• अंत में, यदि D>0, तो समीकरण के दो मूल हैं या, जिन्हें या के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, और भिन्नों को विस्तारित और कम करने के बाद आम विभाजकहम पाते हैं ।

इसलिए हमने द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र निकाले, वे इस तरह दिखते हैं, जहां विभेदक डी की गणना सूत्र डी = बी 2 −4 ए सी द्वारा की जाती है।

उनकी सहायता से, एक सकारात्मक विवेचक के साथ, आप द्विघात समीकरण की दोनों वास्तविक जड़ों की गणना कर सकते हैं। जब विवेचक शून्य के बराबर होता है, तो दोनों सूत्र समान मूल मान देते हैं एकमात्र समाधानद्विघात समीकरण। और एक नकारात्मक विभेदक के साथ, जब एक द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करने का प्रयास किया जाता है, तो हमें एक नकारात्मक संख्या से वर्गमूल निकालने का सामना करना पड़ता है, जो हमें स्कूल पाठ्यक्रम के दायरे से परे ले जाता है। एक नकारात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं, लेकिन एक जोड़ी होती है जटिल सन्युग्मजड़ें, जिन्हें हमारे द्वारा प्राप्त उन्हीं मूल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

व्यवहार में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, आप तुरंत मूल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जिसके साथ उनके मूल्यों की गणना की जा सकती है। लेकिन यह जटिल जड़ें खोजने के बारे में अधिक है।

हालाँकि, स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में, यह आमतौर पर होता है हम बात कर रहे हैंजटिल के बारे में नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के बारे में। इस मामले में, यह सलाह दी जाती है कि द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले विवेचक को ढूंढें, सुनिश्चित करें कि यह गैर-नकारात्मक है (अन्यथा, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और उसके बाद जड़ों के मूल्यों की गणना करें।

उपरोक्त तर्क हमें लिखने की अनुमति देता है द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम. द्विघात समीकरण a x 2 + b x + c \u003d 0 को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

• विभेदक सूत्र D=b 2 −4 a c का उपयोग करके इसके मान की गणना करें;
• यह निष्कर्ष निकालें कि यदि विवेचक ऋणात्मक है तो द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है;
• सूत्र का उपयोग करके समीकरण के एकमात्र मूल की गणना करें यदि D=0 ;
• यदि विवेचक सकारात्मक है तो मूल सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल खोजें।

यहां हम केवल यह ध्यान देते हैं कि यदि विवेचक शून्य के बराबर है, तो सूत्र का भी उपयोग किया जा सकता है, यह वही मान देगा।

आप द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम लागू करने के उदाहरणों पर आगे बढ़ सकते हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य विभेदक वाले तीन द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करें। उनके समाधान से निपटने के बाद, सादृश्य द्वारा किसी भी अन्य द्विघात समीकरण को हल करना संभव होगा। चलो शुरू करो।

उदाहरण।

समीकरण x 2 +2 x−6=0 के मूल ज्ञात कीजिये।

समाधान।

इस मामले में, हमारे पास द्विघात समीकरण के निम्नलिखित गुणांक हैं: a=1 , b=2 और c=−6 । एल्गोरिथम के अनुसार, आपको सबसे पहले विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है, इसके लिए हम संकेतित ए, बी और सी को विभेदक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास है D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. चूँकि 28>0, अर्थात् विवेचक शून्य से बड़ा है, द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए उन्हें मूलों के सूत्र द्वारा खोजें, हमें मिलता है, यहां हम प्राप्त अभिव्यक्तियों को सरल बना सकते हैं मूल के चिह्न का गुणनखंडन करनाअंश में कमी के बाद:

उत्तर:

आइए अगले विशिष्ट उदाहरण पर चलते हैं।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण −4 x 2 +28 x−49=0 को हल करें।

समाधान।

हम विवेचक को ढूंढ़कर प्रारंभ करते हैं: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. इसलिए, इस द्विघात समीकरण का एक ही मूल है, जिसे हम इस प्रकार पाते हैं, अर्थात,

उत्तर:

एक्स=3.5 .

नकारात्मक विभेदक वाले द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करना बाकी है।

उदाहरण।

समीकरण 5 y 2 +6 y+2=0 को हल करें।

समाधान।

यहां द्विघात समीकरण के गुणांक हैं: a=5 , b=6 और c=2 । इन मूल्यों को विभेदक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. विवेचक नकारात्मक है, इसलिए, इस द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

यदि आपको जटिल मूल निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, तो हम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं, और निष्पादित करते हैं जटिल संख्याओं के साथ संचालन:

उत्तर:

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, जटिल जड़ें हैं:।

एक बार फिर, हम ध्यान दें कि यदि द्विघात समीकरण का विभेदक नकारात्मक है, तो स्कूल आमतौर पर तुरंत उत्तर लिखता है, जिसमें वे संकेत देते हैं कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, और उन्हें जटिल जड़ें नहीं मिलती हैं।

सम द्वितीय गुणांक के लिए मूल सूत्र

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र, जहां D=b 2 −4 a c आपको अधिक सघन सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है जो आपको x पर सम गुणांक के साथ (या बस 2 n जैसा दिखने वाले गुणांक के साथ) द्विघात समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है , उदाहरण के लिए, या 14 ln5=2 7 ln5 ). चलो उसे बाहर ले चलो.

मान लीजिए कि हमें a x 2 +2 n x + c=0 रूप के द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। आइए ज्ञात सूत्र का उपयोग करके इसकी जड़ें खोजें। ऐसा करने के लिए, हम विवेचक की गणना करते हैं D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), और फिर हम मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

अभिव्यक्ति n 2 −a c को D 1 के रूप में निरूपित करें (कभी-कभी इसे D " से दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 n के साथ विचारित द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र रूप लेता है , जहाँ D 1 =n 2 −a c .

यह देखना आसान है कि D=4·D 1 , या D 1 =D/4 . दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का चौथा भाग है। यह स्पष्ट है कि D 1 का चिन्ह D के चिन्ह के समान है। अर्थात् चिन्ह D 1 द्विघात समीकरण के मूलों की उपस्थिति या अनुपस्थिति का भी सूचक है।

तो, दूसरे गुणांक 2 n के साथ एक द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता है

• गणना करें D 1 =n 2 −a·c ;
• यदि डी 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• यदि डी 1 =0, तो सूत्र का उपयोग करके समीकरण के एकमात्र मूल की गणना करें;
• यदि D 1 >0, तो सूत्र का उपयोग करके दो वास्तविक जड़ें खोजें।

इस अनुच्छेद में प्राप्त मूल सूत्र का उपयोग करके उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण 5 x 2 −6 x−32=0 को हल करें।

समाधान।

इस समीकरण के दूसरे गुणांक को 2·(−3) के रूप में दर्शाया जा सकता है। यानी, आप मूल द्विघात समीकरण को 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 के रूप में फिर से लिख सकते हैं, यहां a=5 , n=−3 और c=−32 , और चौथे भाग की गणना कर सकते हैं विभेदक: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. चूँकि इसका मान धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। हम उन्हें संबंधित मूल सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करना संभव था, लेकिन इस मामले में, अधिक कम्प्यूटेशनल कार्य करना होगा।

उत्तर:

द्विघात समीकरणों के स्वरूप का सरलीकरण

कभी-कभी, सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना शुरू करने से पहले, यह प्रश्न पूछने में कोई हर्ज नहीं है: "क्या इस समीकरण के रूप को सरल बनाना संभव है"? सहमत हूं कि गणना के संदर्भ में द्विघात समीकरण 11 x 2 −4 x −6=0 को 1100 x 2 −400 x−600=0 की तुलना में हल करना आसान होगा।

आमतौर पर, द्विघात समीकरण के रूप का सरलीकरण उसके दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा या विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, पिछले पैराग्राफ में, हम दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करके समीकरण 1100 x 2 −400 x −600=0 का सरलीकरण प्राप्त करने में कामयाब रहे।

एक समान परिवर्तन द्विघात समीकरणों के साथ किया जाता है, जिनके गुणांक नहीं हैं। इस मामले में, समीकरण के दोनों भागों को आमतौर पर इसके गुणांकों के निरपेक्ष मूल्यों से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आइए द्विघात समीकरण 12 x 2 −42 x+48=0 लें। इसके गुणांकों का निरपेक्ष मान: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . मूल द्विघात समीकरण के दोनों भागों को 6 से विभाजित करने पर, हम समतुल्य द्विघात समीकरण 2 x 2 −7 x+8=0 पर पहुंचते हैं।

और द्विघात समीकरण के दोनों भागों का गुणन आमतौर पर भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के लिए किया जाता है। इस मामले में, गुणन इसके गुणांकों के हर पर किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी द्विघात समीकरण के दोनों भागों को LCM(6, 3, 1)=6 से गुणा किया जाए, तो यह एक सरल रूप x 2 +4 x−18=0 ले लेगा।

इस अनुच्छेद के निष्कर्ष में, हम ध्यान देते हैं कि लगभग हमेशा सभी पदों के चिह्नों को बदलकर द्विघात समीकरण के अग्रणी गुणांक पर ऋण से छुटकारा पाया जाता है, जो दोनों भागों को -1 से गुणा (या विभाजित) करने के अनुरूप होता है। उदाहरण के लिए, आमतौर पर द्विघात समीकरण −2·x 2 −3·x+7=0 से समाधान 2·x 2 +3·x−7=0 पर जाएं।

द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र समीकरण के मूलों को उसके गुणांकों के रूप में व्यक्त करता है। मूलों के सूत्र के आधार पर, आप मूलों और गुणांकों के बीच अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं।

विएटा प्रमेय से सबसे प्रसिद्ध और लागू सूत्र और। विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 x 2 −7 x+22=0 के रूप से, हम तुरंत कह सकते हैं कि इसके मूलों का योग 7/3 है, और मूलों का गुणनफल 22/3 है।

पहले से लिखे गए सूत्रों का उपयोग करके, आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच कई अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों के योग को उसके गुणांकों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:।

ग्रंथ सूची.

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यु. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; ईडी। एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 271 पी. : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित. 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1. शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। - 11वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: मेनेमोसिन, 2009. - 215 पी.: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।

प्रथम स्तर

द्विघातीय समीकरण। व्यापक मार्गदर्शिका (2019)

"द्विघात समीकरण" शब्द में मुख्य शब्द "द्विघात" है। इसका मतलब यह है कि समीकरण में आवश्यक रूप से वर्ग में एक चर (समान X) होना चाहिए, और साथ ही तीसरी (या अधिक) डिग्री में Xs नहीं होना चाहिए।

कई समीकरणों का समाधान द्विघात समीकरणों के समाधान में सिमट जाता है।

आइए यह निर्धारित करना सीखें कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण है, और कुछ अन्य नहीं।

उदाहरण 1

हर से छुटकारा पाएं और समीकरण के प्रत्येक पद को इससे गुणा करें

आइए सब कुछ आगे बढ़ाएँ बाईं तरफऔर पदों को x की घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें

अब हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह समीकरण द्विघात है!

उदाहरण 2

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

यह समीकरण, हालांकि यह मूल रूप से इसमें था, एक वर्ग नहीं है!

उदाहरण 3

आइए हर चीज़ को इससे गुणा करें:

डरावना? चौथी और दूसरी डिग्री... हालाँकि, यदि हम प्रतिस्थापन करते हैं, तो हम देखेंगे कि हमारे पास एक सरल द्विघात समीकरण है:

उदाहरण 4

ऐसा प्रतीत होता है, लेकिन आइए करीब से देखें। आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:

आप देखिए, यह सिकुड़ गया है - और अब यह एक सरल रैखिक समीकरण है!

अब स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि निम्नलिखित में से कौन से समीकरण द्विघात हैं और कौन से नहीं:

उदाहरण:

उत्तर:

1. वर्ग;
2. वर्ग;
3. चौकोर नहीं;
4. चौकोर नहीं;
5. चौकोर नहीं;
6. वर्ग;
7. चौकोर नहीं;
8. वर्ग।

गणितज्ञ सशर्त रूप से सभी द्विघात समीकरणों को निम्नलिखित प्रकारों में विभाजित करते हैं:

• पूर्ण द्विघात समीकरण- ऐसे समीकरण जिनमें गुणांक और, साथ ही मुक्त पद c, शून्य के बराबर नहीं हैं (जैसा कि उदाहरण में है)। इसके अलावा, पूर्ण द्विघात समीकरणों में से हैं दिया गयावे समीकरण हैं जिनमें गुणांक (उदाहरण एक से समीकरण न केवल पूर्ण है, बल्कि कम भी है!)

• अपूर्ण द्विघात समीकरण- समीकरण जिनमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

  वे अपूर्ण हैं क्योंकि उनमें कुछ तत्व लुप्त हैं। लेकिन समीकरण में हमेशा x का वर्ग होना चाहिए!!! अन्यथा, यह अब द्विघात नहीं, बल्कि कोई अन्य समीकरण होगा।

वे ऐसा विभाजन क्यों लेकर आये? ऐसा प्रतीत होता है कि कोई X वर्ग है, और ठीक है। ऐसा विभाजन समाधान के तरीकों के कारण होता है। आइए उनमें से प्रत्येक पर अधिक विस्तार से विचार करें।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

सबसे पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने पर ध्यान केंद्रित करें - वे बहुत सरल हैं!

अपूर्ण द्विघात समीकरण इस प्रकार के होते हैं:

1. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।
2. , इस समीकरण में मुक्त पद बराबर है।
3. , इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

1. मैं. चूँकि हम निकालना जानते हैं वर्गमूल, तो आइए इस समीकरण से व्यक्त करें

अभिव्यक्ति या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकती है। एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी, इसलिए: यदि, तो समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

और यदि, तो हमें दो जड़ें मिलती हैं। इन सूत्रों को याद रखने की जरूरत नहीं है. मुख्य बात यह है कि आपको हमेशा यह जानना और याद रखना चाहिए कि यह इससे कम नहीं हो सकता।

आइए कुछ उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5:

प्रश्न हल करें

अब बाएँ और दाएँ भाग से जड़ निकालना बाकी है। आख़िरकार, क्या आपको याद है कि जड़ें कैसे निकाली जाती हैं?

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!!!

उदाहरण 6:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 7:

प्रश्न हल करें

ओह! किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, अर्थात समीकरण

कोई जड़ नहीं!

ऐसे समीकरणों के लिए जिनमें कोई जड़ें नहीं हैं, गणितज्ञ एक विशेष चिह्न - (खाली सेट) लेकर आए हैं। और उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर:

इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। यहां कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि हमने जड़ नहीं निकाली है।
उदाहरण 8:

प्रश्न हल करें

आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें:

इस प्रकार,

इस समीकरण की दो जड़ें हैं.

उत्तर:

अपूर्ण द्विघात समीकरणों का सबसे सरल प्रकार (हालाँकि वे सभी सरल हैं, ठीक है?)। जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

यहां हम उदाहरणों के बिना काम करेंगे।

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

हम आपको याद दिलाते हैं कि संपूर्ण द्विघात समीकरण, समीकरण के रूप का एक समीकरण है

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना दिए गए समीकरणों की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल (बस थोड़ा सा) है।

याद करना, विवेचक का उपयोग करके किसी भी द्विघात समीकरण को हल किया जा सकता है! अधूरा भी.

बाकी विधियां आपको इसे तेजी से करने में मदद करेंगी, लेकिन यदि आपको द्विघात समीकरणों में समस्या है, तो पहले विवेचक का उपयोग करके समाधान में महारत हासिल करें।

1. विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

इस प्रकार द्विघात समीकरणों को हल करना बहुत सरल है, मुख्य बात क्रियाओं का क्रम और कुछ सूत्र याद रखना है।

यदि, तो समीकरण का एक मूल है विशेष ध्यानएक कदम खींचो. विवेचक () हमें समीकरण की जड़ों की संख्या बताता है।

• यदि, तो चरण में सूत्र कम हो जाएगा। इस प्रकार, समीकरण का केवल एक मूल होगा।
• यदि, तो हम कदम-कदम पर विभेदक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

आइए अपने समीकरणों पर वापस जाएं और कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 9:

प्रश्न हल करें

स्टेप 1छोडना।

चरण दो

विभेदक ढूँढना:

अतः समीकरण के दो मूल हैं।

चरण 3

उत्तर:

उदाहरण 10:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोडना।

चरण दो

विभेदक ढूँढना:

अतः समीकरण का एक मूल है।

उत्तर:

उदाहरण 11:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोडना।

चरण दो

विभेदक ढूँढना:

इसका मतलब यह है कि हम विवेचक से जड़ नहीं निकाल पाएंगे। समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं.

अब हम जानते हैं कि ऐसे उत्तरों को सही ढंग से कैसे लिखा जाए।

उत्तर:कोई जड़ नहीं

2. विएटा प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों का समाधान।

यदि आपको याद हो, तो इस प्रकार के समीकरण होते हैं जिन्हें कम कहा जाता है (जब गुणांक a के बराबर होता है):

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके ऐसे समीकरणों को हल करना बहुत आसान है:

जड़ों का योग दिया गयाद्विघात समीकरण बराबर होता है और मूलों का गुणनफल बराबर होता है।

उदाहरण 12:

प्रश्न हल करें

यह समीकरण विएटा प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि .

समीकरण के मूलों का योग है, अर्थात हमें पहला समीकरण मिलता है:

और उत्पाद है:

आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

• और। योग है;
• और। योग है;
• और। रकम बराबर है.

और सिस्टम का समाधान हैं:

उत्तर: ; .

उदाहरण 13:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 14:

प्रश्न हल करें

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

उत्तर:

द्विघातीय समीकरण। औसत स्तर

द्विघात समीकरण क्या है?

दूसरे शब्दों में, एक द्विघात समीकरण उस रूप का समीकरण है, जहाँ - अज्ञात, - इसके अलावा, कुछ संख्याएँ होती हैं।

संख्या को उच्चतम अथवा कहा जाता है पहला गुणांकद्विघात समीकरण, - दूसरा गुणांक, ए - स्वतंत्र सदस्य.

क्यों? क्योंकि यदि, तो समीकरण तुरंत रैखिक हो जाएगा, क्योंकि गायब हो जाएगा।

इस स्थिति में, और शून्य के बराबर हो सकता है. इसमें स्टूल समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है। यदि सभी पद यथास्थान हैं, तो समीकरण पूरा हो गया है।

विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों का समाधान

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

आरंभ करने के लिए, हम अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियों का विश्लेषण करेंगे - वे सरल हैं।

निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

I., इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

द्वितीय. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।

तृतीय. , इस समीकरण में मुक्त पद बराबर है।

अब इनमें से प्रत्येक उपप्रकार के समाधान पर विचार करें।

जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

एक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, क्योंकि दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा करने पर परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या ही होगा। इसीलिए:

यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;

यदि हमारी दो जड़ें हैं

इन सूत्रों को याद रखने की जरूरत नहीं है. याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि यह कम नहीं हो सकता।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!

किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, अर्थात समीकरण

कोई जड़ नहीं.

संक्षेप में यह लिखने के लिए कि समस्या का कोई समाधान नहीं है, हम खाली सेट आइकन का उपयोग करते हैं।

उत्तर:

तो, इस समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

उत्तर:

आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें:

यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है तो उत्पाद शून्य के बराबर है। इसका मतलब यह है कि समीकरण का एक समाधान है जब:

तो, इस द्विघात समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

उदाहरण:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

हम समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करते हैं और मूल पाते हैं:

उत्तर:

संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

1. विवेकशील

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है, मुख्य बात क्रियाओं का क्रम और कुछ सूत्र याद रखना है। याद रखें, विवेचक का उपयोग करके किसी भी द्विघात समीकरण को हल किया जा सकता है! अधूरा भी.

क्या आपने मूल सूत्र में विभेदक की जड़ पर ध्यान दिया? लेकिन विवेचक नकारात्मक हो सकता है। क्या करें? हमें चरण 2 पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। विवेचक हमें समीकरण की जड़ों की संख्या बताता है।

• यदि, तो समीकरण का एक मूल है:
• यदि, तो समीकरण का मूल एक ही है, लेकिन वास्तव में, एक ही मूल है:

  ऐसी जड़ों को दोहरी जड़ें कहा जाता है।

• यदि, तो विवेचक की जड़ नहीं निकाली जाती। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

ऐसा क्यों संभव है अलग राशिजड़ें? आइए हम द्विघात समीकरण के ज्यामितीय अर्थ की ओर मुड़ें। फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है:

एक विशेष मामले में, जो एक द्विघात समीकरण है। और इसका मतलब यह है कि द्विघात समीकरण की जड़ें x-अक्ष (अक्ष) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। परवलय अक्ष को बिल्कुल भी पार नहीं कर सकता है, या यह इसे एक (जब परवलय का शीर्ष अक्ष पर स्थित होता है) या दो बिंदुओं पर काट सकता है।

इसके अलावा, गुणांक परवलय की शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार है। यदि, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि - तो नीचे की ओर।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

उत्तर: ।

उत्तर:

इसका मतलब यह है कि कोई समाधान नहीं है.

उत्तर: ।

2. विएटा का प्रमेय

विएटा प्रमेय का उपयोग करना बहुत आसान है: आपको बस संख्याओं की एक जोड़ी चुननी होगी जिसका उत्पाद समीकरण के मुक्त पद के बराबर है, और योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि विएटा का प्रमेय केवल इसी पर लागू किया जा सकता है दिए गए द्विघात समीकरण ()।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

यह समीकरण विएटा प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि . अन्य गुणांक: ; .

समीकरण की जड़ों का योग है:

और उत्पाद है:

आइए संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करें, जिनका गुणनफल बराबर हो, और जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

• और। योग है;
• और। योग है;
• और। रकम बराबर है.

और सिस्टम का समाधान हैं:

इस प्रकार, और हमारे समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: ; .

उदाहरण #2:

समाधान:

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल देते हैं, और फिर जाँचते हैं कि उनका योग बराबर है या नहीं:

और: कुल मिलाकर दें.

और: कुल मिलाकर दें. इसे पाने के लिए, आपको बस कथित जड़ों के संकेतों को बदलने की जरूरत है: और, आखिरकार, उत्पाद।

उत्तर:

उदाहरण #3:

समाधान:

समीकरण का मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल एक ऋणात्मक संख्या है। यह तभी संभव है जब एक जड़ नकारात्मक हो और दूसरी सकारात्मक। तो जड़ों का योग है उनके मॉड्यूल के अंतर.

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में आते हैं, और जिनका अंतर बराबर होता है:

और: उनका अंतर है - उपयुक्त नहीं;

तथा:-उपयुक्त नहीं;

तथा:-उपयुक्त नहीं;

तथा:- उपयुक्त. यह केवल यह याद रखना बाकी है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। चूँकि उनका योग बराबर होना चाहिए, तो मूल, जो निरपेक्ष मान में छोटा है, ऋणात्मक होना चाहिए:। हम जाँच:

उत्तर:

उदाहरण #4:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है। और यह तभी संभव है जब समीकरण का एक मूल ऋणात्मक और दूसरा धनात्मक हो।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जिनका गुणनफल बराबर होता है, और फिर निर्धारित करते हैं कि किन जड़ों पर ऋणात्मक चिह्न होना चाहिए:

जाहिर है, केवल जड़ें ही पहली स्थिति के लिए उपयुक्त हैं:

उत्तर:

उदाहरण #5:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

मूलों का योग ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक मूल ऋणात्मक है। लेकिन चूंकि उनका उत्पाद सकारात्मक है, इसका मतलब है कि दोनों जड़ें ऋणात्मक हैं।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं, जिनका गुणनफल बराबर होता है:

जाहिर है, जड़ें संख्याएं हैं और।

उत्तर:

सहमत हूँ, यह बहुत सुविधाजनक है - इस घृणित भेदभाव को गिनने के बजाय, मौखिक रूप से जड़ों का आविष्कार करना। जितनी बार संभव हो विएटा के प्रमेय का उपयोग करने का प्रयास करें।

लेकिन जड़ों को खोजने में सुविधा और तेजी लाने के लिए विएटा प्रमेय की आवश्यकता है। इसका उपयोग आपके लिए लाभदायक बनाने के लिए, आपको कार्यों को स्वचालितता में लाना होगा। और इसके लिए पांच और उदाहरण हल करें. लेकिन धोखा मत दो: आप विवेचक का उपयोग नहीं कर सकते! केवल विएटा का प्रमेय:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्यों के समाधान:

कार्य 1. ((x)^(2))-8x+12=0

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

हमेशा की तरह, हम चयन की शुरुआत उत्पाद से करते हैं:

उपयुक्त नहीं है क्योंकि राशि;

: राशि वही है जो आपको चाहिए।

उत्तर: ; .

कार्य 2.

और फिर, हमारा पसंदीदा विएटा प्रमेय: योग निकलना चाहिए, लेकिन उत्पाद बराबर है।

लेकिन चूंकि यह नहीं होना चाहिए, लेकिन, हम जड़ों के संकेत बदलते हैं: और (कुल मिलाकर)।

उत्तर: ; .

कार्य 3.

हम्म...कहाँ है?

सभी शर्तों को एक भाग में स्थानांतरित करना आवश्यक है:

मूलों का योग उत्पाद के बराबर होता है।

हाँ, रुको! समीकरण नहीं दिया गया है. लेकिन विएटा का प्रमेय केवल दिए गए समीकरणों में ही लागू होता है। तो सबसे पहले आपको समीकरण लाना होगा. यदि आप इसे सामने नहीं ला सकते हैं, तो इस विचार को छोड़ दें और इसे दूसरे तरीके से हल करें (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)। मैं आपको याद दिला दूं कि द्विघात समीकरण लाने का अर्थ है अग्रणी गुणांक को इसके बराबर बनाना:

महान। तब मूलों का योग और गुणनफल बराबर होता है।

यहां इसे चुनना आसान है: आख़िरकार - एक अभाज्य संख्या (टॉटोलॉजी के लिए खेद है)।

उत्तर: ; .

कार्य 4.

मुक्त पद ऋणात्मक है। इसमें ऐसा क्या खास है? और तथ्य यह है कि जड़ें अलग-अलग संकेतों की होंगी। और अब, चयन के दौरान, हम जड़ों के योग की नहीं, बल्कि उनके मॉड्यूल के बीच के अंतर की जाँच करते हैं: यह अंतर बराबर है, लेकिन उत्पाद।

तो, जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक माइनस के साथ है। विएटा का प्रमेय हमें बताता है कि मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर है, अर्थात। इसका मतलब यह है कि छोटी जड़ में माइनस होगा: और, चूंकि।

उत्तर: ; .

कार्य 5.

पहले क्या करने की जरूरत है? यह सही है, समीकरण दीजिए:

पुनः: हम संख्या के गुणनखंडों का चयन करते हैं, और उनका अंतर इसके बराबर होना चाहिए:

जड़ें समान हैं और, लेकिन उनमें से एक ऋणात्मक है। कौन सा? उनका योग बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि ऋण के साथ एक बड़ा मूल होगा।

उत्तर: ; .

मुझे संक्षेप में बताएं:

1. विएटा के प्रमेय का उपयोग केवल दिए गए द्विघात समीकरणों में किया जाता है।
2. विएटा प्रमेय का उपयोग करके, आप चयन द्वारा, मौखिक रूप से जड़ें पा सकते हैं।
3. यदि समीकरण नहीं दिया गया है या मुक्त पद के कारकों की कोई उपयुक्त जोड़ी नहीं मिली है, तो कोई पूर्णांक जड़ें नहीं हैं, और आपको इसे दूसरे तरीके से हल करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)।

3. पूर्ण वर्ग चयन विधि

यदि अज्ञात वाले सभी पदों को संक्षिप्त गुणन के सूत्रों से शब्दों के रूप में दर्शाया जाता है - योग या अंतर का वर्ग - तो चर के परिवर्तन के बाद, समीकरण को प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

उदाहरण 2:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

सामान्य तौर पर, परिवर्तन इस तरह दिखेगा:

यह संकेत करता है: ।

क्या यह आपको कुछ याद नहीं दिलाता? यह विभेदक है! ठीक इसी प्रकार विभेदक सूत्र प्राप्त हुआ।

द्विघातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

द्विघात समीकरणरूप का एक समीकरण है, जहां अज्ञात है, द्विघात समीकरण के गुणांक हैं, मुक्त पद है।

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं।

कम किया गया द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक, वह है: .

अपूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

• यदि गुणांक, समीकरण का रूप है: ,
• यदि एक मुक्त पद है, तो समीकरण का रूप है: ,
• यदि और, समीकरण का रूप है:।

1. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1.1. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां, :

1) अज्ञात को व्यक्त करें: ,

2) अभिव्यक्ति के चिह्न की जाँच करें:

• यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
• यदि, तो समीकरण की दो जड़ें हैं।

1.2. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां, :

1) आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें: ,

2) यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है तो उत्पाद शून्य के बराबर है। इसलिए, समीकरण की दो जड़ें हैं:

1.3. प्रपत्र का अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहां:

इस समीकरण का सदैव एक ही मूल होता है: .

2. फॉर्म के संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

2.1. विवेचक का उपयोग कर समाधान

1) हम समीकरण लाते हैं मानक दृश्य: ,

2) सूत्र का उपयोग करके विवेचक की गणना करें:, जो समीकरण की जड़ों की संख्या को इंगित करता है:

3) समीकरण की जड़ें खोजें:

• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

2.2. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान

घटे हुए द्विघात समीकरण (रूप का एक समीकरण, जहां) की जड़ों का योग बराबर है, और जड़ों का उत्पाद बराबर है, यानी। , एक।

2.3. पूर्ण वर्ग समाधान