≡× МЕНЮ

• Ремонт
• Ремонт 
• Дизайн интерьера
• Обо всём
• О сантехнике

Построить сечение фигуры. Задачи на построение сечений в параллелепипеде

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК «ИСКАТЕЛЬ»

Отделение: математика

Секция: математика

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Работу выполнил:

_______________

ученик класса

Научный руководитель:

Тезисы

Методы построения сечений многогранников

Отделение: математика

Секция: математика

Научный руководитель:

Целью исследования является изучение различных методов построения сечений многогранников. Для этого и зучен теоретический материал по данной теме , систематизированы методы решения задач на построение сечений, приведены примеры задач на применение каждого метода, рассмотрены примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов.

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

РАЗДЕЛ 1. ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ………………………………………4

РАЗДЕЛ 2. МЕТОД СЛЕДОВ В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………10

РАЗДЕЛ 3. МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………14

РАЗДЕЛ 4. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ

МНОГОГРАННИКОВ…………………………………………………………17

РАЗДЕЛ 5. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ………………………………………………………….19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………25

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………26

ВВЕДЕНИЕ

Выпускникам предстоит сдавать экзамен по математике , а знание и умение решать стереометрические задачи необходимо для того , чтобы написать данный экзамен на максимальное количество баллов . Актуальность данной работы состоит в необходимости самостоятельно готовиться к экзамену, а рассматриваемая тема является одной из важнейших.

А нализ демонстрационных , диагностических и тренировочных вариантов ЕГЭ с 2009-2014 гг. показал , что 70% геометрических задач составляют задачи на построение сечений и вычисление их элементов – углов, площадей.

В учебном плане задачам на построение сечений многогранников отводится 2 академических часа , что недостаточно для изучения данной темы . В школе плоские сечения многогранников строят лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют и другие методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Очень интересен и перспективен в плане применения к решению различных задач координатный метод. Если многогранник поместить в систему координат, а секущую плоскость задать уравнением, то построение сечения сведется к отысканию координат точек пересечения плоскости с ребрами многогранника.

Объект исследования: методы построения сечений многогранников.

Цель исследования: изучить различные методы построения сечений многогранников.

Задачи исследования:

1) Изучить теоретический материал по данной теме .

2) Систематизировать методы решения задач на построение сечений.

3) Привести примеры задач на применение каждого метода.

4) Рассмотреть примеры задач единого государственного экзамена на построение сечений и вычисление их элементов.

РАЗДЕЛ 1

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ АКСИОМ СЕРЕОМЕТРИИ

Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер - отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки.

Секущая плоскость α может быть задана: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и не принадлежащей ей точкой; другими условиями, определяющими ее положение относительно данного многогранника. Например, на рис.1 построено сечение четырехугольной пирамиды РАВСD плоскостью α, заданной точками М, К и Н, принадлежащими ребрам соответственно РС, РD и РВ;

Рис.1

Задача. В параллелепипеде АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 постройте сечение плоскостью , проходящей через вершины C и D 1 и точку K отрезка B 1 C 1 (рис.2, а).

Решение. 1. Т . к . С ∈ DD 1 C 1 , D 1 ∈ DD 1 C 1 , то по аксиоме (через две точки , принадлежащие плоскости , проходит прямая , притом только одна ) построим след CD 1 в плоскости DD 1 C 1 (рис.2, б).

2. Аналогично в плоскости А 1 В 1 С 1 построим след DK, в плоскости BB 1 C 1 построим след CK.

3. D 1 KC – искомое сечение (рис .2, в)

а) б) в)

Рис.2

Задача. Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н - внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 3, а).

Решение. 1-й шаг. Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК - одна из сторон искомого сечения (рис.3, б).

2-й шаг. Аналогично, отрезок КН - другая сторона искомого сечения (рис.3, в).

3-й шаг. Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Построим точку T= КН ∩АР (рис. 3, г).

Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α и плоскость АРС пересекаются по прямой МТ, которая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 3, д).

4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1, устанавливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение - четырехугольник MKHR (рис.3,е).

Рис.3

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача . Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью

α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 4, а).

Решение . Прямые QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плоскости) и пересекаются в некоторой точке T 1 , (рис. 4,б), при этом T 1 є α, так как QК є α .

Прямая РR пересекает DE в некоторой точке F (рис.4, в), которая является точкой пересечения плоскости АРR и стороны DE основания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в некоторой точке Т 2 (рис. 4, г), при этом Т 2 є α , как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).

Получили: прямая Т 1 Т 2 лежит в секущей плоскости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом прямая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 4, д), которые являются точками пересечения плоскости α с ребрами DE и АЕ пирамиды и служат вершинами искомого сечения.

Далее, прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме прямой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н - еще одной вершине искомого сечения (рис.4, е).

Далее, построим точку Т 3 - Т 1 Т 2 ∩ АВ (рис. 4, ж), которая, как точка прямой Т 1 Т 2 є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т 3 и К секущей плоскости α, значит, прямая Т 3 К - прямая пересечения этих плоскостей. Прямая Т 3 К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 4, з), которая служит очередной вершиной искомого сечения.

Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:

1. Т 1 = QK ∩ АС ; 2. F = PR ∩ DE;

3. Т 2 = KR ∩ AF; 4. М = Т 1 Т 2 ∩ DE;

5. N = Т 1 Т 2 ∩ АЕ ; 6. Н = MR ∩ PD;

7. T 3 = Т 1 Т 2 ∩ АВ ; 8. L = T 3 K ∩ PB.

Шестиугольник MNKLQH - искомое сечение.

Рис.4

Сечение многогранника, имеющего параллельные грани (призма, куб параллелепипед), можно строить, используя свойства параллельных плоскостей.

Задача . Точки M, P и R расположены на ребрах параллелепипеда. Пользуясь свойствами параллельных прямых и плоскостей, построить сечение данного параллелепипеда плоскостью MPR.

Решение. Пусть точки M, P и R расположены на ребрах соответственно DD 1 , ВВ 1 и СС 1 параллелепипеда АВСВА 1 В 1 С 1 В 1 (рис. 5, а).

Обозначим: (MPR) = α - секущая плоскость. Проводим отрезки MR и PR (рис. 5, б), по которым плоскость α пересекает соответственно грани СС 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С данного параллелепипеда. Отрезки MR и PR - стороны искомого сечения. Далее используем теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.

Так как грань АА 1 В 1 В параллельна грани СС 1 D 1 D, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА 1 В 1 В должна быть параллельна прямой MR. Поэтому проводим отрезок PQ || MR, Q є АВ (рис. 5, в); отрезок РQ - следующая сторона искомого сечения. Аналогично, так как грань АА 1 D 1 D параллельна грани СС 1 В 1 В, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА 1 D 1 D должна быть параллельна прямой PR. Поэтому проводим отрезок МН || PR, H є AD (рис. 5, в); отрезок МН - еще одна сторона искомого сечения. На ребрах АВ и AD грани АВСD построили точки Q є АВ и H є AD, которые являются вершинами искомого сечения. Проводим отрезок QH и получаем пятиугольник MRPQH - искомое сечение параллелепипеда.

а) б) в)

Рис. 5

РАЗДЕЛ 2

МЕТОД СЛЕДОВ В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Определение. Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. При этом в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей поверхности призмы (пирамиды).

Задача. Построить сечение призмы АВСВЕА 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD 1 (рис.7,а).

Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR - искомое сечение (рис. 6). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) - точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС 1 , ВB 1 , АА 1 , ЕЕ 1 данной призмы.

Рис. 6

Для построения точки N = α ∩ СС 1 достаточно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD 1 C 1 . Для этого, в свою очередь, достаточно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку?

Так как прямая l лежит в плоскости основания призмы, то она может пересекать плоскость грани СDD 1 C 1 лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD 1 ) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD 1 ) принадлежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС 1 достаточно построить точку X = l ∩ СD. Аналогично, для построения точек Р = α ∩ ВВ 1 , Q = α ∩ АА 1 и R = α ∩ ЕЕ 1 достаточно построить соответственно точки: У = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и Т = l ∩ АЕ. Отсюда

Построение.

X = l ∩ СD (рис. 7, б);

N = МХ ∩ СС 1 (рис. 7, б);

У = l ∩ ВС (рис. 7, в);

Р = NY ∩ ВВ 1 (рис. 7, в);

Z = l ∩ АВ (рис. 7, в);

Q= РZ ∩ АА 1 (рис. 7, г);

T= l ∩ АЕ (рис. 6);

R= QT ∩ ЕЕ 1 (рис. 6).

Пятиугольник MNPQR - искомое сечение (рис. 6).

Доказательство . Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = l ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости.

Поэтому имеем:

М є α , X є α => МХ є α, тогда МХ ∩ СС 1 = N є α , значит, N = α ∩ СС 1 ;

N є α, Y є α => NY є α, тогда NY ∩ ВВ 1 = Р є α, значит, Р = α ∩ ВВ 1 ;

Р є α, Z є α => РZ є α, тогда PZ ∩ AА 1 = Q є α, значит, Q = α ∩ АA 1 ;

Q є α, T є α => QТ є α, тогда QТ ∩ EЕ 1 =R є α, значит, R = α ∩ ЕЕ 1 .

Следовательно, MNPQR - искомое сечение.

а) б)

в) г)

Рис. 7

Исследование. След l секущей плоскости α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадлежит боковому ребру DD 1 призмы. Поэтому секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не принадлежит следу l , то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет единственное решение.

Задача. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью, которая задана следом l и внутренней точкой К ребра РЕ.

Решение. Схематически построение искомого сечения можно изобразить так (рис.8): T 1 → Q → Т 2 → R → Т 3 → М → Т 4 → N.

Пятиугольник MNKQR - искомое сечение.

«Цепочка» последовательности построения вершин сечения такова:

1. Т 1 = l ∩ АЕ; 2. Q = Т 1 К ∩ РА;

3. Т 2 = l ∩ АВ; 4. R = Т 2 Q ∩ РВ;

5. Т 3 = l ∩ ВС; 6. М = T 3 R ∩ РС;

7. Т 4 = l ∩ СD; 8. N = Т 4 М ∩ РD.

Рис. 8

Секущая плоскость часто задается тремя точками, принадлежащими многограннику. В таком случае для построения искомого сечения методом следов сначала строят след секущей плоскости в плоскости основания данного многогранника.

РАЗДЕЛ 3

МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В ПОСТРОЕНИИ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Метод внутреннего проектирования называют еще методом соответствий, или методом диагональных сечений.

При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.

Задача . Построить сечение пирамиды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ (рис. 9, а).

Решение . Плоскость основания пирамиды обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения секущей плоскости α с ребрами пирамиды.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды.

Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К (рис. 9, в). Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К 1 : К 1 = РК ∩ FR (рис. 9, г), при этом К 1 є α. Тогда: М є α, К 1 є α => прямая МK є а. Поэтому точка Q = МК 1 ∩ РD (рис. 9, д) есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q- вершина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по прямым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н (рис. 9, е). Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н 1 (рис. 9, ж). Тогда прямая RН 1 пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ - вершине сечения (рис. 9, з).

1. К = АD ∩ ЕС; 2. К 1 = РК ∩ RF;

3. Q = МК 1 ∩ Р D; 4. H = BE ∩ А D;

5. Н 1 = РН ∩ МQ; 6. N = RН 1 ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR - искомое сечение (рис. 9, и).

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

Рис. 9

Задача . Постройте сечение призмы АВСDEА 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 , плоскостью α, заданной точками М є ВВ 1 , Р є DD 1 , Q є ЕЕ 1 (рис.10).

Решение. Обозначим: β - плоскость нижнего основания призмы. Для построения искомого сечения построим точки пересечения плоскости α = (МРQ) с ребрами призмы.

Построим точку пересечения плоскости α с ребром АА 1 .

Плоскости А 1 АD и ВЕЕ 1 пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и ВЕ, которые пересекаются в некоторой точке К. Так как плоскости А 1 АD и ВЕЕ 1 проходят через параллельные ребра АА 1 и ВВ 1 призмы и имеют общую точку К, то прямая КК 1 их пересечения проходит через точку К и параллельна ребру ВВ 1 . Точку пересечения этой прямой с прямой QМ обозначим: К 1 = КК 1 ∩ QМ, КК 1 ║ ВВ 1 . Так как QM є α, то К 1 є α.

Рис. 10

Получили: Р є α , К 1 є α => прямая РК 1 є α, при этом РК 1 ∩ АА 1 = R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра АА 1 (R = α ∩ АА 1 ), поэтому является вершиной искомого сечения. Аналогично строим точку N = α ∩ СС 1 .

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:

К = АD ∩ ВЕ; 2. К 1 = КК 1 ∩ MQ, КК 1 || ВВ 1 ;

R = РК 1 ∩ АА 1 ; 4. Н = ЕС ∩АD;

H 1 – HH 1 ∩ РR, НН 1 || СС 1 ; 6.N = QН 1 ∩ СС 1 .

Пятиугольник MNPQR- искомое сечение.

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим особенностями:

1. Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.
2. В задачах используются в основном простейшие многогранники.
3. Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

• что значит построить сечение многогранника плоскостью;
• как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
• как задается плоскость;
• когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

• тремя точками;
• прямой и точкой;
• двумя параллельными прямыми;
• двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

1. Метод следов.
2. Метод вспомогательных сечений.
3. Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
• построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;
• построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

В федеральный перечень учебников по геометрии для 10-11 класов входят учебники авторов:

• Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др (Геометрия, 10-11);
• Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
• Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжик В.И. (Геометрия, 10-11);
• Смирновой И.М. (Геометрия, 10-11);
• Шарыгина И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и Погорелова А.В.

В учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение сечений многогранников” выделено два часа. В 10 классе в теме “Параллельность прямых и плоскостей” после изучения тетраэдра и параллелепипеда отводится один час на изложение параграфа “Задачи на построение сечений”. Рассматриваются сечения тетраэдра и параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых и плоскостей” завершается решением задач на одном или двух часах (всего задач на построение сечений в учебнике восемь).

В учебнике Погорелова А.В. на построение сечений отводится около трех часов в главе “Многогранники”: один – на изучение темы “Изображение призмы и построение ее сечений”, второй – на изучение темы “Построение пирамиды и ее плоских сечений” и третий – на решение задач. В списке задач, приведенных после темы, задач на сечение насчитывается всего около десяти.

Мы предлагаем систему уроков по теме “Построение сечений многогранников” для учебника Погорелова А.В.

Материал предлагается расположить в той последовательности, в какой он может применяться для обучения учащихся. Из изложения темы “Многогранники” предлагается исключить следующие параграфы: “Построение сечений призмы” и “Построение сечений пирамиды” с тем, чтобы систематизировать данный материал в конце этой темы “Многогранники”. Классифицировать его по тематике задач с примерным соблюдением принципа “от простого к сложному” можно весьма условно следующим образом:

1. Определение сечения многогранников.
2. Построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов. (Как правило в школьном курсе стереометрии используются задачи на построение сечений многогранников, решаемые основными методами. Остальные методы, в связи с их более высоким уровнем сложности, учитель может оставить для рассмотрения на факультативных занятиях или на самостоятельное изучение. В задачах на построение основными методами требуется построить плоскость сечения, проходящую через три точки).
3. Нахождение площади сечений в многогранниках (без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
4. Нахождение площади сечений в многогранниках (с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ И МЕТОДИКА ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ В 10-11 КЛАССАХ.

(система уроков и факультативных занятий по теме “Построение сечений многогранников”)

УРОК 1.

Тема урока: “Построение сечений многогранников”.

Цель урока: ознакомление с методами построений сечений многогранников.

Этапы урока:

1. Актуализация опорных знаний.
2. Постановка задачи.
3. Изучение нового материала:

А) Определение сечения.

Б) Методы построений сечений:

а) метод следов;

б) метод вспомогательных сечений;

в) комбинированный метод.

1. Закрепление материала.

Примеры построений сечений методом следов.

1. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомним:
- пересечение прямой с плоскостью;
- пересечение плоскостей;
- свойства параллельных плоскостей.

2. Постановка задачи.

Вопросы к классу:
- Что значит построить сечение многогранника плоскостью?
- Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость?
- Как задается плоскость?
- Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

3. Изучение нового материала.

А) Итак, задача состоит в построении пересечения двух фигур: многогранника и плоскости (рис.1). Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Исследуйте сечения куба (рис.2) и ответьте на следующие вопросы:

Какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью? (Важно число сторон многоугольника);

[ Предполагаемые ответы: треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.]

Может ли в сечении куба плоскостью получиться семиугольник? А восьмиугольник и т.д.? Почему?

Давайте рассмотрим призму и ее возможные сечения плоскостью (на модели). Какие многоугольники получаются?

Какой можно сделать вывод? Чему равно наибольшее число сторон многоугольника, полученного сечением многогранника с плоскостью?

[ Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.]

Б) а) Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

б) Метод вспомогательных сечений построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями аксиоматического метода построения сечений многогранников плоскостью.

в) Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

А теперь на примере решения задач рассмотрим метод следов.

4. Закрепление материала.

Задача 1.

Построить сечение призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже (рис.3)).

Решение.

Рис. 3

1. Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА 1 В 1 В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S 1 , принадлежащую следу.
3. Аналогично получаем точку S 2 пересечением прямых QR и BC.
4. Прямая S 1 S 2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
5. Прямая S 1 S 2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D. Аналогично получаем TU и RT.
6. PQRTU – искомое сечение.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.4)).

Решение.

1. Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.
2. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.
3. Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА 1 в некоторой точке Х.
4. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D, соединим их и получим прямую XN.
5. Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A 1 B 1 C 1 D 1 , параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В 1 С 1 в точке Y.
6. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Задача 3 (для самостоятельного решения).

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.5)).

5. Подведение итогов урока.

Ответьте на вопрос: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображенных многогранников плоскостью PQR? И выполните правильное построение (рис. 6).

Вариант 1.

Вариант 2.

Тема урока: НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ.

Цель урока: познакомить со способами нахождения площади сечения многогранника.

Этапы урока:

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомнить теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

2. Решение задач на нахождение площади сечения:

Без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника;

С использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

3. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомним теорему о площади ортогональной проекции многоугольника: площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

2. Решение задач.

ABCD – правильная треугольная пирамида со стороной основания AB равной а и высотой DH равной h . Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М – середина стороны АВ, и найдите его площадь (рис.7).

Сечением пирамиды является треугольник MCD. Найдем его площадь.

S = 1/2 · DH · CM = 1/2 · =

Найти площадь сечения куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину D и точки Е и F на ребрах А 1 D 1 и C 1 D 1 соответственно, если A 1 E = k · D 1 E и C 1 F = k · D 1 F.

Построение сечения:

1. Поскольку точки Е и F принадлежат плоскости сечения и плоскости грани A 1 B 1 C 1 D 1 , а две плоскости пересекаются по прямой, то прямая EF будет являться следом секущей плоскости на плоскость грани A 1 B 1 C 1 D 1 (рис.8).
2. Аналогично получаются прямые ED и FD.
3. EDF – искомое сечение.

Задача 3 (для самостоятельного решения).

Построить сечение куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной а плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где Ь – середина ребра АА 1 , а N – середина ребра СС 1 .

Сечение строим методом следов.

Площадь сечения находим с помощью теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника. Ответ: S = 1/2 · a 2 .

Дмитриев Антон, Киреев Александр

В данной презентации доходчиво, пошагово показаны примеры построения сечений от простых задач к более сложным. Анимация позволяет увидеть этапы построения сечений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Построение сечений многогранников на примере пр измы ® Создатели: Антон Дмитриев, Киреев Александр. При содействии: Гудковой Ольги Викторовны

План урока Алгоритмы построения сечений Самопроверка Демонстрационные задачи Задачи для закрепления материала

Алгоритмы построения сечений следов параллельных прямых параллельного переноса секущей плоскости внутреннего проектирования комбинированный метод дополнения n -угольной призмы до треугольной призмы Построение сечения методом:

Построение сечения методом следов Основные понятия и умения Построение следа прямой на плоскости Построение следа секущей плоскости Построение сечения

Алгоритм построения сечения методом следов Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения). Построить след сечения на плоскости основания многогранника. Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом). Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани. Выполнить п.1.

Построение сечения призмы Двух точек принадлежащих одной грани нет. Точка R лежит в плоскости основания. Найдем след прямой KQ на плоскости основания: - KQ ∩K1Q1=T1, T1R- след сечения. 3. T1R ∩CD=E. 4. Проведем EQ. EQ∩DD1=N. 5. Проведем NK. NK ∩AA1=M. 6. Соединяем M и R . Построить сечение плоскостью α , проходящей через точки K,Q,R; K є ADD1, Q є CDD1, R є AB.

Метод параллельных прямых В основу метода положено свойство параллельных плоскостей: «Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Основные умения и понятия Построение плоскости параллельной данной Построение линии пересечения плоскостей Построение сечения

Алгоритм построения сечения методом параллельных прямых. Строим проекции точек, определяющих сечение. Через две данные точки (например P и Q) и их проекции проводим плоскость. Через третью точку (например R) строим параллельную ей плоскость α . Находим линии пересечения (например m и n) плоскости α с гранями многогранника содержащими точки P и Q . Через точку R проводим прямую а параллельную PQ . Находим точки пересечения прямой а с прямыми m и n. Находим точки пересечения с ребрами соответствующей грани.

(ПРИЗМА) Строим проекции точек P и Q на плоскости верхнего и нижнего оснований. Проводим плоскость P1Q1Q2P2. Через ребро, содержащее точку R, проводим плоскость α параллельную P1Q1Q2. Находим линии пересечения плоскостей ABB1 и CDD1 с плоскость α . Через точку R проводим прямую a||PQ . a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR – искомое сечение. Построить сечение плоскостью α , проходящей через точки P,Q,R; P є ABB1, Q є CDD1, R є EE1.

Метод параллельного переноса секущей плоскости Строим вспомогательное сечение данного многогранника, которое удовлетворяет следующим требованиям: оно параллельно секущей плоскости; в пересечении с поверхностью данного многогранника образует треугольник. Соединяем проекцию вершины треугольника с вершинами той грани многогранника, которую пересекает вспомогательное сечение, и находим точки пересечения со стороной треугольника, лежащей в этой грани. Соединяем вершину треугольника с этими точками. Через точку искомого сечения проводим прямые параллельные построенным отрезкам в предыдущем пункте и находим точки пересечения с ребрами многогранника.

ПРИЗМА R є AA1, P є EDD1, Q є CDD1. Построим вспомогательное сечение AMQ1 ||RPQ. Проведем AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1- проекция точек Р и М на АВС. Проведем Р1В и Р1С. Р1В∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. Через точку Р проведем прямые m и n соответственно параллельные МО1 и МО2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS – искомое сечение Построить сечение призмы плоскостью α , проходящей через точки P,Q,R; P є EDD1, Q є CDD1, R є AA1 .

Алгоритм построения сечения методом внутреннего проектирования. Построить вспомогательные сечения и найти линию их пересечения. Построить след сечения на ребре многогранника. Если точек сечения не хватает для построения самого сечения повторить пп.1-2.

Построение вспомогательных сечений. ПРИЗМА Параллельное проектирование.

Построение следа сечения на ребре

Комбинированный метод. Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой р провести плоскость β . В плоскости β через точку W провести прямую q‘ параллельную q . Пересекающимися прямыми p и q‘ определяется плоскость α . Непосредственное построение сечения многогранника плоскостью α Суть метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом. Применяется для построения сечения многогранника с условием параллельности. 1. Построение сечения многогранника плоскостью α , проходящей через заданную прямую p параллельно другой заданной прямой q .

ПРИЗМА Построить сечение призмы плоскостью α , проходящей через прямую PQ параллельно AE1; P є BE, Q є E1C1. 1. Проведем плоскость через прямую AE1 и точку P. 2. В плоскости AE1P через точку P проведем прямую q" параллельную AE1. q"∩E1S’=K. 3. Пересекающимися прямыми PQ и PK определяется искомая плоскость α. 4. P1 и K1- проекции точек Р и К на А1В1С1. P1K1∩PK=S”. S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL-искомое сечение.

Метод дополнения n -угольной призмы(пирамиды) до треугольной призмы(пирамиды). Данная призма(пирамида) достраивается до треугольной призмы(пирамиды) из тех граней на боковых ребрах или гранях которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строится сечение полученной треугольной призмы(пирамиды). Искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы(пирамиды).

Основные понятия и умения Построение вспомогатель- ных сечений Построение следа сечения на ребре Построение сечения Центральное проектирование Параллельное проектирование

ПРИЗМА Q є BB1C1C, P є AA1, R є EDD1E1. Достраиваем призму до треугольной. Для этого продлим стороны нижнего основания: AE, BC, ED и верхнего основания: A 1 E 1 , B 1 C 1 , E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1∩B1C1=K1, E1D1∩B1C1=L1. Строим сечение полученной призмы KLEK1L1E1 плоскостью PQR , используя метод внутреннего проектирования. Это сечение является частью искомого. Строим искомое сечение.

Правило для самоконтроля Если многогранник выпуклый, то сечение выпуклый многоугольник. Вершины многоугольника всегда лежат на ребрах многогранника. Если точки сечения лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами многоугольника, который получится в сечении. Если точки сечения лежат на гранях многогранника, то они лежат на сторонах многоугольника, который получится в сечении. Две стороны многоугольника, который получится в сечении, не могут принадлежать одной грани многогранника. Если сечение пересекает две параллельные грани, то и отрезки (стороны многоугольника, который получится в сечении) будут параллельны.

Базовые задачи на построение сечений многогранников Если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является линией пересечения этих плоскостей. M є AD, N є DCC1, D1 ; ABCDA1B1C1D1- куб M є ADD1, D1 є ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC=Q. M є ABC, Q є ABC, MQ. II. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. M є CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб. MK||AD1, K є BC. M є DCC1, D1 є DCC1, MD1. A є ABC, K є ABC, AK.

III. Общая точка трех плоскостей (вершина трехгранного угла) является общей точкой линий их парного пересечения (ребер трехгранного угла). M є AB, N є AA1, K є A1D1; ABCDA1B1C1D1- куб. NK∩AD=F1 - вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 - вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 - вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то линия пересечения параллельна данной прямой. A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1- призма. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Соединяем A1,P и C.

V. Если прямая лежит в плоскости сечения, то точка ее пересечения с плоскостью грани многогранника является вершиной трехгранного угла, образованного сечением, гранью и вспомогательной плоскостью, содержащей данную прямую. M є A1B1C1, K є BCC1, N є ABC; ABCDA1B1C1- параллелепипед. 1 . Вспомогательная плоскость MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S- вершина трехгранного угла образованного плоскостями: α , ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Задачи. На каком рисунке изображено сечение куба плоскостью ABC ? Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы? Какие аксиомы и теоремы вы применяли? Сделайте вывод, как построить сечение в кубе? Давайте вспомним этапы построения сечений тетраэдра (параллелепипеда, куба). Какие многоугольники могут при этом получиться?

Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, систематизации знаний и умений, развитию пространственного представления и конструктивных навыков. Общеизвестны трудности, возникающие при решении задач на построение сечений.

С самого раннего детства мы сталкиваемся с сечениями. Режем хлеб, колбасу и другие продукты, обстругиваем палочку или карандаш ножом. Секущей плоскостью во всех этих случаях является плоскость ножа. Сечения (срезы кусочков) оказываются различными.

Сечение выпуклого многогранника есть выпуклый многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многоугольника, а стороны- линиями пересечения секущей плоскости с гранями.

Для построения прямой пересечения двух плоскостей достаточно найти две общие точки этих плоскостей и провести через них прямую. Это основано на следующих утверждениях:

1.если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости;

2.если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Как я уже сказал ппостроение сечений многогранников можно осуществлять на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей. Вместе с тем, существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются следующие три метода:

Метод следов

Метод внутреннего проектирования

Комбинированный метод.

В изучении геометрии и, в особенности, тех её разделов, где рассматриваются изображения геометрических фигур, изображения геометрических фигур помогают использования компьютерных презентаций. С помощью компьютера многие уроки геометрии становятся более наглядной и динамичной. Аксиомы, теоремы, доказательства, задачи на построения, задачи на построения сечений можно сопровождать последовательными построениями на экране монитора. Сделанные с помощью компьютера чертежи можно сохранять и вставлять их в другие документы.

Хочу показать несколько слайдов по теме: «Построения сечений в геометрических телах»

Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную прямую. Тогда искомая точка является точкой пересечения найденной прямой с данной. Проследим это на следующих слайдах.

Задача 1.

На ребрах тетраэдра DABC отмечены две точки М и N; М GAD, N б DC. Укажите точку пересечения прямой MN с плоскостью основания.

Решение: для того, чтобы найти точку пересечения прямой MN с плоскостью

основания мы продолжим АС и отрезок MN. Отметим точку пересечения этих прямых через X. Точка X принадлежит прямой MN и грани АС, а АС лежит в плоскости основания, значит точка X тоже лежит в плоскости основания. Следовательно, точка X есть точка пересечения прямой MN с плоскостью основания.

Рассмотрим вторую задачу. Немного усложним его.

Задача 2.

Дан тетраэдр DABC точки М и N, где М € DA, N С (DBC). Найти точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC .

Решение: точка пересечения прямой MN с плоскостью ABC должна лежать в плоскости, которая содержит прямую MN и в плоскости основания. Продолжим отрезок DN до точки пересечения с ребром DC. Точку пересечения отметим через Е. Продолжим прямую АЕ и MN до точки их пересечения. Отметим X. Точка X принадлежит MN, значит она лежит на плоскости которая содержит прямую MN и X принадлежит АЕ, а АЕ лежит на плоскости ABC. Значит X тоже лежит в плоскости ABC. Следовательно X и есть точка пересечения прямой MN и плоскости ABC.

Усложним задачу. Рассмотрим сечение геометрических фигур плоскостями, проходящими через три данные точки.

Задача 3

На ребрах AC, AD и DB тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение: построим прямую, по которой плоскость MNP. Пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения ещё одной общей точки продолжим отрезок АВ и NP. Точку пересечения отметим через X, которая и будет второй общей точкой плоскости MNP и ABC. Значит эти плоскости пересекаются по прямой MX . MX пересекает ребро ВС в некоторой точке Е. Так как Е лежит на MX, а MX прямая принадлежащей плоскости MNP, значит РЕ принадлежит MNP. Четырёхугольник MNPE искомое сечение.

Задача 4

Построим сечение прямой призмы АВСА1В1С1 плоскостью проходящей через точки P, Q ,R, где R принадлежит (AA 1C 1C ), Р принадлежит В 1С1,

Q принадлежит АВ

Решение: Все три точки P,Q,R лежат в разных гранях, поэтому построить линию пересечения секущей плоскости с какой- либо гранью призмы мы пока не можем. Найдем точку пересечения PR с ABC. Найдем проекции точек Р и R на плоскость основания PP1 перпендикулярно ВС и RR1 перпендикулярна АС. Прямая P1R1 пересекается с прямой PR в точке X. X точка пересечения прямой PR с плоскостью ABC. Она лежит в искомой плоскости К ив плоскости основания, как и точка Q. XQ- прямая пересекающая К с плоскостью основания. XQ пересекает АС в точке К. Следовательно, KQ отрезок пересечения плоскости Х с гранью ABC. К и R лежат в плоскости Х и в плоскости грани АА1С1С. Проведем прямую KR и точку пересечения с A1Q отметим Е. КЕ является линией пересечения плоскости Х с этой гранью. Найдем линию пересечения плоскости Х с плоскостью граней BB1A1A. КЕ пересекается с А1А в точке У. Прямая QY есть линия пересечения секущей плоскости с плоскостью AA1B1B. FPEKQ- искомое сечение.

1. Понятие о позиционной задаче. Напомним, что плоскость называется секущей плоскостью многогранника, если по обе стороны от этой плоскости имеются точки многогранника. Сечением многогранника плоскостью называется многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

На рис. 30 изображена треугольная призма . (На этом проекционном чертеже изображения точек обозначены теми же буквами, что и соответствующие точки-оригиналы). Представим, что нам необходимо отметить точки: а) М , лежащую на ребре ; б) N , лежащую в грани ; в) , лежащую внутри призмы.

Если мы изобразим эти точки так, как это сделано на рисунке а), то лишь про точку М можно условно сказать, что она лежит на ребре . Положение точек N и K по этому рисунку определить нельзя. Рисунок б) уже позволяет заключить, что точка N лежит в грани , а точка –

внутри призмы. За счет чего можно сделать эти выводы? Дело в том, что на втором рисунке мы задали проекции точек N и K на плоскость основания параллельно боковым ребрам призмы. Строго говоря, для того, чтобы быть уверенным, что и точка М лежит на ребре , одних зрительных восприятий также недостаточно. (В проектировании, с помощью которого выполнялось изображение призмы, точка М служит проекцией любой точки прямой, параллельной направлению проектирования и через нее проходящей.)

Если же указать, что при проектировании, параллельном боковым ребрам призмы, точка М проектируется на основание в точку А , то такая уверенность появляется.

Аналогичная ситуация показана на рис. 31. Здесь нужно отметить точки: а) М на боковом ребре SA ; б) N – в грани SАB ;
в) К – внутри пирамиды. Разница заключается в том, что на правом рисунке используется центральное проектирование отмечаемых точек на плоскость основания пирамиды из ее вершины S .

Для того чтобы сделать изображение наглядным, в рассмотренных примерах приходится использовать не одно проектирование, а два. Первое проектирование, с помощью которого выполнено изображение многогранника, называется внешним. Второе проектирование носит вспомогательный характер. Оно связано с самой фигурой, – это, как правило, проектирование на плоскость, содержащую одну из граней многогранника. Мы будем иметь дело только с призмами и пирамидами, а в качестве такой плоскости чаще всего выбирать плоскость их основания. Вспомогательное проектирование называется внутренним. Из рассмотренных примеров видно, что для призмы удобно использовать внутреннее параллельное проектирование, а для пирамиды – центральное.

Пусть F 0 – некоторая фигура в пространстве, которая параллельно проектируется на плоскость p (внешнее проектирование). Для того чтобы изображение фигуры было наглядным, мы выбираем в пространстве некоторую плоскость , отличную от плоскости p , и рассматриваем новое проектирование, параллельное или центральное, точек фигуры F 0 на эту плоскость (внутреннее проектирование).

Рассмотрим в пространстве точку М 0 и ее проекцию на плоскость p 0 ¢ при внутреннем проектировании. Обе эти точки спроектируем на плоскость p . При этом проекция М точки М 0 называется основной (или просто проекцией), а проекция М¢ точки – вторичной.

Если для точки М 0 фигуры F 0 известны ее проекция и вторичная проекция, то по изображению мы можем судить о положении этой точки на оригинале. В этом случае говорят, что точка М 0 , принадлежащая фигуре F 0 , является заданной на проекционном чертеже. Изображение фигуры F 0 , на котором каждая точка фигуры является заданной, называется полным.

На проекционных чертежах часто приходится решать задачи о нахождении пересечения различных фигур. Такие задачи называются позиционными. Если некоторое изображение является полным, то на этом изображении разрешима любая позиционная задача.

В заключение заметим следующее. Если M 0 ¢ , N 0 ¢, K 0 ¢, ... – образы точек M 0 , N 0 , K 0 , ... при внутреннем проектировании, то при внешнем проектировании (параллельном) образы MM¢ , NN ¢, KK ¢, ... параллельных прямых M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... на плоскости p также будут параллельными. Если же M 0 ¢, N 0 ¢, K 0 ¢, ... – образы точек M 0 , N 0 , K 0 , ... при внутреннем центральном проектировании с центром S 0 , то образы MM ¢, NN ¢, KK ¢, ... прямых M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... при внешнем проектировании пересекаются на плоскости p в одной точке S. Эта точка будет образом точки S 0 .

Среди позиционных задач нас будут интересовать только задачи, связанные с построением сечений многоугольников. Рассмотрим основные методы построения таких сечений. Обычно при решении стереометрических задач образы точек фигуры на проекционном чертеже обозначают теми же буквами, что и соответствующие им точки на фигуре-оригинале. Мы также в дальнейшем будем придерживаться этого правила.

2. Построения сечений, основанные на свойствах параллельных прямых и плоскостей. Данный способ особенно часто используется при построении сечений параллелепипедов. Это объясняется тем, что противоположные грани параллелепипеда параллельны. По теореме о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью линии пересечения параллельных граней являются параллельными отрезками.

Задача 1. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является параллелограмм. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку , лежащую на боковом ребре AS , параллельно диагонали BD основания.

Сколько таких плоскостей можно построить? Какие фигуры могут получаться в сечении?

Решение. В плоскости основания пирамиды проведем произвольную прямую a , параллельную диагонали BD . Через эту прямую и точку проходит плоскость a , и притом единственная. По признаку параллельности прямой и плоскости и, значит, плоскость a является искомой.

В плоскости основания существует бесконечно много прямых, параллельных прямой BD, поэтому существует бесконечно много плоскостей, удовлетворяющих условию задачи.

Вид многоугольника, получающегося в сечении, зависит от числа граней, которые пересекает плоскость a . Так как четырехугольная пирамида имеет пять граней, то в сечении могут получаться треугольники, четырехугольники и пятиугольники.

На рис. 32 показаны различные случаи расположения прямой a относительно параллелограмма ABCD . Очевидно, что в зависимости от этого расположения будет определяться вид многоугольника-сечения.

Слева на рис. 33 рассмотрен случай, когда прямая a 1 пересекает стороны AD , AB в точках M , N соответственно и лежит с точкой в одном полупространстве с границей BSD . Здесь сечением является треугольник MKN.

На правом рисунке показан случай, когда прямая a 3 лежит с точкой по разные стороны от плоскости BSD и пересекает стороны DC , BC основания в точках M , N соответственно. Обозначим через Х точку пересечения прямых AD и a 3 . Так как прямая AD лежит в плоскости грани ASD , то в этой грани лежит и точка Х . С другой стороны, точка Х принадлежит прямой a 3 , лежащей в секущей плоскости. Поэтому прямая будет линией пересечения секущей плоскости и плоскости грани ASD. Это позволяет найти точку R=SD ÇKX . Аналогично, точка позволяет построить вершину T ÎBS искомого сечения. В рассмотренном случае секущая плоскость пересекает все грани пирамиды и сечение является пятиугольником.

Остальные случаи взаимного расположения прямой a и основания пирамиды рассмотрите самостоятельно.

Рассмотрим специальные методы построения сечений.

4. Метод следов. Если секущая плоскость не параллельна грани многогранника, то она пересекает плоскость этой грани по прямой. Прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани многогранника, называется следом секущей плоскости на плоскости этой грани. Один из методов построения сечений многогранников основан на использовании следа секущей плоскости на плоскости одной из его граней. Чаще всего при построении сечений призмы и усеченной пирамиды в качестве такой плоскости выбирается плоскость нижнего основания, а в случае пирамиды – плоскость ее основания.

Рассмотрим построение сечений методом следов на примерах.

Задача 2. Дано изображение четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Задать три точки, принадлежащие ее различным боковым граням, и построить сечение, проходящее через эти три точки.

Решение. Напомним, что для задания точки на проекционном чертеже необходимо задать ее основную и вторичную проекции. В случае призмы для задания вторичных проекций мы договорились использовать внутреннее параллельное проектирование. Поэтому, чтобы задать точку М , лежащую в грани АВВ 1 А 1 , указываем ее проекцию М 1 на плоскость основания параллельно боковым ребрам призмы. Аналогично задаются точки N и K , лежащие в гранях AD 1 DA 1 , CDD 1 C 1 соответственно (рис. 34). Построим след секущей плоскости на плоскости нижнего основания призмы. Параллельные прямые ММ 1 , лежат в одной плоскости и, значит, в общем случае прямые , пересекаются в некоторой точке Х . Так как прямая лежит в секущей плоскости, а прямая – в плоскости нижнего основания, то точка Х принадлежит следу секущей плоскости на плоскости нижнего основания призмы. Аналогично, точки K , N и их вторичные проекции K 1 , N 1 позволяют найти вторую точку Y , принадлежащую искомому следу.

Прямая АВ , лежащая в грани АВВ 1 А 1 , пересекает след XY в точке Z , поэтому прямая MZ лежит как в плоскости грани АВВ 1 А 1 , так и в секущей плоскости. Отрезок ТР , где T=MZ ÇAA 1 , P=MZ ÇBB 1 , будет стороной многоугольника-сечения. Далее последовательно строим его стороны TR и RQ , проходящие через данные точки N и K соответственно. Наконец, строим сторону PQ .

Задача 3. Дано изображение пятиугольной пирамиды SABCDE. Задать точки N и K , принадлежащие боковым ребрам SC , SD соответственно и точку М , лежащую в грани ASE. Построить сечение, проходящее через заданные точки.

Решение. Для задания точек K , N и М воспользуемся внутренним центральным проектированием с центром в вершине пирамиды. При этом проекциями точек K и N будут точки D и C , а проекцией точки М – точка (рис. 35).

Прямые и , лежащие в плоскости , в общем случае пересекаются в точке Х , лежащей в секущей плоскости. С другой стороны, точка Х лежит в плоскости основания, и, значит, она принадлежит следу секущей плоскости на плоскости основания. Второй точкой искомого следа будет точка . Прямая АЕ , лежащая в грани ASE пирамиды, пересекает след XY в точке Z . Проводя прямую ZМ , находим сторону LP многоугольника-сечения. Для того чтобы найти вершину сечения, строим точку , а затем прямую .

5. Метод внутреннего проектирования. Суть этого метода заключается в том, что здесь с помощью внутреннего проектирования точки сечения ищутся по их известным вторичным проекциям. Метод внутреннего проектирования особенно удобно применять в тех случаях, когда след секущей плоскости далеко удален от заданной фигуры. Этот метод незаменим и тогда, когда некоторые из прямых, содержащих стороны основания многогранника, пересекают след за пределами чертежа. Рассмотрим применение метода на примерах.

Задача 4. Дано изображение шестиугольной призмы и трех точек, лежащих в трех боковых гранях, никакие две из которых не являются смежными. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданные точки.

Решение. Пусть заданные точки М , L , K лежат в гранях , , , а M¢ , L¢ , K¢ – их вторичные проекции
(рис. 36).

Найдем точку, в которой секущая плоскость пересекает боковое ребро . Для этого с помощью внутреннего проектирования для точки найдем основную проекцию Х , лежащую в секущей плоскости. Искомая точка Х является точкой пересечения прямой, проходящей через точку Х¢ параллельно боковым ребрам призмы, и прямой ML , лежащей в секущей плоскости. Точка Х позволяет построить вершину , а затем сторону QR сечения. Аналогично, используя точку , строим точку Y , прямую KY и находим вершину Р сечения. Далее строятся стороны PQ и PO сечения.

Оставшиеся построения выполняем в следующей последовательности:

1) строим точку Z¢=AK¢ ÇBD ;

2) находим точку Z (Z ÎPK );

3) проводим прямую OZ и находим вершину S (S ÎDD 1) сечения;

4) последовательно строим стороны SR , ST и TO сечения.

Задача 5. Дано изображение четырехугольной пирамиды и трех точек, лежащих на ее боковых ребрах. Построить сечение, проходящее через заданные точки.

Решение. Пусть SABCD – данная пирамида, а M , N , K – данные точки (рис. 37). Вторичными проекциями точек M , N , K во внутреннем центральном проектировании из вершины S на плоскость основания являются точки A , C и D соответственно. Заметим, что в данной задаче стороны и KN сечения сразу строятся. Остается найти только вершину сечения L , лежащую на боковом ребре SB . Для этого построим точку и «поднимем» ее в секущую плоскость с помощью внутреннего проектирования. Прообразом точки Х¢ при этом центральном проектировании будет точка Х=Х¢S ÇMN. Вершина L , принадлежащая ребру SB , лежит на прямой KX.

6. Комбинированный метод . Суть этого метода заключается в сочетании метода следов или метода внутреннего проектирования с построениями, выполняемыми на основе свойств параллельных прямых и плоскостей.

Рассмотрим следующий пример.

Задача 6. Точка М является серединой ребра AD куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку М параллельно диагонали ВD основания и диагонали АВ 1 боковой грани АА 1 В 1 В .

Решение. Секущая плоскость a параллельна диагонали BD основания и проходит через точку М , также лежащую в основании, поэтому она пересекает основание по прямой
(рис. 38).

Прямая l будет следом плоскости a на плоскости нижнего основания куба. Обозначим . След m плоскости a на плоскости грани АВВ 1 А 1 строится аналогично. Этот след проходит через точку N , параллельно АВ 1 . Обозначим .

Можно продолжить построение сечения, не прибегая к специальным методам. Однако мы воспользуемся методом следов. Пусть прямая ВС пересекает след l в точке Х . Точки Х и искомой плоскости a лежат и в плоскости грани ВСС 1 В 1 . Обозначим через L точку пересечения прямой и ребра В 1 С 1 . Далее удобно воспользоваться теоремой о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью. В силу этой теоремы , . Здесь R ÎDD 1 , P ÎC 1 D 1 .

Докажите, что полученный в сечении шестиугольник является правильным.

Изображение окружности

1. Эллипс и его свойства. При изображении цилиндра, конуса и шара (сферы) нам придется вычерчивать эллипсы. Эллипс можно определить различными способами. Приведем определение с помощью сжатия плоскости к прямой.

Эллипсом называется линия, которая является образом окружности при сжатии плоскости к прямой, проходящей через центр окружности (рис. 39).

Если заданы окружность, прямая, проходящая через ее центр, и коэффициент сжатия, с помощью приведенного определения легко построить образ любой точки заданной окружности. Выполнив построение нескольких точек-образов и соединив их плавной линией, можно вычертить эллипс, который является образом окружности.

Oxy так, чтобы ее ось Ox совпала с прямой сжатия l , а начало О было центром окружности w радиуса a (рис. 40). В этой системе координат окружность w определяется уравнением: или

Это значит, что любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (1), принадлежит окружности w , а точка, координаты которой не удовлетворяют (1) – не принадлежит.

Пусть – коэффициент сжатия, – произвольная точка плоскости, а М 0 – ее проекция на прямую l . При сжатии к точка М переходит в точку такую, что . Так как прямая ММ 1 параллельна оси Oy , то , а проекция М 0 этих точек на прямую сжатия Ox определяется координатами .

Отсюда , . Поэтому формулы сжатия имеют вид

Обратно, формулы (2) определяют сжатие плоскости к оси Ox с коэффициентом сжатия , в котором точка переходит в точку .

Из этих формул , . Подставляя x и y в уравнение (1), получим: . Значит, координаты точки М 1 , являющейся образом точки окружности, удовлетворяют уравнению

где . Это уравнение в системе Oxy определяет эллипс g , который получается при сжатии окружности w к оси Ox . Напомним, что уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса.

Используя каноническое уравнение эллипса, можно изучать его геометрические свойства. Вспомним некоторые понятия, связанные с эллипсом, и его свойства.

Пусть эллипс g задан в прямоугольной системе координат каноническим уравнением (3). Так как x и y входят в это уравнение во второй степени, то можно сделать следующие выводы.

Если , то Îg (рис. 41). Отсюда следует, что начало координат О является центром симметрии эллипса. Центр симметрии эллипса называется его центром .

Если , то , . Отсюда следует, что прямые Ox и Oy являются осями симметрии эллипса. Оси симметрии эллипса называются его осями . Каждая из осей пересекает эллипс в двух точках. Ось Ox имеет уравнение , поэтому из уравнения (3) для абсцисс точек А 1 , А 2 пересечения имеем . Отсюда А 1 (a ;0), А 2 (–a ;0). Аналогично находим, что ось Oy пересекает эллипс в точках В 1 (0;b ) и В 2 (0;–b ). Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса. Отрезки А 1 А 2 и В 1 В 2 также называются осями эллипса . Центр эллипса О является общей серединой каждого из этих отрезков.

Отрезок, концы которого принадлежат эллипсу,называется хордой этого эллипса. Хорда эллипса, проходящая через его центр, называется диаметром эллипса . Значит, оси эллипса являются его взаимно перпендикулярными диаметрами.

Заметим, что при , имеем . В этом случае A 1 A 2 >B 1 B 2 и отрезки A 1 A 2 , B 1 B 2 называются соответственно большой и малой осями эллипса. При этом числа , называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. При , наоборот, . Здесь названия осей меняются соответствующим образом.

Рассмотрим параметрические уравнения эллипса и основанный на них способ построения точек эллипса.

Пусть отрезки А 1 А 2 и В 1 В 2 являются осями эллипса. Построим на них, как на диаметрах, концентрические окружности w 1 и w 2 соответственно (рис. 42). Рассмотрим луч h с началом в точке О . Этот луч пересекает окружности w 1 и w 2 в точках М 1 и М 2 . Через точку М 1 проведем прямую, параллельную малой оси В 1 В 2 , а через точку М 2 – прямую, параллельную большой оси А 1 А 2 . Покажем, что точка М пересечения этих прямых принадлежит эллипсу с заданными осями.

Выберем прямоугольную систему координат Oxy с началом в точке О . Пусть в этой системе точка М имеет координаты (x ;y ). Далее, пусть луч h образует с лучом ОА 1 угол t. Если , то , . Поскольку точки М и М 1 имеют равные абсциссы, а точки М и М 2 – равные ординаты,

Из равенств (4) , , поэтому в силу основного тригонометрического тождества имеем , т.е. построенная точка принадлежит эллипсу с полуосями a и b .

Для любого значения t Î}