≡× MENIUL

• Reparație
• Reparație 
• Design interior
• Despre tot
• Despre instalații sanitare

Formula pentru factorizarea unei ecuații pătratice. Trinom pătrat și rădăcinile sale

Lumea este cufundată într-un număr imens de numere. Orice calcule apar cu ajutorul lor.

Oamenii învață numerele pentru a evita să fie înșelați mai târziu în viață. Este nevoie de o cantitate enormă de timp pentru a fi educat și a-ți da seama de propriul buget.

Matematica este o știință exactă care joacă mare rol in viata. La școală, copiii studiază numerele și apoi, acțiunile asupra lor.

Operațiile asupra numerelor sunt complet diferite: înmulțire, extindere, adunare și altele. Pe lângă formulele simple, în studiul matematicii sunt folosite și acțiuni mai complexe. Există un număr mare de formule care pot fi folosite pentru a afla orice valoare.

La școală, de îndată ce apare algebra, în viața elevului se adaugă formule de simplificare. Există ecuații în care există două numere necunoscute, dar găsiți într-un mod simplu nu va funcționa. Un trinom este o combinație de trei monomii folosind metoda simpla scăderea și adunarea. Trinomul se rezolvă folosind teorema lui Vieta și discriminantul.

Formula pentru factorizarea unui trinom pătratic

Sunt două corecte și solutii simple exemplu:

• discriminant;
• teorema lui Vieta.

Un trinom pătrat are un pătrat necunoscut și, de asemenea, un număr fără pătrat. Prima opțiune de rezolvare a problemei folosește formula lui Vieta. Aceasta este o formulă simplă, dacă numerele care preced necunoscutul va fi valoarea minimă.

Pentru alte ecuații în care un număr precede necunoscutul, ecuația trebuie rezolvată prin discriminant. E mai mult decizie dificila, dar discriminantul este folosit mult mai des decât teorema lui Vieta.

Inițial, pentru a găsi toate variabilele ecuației, trebuie să ridicați exemplul la 0. Soluția exemplului poate fi verificată și puteți afla dacă numerele sunt ajustate corect.

Discriminant

1. Este necesar să echivalăm ecuația cu 0.

2. Fiecare număr înainte de x va fi numit numerele a, b, c. Deoarece nu există niciun număr înaintea primului pătrat x, acesta este egal cu 1.

3. Acum soluția ecuației începe prin discriminant:

4. Acum am găsit discriminantul și găsim doi x. Diferența este că într-un caz b va fi precedat de un plus, iar în celălalt de un minus:

5. Rezolvând două numere rezultatele au fost -2 și -1. Înlocuiți în ecuația inițială:

6. În acest exemplu s-au dovedit două opțiuni corecte. Dacă ambele soluții se potrivesc, atunci fiecare dintre ele este adevărată.

Prin discriminant ei decid și nu numai ecuație complexă. Dar dacă valoarea discriminantă în sine este mai mică decât 0, atunci exemplul este incorect. La căutare, discriminantul este întotdeauna la rădăcină, iar o valoare negativă nu poate fi la rădăcină.

teorema lui Vieta

Este folosit pentru a rezolva probleme ușoare în care primul x nu este precedat de un număr, adică a=1. Dacă opțiunea se potrivește, atunci calculul se efectuează folosind teorema lui Vieta.

Pentru a rezolva orice trinom este necesar să ridicăm ecuația la 0. Primii pași ai discriminantului și teoremei lui Vieta nu diferă.

2. Acum încep diferențele dintre cele două metode. Teorema lui Vieta folosește nu numai calculul „uscat”, ci și logica și intuiția. Fiecare număr are propria sa literă a, b, c. Teorema folosește suma și produsul a două numere.

Tine minte! Numărul b are întotdeauna semnul opus atunci când este adăugat, dar numărul c rămâne neschimbat!

Înlocuirea valorilor datelor din exemplu , primim:

3. Folosind metoda logicii, substituim numerele cele mai potrivite. Să luăm în considerare toate opțiunile de soluție:

1. Numerele sunt 1 și 2. Când se adună, obținem 3, dar dacă înmulțim, nu obținem 4. Nu se potrivește.
2. Valoarea 2 și -2. Când este înmulțit, va fi -4, dar atunci când este adăugat, se dovedește a fi 0. Nu este potrivit.
3. Numerele 4 și -1. Deoarece înmulțirea implică o valoare negativă, înseamnă că unul dintre numere va fi negativ. Potrivit pentru adunare și înmulțire. Opțiune corectă.

4. Tot ce rămâne este să verificați prin așezarea numerelor și să vedeți dacă opțiunea selectată este corectă.

5. Datorită verificării online, am aflat că -1 nu se potrivește condițiilor exemplului și, prin urmare, este o soluție incorectă.

Când adăugați o valoare negativă în exemplu, trebuie să puneți numărul între paranteze.

Întotdeauna va exista în matematică sarcini simple si complex. Știința în sine include o varietate de probleme, teoreme și formule. Dacă înțelegeți și aplicați corect cunoștințele, atunci orice dificultăți cu calculele vor fi banale.

Matematica nu necesită memorare constantă. Trebuie să înveți să înțelegi soluția și să înveți mai multe formule. Treptat, conform concluziilor logice, este posibil să se rezolve probleme și ecuații similare. O astfel de știință poate părea foarte dificilă la prima vedere, dar dacă cineva se cufundă în lumea numerelor și a problemelor, atunci viziunea se va schimba dramatic în partea mai bună.

Specialități tehnice rămâne mereu cel mai căutat din lume. Acum, în lume tehnologii moderne, matematica a devenit un atribut indispensabil oricărui domeniu. Trebuie să ne amintim mereu proprietăți benefice matematică.

Extinderea unui trinom folosind o paranteză

Pe langa solutie în modurile obişnuite, mai există unul - descompunerea în paranteze. Folosit folosind formula Vieta.

1. Echivalează ecuația cu 0.

topor 2 +bx+c= 0

2. Rădăcinile ecuației rămân aceleași, dar în loc de zero acum folosesc formule de expansiune între paranteze.

topor 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 X 2 – 4 X – 6 = 2 (X + 1) (X – 3)

4. Rezolvarea x=-1, x=3

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informatii, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, în proceduri judiciare și/sau în baza unor anchete publice sau solicitări de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de sănătate publică. cazuri importante.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Aflați suma și produsul rădăcinilor ecuație pătratică. Folosind formulele (59.8) pentru rădăcinile ecuației de mai sus, obținem

(prima egalitate este evidentă, a doua se obține după un calcul simplu, pe care cititorul îl va efectua independent; este convenabil să folosiți formula pentru înmulțirea sumei a două numere cu diferența lor).

S-a dovedit următoarele

teorema lui Vieta. Suma rădăcinilor ecuației pătratice de mai sus este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul lor este egal cu termenul liber.

În cazul unei ecuații pătratice nereduse, ar trebui să înlocuiți expresiile formulei (60.1) în formulele (60.1) și să ia forma

Exemplul 1. Compuneți o ecuație pătratică folosind rădăcinile sale:

Rezolvare, a) Aflați că ecuația are forma

Exemplul 2. Aflați suma pătratelor rădăcinilor ecuației fără a rezolva ecuația în sine.

Soluţie. Sunt cunoscute suma și produsul rădăcinilor. Să reprezentăm suma rădăcinilor pătrate în formă

și primim

Din formulele lui Vieta se obține ușor formula

exprimând regula de descompunere trinom pătratic prin multiplicatori.

Într-adevăr, să scriem formulele (60.2) sub forma

Acum avem

care este ceea ce trebuia să obținem.

Derivarea de mai sus a formulelor lui Vieta este familiară cititorului dintr-un curs de algebră liceu. O altă concluzie poate fi dată folosind teorema lui Bezout și factorizarea polinomului (paragrafele 51, 52).

Fie atunci rădăcinile ecuației regula generala(52.2) trinomul din partea stângă a ecuației este factorizat:

Deschizând parantezele din partea dreaptă a acestei egalități identice, obținem

iar compararea coeficienților la aceleași puteri ne va da formula Vieta (60.1).

Avantajul acestei derivații este că poate fi aplicată la ecuații de grade superioare pentru a obține expresii pentru coeficienții ecuației în funcție de rădăcinile acesteia (fără a găsi rădăcinile în sine!). De exemplu, dacă rădăcinile ecuației cubice date

esenţa este că conform egalităţii (52.2) găsim

(în cazul nostru, deschizând parantezele din partea dreaptă a egalității și colectând coeficienții la diferite grade, obținem

Tip de lecție: o lecție de consolidare și sistematizare a cunoștințelor.

Tip de lecție: Verificarea, evaluarea și corectarea cunoștințelor și metodelor de acțiune.

Obiective:

• Educational:

– dezvolta la elevi capacitatea de factorizare a unui trinom pătratic;
– consolidarea cunoștințelor în procesul de rezolvare a diverselor sarcini pe tema specificată;
– formarea gândirii matematice;
– cresterea interesului pentru subiect in procesul de repetare a materialului parcurs.

Educational:

– stimularea organizării și concentrării;
- creşterea atitudine pozitiva a studia;
- cultivarea curiozității.

Educational:

– dezvoltarea capacității de a-și exercita autocontrolul;
– dezvoltarea capacității de a planifica rațional munca;
– dezvoltarea independenței și a atenției.

Echipament: material didactic pentru lucru oral, lucru independent, sarcini de testare pentru testarea cunoștințelor, fișe cu teme, manual de algebră Yu.N. Makarycheva.

Planul lecției.

Pașii lecției	Timp, min	Tehnici și Metode
I. Etapa de actualizare a cunoştinţelor. Motivație pentru o problemă de învățare	2	Conversația profesorului
II. Conținutul principal al lecției. Formarea și consolidarea înțelegerii de către elevi a formulei de factorizare a unui trinom pătratic.	10	Explicația profesorului. Conversație euristică
III. Formarea deprinderilor și abilităților. Consolidarea materialului învățat	25	Rezolvarea problemelor. Răspunsuri la întrebările elevilor
IV. Testarea dobândirii cunoștințelor. Reflecţie	5	Mesajul profesorului. Mesajul studentului
V. Teme pentru acasă	3	Sarcina pe carduri

În timpul orelor

I. Etapa de actualizare a cunoştinţelor. Motivație pentru o problemă de învățare.

Organizarea timpului.

Astăzi, în lecție, vom generaliza și sistematiza cunoștințele pe tema: „Factorizarea unui trinom pătratic”. În timp ce efectuați diferite exerciții, ar trebui să notați pentru dvs. momentele pe care trebuie să le dediți Atentie speciala la rezolvarea ecuaţiilor şi a problemelor practice. Acest lucru este foarte important atunci când vă pregătiți pentru examen.
Notați subiectul lecției: „Factorizarea unui trinom pătratic. Rezolvarea exemplelor.”

II. Conținutul principal al lecției. Formarea și consolidarea înțelegerii de către elevi a formulei de factorizare a unui trinom pătratic.

Lucru oral.

– Pentru a factoriza cu succes un trinom pătratic, trebuie să vă amintiți atât formula pentru găsirea discriminantului, cât și formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice, formula pentru factorizarea unui trinom pătratic și să le aplicați în practică.

1. Priviți cardurile „Continuați sau extindeți declarația”.

2. Uită-te la tablă.

1. Care dintre polinoamele propuse nu este pătratică?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Dați definiția unui trinom pătratic. Definiți rădăcina unui trinom pătrat.

2. Care formulă nu este o formulă pentru calcularea rădăcinilor unei ecuații pătratice?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Aflați coeficienții a, b, c ai trinomului pătratic – 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Care dintre formule este formula de calcul a rădăcinilor unei ecuații pătratice

x 2 +px+q= 0 prin teorema lui Vieta?

1) X 1 + x 2 = p,
X 1 · X 2 = q.

2) X 1 + x 2 = –p,
X 1 · X 2 = q.

3)X 1 + x 2 = –p,
X 1 · X 2 = – q.

5. Expand trinom pătratic X 2 – 11x + 18 pentru multiplicatori.

Răspuns: ( X – 2)(X – 9)

6. Expand trinom pătratic la 2 – 9y + 20 pentru multiplicatori

Răspuns: ( X – 4)(X – 5)

III. Formarea deprinderilor și abilităților. Consolidarea materialului studiat.

1. Factorizați trinomul pătratic:
a) 3 X 2 – 8X + 2;
b) 6 X 2 – 5X + 1;
la 3 X 2 + 5X – 2;
d) -5 X 2 + 6X – 1.

2. Factorizarea ne ajută la reducerea fracțiilor.

3. Fără a folosi formula rădăcinii, găsiți rădăcinile trinomului pătratic:
A) X 2 + 3X + 2 = 0;
b) X 2 – 9X + 20 = 0.

4. Compuneți un trinom pătratic ale cărui rădăcini sunt numerele:
A) X 1 = 4; X 2 = 2;
b) X 1 = 3; X 2 = -6;

Muncă independentă.

Finalizați sarcina în mod independent folosind opțiunile și apoi verificați. Primele două sarcini necesită un răspuns „Da” sau „Nu”. Este chemat câte un elev de la fiecare opțiune (se lucrează la clapele tablei). După finalizarea lucrărilor independente pe placă, se efectuează o verificare comună a soluției. Elevii își evaluează munca.

prima varianta:

1. D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Numărul 2 este rădăcina ecuației x 2 + 3x – 10 = 0.

3. Factorizați trinomul pătratic 6 X 2 – 5X + 1;

a 2-a varianta:

1. D>0. Ecuația are 2 rădăcini.

2.Numărul 3 este rădăcina ecuației pătratice x 2 – x – 12 = 0.

3. Factorizați trinomul pătratic 2 X 2 – 5x + 3

IV. Testarea dobândirii cunoștințelor. Reflecţie.

– Lecția a arătat că știi elementele de bază material teoretic Acest subiect. Am rezumat cunoștințele

Trinom pătrat se numeste polinom de forma toporul 2 +bx +c, Unde X- variabil, A,b,c– unele numere și a ≠ 0.

Coeficient A numit coeficientul senior, c – membru gratuit trinom pătrat.

Exemple de trinoame pătratice:

2 x 2 + 5x+4(Aici A = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5(Aici A = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x – 9(Aici A = 9, b = 9, c = -9)

Coeficient b sau coeficient c sau ambii coeficienți pot fi egali cu zero în același timp. De exemplu:

5 x 2 + 3X(Aicia = 5,b = 3,c = 0, deci nu există nicio valoare pentru c în ecuație).

6x 2 – 8 (Aicia = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Aicia = 2, b = 0, c = 0)

Se numește valoarea variabilei la care polinomul dispare rădăcina polinomului.

Pentru a găsi rădăcinile unui trinom pătratictoporul 2 + bx + c, trebuie să-l echivalăm cu zero -
adică rezolvați ecuația pătraticătoporul 2 + bx + c = 0 (vezi secțiunea „Ecuația cadranică”).

Factorizarea unui trinom pătratic

Exemplu:

Să factorizăm trinomul 2 X 2 + 7x – 4.

Vedem: coeficient A = 2.

Acum să găsim rădăcinile trinomului. Pentru a face acest lucru, îl echivalăm cu zero și rezolvăm ecuația

2X 2 + 7x – 4 = 0.

Cum se rezolvă o astfel de ecuație - vezi în secțiunea „Formulele rădăcinilor unei ecuații pătratice. Discriminant.” Aici vom prezenta imediat rezultatul calculelor. Trinomul nostru are două rădăcini:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Să înlocuim valorile rădăcinilor în formula noastră, luând valoarea coeficientului din paranteze A, și obținem:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Rezultatul obtinut se poate scrie diferit prin inmultirea coeficientului 2 cu binom X – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Problema este rezolvată: trinomul este factorizat.

O astfel de expansiune poate fi obținută pentru orice trinom pătratic care are rădăcini.

ATENŢIE!

Dacă discriminantul unui trinom pătratic egal cu zero, atunci acest trinom are o rădăcină, dar la extinderea trinomului, această rădăcină este luată ca valoare a două rădăcini - adică ca aceeași valoare X 1 șiX 2 .

De exemplu, un trinom are o rădăcină egală cu 3. Atunci x 1 = 3, x 2 = 3.