Cum să găsiți derivata rădăcinii unei funcții complexe. Rezolvarea derivatei pentru manechine: definiție, cum se găsește, exemple de soluții
În acest articol, vom vorbi despre un concept matematic atât de important ca o funcție complexă și vom învăța cum să găsim derivata functie complexa.
Înainte de a învăța cum să găsim derivatul unei funcții complexe, să înțelegem conceptul de funcție complexă, ce este, „cu ce se mănâncă” și „cum să o gătim corect”.
Luați în considerare o funcție arbitrară ca aceasta:
Rețineți că argumentul din partea dreaptă și stângă a ecuației funcției este același număr sau expresie.
În locul unei variabile, putem pune, de exemplu, următoarea expresie: . Și apoi obținem funcția
Să numim expresia un argument intermediar, iar funcția - o funcție externă. Acestea nu sunt concepte matematice stricte, dar ajută la clarificarea semnificației conceptului de funcție complexă.
O definiție strictă a conceptului de funcție complexă este următoarea:
Să fie definită o funcție pe o mulțime și să fie mulțimea de valori ale acestei funcții. Fie mulțimea (sau submulțimea sa) să fie domeniul funcției. Să atribuim fiecărui număr. Astfel, funcția va fi setată pe platou. Se numește compoziție de funcție sau funcție complexă.
În această definiție, pentru a folosi terminologia noastră, funcția exterioară, este un argument intermediar.
Derivata unei functii complexe se gaseste dupa urmatoarea regula:
Pentru a fi mai clar, îmi place să scriu această regulă sub forma unei astfel de scheme:
În această expresie, cu denotă o funcție intermediară.
Asa de. Pentru a găsi derivata unei funcții complexe, aveți nevoie
1. Determinați care funcție este externă și găsiți derivata corespunzătoare în tabelul derivatelor.
2. Definiți un argument intermediar.
În această procedură, găsirea funcției exterioare provoacă cea mai mare dificultate. Pentru aceasta, se folosește un algoritm simplu:
A. Scrieți ecuația funcției.
b. Imaginați-vă că trebuie să calculați valoarea unei funcții pentru o anumită valoare a lui x. Pentru a face acest lucru, înlocuiți această valoare a lui x în ecuația funcției și efectuați aritmetica. Ultima acțiune pe care o faceți este funcția exterioară.
De exemplu, în funcție
Ultima acțiune este exponențiarea.
Să găsim derivata acestei funcții. Pentru a face acest lucru, scriem un argument intermediar
Și teorema asupra derivatei unei funcții complexe, a cărei formulare este următoarea:
Fie 1) funcția $u=\varphi (x)$ are o derivată $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ la un moment dat $x_0$, 2) funcția $y=f(u)$ are în punctul corespunzător $u_0=\varphi (x_0)$ derivata $y_(u)"=f"(u)$. Atunci funcția complexă $y=f\left(\varphi (x) \right)$ în punctul menționat va avea și o derivată, egal cu produsul derivate ale funcțiilor $f(u)$ și $\varphi (x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
sau, într-o notație mai scurtă: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
În exemplele din această secțiune, toate funcțiile au forma $y=f(x)$ (adică, considerăm doar funcțiile unei variabile $x$). În consecință, în toate exemplele, derivata $y"$ este luată față de variabila $x$. Pentru a sublinia faptul că derivata este luată față de variabila $x$, se scrie adesea $y"_x$ în loc de $ y"$.
În exemplele nr. 1, nr. 2 și nr. 3, proces detaliat găsirea derivatei funcţiilor complexe. Exemplul nr. 4 este destinat pentru o înțelegere mai completă a tabelului derivatelor și este logic să vă familiarizați cu acesta.
Este recomandabil, după studierea materialului din exemplele nr. 1-3, să se treacă la rezolvarea independentă a exemplelor nr. 5, nr. 6 și nr. 7. Exemplele #5, #6 și #7 conțin o soluție scurtă, astfel încât cititorul să poată verifica corectitudinea rezultatului său.
Exemplul #1
Aflați derivata funcției $y=e^(\cos x)$.
Trebuie să găsim derivata funcției complexe $y"$. Deoarece $y=e^(\cos x)$, atunci $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Pentru găsiți derivata $ \left(e^(\cos x)\right)"$ utilizați formula #6 din tabelul derivatelor. Pentru a utiliza formula nr. 6, trebuie să țineți cont de faptul că în cazul nostru $u=\cos x$. Soluția ulterioară constă într-o înlocuire banală a expresiei $\cos x$ în loc de $u$ în formula nr. 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Acum trebuie să găsim valoarea expresiei $(\cos x)"$. Ne întoarcem din nou la tabelul derivatelor, alegând formula nr. 10 din el. Înlocuind $u=x$ în formula nr. 10, avem : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Acum continuăm egalitatea (1.1), completând-o cu rezultatul găsit:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
Deoarece $x"=1$, continuăm egalitatea (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Deci, din egalitatea (1.3) avem: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Desigur, explicațiile și egalitățile intermediare sunt de obicei sărite, scriind derivata pe o singură linie, ca în egalitate. ( 1.3) Deci, derivata funcției complexe a fost găsită, rămâne doar să notăm răspunsul.
Răspuns: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Exemplul #2
Aflați derivata funcției $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Trebuie să calculăm derivata $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pentru început, observăm că constanta (adică numărul 9) poate fi scoasă din semnul derivatei:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
Acum să trecem la expresia $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pentru a facilita selectarea formulei dorite din tabelul de derivate, voi prezenta expresia în cauză sub această formă: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Acum este clar că este necesar să se folosească formula nr. 2, adică. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Înlocuiți $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ și $\alpha=12$ în această formulă:
Completând egalitatea (2.1) cu rezultatul obținut, avem:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
În această situație, se face adesea o greșeală atunci când rezolvatorul de la primul pas alege formula $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ în loc de formula $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Ideea este că derivata funcției externe trebuie găsită mai întâi. Pentru a înțelege ce funcție va fi externă expresiei $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, imaginați-vă că numărați valoarea expresiei $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ pentru o valoare de $x$. Mai întâi calculați valoarea de $5^x$, apoi înmulțiți rezultatul cu 4 pentru a obține $4\cdot 5^x$. Acum luăm arctangenta din acest rezultat, obținând $\arctg(4\cdot 5^x)$. Apoi ridicăm numărul rezultat la a douăsprezecea putere, obținând $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Ultima acțiune, adică ridicarea la puterea de 12, - și va fi o funcție externă. Și de aici ar trebui să începem să găsim derivata, care a fost făcută în egalitate (2.2).
Acum trebuie să găsim $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Folosim formula nr. 19 din tabelul derivatelor, înlocuind $u=4\cdot \ln x$ în ea:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Să simplificăm puțin expresia rezultată, ținând cont de $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Egalitatea (2.2) va deveni acum:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Rămâne de găsit $(4\cdot \ln x)"$. Luăm constanta (adică 4) din semnul derivatei: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Pentru a găsi $(\ln x)"$, folosim formula nr. 8, substituind $u=x$ în ea: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Deoarece $x"=1$, atunci $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Inlocuind rezultatul obtinut in formula (2.3), obtinem:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $
Permiteți-mi să vă reamintesc că derivata unei funcții complexe este cel mai adesea într-o singură linie, așa cum este scrisă în ultima egalitate. Prin urmare, la efectuarea calculelor standard sau lucrări de control nu este necesar să descriem soluția atât de detaliat.
Răspuns: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Exemplul #3
Găsiți $y"$ a funcției $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Mai întâi, să transformăm ușor funcția $y$ exprimând radicalul (rădăcină) ca putere: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Acum să începem să găsim derivatul. Deoarece $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, atunci:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Folosim formula nr. 2 din tabelul derivatelor, substituind $u=\sin(5\cdot 9^x)$ și $\alpha=\frac(3)(7)$ în ea:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Continuăm egalitatea (3.1) folosind rezultatul obținut:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Acum trebuie să găsim $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Pentru aceasta, folosim formula nr. 9 din tabelul de derivate, înlocuind $u=5\cdot 9^x$ în ea:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Completând egalitatea (3.2) cu rezultatul obținut, avem:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Rămâne să găsim $(5\cdot 9^x)"$. În primul rând, luăm constanta (numărul $5$) din semnul derivatei, adică $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Pentru a găsi derivata $(9^x)"$, aplicăm formula nr. 5 din tabelul de derivate, înlocuind $a=9$ și $u=x$ în ea: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Deoarece $x"=1$, atunci $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Acum putem continua egalitatea (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Puteți reveni de la puteri la radicali (adică rădăcini) din nou scriind $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ ca $\frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Apoi derivata va fi scrisă sub următoarea formă:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$
Răspuns: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.
Exemplul #4
Arătați că există formulele nr. 3 și nr. 4 ale tabelului derivatelor caz special formula numărul 2 din acest tabel.
În formula nr.2 din tabelul derivatelor se scrie derivata funcţiei $u^\alpha$. Înlocuind $\alpha=-1$ în formula #2, obținem:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Deoarece $u^(-1)=\frac(1)(u)$ și $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, egalitatea (4.1) poate fi rescrisă după cum urmează: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Aceasta este formula numărul 3 din tabelul derivatelor.
Să ne întoarcem din nou la formula nr. 2 din tabelul derivatelor. Înlocuiți $\alpha=\frac(1)(2)$ în el:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Deoarece $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ și $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, atunci egalitatea (4.2) poate fi rescrisă după cum urmează:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Egalitatea rezultată $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ este formula nr. 4 din tabelul derivatelor. După cum puteți vedea, formulele nr. 3 și nr. 4 din tabelul derivatelor sunt obținute din formula nr. 2 prin înlocuirea valorii corespunzătoare a $\alpha$.
Derivată a unei funcții complexe. Exemple de soluții
În această lecție, vom învăța cum să găsim derivata unei functii complexe. Lecția este o continuare logică a lecției Cum să găsesc derivatul?, pe care am analizat cele mai simple derivate și, de asemenea, ne-am familiarizat cu regulile de diferențiere și unele metode tehnice de găsire a derivatelor. Astfel, dacă nu sunteți foarte bun cu derivatele de funcții sau unele puncte din acest articol nu sunt în totalitate clare, atunci citiți mai întâi lecția de mai sus. Vă rugăm să acordați o dispoziție serioasă - materialul nu este ușor, dar voi încerca totuși să îl prezint simplu și clar.
În practică, trebuie să te ocupi de derivata unei funcții complexe foarte des, chiar aș spune aproape întotdeauna, când ți se dau sarcini să găsești derivate.
Ne uităm în tabel la regula (nr. 5) pentru diferențierea unei funcții complexe:
Noi înțelegem. În primul rând, să aruncăm o privire asupra notației. Aici avem două funcții - și , iar funcția, la figurat vorbind, este imbricată în funcția . O funcție de acest fel (când o funcție este imbricată în alta) se numește funcție complexă.
Voi apela funcția functie externa, și funcția – funcție interioară (sau imbricată)..
! Aceste definiții nu sunt teoretice și nu ar trebui să apară în proiectarea finală a sarcinilor. Folosesc expresiile informale „funcție externă”, funcție „internă” doar pentru a vă facilita înțelegerea materialului.
Pentru a clarifica situația, luați în considerare:
Exemplul 1
Aflați derivata unei funcții
Sub sinus, nu avem doar litera „x”, ci întreaga expresie, deci găsirea imediată a derivatei din tabel nu va funcționa. De asemenea, observăm că este imposibil să aplicați primele patru reguli aici, pare să existe o diferență, dar adevărul este că este imposibil să „sfiți” sinusul:
ÎN acest exemplu deja din explicațiile mele este clar intuitiv că o funcție este o funcție complexă, iar polinomul este o funcție internă (încorporare) și o funcție externă.
Primul pas, care trebuie efectuată atunci când găsirea derivatei unei funcții complexe este să înțelegeți ce funcție este internă și care este externă.
Când exemple simple pare clar că un polinom este imbricat sub sinus. Dar dacă nu este evident? Cum să determinați exact ce funcție este externă și care este internă? Pentru a face acest lucru, vă propun să folosiți următoarea tehnică, care poate fi efectuată mental sau pe ciornă.
Să ne imaginăm că trebuie să calculăm valoarea expresiei cu un calculator (în loc de unul, poate exista orice număr).
Ce calculăm mai întâi? În primul rând va trebui să efectuați următoarea acțiune: , deci polinomul va fi o funcție internă: 
În al doilea rând va trebui să găsiți, deci sinusul - va fi o funcție externă: 
După ce noi A INTELEGE Cu funcțiile interioare și exterioare, este timpul să aplici regula de diferențiere a funcției compuse.
Începem să decidem. De la lecție Cum să găsesc derivatul? ne amintim că proiectarea soluției oricărei derivate începe întotdeauna astfel - includem expresia între paranteze și punem o contur în dreapta sus:
La început găsiți derivata funcției externe (sinus), uitați-vă la tabelul derivatelor functii elementare si observati ca. Toate formulele tabelare sunt aplicabile chiar dacă „x” este înlocuit cu o expresie complexă, V acest caz:
Rețineți că funcția interioară nu s-a schimbat, nu o atingem.
Ei bine, este destul de evident că
Rezultatul final al aplicării formulei arată astfel:
Factorul constant este de obicei plasat la începutul expresiei:
Dacă există vreo neînțelegere, notați decizia pe hârtie și citiți din nou explicațiile.
Exemplul 2
Aflați derivata unei funcții
Exemplul 3
Aflați derivata unei funcții
Ca întotdeauna, scriem: 
Ne dăm seama unde avem o funcție externă și unde este una internă. Pentru a face acest lucru, încercăm (mental sau pe o schiță) să calculăm valoarea expresiei pentru . Ce trebuie făcut mai întâi? În primul rând, trebuie să calculați cu ce baza este egală:, ceea ce înseamnă că polinomul este funcția internă: 
Și, numai atunci se realizează exponențiarea, prin urmare, funcția de putere este o funcție externă: 
Conform formulei, mai întâi trebuie să găsiți derivata funcției externe, în acest caz, gradul. Căutăm formula dorită în tabel:. Repetăm din nou: orice formulă tabelară este valabilă nu numai pentru „x”, ci și pentru o expresie complexă. Astfel, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:
Subliniez din nou că atunci când luăm derivata funcției exterioare, funcția interioară nu se modifică: 
Acum rămâne să găsiți o derivată foarte simplă a funcției interioare și să „pieptănați” puțin rezultatul:
Exemplul 4
Aflați derivata unei funcții
Acesta este un exemplu pentru solutie independenta(răspuns la sfârșitul lecției).
Pentru a consolida înțelegerea derivatei unei funcții complexe, voi da un exemplu fără comentarii, încercați să vă dați seama singur, raționați, unde este funcția externă și unde este funcția internă, de ce sarcinile sunt rezolvate astfel?
Exemplul 5
a) Aflați derivata unei funcții
b) Aflați derivata funcției
Exemplul 6
Aflați derivata unei funcții 
Aici avem o rădăcină, iar pentru a diferenția rădăcina, aceasta trebuie reprezentată ca un grad. Astfel, mai întâi aducem funcția în forma potrivită pentru diferențiere:
Analizând funcția, ajungem la concluzia că suma a trei termeni este o funcție internă, iar exponențiația este o funcție externă. Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe:
Gradul este din nou reprezentat ca un radical (rădăcină), iar pentru derivata funcției interne, aplicăm o regulă simplă pentru diferențierea sumei:
Gata. De asemenea, puteți pune expresia din paranteze la numitor comunși scrieți totul ca o fracție. Este frumos, desigur, dar atunci când se obțin derivate lungi greoaie, este mai bine să nu faci acest lucru (este ușor să te confuzi, să faci o greșeală inutilă și profesorul va fi incomod să verifice).
Exemplul 7
Aflați derivata unei funcții
Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției).
Este interesant de observat că uneori, în loc de regula de diferențiere a unei funcții complexe, se poate folosi regula de diferențiere a unui coeficient. 
, dar o astfel de soluție ar arăta ca o perversiune amuzantă. Iată un exemplu tipic:
Exemplul 8
Aflați derivata unei funcții
Aici puteți folosi regula de diferențiere a coeficientului , dar este mult mai profitabil să găsim derivata prin regula de diferențiere a unei funcții complexe:
Pregătim funcția pentru diferențiere - scoatem semnul minus al derivatei și ridicăm cosinusul la numărător:
Cosinusul este o funcție internă, exponențiația este o funcție externă.
Să folosim regula noastră:
Găsim derivata funcției interioare, resetăm cosinusul înapoi în jos:
Gata. În exemplul luat în considerare, este important să nu vă confundați în semne. Apropo, încercați să o rezolvați cu regula , răspunsurile trebuie să se potrivească.
Exemplul 9
Aflați derivata unei funcții
Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției).
Până acum, am luat în considerare cazurile în care am avut doar un cuib într-o funcție complexă. În sarcinile practice, puteți găsi adesea derivate, în care, cum ar fi păpușile de cuibărit, una în cealaltă, 3 sau chiar 4-5 funcții sunt imbricate deodată.
Exemplul 10
Aflați derivata unei funcții
Înțelegem atașamentele acestei funcții. Încercăm să evaluăm expresia folosind valoarea experimentală. Cum am conta pe un calculator?
Mai întâi trebuie să găsiți, ceea ce înseamnă că arcsinusul este cel mai adânc cuib:
Acest arcsinus al unității ar trebui apoi să fie la pătrat:
Și, în sfârșit, îi ridicăm pe cei șapte la putere: 
Adică, în acest exemplu avem trei funcții diferite și două imbricare, în timp ce funcția cea mai interioară este arcsinus, iar funcția cea mai exterioară este funcția exponențială.
Începem să decidem
Conform regulii, mai întâi trebuie să luați derivata funcției externe. Ne uităm în tabelul derivatelor și găsim derivata functie exponentiala: Singura diferență este că în loc de „x” avem expresie compusă, ceea ce nu invalidează valabilitatea acestei formule. Deci, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:
Sub liniuță, avem din nou o funcție dificilă! Dar deja este mai ușor. Este ușor de observat că funcția interioară este arcsinus și funcția exterioară este gradul. Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, mai întâi trebuie să luați derivata gradului.
Este absolut imposibil să rezolvi probleme fizice sau exemple de matematică fără cunoștințe despre derivată și metode de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?
Sensul geometric și fizic al derivatului
Să existe o funcție f(x) , dat într-un anumit interval (a,b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența valorilor sale x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. Modificarea sau creșterea unei funcții este diferența dintre valorile funcției în două puncte. Definiție derivată:
Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.
Altfel se poate scrie asa:
Ce rost are să găsești o astfel de limită? Dar care:
derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.
sens fizic derivat: derivata în timp a traseului este egală cu viteza mișcării rectilinie.
Într-adevăr, încă din vremea școlii, toată lumea știe că viteza este o cale privată. x=f(t) si timpul t . viteza medie pentru o anumită perioadă de timp:
Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:
Prima regulă: scoateți constanta
Constanta poate fi scoasă din semnul derivatei. Mai mult, trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați ca regulă - dacă puteți simplifica expresia, asigurați-vă că simplificați .
Exemplu. Să calculăm derivata:
Regula a doua: derivata sumei functiilor
Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.
Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.
Aflați derivata unei funcții:
Regula trei: derivata produsului de funcții
Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:
Exemplu: găsiți derivata unei funcții:
Soluţie: 
Aici este important de spus despre calculul derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.
În exemplul de mai sus, întâlnim expresia:
În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, luăm în considerare mai întâi derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar însuși față de variabila independentă.
Regula a patra: derivata coeficientului a două funcții
Formula pentru determinarea derivatei unui cât de două funcții:
Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.
Cu orice întrebare pe acest subiect și alte subiecte, puteți contacta serviciul pentru studenți. In spate Pe termen scurt vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să vă ocupați de sarcini, chiar dacă nu v-ați mai ocupat niciodată de calculul derivatelor.
derivate complexe. Derivată logaritmică.
Derivată a funcției exponențiale
Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul acoperit, vom lua în considerare derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi trucuri și trucuri pentru găsirea derivatei, în special, cu derivata logaritmică.
Acei cititori care au un nivel scăzut de pregătire ar trebui să consulte articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții ceea ce vă va permite să vă ridicați abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții complexe, înțelegeți și rezolvați Toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând și, după ce o stăpânești, vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să rămâneți la poziția „Unde altundeva? Da, și este suficient!”, Deoarece toate exemplele și soluțiile sunt luate din teste reale și se găsesc adesea în practică.
Să începem cu repetarea. La lectie Derivată a unei funcții complexe am luat în considerare o serie de exemple cu comentarii detaliate. În timpul studierii calculului diferențial și a altor secțiuni ale analizei matematice, va trebui să diferențiezi foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să pictezi exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa în găsirea orală a derivaților. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu:
Conform regulii de diferenţiere a unei funcţii complexe 
:
Când studiați alte subiecte matan în viitor, o înregistrare atât de detaliată nu este de cele mai multe ori necesară, se presupune că studentul este capabil să găsească derivate similare pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața a sunat telefonul și o voce plăcută a întrebat: „Care este derivata tangentei a doi x?”. Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: 
.
Primul exemplu va fi destinat imediat unei soluții independente.
Exemplul 1
Găsiți pe cale orală următoarele derivate, într-un singur pas, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina, trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu și-a amintit deja). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția Derivată a unei funcții complexe.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Răspunsuri la sfârșitul lecției
Derivate complexe
După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 atașamente de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Poate că următoarele două exemple vor părea complicate unora, dar dacă sunt înțelese (cineva va suferi), atunci aproape orice altceva este calcul diferenţial va părea o glumă de copil.
Exemplul 2
Aflați derivata unei funcții 
După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar DreaptaÎNȚELEGE INVESTIȚII. În cazurile în care există îndoieli, reamintesc tehnica utila: luăm valoarea experimentală „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau pe o schiță) să o înlocuim valoare datăîntr-o expresie groaznică.
1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, astfel încât suma este cea mai adâncă cuibărit.
2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:
4) Apoi cubează cosinusul:
5) La al cincilea pas, diferența:
6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată: 
Formula de diferențiere a funcției complexe 
sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:
Se pare că nu este nicio eroare...
(1) Luăm derivata rădăcinii pătrate.
(2) Luăm derivata diferenței folosind regula 
(3) Derivata tripluului este egală cu zero. În al doilea termen, luăm derivata gradului (cubul).
(4) Luăm derivata cosinusului.
(5) Luăm derivata logaritmului.
(6) În cele din urmă, luăm derivatul celui mai adânc cuibărit.
Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia tot farmecul și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la examen pentru a verifica dacă studentul înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.
Următorul exemplu este pentru o soluție independentă.
Exemplul 3
Aflați derivata unei funcții
Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului
Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Este timpul să trecem la ceva mai compact și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să dea un produs de nu doi, dar trei funcții. Cum să găsiți derivatul lui produse din trei multiplicatori?
Exemplul 4
Aflați derivata unei funcții 
În primul rând, ne uităm, dar este posibil să transformăm produsul a trei funcții într-un produs a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în acest exemplu, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.
În astfel de cazuri, este necesar rand pe rand aplica regula de diferentiere a produselor 
de două ori
Trucul este că pentru „y” notăm produsul a două funcții: , iar pentru „ve” - logaritmul:. De ce se poate face asta? Este 
- acesta nu este produsul a doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:
Acum rămâne să aplici regula a doua oară 
la paranteză:
Puteți încă perverti și să scoateți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul în această formă - va fi mai ușor de verificat.
Exemplul de mai sus poate fi rezolvat în al doilea mod: 
Ambele soluții sunt absolut echivalente.
Exemplul 5
Aflați derivata unei funcții
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, în probă se rezolvă în primul mod.
Luați în considerare exemple similare cu fracții.
Exemplul 6
Aflați derivata unei funcții 
Aici puteți merge în mai multe moduri:
Sau cam asa:
Dar soluția poate fi scrisă mai compact dacă, în primul rând, folosim regula de diferențiere a coeficientului 
, luând pentru întregul numărător:
În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat în această formă, nu va fi o greșeală. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă, dar este posibil să simplificați răspunsul? Aducem expresia numărătorului la un numitor comun și scăpați de fracția cu trei etaje:
Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea unei derivate, ci la transformări școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.
Un exemplu mai simplu pentru o soluție do-it-yourself:
Exemplul 7
Aflați derivata unei funcții
Continuăm să stăpânim tehnicile de găsire a derivatei, iar acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „îngrozitor” pentru diferențiere
Exemplul 8
Aflați derivata unei funcții
Aici puteți parcurge un drum lung, folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe:
Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei un derivat neplăcut al grad fracționar, și apoi și din fracție.
De aceea inainte de cum să luați derivatul logaritmului „fantezist”, acesta este anterior simplificat folosind proprietăți școlare binecunoscute:
! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule chiar acolo. Dacă nu aveți caiet, desenați-le pe o foaie de hârtie, deoarece restul exemplelor lecției se vor învârti în jurul acestor formule.
Soluția în sine poate fi formulată astfel:
Să transformăm funcția:
Găsim derivata: 
Transformarea preliminară a funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.
Și acum câteva exemple simple pentru o soluție independentă:
Exemplul 9
Aflați derivata unei funcții 
Exemplul 10
Aflați derivata unei funcții
Toate transformările și răspunsurile la sfârșitul lecției.
derivată logaritmică
Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea, este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate sa! Și chiar necesar.
Exemplul 11
Aflați derivata unei funcții 
Exemple similare pe care le-am luat în considerare recent. Ce să fac? Se poate aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului, iar apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că obțineți o fracțiune uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.
Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat ca derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:
Acum trebuie să „descompuneți” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formule în fața ochilor?). Voi descrie acest proces în detaliu:
Să începem cu diferențierea.
Încheiem ambele părți cu o lovitură:
Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.
Dar partea stângă?
Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „y” sub logaritm?”.
Faptul este că această „o litera y” - ESTE O FUNCȚIE în sine(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este o funcție internă. Și folosim regula de diferențiere a funcției compuse 
:
Pe partea stângă, parcă de un val bagheta magica avem o derivată. În plus, conform regulii proporției, aruncăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:
Și acum ne amintim despre ce fel de „joc”-funcție am vorbit la diferențiere? Să ne uităm la starea: 
Răspuns final: 
Exemplul 12
Aflați derivata unei funcții
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Exemplu de șablon de design de acest tip la sfarsitul lectiei.
Cu ajutorul derivatei logaritmice a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple și, poate, utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.
Derivată a funcției exponențiale
Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială este o funcție care are iar gradul și baza depind de "x". Exemplu clasic, care vă va fi oferit în orice manual sau la orice prelegere:
Cum se află derivata unei funcții exponențiale?
Este necesar să se folosească tehnica tocmai considerată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:
De regulă, gradul este scos de sub logaritmul din partea dreaptă:
Ca urmare, în partea dreaptă avem un produs a două funcții, care va fi diferențiat conform formulei standard 
.
Găsim derivata, pentru aceasta închidem ambele părți sub linii:
Următorii pași sunt simpli:
In cele din urma: 
Dacă o transformare nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul #11.
În sarcinile practice, funcția exponențială va fi întotdeauna mai complicată decât exemplul de prelegere considerat.
Exemplul 13
Aflați derivata unei funcții
Folosim derivata logaritmică. 
În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului lui x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). La diferențierea unei constante, așa cum ne amintim, este mai bine să o scoateți imediat din semnul derivatului, astfel încât să nu ia în cale; și, bineînțeles, aplicați regula familiară 
:
După cum puteți vedea, algoritmul pentru aplicarea derivatei logaritmice nu conține niciun truc sau truc special, iar găsirea derivatei funcției exponențiale nu este de obicei asociată cu „chin”.
