Calculator online. Rezolvarea inegalităților: liniare, pătratice și fracționale. Inegalități. Tipuri de inegalități
Cum se rezolvă inegalitățile liniare? În primul rând, trebuie să simplificăm inegalitatea: deschideți parantezele și adăugați termeni similari.
Să ne uităm la exemple de soluții inegalități liniare cu o variabilă.
Deschiderea parantezelor. Dacă există un factor în fața parantezelor, înmulțiți-l cu fiecare termen din paranteze. Dacă parantezele sunt precedate de un semn plus, caracterele din paranteze nu se schimbă. Dacă există un semn minus în fața parantezelor, semnele dintre paranteze sunt inversate.
Prezentăm termeni similari.
Se obține o inegalitate de forma ax+b≤cx+d. Mutăm necunoscutele într-o parte, cunoscutele în cealaltă cu semne opuse (am putea muta mai întâi necunoscutele într-o parte, cunoscutele în cealaltă și abia apoi aducem termeni similari).
Împărțim ambele părți ale inegalității la numărul din fața lui X. Din 8 Peste zero, semnul inegalității nu se modifică:
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Deoarece , punctul -2 este marcat pe linia numerică ca umbrit. de la -2, la minus infinit. 
Deoarece inegalitatea nu este strictă și punctul este umbrit, scriem răspunsul -2 cu paranteză pătrată.
Pentru a trece de la zecimale la numere întregi, puteți înmulți ambele părți ale inegalității cu 10 (acest lucru nu este necesar. Puteți lucra cu zecimale).
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Când ambele părți sunt înmulțite cu un număr pozitiv, semnul inegalității nu se schimbă. Fiecare termen trebuie înmulțit cu 10. Când înmulțim un produs cu 10, folosim proprietatea asociativă a înmulțirii, adică înmulțim doar un factor cu 10.
Extinderea parantezelor:
Iată termeni similari:
Mișcăm necunoscutele într-o direcție, cunoscutele în cealaltă cu semne opuse:
Împărțim ambele părți ale inegalității la numărul din fața lui X. Deoarece -6 este un număr negativ, semnul inegalității este inversat:
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Reducem fracția:
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Deoarece inegalitatea este strictă, notăm -2/3 pe linia numerică cu un punct perforat. Umbrirea merge spre dreapta, la plus infinit: 
Inegalitatea este strictă, punctul lipsește, așa că scriem răspunsul -2/3 cu o paranteză:
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Deschiderea parantezelor. Dacă produsul dintre două paranteze este precedat de un semn minus, este convenabil să efectuați mai întâi înmulțirea și abia apoi să deschideți parantezele, schimbând semnul fiecărui termen la opus:
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Iată termeni similari:
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Necunoscute - într-o direcție, cunoscute - în cealaltă cu semne opuse:
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}
Împărțim ambele părți ale inegalității la numărul din fața lui X. De la -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:
Deoarece inegalitatea este strictă, notăm 1,6 pe linia numerică cu un punct perforat. Umbrirea de la 1,6 merge la stânga, la minus infinit: 
Deoarece inegalitatea este strictă și lipsește punctul, scriem 1,6 în răspuns cu o paranteză.
Nu toată lumea știe să rezolve inegalitățile, care în structura lor au trăsături similare și distincte cu ecuații. O ecuație este un exercițiu format din două părți, între care există un semn egal, iar între părțile inegalității poate exista un semn „mai mult decât” sau „mai puțin decât”. Astfel, înainte de a găsi o soluție la o anumită inegalitate, trebuie să înțelegem că merită să luăm în considerare semnul numărului (pozitiv sau negativ) dacă este nevoie să înmulțim ambele părți cu orice expresie. Același fapt ar trebui să fie luat în considerare dacă pătratul este necesară pentru a rezolva o inegalitate, deoarece pătratul se realizează prin înmulțire.
Cum se rezolvă un sistem de inegalități
Este mult mai dificil să rezolvi sistemele de inegalități decât inegalitățile obișnuite. Să ne uităm la cum să rezolvăm inegalitățile din clasa a 9-a folosind exemple specifice. Trebuie înțeles că înainte de a rezolva inegalitățile (sisteme) pătratice sau orice alte sisteme de inegalități, este necesar să se rezolve fiecare inegalități separat și apoi să le compare. Soluția unui sistem de inegalități va fi fie un răspuns pozitiv, fie unul negativ (indiferent dacă sistemul are o soluție sau nu are o soluție).
Sarcina este de a rezolva un set de inegalități:
Să rezolvăm fiecare inegalitate separat
Construim o dreaptă numerică pe care descriem un set de soluții
Întrucât o mulțime este o uniune de mulțimi de soluții, această mulțime pe linia numerică trebuie subliniată cu cel puțin o linie.
Rezolvarea inegalităților cu modul
Acest exemplu va arăta cum se rezolvă inegalitățile cu modul. Deci avem o definitie:
Trebuie să rezolvăm inegalitatea:
Înainte de a rezolva o astfel de inegalitate, este necesar să scăpați de modulul (semnul)
Să scriem, pe baza datelor de definiție:
Acum trebuie să rezolvați fiecare dintre sisteme separat.
Să construim o singură dreaptă numerică pe care descriem seturile de soluții.
Drept urmare, avem o colecție care combină multe soluții.
Rezolvarea inegalităților pătratice
Folosind dreapta numerică, să ne uităm la un exemplu de rezolvare a inegalităților pătratice. Avem o inegalitate:
Știm că graficul unui trinom pătratic este o parabolă. De asemenea, știm că ramurile parabolei sunt îndreptate în sus dacă a>0.
x 2 -3x-4< 0
Folosind teorema lui Vieta găsim rădăcinile x 1 = - 1; x 2 = 4
Să desenăm o parabolă, sau mai bine zis, o schiță a acesteia.
Astfel, am aflat că valorile trinomului pătratic vor fi mai mici de 0 pe intervalul de la – 1 la 4.
Mulți oameni au întrebări când rezolvă inegalități duble precum g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.
De fapt, există mai multe metode de rezolvare a inegalităților, așa că le puteți folosi inegalități complexe metoda grafica.
Rezolvarea inegalităților fracționale
Inegalitățile fracționale necesită o abordare mai atentă. Acest lucru se datorează faptului că în procesul de rezolvare a unor inegalități fracționale semnul se poate schimba. Înainte de a rezolva inegalitățile fracționale, trebuie să știți că pentru a le rezolva se folosește metoda intervalului. O inegalitate fracțională trebuie prezentată în așa fel încât o parte a semnului să arate ca o expresie rațională fracțională, iar cealaltă parte să arate ca „- 0”. Transformând inegalitatea în acest fel, obținem ca rezultat f(x)/g(x) > (.
Rezolvarea inegalităților folosind metoda intervalului
Tehnica intervalului se bazează pe metoda inducției complete, adică pentru a găsi o soluție la inegalitatea este necesar să parcurgem toate opțiuni posibile. Această metodă de rezolvare poate să nu fie necesară elevilor de clasa a VIII-a, deoarece ar trebui să știe să rezolve inegalitățile de clasa a VIII-a, care sunt exerciții simple. Dar pentru clasele mai vechi această metodă este indispensabilă, deoarece ajută la rezolvarea inegalităților fracționale. Rezolvarea inegalităților folosind această tehnică se bazează și pe o astfel de proprietate a unei funcții continue precum păstrarea semnului între valorile în care acesta se transformă în 0.
Să construim un grafic al polinomului. Aceasta este o funcție continuă care ia valoarea de 3 ori, adică f(x) va fi egal cu 0 în punctele x 1, x 2 și x 3, rădăcinile polinomului. În intervalele dintre aceste puncte se păstrează semnul funcției.
Deoarece pentru a rezolva inegalitatea f(x)>0 avem nevoie de semnul funcției, trecem la linia de coordonate, părăsind graficul.
f(x)>0 pentru x(x 1 ; x 2) și pentru x(x 3 ;)
f(x)x(- ; x 1) și la x (x 2 ; x 3)
Graficul arată clar soluțiile inegalităților f(x)f(x)>0 (soluția pentru prima inegalitate este în albastru, iar soluția pentru a doua în roșu). Pentru a determina semnul unei funcții pe un interval, este suficient să cunoașteți semnul funcției la unul dintre puncte. Această tehnică vă permite să rezolvați rapid inegalitățile în care partea stângă este factorizată, deoarece în astfel de inegalități este destul de ușor să găsiți rădăcinile.
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informatii, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, în proceduri judiciare și/sau în baza unor anchete publice sau solicitări de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de sănătate publică. cazuri importante.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Inegalitățile și sistemele de inegalități sunt unul dintre subiectele abordate liceuîn algebră. În ceea ce privește nivelul de dificultate, nu este cel mai dificil, deoarece are reguli simple (mai multe despre ele puțin mai târziu). De regulă, școlarii învață să rezolve sistemele de inegalități destul de ușor. Acest lucru se datorează și faptului că profesorii pur și simplu își „antrenează” elevii pe această temă. Și nu pot să nu facă acest lucru, pentru că se studiază în viitor folosind altele mărimi matematiceși este, de asemenea, testat pe OGE și Unified State Exam. În manualele școlare, tema inegalităților și sistemelor de inegalități este tratată în detaliu, așa că, dacă urmează să o studiezi, cel mai bine este să apelezi la ele. Acest articol doar repovesti materiale mari, și pot exista unele omisiuni.
Conceptul de sistem de inegalități
Dacă apelezi la limbaj științific, atunci putem defini conceptul de „sistem de inegalități”. Acesta este un model matematic care reprezintă mai multe inegalități. Acest model, desigur, necesită o soluție, iar acesta va fi răspunsul general pentru toate inegalitățile sistemului propus în sarcină (de obicei acest lucru este scris în el, de exemplu: „Rezolvați sistemul de inegalități 4 x + 1 > 2 și 30 - x > 6... "). Cu toate acestea, înainte de a trece la tipurile și metodele de soluții, trebuie să înțelegeți altceva.
Sisteme de inegalități și sisteme de ecuații
Când învățați un subiect nou, apar adesea neînțelegeri. Pe de o parte, totul este clar și vrei să începi să rezolvi sarcinile cât mai curând posibil, dar, pe de altă parte, unele momente rămân în „umbră” și nu sunt pe deplin înțelese. De asemenea, unele elemente ale cunoștințelor deja dobândite pot fi împletite cu altele noi. Ca urmare a acestei „suprapuneri”, apar adesea erori.
Prin urmare, înainte de a începe să analizăm subiectul nostru, ar trebui să ne amintim diferențele dintre ecuații și inegalități și sistemele lor. Pentru a face acest lucru, trebuie să explicăm încă o dată ce reprezintă aceste concepte matematice. O ecuație este întotdeauna o egalitate și este întotdeauna egală cu ceva (în matematică acest cuvânt este notat cu semnul „="). Inegalitatea este un model în care o valoare este fie mai mare, fie mai mică decât alta, sau conține o afirmație conform căreia acestea nu sunt la fel. Astfel, în primul caz, se cuvine să vorbim despre egalitate, iar în al doilea, oricât de evident ar suna din numele însuși, despre inegalitatea datelor inițiale. Sistemele de ecuații și inegalități practic nu diferă unele de altele, iar metodele de rezolvare a acestora sunt aceleași. Singura diferență este că în primul caz se folosesc egalități, iar în al doilea caz sunt folosite inegalități.
Tipuri de inegalități
Există două tipuri de inegalități: numerice și cu o variabilă necunoscută. Primul tip reprezintă valorile furnizate (numerele) care sunt inegale între ele, de exemplu, 8 > 10. Al doilea este inegalitățile care conțin o variabilă necunoscută (notate cu o literă). alfabet latin, cel mai adesea X). Această variabilă trebuie găsită. În funcție de câte sunt, modelul matematic distinge între inegalități cu una (alcătuiesc un sistem de inegalități cu o variabilă) sau mai multe variabile (alcătuiesc un sistem de inegalități cu mai multe variabile).
Ultimele două tipuri, în funcție de gradul de construcție și de nivelul de complexitate al soluției, sunt împărțite în simple și complexe. Cele simple sunt numite și inegalități liniare. Ele, la rândul lor, sunt împărțite în stricte și non-strictive. Cei stricti „spun” în mod specific că o cantitate trebuie să fie neapărat mai mică sau mai mare, deci aceasta este în formă pură inegalitate. Se pot da mai multe exemple: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 etc. Cele non-strictive includ și egalitatea. Adică, o valoare poate fi mai mare sau egală cu o altă valoare (semnul „≥”) sau mai mică sau egală cu o altă valoare (semnul „≤”). Chiar și în inegalitățile liniare, variabila nu este la rădăcină, pătrat sau divizibil cu nimic, motiv pentru care sunt numite „simple”. Cele complexe implică variabile necunoscute care necesită execuție pentru a le găsi. Mai mult operatii matematice. Ele sunt adesea situate într-un pătrat, cub sau sub o rădăcină, pot fi modulare, logaritmice, fracționale etc. Dar din moment ce sarcina noastră este nevoia de a înțelege soluția sistemelor de inegalități, vom vorbi despre un sistem de inegalități liniare. . Cu toate acestea, înainte de asta, ar trebui spuse câteva cuvinte despre proprietățile lor.
Proprietățile inegalităților
Proprietățile inegalităților includ următoarele:
- Semnul de inegalitate este inversat dacă se folosește o operație pentru a schimba ordinea laturilor (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2, atunci t 2 ≥ t 1).
- Ambele părți ale inegalității vă permit să adăugați același număr la sine (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2, atunci t 1 + număr ≤ t 2 + număr).
- Două sau mai multe inegalități cu un semn în aceeași direcție permit adăugarea părților lor stângă și dreaptă (de exemplu, dacă t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, atunci t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
- Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr pozitiv (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2 și un număr ≤ 0, atunci numărul · t 1 ≥ numărul · t 2).
- Două sau mai multe inegalități care au termeni pozitivi și un semn în aceeași direcție permit să fie înmulțite între ele (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 apoi t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
- Ambele părți ale inegalității permit să fie înmulțite sau împărțite cu același număr negativ, dar în acest caz semnul inegalității se modifică (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2 și un număr ≤ 0, atunci numărul · t 1 ≥ număr · t 2).
- Toate inegalitățile au proprietatea tranzitivității (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2 și t 2 ≤ t 3, atunci t 1 ≤ t 3).
Acum, după ce am studiat principiile de bază ale teoriei legate de inegalități, putem trece direct la luarea în considerare a regulilor de rezolvare a sistemelor acestora.
Rezolvarea sistemelor de inegalități. Informații generale. Soluții
După cum am menționat mai sus, soluția sunt valorile variabilei care sunt potrivite pentru toate inegalitățile sistemului dat. Rezolvarea sistemelor de inegalități este implementarea unor operații matematice care conduc în cele din urmă la o soluție a întregului sistem sau demonstrează că acesta nu are soluții. În acest caz, se spune că variabila aparține unui set numeric gol (scris după cum urmează: litera care denota o variabila∈ (semnul „aparține”) ø (semnul „mulțime goală”), de exemplu, x ∈ ø (a se citi: „Variabila „x” aparține mulțimii goale”). Există mai multe moduri de rezolvare a sistemelor de inegalități: grafică, algebrică, metoda substituției. Este de remarcat faptul că se referă la acele modele matematice care au mai multe variabile necunoscute. În cazul în care există doar unul, metoda intervalului este potrivită.
Metoda grafică
Vă permite să rezolvați un sistem de inegalități cu mai multe mărimi necunoscute (de la două și mai sus). Datorită acestei metode, un sistem de inegalități liniare poate fi rezolvat destul de ușor și rapid, deci este cea mai comună metodă. Acest lucru se explică prin faptul că trasarea unui grafic reduce cantitatea de scriere a operațiilor matematice. Devine deosebit de plăcut să iei o mică pauză de la stilou, să ridici un creion cu o riglă și să începi să lucrezi. actiunile urmatoare cu ajutorul lor când s-a făcut multă muncă și vrei puțină varietate. Cu toate acestea, unor oameni nu le place această metodă, deoarece trebuie să se desprindă de sarcină și să-și schimbe activitatea mentală la desen. Cu toate acestea, aceasta este o metodă foarte eficientă.
Pentru a rezolva un sistem de inegalități folosind o metodă grafică, este necesar să transferăm toți termenii fiecărei inegalități în partea stanga. Semnele vor fi inversate, zero ar trebui să fie scris în dreapta, apoi fiecare inegalitate trebuie scrisă separat. Ca rezultat, funcțiile vor fi obținute din inegalități. După aceasta, puteți scoate un creion și o riglă: acum trebuie să desenați un grafic al fiecărei funcții obținute. Întregul set de numere care se vor afla în intervalul intersecției lor va fi o soluție a sistemului de inegalități.
Mod algebric
Vă permite să rezolvați un sistem de inegalități cu două variabile necunoscute. De asemenea, inegalitățile trebuie să aibă același semn de inegalitate (adică trebuie să conțină fie doar semnul „mai mare decât”, fie doar semnul „mai puțin decât” etc.) În ciuda limitărilor sale, această metodă este și mai complexă. Se aplică în două etape.
Primul implică acțiuni pentru a scăpa de una dintre variabilele necunoscute. Mai întâi trebuie să îl selectați, apoi să verificați prezența numerelor în fața acestei variabile. Dacă nu sunt acolo (atunci variabila va arăta ca o singură literă), atunci nu schimbăm nimic, dacă există (tipul variabilei va fi, de exemplu, 5y sau 12y), atunci este necesar să facem asigurați-vă că în fiecare inegalitate numărul din fața variabilei selectate este același. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare termen al inegalităților cu un factor comun, de exemplu, dacă 3y este scris în prima inegalitate și 5y în a doua, atunci trebuie să înmulțiți toți termenii primei inegalități cu 5. , iar al doilea cu 3. Obțineți 15y și, respectiv, 15y.
A doua etapă a soluției. Este necesar să transferați partea stângă a fiecărei inegalități în laturile lor drepte, schimbând semnul fiecărui termen în opus și scrieți zero în dreapta. Apoi urmează partea distractivă: a scăpa de variabila selectată (cunoscută și sub numele de „reducere”) în timp ce adăugați inegalitățile. Aceasta are ca rezultat o inegalitate cu o variabilă care trebuie rezolvată. După aceasta, ar trebui să faceți același lucru, doar cu o altă variabilă necunoscută. Rezultatele obținute vor fi soluția sistemului.
Metoda de înlocuire
Vă permite să rezolvați un sistem de inegalități dacă este posibil să introduceți o nouă variabilă. De obicei, această metodă este utilizată atunci când variabila necunoscută dintr-un termen al inegalității este ridicată la a patra putere, iar în celălalt termen este la pătrat. Astfel, această metodă are ca scop reducerea gradului de inegalități din sistem. Inegalitatea eșantionului x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 se rezolvă în acest fel. Este introdusă o nouă variabilă, de exemplu t. Ei scriu: „Fie t = x 2”, apoi modelul este rescris într-o formă nouă. În cazul nostru, obținem t 2 - t - 1 ≤0. Această inegalitate trebuie rezolvată folosind metoda intervalului (mai multe despre asta puțin mai târziu), apoi înapoi la variabila X, apoi faceți același lucru cu cealaltă inegalitate. Răspunsurile primite vor fi soluția sistemului.
Metoda intervalului
Acesta este cel mai simplu mod de a rezolva sistemele de inegalități și, în același timp, este universal și răspândit. Este folosit în școlile secundare și chiar în școlile superioare. Esența sa constă în faptul că elevul caută intervale de inegalitate pe o dreaptă numerică, care este desenată într-un caiet (acesta nu este un grafic, ci doar o linie obișnuită cu numere). Acolo unde intervalele de inegalități se intersectează, se găsește soluția sistemului. Pentru a utiliza metoda intervalului, trebuie să urmați acești pași:
- Toți termenii fiecărei inegalități sunt transferați în partea stângă cu semnul schimbându-se în opus (zero este scris în dreapta).
- Inegalitățile sunt scrise separat, iar soluția fiecăreia dintre ele este determinată.
- Se găsesc intersecțiile inegalităților de pe dreapta numerică. Toate numerele situate la aceste intersecții vor fi o soluție.
Ce metodă ar trebui să folosesc?
Evident, cea care pare cea mai ușoară și mai convenabilă, dar sunt cazuri când sarcinile necesită o anumită metodă. Cel mai adesea se spune că trebuie să rezolvați fie folosind un grafic, fie metoda intervalului. Metoda algebrică și substituția sunt utilizate extrem de rar sau deloc, deoarece sunt destul de complexe și confuze și, în plus, sunt mai folosite pentru rezolvarea sistemelor de ecuații, mai degrabă decât a inegalităților, așa că ar trebui să apelați la desenarea graficelor și a intervalelor. Ele aduc claritate, care nu poate decât să contribuie la executarea eficientă și rapidă a operațiilor matematice.
Dacă ceva nu merge
În timpul studierii unui anumit subiect în algebră, desigur, pot apărea probleme cu înțelegerea acestuia. Și acest lucru este normal, deoarece creierul nostru este proiectat în așa fel încât să nu fie capabil să înțeleagă material complex dintr-o singură mișcare. Adesea trebuie să recitiți un paragraf, să primiți ajutor de la un profesor sau să exersați rezolvarea sarcinilor standard. În cazul nostru, ele arată, de exemplu, astfel: „Rezolvați sistemul de inegalități 3 x + 1 ≥ 0 și 2 x - 1 > 3.” Astfel, dorința personală, ajutorul din afară și practica ajută la înțelegerea oricărui subiect complex.
Rezolvator?
O carte de soluții este și ea foarte potrivită, dar nu pentru copierea temelor, ci pentru autoajutorare. În ele puteți găsi sisteme de inegalități cu o soluție, priviți-le (ca șabloane), încercați să înțelegeți exact cum autorul soluției a făcut față sarcinii și apoi încercați să faceți același lucru pe cont propriu.
concluzii
Algebra este una dintre cele mai dificile discipline din școală. Ei bine, ce poți face? Matematica a fost întotdeauna așa: pentru unii este ușor, dar pentru alții este dificil. Dar, în orice caz, trebuie amintit că programul de învățământ general este structurat în așa fel încât orice student să îi poată face față. În plus, trebuie să aveți în vedere numărul mare de asistenți. Unele dintre ele au fost menționate mai sus.
Mulți oameni cred că inegalitățile exponențiale sunt ceva complex și de neînțeles. Și că a învăța să le rezolvi este aproape o mare artă, pe care numai Aleșii sunt capabili să o înțeleagă...
Prostii complete! Inegalitățile exponențiale sunt ușoare. Și sunt întotdeauna rezolvate simplu. Ei bine, aproape întotdeauna.
Astăzi vom analiza acest subiect în interior și în exterior. Această lecție va fi foarte utilă pentru cei care abia încep să înțeleagă această secțiune a matematicii școlare. Sa incepem cu sarcini simpleși vom trece la probleme mai complexe. Nu va fi nicio muncă grea astăzi, dar ceea ce urmează să citiți va fi suficient pentru a rezolva majoritatea inegalităților la toate tipurile de teste și teste. muncă independentă. Și la acest examen al tău.
Ca întotdeauna, să începem cu definiția. O inegalitate exponențială este orice inegalitate care conține o funcție exponențială. Cu alte cuvinte, poate fi întotdeauna redusă la o inegalitate a formei
\[((a)^(x)) \gt b\]
Unde rolul lui $b$ poate fi un număr obișnuit, sau poate ceva mai dur. Exemple? Da, te rog:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\end(align)\]
Cred că sensul este clar: există o funcție exponențială $((a)^(x))$, este comparată cu ceva și apoi i se cere să găsească $x$. În special cazuri cliniceîn loc de variabila $x$, pot pune o funcție $f\left(x \right)$ și astfel pot complica puțin inegalitatea.
Desigur, în unele cazuri inegalitatea poate părea mai gravă. De exemplu:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Sau chiar asta:
În general, complexitatea unor astfel de inegalități poate fi foarte diferită, dar în cele din urmă ele încă se reduc la construcția simplă $((a)^(x)) \gt b$. Și ne vom da seama cumva de o astfel de construcție (în cazuri mai ales clinice, când nu ne vine nimic în minte, logaritmii ne vor ajuta). Prin urmare, acum vă vom învăța cum să rezolvați astfel de construcții simple.
Rezolvarea inegalităților exponențiale simple
Să luăm în considerare ceva foarte simplu. De exemplu, aceasta:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Evident, numărul din dreapta poate fi rescris ca o putere a doi: $4=((2)^(2))$. Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă într-o formă foarte convenabilă:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Și acum mâinile mele sunt mâncărime să le „trisească” pe cei doi din bazele puterilor pentru a obține răspunsul $x \gt 2$. Dar înainte de a tăia orice, să ne amintim puterile a doi:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
După cum vedem, decât număr mai mare este în exponent, cu atât numărul de ieșire este mai mare. — Mulțumesc, Cap! – va exclama unul dintre elevi. Este diferit? Din păcate, se întâmplă. De exemplu:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ dreapta))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Și aici totul este logic: cu cât gradul este mai mare, cu atât numărul 0,5 este înmulțit cu el însuși (adică, împărțit la jumătate). Astfel, succesiunea de numere rezultată este în scădere, iar diferența dintre prima și a doua secvență este doar în bază:
- Dacă baza gradului $a \gt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, va crește și numărul $((a)^(n))$;
- Și invers, dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, numărul $((a)^(n))$ va scădea.
Rezumând aceste fapte, obținem cea mai importantă afirmație pe care se bazează întreaga decizie inegalități exponențiale:
Dacă $a \gt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \gt n$. Dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \lt n$.
Cu alte cuvinte, dacă baza este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu - semnul inegalității nu se va schimba. Și dacă baza este mai mică de unu, atunci poate fi și eliminată, dar în același timp va trebui să schimbați semnul inegalității.
Vă rugăm să rețineți că nu am luat în considerare opțiunile $a=1$ și $a\le 0$. Pentru că în aceste cazuri apare incertitudinea. Să spunem cum se rezolvă o inegalitate de forma $((1)^(x)) \gt 3$? Unul pentru orice putere va da din nou unul - nu vom primi niciodată trei sau mai multe. Acestea. nu exista solutii.
Din motive negative, totul este și mai interesant. De exemplu, luați în considerare această inegalitate:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
La prima vedere, totul este simplu:
Dreapta? Dar nu! Este suficient să înlocuiți câteva numere pare și câteva impare în loc de $x$ pentru a vă asigura că soluția este incorectă. Aruncă o privire:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
După cum puteți vedea, semnele se alternează. Dar există mai mult puteri fracționateși alte tablă. Cum, de exemplu, ați ordona să calculați $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus doi la puterea lui șapte)? În nici un caz!
Prin urmare, pentru certitudine, presupunem că în toate inegalitățile exponențiale (și ecuațiile, apropo, de asemenea) $1\ne a \gt 0$. Și apoi totul este rezolvat foarte simplu:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(aliniere) \dreapta.\]
În general, amintiți-vă încă o dată regula principală: dacă baza într-o ecuație exponențială este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu; iar dacă baza este mai mică de unu, poate fi, de asemenea, îndepărtată, dar semnul inegalității se va schimba.
Exemple de soluții
Deci, să ne uităm la câteva inegalități exponențiale simple:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]
Sarcina principală în toate cazurile este aceeași: reducerea inegalităților la cea mai simplă formă $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Este exact ceea ce vom face acum cu fiecare inegalitate și, în același timp, vom repeta proprietățile gradelor și ale funcțiilor exponențiale. Deci să mergem!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Ce poți face aici? Ei bine, în stânga avem deja o expresie orientativă - nimic nu trebuie schimbat. Dar în dreapta este un fel de porcărie: o fracție și chiar o rădăcină în numitor!
Cu toate acestea, să ne amintim regulile de lucru cu fracții și puteri:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]
Ce înseamnă? În primul rând, putem scăpa cu ușurință de fracțiune transformând-o într-o putere cu exponent negativ. Și în al doilea rând, deoarece numitorul are o rădăcină, ar fi bine să-l transformăm într-o putere - de data aceasta cu un exponent fracționar.
Să aplicăm secvențial aceste acțiuni în partea dreaptă a inegalității și să vedem ce se întâmplă:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Nu uitați că atunci când ridicați un grad la o putere, exponenții acestor grade se adună. Și, în general, atunci când lucrezi cu ecuații exponențialeși inegalități este absolut necesar să cunoașteți cel puțin cele mai simple reguli de lucru cu grade:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]
De fapt, tocmai am aplicat ultima regulă. Prin urmare, inegalitatea noastră inițială va fi rescrisă după cum urmează:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Acum scăpăm de cele două de la bază. Deoarece 2 > 1, semnul inegalității va rămâne același:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Asta e solutia! Principala dificultate nu este deloc în funcția exponențială, ci în transformarea competentă a expresiei originale: trebuie să o aduceți cu atenție și rapid la forma sa cea mai simplă.
Luați în considerare a doua inegalitate:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Asa si asa. Fracțiile zecimale ne așteaptă aici. După cum am spus de multe ori, în orice expresii cu puteri ar trebui să scapi de zecimale - aceasta este adesea singura modalitate de a vedea o soluție rapidă și simplă. Aici vom scăpa de:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]
Aici avem din nou cea mai simplă inegalitate și chiar și cu o bază de 1/10, i.e. mai putin de unul. Ei bine, eliminăm bazele, schimbând simultan semnul de la „mai puțin” la „mai mult”, și obținem:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]
Am primit răspunsul final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Vă rugăm să rețineți: răspunsul este tocmai o mulțime, și în niciun caz o construcție de forma $x \lt -1$. Pentru că formal, o astfel de construcție nu este deloc o mulțime, ci o inegalitate față de variabila $x$. Da, este foarte simplu, dar nu este răspunsul!
Notă importantă. Această inegalitate ar putea fi rezolvată într-un alt mod - prin reducerea ambelor părți la o putere cu o bază mai mare decât una. Aruncă o privire:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
După o astfel de transformare, vom obține din nou o inegalitate exponențială, dar cu o bază de 10 > 1. Aceasta înseamnă că pur și simplu putem tăia zece - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]
După cum puteți vedea, răspunsul a fost exact același. În același timp, ne-am ferit de nevoia de a schimba semnul și, în general, ne-am amintit orice reguli.
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Cu toate acestea, nu lăsați acest lucru să vă sperie. Indiferent de ce se află în indicatori, tehnologia de rezolvare a inegalității în sine rămâne aceeași. Prin urmare, să remarcăm mai întâi că 16 = 2 4. Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de acest fapt:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Ura! Avem cele obișnuite inegalitatea pătratică! Semnul nu s-a schimbat nicăieri, deoarece baza este doi - un număr mai mare decât unu.
Zerurile unei funcții pe linia numerică
Aranjam semnele functiei $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - evident, graficul acesteia va fi o parabolă cu ramuri în sus, deci vor exista „plusuri”. ” pe laterale. Suntem interesați de regiunea în care funcționează mai putin de zero, adică $x\in \left(2;5 \right)$ este răspunsul la problema inițială.
În cele din urmă, luați în considerare o altă inegalitate:
\[(((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Din nou vedem o funcție exponențială cu o fracție zecimală la bază. Să transformăm această fracție într-o fracție comună:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
ÎN în acest caz, Am folosit observația anterioară - am redus baza la numărul 5 > 1 pentru a simplifica soluția noastră ulterioară. Să facem același lucru cu partea dreaptă:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de ambele transformări:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \dreapta)))\ge ((5)^(-2))\]
Bazele de pe ambele părți sunt aceleași și depășesc unul. Nu există alți termeni la dreapta și la stânga, așa că pur și simplu „trăgem” cei cinci și obținem o expresie foarte simplă:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Aici trebuie să fii mai atent. Mulți studenți le place să extragă pur și simplu Rădăcină pătrată de ambele părți ale inegalității și scrieți ceva de genul $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. În niciun caz nu ar trebui să faceți acest lucru, deoarece rădăcina unui pătrat exact este modul, și în niciun caz variabila originală:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\dreapta|\]
Cu toate acestea, lucrul cu module nu este cea mai plăcută experiență, nu-i așa? Deci nu vom lucra. În schimb, pur și simplu mutăm toți termenii la stânga și rezolvăm inegalitatea obișnuită folosind metoda intervalului:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Marcam din nou punctele obținute pe linia numerică și ne uităm la semnele:
Vă rugăm să rețineți: punctele sunt umbrite Deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă, toate punctele din grafic sunt umbrite. Prin urmare, răspunsul va fi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nu este un interval, ci un segment.
În general, aș dori să observ că nu este nimic complicat în ceea ce privește inegalitățile exponențiale. Semnificația tuturor transformărilor pe care le-am efectuat astăzi se rezumă la un algoritm simplu:
- Găsiți baza la care vom reduce toate gradele;
- Efectuați cu atenție transformările pentru a obține o inegalitate de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Desigur, în loc de variabilele $x$ și $n$ pot fi mult mai multe funcții complexe, dar sensul nu se va schimba;
- Tăiați bazele gradelor. În acest caz, semnul de inegalitate se poate schimba dacă baza $a \lt 1$.
De fapt, acesta este un algoritm universal pentru rezolvarea tuturor acestor inegalități. Și tot ceea ce vă vor spune despre acest subiect este doar tehnici și trucuri specifice care vor simplifica și accelera transformarea. Vom vorbi despre una dintre aceste tehnici acum :)
Metoda raționalizării
Să luăm în considerare un alt set de inegalități:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \dreapta))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Deci, ce este atât de special la ei? Sunt ușoare. Deși, oprește-te! Este numărul π ridicat la o anumită putere? Ce nonsens?
Cum se ridică numărul $2\sqrt(3)-3$ la o putere? Sau $3-2\sqrt(2)$? Scriitorii cu probleme au băut, evident, prea mult Hawthorn înainte de a se așeza la muncă :)
De fapt, nu este nimic înfricoșător în aceste sarcini. Permiteți-mi să vă reamintesc: o funcție exponențială este o expresie de forma $((a)^(x))$, unde baza $a$ este orice număr pozitiv, cu excepția unuia. Numărul π este pozitiv - știm deja asta. Numerele $2\sqrt(3)-3$ și $3-2\sqrt(2)$ sunt de asemenea pozitive - acest lucru este ușor de observat dacă le compari cu zero.
Se pare că toate aceste inegalități „înfricoșătoare” sunt rezolvate cu nimic diferit de cele simple discutate mai sus? Și sunt rezolvate în același mod? Da, este absolut corect. Cu toate acestea, folosind exemplul lor, aș dori să iau în considerare o tehnică care economisește mult timp pentru munca independentă și examene. Vom vorbi despre metoda raționalizării. Deci, atentie:
Orice inegalitate exponențială de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ dreapta) \gt 0 $.
Asta e toată metoda :) Te-ai gândit că va exista un alt joc? Nimic de genul asta! Dar acest fapt simplu, scris literalmente într-o singură linie, ne va simplifica foarte mult munca. Aruncă o privire:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Deci nu mai există funcții exponențiale! Și nu trebuie să vă amintiți dacă semnul se schimbă sau nu. Dar apare noua problema: ce să faci cu multiplicatorul nenorocit \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nu știm despre ce este vorba valoare exacta numerele π. Cu toate acestea, căpitanul pare să sugereze ceea ce este evident:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\aprox 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
În general, valoarea exactă a lui π nu ne privește cu adevărat - este important doar pentru noi să înțelegem că, în orice caz, $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. aceasta este o constantă pozitivă și putem împărți ambele părți ale inegalității cu aceasta:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
După cum puteți vedea, la un moment dat a trebuit să împărțim cu minus unu - și semnul inegalității s-a schimbat. La final, am extins trinomul pătratic folosind teorema lui Vieta - este evident că rădăcinile sunt egale cu $((x)_(1))=5$ și $((x)_(2))=-1$ . Apoi totul este rezolvat folosind metoda clasică a intervalului:
Rezolvarea inegalității folosind metoda intervalului Toate punctele sunt eliminate deoarece inegalitatea originală este strictă. Ne interesează regiunea cu valori negative, deci răspunsul este $x\in \left(-1;5 \right)$. asta e solutia :)
Să trecem la următoarea sarcină:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Totul aici este în general simplu, deoarece există o unitate în dreapta. Și ne amintim că unu este orice număr ridicat la puterea zero. Chiar dacă acest număr este o expresie irațională la baza din stânga:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \dreapta))^(0)); \\\end(align)\]
Ei bine, hai să raționalizăm:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Tot ce rămâne este să descoperi semnele. Factorul $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nu conține variabila $x$ - este doar o constantă și trebuie să aflăm semnul acesteia. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]
Se pare că al doilea factor nu este doar o constantă, ci o constantă negativă! Și la împărțirea la ea, semnul inegalității originale se schimbă în opus:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Acum totul devine complet evident. Rădăcini trinom pătratic, stând în dreapta: $((x)_(1))=0$ și $((x)_(2))=2$. Le marchem pe linia numerică și ne uităm la semnele funcției $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Cazul când ne interesează intervalele laterale Ne interesează intervalele marcate cu semnul plus. Rămâne doar să scrieți răspunsul:
Să trecem la următorul exemplu:
\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ dreapta))^(16-x))\]
Ei bine, totul este complet evident aici: bazele conțin puteri de același număr. Prin urmare, voi scrie totul pe scurt:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \În jos \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrice)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ stânga(16-x \dreapta))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
După cum puteți vedea, în timpul procesului de transformare a trebuit să înmulțim cu un număr negativ, așa că semnul de inegalitate s-a schimbat. La final, am aplicat din nou teorema lui Vieta pentru a factoriza trinomul pătratic. Ca urmare, răspunsul va fi următorul: $x\in \left(-8;4 \right)$ - oricine poate verifica acest lucru prin trasarea unei linii numerice, marcarea punctelor și numărarea semnelor. Între timp, vom trece la ultima inegalitate din „setul” nostru:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
După cum puteți vedea, la bază există din nou un număr irațional, iar în dreapta este din nou o unitate. Prin urmare, rescriem inegalitatea noastră exponențială după cum urmează:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ dreapta))^(0))\]
Aplicam rationalizarea:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Cu toate acestea, este destul de evident că $1-\sqrt(2) \lt 0$, deoarece $\sqrt(2)\aproximativ 1,4... \gt 1$. Prin urmare, al doilea factor este din nou o constantă negativă, prin care ambele părți ale inegalității pot fi împărțite:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrice)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Mutați-vă la o altă bază
O problemă separată la rezolvarea inegalităților exponențiale este căutarea bazei „corecte”. Din păcate, nu este întotdeauna evident la prima vedere asupra unei sarcini ce să ia ca bază și ce să facă în funcție de gradul acestei baze.
Dar nu vă faceți griji: aici nu există magie sau tehnologie „secretă”. În matematică, orice abilitate care nu poate fi algoritmizată poate fi dezvoltată cu ușurință prin practică. Dar pentru aceasta va trebui să rezolvați probleme de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, așa:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ sfârşitul (alinierea)\]
Dificil? Infricosator? E mai ușor decât să lovești un pui pe asfalt! Sa incercam. Prima inegalitate:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Ei bine, cred că totul este clar aici:
Rescriem inegalitatea originală, reducând totul la baza două:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Da, da, ați auzit bine: tocmai am aplicat metoda de raționalizare descrisă mai sus. Acum trebuie să lucrăm cu atenție: avem o inegalitate fracționară-rațională (aceasta este una care are o variabilă la numitor), așa că înainte de a echivala ceva cu zero, trebuie să aducem totul la numitor comunși scăpați de factorul constant.
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Acum folosim metoda intervalului standard. Zerourile numeratorului: $x=\pm 4$. Numitorul ajunge la zero numai atunci când $x=0$. Există trei puncte în total care trebuie marcate pe linia numerică (toate punctele sunt fixate deoarece semnul inegalității este strict). Primim:
Caz mai complex: trei rădăcini După cum ați putea ghici, umbrirea marchează acele intervale la care expresia din stânga ia valori negative. Prin urmare, răspunsul final va include două intervale simultan:
Capetele intervalelor nu sunt incluse în răspuns deoarece inegalitatea inițială a fost strictă. Nu este necesară verificarea suplimentară a acestui răspuns. În acest sens, inegalitățile exponențiale sunt mult mai simple decât cele logaritmice: fără ODZ, fără restricții etc.
Să trecem la următoarea sarcină:
\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Nici aici nu există probleme, deoarece știm deja că $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, deci întreaga inegalitate poate fi rescrisă după cum urmează:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\stânga(-2 \dreapta) \dreapta. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Vă rugăm să rețineți: în a treia linie am decis să nu pierd timpul cu fleacuri și să împart imediat totul la (−2). Minul a intrat în prima paranteză (acum sunt plusuri peste tot), iar două au fost reduse cu un factor constant. Este exact ceea ce ar trebui să faceți atunci când pregătiți afișaje reale pe independent și teste— nu este nevoie să descriem fiecare acțiune și transformare.
În continuare, intră în joc metoda familiară a intervalelor. Zerouri ale numărătorului: dar nu există. Pentru că discriminantul va fi negativ. La rândul său, numitorul este resetat numai când $x=0$ - la fel ca data trecută. Ei bine, este clar că la dreapta lui $x=0$ va lua fracția valori pozitive, iar în stânga sunt negative. Deoarece ne interesează valorile negative, răspunsul final este: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
Ce ar trebui să faci cu fracțiile zecimale din inegalitățile exponențiale? Așa este: scapă de ele, transformându-le în altele obișnuite. Aici vom traduce:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ stânga(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\dreapta))^(x)). \\\end(align)\]
Deci, ce am obținut în bazele funcțiilor exponențiale? Și avem două numere reciproc inverse:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ dreapta))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ stânga(\frac(4)(25) \dreapta))^(-x))\]
Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \dreapta))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]
Desigur, la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora se adună, ceea ce s-a întâmplat în a doua linie. În plus, am reprezentat unitatea din dreapta, tot ca putere în baza 4/25. Rămâne doar să raționalizezi:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Rețineți că $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, adică. al doilea factor este o constantă negativă, iar la împărțirea la acesta, semnul inegalității se schimbă:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\în \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
În cele din urmă, ultima inegalitate din „mulțimea” actuală:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
În principiu, ideea soluției de aici este de asemenea clară: toate funcțiile exponențiale incluse în inegalitate trebuie reduse la baza „3”. Dar pentru asta va trebui să te chinui puțin cu rădăcini și puteri:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac((((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]
Luând în considerare aceste fapte, inegalitatea inițială poate fi rescrisă după cum urmează:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\dreapta))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]
Atenție la rândurile 2 și 3 ale calculelor: înainte de a face ceva cu inegalitatea, asigurați-vă că o aduceți la forma despre care am vorbit încă de la începutul lecției: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Atâta timp cât aveți niște factori stângaci, constante suplimentare etc. în stânga sau în dreapta, nu poate fi efectuată nicio raționalizare sau „radiere” a terenurilor! Nenumărate sarcini au fost finalizate incorect din cauza neînțelegerii acestui fapt simplu. Eu însumi observ constant această problemă cu studenții mei când abia începem să analizăm inegalitățile exponențiale și logaritmice.
Dar să revenim la sarcina noastră. Să încercăm de data asta să facem fără raționalizare. Să ne amintim: baza gradului este mai mare decât unu, astfel încât triplele pot fi pur și simplu tăiate - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
Asta e tot. Răspuns final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Izolarea unei expresii stabile și înlocuirea unei variabile
În concluzie, propun rezolvarea a încă patru inegalități exponențiale, care sunt deja destul de dificile pentru elevii nepregătiți. Pentru a le face față, trebuie să vă amintiți regulile de lucru cu grade. În special, scoaterea din paranteze a factorilor comuni.
Dar cel mai important lucru este să înveți să înțelegi ce anume poate fi scos dintre paranteze. O astfel de expresie se numește stabilă - poate fi notată printr-o nouă variabilă și astfel scăpați de funcția exponențială. Deci, să ne uităm la sarcini:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Să începem de la prima linie. Să scriem separat această inegalitate:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Rețineți că $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, deci mâna dreaptă partea poate fi rescrisa:
Rețineți că nu există alte funcții exponențiale cu excepția $((5)^(x+1))$ în inegalitate. Și, în general, variabila $x$ nu apare nicăieri altundeva, așa că să introducem o nouă variabilă: $((5)^(x+1))=t$. Obținem următoarea construcție:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Revenim la variabila originală ($t=((5)^(x+1))$), și în același timp ne amintim că 1=5 0 . Avem:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]
Asta e solutia! Răspuns: $x\în \left[ -1;+\infty \right)$. Să trecem la a doua inegalitate:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Totul este la fel aici. Rețineți că $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Apoi partea stângă poate fi rescrisă:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \dreapta. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]
Cam așa trebuie să elaborezi o soluție pentru teste reale și muncă independentă.
Ei bine, hai să încercăm ceva mai complicat. De exemplu, iată inegalitatea:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Care este problema aici? În primul rând, bazele funcțiilor exponențiale din stânga sunt diferite: 5 și 25. Totuși, 25 = 5 2, deci primul termen poate fi transformat:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left((((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align) )\]
După cum puteți vedea, la început am adus totul la aceeași bază, apoi am observat că primul termen poate fi redus cu ușurință la al doilea - trebuie doar să extindeți exponentul. Acum puteți introduce în siguranță o nouă variabilă: $((5)^(2x+2))=t$, iar întreaga inegalitate va fi rescrisă după cum urmează:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
Și din nou, fără dificultăți! Răspuns final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Să trecem la inegalitatea finală în lecția de astăzi:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este, desigur, zecimal la baza gradului I. Este necesar să scăpați de el și, în același timp, să aduceți toate funcțiile exponențiale la aceeași bază - numărul „2”:
\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Grozav, am făcut primul pas – totul a dus la aceeași fundație. Acum trebuie să selectați o expresie stabilă. Rețineți că $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Dacă introducem o nouă variabilă $((2)^(4x+6))=t$, atunci inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]
Desigur, poate apărea întrebarea: cum am descoperit că 256 = 2 8? Din păcate, aici trebuie doar să cunoști puterile lui doi (și în același timp puterile lui trei și cinci). Ei bine, sau împărțiți 256 la 2 (puteți împărți, deoarece 256 este un număr par) până când obținem rezultatul. Va arata cam asa:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Același lucru este valabil și cu trei (numerele 9, 27, 81 și 243 sunt gradele sale) și cu șapte (numerele 49 și 343 ar fi, de asemenea, bine de reținut). Ei bine, cele cinci au și grade „frumoase” pe care trebuie să le știi:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]
Desigur, dacă doriți, toate aceste numere pot fi restaurate în mintea voastră prin simpla înmulțire succesivă între ele. Totuși, atunci când trebuie să rezolvați mai multe inegalități exponențiale, iar fiecare următoare este mai dificilă decât cea anterioară, atunci ultimul lucru la care doriți să vă gândiți este puterile unor numere. Și în acest sens, aceste probleme sunt mai complexe decât inegalitățile „clasice” care sunt rezolvate prin metoda intervalului.
