Вычислительные приемы для многозначных чисел. План-конспект урока по математике (4 класс) на тему: урок математики "Сложение и вычитание многозначных чисел.Повторение"
Способы устных вычислений
Устные приемы сложения и вычитания многозначных чисел изучаются в 4 классе четырехлетней начальной школы в следующем порядке:
1. Нумерационные случаи
а) Случаи вида:
99 999 + 1 345 000 - 1 560 999 + 1
560 000 - 1 399 999 + 1 40 000 - 1
При выполнении вычислений данного вида ссылаются на принцип построения натурального ряда чисел: добавление к числу единицы дает число, следующее по счету; вычитание единицы дает число, предшествующее по счету.
Например: 399 999 + 1 - добавляя к числу 1, получаем число следующее. Следующее за числом 399 999 число 400 000, значит 399 999 + 1 =400 000.
б) Случаи вида:
30 000 + 1 000 650 999 - 900 600 000 + 5
60 345 - 5 345 000 - 45 000 800 700 + 1 000
При выполнении вычислений данного вида ребенок должен хорошо знать принцип поразрядного строения чисел в десятичной системе счисления.
650 999 - 900 - 650 099
2. Сложение и вычитание целых тысяч
Сложение и вычитание вида 32 000 + 2 000, 690 000 - 50 000 является первым вычислительным приемом, с которого начинается формирование устных вычислений в объеме многозначных чисел.
Для освоения этого приема ребенок должен хорошо представлять разрядный состав многозначного числа. Рассматривая 32 000 как 32 тыс. и 2 000 как 2 тыс., прием 32 000 + 2 000 вычисляется, как 32 тыс. + 2 тыс. Ответ 34 тыс. затем рассматривается, как 34 000 и записывается результат вычислений. Таким образом, действия целыми тысячами рассматриваются как действия разрядными единицами, вычисления в этом случае сводятся к табличным вычислениям в пределах 10, 20 пли 100.
3. Сложение и вычитание целых тысяч на основе правил арифметических действий
Учебник математики для 4 класса практически не предлагает вычислений соответствующего вида, однако учителя часто используют их на устном счете.
К этим случаям относятся вычисления вида: 70 200 + 400, 600 100 - 99, 3 008 + 351,425 100 - 24 100 и т. п.
При вычислениях используется знание десятичного состава многозначных чисел и понимание того, что во всех случаях действия затрагивают только часть первого числа (первое число может рассматриваться как сумма). Таким образом действия могут выполняться только с частью первого числа.
Например:
Вычисляя сумму 70 200 + 400, можно отдельно сложить 400 и 200, а затем их сумму прибавить к числу 70 000. Фактически используется правило прибавления числа к сумме.
При выполнении вычислений в случае 425 100 - 24 100 используется правило вычитания числа из суммы. 425 100 рассматривается, как сумма 400 000 и 25 100. Из одного из слагаемых вычитается 24 100 (25 100 - 24 100 = 1 000), и полученный результат складывается с первым слагаемым: 400 000 + 1 000 = 401 000.
В основе всех этих случаев лежит хорошее знание разрядного состава многозначных чисел и умение выполнять устные вычисления целыми разрядами.
Способы письменных вычислений (в столбик)
Письменные приемы сложения и вычитания являются основными вычислительными действиями при вычислениях в объеме многозначных чисел, поскольку вычисления в уме с многозначными числами представляют собой слишком сложную проблему для всех детей. Использование письменных алгоритмов вычислений в этих условиях является психологически и методически оправданным.
Усвоение детьми нумерации четырехзначных и многозначных чисел позволяет им осуществить перенос умения складывать и вычитать числа «столбиком» из области трехзначных чисел на область многозначных чисел.
При знакомстве с письменными приемами сложения и вычитания в объеме многозначных чисел проводится аналогия с алгоритмом письменного сложения и вычитания в пределах 1000:
1) Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трехзначных чисел.
2) При записи столбиком, как и при сложении трехзначных чисел следует записывать разряд под соответствующим разрядом, и складывать сначала единицы, потом десятки, а потом сотни, потом тысячи и т. д. (справа налево).
Считается, что дети хорошо научены выполнять действия сложения и вычитания в столбик, поэтому в учебнике 4 класса не предусмотрено распределение случаев сложения и вычитания по уровням сложности.
Первыми рассматриваются различные случаи с переходами через разряд как при сложении так и при вычитании: 3 126 + 4 232; 25 346 - 13 407.
Затем рассматриваются случаи вычитания с нулями в уменьшаемом:
600 - 25; 1 000 - 124; 30 007 - 648.
Эти случаи являются наиболее сложными, поскольку требуют «заема» разрядных единиц не из соседних, а из далеко отстоящих разрядов. Эти случаи полезно сначала сопровождать подробной пояснительной записью на доске, чтобы дети понимали и видели, откуда появляются девятки в «пустых» разрядах.
Например:
30 007 Вычитаю единицы. Из 7 нельзя вычесть 8. 648 Пробую занять единицу в соседнем разряде.
В разряде десятков, сотен и тысяч нет разрядных единиц, поэтому «заем» возможно произвести только из разряда десятков тысяч: 30 тыс. - 1 тыс. = 29 тыс. Подписываем 29 над 30.
«Занятую» тысячу представляем в виде суммы 1 тыс. = 1000 = = 990 + 10.
Подписываем над разрядами сотен и десятков девятки, а из 10 единиц вычитаем 8, получаем 2 единицы. Но в разряде единиц было 7 единиц. Добавляем их к полученным 2 единицам и пишем в разряде единиц 9.
Вычитаем: 9 дес. - 4 дес. = 5 дес. Пишем 5 в разряде десятков. 9 сот. - 6 сот. = 3 сот. Пишем 3 в разряде сотен.
От десятков тысяч осталось 29 тыс. Пишем 9 в разряде тысяч, 2 - в разряде десятков тысяч.
При изучении сложения и вычитания многозначных чисел рекомендуется повторять и закреплять названия компонентов и результатов действий; свойства нахождения неизвестных компонентов действий при проверке результатов вычислений; рассматривать закономерности изменения суммы и разности при изменении одного из компонентов действий.
Многие дети используют калькуляторы как при выполнении вычислений с многозначными числами, так и при проверке результатов. В старших классах не возбраняется использовать калькуляторы при необходимости выполнить громоздкие вычисления (на уроках физики, химии, геометрии).
Чтобы стимулировать ребенка к использованию умения самостоятельно вычислять в столбик, следует предлагать задания, не позволяющие механического использования калькулятора для вычисления результата. Это различные задания на нахождение ошибки в записях или цифрах вычислений, на прикидку округленных результатов вычислений, на восстановление пропущенных цифр в компонентах действий, на выбор верных ответов из предложенных и т. п. Учителю следует помнить, что механический характер вычислительных действий при вычислениях с многозначными числами быстро приводит к утомлению детей, что провоцирует появление ошибок. Поэтому не стоит задавать подряд больше трех примеров на вычисления с многозначными числами.
Лекция 10. Умножение
1. Смысл действия умножения.
2. Табличное умножение.
3. Приемы запоминания таблицы умножения.
Смысл действия умножения
Действие умножения рассматривается как суммирование одинаковых слагаемых.
По определению умножение целых неотрицательных чисел (натуральных) - это действие, выполняющееся по следующим правилам:
а b = a+ a+ a+ a+ a ...+ а, при b > 1
b слагаемых
а 1 = а, при b = 1
а 0 = 0, при b = 0
Использование символики умножения позволяет сократить запись сложения одинаковых слагаемых.
Запись вида 2-4 = 8 подразумевает сокращение записи вида 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Ее читают так: «по 2 взять 4 раза, получится 8»; или: «2 умножить на 4 получится 8».
Действие умножения во всех учебниках математики для начальных классов рассматривают ранее действия деления.
С теоретико-множественной точки зрения умножению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение равных (равночисленных) совокупностей. Поэтому, прежде, чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.
Виды заданий, которые предлагаются детям до знакомства с символикой действия умножения (в 1 и 2 классе):
1. Посчитай двойками (тройками, пятерками).
2. Нарисуй рисунок: «На трех тарелках по 2 апельсина». Сосчитай, сколько всего апельсинов.
3. Найди лишнюю запись:
Найди значение каждого выражения наиболее удобным способом.
4. Сделай запись выражения по рисунку:
Виды заданий, используемых для усвоения ребенком смысла умножения при знакомстве с этим действием:
а) На соотнесение рисунка и математической записи:
Рассмотри рисунок и объясни записи:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10и2.5 = 10 5 + 5= 10и5-2= 10
4 + 4 + 4 = 12 4-3=12
б) На нахождение суммы одинаковых слагаемых: Рассмотри рисунки и закончи записи:
в) На замену сложения умножением:
Замени, где возможно сложение умножением и вычисли результаты:
5+5+5+5 1+1+1+1+1 5+6+3
42 + 42 0 + 0+0 + 0 + 0 4 + 6 + 8
г) На понимание смысла определения действия умножения:
Рассмотри записи и объясни, какое число берется слагаемым и сколько раз берется слагаемым это число: 6-4 = 24 9-3 = ...
6 + 6 + 6 + 6 = 24 9 + 9 + 9 =...
Выражение вида 3 5 называют произведением. Числа 3 и 5 в этой записи называют сомножителями (множителями).
Запись вида 3 5 = 15 называют равенством. Число 15 называют значением выражения. Поскольку число 15 в данном случае получено в результате умножения, его также часто называют произведением.
Например:
Найдите произведение чисел 4 и 6. (Произведение чисел 4 и 6 - это 24.)
Поскольку названия компонентов действия умножения вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи.
Например:
1. Среди данных выражений найдите такие, в которых первый множитель равен 3 (второй множитель равен 2 и т. д.):
2-2 7-3 6-2 1.6 3-5 3-2 7-3 3-4 3-1
2. Составьте произведение, в котором второй множитель равен 5. Найдите его значение.
3. Выберите примеры, в которых произведение равно 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в которых произведение равно 12. Подчеркните их синим цветом.
7-3 6-1 2-2 2-3 6-2 3-2 2-6
4. Как называют число 4 в выражении 5 4? Как называют число 5? Найдите произведение. Составьте пример, в котором произведение равно тому же числу, а множители другие.
5. Множители 8 и 2. Найдите произведение.
В третьем классе дети знакомятся с правилом взаимосвязи компонентов умножения, которое является основой для обучения нахождению неизвестных компонентов умножения при решении уравнений:
Если произведение разделить на один множитель, то получится другой множитель.
Например:
Решите уравнение 6 * х = 24. (В уравнении неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. х= 24:6, х = 4.)
Однако, данное правило в учебнике математики 3 класса не является обобщением представлений ребенка о способах проверки действия умножения. Правило проверки результатов умножения рассматривается в учебнике намного позже - после знакомства с вне-табличным умножением и делением (знакомства с умножением и делением двузначных чисел на однозначные, не входящим в таблицу умножения и деления). Это объясняется тем, что правило взаимосвязи компонентов умножения является основой составления таблицы деления. Поскольку предполагается, что табличные случаи умножения ребенок к этому времени знает наизусть, то нет необходимости в проверке результатов. Есть только необходимость быстро восстанавливать (вспоминать) нужное третье число по двум данным.
Например:
9-2 = ... 5-4 = ... 1*7 = ...
18:2 = ... 20:4 = ... 7:7 = ...
При выполнении устного внетабличного умножения, требующего применения достаточно сложного алгоритма, необходима проверка, поскольку многие дети часто ошибаются в этих случаях.
Правило проверки действия умножения:
1) Произведение делят на множитель.
2) Сравнивают полученный результат с другим множителем. Если эти числа равны, умножение выполнено верно.
Например: 18 4 = 72. Проверка: 1) 72: 4 = 18; 2) 18 = 18.
Табличное умножение
Изучение таблицы умножения является центральной задачей обучения математике во 2 и 3 классе.
К табличному умножению относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых).
Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям, умениям и навыкам дети должны знать наизусть. Умножение с числом нуль, умножение с числами 1 и 10 относят к особым случаям.
Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия умножения (см. предыдущий пункт). Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых слагаемых.
Например:
Расположенный рядом рисунок помогает ребенку получить результат пересчетом фигурок. При небольших значениях множителей прием сосчитывания для получения табличного значения произведения вполне приемлем, и учитель им часто пользуется при получении результатов таблиц значений умножения чисел 2, 3, 4. Приведенный пример показывает, что этот прием удобен лишь при небольших значениях второго множителя.
При значении второго множителя больше 5, удобнее использовать для получения результатов табличных значений другой прием: прием прибавления к предыдущему результату. Например:
Вычисли и запомни: 2-6 = 2.5 + 2 = ... 2-7 = 2.6 + 2 =... 2-8 = 2.7 + 2 2.9 = 2-8 + 2 =...
В учебнике математики для 2 класса этот прием дан более пространно, и поэтому не всегда правильно понимается с точки зрения техники выполнения:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2-7ит.п.
Аналогичным образом составляется таблица значений умножения числа 3.
Следующим приемом, на основе которого составляются таблицы значений умножения чисел, является прием перестановки множителей.
Этот прием фактически является первым математическим законом относительно действия умножения в начальной школе:
От перестановки множителей произведение не меняется.
Способ знакомства детей с этим правилом (законом) обусловлен ранее введенным смыслом действия умножения. Используя предметные модели множеств, дети сосчитывают результаты группировки их элементов разными способами, убеждаясь, что результаты не меняются от изменения способов группировки.
Например:
Счет элементов рисунка (множества) парами по горизонтали совпадает со счетом элементов тройками по вертикали. Рассмотрение нескольких вариантов подобных случаев дает учителю основание произвести индуктивное обобщение (т. е. обобщение нескольких частных случаев в обобщенном правиле) о том, что перестановка множителей не меняет значение произведения.
На основе этого правила, используемого как прием счета, составляется таблица умножения на 2.
Например:
Используя таблицу умножения числа 2, вычисли и запомни таблицу умножения на 2:
2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 =
На основе этого же приема составляется таблица умножения на 3:
3-4 = 12 3-7 = 21 4-3 = ... 7-3=...
3-5= 15 3-8 = 24 5-3 = ... 8-3 = ...
3-6 = 18 3-9 = 27 6-3=... 9-3 = ...
Составление двух первых таблиц распределяется на два урока, что соответственно увеличивает время, отведенное на их заучивание. Каждая из двух последних таблиц составляется на одном уроке, поскольку предполагается, что дети, зная исходную таблицу, не должны отдельно заучивать результаты таблиц, полученных с помощью перестановки множителей. На самом деле, многие дети учат каждую таблицу отдельно, поскольку недостаточный уровень развития гибкости мышления не позволяет им легко перестроить модель заученной схемы табличного случая в обратном порядке. При вычислении случаев вида 9 2 или 8 3 дети снова возвращаются к приему последовательного сложения, что естественно требует времени для получения результата. Такая ситуация порождается скорее всего тем, что для значительного числа детей такое разнесение во времени взаимосвязанных случаев умножения (тех, что связаны правилом перестановки множителей) не позволяет сформироваться ассоциативной цепочке, ориентированной именно на взаимосвязь. Та же ситуация прослеживалась у ряда детей при применении свойства перестановки слагаемых для составления таблиц сложения: запомнив случай 3 + 5, такой ребенок учит отдельно случай 5 + 3, поскольку требование выучить этот случай поступает от учителя через 16 уроков после требования заучить первый, и при этом в промежутке заучивалась таблица вида □ + 4, □ - 4. Иными словами, отсрочка в образовании ассоциативной связи, ориентированной на взаимосвязь этих случаев, оказалась для ребенка слишком большой, что помешало образованию такой связи. Поэтому каждый случай из фактически взаимосвязанной пары учится ребенком наизусть отдельно.
При составлении таблицы умножения числа 5 в 3 классе, только первое произведение получают путем сложения одинаковых слагаемых: 5-5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25. Остальные случаи получают приемом прибавления пяти к предыдущему результату:
5-6 = 5- 5 + 5 = 30 5-7 = 5-6 + 5 = 35 5-8 = 5-7 + 5 = 40 5-9 = 5- 8 + 5 = 45
Одновременно с этой таблицей составляется и взаимосвязанная с ней таблица умножения на 5: 6 5; 7 5; 8 5; 9 5.
Таблица умножения числа 6 содержит четыре случая: 6 6; 6 7; 6-8; 6-9.
Таблица умножения на 6 содержит три случая: 7 6; 8 6; 9 6.
Таблица умножения числа 7 содержит три случая: 7 7; 7 8; 7 9.
Таблица умножения на 7 содержит два случая: 8 7; 9 7.
Таблица умножения числа 8 содержит два случая: 8 8; 8 9.
Таблица умножения на 8 содержит один случай: 9 8.
Таблица умножения числа 9 содержит, только один случай: 9 9.
Теоретический подход к подобному построению системы изучения табличного умножения предполагает, что именно в таком соответствии ребенок и будет запоминать случаи табличного умножения.
Наибольшее количество случаев содержит наиболее легкая для запоминания таблица умножения числа 2, а наиболее трудная для запоминания таблица умножения числа 9 содержит всего один случай. Реально, рассматривая каждую новую «порцию» таблицы умножения, учитель обычно восстанавливает весь объем каждой таблицы (все случаи). Даже при условии, что учитель обращает внимание детей на то, что новым случаем на данном уроке является, например, только случай 9 9 , а 9 8 , 9 7 и т. п. изучались на предыдущих уроках, большая часть детей воспринимает весь предложенный объем как материал для нового заучивания. Таким образом, фактически, для многих детей таблица умножения числа 9 является самой большой и сложной (а это действительно так, если иметь в виду перечень всех случаев, который к ней относится).
Большой объем материала, требующего заучивания наизусть, сложность в образовании ассоциативных связей при запоминании взаимосвязанных случаев, необходимость достижения всеми детьми прочного запоминания всех табличных случаев наизусть в установленные программой сроки - все это делает тему изучения табличного умножения в начальных классах одной из наиболее методически сложных. В связи с этим важными являются вопросы, связанные с приемами запоминания ребенком таблицы умножения.
Чтобы найти разность методом «вычитание столбиком » (другими словами, как считать в столбик или столбиком вычитание), необходимо следовать таким шагам:
- поместить вычитаемое под уменьшаемое, записать единицы под единицами, десятки под десятками и т.д.
- вычесть поразрядно.
- если необходимо занять десяток из большего разряда, то над разрядом, в котором заняли, поставить точку. Над разрядом, для которого заняли, поставить 10.
- если в разряде, в котором заняли, стоит 0, тогда занимаем из следующего разряда уменьшаемого и над ним ставим точку. Над разрядом, для которого заняли, поставить 9, т.к. один десяток занят.
Ниже рассмотренные примеры покажут вам как происходит вычитание двухзначных, трехзначных и любых многозначных чисел столбиком.
Вычитание чисел в столбик очень помогает при вычитании больших чисел (как и сложение в столбик). Лучше всего научиться на примере.
Необходимо записать числа одно под другим таким образом, чтобы крайняя правая цифра 1-го числа стала под крайней правой цифрой 2-го числа. Число, которое больше (уменьшаемое) записываем сверху. Слева между числами ставим знак действия, здесь это «-» (вычитание).
2 - 1 = 1 . То, что у нас получается пишем под чертой:
10 + 3 = 13.
Из 13 вычтем девять.
13 - 9 = 4.
Так как мы заняли десяток у четверки, то она уменьшилось на 1. Для того, чтобы не забыть об этом у нас и стоит точка.
4 - 1 = 3.
Результат:
Вычитание столбиком из чисел, содержащих нули.
Опять же, разберем на примере:
Записываем числа в столбик. Которое больше - сверху. Начинаем вычитание справа налево по одной цифре. 9 - 3 = 6.
Из нуля вычесть 2 не получится, тогда опять занимаем у цифры слева. Это нуль. Ставим над нулем точку. И снова, у нуля занять не получится, тогда двигаемся дальше к следующей цифре. Занимаем у единицы. Ставим над ней точку.
Обратите внимание: когда в вычитании столбиком над 0 есть точка, нуль становится девяткой.
Над нашим нулем есть точка, значит, он стал девяткой. Вычитаем из нее 4. 9 - 4 = 5 . Над единицей есть точка, то есть она уменьшается на 1. 1 - 1 = 0. Полученный нуль не нужно записывать.
В основу формирования навыков письменного вычитания многозначных чисел можно положить следующую систему упражнений:
- Решение примеров, в которых цифры уменьшаемого больше соответствующих цифр вычитаемого.
- Решение примеров, в которых вычитаемое наряду со значащими цифрами содержит и нули.
- Решение примеров, в которых некоторые цифры уменьшаемого меньше соответствующих цифр вычитаемого.
- Решение примеров с одним и несколькими нулями в уменьшаемом.
В каждой из ступеней различают примеры по числу цифр в уменьшаемом и вычитаемом, по числу переходов через разряд, по числу нулей в уменьшаемом и их расположению среди значащих цифр; так, могут быть примеры с двумя, тремя, четырьмя и более нулями подряд; нули могут перемежаться со значащими цифрами; между нулями может встречаться единица (400100 — 66724).
Разнообразие случаев вычитания при единстве принципа их решения сильнее подчеркивает этот принцип — строгую поразрядность вычитания.
В начале изучения этой темы нужно распространить знакомый детям прием вычитания единиц, десятков и сотен на высшие разрядные единицы, показав, что если 8 единиц без 2 единиц составляют 6 единиц, то и 8 тысяч без 2 тысяч составляют 6 тысяч, 8 миллионов без 2 миллионов — 6 миллионов, 8 сотен тысяч без 2 сотен тысяч — 6 сотен тысяч и т. д. К этому сводится в конце концов процесс письменного вычитания многозначных чисел.
В процессе объяснения вычитания полезно сформулировать правило письменного выполнения этого действия.
Это правило играет роль средства в борьбе за четкие, правильные и упорядоченные записи, за безошибочное вычисление.
При решении первых примеров ученики подробно объясняют каждую операцию, но при переходе к упражнениям, направленным на автоматизацию навыка, объяснения даются в краткой форме.
При объяснении нужно подробно и обстоятельно раскрыть процесс занимания единицы высшего разряда и раздробления ее в единицы низшего разряда, при этом особое внимание нужно уделить примерам, в которых встречаются нули. Операции с нулем нужно повторить на отдельных примерах: 5 — 0 = 5, потому что если от числа ничего не отнять, то и останется то же число. Вычитать из нуля нельзя, потому что нуль меньше всякого числа (разумеется, натурального).
Когда уменьшаемое выражено единицей с несколькими нулями (1000, 10000, 1 000000) и т. д., то на классных счетах нужно показать, что тысяча — это 9 сотен 9 десятков и 10 единиц, 10000 — это 9 тысяч 9 сотен 9 десятков и 10 единиц.
Хорошим наглядным пособием в таких случаях может служить пучок из тысячи палочек, состоящий из 10 сотенных пучков, каждый из которых в свою очередь состоит из 10 десятков, а в каждом десятке по 10 палочек-единиц. Чтобы вычесть из 1000 палочек, например, 32 палочки, «тысячный» пучок развязывается, причем он распадается на 10 сотен; 9 сотен оставляют, а одна сотня развязывается и распадается на 10 десятков и т. д. Ученики видят, как из тысячи без изменения ее величины получили 9 сотен 9 десятков и 10. единиц. После этого отнимают 32 палочки. Затем проводится параллель между вычитанием на палочках и письменным вычитанием на классной доске.
Упражнения в вычитании многозначных чисел следует разнообразить, как это делалось и в упражнениях на сложение, например:
- Сравнить следующие разности: 100 000 — 96 786 и 10000 — 6786.
- Проверить следующее равенство: 20486 — 3856 = 6758 + 9870.
- Проверить, верно ли поставлен знак неравенства в следующем выражении: 100 000 — 92 487 < 60 100 — 9203. На сколько левая часть неравенства меньше правой?
- Найти разность: 18206 — X при X = 5978.
Такие задания ввиду своей целенаправленности поддерживают у учеников интерес к работе и повышают эффективность упражнений.
Формируя вычислительные навыки, нужно вместе с тем закрепить понятие о вычитании как действии, обратном сложению, продолжая начатую в предыдущих классах работу по изучению зависимости между компонентами и результатами этих действий. Для этого решаются простейшие уравнения вида: X + 120 = = 380; 460 + х = 600; X — 784 = 1265; 1000 — X = 693.
На основе знания зависимости между компонентами сложения и вычитания вводится проверка сложения вычитанием и проверка вычитания двумя способами — сложением и вычитанием.
Заметим, что нужно обучать и другому более простому способу проверки — способу повторного выполнения вычитания по уже сделанному вычислению.
Вместе с тем нужно продолжать работу по совершенствованию навыков устных вычислений , используя при этом как общие, так и частные приемы вычислений, среди последних — прием округления уменьшаемого и вычитаемого.
37. Сложение и вычитание многозначных чисел
1) Пишу выражение
2) Складываю единицы: 8+5=13; 13 - это 1 дес. и 3 ед.,
3 ед. пишу под единицами, 1 дес. запоминаю.
3) Складываю десятки: 6+9=15; еще 1 дес. будет 16 дес. Это 1 сот. 6 дес.; 6 дес. пишу под десятками, 1 сот. запоминаю.
4) Складываю сотни: 3+2=5, еще 1 сот. и будет 6 сотен.
Под сотнями пишу 6.
5) Читаю ответ..
37. Сложение и вычитание многозначных чисел.
После того как усвоено письменное сложение трехзначных чисел, сложение многозначных чисел не представляет для детей большой трудности. Однако необходимо проделать значительное количество упражнений, чтобы добиться безошибочного выполнения их.
Организуя упражнения, нужно предусмотреть различные варианты примеров на сложение: примеры без перехода и с переходом через разряд, примеры с одинаковым и разным количеством цифр в слагаемых, примеры, в которых первое слагаемое больше второго и наоборот, примеры без нулей и с нулями в слагаемых. Разнообразие примеров нужно не только для предупреждения ошибок, но и для формирования понятия сложения: применяя в разнообразных случаях сложения один и тот же способ решения, ученик начинает глубже понимать основной принцип сложения - его поразрядность.
Среди различных вариантов примеров большое место должно занимать сложение нескольких слагаемых. Подписывая слагаемые одно под другим, ученик вынужден анализировать структуру чисел, определять разрядное значение каждой цифры, приводить в соответствие одноименные разряды. Все это обогащает навык сложения. При суммировании разрядных чисел получаются суммы, выходящие за пределы таблицы сложения. Благодаря этому при сложении нескольких слагаемых закрепляются навыки устного сложения.
Приступая к объяснению сложения многозначных чисел, нужно прежде всего распространить имеющийся у детей навык сложения трехзначных чисел на любые числа, показав учащимся, что если 8 единиц да 5 единиц составляют 13 единиц, то 8 тысяч да 5 тысяч составляют 13 тысяч, 8 миллионов да 5 миллионов составляют 13 миллионов и т.д.
Когда дается объяснение и проводятся первые упражнения, учитель, а вслед за ним и ученики называют разряды чисел и подробно поясняют каждую операцию а в дальнейшем, когда переходят к упражнениям, направленным на автоматизацию навыка, от учеников требуют только краткие пояснения.(в речевых школах, мне кажется все время развернутые объяснения)
При формировании навыков письменного сложения многозначных чисел применяют переместительный и сочетательный законы сложения. Переместительный закон сложения уже известен детям; теперь ученики должны усвоить его точную формулировку, используя для проверки сложения, для "рациональной записи сложения нескольких слагаемых (столбиком), для облегчения и ускорения устных вычислений.
Сочетательный закон сложения полезно рассмотреть в плане его практического применения. Учащимся дается для сложения несколько слагаемых и предлагается отыскать наиболее рациональный способ решения. В своих поисках ученики приходят к выводу о возможности группировки слагаемых, заменяя сложение нескольких слагаемых их суммой.
В основу формирования навыков письменного вычитания многозначных чисел можно положить следующую систему упражнений:
1. Решение примеров, в которых цифры уменьшаемого больше соответствующих цифр вычитаемого.
2. Решение примеров, в которых вычитаемое наряду со значащими цифрами содержит и нули.
3. Решение примеров, в которых некоторые цифры уменьшаемого меньше соответствующих цифр вычитаемого.
4. Решение примеров с одним и несколькими нулями в уменьшаемом.
В каждой из ступеней различают примеры по числу цифр в уменьшаемом и вычитаемом, по числу переходов через разряд, по числу нулей в уменьшаемом и их расположению среди значащих цифр; так, могут быть примеры с двумя, тремя, четырьмя и более нулями подряд; нули могут перемежаться со значащими цифрами; между нулями может встречаться единица (400100 - 66724).
Разнообразие случаев вычитания при единстве принципа их решения сильнее подчеркивает этот принцип - строгую поразрядность вычитания.
В начале изучения этой темы нужно распространить знакомый детям прием вычитания единиц, десятков и сотен на высшие разрядные единицы, показав, что если 8 единиц без 2 единиц составляют 6 единиц, то и 8 тысяч без 2 тысяч составляют 6 тысяч, 8 миллионов без 2 миллионов - 6 миллионов, 8 сотен тысяч без 2 сотен тысяч - 6 сотен тысяч и т. д. К этому сводится в конце концов процесс письменного вычитания многозначных чисел.
В процессе объяснения вычитания полезно сформулировать правило письменного выполнения этого действия.
Это правило играет роль средства в борьбе за четкие, правильные и упорядоченные записи, за безошибочное вычисление.
При решении первых примеров ученики подробно объясняют каждую операцию, но при переходе к упражнениям, направленным на автоматизацию навыка, объяснения даются в краткой форме.
При объяснении нужно подробно и обстоятельно раскрыть процесс занимания единицы высшего разряда и раздробления ее в единицы низшего разряда, при этом особое внимание нужно уделить примерам, в которых встречаются нули. Операции с нулем нужно повторить на отдельных примерах: 5 - 0 = 5, потому что если от числа ничего не отнять, то и останется то же число. Вычитать из нуля нельзя, потому что нуль меньше всякого числа (разумеется, натурального).
Когда уменьшаемое выражено единицей с несколькими нулями (1000, 10000, 1 000000) и т. д., то на классных счетах нужно показать, что тысяча - это 9 сотен 9 десятков и 10 единиц, 10000 - это 9 тысяч 9 сотен 9 десятков и 10 единиц.
Хорошим наглядным пособием в таких случаях может служить пучок из тысячи палочек, состоящий из 10 сотенных пучков, каждый из которых в свою очередь состоит из 10 десятков, а в каждом десятке по 10 палочек-единиц. Чтобы вычесть из 1000 палочек, например, 32 палочки, «тысячный» пучок развязывается, причем он распадается на 10 сотен; 9 сотен оставляют, а одна сотня развязывается и распадается на 10 десятков и т. д. Ученики видят, как из тысячи без изменения ее величины получили 9 сотен 9 десятков и 10. единиц. После этого отнимают 32 палочки. Затем проводится параллель между вычитанием на палочках и письменным вычитанием на классной доске.
Урок 1.
Устные и письменные приёмы вычислений.
I. Организация урока.
II. Устный счёт.
Посмотрите, что можно о них сказать? (Мы видим суммы, разности. Можно их разделить на три группы:
3) поразрядное вычисление).
В числе 35840 сколько единиц каждого класса? (840 единиц 1-го класса, 35 единиц 2-го класса. Многозначное число записывают, читают по классам, начиная с высшего).
А какие разряды в каждом классе?
(А ещё это число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых).
2. № 293. “Вычислить наиболее лёгким способом”. 3. Стр. 69, № 1, 2, 3.
III. Актуализация знаний. Формулирование темы урока. Постановка учебных задач.
Объясните, что означают записи в рамках на полях.
2. Что можете сказать о данных записях?
(Сложение и вычитание чисел… можно сформулировать тему урока).
Итак, тема урока “Устные и письменные приёмы сложения и вычитания”.
Давайте вспомним правила сложения и вычитания 3-хзначных чисел. Кто хочет работать у доски?
План на слайде:
1. Пишу единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями.
2. Складываю единицы.
3. Складываю десятки.
4. Складываю сотни.
5. Называю результат.
(Алгоритм вычисления: к 546 нужно прибавить 283.)
Что можете сказать о других суммах?
Давайте попробуем выполнить сложение по такому же плану.
Сделайте вывод.
Как вы думаете, сможем ли мы вычислить сумму трёх 4-х значных чисел по такому же плану?
Давайте выполним вычисление. А теперь сравните эти записи.
(На каждой строчке написана сумма цифр каждого столбика).
Домашнее задание:
1) № 312 - посмотрите внимательно. Нет ли у вас других рекомендаций по оформлению выражений в столбик? (Я хочу применить в отношении третьего выражения переместительное свойство сложения). Вычислите и сделайте проверку.
2) Выполнить выборочно из "Комплекса для самостоятельных индивидуальных работ".
V. Закрепление изученного.
1. № 295 - у доски с комментированием. Вычислите, записывая решение столбиком, и проверьте сложение вычитанием, а вычитание сложением.
2. Тест № 7 (стр. 34-35 - 1 вариант, 36-37 - 2 вариант. В.Н. Рудницкая. Тесты по математике).
VI. Физкультминутка.
1. Устные упражнения: ребус на странице 62.
2. Решение задачи № 296 - самостоятельно.
3. Составление задачи по выражению- № 298 - работа в группах.
IX. Домашнее задание: № 297 - решить задачу, № 299 - проверьте, верны ли равенства.
Урок 2.
Вычитание с заниманием единицы через
несколько разрядов (вида 30007-648)
или Приём письменного вычитания для случаев вида
7000-345, 37007-18032.
I. Организация урока. Психологический настрой. “Солнышко”.
II. Устный счёт.
№ 308 - Чем похожи эти многоугольники? Найдите периметр каждого многоугольника. Ответы показываем сигнальными карточками.
Посмотрите на записи на доске. Что можете о них сказать?
(Можем сформулировать тему, лишнее выражение убирается.)
IV. Актуализация знаний. Подготовительные упражнения.
1. У каждого ученика счётные палочки.
Возьмите на руки 10 палочек, что можно сказать? (У меня 10 палочек - это 1 десяток)
На слайде рисунок, где изображены счётные палочки, связанные по 10, их всего 10.
А что скажете, глядя на рисунок? (Палочек 100 - это 10 десятков)
Какой же можно сделать вывод? (10 единиц одного разряда составляют единицу следующего, высшего разряда. Единица одного разряда распадается на 10 единиц предшествующего, низшего разряда)
2. В числе 10 000 сколько всего единиц? Сколько единиц каждого разряда? Как можно по-другому представить это число? (9 тыс. 1 тыс.; 9 тыс. 9 сот. 9 дес. 10 ед.)
3. Вычислите, запишите ответ на ваших досках и покажите.
1 дес.- 1 400 - 1
1 сот. - 1 дес. 5 000 - 1
1 тыс. - 1 сот. 40 000 - 1
(Рассуждение ученика: Чтобы из 1 дес. вычесть единицу, заменим 1 дес. десятью единицами и вычтем 1 из 10, получится 9. Чтобы из 1 сот. вычесть 1 дес., заменим 1 сот. 10 дес. и вычтем 1 дес. из 10, останется 9 дес., или 90).
4. № 300 “Заполни пропуски”. (Правильные ответы на слайде, дети сверяют).
V. Изучение нового материала.
(Возвращаемся к выражениям на доске).
Можно ли из 0 единиц вычесть 6 единиц?
Берём 1 сотню. Почему приходится занимать сотню, а не десяток? (Отдельных десятков нет).
Сколько в сотне десятков? Если возьмём 1 десяток из 10, то сколько останется десятков? (9). Запомним это. Заменим 1 десяток единицами. Сколько в 1 десятке единиц? Таким образом, число 600 мы заменили числом 5 сот. 9 дес. 10 ед. (Далее дети продолжают объяснение сами. В первую пору делают даже так:
(Остальные два примера решают вместе с учителем с объяснением)
VI. Закрепление изученного.
№ 302 - комментируя у доски с подробным пояснением преобразований единиц решают 2 примера.
№ 303 - под руководством учителя. Действия сразу записываются в столбик.
VII. Физкультминутка.
Решение задач: № 304, 306 - вызываю к доске. Решение с полным анализом.
IX. Домашнее задание: № 302 - остальные 4 примера, № 305.
X. Итоги урока.
Урок 3.
Нахождение неизвестного уменьшаемого,
неизвестного вычитаемого.
1. Организационный момент.
Учитель проверяет готовность детей к уроку и настраивает их на работу.
Сядьте поудобнее, закройте глаза и внимательно слушайте то, что я буду говорить, а последнее слово мы будем повторять вместе.
На уроке наши глаза внимательно смотрят и всё …(видят). Уши внимательно слушают и всё…(слышат). Голова хорошо…(думает). На уроке вас ожидает много интересных заданий. Вы готовы? Тогда мы начинаем. Откройте глаза.
II. Мобилизующий этап. Формулирование темы и цели урока.
Головоломка: Посмотрите внимательно на запись. Что вы заметили? (В выражениях есть одинаковое число, значение разности в первом выражении и уменьшаемое во втором выражении одно и то же число. Значит, сначала мы находим неизвестное уменьшаемое во втором выражении, к разности прибавим вычитаемое. 40+120=160, 160-120=40. В первом выражении известны уменьшаемое и значение разности, сможем найти неизвестное вычитаемое, из уменьшаемого вычтем значение разности 380-160=220.)
На слайде таблица.
| Уменьшаемое | 42 | 60 | 846 | |||
| Вычитаемое | 45 | 537 | 542 | |||
| Разность | 36 | 85 | 28 | 362 | 140 | 834 |
Что вы можете сказать об этой таблице? Сформулируйте к ней задание. (Заполнить таблицу: найти неизвестное уменьшаемое и неизвестное вычитаемое).
Давайте вспомним как связаны между собой числа при вычитании. (Стр.105, “Связь между числами при вычитании”).
А где ещё встречается неизвестное уменьшаемое и неизвестное вычитаемое? (В уравнениях).
Опираясь на последний ответ, сформулируйте тему сегодняшнего урока. (Тема сегодняшнего урока “Нахождение неизвестного уменьшаемого и неизвестного вычитаемого”.)
Отталкиваясь от темы, поставьте перед собой цель и задачи: чему мы будем учиться на уроке? Для формулирования цели используйте опорные слова:
Познакомиться…
Совершенствовать…
Закреплять…
2. Устный счёт.
1. Сформулируйте задание к этим числам:
2. Числа 1000, 38000, 1254200 увеличьте на 2000. уменьшите в 100 раз.
3) 37+85+115 827+406+594
49+275+51 499+697+303
Что вы можете сказать об этих выражениях? (Можно вычислить удобным способом.)
4) Математический диктант.
III. Изучение нового материала.
х-34=16 75-х=63 х-34=48:3 75-х=9х7
Посмотрите на эти записи, что вы можете о них сказать? (Это уравнения. Неизвестно уменьшаемое и неизвестно вычитаемое. Их можно разделить на 2 группы, так как это простые и сложные уравнения. В сложных уравнениях значение разности выражено частным чисел 48 и 3, произведением чисел 9 и 7.)
На индивидуальной доске для обратной связи самостоятельно решите простые уравнения и покажите их.
Решение у доски: (записываю уравнение: х-34=48:3, значение разности выражено частным чисел 48 и 3.Чтобы привести данное уравнение к простой записи вычислим 48:3=16. Получилось простое уравнение, выполняем решение как обычно, обязательно делая проверку. Х-34=16, чтобы найти неизвестное уменьшаемое к разности прибавим вычитаемое, х=16+34, х=50. Выполняем проверку: 50-34=48:3, 16=16) и т.д.
А теперь сделаем вывод, как находить неизвестное уменьшаемое и неизвестное
вычитаемое в сложном уравнении. (Приводим сложное уравнение к простой записи. Получилось простое уравнение, выполняем решение как обычно. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое. Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.)
IV. Закрепление.
- №318 – выполняется с комментированием и записью на доске.
Решите уравнения по вариантам: 1 вариант -на нахождение неизвестного уменьшаемого, 2 вариант -на нахождение неизвестного вычитаемого, 3 вариант - на нахождение неизвестного слагаемого. х+320=80х7 х-180=240:3 400-х=275+25
х-50=90+40 637-х=219 х-439=254 х+90=210-50
V. Физминутка.
VI. Работа над пройденным материалом.
1) Работа над задачей № 321.
Чтение задачи и работа по усвоению содержания. Решается самостоятельно. Для слабоуспевающих детей предложить выполнить схему или рисунок и составить программу решения.
2) №322. Как найти часть от целого числа? (Делением)
Как найти целое число, если известна его часть? (Умножением)
Выполнить самостоятельно.
3) Самостоятельная работа. стр.65. № 323.
VII. Итог урока. Обобщение изученного на уроке материала и домашнее задание.
Как найти неизвестное уменьшаемое и неизвестное вычитаемое в сложных уравнениях? Д\З стр.65. № 320.
Урок 5.
Нахождение суммы нескольких слагаемых.
I. Организационный момент.
Ребята, давайте улыбнёмся друг другу! Я рада видеть ваши улыбки и думаю, что сегодняшний урок принесёт нам всем радость общения. Успехов вам!
II. Устный счёт.
1) Проверка домашнего задания: с. 65, № 320.
2) Индивидуальная работа в парах.
С. 6, “Магический квадрат”.
С. 6, сравни площади фигур.
Реши уравнение:
42+х=150:3 а-16=12х3
III. Формулирование темы урока. Постановка учебных задач.
Посмотрите на запись. Что можно сказать?
43217 + 19864 72787 + 5130
52438 + 5243 + 85371 20367 + 14215 + 4362
(Мы видим примеры на сложение. К ним можно придумать задания.)
Придумайте задания. (Разделить на группы. Примеры на сложение двух слагаемых и примеры на сложение трёх слагаемых.)
Что мы умеем? (Находить сумму двух слагаемых.)
Итак, тему урока можно определить? (Нахождение суммы нескольких слагаемых.)
Отталкиваясь от темы урока, поставьте перед собой цель и задачи: чему мы будем учиться на уроке?
IV. Актуализация знаний.
Вычислите удобным способом.
Вывод: при сложении нескольких чисел их можно переставлять и объединять в группы любым способом.
V. Изучение нового материала.
Вернёмся к записи. Решите примеры на сложение двух слагаемых. Первый пример решим с подробным объяснением у доски. Второй пример решите самостоятельно. (Взаимопроверка)
Как можно использовать этот способ при письменном сложении нескольких (трёх) слагаемых?
(Учащиеся могут предложить сначала вычислить сумму двух первых слагаемых и затем к полученной сумме прибавить третье слагаемое.)
Вспомним алгоритм сложения двух слагаемых. (Мы подписали их одно под другим так, чтобы единицы одного числа стояли под единицами другого, десятки под десятками и т.д. и складывали сначала единицы, потом десятки и т.д. – по разрядам.)
Можно ли этот способ использовать при сложении трёх и более слагаемых?
Какое из трёх слагаемых удобнее записать первым? Вторым? Третьим?
На доске появляется запись:
Вычислите сумму трёх слагаемых. (Ученики с подробным объяснением решают у доски.)
VI. Закрепление.
С.66, № 331. Решают с подробным объяснением, работа в паре.
VII. физминутка.
VIII. Работа над пройденным материалом.
С.66, № 325 (задача), выполняется под руководством учителя. Сопровождается составлением чертежа-схемы и программы решения.
С.66, № 328, реши задачи, составив уравнения – работа в паре. Взаимопроверка работ.
С.66, № 327, самостоятельно. Взаимопроверка работ.
С.66, № 330, самостоятельно. Проверка осуществляется фронтально.
IX. Итог урока. Обобщение изученного на уроке материала.
Как письменно сложить несколько слагаемых?
Д/з. с.66, № 326.
Урок 6.
Сложение и вычитание величин.
I. Организационный момент.
Всем, всем добрый день!
Прочь с дороги наша лень!
Не мешай трудиться,
Не мешай учиться!
II. Устный счет.
1) Проверка д/з: с. 66, № 326 с. 69, №4.
2) Фронтальная работа: с. 67, №337, сколько треугольников? Четырехугольников? Найдите площадь и периметр треугольника АСД.
3) Индивидуальная работа в парах. Запиши цифрами число: 6 тысяч 325 единиц. 7 миллионов 254 тысячи 48 единиц. 15 миллионов 2 тысячи 320 единиц. 214 миллионов 56 единиц.
III. Актуализация знаний. Формирование темы урока. Постановка учебных задач.
Послушайте задачи. Решения запишем на доске.
1). Мама купила в магазине 8 кг яблок, а груш на 300 г. больше. Сколько килограммов груш купила мама? (8 кг + 300 г).
2). Туристы проехали автобусом 1 ч.30 мин., а пешком прошли на 25 минут меньше. Сколько времени они прошли пешком? (1 час. 30 мин. – 25 мин.).
3). Швея сшила два халата, расходуя на первый халат 2 м 45 см, а на второй халат 3 м 15 см. Сколько всего ткани она расходовала? (2 м 45 см + 3 м 15 см).
Посмотрите за запись, что можете сказать? (Сложение и вычитание величин).
Сформулируем тему урока. (“Сложение и вычитание величин”).
Отталкиваясь от темы, поставьте перед собой цель и задачи: чему мы будем учиться на уроке?
IV. Изучение нового материала.
1) Вернемся к записи. Найдите значения этих выражений. (Запись ведется на доске и в тетрадях с комментированием).
2) Усложняем задание.
Что нужно сделать, чтобы найти значения этих выражений?
1 час.20 мин + 55 мин. 12 ц.36 кг – 7 ц.78 кг. (Варианты ответов)
Составляется алгоритм решения:
- Заменю крупные единицы мелкими.
- Выполню действие.
- Заменю мелкие единицы крупными.
1 час.20 мин. + 55 мин. = 2 час.15 мин.
1 час.20 мин. = 80 мин.
135 мин. = 2 час.15 мин.
12 ц. 36 кг – 7 ц 78 кг = 4 ц 58 кг.
12 ц 36 кг = 1236 кг
7 ц 78 кг = 778 кг
1236 – 778 = 458
458 кг = 4ц 58 кг
Вывод: при письменных вычислениях значения величин выражают в одних и тех же единицах измерения и выполняют действия с ними так же, как с числами.
3) Работа с параграфом на с. 67.
V. Закрепление.
1) С.67, №332 – самостоятельно с взаимопроверкой.
2) С.67, №333 – работа в парах самостоятельно.
VI. Физминутка.
VII. Работа над пройденным материалом.
1) № 335 – решение задачи имеет предварительное составление программы решения и краткое условие. Обратить внимание детей на то, что все величины приводятся к единой наименьшей единице.
1 час. 27 мин. = 87 мин.
1 час. 38 мин. = 98 мин.
87 + 98 = 185 (мин) – два фильма.
210 – 185 = 25 (мин) – остается на кассете.
25 мин 23 мин. Ответ: записать мультфильмы можно.
Тест №8 , с. 40-41 (В. Н. Рудницка “Тесты по математике” к учебнику М.И. Моро и другие “Математика. В 2-х частях. 4 класс”).
VIII. Подведение итогов урока.
Д/з. с.67, № 334, 336.
Урок 8.
Контрольная работа по теме “Письменные приёмы
сложения и вычитания”
1 вариант (по несколько вариантов)
1. Выполни действия.
2. Туристы пролетели на самолёте 9 750 км. В поезде они проехали на 8 260 км меньше. Своё путешествие туристы закончили, проплыв на плоту 380 км. Какова длина всего пути туристов?
Литература
1. Э.В. Гордеев. Родничок. Математика. Сборник дополнительных заданий по математике для начальной школы. 1-4 классы. Издательство “Арктоус”, 1997. Пособие ориентировано на развитие мышления, творческих способностей младших школьников, их интереса к математике. Может быть использовано учителем на уроках, а также родителями занятий с детьми.
2. Н.Г. Уткина, А.М. Пышкало. Сборник упражнений и проверочных работ по математике. 1-3 классы. Москва “Просвещение”, 1973.
3. О.Б. Глушкова, В.А. Черепенко, Математика. Справочник школьника. 1-4. -М.: АСТ-ПРЕСС КНИГА, 2006. Cтр. 209-223.
4. В.Н. Рудницкая. Тесты по математике. К учебнику М.И. Моро и др. “Математика. В 2-х частях. 4 класс”. Изд-во “ЭКЗАМЕН”, Москва, 2008.
