यांत्रिक तरंगों की गति. यांत्रिक और ध्वनि तरंगें. बुनियादी प्रावधान
एक यांत्रिक या लोचदार तरंग एक लोचदार माध्यम में दोलनों के प्रसार की प्रक्रिया है। उदाहरण के लिए, हवा एक कंपन करने वाली स्ट्रिंग या स्पीकर शंकु के चारों ओर दोलन करना शुरू कर देती है - स्ट्रिंग या स्पीकर ध्वनि तरंग का स्रोत बन गया है।
एक यांत्रिक तरंग की घटना के लिए, दो शर्तों को पूरा करना होगा - एक तरंग स्रोत की उपस्थिति (यह कोई भी दोलनशील शरीर हो सकता है) और एक लोचदार माध्यम (गैस, तरल, ठोस)।
लहर का कारण पता करें. किसी दोलनशील पिंड के चारों ओर के माध्यम के कण भी दोलनशील गति में क्यों आ जाते हैं?
एक-आयामी लोचदार माध्यम का सबसे सरल मॉडल स्प्रिंग्स द्वारा जुड़ी गेंदों की एक श्रृंखला है। गेंदें अणुओं के मॉडल हैं, उन्हें जोड़ने वाले स्प्रिंग्स अणुओं के बीच परस्पर क्रिया की ताकतों को मॉडल करते हैं।
मान लीजिए कि पहली गेंद आवृत्ति ω के साथ दोलन करती है। स्प्रिंग 1-2 विकृत हो जाता है, इसमें एक लोचदार बल उत्पन्न होता है, जो आवृत्ति के साथ बदलता है। बाहरी समय-समय पर बदलते बल की कार्रवाई के तहत, दूसरी गेंद मजबूर दोलन करना शुरू कर देती है। चूंकि मजबूर दोलन हमेशा बाहरी ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर होते हैं, दूसरी गेंद की दोलन आवृत्ति पहली गेंद की दोलन आवृत्ति के साथ मेल खाएगी। हालाँकि, दूसरी गेंद का मजबूर दोलन बाहरी ड्राइविंग बल के सापेक्ष कुछ चरण विलंब के साथ होगा। दूसरे शब्दों में, दूसरी गेंद पहली गेंद की तुलना में कुछ देर से दोलन करना शुरू करेगी।
दूसरी गेंद के कंपन से स्प्रिंग 2-3 की समय-समय पर बदलती विकृति का कारण बनेगा, जिससे तीसरी गेंद दोलन करेगी, इत्यादि। इस प्रकार, श्रृंखला की सभी गेंदें बारी-बारी से पहली गेंद की दोलन आवृत्ति के साथ दोलन गति में शामिल होंगी।
जाहिर है, एक लोचदार माध्यम में तरंग प्रसार का कारण अणुओं के बीच परस्पर क्रिया की उपस्थिति है। तरंग में सभी कणों की दोलन आवृत्ति समान होती है और तरंग स्रोत की दोलन आवृत्ति के साथ मेल खाती है।
किसी तरंग में कण दोलन की प्रकृति के अनुसार तरंगों को अनुप्रस्थ, अनुदैर्ध्य और सतही तरंगों में विभाजित किया जाता है।
में लोंगिट्युडिनल वेवकण तरंग प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं।
एक अनुदैर्ध्य तरंग का प्रसार माध्यम में तन्य-संपीड़ित विरूपण की घटना से जुड़ा हुआ है। माध्यम के फैले हुए क्षेत्रों में किसी पदार्थ के घनत्व में कमी देखी जाती है - विरलन। माध्यम के संपीड़ित क्षेत्रों में, इसके विपरीत, पदार्थ के घनत्व में वृद्धि होती है - तथाकथित गाढ़ा होना। इस कारण से, एक अनुदैर्ध्य तरंग संघनन और विरलन के क्षेत्रों के अंतरिक्ष में एक आंदोलन है।
तन्य-संपीड़ित विकृति किसी भी लोचदार माध्यम में हो सकती है, इसलिए अनुदैर्ध्य तरंगें गैसों, तरल पदार्थों और में फैल सकती हैं एसएनएफ. अनुदैर्ध्य तरंग का एक उदाहरण ध्वनि है।
में अपरूपण लहरकण तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।
अनुप्रस्थ तरंग का प्रसार माध्यम में कतरनी विरूपण की घटना से जुड़ा हुआ है। इस प्रकार की विकृति केवल ठोस पदार्थों में ही हो सकती है, इसलिए अनुप्रस्थ तरंगें केवल ठोस पदार्थों में ही फैल सकती हैं। कतरनी तरंग का एक उदाहरण भूकंपीय एस-तरंग है।
सतही लहरेंदो मीडिया के बीच इंटरफेस पर होता है। माध्यम के दोलनशील कणों में विस्थापन वेक्टर के अनुप्रस्थ, सतह के लंबवत और अनुदैर्ध्य दोनों घटक होते हैं। अपने दोलन के दौरान, माध्यम के कण सतह के लंबवत और तरंग प्रसार की दिशा से गुजरते हुए एक विमान में अण्डाकार प्रक्षेप पथ का वर्णन करते हैं। सतही तरंगों का एक उदाहरण पानी की सतह पर तरंगें और भूकंपीय एल-तरंगें हैं।
तरंग अग्रभाग तरंग प्रक्रिया द्वारा पहुँचे गए बिंदुओं का स्थान है। तरंग अग्र भाग का आकार भिन्न हो सकता है। सबसे आम समतल, गोलाकार और बेलनाकार तरंगें हैं।
ध्यान दें कि वेवफ्रंट हमेशा स्थित होता है सीधालहर की दिशा! तरंगाग्र के सभी बिंदु दोलन करने लगेंगे एक चरण में.
तरंग प्रक्रिया को चिह्नित करने के लिए, निम्नलिखित मात्राएँ प्रस्तुत की गई हैं:
1. तरंग आवृत्तिν तरंग में सभी कणों की दोलन आवृत्ति है।
2. तरंग आयामए तरंग में कणों का दोलन आयाम है।
3. लहर की गतिυ वह दूरी है जिस पर तरंग प्रक्रिया (परटर्बेशन) प्रति इकाई समय में फैलती है।
कृपया ध्यान दें कि तरंग की गति और तरंग में कणों के दोलन की गति होती है विभिन्न अवधारणाएँ! तरंग की गति दो कारकों पर निर्भर करती है: तरंग का प्रकार और वह माध्यम जिसमें तरंग फैलती है।
सामान्य पैटर्न इस प्रकार है: ठोस में अनुदैर्ध्य तरंग की गति तरल पदार्थ की तुलना में अधिक होती है, और तरल में गति, बदले में, गैसों में तरंग की गति से अधिक होती है।
इस नियमितता का भौतिक कारण समझना कठिन नहीं है। तरंग प्रसार का कारण अणुओं की परस्पर क्रिया है। स्वाभाविक रूप से, गड़बड़ी उस माध्यम में तेजी से फैलती है जहां अणुओं की परस्पर क्रिया अधिक मजबूत होती है।
एक ही माध्यम में, नियमितता भिन्न होती है - अनुदैर्ध्य तरंग की गति अनुप्रस्थ तरंग की गति से अधिक होती है।
उदाहरण के लिए, किसी ठोस में अनुदैर्ध्य तरंग की गति, जहाँ E पदार्थ का लोचदार मापांक (यंग मापांक) है, ρ पदार्थ का घनत्व है।
किसी ठोस में अपरूपण तरंग वेग, जहां N अपरूपण मापांक है। चूँकि सभी पदार्थों के लिए . भूकंप के स्रोत की दूरी निर्धारित करने की एक विधि अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ भूकंपीय तरंगों के वेग में अंतर पर आधारित है।
एक तनी हुई रस्सी या डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति तनाव बल F और द्रव्यमान प्रति इकाई लंबाई μ द्वारा निर्धारित की जाती है:
4. वेवलेंथλ उन बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी है जो समान रूप से दोलन करते हैं।
पानी की सतह पर यात्रा करने वाली तरंगों के लिए, तरंग दैर्ध्य को आसानी से दो आसन्न कूबड़ या आसन्न अवसादों के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक अनुदैर्ध्य तरंग के लिए, तरंग दैर्ध्य को दो आसन्न सांद्रता या विरलन के बीच की दूरी के रूप में पाया जा सकता है।
5. तरंग प्रसार की प्रक्रिया में, माध्यम के अनुभाग एक दोलन प्रक्रिया में शामिल होते हैं। एक दोलनशील माध्यम, सबसे पहले, गति करता है, इसलिए, इसमें गतिज ऊर्जा होती है। दूसरे, जिस माध्यम से तरंग चलती है वह माध्यम विकृत हो जाता है, इसलिए उसमें स्थितिज ऊर्जा होती है। यह देखना आसान है कि तरंग प्रसार माध्यम के अउत्तेजित भागों में ऊर्जा के स्थानांतरण से जुड़ा है। ऊर्जा हस्तांतरण प्रक्रिया को चिह्नित करने के लिए, हम परिचय देते हैं लहर की तीव्रता मैं.
7वीं कक्षा के भौतिकी पाठ्यक्रम में, आपने यांत्रिक कंपन का अध्ययन किया। अक्सर ऐसा होता है कि कंपन एक ही स्थान पर उत्पन्न होकर अंतरिक्ष के पड़ोसी क्षेत्रों तक फैल जाते हैं। उदाहरण के लिए, पानी में फेंके गए एक कंकड़ से फैलने वाले कंपन या भूकंप के केंद्र से फैलने वाले पृथ्वी की पपड़ी के कंपन को याद करें। ऐसे मामलों में, वे तरंग गति - तरंगों की बात करते हैं (चित्र 17.1)। इस अनुभाग में आप तरंग गति की विशेषताओं के बारे में जानेंगे।
यांत्रिक तरंगें बनाएँ
एक काफी लंबी रस्सी लें, जिसका एक सिरा हम जोड़ते हैं ऊर्ध्वाधर सतह, और हम दूसरे को ऊपर और नीचे (दोलन) करेंगे। हाथ से कंपन रस्सी के साथ-साथ फैलेगा, धीरे-धीरे दोलन गति में अधिक से अधिक दूर के बिंदुओं को शामिल करेगा - एक यांत्रिक तरंग रस्सी के साथ चलेगी (चित्र 17.2)।
एक यांत्रिक तरंग एक लोचदार माध्यम* में दोलनों का प्रसार है।
अब हम एक लंबे मुलायम स्प्रिंग को क्षैतिज रूप से लगाते हैं और उसके मुक्त सिरे पर लगातार वार की एक श्रृंखला लगाते हैं - स्प्रिंग में एक लहर चलेगी, जिसमें स्प्रिंग की कुंडलियों का संघनन और विरलन शामिल होगा (चित्र 17.3)।
ऊपर वर्णित तरंगों को देखा जा सकता है, हालाँकि, उदाहरण के लिए, अधिकांश यांत्रिक तरंगें अदृश्य हैं ध्वनि तरंगें(चित्र 17.4)।
पहली नज़र में, सभी यांत्रिक तरंगें पूरी तरह से अलग हैं, लेकिन उनकी घटना और प्रसार के कारण समान हैं।
हम यह पता लगाते हैं कि एक यांत्रिक तरंग किसी माध्यम में कैसे और क्यों फैलती है
कोई भी यांत्रिक तरंग एक दोलनशील पिंड द्वारा निर्मित होती है - तरंग का स्रोत। दोलनशील गति करते हुए, तरंग स्रोत अपने निकटतम माध्यम की परतों को विकृत कर देता है (उन्हें संपीड़ित और फैलाता है या विस्थापित करता है)। परिणामस्वरूप, लोचदार बल उत्पन्न होते हैं जो माध्यम की पड़ोसी परतों पर कार्य करते हैं और उन्हें मजबूर दोलन करने के लिए मजबूर करते हैं। बदले में, ये परतें अगली परतों को विकृत कर देती हैं और उन्हें दोलन करने का कारण बनाती हैं। धीरे-धीरे, एक-एक करके, माध्यम की सभी परतें दोलन गति में शामिल हो जाती हैं - माध्यम में एक यांत्रिक तरंग फैलती है।
चावल। 17.6. एक अनुदैर्ध्य तरंग में, माध्यम की परतें तरंग प्रसार की दिशा में दोलन करती हैं
अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य यांत्रिक तरंगों के बीच अंतर करें
आइए एक रस्सी (चित्र 17.2 देखें) और एक स्प्रिंग (चित्र 17.3 देखें) के साथ तरंग प्रसार की तुलना करें।
रस्सी के अलग-अलग हिस्से तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत चलते (दोलन करते हैं) (चित्र 17.2 में, लहर दाएं से बाएं ओर फैलती है, और रस्सी के हिस्से ऊपर और नीचे बढ़ते हैं)। ऐसी तरंगों को अनुप्रस्थ तरंगें कहा जाता है (चित्र 17.5)। अनुप्रस्थ तरंगों के प्रसार के दौरान, माध्यम की कुछ परतें दूसरों के सापेक्ष विस्थापित हो जाती हैं। विस्थापन विरूपण केवल ठोस पदार्थों में लोचदार बलों की उपस्थिति के साथ होता है, इसलिए अनुप्रस्थ तरंगें तरल पदार्थ और गैसों में नहीं फैल सकती हैं। अत: अनुप्रस्थ तरंगें केवल ठोस पदार्थों में ही फैलती हैं।
जब एक तरंग स्प्रिंग में फैलती है, तो स्प्रिंग की कुंडलियाँ तरंग प्रसार की दिशा में गति (दोलन) करती हैं। ऐसी तरंगों को अनुदैर्ध्य कहा जाता है (चित्र 17.6)। जब एक अनुदैर्ध्य तरंग फैलती है, तो माध्यम में संपीड़ित और तन्य विकृतियां होती हैं (तरंग प्रसार की दिशा में, माध्यम का घनत्व या तो बढ़ता है या घटता है)। किसी भी माध्यम में ऐसी विकृतियाँ लोचदार बलों की उपस्थिति के साथ होती हैं। इसलिए, अनुदैर्ध्य तरंगें ठोस, तरल और गैसों में फैलती हैं।
किसी द्रव की सतह पर तरंगें न तो अनुदैर्ध्य होती हैं और न ही अनुप्रस्थ। उनके पास एक जटिल अनुदैर्ध्य-अनुप्रस्थ चरित्र है, जबकि तरल कण दीर्घवृत्त के साथ चलते हैं। यदि आप समुद्र में एक हल्की चिप फेंकते हैं और पानी की सतह पर उसकी गति को देखते हैं तो इसे सत्यापित करना आसान है।
तरंगों के मूल गुणों का पता लगाना
1. माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक दोलन गति तुरंत प्रसारित नहीं होती है, बल्कि कुछ देरी से प्रसारित होती है, इसलिए तरंगें माध्यम में एक सीमित गति से फैलती हैं।
2. यांत्रिक तरंगों का स्रोत एक दोलनशील पिंड है। जब कोई तरंग फैलती है, तो माध्यम के हिस्सों के कंपन को मजबूर किया जाता है, इसलिए माध्यम के प्रत्येक भाग के कंपन की आवृत्ति तरंग स्रोत के कंपन की आवृत्ति के बराबर होती है।
3. यांत्रिक तरंगें निर्वात में नहीं फैल सकतीं।
4. तरंग गति के साथ पदार्थ का स्थानांतरण नहीं होता है - माध्यम के हिस्से केवल संतुलन स्थिति के आसपास दोलन करते हैं।
5. तरंग के आगमन के साथ ही माध्यम के भाग गति करने लगते हैं (गतिज ऊर्जा प्राप्त कर लेते हैं)। इसका मतलब यह है कि जब तरंग फैलती है, तो ऊर्जा स्थानांतरित होती है।
पदार्थ के स्थानान्तरण के बिना ऊर्जा का स्थानान्तरण - सबसे महत्वपूर्ण संपत्तिकोई लहर.
पानी की सतह पर तरंगों के प्रसार को याद रखें (चित्र 17.7)। कौन से अवलोकन तरंग गति के मूल गुणों की पुष्टि करते हैं?
हम दोलनों की विशेषता बताने वाली भौतिक मात्राओं को याद करते हैं
एक तरंग दोलनों का प्रसार है, इसलिए भौतिक मात्राएँ जो दोलनों (आवृत्ति, अवधि, आयाम) को चिह्नित करती हैं, वे तरंग को भी चित्रित करती हैं। तो, आइए 7वीं कक्षा की सामग्री को याद करें:
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दोलनों को दर्शाने वाली भौतिक मात्राएँ |
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दोलन आवृत्ति ν |
दोलन अवधि टी |
दोलन आयाम ए |
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परिभाषित करना |
समय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या |
एक दोलन का समय |
एक बिंदु अपनी संतुलन स्थिति से अधिकतम दूरी तक विचलन करता है |
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निर्धारित करने का सूत्र |
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एन प्रति समय अंतराल टी में दोलनों की संख्या है |
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एसआई में इकाई |
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दूसरा |
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टिप्पणी! जब एक यांत्रिक तरंग फैलती है, तो माध्यम के सभी हिस्से जिसमें लहर फैलती है, एक ही आवृत्ति (ν) के साथ दोलन करते हैं, जो तरंग स्रोत की दोलन आवृत्ति के बराबर होती है, इसलिए अवधि
माध्यम के सभी बिंदुओं के लिए दोलन (T) भी समान है, क्योंकि
लेकिन तरंग के स्रोत से दूरी के साथ दोलनों का आयाम धीरे-धीरे कम होता जाता है।
हम तरंग के प्रसार की लंबाई और गति का पता लगाते हैं
रस्सी के सहारे तरंग के संचरण को याद रखें। मान लीजिए कि रस्सी का सिरा एक पूर्ण दोलन करता है, अर्थात तरंग का प्रसार समय एक अवधि (t = T) के बराबर है। इस समय के दौरान, तरंग एक निश्चित दूरी λ तक फैल गई (चित्र 17.8, ए)। इस दूरी को तरंग दैर्ध्य कहा जाता है।
तरंग दैर्ध्य λ वह दूरी है जिस पर तरंग T अवधि के बराबर समय में फैलती है:
जहाँ v तरंग प्रसार की गति है। SI में तरंग दैर्ध्य की इकाई मीटर है:
यह देखना आसान है कि रस्सी के बिंदु, एक दूसरे से एक तरंग दैर्ध्य की दूरी पर स्थित, समकालिक रूप से दोलन करते हैं - उनका दोलन चरण समान होता है (चित्र 17.8, बी, सी)। उदाहरण के लिए, रस्सी के बिंदु ए और बी एक ही समय में ऊपर बढ़ते हैं, एक ही समय में लहर के शिखर तक पहुंचते हैं, फिर एक ही समय में नीचे की ओर बढ़ना शुरू करते हैं, और इसी तरह।
चावल। 17.8. तरंग दैर्ध्य उस दूरी के बराबर है जो तरंग एक दोलन के दौरान फैलती है (यह दो निकटतम शिखरों या दो निकटतम गर्तों के बीच की दूरी भी है)
सूत्र λ = vT का उपयोग करके, हम प्रसार वेग निर्धारित कर सकते हैं
हम तरंग प्रसार की लंबाई, आवृत्ति और गति के बीच संबंध का सूत्र प्राप्त करते हैं - तरंग सूत्र:
यदि कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में गुजरती है, तो उसकी प्रसार गति बदल जाती है, लेकिन आवृत्ति वही रहती है, क्योंकि आवृत्ति तरंग के स्रोत से निर्धारित होती है। इस प्रकार, सूत्र v = λν के अनुसार, जब एक तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में गुजरती है, तो तरंग दैर्ध्य बदल जाता है।
तरंग सूत्र
समस्याओं को हल करना सीखना
काम। अनुप्रस्थ तरंग रस्सी के अनुदिश 3 मीटर/सेकेंड की गति से फैलती है। अंजीर पर. 1 किसी समय में कॉर्ड की स्थिति और तरंग प्रसार की दिशा को दर्शाता है। यह मानते हुए कि पिंजरे की भुजा 15 सेमी है, निर्धारित करें:
1) आयाम, अवधि, आवृत्ति और तरंग दैर्ध्य;
किसी शारीरिक समस्या का विश्लेषण, समाधान
तरंग अनुप्रस्थ होती है, इसलिए कॉर्ड के बिंदु तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं (वे कुछ संतुलन स्थितियों के सापेक्ष ऊपर और नीचे चलते हैं)।
1) अंजीर से. 1 हम देखते हैं कि संतुलन स्थिति (तरंग का आयाम ए) से अधिकतम विचलन 2 कोशिकाओं के बराबर है। तो ए = 2 15 सेमी = 30 सेमी।
शिखर और गर्त के बीच की दूरी क्रमशः 60 सेमी (4 सेल) है, दो निकटतम शिखर (तरंग दैर्ध्य) के बीच की दूरी दोगुनी बड़ी है। तो, λ = 2 60 सेमी = 120 सेमी = 1.2 मी।
हम तरंग सूत्र का उपयोग करके तरंग की आवृत्ति ν और अवधि T ज्ञात करते हैं:
2) कॉर्ड के बिंदुओं की गति की दिशा जानने के लिए, हम एक अतिरिक्त निर्माण करते हैं। तरंग को कम समय अंतराल Δt में छोटी दूरी तक चलने दें। चूंकि तरंग दाईं ओर स्थानांतरित हो जाती है, और इसका आकार समय के साथ नहीं बदलता है, पिंच बिंदु चित्र में दिखाई गई स्थिति ले लेंगे। 2 बिंदीदार.
तरंग अनुप्रस्थ होती है, अर्थात, कॉर्ड के बिंदु तरंग प्रसार की दिशा में लंबवत चलते हैं। अंजीर से. 2 हम देखते हैं कि समय अंतराल के बाद बिंदु K अपनी प्रारंभिक स्थिति से नीचे होगा, इसलिए, इसकी गति नीचे की ओर निर्देशित है; बिंदु बी ऊपर की ओर बढ़ेगा, इसलिए, इसकी गति की गति ऊपर की ओर निर्देशित है; बिंदु C नीचे की ओर गति करेगा, इसलिए, इसकी गति की गति नीचे की ओर निर्देशित है।
उत्तर: ए = 30 सेमी; टी = 0.4 एस; ν = 2.5 हर्ट्ज; λ = 1.2 मीटर; के और सी - नीचे, बी - ऊपर।
उपसंहार
किसी लोचदार माध्यम में दोलनों के प्रसार को यांत्रिक तरंग कहा जाता है। एक यांत्रिक तरंग जिसमें माध्यम के भाग तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं, अनुप्रस्थ कहलाती है; वह तरंग जिसमें माध्यम के भाग तरंग प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं, अनुदैर्ध्य कहलाती है।
तरंग अंतरिक्ष में तुरंत नहीं, बल्कि एक निश्चित गति से फैलती है। जब कोई तरंग फैलती है, तो पदार्थ के स्थानांतरण के बिना ऊर्जा स्थानांतरित होती है। वह दूरी जिस पर तरंग अवधि के बराबर समय में फैलती है, तरंग दैर्ध्य कहलाती है - यह दो निकटतम बिंदुओं के बीच की दूरी है जो समकालिक रूप से दोलन करते हैं (दोलन का एक ही चरण होता है)। तरंग प्रसार की लंबाई λ, आवृत्ति ν और वेग v तरंग सूत्र से संबंधित हैं: v = λν।
प्रश्नों पर नियंत्रण रखें
1. यांत्रिक तरंग को परिभाषित करें। 2. यांत्रिक तरंग के निर्माण और प्रसार की क्रियाविधि का वर्णन करें। 3. तरंग गति के मुख्य गुणों के नाम बताइये। 4. किन तरंगों को अनुदैर्ध्य कहा जाता है? अनुप्रस्थ? वे किस वातावरण में फैलते हैं? 5. तरंग दैर्ध्य क्या है? इसे कैसे परिभाषित किया गया है? 6. तरंग प्रसार की लंबाई, आवृत्ति और गति कैसे संबंधित हैं?
व्यायाम संख्या 17
1. अंजीर में प्रत्येक तरंग की लंबाई निर्धारित करें। 1.
2. समुद्र में तरंग दैर्ध्य 270 मीटर तक पहुँच जाती है, और इसकी अवधि 13.5 s है। ऐसी तरंग की प्रसार गति निर्धारित करें।
3. क्या तरंग प्रसार की गति और जिस माध्यम में तरंग फैलती है उसके बिंदुओं की गति की गति मेल खाती है?
4. एक यांत्रिक तरंग निर्वात में क्यों नहीं फैलती?
5. भूवैज्ञानिकों द्वारा किये गये विस्फोट के फलस्वरूप भूपर्पटीलहर 4.5 किमी/सेकेंड की गति से फैल गई। पृथ्वी की गहरी परतों से परावर्तित तरंग को विस्फोट के 20 सेकंड बाद पृथ्वी की सतह पर दर्ज किया गया था। चट्टान किस गहराई पर स्थित है, जिसका घनत्व पृथ्वी की पपड़ी के घनत्व से काफी भिन्न है?
6. अंजीर में। 2 जिसके साथ दो रस्सियाँ दिखाई गई हैं अनुप्रस्थ तरंग. प्रत्येक रस्सी अपने एक बिंदु के दोलन की दिशा दर्शाती है। तरंग प्रसार की दिशाएँ निर्धारित करें।
7. अंजीर में। 3 दो तंतुओं की स्थिति को दर्शाता है जिसके साथ तरंग फैलती है, प्रत्येक तरंग के प्रसार की दिशा दिखाती है। प्रत्येक मामले के लिए ए और बी निर्धारित करें: 1) आयाम, अवधि, तरंग दैर्ध्य; 2) वह दिशा जिसमें कॉर्ड के बिंदु ए, बी और सी एक निश्चित समय पर घूम रहे हैं; 3) डोरी का कोई भी बिंदु 30 सेकंड में होने वाले दोलनों की संख्या। विचार करें कि पिंजरे की भुजा 20 सेमी है।
8. समुद्र के किनारे खड़े एक आदमी ने निर्धारित किया कि आसन्न तरंग शिखरों के बीच की दूरी 15 मीटर है। इसके अलावा, उसने गणना की कि 16 तरंग शिखर 75 सेकंड में तट पर पहुँचते हैं। तरंग प्रसार की गति निर्धारित करें।
यह पाठ्यपुस्तक सामग्री है.
एक तरंग के अस्तित्व के लिए दोलन के एक स्रोत और एक भौतिक माध्यम या क्षेत्र की आवश्यकता होती है जिसमें यह तरंग फैलती है। तरंगें सबसे विविध प्रकृति की होती हैं, लेकिन वे समान पैटर्न का पालन करती हैं।
द्वारा भौतिक प्रकृति अंतर करना:
गड़बड़ी के उन्मुखीकरण के अनुसार अंतर करना:
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अनुदैर्ध्य तरंगें -
कणों का विस्थापन प्रसार की दिशा में होता है; संपीड़न के दौरान माध्यम में लोचदार बल का होना आवश्यक है; किसी भी वातावरण में वितरित किया जा सकता है। उदाहरण:ध्वनि तरंगें  |
अनुप्रस्थ तरंगें -
कणों का विस्थापन प्रसार की दिशा में होता है; केवल लोचदार मीडिया में ही प्रचारित किया जा सकता है; माध्यम में अपरूपण प्रत्यास्थ बल का होना आवश्यक है; केवल ठोस मीडिया (और दो मीडिया की सीमा पर) में ही प्रचारित किया जा सकता है। उदाहरण:एक डोरी में लोचदार तरंगें, पानी पर तरंगें
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समय पर निर्भरता की प्रकृति के अनुसार अंतर करना:
लोचदार तरंगें - यांत्रिक विस्थापन (विरूपण) एक लोचदार माध्यम में फैल रहा है। प्रत्यास्थ तरंग कहलाती है लयबद्ध(साइनसॉइडल) यदि इसके अनुरूप माध्यम के कंपन हार्मोनिक हैं।
दौड़ती लहरें - तरंगें जो अंतरिक्ष में ऊर्जा ले जाती हैं।
तरंग सतह के आकार के अनुसार : समतल, गोलाकार, बेलनाकार तरंग।
लहर सामने- बिंदुओं का स्थान, जिस तक दोलन समय में एक निश्चित बिंदु तक पहुंच गए हैं।
तरंग सतह- एक चरण में दोलन करने वाले बिंदुओं का स्थान।
तरंग विशेषताएँ
तरंग दैर्ध्य λ - वह दूरी जिस पर तरंग दोलन अवधि के बराबर समय में फैलती है
तरंग आयाम ए - तरंग में कणों के दोलन का आयाम
तरंग गति वी - माध्यम में गड़बड़ी के प्रसार की गति
तरंग अवधि टी - दोलन काल
तरंग आवृत्ति ν - अवधि का व्युत्क्रम
यात्रा तरंग समीकरण
एक यात्रा तरंग के प्रसार के दौरान, माध्यम की गड़बड़ी अंतरिक्ष में अगले बिंदुओं तक पहुंचती है, जबकि तरंग ऊर्जा और गति को स्थानांतरित करती है, लेकिन पदार्थ को स्थानांतरित नहीं करती है (माध्यम के कण अंतरिक्ष में एक ही स्थान पर दोलन करते रहते हैं)।
कहाँ वीरफ़्तार , φ 0 - प्रारंभिक चरण , ω – चक्रीय आवृत्ति , ए– आयाम
यांत्रिक तरंगों के गुण
1. तरंग प्रतिबिंब – किसी भी मूल की यांत्रिक तरंगों में दो मीडिया के बीच इंटरफेस से प्रतिबिंबित होने की क्षमता होती है। यदि किसी माध्यम में फैलने वाली एक यांत्रिक तरंग को अपने रास्ते में कोई बाधा आती है, तो यह नाटकीय रूप से अपने व्यवहार की प्रकृति को बदल सकती है। उदाहरण के लिए, दो मीडिया के बीच अलग-अलग इंटरफ़ेस पर यांत्रिक विशेषताएंतरंग आंशिक रूप से परावर्तित होती है, और आंशिक रूप से दूसरे माध्यम में प्रवेश करती है।
2. तरंगों का अपवर्तन – यांत्रिक तरंगों के प्रसार के दौरान, कोई अपवर्तन की घटना भी देख सकता है: एक माध्यम से दूसरे माध्यम में संक्रमण के दौरान यांत्रिक तरंगों के प्रसार की दिशा में परिवर्तन।
3. तरंग विवर्तन – सरलरेखीय प्रसार से तरंगों का विचलन, अर्थात् बाधाओं के चारों ओर उनका झुकना।
4. तरंग हस्तक्षेप – दो तरंगों का जोड़. ऐसे स्थान में जहां कई तरंगें फैलती हैं, उनके हस्तक्षेप से दोलन आयाम के न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों वाले क्षेत्रों की उपस्थिति होती है
यांत्रिक तरंगों का व्यतिकरण एवं विवर्तन।
रबर बैंड या डोरी के साथ चलने वाली तरंग एक निश्चित सिरे से परावर्तित होती है; इससे विपरीत दिशा में यात्रा करने वाली एक तरंग उत्पन्न होती है।
जब तरंगें आरोपित होती हैं, तो हस्तक्षेप की घटना देखी जा सकती है। हस्तक्षेप की घटना तब घटित होती है जब सुसंगत तरंगें आरोपित हो जाती हैं।
सुसंगत बुलायालहर कीसमान आवृत्तियों, एक स्थिर चरण अंतर, और दोलन एक ही तल में होते हैं।
दखल अंदाजी सुसंगत तरंगों के सुपरपोजिशन के परिणामस्वरूप माध्यम के विभिन्न बिंदुओं पर पारस्परिक प्रवर्धन और दोलनों के क्षीणन की समय-निरंतर घटना को कहा जाता है।
तरंगों के अध्यारोपण का परिणाम उन चरणों पर निर्भर करता है जिनमें दोलन एक दूसरे पर अध्यारोपित होते हैं।
यदि स्रोत ए और बी से तरंगें समान चरणों में बिंदु सी पर पहुंचती हैं, तो दोलन बढ़ जाएंगे; यदि यह विपरीत चरणों में है, तो दोलन कमजोर हो जाते हैं। परिणामस्वरूप, अंतरिक्ष में बढ़े हुए और कमजोर दोलनों के वैकल्पिक क्षेत्रों का एक स्थिर पैटर्न बनता है।
अधिकतम एवं न्यूनतम शर्तें
यदि बिंदु A और B के दोलन चरण में मेल खाते हैं और समान आयाम हैं, तो यह स्पष्ट है कि बिंदु C पर परिणामी विस्थापन दो तरंगों के पथ के बीच के अंतर पर निर्भर करता है।
अधिकतम शर्तें
यदि इन तरंगों के पथों के बीच का अंतर तरंगों की पूर्णांक संख्या (अर्थात, अर्ध-तरंगों की सम संख्या) के बराबर है Δd = kλ , कहाँ क= 0, 1, 2, ..., तो इन तरंगों के अध्यारोपण बिंदु पर एक व्यतिकरण अधिकतम बनता है।
अधिकतम स्थिति
: 
ए = 2x0.
न्यूनतम शर्त
यदि इन तरंगों का पथ अंतर अर्ध-तरंगों की विषम संख्या के बराबर है, तो इसका मतलब है कि बिंदु A और B से तरंगें एंटीफ़ेज़ में बिंदु C पर आएंगी और एक दूसरे को रद्द कर देंगी।
न्यूनतम शर्त:
परिणामी दोलन का आयाम ए = 0.
यदि Δd अर्ध-तरंगों की पूर्णांक संख्या के बराबर नहीं है, तो 0< А < 2х 0 .
तरंगों का विवर्तन.
सरलरेखीय प्रसार से विचलन और तरंगों द्वारा बाधाओं के गोल होने की घटना को कहा जाता हैविवर्तन.
तरंग दैर्ध्य (λ) और बाधा के आकार (L) के बीच का संबंध तरंग के व्यवहार को निर्धारित करता है। यदि आपतित तरंगदैर्घ्य हो तो विवर्तन सबसे अधिक स्पष्ट होता है अधिक आकारबाधाएं। प्रयोगों से पता चलता है कि विवर्तन हमेशा मौजूद रहता है, लेकिन स्थिति के तहत ध्यान देने योग्य हो जाता है डी<<λ , जहां d बाधा का आकार है।
विवर्तन किसी भी प्रकृति की तरंगों का एक सामान्य गुण है, जो हमेशा होता है, लेकिन इसके अवलोकन की स्थितियाँ अलग-अलग होती हैं।
पानी की सतह पर एक लहर एक पर्याप्त बड़ी बाधा की ओर फैलती है, जिसके पीछे एक छाया बनती है, यानी। कोई तरंग प्रक्रिया नहीं देखी गई है। इस संपत्ति का उपयोग बंदरगाहों में ब्रेकवाटर के निर्माण में किया जाता है। यदि बाधा का आकार तरंग दैर्ध्य के बराबर है, तो बाधा के पीछे एक लहर होगी। उसके पीछे, लहर ऐसे फैलती है मानो कोई बाधा ही न हो, यानी। तरंग विवर्तन देखा जाता है।
विवर्तन की अभिव्यक्ति के उदाहरण . घर के कोने के आसपास तेज़ बातचीत सुनना, जंगल में आवाज़ें, पानी की सतह पर लहरें।
खड़ी तरंगें
खड़ी तरंगें यदि उनकी आवृत्ति और आयाम समान हो तो प्रत्यक्ष और परावर्तित तरंगों को जोड़ने से बनते हैं।
दोनों सिरों पर लगी डोरी में जटिल कंपन उत्पन्न होते हैं, जिन्हें सुपरपोजिशन का परिणाम माना जा सकता है ( सुपरपोजीशन) दो तरंगें विपरीत दिशाओं में फैलती हैं और सिरों पर परावर्तन और पुनः परावर्तन का अनुभव करती हैं। दोनों सिरों पर लगे तारों के कंपन से सभी तार वाले संगीत वाद्ययंत्रों की ध्वनि उत्पन्न होती है। ऐसी ही एक घटना ऑर्गन पाइप सहित पवन उपकरणों की ध्वनि के साथ होती है।
स्ट्रिंग कंपन. दोनों सिरों पर लगी एक तनी हुई डोरी में, जब अनुप्रस्थ कंपन उत्तेजित होते हैं, खड़ी तरंगें , और गांठें उन स्थानों पर स्थित होनी चाहिए जहां स्ट्रिंग तय की गई है। इसलिए, स्ट्रिंग से उत्साहित है ध्यान देने योग्य तीव्रता केवल ऐसे कंपन, जिनकी तरंग दैर्ध्य का आधा हिस्सा स्ट्रिंग की लंबाई पर कई बार फिट बैठता है।
इससे स्थिति का पता चलता है 
तरंगदैर्घ्य आवृत्तियों के अनुरूप होते हैं 
एन = 1, 2, 3...आवृत्तियों वीएन बुलाया प्राकृतिक आवृत्तियाँ तार.
आवृत्तियों के साथ हार्मोनिक कंपन वीएन बुलाया अपना या सामान्य कंपन . इन्हें हार्मोनिक्स भी कहा जाता है। सामान्य तौर पर, एक स्ट्रिंग का कंपन विभिन्न हार्मोनिक्स का एक सुपरपोजिशन है।
स्थायी तरंग समीकरण :
उन बिंदुओं पर जहां निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं 
(एन= 1, 2, 3, ...), कुल आयाम अधिकतम मान के बराबर है - यह एंटीनोड्स
खड़ी लहर. एंटीनोड निर्देशांक
: 
उन बिंदुओं पर जिनके निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं
(एन= 0, 1, 2,…), कुल दोलन आयाम शून्य के बराबर है - यह नोड्सखड़ी लहर. नोड निर्देशांक: 
खड़ी तरंगों का निर्माण तब देखा जाता है जब यात्रा और परावर्तित तरंगें हस्तक्षेप करती हैं। सीमा पर जहां तरंग परावर्तित होती है, एक एंटीनोड प्राप्त होता है यदि जिस माध्यम से परावर्तन होता है वह कम घना है (ए), और यदि यह अधिक घना है (बी) तो एक गाँठ प्राप्त होती है।
अगर हम विचार करें यात्रा तरंग , फिर इसके प्रसार की दिशा में ऊर्जा का स्थानांतरण होता हैदोलनशील गति. कब वही ऊर्जा हस्तांतरण की कोई स्थायी लहर नहीं है , क्योंकि समान आयाम की आपतित और परावर्तित तरंगें विपरीत दिशाओं में समान ऊर्जा ले जाती हैं।
उदाहरण के लिए, दोनों सिरों पर खींची गई डोरी में अनुप्रस्थ कंपन उत्पन्न होने पर खड़ी तरंगें उत्पन्न होती हैं। इसके अलावा, फिक्सिंग के स्थानों में, एक खड़ी लहर के नोड्स हैं।
यदि एक खड़े तरंग को एक वायु स्तंभ में स्थापित किया जाता है जो एक छोर (ध्वनि तरंग) पर खुला होता है, तो खुले छोर पर एक एंटीनोड बनता है, और विपरीत छोर पर एक गाँठ बनती है।
§ 1.7. यांत्रिक तरंगें
अंतरिक्ष में फैलने वाले किसी पदार्थ या क्षेत्र के कंपन को तरंग कहा जाता है। पदार्थ के उतार-चढ़ाव से लोचदार तरंगें उत्पन्न होती हैं (एक विशेष मामला ध्वनि है)।
यांत्रिक तरंगसमय के साथ माध्यम के कणों के दोलन का प्रसार है।
सतत माध्यम में तरंगें कणों के बीच परस्पर क्रिया के कारण फैलती हैं। यदि कोई कण दोलन गति में आता है, तो, लोचदार कनेक्शन के कारण, यह गति पड़ोसी कणों में स्थानांतरित हो जाती है, और तरंग फैल जाती है। इस मामले में, दोलन करने वाले कण स्वयं तरंग के साथ नहीं चलते हैं, लेकिन संकोच करनाउनके आसपास संतुलन की स्थिति.
अनुदैर्ध्य तरंगेंवे तरंगें हैं जिनमें कण दोलन की दिशा x तरंग प्रसार की दिशा से मेल खाती है 
. अनुदैर्ध्य तरंगें गैसों, तरल पदार्थों और ठोस पदार्थों में फैलती हैं।
पी 
ओपेरा लहरें- ये वे तरंगें हैं जिनमें कण दोलन की दिशा तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होती है 
. अनुप्रस्थ तरंगें केवल ठोस माध्यम में ही फैलती हैं।
तरंगों की दो आवर्तताएँ होती हैं - समय और स्थान में. समय में आवधिकता का अर्थ है कि माध्यम का प्रत्येक कण अपनी संतुलन स्थिति के आसपास दोलन करता है, और यह गति दोलन अवधि टी के साथ दोहराई जाती है। अंतरिक्ष में आवधिकता का अर्थ है कि माध्यम के कणों की दोलन गति उनके बीच कुछ दूरी पर दोहराई जाती है।
अंतरिक्ष में तरंग प्रक्रिया की आवधिकता को तरंग दैर्ध्य नामक एक मात्रा द्वारा दर्शाया और दर्शाया जाता है
.
तरंग दैर्ध्य वह दूरी है जिस पर कण दोलन की एक अवधि के दौरान एक तरंग माध्यम में फैलती है। 
.
यहाँ से 
, कहाँ 
- कण दोलन अवधि, 
- दोलन आवृत्ति, 
- माध्यम के गुणों के आधार पर तरंग प्रसार की गति।
को 
तरंग समीकरण कैसे लिखें? मान लीजिए कि बिंदु O (तरंग का स्रोत) पर स्थित रस्सी का एक टुकड़ा कोसाइन नियम के अनुसार दोलन करता है
मान लीजिए कोई बिंदु B स्रोत (बिंदु O) से x दूरी पर है। v गति से प्रसारित तरंग को उस तक पहुँचने में समय लगता है। 
. इसका मतलब है कि बिंदु बी पर, दोलन बाद में शुरू होंगे 
. वह है। इस समीकरण में व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने के बाद 
और हमें अनेक गणितीय परिवर्तन प्राप्त होते हैं
,
. आइए संकेतन का परिचय दें: 
. तब। बिंदु बी की पसंद की मनमानी के कारण, यह समीकरण आवश्यक समतल तरंग समीकरण होगा 
.
कोसाइन चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति को तरंग का चरण कहा जाता है 
.
इ 
यदि दो बिंदु तरंग के स्रोत से अलग-अलग दूरी पर हैं, तो उनके चरण अलग-अलग होंगे। उदाहरण के लिए, दूरी पर स्थित बिंदु बी और सी के चरण 
और 
तरंग के स्रोत से क्रमशः बराबर होगा
बिंदु B और बिंदु C पर होने वाले दोलनों के चरण अंतर को दर्शाया जाएगा 
और यह बराबर होगा
ऐसे मामलों में, यह कहा जाता है कि बिंदु B और C पर होने वाले दोलनों के बीच एक चरण बदलाव होता है। ऐसा कहा जाता है कि बिंदु B और C पर दोलन चरण में होते हैं यदि 
. अगर 
, तो बिंदु B और C पर दोलन एंटीफ़ेज़ में होते हैं। अन्य सभी मामलों में, बस एक चरण परिवर्तन होता है।
"तरंग दैर्ध्य" की अवधारणा को दूसरे तरीके से परिभाषित किया जा सकता है:
इसलिए, k को तरंग संख्या कहा जाता है।
हमने नोटेशन पेश किया है 
और वो दिखाया 
. तब
.
तरंग दैर्ध्य दोलन की एक अवधि में तरंग द्वारा तय किया गया पथ है।
आइए तरंग सिद्धांत में दो महत्वपूर्ण अवधारणाओं को परिभाषित करें।
तरंग सतहमाध्यम में उन बिंदुओं का स्थान है जो एक ही चरण में दोलन करते हैं। तरंग सतह को माध्यम के किसी भी बिंदु से खींचा जा सकता है, इसलिए इनकी संख्या अनंत है।
तरंग सतहें किसी भी आकार की हो सकती हैं, और सबसे सरल मामले में वे एक दूसरे के समानांतर विमानों का एक सेट (यदि तरंग स्रोत एक अनंत विमान है) या संकेंद्रित क्षेत्रों का एक सेट (यदि तरंग स्रोत एक बिंदु है) हैं।
लहर सामने(वेव फ्रंट) - उन बिंदुओं का स्थान जहां तक समय के क्षण तक उतार-चढ़ाव पहुंचता है 
. तरंग मोर्चा तरंग प्रक्रिया में शामिल अंतरिक्ष के हिस्से को उस क्षेत्र से अलग करता है जहां अभी तक दोलन उत्पन्न नहीं हुए हैं। इसलिए, तरंग अग्रभाग तरंग सतहों में से एक है। यह दो क्षेत्रों को अलग करता है: 1 - जिस पर लहर समय t तक पहुंची, 2 - नहीं पहुंची।
समय के किसी भी क्षण में केवल एक तरंग मोर्चा होता है, और यह हर समय चलता रहता है, जबकि तरंग सतहें स्थिर रहती हैं (वे एक ही चरण में दोलन करने वाले कणों की संतुलन स्थिति से गुजरती हैं)।
समतल लहर- यह एक तरंग है जिसमें तरंग सतहें (और तरंग अग्र भाग) समानांतर तल हैं।
गोलाकार लहरएक तरंग है जिसकी तरंग सतहें संकेंद्रित गोले हैं। गोलाकार तरंग समीकरण: 
.
दो या दो से अधिक तरंगों द्वारा पहुँचे माध्यम के प्रत्येक बिंदु प्रत्येक तरंग के कारण होने वाले दोलनों में अलग-अलग भाग लेंगे। परिणामी कंपन क्या होगा? यह कई कारकों पर निर्भर करता है, विशेष रूप से माध्यम के गुणों पर। यदि तरंग प्रसार की प्रक्रिया के कारण माध्यम के गुण नहीं बदलते हैं, तो माध्यम को रैखिक कहा जाता है। अनुभव से पता चलता है कि तरंगें एक रैखिक माध्यम में एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से फैलती हैं। हम केवल रैखिक मीडिया में तरंगों पर विचार करेंगे। और उस बिंदु का उतार-चढ़ाव क्या होगा, जो एक ही समय में दो तरंगों तक पहुंच गया? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि इस दोहरी क्रिया के कारण होने वाले दोलन के आयाम और चरण का पता कैसे लगाया जाए। परिणामी दोलन के आयाम और चरण को निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक तरंग के कारण होने वाले विस्थापन को ढूंढना और फिर उन्हें जोड़ना आवश्यक है। कैसे? ज्यामितीय रूप से!
तरंगों के सुपरपोजिशन (ओवरले) का सिद्धांत: जब कई तरंगें एक रैखिक माध्यम में फैलती हैं, तो उनमें से प्रत्येक ऐसे फैलती है जैसे कि कोई अन्य तरंगें नहीं थीं, और किसी भी समय माध्यम के एक कण का परिणामी विस्थापन ज्यामितीय योग के बराबर होता है तरंग प्रक्रियाओं के प्रत्येक घटक में भाग लेने वाले कणों को जो विस्थापन प्राप्त होता है।
तरंग सिद्धांत की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है सुसंगतता - कई दोलन या तरंग प्रक्रियाओं के समय और स्थान में समन्वित प्रवाह. यदि अवलोकन बिंदु पर पहुंचने वाली तरंगों का चरण अंतर समय पर निर्भर नहीं करता है, तो ऐसी तरंगें कहलाती हैं सुसंगत. जाहिर है, केवल समान आवृत्ति वाली तरंगें ही सुसंगत हो सकती हैं।
आर 
आइए विचार करें कि अंतरिक्ष में किसी बिंदु (अवलोकन बिंदु) बी पर आने वाली दो सुसंगत तरंगों को जोड़ने का परिणाम क्या होगा। गणितीय गणना को सरल बनाने के लिए, हम मान लेंगे कि स्रोत एस 1 और एस 2 द्वारा उत्सर्जित तरंगों का आयाम समान है और प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर. अवलोकन के बिंदु पर (बिंदु बी पर), स्रोतों एस 1 और एस 2 से आने वाली तरंगें माध्यम के कणों के दोलन का कारण बनेंगी: 
और 
. बिंदु B पर परिणामी उतार-चढ़ाव को योग के रूप में पाया जाता है।
आमतौर पर, अवलोकन के बिंदु पर होने वाले परिणामी दोलन का आयाम और चरण वेक्टर आरेखों की विधि का उपयोग करके पाया जाता है, जो प्रत्येक दोलन को कोणीय वेग ω के साथ घूमने वाले वेक्टर के रूप में दर्शाता है। वेक्टर की लंबाई दोलन के आयाम के बराबर है। प्रारंभ में, यह वेक्टर दोलनों के प्रारंभिक चरण के बराबर चुनी गई दिशा के साथ एक कोण बनाता है। फिर परिणामी दोलन का आयाम सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।
आयामों के साथ दो दोलनों को जोड़ने के हमारे मामले के लिए 
,
और चरण 
,
.
इसलिए, बिंदु B पर होने वाले दोलनों का आयाम इस बात पर निर्भर करता है कि पथ अंतर क्या है 
प्रत्येक तरंग द्वारा स्रोत से अवलोकन बिंदु तक अलग-अलग यात्रा की जाती है ( 
अवलोकन बिंदु पर पहुंचने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर है)। उन बिंदुओं पर हस्तक्षेप मिनिमा या मैक्सिमा देखा जा सकता है जिनके लिए 
. और यह बिंदु S 1 और S 2 पर नाभियों वाले एक अतिपरवलय का समीकरण है।
अंतरिक्ष में उन बिंदुओं पर जिसके लिए 
, परिणामी दोलनों का आयाम अधिकतम और बराबर होगा 
. क्योंकि 
, तो दोलन आयाम उन बिंदुओं पर अधिकतम होगा जिनके लिए।
अंतरिक्ष में उन बिंदुओं पर जिसके लिए 
, परिणामी दोलनों का आयाम न्यूनतम और बराबर होगा 
.जिन बिंदुओं के लिए .दोलन आयाम न्यूनतम होगा।
सुसंगत तरंगों की एक सीमित संख्या के योग से उत्पन्न ऊर्जा पुनर्वितरण की घटना को हस्तक्षेप कहा जाता है।
तरंगों के बाधाओं के चारों ओर झुकने की घटना को विवर्तन कहा जाता है।
कभी-कभी विवर्तन को ज्यामितीय प्रकाशिकी के नियमों से बाधाओं के निकट तरंग प्रसार का कोई विचलन कहा जाता है (यदि बाधाओं के आयाम तरंग दैर्ध्य के अनुरूप हैं)।
बी 
विवर्तन के कारण, तरंगें ज्यामितीय छाया के क्षेत्र में प्रवेश कर सकती हैं, बाधाओं के चारों ओर घूम सकती हैं, स्क्रीन में छोटे छिद्रों में प्रवेश कर सकती हैं, आदि। ज्यामितीय छाया के क्षेत्र में तरंगों के प्रहार की व्याख्या कैसे करें? विवर्तन की घटना को ह्यूजेन्स सिद्धांत का उपयोग करके समझाया जा सकता है: प्रत्येक बिंदु जहां एक लहर पहुंचती है वह माध्यमिक तरंगों (एक सजातीय गोलाकार माध्यम में) का एक स्रोत है, और इन तरंगों का आवरण अगले पल में तरंग के मोर्चे की स्थिति निर्धारित करता है समय।
यह देखने के लिए कि क्या काम आ सकता है, प्रकाश हस्तक्षेप से डालें
लहरअंतरिक्ष में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया कहलाती है।
तरंग सतहउन बिंदुओं का स्थान है जिन पर एक ही चरण में दोलन होते हैं।
लहर सामनेउन बिंदुओं का स्थान कहा जाता है जिन तक तरंग समय में एक निश्चित बिंदु तक पहुंचती है टी. तरंग मोर्चा तरंग प्रक्रिया में शामिल अंतरिक्ष के हिस्से को उस क्षेत्र से अलग करता है जहां अभी तक दोलन उत्पन्न नहीं हुए हैं।
एक बिंदु स्रोत के लिए, तरंग अग्रभाग एक गोलाकार सतह है जो स्रोत स्थान एस 1 पर केन्द्रित होती है। 2,
3
- तरंग सतहें; 1
- लहर सामने. स्रोत से निकलने वाली किरण के साथ फैलने वाली गोलाकार तरंग का समीकरण:। यहाँ 
- तरंग प्रसार गति, 
- तरंग दैर्ध्य; ए- दोलन आयाम; 
- वृत्ताकार (चक्रीय) दोलन आवृत्ति; 
- समय t पर एक बिंदु स्रोत से दूरी r पर स्थित एक बिंदु की संतुलन स्थिति से विस्थापन।
समतल लहरएक सपाट तरंग अग्रभाग वाली तरंग है। अक्ष की धनात्मक दिशा में प्रसारित होने वाली समतल तरंग का समीकरण य:
, कहाँ एक्स- समय t पर स्रोत से y दूरी पर स्थित एक बिंदु की संतुलन स्थिति से विस्थापन।
अनुभव से पता चलता है कि लोचदार माध्यम के किसी भी बिंदु पर उत्तेजित दोलन समय के साथ इसके अन्य भागों में प्रसारित होते हैं। तो झील के शांत पानी में फेंके गए पत्थर से लहरें वृत्ताकार घूमती हैं, जो अंततः किनारे तक पहुंचती हैं। छाती के अंदर स्थित हृदय के कंपन को कलाई पर महसूस किया जा सकता है, जिसका उपयोग नाड़ी को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। उपरोक्त उदाहरण यांत्रिक तरंगों के प्रसार से संबंधित हैं।
- यांत्रिक तरंग बुलायाएक लोचदार माध्यम में दोलनों के प्रसार की प्रक्रिया, जो माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा के हस्तांतरण के साथ होती है। ध्यान दें कि यांत्रिक तरंगें निर्वात में नहीं फैल सकतीं।
यांत्रिक तरंग का स्रोत एक दोलनशील पिंड है। यदि स्रोत साइनसॉइडल रूप से दोलन करता है, तो लोचदार माध्यम में तरंग का आकार भी साइनसॉइड का होगा। किसी लोचदार माध्यम के किसी भी स्थान पर होने वाला दोलन माध्यम के घनत्व और लोचदार गुणों के आधार पर माध्यम में एक निश्चित गति से फैलता है।
हम इस बात पर जोर देते हैं कि जब लहर फैलती है पदार्थ का कोई स्थानांतरण नहीं, यानी, कण केवल संतुलन स्थिति के निकट दोलन करते हैं। लंबी अवधि में संतुलन स्थिति के सापेक्ष कणों का औसत विस्थापन शून्य होता है।
तरंग की मुख्य विशेषताएँ
तरंग की मुख्य विशेषताओं पर विचार करें।
- "लहर सामने"- यह एक काल्पनिक सतह है जिस पर तरंग विक्षोभ एक निश्चित समय पर पहुंच गया है।
- तरंग प्रसार की दिशा में तरंग के अग्रभाग पर लंबवत खींची गई रेखा कहलाती है खुशी से उछलना.
किरण तरंग प्रसार की दिशा को इंगित करती है।
तरंग अग्रभाग के आकार के आधार पर तरंगें समतल, गोलाकार आदि होती हैं।
में समतल लहरतरंग सतहें तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत समतल होती हैं। समतल छड़ के दोलनों का उपयोग करके समतल स्नान में पानी की सतह पर समतल तरंगें प्राप्त की जा सकती हैं (चित्र 1)।
में गोलाकार लहरतरंग सतहें संकेंद्रित गोले हैं। एक सजातीय लोचदार माध्यम में स्पंदित होती गेंद द्वारा एक गोलाकार तरंग बनाई जा सकती है। ऐसी तरंग सभी दिशाओं में समान गति से फैलती है। किरणें गोले की त्रिज्याएँ हैं (चित्र 2)।
तरंग की मुख्य विशेषताएँ:
- आयाम (ए) कंपन के दौरान संतुलन स्थिति से माध्यम के बिंदुओं के अधिकतम विस्थापन का मापांक है;
- अवधि (टी) पूर्ण दोलन का समय है (माध्यम के बिंदुओं के दोलन की अवधि तरंग स्रोत के दोलन की अवधि के बराबर है)
\(T=\dfrac(t)(N),\)
कहाँ टी- समय की वह अवधि जिसके दौरान एनउतार-चढ़ाव;
- आवृत्ति(ν) - प्रति इकाई समय किसी दिए गए बिंदु पर किए गए पूर्ण दोलनों की संख्या
\((\rm \nu) =\dfrac(N)(t).\)
तरंग की आवृत्ति स्रोत की दोलन आवृत्ति से निर्धारित होती है;
- रफ़्तार(υ) - तरंग शिखर की गति (यह कणों की गति नहीं है!)
- तरंग दैर्ध्य(λ) - दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी, जिसमें दोलन एक ही चरण में होते हैं, यानी यह वह दूरी है जिस पर तरंग स्रोत दोलन की अवधि के बराबर समय अंतराल में फैलती है
\(\lambda =\upsilon \cdot T.\)
तरंगों द्वारा वहन की जाने वाली ऊर्जा को चिह्नित करने के लिए इस अवधारणा का उपयोग किया जाता है लहर की तीव्रता (मैं), ऊर्जा के रूप में परिभाषित ( डब्ल्यू) तरंग द्वारा प्रति इकाई समय में ले जाया गया ( टी= 1 सी) एक सतह क्षेत्र के माध्यम से एस= 1 मीटर 2, तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत स्थित:
\(I=\dfrac(W)(S\cdot t).\)
दूसरे शब्दों में, तीव्रता तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत, इकाई क्षेत्र की सतह पर तरंगों द्वारा वहन की जाने वाली शक्ति है। तीव्रता की SI इकाई वाट प्रति वर्ग मीटर (1 W/m2) है।
यात्रा तरंग समीकरण
चक्रीय आवृत्ति ω \(\left(\omega =2\pi \cdot \nu =\dfrac(2\pi )(T) \right)\) और आयाम के साथ होने वाले तरंग स्रोत दोलनों पर विचार करें ए:
\(x(t)=A\cdot \sin \; (\omega \cdot t),\)
कहाँ एक्स(टी) संतुलन स्थिति से स्रोत का विस्थापन है।
माध्यम में एक निश्चित बिंदु पर, दोलन तुरंत नहीं पहुंचेंगे, बल्कि तरंग गति और स्रोत से अवलोकन बिंदु तक की दूरी द्वारा निर्धारित समय अवधि के बाद आएंगे। यदि किसी दिए गए माध्यम में तरंग की गति υ है, तो समय निर्भरता टीनिर्देशांक (ऑफ़सेट) एक्सकी दूरी पर दोलन बिंदु आरस्रोत से, समीकरण द्वारा वर्णित है
\(x(t,r) = A\cdot \sin \; \omega \cdot \left(t-\dfrac(r)(\upsilon ) \right)=A\cdot \sin \; \left(\omega \cdot t-k\cdot r \दाएं), \;\;\; (1)\)
कहाँ क-तरंग संख्या \(\left(k=\dfrac(\omega )(\upsilon ) = \dfrac(2\pi )(\lambda ) \right), \;\;\; \varphi =\omega \cdot t-k \cdot r\) - तरंग चरण।
अभिव्यक्ति (1) कहलाती है यात्रा तरंग समीकरण.
निम्नलिखित प्रयोग में एक यात्रा तरंग देखी जा सकती है: यदि एक चिकनी क्षैतिज मेज पर पड़ी रबर की रस्सी का एक सिरा स्थिर कर दिया जाए और, हाथ से रस्सी को थोड़ा खींचकर, उसके दूसरे सिरे को रस्सी के लंबवत दिशा में दोलन गति में लाया जाए, तब उसके साथ एक लहर दौड़ेगी।
अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें
अनुदैर्ध्य एवं अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं।
- लहर कहा जाता है आड़ा, अगरमाध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत समतल में दोलन करते हैं।
आइए अनुप्रस्थ तरंगों के निर्माण की प्रक्रिया पर अधिक विस्तार से विचार करें। आइए हम एक वास्तविक कॉर्ड के मॉडल के रूप में लोचदार बलों द्वारा एक दूसरे से जुड़े गेंदों (सामग्री बिंदु) की एक श्रृंखला लें (चित्र 3, ए)। चित्र 3 एक अनुप्रस्थ तरंग के प्रसार की प्रक्रिया को दर्शाता है और अवधि के एक चौथाई के बराबर क्रमिक समय अंतराल पर गेंदों की स्थिति को दर्शाता है।
प्रारंभिक समय में \(\left(t_1 = 0 \right)\) सभी बिंदु संतुलन में हैं (चित्र 3, a)। यदि आप गेंद को डिफ्लेक्ट करते हैं 1 गेंदों की पूरी श्रृंखला के लंबवत संतुलन स्थिति से 2 -वें गेंद, लोचदार रूप से जुड़ा हुआ 1 -वें, उसका अनुसरण करना शुरू कर देंगे। आंदोलन की जड़ता के कारण 2 वें गेंद हरकतों को दोहराएगी 1 वें, लेकिन समय में देरी के साथ. गेंद 3 वें, प्रत्यास्थ रूप से जुड़ा हुआ 2 -वें, पीछे चलना शुरू कर देंगे 2 चौथी गेंद, लेकिन उससे भी अधिक विलंब के साथ।
अवधि के एक चौथाई के बाद \(\left(t_2 = \dfrac(T)(4) \right)\) दोलनों का प्रसार होता है 4 -वीं गेंद, 1 -वें गेंद को दोलनों के आयाम के बराबर अधिकतम दूरी तक अपनी संतुलन स्थिति से विचलित होने का समय मिलेगा ए(चित्र 3बी)। आधी अवधि के बाद \(\left(t_3 = \dfrac(T)(2) \right)\) 1 -वीं गेंद, नीचे की ओर बढ़ते हुए, संतुलन स्थिति में वापस आ जाएगी, 4 -वें दोलनों के आयाम के बराबर दूरी तक संतुलन स्थिति से विचलित हो जाएगा ए(चित्र 3, सी)। इस दौरान लहर पहुंचती है 7 -वें गेंद, आदि
अवधि के माध्यम से \(\left(t_5 = T \right)\) 1 -वीं गेंद, पूर्ण दोलन करते हुए, संतुलन स्थिति से गुजरती है, और दोलन गति फैल जाएगी 13 वें गेंद (चित्र 3, ई)। और फिर आंदोलन 1 वें गेंद दोहराना शुरू कर देती है, और अधिक से अधिक गेंदें दोलन गति में भाग लेती हैं (चित्र 3, ई)।
अनुदैर्ध्य तरंगों के उदाहरण हवा और तरल में ध्वनि तरंगें हैं। गैसों और तरल पदार्थों में लोचदार तरंगें तभी उत्पन्न होती हैं जब माध्यम संपीड़ित या विरल होता है। इसलिए, ऐसे मीडिया में केवल अनुदैर्ध्य तरंगें ही प्रसारित हो सकती हैं।
तरंगें न केवल एक माध्यम में, बल्कि दो मीडिया के बीच इंटरफेस पर भी प्रसारित हो सकती हैं। ऐसी तरंगें कहलाती हैं सतही लहरें. इस प्रकार की तरंगों का एक उदाहरण पानी की सतह पर प्रसिद्ध तरंगें हैं।
साहित्य
- अक्सेनोविच एल. ए. हाई स्कूल में भौतिकी: सिद्धांत। कार्य. टेस्ट: प्रोक. सामान्य प्रदान करने वाली संस्थाओं के लिए भत्ता। पर्यावरण, शिक्षा / एल. ए. अक्सेनोविच, एन. एन. राकिना, के. एस. फ़ारिनो; ईडी। के.एस. फ़ारिनो. - एमएन.: अडुकात्सी आई विखावन्ने, 2004. - सी. 424-428।
- ज़िल्को, वी.वी. भौतिकी: पाठ्यपुस्तक। ग्रेड 11 सामान्य शिक्षा के लिए भत्ता। विद्यालय रूसी से लैंग. प्रशिक्षण / वी.वी. ज़िल्को, एल.जी. मार्कोविच। - मिन्स्क: नर। अस्वेता, 2009. - एस. 25-29.
